相似构造技巧——作平行线
题型一 过中点、等分点作平行线构造双A 模型
1．（2020?崇明县期中）如图，直线DE 交AC 、AB 于D 、F ，交CB 的延长线于E ，且BE ：BC ＝2：3，AD ＝CD ，求AF ：BF 的值．
题型二 过中点、等分点作平行线构造双A+X 模型
3．（2020?雨城区校级月考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点．射线CF 交AB 于点E ，且
AE EB
=16
，则
AF
FD
等于 ．
4．（2020?汝州市校级月考）如图已知：△ABC 中，F 分AC 为1：2两部分，D 为BF 中点，AD 的延长线交BC 于E ，求：BE ：EC ．
题型三 过等分点作平行线构造双X 模型
5．（2020?浦东新区期中）如图，已知在△ABC 中，AE ：EB ＝CD ：CB ＝1：3，AD 与CE 相交于点H ，求EH HC
的
值．
6．（2020?卢湾区一模）如图，已知点F 在AB 上，且AF ：BF ＝1：2，点D 是BC 延长线上一点，BC ：CD ＝2：1，连接FD 与AC 交于点N ，求FN ：ND 的值．
巩固练习
1．（2020?双清区期末）一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米．则这个
2．（2020?孝义市期末）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD BD
=12
，则AE AC
= ．
3．（2020?长安区校级月考）如图所示，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝6厘米，CD ＝9厘米．求EF ．
4．（2020?相山区二模）如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．若DE EF
=2
5
，
AC ＝14， （1）求AB 的长．
（2）如果AD ＝7，CF ＝14，求BE 的长．
5．（2020?房山区校级月考）如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ．
（1）求证：AF ：FD ＝AD ：DB ；（2）若AB ＝15，AD ：BD ＝2：1，求DF 的长．
6．（2020?嘉定区一模）已知：如图，点D 、F 是△ABC 的AB 边上的两点，满足AD 2＝AF ?AB ，连接CD ，过点F 作FE ∥DC ，交边AC 于E ，连接DE ．求证：DE ∥BC ．
构造相似辅助线（1）——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx 的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB． 9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y 轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D 点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（） A. B. C. D.
10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。
6.答案：解：分两种情况 第一种情况，图象经过第一、三象限 过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴ ∵A（2，1），＝45°∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB ∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1 ∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3） ∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况，图象经过第二、四象限 过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC 则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴
第27章.相似——专训2：巧作平行线构造相似三角形 名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，做平行线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的平行线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形． 巧连线段的中点构造相似三角形 1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP ：PQ ： QD. (第1题 ) 过顶点作平行线构造相似三角形 2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF ：AF ＝3：2，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值． (第2题) 3.如图，已知△ABC 中，AD 为BC 边上中线，过C 任作一条直线交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB ． (第3题 ) 过一边上的点作平行线构造相似三角形 4．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC . (第4题 ) 过一点作平行线构造相似三角形 5．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝1 4 AB ，连接EM 并延 长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD. 作辅助线的方法一： (第5题①) 作辅助线的方法二： (第5题②) 作辅助线的方法三： (第5题③) 作辅助线的方法四： (第5题④)
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
实用文档相似三角形题型讲解 相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。一、如何证明三角形相似。则△AGD∽∽FDC的延长线上,AG交BC、BD于点E、，如图：例1、点G在平行四边形ABCD的边 ，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图分析：关键在找“角相等”AD24F由,外形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠ G3CB14=AB∥DG可得∠∠∠BC∥AD可得∠1=2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=2（对顶角），由EG。∠G，所以△EGC∽△EAB）找到两个三角形中有两对角2）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”1。（评注：（对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。A是角平分线，A=36°，BD、已知△ABC中，AB=AC，∠例2BCD ∽△求证：△ABC D是公共角，而另一组相等的角则可以C 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。CB ABC=∠C=72°A=36证明：∵∠°，△ABC是等腰三角形，∴∠，则∠DBC=36°又BD平分∠ABC °A=中，∠C为公共角，∠∠DBC=36BCD在△ABC和△ BCD∴△ABC∽△BAD BCE=∠，∠∠外作∠为边在△，以、内一点连结为△：已知，如图，例3DABCEDADBCABCCBE=ABDABC 求证：△DBE∽△ 实用文档 ，有一对角相等，要证两个三ABCDBE和△DBE=DBC公用。所以∠∠ABC，要证的△分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠，这ABDCBE∽△角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。 ABD中，在△证明：CBE和△BAD BCE=∠CBE=∠ABD, ∠∠ABD CBE∽△∴△BEBC∴=BDAB ABBC即： =BDBE ABC中在△DBE 和△公用∠DBC∠∠CBE=ABD, DBC ∠DBC=∠ABD+∠∴∠CBE+ABC ∠∴∠DBE= 实用文档ABBC且=BDBE ABC
第一讲平行线的构造与应用 1、如图1，直线A B∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM 的大小是。 2、图2中ABCD是个直角梯形（∠DAB=∠ABC=90°），以AD为一边向外作长方形ADEF， 其面积为6.36平方厘米，连结BE交AD于P，连结PC，求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 3、如图3所示，AB∥ED，∠1=∠A+∠E，∠2=∠B+∠C+∠D，证明∠2=2∠1。 4、如图4，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB、GF交于点M，试探 索∠AMG与∠3的关系，并说明理由。 5、如图5，已知AB∥EF，∠C＝90°，求x＋y－z的度数。
6、 如图6，已知，CD ∥EF ，∠C ＋∠F ＝∠ABC ，求证AB ∥GF 。 7、 如图7，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝41∠EAB ，∠ECF ＝41∠ECD ，求证：∠AFC ＝4 3∠AEC 。 8、如图8，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则S □AGCD ：S □ABCD ＝ 。 9、如图9，AB ∥CD ，EP ⊥FP ，已知∠1＝30°，∠2＝20°，则∠F 的度数为 。 10、如图10，CD 是⊿ABC 的角平分线，D E ∥AC 交BC 于点E ，EF ∥CD 交AB 于点F ，求证：EF 平分∠BED 。 11、已知：如图11，∠A ＋∠C ＋∠E ＝∠B ＋∠D ＋∠F ，求证：AF ∥CD 。
12、如图12，已知：AB∥CD，∠ABP和∠CDP的平分线相交于点E，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠BFD＝54°，求∠BPD与∠BED的度数。 13、如图13，已知∠3＝∠1＋∠2，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝180°。
平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == A B C D E E D C B A 3. 平行的判定定理：如上图，如果有 BC DE AC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。 E D C B A 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111 c a b =+. F E D C B A 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . F E D C B A 【巩固】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作
EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。 Q P F E D C B A 专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题） （1）如图（1），在ABC ?中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14 AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =_______. （2）如图（2），已知ABC ?中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF FC FD + 的值为（ ） A.5 2 B.1 C.32 D.2 (1) M E D C B A (2) F E D C B A 【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ?中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当 1A 2AE C =时，求 AO AD 的值； E A O
平行线四大模型 平行线的判定与性质 I、平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行. 判定方法I : 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简称：同位角相等，两直线平行. 判定方法2: 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简称：内错角相等，两直线平行， 判定方法3: 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简称：同旁内角互补，两直线平行， 若已知/仁/2,则AB//CD（同位角相等，两直线平行）； 若已知/仁/3,则AB//CD（内错角相等，两直线平行）; 若已知/ 1+ / 4= 180。，贝U AB// CD（同旁内角互补，两直线平行）. 另有平行公理推论也能证明两直线平行： 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2、平行线的性质 禾U用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质. 性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简称：两直线平行，同位角相等 性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 简称：两直线平行，内错角相等 性质3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称：两直线平行，同旁内角互补
模型二“猪蹄”模型（ M 模型） 点P 在EF 左侧，在 AB CD 内部 | “猪蹄”模型 结论 1 :若 AB// CD 则Z P =Z AEF +Z CFR 结论 2:若Z P =Z AEP Z CFP 贝U AB// CD 模型三 “臭脚”模型 A 3 A z C / c F 点P 在EF 右侧，在 AB CD 外^ “臭脚”模型 结论 1 :若 AB// CD 则 Z P =Z AEP Z CFP 或Z P =Z CFP Z AEP 结论 2 :若Z P =Z AEP Z CFP 或Z P =Z CFP Z AEP 贝U AB// CD 模型四“骨 折”模型 ”8 A _________ D C P 在EF 左侧，在 _________ 1 点 圧AB CD 外部 ? L F “骨折”模型 结论 1 ：若 AB// CD 则 Z P =Z CFP Z AEP 或Z P =Z AEP Z CFP 本讲进阶 平行线四大模型 结论 2 :若/ P +Z AEP Z PF(= 360。，贝U AB// CD
相似三角形之常用辅助线 在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要 通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。 专题一、添加平行线构造“ A ”“X ”型 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD中, E为AB中点，AF: FA 1 : 2,求AG GC
变式练习： 如图，直线交厶ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若—；；=2,求BE:EA的比 值. 例3、BE^ AD,求证：EF- BO AC- DF 变式练习： 已知在△ ABC中，AD是/ BAC的平分线.求证: AB BD AC CD BD 例2、如图，直线交△ ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若 - DC FC =2,求BE:EA的比值. FA （本题有多种解法，多想想）
变式1、如图，△ ABC中，AB 说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧?在解题中方法要灵活，思路要开阔. 总结：（1）遇燕尾，作平行，构造.字一般行。 （2）引平行线应注意以下几点： 1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在冋一直线的线段的端点作为引平行 线的点。 2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。 专题二、作垂线构造相似直角三角形 基本图形 例1、如图, ABC 中，AB AC, BD AC,那么BC22CA CD吗？试说明理由？（用多种 平行线及角平分线类相似 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？ 不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345 ∶∶． 数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘． 例题精讲 模块一 平行线类相似问题 平行线类相似的基本模型有 ?模型一、二类综合题 【例1】 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1 4 AE AB = ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =____ ___． M E C B A 【难度】3星 【解析】先介绍常规的解法： B C F E D M A B C F E D M A 如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB = ∴2BF EF = ∵//CF DE ∴ 2BC BF CD EF == 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出． 27.2.1 相似三角形及平行线分线段成比例 一、教学目标： 知识目标 理解并掌握相似三角形及平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 能力目标 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 情感态度与价值观 （1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识 在生活中的价值。 （2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合 作交流的习惯。 二、重、难点 重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。 难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。 三、教学过程 1、复习设疑，引入新课 内容：教师提问： （1）什么是成比例线段？ （2）什么是相似多边形？ （3）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比 是2:3？ 目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线 段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。 效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。 2、小组活动，探究定理 探究活动一： 内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分别交直线m,n 于 A 1，A 2 ，A 3 ，B 1 ，B 2 ，B 3 。 （１）计算 1212 2323 ,A A B B A A B B 你有什么发现？ （２）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A 2，B 2 。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？ (图2） （３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 目的：让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动，达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。 效果：学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多边形来完成的。所以学生有种熟悉感，并不感到困难。 2.议一议： 内容：教师提问： 1.如何理解“对应线段”？ 2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？ 3.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？ 《相似三角形》知识点归纳 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? ， 交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-= ≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+-- =-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ， 那么b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 知识点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形． F E D C B A E A B C D 初三数学《相似三角形》知识提纲 （孟老师归 纳） :比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条 线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a，b的长度分别为m n，那么就说 这两条线段 的比是，或写成a：b=m n；其中a叫做比的前项, 项 2：比例尺=图上距离/实际距离 b叫做比的后 3:成比例线段：在四条线段a, b, c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例 线段，记作：b =—（或a：b=c：d） a c ①线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项， ..I.； I , ②线段a叫首项，d叫a，b，c的第四比例项。 ③ 比例中项：若a = b即&卩c,则b是a,c的比例中项. b c （二）比例式的性质 2. 1.比例的基本性质：a=c二ad=bc b d 合比：若-，则U =□或―a J b d b d b±a d±c 3?等比：若m k (右b d f .................... n = 0) n 则ace…… m =3 =巴* b d f .......................... n b n 4、黄金分割： 把线段AB分成两条线段AC BC（ AC>BC,并且使AC是AB和BC 的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割 点，其中AC^^AB 0.618AB, 2 （三）平行线分线段成比例定理 1. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线 段成比例. 2. 推论:平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得 的对应线段成比例. 如图：当AD// BE// CF时，都可得到 AB _ BC~ 语言描述如下: 上一上上一上 __ ------------------------------ ----------- 、-,二二, DE AB = DE BC = EF睿~七三「三一 ［一二， 7 7 〔十宀 （4）上述结论也适合下列情况的图形: 13 11 12 1 2 3 D E 一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。 例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD 例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABC 例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三 角形？请证明你的结论。 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ?AC=BC ?FE 例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900 ，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ， 交BA 的延 长线于点D 。 求证：（1）MA 2 =MD ?ME ；（2）MD ME AD AE = 22 例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。 三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。 例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且 3 1 ==AD AF AB EB 。求证：∠AEF=∠FBD 例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线， 求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC 例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD 例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG 例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BF A B C D E F G A B C D E M 12 A B C D E F G 1 234 A B C D A B C D E F K A B C D E F A B C D S P R Q O A B C D E F A B C D E F O 123 A B C D F G E 构造等角（或线段的比）-------过分点做平行线 1.如图，在△ABC 中，AB=AC,D 为AB 上的一点， E 为AC 延长线上一点，且BD=CE,连接DE 交BC 于M, 求证：DM=ME. 2.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC, 求证： AC AB DC BD =. 3.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 的外角交BC 延长线于D, 求证： AC AB DC BD =. 4.在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB,AC 为边在△ABC 外侧作正△ABE 和正△ACD.DE 与AB 相交于F. 求证：EF=FD. 5.如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点。 (1)如果E 是AD 的中点，求证： ED AE FC AF 21=. (2)由（1）知，当E 是AD 的中点时，ED AE FC AF 21=成立，若E 是AD 上任意一点（E 不与A,D 重合）.上述结论是否仍然成立？若成立请写出证明，若不成立请说明理由。 6.如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ，若AD=2DE.求证：AP=3AB. 7.在△ABC 中,BD=CE,DE 的延长线交BC 的延长线于P, 求证：CP AE BP AD ?=?. 8.如图，在△ABC 的边AB 上取一点D.在AC 上取一点E ，使AD=AE.直线DE 和BC 延长线相交于P, 求证：CE BD CP BP =. A B C D E M 9.如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O,在AB 延长线上取一点E ，连接OE 交BC 于点F ， 若AB=a ，AD=c ，BE=b.求BF 的长. 10.在△ABC 中，BC 上的两点E ,F 把BC 三等分,BM 是AC 上的中线，AE,AF 分别交BM 于G,H 两点。 求证：2:3:5:: HM GH BG . 11.如图，BD:DC=5：3，E 为AD 的中点， 求证：BE=EF. 12.如图，在等边△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 延长线上一点，AD=CE.DF ⊥AC 于F,DE 交AC 于G.BC=2， 求FG 的长. 13.证明并叙述垂心定理。 陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学七模试卷 一、选择题 1．检测同一型号的4个产品的质量（g），其中超过标准质量的记为正数，不足标准质量的记为负数，其中最接近标准的是（） A．﹣3.5 B．+2.5 C．﹣0.6 D．+0.7 2．如图所示的几何体的左视图是（） A．B．C．D． 3．25的算术平方根是（） A．5 B．﹣5 C．±5 D． 4．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（） A．70°B．60°C．55°D．50° 5．在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（） A．（2，﹣3），（﹣4，6）B．（﹣2，3），（4，6）C．（﹣2，﹣3），（4，﹣6）D．（2，3），（﹣4，6） 6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（） A．7 B．10 C．11 D．12 7．如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿着直线AB翻折后得到△AO'B，则点O'的坐标是（） A．B．C．D． 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（） A．πB．4πC．πD．π 9．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=4，则线段ON的长为（） A．B．C．2 D． 10．二次函数y=﹣x2+2x+c的图象与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P （m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（） A．当n＜0时，m＜x1B．当n＜0时，m＞x2 C．当n＞0时，x1＜m＜x2D．当n＞0时，m＞x1 相似三角形知识点及典型例题 知识点归纳： 1、三角形相似的判定方法 （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。 （3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 （6）判定直角三角形相似的方法： ①以上各种判定均适用。 ②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 ③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 # 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则有射影定理如下： （1）（AD ）2 =BD ·DC ， （2）（AB ）2 =BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即 （AB ）2 +（AC ）2 =（BC ）2 。 典型例题： 例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G 又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF ∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。 例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC FD 证法一：如图，在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝Rt ∠，AD ⊥BC ， ∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点， ∴ED=21 AC ＝EC ，∴∠2＝∠C ，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB ＝∠AFD ，∴△DFB ∽△AFD ，∴FD FB ＝AD BD （1） 又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD BD =AC BA （2） 由（1）（2）两式得FD FB =AC BA ，故BA FB =AC FD 证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ，则BA FB =AG FD （1） ∵E 是AC 的中点，ED ∥AC ，∴D 是GC 的中点，又AD ⊥GC ，∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴AG ＝AC （2） 由（1）（2）两式得：BA FB =AC FD ，证毕。 【解题技巧点拨】 趣谈一道中考试题的12种解法 201808 嘉定区教师进修学院 孙琪斌 201807 嘉定区娄塘学校 朱文娟 早在20年前我们就发现有一类题目的证明方法时常成对出现！也就是说假如在A 点（如图1）可以通过作平行线构造基本图的策略找到一种解决方法，那么在A 点一定还存在着另外一种添加平行线的方法，即这类题目或者有两种方法或者有4种方法或者有6种方法或者8种方法……（证法成对出现）. 利用这个证法成对出现的猜想研究2009年山东省潍 坊市的一道中考题，我们先后找到了12种方法.也就是说在已知图形（图1）的每个点上都找到了两种证法；更令我们开心的是，当我们把这个证法成对的猜想告诉 同学们之后，一部分学生居然也能够发现12种方法. 下面借助教学片段简述证法成对出现的缘由以及我 们给出12种方法的部分生成过程. 例题：（2009，山东潍坊）已知：ABC ?，延长BC 到D ，使BC CD =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E （如图1）． （1）求AC AE 的值； （2）若a AB =，EC FB =,求AC 的长． 师：欲求AC AE ，我们可以尝试添加平行线构 造基本图（A 型图或X 型图），然后在所形成的 A 型图或X 型图中寻找与AC AE 有关的比例式. 若过点A 作AG ∥DB 交DF 的延长线于点G (如图2)，则可得两个X 型基本图（图3、 图4）. 看图3：∵AG ∥DB ，∴ BF AF BD AG = . 又∵BF AF =，∴BD AG =. 看图4：∵AG ∥DC ，∴CD AG EC AE = . 看图2：∵BC CD =，∴CD BD 2=. 由此，易得：2===CD BD CD AG EC AE . 本文把这个方法称为方法1. 若过点A 作AG ∥FD 交BD 的延长线于点G （图5），也可以得到两个A 型基 图1 A B C D E F 图3 A D B F G A 图2 B D E F G A 图4 C D E G 图5 A B C D E F G 相似三角形中几种常见的辅助线作法 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、添加平行线构造“A ”“X ”型 例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1. 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， ∴BE ：EF=5：1. 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1. 变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点, 连结BE 并延 长交AC 于F, 求AF ：CF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ， 1==AE DE FE PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC BC DQ BF ， EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2 1 ==；TC BT EF BE =， DC BT 2 5= 例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F ，求证： （证明：过点C作CG 分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对 应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运 用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。. 方法一：过E作EM方法二：过D作DN 例4：在△ABC中，D为AC 上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证： EF×BC=AC×DF 证明：过D作DG∥BC交AB于G，则△DFG和△EFB相似， ∴∵BE＝AD,∴ 由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴即 ∴EF×BC＝AC×DF. 例5：已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC于E, 交BA的延长线于F, 求证： 分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论 . （或利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线段分别构成两个三角形.） CE BD CF BF = EC AE BF AF = DG DF BE EF = DG DF AD EF = DG AD BC AC = DG BC AD AC = 相似专项训练 专训1证明三角形相似的方法 要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点： (1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例； (2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例； (3)考虑平行线截三角形相似定理及相似三角形的“传递性 ．．．”．利用平行线判定两三角形相似 1．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q. (1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)； (2)求BP:PQ:QR. (第1题) 利用边或角的关系判定两直角三角形相似 2．下面关于直角三角形相似叙述错误的是() A．有一锐角对应相等的两个直角三角形相似 B．两直角边对应成比例的两个直角三角形相似 C．有一条直角边相等的两个直角三角形相似 D．两个等腰直角三角形相似 3．如图，BC⊥AD，垂足为C，AD＝6.4，CD＝1.6，BC＝9.3，CE＝3.1，求证：△ABC∽△DEC. (第3题) 利用角判定两三角形相似 4．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE交于点E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长． (第4题) 利用边角判定两三角形相似 5．如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上． (第5题) 求证：△ABD∽△CAE. 利用三边判定两三角形相似 6．如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF ∽△ABC. (第6题)平行线及角平分线类相似
【教案】-相似三角形及平行线分线段成比例
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陕西西安市碑林区铁一中学中考七模试卷(解析版)--数学
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