专题:利用平行线构造相似形证线段比
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.....(1)BP BF c AO AF a c ==+......(2)BP BE BE OC EC b BE
==-BP BP AO OC = 即BF BE c BE AF EC a c b BE ===+-2bc BE a c =+专题:利用平行线构造相似形证线段比
方法指导:添加平行线是常用的辅助线,可以构造“A”型图或“X”型图.
例:如图所示,平行四边形ABCD 的对角线交于点O ,OE 交BC 于E ,交AB 的延长线于F.若AB=a,BC=b,BF=c.
求:BE 的长.
解:过点B 作BP ∥AC 交OF 于点P.
在△FOA 中 ∵ BP ∥AC
∴△BEF ∽△AFO ,∠COE=∠BPE
∴ 又∠OEC=∠BPE (对顶角相等)
∴△OCE ∽△PEB
∴ 在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O
有OC=OA (3)
由(1)(2)(3)得
解得:
1. 如图,△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线.
证明:AB:AC=BD:CD.
(分析:要证明线段成比例,必须出现相似三角形,而图中的
三角形却没有相似的,因此要添加辅助线构造相似三角
形.可以过点D 或C 作AB 的平行线;也可过点D 或B
作AC 的平行线.)
EF AF FC FD 2. 如图,已知△ABC 中,AE:EB=1:3,BD:DC=2:1,AD 与CE 相交于F.
求: 的值.
3. (1) 如图,在△ABC (AC>AB )的边AB 、AC 上分别取点E 、D ,使BE=CD ,连接ED 并延长交BC 的延长线于点F.
求证:AB:AC=FD:EF .
(2) 若BE 在AB 的延长线上,同样有BE=CD ,,连接ED 交BC 于点F ,如下图.那么
(1)题中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
22CA AE BC CE =22CA AD BC BD
=AD BD AE CE =AD AE BD BD =22CA AE BC CE =直角三角形中的相似问题
方法指导:斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
射影定理:
CD²=AD·BD ,
AC²=AD·AB ,
BC²=BD·BA
(它们在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).
例. 如图,△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB ,垂足为D ,DE ⊥AC ,垂足为E. 求证: .
证明:在Rt △ABC 中,CD ⊥AB
由射影定理可知:CA²=AD·AB ,BC²=BD·AB
则有 ∵DE ⊥AC ,BC ⊥AC
∴DE ∥BC (垂直于同一直线的两直线互相平行)
∴ ∴ 即
1. 如图,CE 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高,∠ACB=90°,在EC 的延长线上任取一点
P,连结AP ,过点B 作BG ⊥AP 于D.
求证:CE²=ED·EP .
60132. 如图,四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点M ,且AC ⊥CD ,过点A 作AE ⊥BC ,
垂足为E ,交BD 于点F.
(1) 求证:AB²=BF·BD ;
(2) 若AB=AD ,BE=1,AE=2,求线段EF 的长.
3. 如图,矩形ABCD 中,CH ⊥BD ,垂足为H ,P 点是AD 上的一个动点(P 与A 、D 不重
合),CP 与BD 交于E 点.已知CH= ,DH:CD=5:13,设AP=x ,四边形ABEP 的面积为y.
(1)求BD 的长;
(2)用含x 的代数式表示y.