第27章.相似——专训2：巧作平行线构造相似三角形
名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，做平行线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的平行线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．
巧连线段的中点构造相似三角形
1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP ：PQ ：
QD.
(第1题
)
过顶点作平行线构造相似三角形
2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF ：AF ＝3：2，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE
EC
的值．
(第2题)
3.如图，已知△ABC 中，AD 为BC 边上中线，过C 任作一条直线交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB ．
(第3题
)
过一边上的点作平行线构造相似三角形
4．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD
EC
.
(第4题
)
过一点作平行线构造相似三角形
5．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝1
4
AB ，连接EM 并延
长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD. 作辅助线的方法一：
(第5题①)
作辅助线的方法二：
(第5题②)
作辅助线的方法三：
(第5题③)
作辅助线的方法四：
(第5题④)
答案
1．解：如图，连接DF ，∵E ，F 是边BC 上的两个三等分点， ∴BE ＝EF ＝FC.
∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD. ∴DF 是△ACE 的中位线．
∴DF ∥AE ，且DF ＝1
2AE.∴DF ∥PE.
∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF ＝PE DF ＝BP
BD
.
∵BF ＝2BE ，∴DF ＝2PE ，BD ＝2BP.∴BP ＝PD. ∵DF ∥AE ，∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD ＝AP
DF .
设PE ＝a ，则DF ＝2a ，AP ＝3a. ∴PQ QD ＝AP DF ＝3 2. ∴BP PQ QD ＝5 3 2.
(第1题)
(第2题)
2．解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G. ∴△GCD ∽△AFD.∴CG FA ＝CD
FD
.
又∵D 为CF 的中点，∴CD ＝FD.∴AF ＝CG . ∵BF AF ＝3 2，∴AB AF ＝5 2.
∵AB ∥CG ，∴△ABE ∽△GCE.∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝5
2
.
3.如图，已知△ABC 中，AD 为BC 边上中线，过C 任作一条直线交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB ．
【分析】过点D 作DN ∥CF ，交AB 于点N ．结合平行线分线段成比例定理以及比例的基本性质证明即可．
【解答】证明：如图，过点D 作DN ∥CF ，交AB 于点N ． ∵DC=DB ， ∴FN=NB=FB ， ∵DN ∥CF ，
∴AE ：ED=AF ：FN ， 即AE ：ED=AF ：FB ， ∴AE ：ED=2AF ：FB ．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．同时考查了比例的性质．
4．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，
∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BD
CF .
∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠
EFC.
(第3题)
∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED. ∵∠AED ＝∠CEP ， ∴∠EFC ＝∠CEP. ∴EC ＝CF.∴
BP CP ＝BD EC
. 5．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF ∥AB ，交DE 于点F ，
(第4题①)
∴△CDF ∽△BDE.∴CF BE ＝CD
BD .
∵点M 为AC 边的中点， ∴AM ＝CM.
易证△AME ≌△CMF.∴AE ＝CF. ∵AE ＝1
4AB ，∴BE ＝3AE.
∴AE BE ＝13.∵CF BE ＝CD BD
， ∴
AE BE ＝CD BD ＝1
3
，即BD ＝3CD.∴BC ＝
2CD.
(第4题②)
(方法二)如图②，过点C 作CF ∥DE ，交AB 于点F ，∴AE AF ＝AM
AC .
又∵点M 为AC 边的中点， ∴AC ＝2AM.
∴2AE ＝AF.∴AE ＝EF. 又∵AE AB ＝14，∴BF EF ＝2.
又∵CF ∥DE ，∴BF FE ＝BC
CD ＝2.
∴BC ＝
2CD.
(第4题③)
(方法三)如图③，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ， ∴△AEF ∽△ABC. ∴
EF BC ＝AE AB ＝AF AC
. 由AE ＝14AB ，知EF BC ＝AF AC ＝AE AB ＝1
4，
∴EF ＝14BC ，AF ＝1
4
AC.
由EF ∥CD ，得△EFM ∽△DCM ， ∴
EF CD ＝MF MC .又∵AM ＝MC ，∴MF ＝12
MC. ∴EF ＝1
2
CD.∴BC ＝
2CD.
(第4题④)
(方法四)如图④，过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ，
∴△AEF ∽△BED.∴AE BE ＝AF
BD .
∵AE ＝1
4
AB ，
∴AE ＝13BE.∴AF ＝1
3
BD.
由AF ∥CD ，AM ＝MC ，易证得△AFM ≌△CDM.
∴AF ＝CD.
∴CD ＝1
3
BD.∴BC ＝2CD.
点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．
构造相似辅助线（1）——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx 的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB． 9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y 轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D 点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（） A. B. C. D.
10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。
6.答案：解：分两种情况 第一种情况，图象经过第一、三象限 过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴ ∵A（2，1），＝45°∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB ∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1 ∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3） ∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况，图象经过第二、四象限 过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC 则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴
相似三角形经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，B C 边的长为8，B C 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为A B 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作M N B C ∥，交A C 于点N ，在A M N △中，设M N 的长为x ，M N 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿M N 折叠，使A M N △落在四边形B C N M 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1）M N B C ∥ A M N A B C ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AM N A M N △≌△ 1A M N ∴△的边M N 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时， 1A M N y S =△= 2 11332 2 4 8 M N h x x x = = ·· （04x <≤） ②当1A 落在四边形B C N M 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边E F 上的高为1h ， 则132662h h x =-= - 11EF M N A EF A M N ∴ ∥△∽△ 11A M N ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 168242 A B C S = ??= △ 2 2 3632241224 62EF x S x x ?? - ?∴==?=-+ ? ??? 1△A 112 223 3912241224828A M N A EF y S S x x x x x ??=-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224 (48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2 912248 y x x =-+-， 取163 x = ，8y =最大 86> ∴当163 x = 时，y 最大，8y =最大 M N C B E F A A 1
第27章.相似——专训2：巧作平行线构造相似三角形 名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，做平行线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的平行线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形． 巧连线段的中点构造相似三角形 1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP ：PQ ： QD. (第1题 ) 过顶点作平行线构造相似三角形 2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF ：AF ＝3：2，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值． (第2题) 3.如图，已知△ABC 中，AD 为BC 边上中线，过C 任作一条直线交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB ． (第3题 ) 过一边上的点作平行线构造相似三角形 4．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC . (第4题 ) 过一点作平行线构造相似三角形 5．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝1 4 AB ，连接EM 并延 长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD. 作辅助线的方法一： (第5题①) 作辅助线的方法二： (第5题②) 作辅助线的方法三： (第5题③) 作辅助线的方法四： (第5题④)
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
相似三角形压轴经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ， 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1） MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时， 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2 912248 y x x =-+-， 取16 3x = ，8y =最大 86> ∴当16 3 x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； M N C B E F A A 1
第一讲平行线的构造与应用 1、如图1，直线A B∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM 的大小是。 2、图2中ABCD是个直角梯形（∠DAB=∠ABC=90°），以AD为一边向外作长方形ADEF， 其面积为6.36平方厘米，连结BE交AD于P，连结PC，求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 3、如图3所示，AB∥ED，∠1=∠A+∠E，∠2=∠B+∠C+∠D，证明∠2=2∠1。 4、如图4，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB、GF交于点M，试探 索∠AMG与∠3的关系，并说明理由。 5、如图5，已知AB∥EF，∠C＝90°，求x＋y－z的度数。
6、 如图6，已知，CD ∥EF ，∠C ＋∠F ＝∠ABC ，求证AB ∥GF 。 7、 如图7，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝41∠EAB ，∠ECF ＝41∠ECD ，求证：∠AFC ＝4 3∠AEC 。 8、如图8，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则S □AGCD ：S □ABCD ＝ 。 9、如图9，AB ∥CD ，EP ⊥FP ，已知∠1＝30°，∠2＝20°，则∠F 的度数为 。 10、如图10，CD 是⊿ABC 的角平分线，D E ∥AC 交BC 于点E ，EF ∥CD 交AB 于点F ，求证：EF 平分∠BED 。 11、已知：如图11，∠A ＋∠C ＋∠E ＝∠B ＋∠D ＋∠F ，求证：AF ∥CD 。
12、如图12，已知：AB∥CD，∠ABP和∠CDP的平分线相交于点E，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠BFD＝54°，求∠BPD与∠BED的度数。 13、如图13，已知∠3＝∠1＋∠2，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝180°。
平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == A B C D E E D C B A 3. 平行的判定定理：如上图，如果有 BC DE AC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。 E D C B A 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111 c a b =+. F E D C B A 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . F E D C B A 【巩固】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作
EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。 Q P F E D C B A 专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题） （1）如图（1），在ABC ?中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14 AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =_______. （2）如图（2），已知ABC ?中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF FC FD + 的值为（ ） A.5 2 B.1 C.32 D.2 (1) M E D C B A (2) F E D C B A 【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ?中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当 1A 2AE C =时，求 AO AD 的值； E A O
相似三角形练习题 一、填空题： 1、若b m m a 2,3==，则_____:=b a 。 2、已知 6 53z y x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。 3、在Rt △ABC 中，斜边长为c ，斜边上的中线长为m ，则______:=c m 。 4、反向延长线段AB 至C ，使AC ＝2 1 AB ，那么BC ：AB ＝ 。 5、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米，则 △A ′B ′C ′的周长为 厘米。 6、如图，△AED ∽△ABC ，其中∠1＝∠B ，则()()() AB BC AD _________==。 第6题图 第7题图 7、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ：BC ＝ 。 若BC ＝6，AB ＝10，则BD ＝ ，CD ＝ 。 8、如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝2cm ，AB ＝3.5cm ，且MN ∥PQ ∥AB ， DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝ ，PQ ＝ 。 第8题图 第9题图 9、如图，四边形ADEF 为菱形，且AB ＝14厘米，BC ＝12厘米，AC ＝10厘米，那BE ＝ 厘米。 10、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。 二、选择题： 11、下面四组线段中，不能成比例的是（ ） A 、4,2,6,3====d c b a B 、3,6,2,1=== =d c b a C 、10,5,6,4====d c b a D 、32,15,5,2====d c b a E A D C 1 C B D A D C M P N Q A B
平行线四大模型 平行线的判定与性质 I、平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行. 判定方法I : 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简称：同位角相等，两直线平行. 判定方法2: 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简称：内错角相等，两直线平行， 判定方法3: 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简称：同旁内角互补，两直线平行， 若已知/仁/2,则AB//CD（同位角相等，两直线平行）； 若已知/仁/3,则AB//CD（内错角相等，两直线平行）; 若已知/ 1+ / 4= 180。，贝U AB// CD（同旁内角互补，两直线平行）. 另有平行公理推论也能证明两直线平行： 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2、平行线的性质 禾U用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质. 性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简称：两直线平行，同位角相等 性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 简称：两直线平行，内错角相等 性质3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称：两直线平行，同旁内角互补
模型二“猪蹄”模型（ M 模型） 点P 在EF 左侧，在 AB CD 内部 | “猪蹄”模型 结论 1 :若 AB// CD 则Z P =Z AEF +Z CFR 结论 2:若Z P =Z AEP Z CFP 贝U AB// CD 模型三 “臭脚”模型 A 3 A z C / c F 点P 在EF 右侧，在 AB CD 外^ “臭脚”模型 结论 1 :若 AB// CD 则 Z P =Z AEP Z CFP 或Z P =Z CFP Z AEP 结论 2 :若Z P =Z AEP Z CFP 或Z P =Z CFP Z AEP 贝U AB// CD 模型四“骨 折”模型 ”8 A _________ D C P 在EF 左侧，在 _________ 1 点 圧AB CD 外部 ? L F “骨折”模型 结论 1 ：若 AB// CD 则 Z P =Z CFP Z AEP 或Z P =Z AEP Z CFP 本讲进阶 平行线四大模型 结论 2 :若/ P +Z AEP Z PF(= 360。，贝U AB// CD
第四章相似图形1 1.等边三角形的一边与这边上的高的比是___________ 2.已知a 、b 、c 为△ABC 的三条边，且a ：b ：c=2：3：4，则△ABC?各边上的高之比为______． 3.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________. 4.已知四条线段a 、b 、c 、d 成比例，若a=2,b=3,c=33,则 d=________. 5.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( ) A.a ∶d=c ∶b B.a ∶b=c ∶d C.d ∶a=b ∶c D.a ∶c=d ∶b 6.如果b a =43,那么b b a 2+=____;b b a 2-=____; a b a 3-=____;a b b a 3-2+=____ 7.如果53=-b b a ,那么b a =________b b a 2+=____;b b a 2-=____;a b b a 3-2+=____ 8.若d c b a ==3（b+d ≠0），则d b c a ++=_______,d b c a 3-23-2=_______ 9.若3x －4y = 0，则y y x +的值是____________ 10.若8 75c b a ==,且3a －2b+c=3,则2a+4b －3c 的值是____________ 11.若6 54 3 2+==+c b a ,且2a －b+3c=21. ,则2a+4b －3c 的值是___________ 12.x ：y ：z=3：5：7，3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为___________ 13.如果 k c b a d d b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，则k 的值是___________。 14.在长度为10的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ.则ＰＱ=_________ 15.当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身 长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm 16.顶角为360 的等腰三角形称为黄金三角形.如右图，△ABC, △BDC, △DEC 都是黄金三角形.若AB=1则DE=＿ 17.如图以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上， （1）求AM 、DM 的长. （2）求证：AM 2 =AD ·DM. （3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ 18.以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形⑥所有的菱形⑦所有的平行四边形都相似.,其中正确的命题有_______ 19.下列判断中，正确的是（ ） （A ）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似（B ）邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似 （C ）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似（D ）邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似 20.如图在一矩形ABCD 的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等。花坛AB ＝20米，AD ＝30米，试问小路的宽x 与y 的比值为________时，能使小路四周所围成的矩形A`B`C`D`能与矩形ABCD 相似？请说明理由。 21.把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比为______ 22.如图所示相片框（长和宽不等，阴影宽度相等），内外两个矩形是否相似？ 23.把一个矩形剪去一个正方形，若剩余的矩形和原矩形相似，则原矩形的宽与长的比为______． 17题 20题 22题 24题 25题 24.如图已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则 AB AD =________=________.
相似三角形之常用辅助线 在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要 通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。 专题一、添加平行线构造“ A ”“X ”型 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD中, E为AB中点，AF: FA 1 : 2,求AG GC
变式练习： 如图，直线交厶ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若—；；=2,求BE:EA的比 值. 例3、BE^ AD,求证：EF- BO AC- DF 变式练习： 已知在△ ABC中，AD是/ BAC的平分线.求证: AB BD AC CD BD 例2、如图，直线交△ ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若 - DC FC =2,求BE:EA的比值. FA （本题有多种解法，多想想）
变式1、如图，△ ABC中，AB 说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧?在解题中方法要灵活，思路要开阔. 总结：（1）遇燕尾，作平行，构造.字一般行。 （2）引平行线应注意以下几点： 1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在冋一直线的线段的端点作为引平行 线的点。 2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。 专题二、作垂线构造相似直角三角形 基本图形 例1、如图, ABC 中，AB AC, BD AC,那么BC22CA CD吗？试说明理由？（用多种 中考相似三角形经典综合题 1、如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C 向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒． (1)求线段BC的长； (2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围： (3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线 段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= 3 3 QG? 2、在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA． （Ⅰ）如图①，求点E的坐标； （Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′． ①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标； ②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）． 3、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．（1）当ι=7时，点P与点Q相遇； （2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？ （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位． ①求s与ι之间的函数关系式； ②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直 线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积． 4、如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N． （1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明． （2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系． 5.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M为AB一动点（点M与点A B 、不重合），过点M作MN BC ∥，交AC于点N，在AMN △中，设MN的长为x，MN上的高为h． （1）请你用含x的代数式表示h． （2）将AMN △沿MN折叠，使AMN △落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面 A B C E M D N 平行线及角平分线类相似 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？ 不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345 ∶∶． 数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘． 例题精讲 模块一 平行线类相似问题 平行线类相似的基本模型有 ?模型一、二类综合题 【例1】 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1 4 AE AB = ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =____ ___． M E C B A 【难度】3星 【解析】先介绍常规的解法： B C F E D M A B C F E D M A 如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB = ∴2BF EF = ∵//CF DE ∴ 2BC BF CD EF == 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出． 相似三角形经典习题 例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形． 例2 已知：如图， ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ?与CDF ?的周长的比，如果2 cm 6=?AEF S ，求CDF S ?． 例3 如图，已知ABD ?∽ACE ?，求证：ABC ?∽ADE ?． 例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？ （1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似． 例5 如图，D 点是ABC ?的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ?的边上，并且点D 、点E 和ABC ?的一个顶点组成的小三角形与ABC ?相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法． 例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高． 例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）． 例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由． 例9 根据下列各组条件，判定ABC ?和C B A '''?是否相似，并说明理由： （1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）?='∠?='∠?=∠?=∠35,44,104,35A C B A ． （3）?='∠=''=''?=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ． 例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据． 例11 已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ?=2 ． 27.2.1 相似三角形及平行线分线段成比例 一、教学目标： 知识目标 理解并掌握相似三角形及平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 能力目标 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 情感态度与价值观 （1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识 在生活中的价值。 （2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合 作交流的习惯。 二、重、难点 重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。 难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。 三、教学过程 1、复习设疑，引入新课 内容：教师提问： （1）什么是成比例线段？ （2）什么是相似多边形？ （3）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比 是2:3？ 目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线 段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。 效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。 2、小组活动，探究定理 探究活动一： 内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分别交直线m,n 于 A 1，A 2 ，A 3 ，B 1 ，B 2 ，B 3 。 （１）计算 1212 2323 ,A A B B A A B B 你有什么发现？ （２）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A 2，B 2 。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？ (图2） （３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 目的：让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动，达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。 效果：学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多边形来完成的。所以学生有种熟悉感，并不感到困难。 2.议一议： 内容：教师提问： 1.如何理解“对应线段”？ 2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？ 3.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？ 《相似三角形》知识点归纳 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? ， 交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-= ≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+-- =-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ， 那么b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 知识点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形． F E D C B A E A B C D 初三数学《相似三角形》知识提纲 （孟老师归 纳） :比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条 线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a，b的长度分别为m n，那么就说 这两条线段 的比是，或写成a：b=m n；其中a叫做比的前项, 项 2：比例尺=图上距离/实际距离 b叫做比的后 3:成比例线段：在四条线段a, b, c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例 线段，记作：b =—（或a：b=c：d） a c ①线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项， ..I.； I , ②线段a叫首项，d叫a，b，c的第四比例项。 ③ 比例中项：若a = b即&卩c,则b是a,c的比例中项. b c （二）比例式的性质 2. 1.比例的基本性质：a=c二ad=bc b d 合比：若-，则U =□或―a J b d b d b±a d±c 3?等比：若m k (右b d f .................... n = 0) n 则ace…… m =3 =巴* b d f .......................... n b n 4、黄金分割： 把线段AB分成两条线段AC BC（ AC>BC,并且使AC是AB和BC 的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割 点，其中AC^^AB 0.618AB, 2 （三）平行线分线段成比例定理 1. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线 段成比例. 2. 推论:平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得 的对应线段成比例. 如图：当AD// BE// CF时，都可得到 AB _ BC~ 语言描述如下: 上一上上一上 __ ------------------------------ ----------- 、-,二二, DE AB = DE BC = EF睿~七三「三一 ［一二， 7 7 〔十宀 （4）上述结论也适合下列情况的图形: 13 11 12 1 2 3 D E 初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === 拔高相似三角形习题集 适合人群:老师备课,以及优秀同学拔高使用. 一、基础知识（不局限于此) (一)．比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2。比例性质: (1）基本性质: bc ad d c b a =?=ac b c b b a =?=2 (2）合比定理:d d c b b a d c b a ±=±?= (3）等比定理:)0.(≠+++=++++++?==n d b b a n d b m c a n m d c b a 3。黄金分割:如图,若AB PB PA ?=2,则点Ｐ为线段AB 的黄金分割点． 4.平行线分线段成比例定理 （二)相似 1.定义：我们把具有相同形状的图形称为相似形。 2．相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例，对应角相等. 3.相似三角形的判定 ● （１)平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ● （２)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。 ● (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. ● (４)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 4。相似三角形的性质 ● (1)对应边的比相等,对应角相等。 ● (2)相似三角形的周长比等于相似比。 ● (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质： 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 6。梯形的中位线定义:梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线。 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半。 7.相似三角形的应用： 1、利用三角形相似，可证明角相等;线段成比例(或等积式）; ２、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 （三)位似: 位似:如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 二、经典例题 例1.如图在４×4的正方形方格中,△ABC 和△D ＥＦ的顶点都在长为1的小正方形顶点上． B中考相似三角形经典综合题
平行线及角平分线类相似
(精心整理)相似三角形经典题(含答案)
【教案】-相似三角形及平行线分线段成比例
相似三角形知识点归纳(全)
初三数学《相似三角形》知识点归纳
(完整版)初三数学相似三角形典型例题(含答案)
相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案.
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