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相似三角形之常用辅助线在与相似有关得几何证明、计算得过程中,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。
而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。
专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。
定理得基本图形:例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ变式练习:已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想)例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。
例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF变式1、如图,△ABＣ中,AB<AC,在AB、ＡC上分别截取BD=ＣE,ＤE,ＢC得延长线相交于点F,证明:ＡB·DF=AC·EF。
例4、已知:如图,在△AＢＣ中,AD为中线,Ｅ在AＢ上,ＡE=AC,CＥ交AD于F,ＥＦ∶FＣ=３∶5,EB=8cm，求AB、AC得长、变式:如图,,求。
(试用多种方法解)说明:此题充分展示了添加辅助线,构造相似形得方法与技巧.在解题中方法要灵活,思路要开阔.总结:(1)遇燕尾,作平行,构造字一般行。
(2)引平行线应注意以下几点:1)选点:一般选已知(或求证)中线段得比得前项或后项,在同一直线得线段得端点作为引平行线得EF EF EFEF点。
2)引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。
专题二、作垂线构造相似直角三角形 一、基本图形例1、，，那么吗？试说明AC BD AC BC CA CD ⊥=⋅22理由？(用多种解法)v变式练习:平行四边形ABC Ｄ中,ＣE ⊥A Ｅ,ＣF ⊥AF,求证:A Ｂ·AE+AD ·AF=AC 2例２、如图,RtA ＢC 中,ＣD 为斜边ＡB 上得高,E 为CD 得中点,AE 得延长线交B Ｃ于Ｆ,ＦG ＡB 于G,求证:FG ＝ＣFBF【练习】1.如图,一直线与△ABC 得边AB,AC 及BC 得延长线分别交于D,Ｅ,F 。
相似三角形知识点归纳(全) 相似三角形知识点归纳(全)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（相似三角形知识点归纳(全)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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《相似三角形》知识点归纳知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。
（2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比（相似系数）． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义： 在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项,那么应得比例式为:． ②核心内容： （2)黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点≈0.618．即 简记为：注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3)合、分比性质：． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．（4）等比性质：如果那么．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,段成比例。
已知AD∥BE∥CF ，可得特别在三角形中：由DE∥BC 可得：知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形,叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示,读作“相似于” ．相似三角形对应边d c b a,,,b a 和d c 和d c b a ,,,a d c b ,,a d cb =()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项bc ad=AB )(,BC AC BC AC>AC BC AB和2A C AB BC =⋅AB C AB AB AC 215-=AB 512A C B C A B A C -==512-长短＝＝全长a c a b c d b db d ±±=⇔=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c dc b a b a ccd a a b d c b a (≠++++====n f d b n m fe d c b a ba n f db m ec a =++++++++ A B D E A B D E B C E F B C E F A B B C B C E F A C D F A B D E A C D F D E E F =====或或或或AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或E BD注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．(2)三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
《相似三角形》知识点归纳知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d cb a等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf ed cb aΛΛ，那么b an f d b me c a =++++++++ΛΛ．知识点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EFABBCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中：由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD===或或 知识点4 相似三角形的概念 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．FEDC B A EB D（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ”全等与相似的比较：（3）射影定理：如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则 ∽ ＝＝＞ AD 2=BD ·DC ，∽ ＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽ ＝＝＞ AC 2=CD ·BC . 知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）B (3)B B C(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
小学二年级的平行线与垂直线平行线与垂直线是小学二年级数学课程中的基础概念。
在本文中，将详细介绍平行线和垂直线的定义、特征、性质以及它们在几何图形中的应用。
一、平行线平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
具体来说，如果两条直线的方向相同或者互为反向，则这两条直线是平行线。
平行线的特征：1. 两条平行线的距离始终相等；2. 两条平行线上的任意两点间的连线也与这两条平行线平行；3. 平行线的符号表示为“//”。
平行线的性质：1. 两条平行线被一条横截线(不与平行线共面)所截断时，截断的对应线段互相相似；2. 平行线与横截线所截成的对应角相等。
平行线的应用：平行线在几何图形中有着广泛的应用，例如：1. 基于平行线的构造：可以通过已知点外一点，画出一条与已知线段平行的线段；2. 矩形的平行边：矩形的对边是两两平行的；3. 平行四边形：四边形中有两对平行边的图形就是平行四边形。
二、垂直线垂直线是指两条直线在交点处互相垂直相交的直线。
具体来说，两条直线在交点的相邻角中，有一个角等于90度，则这两条直线是垂直线。
垂直线的特征：1. 两条垂直线相交处的对应角是直角；2. 垂直线的符号表示为“⊥”。
垂直线的性质：1. 垂直线与平行线相互垂直；2. 两条垂直线之间的角度关系为互补角或补角。
垂直线的应用：垂直线在几何图形中也有重要的应用，例如：1. 垂直平分线：将一条线段垂直平分即找到与线段两端点连线垂直且相等长的线段；2. 垂直角：当两条直线相交时，相邻角中的一对垂直角度数为90度。
综上所述，平行线与垂直线是小学二年级数学中的重要概念。
理解了它们的定义、特征和性质，能够帮助孩子更好地理解几何图形，并应用于实际问题的解决中。
通过练习和实践，孩子们可以更加熟练地判断和运用平行线和垂直线的特点，提高他们的数学能力和空间思维能力。
求线段长的五大类必会方法常用求线段的方法：1.勾股定理2.等面积法3.构造相似4.作辅助圆5.三角函数在初中，求线段的方法基本就是利用上述五类方法，具体怎么用，我们用一道题来说明。
如图，三条平行线之间有个等边三角形，若1l 和2l 的间距是1，2l 和3l 的间距是2，求ABC∆的边长.方法一：勾股定理作垂线如下图，设三角形边长为x ，则可以用勾股定理表示出AD ，EC ，CF12−=x AD ，42−=x EC ，92−=x CF然而AD=EC+CF ，因此解下面这个方程就可以了12−x 42−=x 92−=x这是一个无理方程，同学们不妨提前掌握其解法，毕竟上了高中后解无理方程是家常便饭，上述方程只需要平方两次即可。
记得用换元法，令2x y = 941−+−=−y y y ()()994241−+−−+−=−y y y y y ()()y y y −=−−12942()()()212944y y y −=−−14424144524222+−=+−y y y y02832=−y y0,32821==y y （舍） 3212328==x总结：用勾股定理求线段是最基础的思想方法，以至于每一位同学都能想到它，既然大家都能想到的，说明辅助线或许很容易构造，但难题一定是计算量很大，因此同学们要加强计算能力，包括常见的思想方法比如换元法。
方法二：等面积法以下做法由运河中学张祖珩提供如下图所示，作BE ⊥AC ，AH ⊥2l ，CF ⊥2l ，取AC 与2l 的交点D由FC=2AH 可知DC=2AD我们不妨设x AC 3=，则x AD 2=，x CD 2=，x AE 23=，x ED 21=，x BE 233= x DE BE BD 722=+=将线段都表示出来之后我们就可以利用等面积法了DBC ABD ABC S S S ∆∆∆+=CF BD AH BD BE AC ⋅+⋅=⋅212121 ()21721233321+⋅=⋅⋅x x x 9212=x 32123==x AC 总结：当一个三角形出现两个高线，可以用面积公式表示两次面积并令其相等；或者三角形被分割成两个小三角形，我们也可以通过用割补法表示出面积的等式；这就是等面积法。
初中相似三角形基本知识点和经典例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初三相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段dc b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b db d a c=⇔=．（4）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． ③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：baf d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形．．．．三边．．对应成比例. ②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,已知AD ∥BE ∥CF,B可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
理解小学数学中的平行线与垂直线在小学数学中，平行线和垂直线是非常基础但又非常重要的概念。
理解这两个概念对于学生在后续的学习中奠定了坚实的基础。
本文将对小学数学中的平行线与垂直线进行解析和理解。
1. 平行线的定义平行线是指在同一个平面内，永远也不会相交的两条直线。
它们的斜率是相等的，也就是说如果两条直线上任意一点的斜率相等，那么这两条直线就是平行线。
例如，图1中的AB和CD就是一对平行线。
图1：平行线的示意图2. 平行线的性质平行线具有以下几个重要的性质：（1）平行线上的任意两点之间的连线与另一条直线的交点，与第三条线的交点位置相等。
也就是说，如果两条平行线之间有一条直线与其中一条平行线相交，那么这条直线与另一条平行线的相交点与两条平行线之间的连线的位置是相等的。
（2）如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线之间的交角与与这两条平行线垂直的直线之间的交角相等。
3. 垂直线的定义垂直线是指在同一个平面内，两条直线的交角为90度的直线。
如果两条直线的交角为90度，那么这两条直线就是垂直线。
例如，图2中的EF和GH就是一对垂直线。
图2：垂直线的示意图4. 垂直线的性质垂直线具有以下几个重要的性质：（1）两条垂直线的斜率相乘等于-1。
也就是说，如果一条直线的斜率是k，另一条垂直于它的直线的斜率就是-1/k。
（2）垂直线上的任意两点之间的连线与一条直线的交点，与另一条垂直线的交点位置相等。
也就是说，如果一条直线与两条垂直线相交，那么这两条垂直线之间的交角与与这条直线垂直的直线之间的交角是相等的。
总结起来，平行线是不会相交的直线，而垂直线是交角为90度的直线。
它们在几何中有着广泛的应用，例如在形状的相似性质、平面图形的分类和构造等方面。
理解和掌握小学数学中的平行线和垂直线对学生的数学学习具有重要意义，也为他们进一步探索更深层次的数学知识打下了坚实的基础。
通过本文的介绍，希望读者对小学数学中的平行线与垂直线有更深入的理解。
数学篇学思导引在平面几何中，证明两条线段相等是一种常见的问题，其证明方法非常多，其中利用全等三角形对应边相等是证明线段相等的主要方法.但有些题目所给的图中没有现成的全等三角形，这就需要通过添加辅助线去构造全等三角形，再利用全等三角形的性质，找到解题的突破口.一、通过旋转构造全等三角形旋转前后，图形中的对应角的大小、线段的长短、面积的大小均不变.当三角形或正方形绕着图形的某个顶点顺时针（或逆时针）旋转一定角度以后，旋转前后的图形是全等的，其对应边及对应角是相等的.此外，旋转不同的角度（比如30°、45°、60°、90°等）还可以构造出新的图形（比如等边三角形、直角三角形等）、得到新的位置关系（垂直或平行），然后依据旋转后构造的条件即可顺利解题.例1如图1，四边形ABCD为正方形，DE//AC，AE=AC，AE与CD相交与F.求证：CE=CF.图1图1-1分析：此题ABCD是正方形，具有对称性，可以利用旋转图形来构造全等三角形.将△ADC旋转至△ABG处，可得到△ADC≌△ABG.然后再通过计算角度∠ABG和∠ABD，证得B、D、G三点共线.然后再利用BD是对角线，具有对称性，求得△ABG≌△CBG.从而证得△ADC≌△ABG≌△CBG，进而证明三角形ACG为等边三角形.再计算出相关角的大小，得出∠AEC=∠EFC=75°最后证明CE=CF.解：把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接CG，如图1-1.∵旋转前后的两个三角形全等，∴∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°又∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD=45°，∴∠ABG+∠ABD=135°+45°=180°，B、G、D共线，∴DG是∠AGC的角平分线，∴△AGB≌△CGB.∴AG=CG又∵△ADE≌△ABG，∴AG=AE，又∵AE=AC，∴AE=AG=AC=GC，∴△AGC为等边三角形，∴∠AGB=30°，∴∠DAE=∠BAG=∠ABD-∠AGB=45°-30°=15°，∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=45°-15°=30°，又∵AE=AC，∴∠AEC=（180°-30°）÷2=75°，又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°，如何构造全等三角形证明线段相等江苏省盐城景山中学孔佩佩28数学篇∴∠AEC =∠EFC ，∴△CEF 为等腰三角形，∴CE =CF .评注：此题图形比较简单，但等量线段、全等三角形较少，直接解答比较困难，可考虑旋转三角形来构造全等三角形，创造等量关系.将△ADE 旋转到△ABG 后，利用正方形的对称性证明G 、B 、H 、D 四点共线，然后利用等量关系证明△AGC 为等边三角形，进而证明△CEF 为等腰三角形，完成证明.二、通过补形构造全等三角形许多几何问题常因图形复杂、不规则而给解题带来困难，这时可以考虑利用补形的方法构造特殊图形，通过证明三角形全等来求解.具体的步骤如下：第一，作垂线或平行线，构造正方形、长方形或特殊三角形；第二，找等量关系，从补形后的整体图形中找全等三角形确定边角的等量关系，或找相似三角形得到比例关系；第三，通过计算得到新的等量关系证明线段相等.例2设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任意一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE .求证：PA =PF.图2图2-1分析：题中CF 与PF 构成的图形不完整，可以将其补全，经过分析发现补全后的图形是正方形，可以得到很多相等的线段，并求出一些角的度数.但题中的点P 是一个不确定的点，直接求解较难.不妨将图形问题转化为“数与式”的问题来解.设|AB |=a ，|BP |=b ，|CE |=c ，然后通过Rt△ABP ∽Rt△PEF 来求解出a 、b 、c 之间的关系.最后再分析出PA 与PF 之间的关系.解：过F 作FG ⊥CD 交CD 于G ，过F 作FE ⊥BC 交BC 于E ，如图2-1所示.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCE =90°，又∵CF 平分∠DCE ，∴四边形CEFG 是正方形，∴EF =CE ，设|AB |=a ，|BP |=b ，|CE |=c ，则|PC |=a -b ，|EF |=|CE |=c ，在Rt△ABP 中，tan∠BAP =BP AB =b a，在Rt△PEF 中，tan∠EPF =EF PE，∵PE =PC +CE =(BC -BP )+CE =(a -b )+c =a -b +c ，∴tan∠EPF =EF PE =c a -b +c，∵PF ⊥AP ，∴∠APF =90°，∴△BAP ∽△EPF ，∴∠BAP =∠EPF ，∴tan∠BAP =tan∠EPF ，即b a =c a -b +c，∴ac =ab -b 2+bc ，整理得c (a -b )=b (a -b )，∴c =b ，∴BP =CE =EF ，又∵△BAP ∽△EPF ，∴△BAP ≌△EPF ，∴PA =PF ，评注：本题通过补全图形的方法将不规则的图形放入两个正方形中，由于P 点为任意一点，构造△ABP ∽△PEF ，得到BP 与EF的比例关系.再结合CF 是对角线，将△ABP ∽△PEF 转化为△ABP ≌△PEF ，从而证明结论.证明线段相等的方法多种多样，构造全等三角形的方法灵活多变，同学们在解题时要努力挖掘题设特征，巧妙合理地构造全等三角形，这样才能使方法简便.学思导引29。
思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系． 作辅助线的方法主要有以下几种：(1)作平行线构造“A ”型或“X ”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．图11－S －1类型一 作平行线构造“A ”型或“X ”型相似1．如图11－S －2，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于点F ，若AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，求BF 的长．图11－S －22．如图11－S －3，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于点E ，交AB 于点F .求证：AE DE ＝2AF BF. 图11－S －33．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝12，连接DF 交AC 于点E . (1)如图△，当E 恰为DF 的中点时，请求出AD AB的值； (2)如图△，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出AD AB的值(用含a 的代数式表示)． 思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点F 作FG △AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题；乙：过点F 作FG △AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题；丙：过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题． 老师说：“这三位同学的想法都可以”．请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中AD AB的值． 图11－S －4类型二 作平行线转换线段的比4．如图11－S －5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，求AF AE的值． 图11－S －55．如图11－S －6，已知等边三角形ABC ，D 为AC 边上的一动点，CD ＝nDA ，连接BD ，M 为线段BD 上一点，∠AMD ＝60°，连接AM 并延长交BC 于点E .(1)若n ＝1，则BE CE ＝______，BM DM＝______； (2)若n ＝2，如图△，求证：BM ＝6DM ；(3)当n ＝________时，M 为BD 的中点(直接写出结果，不要求证明)．图11－S －66．2019·朝阳 已知：如图11－S －7，在△ABC 中，点D 在AB 上，E 是BC 的延长线上一点，且AD ＝CE ，连接DE 交AC 于点F .(1)猜想证明：如图△，在△ABC 中，若AB ＝BC ，学生们发现：DF ＝EF .下面是两位学生的证明思路：思路1：过点D 作DG △BC ，交AC 于点G ，可通过证△DFG △△EFC 得出结论；思路2：过点E 作EH △AB ，交AC 的延长线于点H ，可通过证△ADF △△HEF 得出结论． 请你参考上面的思路，证明DF ＝EF (只用一种方法证明即可)．(2)类比探究：在(1)的条件下(如图△)，过点D 作DM △AC 于点M ，试探究线段AM ，MF ，FC 之间满足的数量关系，并证明你的结论．(3)延伸拓展：如图△，在△ABC 中，若AB ＝AC ，∠ABC ＝2△BAC ，AB BC＝m ，请你用尺规作图在图△中作出AD 的垂直平分线交AC 于点N (不写作法，只保留作图痕迹)，并用含m的代数式直接表示FN AC的值． 图11－S －7类型三 作垂直证相似7．如图11－S －8，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AB 的中点，M ，N 分别为边AC ，CB 上的点，且DM ⊥DN .(1)求证：DM DN ＝BC AC； (2)若BC ＝6，AC ＝8， CM ＝5，直接写出CN 的长．图11－S －88．如图11－S －9，在△ABC 中，D 是BC 边上的点(不与点B ，C 重合)，连接AD . 问题引入：(1)如图△，当D 是BC 边的中点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________；当D 是BC 边上任意一点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________(用图中已有线段表示)．探索研究：(2)如图△，在△ABC 中，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO ，CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：(3)如图△，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO 并延长交AC 于点F ，连接CO 并延长交AB 于点E .试猜想OD AD ＋OE CE ＋OF BF的值，并说明理由． 图11－S －99．如图11－S －10，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别是AC ，AB 边上的点，连接EF .(1)如图△，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，则AE ＝________；(2)如图△，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且MF △CA ，求EF 的长；(3)如图△，若FE 的延长线与BC 的延长线相交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF BF的值． 图11－S －10详解详析1．解：如图，过点O 作OM △BC 交AB 于点M .∵O 是AC 的中点，OM ∥BC ，∴M 是AB 的中点，即MB ＝12a ， ∴OM 是△ABC 的中位线，OM ＝12BC ＝12b . ∵OM ∥BC ，∴△BEF ∽△MEO ，∴BF MO ＝BE ME ， 即BF 12b ＝c a 2＋c ，∴BF ＝bc a ＋2c . 2．证明：如图，过点D 作DG △CF 交AB 于点G .∵DG ∥CF ，D 为BC 的中点，∴G 为BF 的中点，FG ＝BG ＝12BF . ∵EF ∥DG ，∴AE DE ＝AF GF ＝AF 12BF ＝2AF BF . 3．解：(1)甲同学的想法：如图△，过点F 作FG △AB 交AC 于点G ，∴△AED ∽△GEF ，∴AD GF ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝GF .∵FG ∥AB ，∴△CGF ∽△CAB ，∴GF AB ＝CF CB. ∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝GF AB ＝CF CB ＝13. 乙同学的想法：如图△，过点F 作FG △AC 交AB 于点G ，∴AD AG ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝AG .∵FG ∥AC ，∴AG AB ＝CF CB. ∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝AG AB ＝CF CB ＝13. 丙同学的想法：如图③，过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝△G ，∠CFE ＝△GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴GD ＝CF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝△G ，∠B ＝△ADG ，∴△ADG ∽△ABC ，∴AD AB ＝DG BC .∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13. ∴AD AB ＝DG BC ＝CF BC ＝13. (2)如图△，过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝△G ，∠CFE ＝△GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF. ∵DE EF ＝a ，∴ED ＝aEF ， ∴DG ＝aCF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝△G ，∠B ＝△ADG ，∴△ADG ∽△ABC ，∴AD AB ＝DG BC . ∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13，即BC ＝3CF . ∴AD AB ＝DG BC ＝aCF 3CF ＝a 3. 4．解：取CF 的中点G ，连接BG .∵B 为AC 的中点，∴BG AF ＝12，且BG △AF . 又E 为BD 的中点，∴F 为DG 的中点，△EF BG ＝12，∴EF AF ＝14， ∴AF AE ＝43. 5．解：(1)当n ＝1时，CD ＝DA .∵△ABC 是等边三角形，∴BD ⊥AC ，∠BAC ＝60°，∴∠ADM ＝90°.又△△AMD ＝60°，∴∠MAD ＝30°，∴∠BAE ＝△BAC －△MAD ＝30°，即△BAE ＝△EAD ，∴AE 为△ABC 的中线，∴BE CE＝1. 在△AMD 中，DM ＝12AM (30°角所对的直角边等于斜边的一半)． ∵∠BAM ＝△ABM ＝30°，∴AM ＝BM ，∴BM DM＝2. (2)证明：△△AMD ＝△ABD ＋△BAE ＝60°，∠CAE ＋△BAE ＝60°，∴∠ABD ＝△CAE .又△BA ＝AC ，∠BAD ＝△ACE ＝60°，∴△BAD △△ACE (ASA)，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .如图，过点C 作CF △BD 交AE 的延长线于点F ，∴FC BM ＝CE BE ＝AD CD ＝12①，DM FC ＝AD AC ＝13②，由△×△得DM BM ＝16，∴BM ＝6DM . (3)△M 为BD 的中点，∴BM ＝MD .∵△BAD ≌△ACE ，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .∵△AMD ∽△ACE ，△BME ∽△BCD ，△AD AE ＝MD CE ，BM BC ＝ME CD， ∴AD ＝MD ·AE CE ③，CD ＝BC ·ME BM④， 由△×△得CD ＝5－12DA ，∴n ＝5－12. 6．解：(1)思路1：如图△，过点D 作DG △BC ，交AC 于点G .∵AB ＝BC ，∴∠A ＝△BCA .∵DG ∥BC ，∴∠DGA ＝△BCA ，∠DGF ＝△ECF ，∴∠A ＝△DGA ，∴DA ＝DG .∵AD ＝CE ，∴DG ＝CE .又△△DFG ＝△EFC ，∴△DFG ≌△EFC ，∴DF ＝EF .思路2：如图△，过点E 作EH △AB ，交AC 的延长线于点H .∵AB ＝BC ，∴∠A ＝△BCA .∵EH ∥AB ，∴∠A ＝△H .∵∠ECH ＝△BCA ，∴∠H ＝△ECH ，∴CE ＝EH .∵AD ＝CE ，∴AD ＝EH .又△△AFD ＝△HFE ，∴△DF A ≌△EFH ，∴DF ＝EF .(2)结论：MF ＝AM ＋FC .证明：如图△，由思路1可知：DA ＝DG ，△DFG ≌△EFC ，∴FG ＝FC .∵DM ⊥AG ，∴AM ＝GM .∵MF ＝FG ＋GM ，∴MF ＝AM ＋FC .(3)AD 的垂直平分线交AC 于点N ，如图△所示．连接DN ，过点D 作DG △CE 交AC 于点G .设DG ＝a ，BC ＝b ，则AB ＝AC ＝mb ，AD ＝AG ＝ma .∵∠ABC ＝2△BAC ，设△BAC ＝x ，则△B ＝△ACB ＝2x ，∴5x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°. ∵NA ＝ND ，∴∠A ＝△ADN ＝36°.∵∠ADG ＝△B ＝72°，∴∠NDG ＝△A ＝36°.又△△DGN ＝△AGD ，∴△GDN ∽△GAD ，∴DG 2＝GN ·GA .易知DG ＝DN ＝AN ＝a ，∴a 2＝(ma －a )·ma ，两边同除以a ，得m 2a －ma －a ＝0. ∵DG ∥CE ，∴DG ∶CE ＝FG △FC ＝DG △DA ＝1△m .∵CG ＝mb －ma ，∴FG ＝1m ＋1·m (b －a )， ∴FN ＝GN ＋FG ＝ma －a ＋1m ＋1m (b －a )＝m 2a －a ＋mb －ma m ＋1＝mb m ＋1， ∴FN AC ＝mbm ＋1mb ＝1m ＋1. 7．解：(1)证明：如图，过点D 作DP △BC 于点P ，DQ ⊥AC 于点Q ，∴∠DQM ＝△DPN ＝90°.又△△C ＝90°，∴四边形CPDQ 为矩形，∴∠QDP ＝90°，即△MDQ ＋△MDP ＝90°. ∵DM ⊥DN ，∴∠MDN ＝90°，即△MDP ＋△NDP ＝90°，∴∠MDQ ＝△NDP ，∴△DMQ ∽△DNP ，∴DM DN ＝DQ DP. ∵D 为AB 的中点，DQ ∥BC ，DP ∥AC ，∴DQ ＝12BC ，DP ＝12AC ，∴DQ DP ＝BC AC ，∴DM DN＝BC AC. (2)由题意得AQ ＝CQ ＝4，MQ ＝CM －CQ ＝5－4＝1，DQ ＝12BC ＝3，DP ＝12AC ＝4. ∵△DMQ ∽△DNP ，∴MQ NP ＝DQ DP ，∴NP ＝43. 又CP ＝PB ＝3，∴CN ＝3－43＝53. 8．解：(1)1△2 BD △BC(2)猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于OD △AD .理由：如图，分别过点O ，A 作BC 的垂线OE ，AF ，垂足分别为E ，F ，∴OE ∥AF ，∴OD ∶AD ＝OE △AF .∵S △BOC ＝12BC ·OE ，S △ABC ＝12BC ·AF ， ∴S △BOC ∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·OE ∶⎝⎛⎭⎫12BC ·AF ＝OE △AF ＝OD △AD . (3)猜想OD AD ＋OE CE ＋OF BF的值是1.理由如下： 由(2)可知：OD AD ＋OE CE ＋OF BF ＝S △BOC S △ABC ＋S △BOA S △ABC ＋S △AOC S △ABC ＝S △BOC ＋S △BOA ＋S △AOC S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 9．解：(1)△将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S △ABC ＝4S △AEF .在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5.∵∠EAF ＝△BAC ，∴Rt △AEF ∽Rt △ABC ，∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB)2，即(AE 5)2＝14，∴AE ＝2.5. (2)连接AM 交EF 于点O ，如图△，∵将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴AE ＝EM ，AF ＝MF ，∠AFE ＝∠MFE .∵MF ∥CA ，∴∠AEF ＝△MFE ，∴∠AEF ＝△AFE ，∴AE ＝AF ，∴AE ＝EM ＝MF ＝AF ，∴四边形AEMF 为菱形．设AE ＝x ，则EM ＝x ，CE ＝4－x .∵四边形AEMF 为菱形，∴EM ∥AB ，∴△CME ∽△CBA ，∴CM CB ＝CE CA ＝EM AB， 即CM 3＝4－x 4＝x 5，解得x ＝209，CM ＝43. 在Rt △ACM 中，AM ＝AC 2＋CM 2＝4103. ∵S 菱形AEMF ＝12EF ·AM ＝AE ·CM ， ∴EF ＝2×43×2094103＝4109. (3)如图△，过点F 作FH △BC 于点H ，∵EC ∥FH ，∴△NCE ∽△NHF ， ∴CN ∶NH ＝CE △FH ，即1△NH ＝47∶FH ，∴FH ∶NH ＝4△7. 设FH ＝4x ，NH ＝7x ，则CH ＝7x －1，BH ＝3－(7x －1)＝4－7x .∵FH ∥AC ，∴△BFH ∽△BAC ，∴BH ∶BC ＝FH △AC ，即(4－7x )△3＝4x △4，解得x ＝0.4，∴FH ＝4x ＝85，BH ＝4－7x ＝65.第11页/共11页 在Rt △BFH 中，BF ＝（65）2＋（85）2＝2， ∴AF ＝AB －BF ＝5－2＝3，∴AF BF ＝32.。
相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“A ”“X ”型例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值.解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1.解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ，∴BE ：EF=5：1.解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1.变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点,连结BE 并延长交AC 于F,求AF ：CF 的值.解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，，1==AE DE FEPE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DCBC DQBF ，EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 21==；TC BT EF BE =，DC BT 25=例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F ，求证：（证明：过点C作CG分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。
不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
.方法一：过E作EM方法二：过D作DN例4：在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。
线段相等的几种证法在数学教学过程中，证明线段相等是经常遇到的问题，选用恰当的方法，可取得事半功倍的效果．现依据教学经验，总结出几种证明线段相等的基本方法，以供参考．一、利用全等三角形的性质证明线段相等当所要证明的线段分属两个三角形时，应首先分析这两个三角形是否有等量关系，要证其全等尚缺少什么条件．然后通过证明其他三角形全等或运用其他方法，补足所缺条件．若无现成的三角形，需添加辅助线构成全等三角形．例1、已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，过O作直线交AB于E，交CD于F．求证：AE＝CF．分析：要证AE＝CF，需证在这两个三角形中有一对对顶角，又根据平行四边形的性质知道，对边平行，对角线互相平分．此题得证．例2、正方形ABCD，G为AB上任一点，EF⊥DG，交DA、CB分别于E、F．求证：EF＝DG．分析：（如图1）此题EF不在三角形中，可过E作EH⊥BC于H，构成Rt△EHF再利用全等三角形的性质证明线段相等．二、用中介线段证明线段相等当所要证明的两条线段中有一条或两条都不属于三角形的边，且不在一条直线上时，一般要寻求与两线段相等的第三条线段作媒介．例3、已知：△ABC中，∠B的平分线交AC于D，过D作DE∥BC，交AB于E，过E 作EF∥AC，交BC于F．求证：BE＝CF．分析：所要证的BE与CF两条线段不是同一三角形的边．由题设可知四边形EFCD为平行四边形，得CF＝DE，所以需证BE＝DE，由角平分线及等腰三角形的判定可证．本题中是以DE作为媒介．三、利用等腰三角形的判定或平行四边形的性质证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法．例4、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F．求证：AF＝EF．分析：延长AD到G，使DG＝AD，连结BG．得到△ADC≌△GDB，可知AC＝GB，∠FAE ＝∠BGE．再由BE＝AC推出BE＝BG．利用对顶角相等和等角对等边可得出结论．四、利用三角形（或梯形）的中位线证明线段相等若两条线段在同一直线上，且图中有关线段中点，常证明两线段是过三角形一边的中点且平行于另一边的直线所分第三边的两部分；或利用平行四边形的性质来证对角线相互平分．应用这种方法证题，若图形不完整，可适当添加辅助线将图形补充完整．例5、四边形ABCD中，对角线BD与AC相等且相交于E，M、N分别为AD、BC的中点，线段MN与AC、BD分别相交于F、G．求证：EF＝EG分析：要证EF＝EG，需证∠EFG＝∠EGF．此题中出现了两个中点，但这两点的连线不是中位线，所以应增加AB的中点P，连结MP、NP，利用三角形中位线性质，可证MP＝NP、NP∥AC和MP∥BD．再利用平行线性质和等腰三角形的判定可证结论．五、利用线段中垂线和角平分线的性质证明线段相等当题目中出现线段垂直平分线或角平分线时，常利用线段中垂线的性质和角平分线的性质证明线段相等．例6、已知：ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O，∠B的平分线交AD于I．求证：（1）OA＝OB＝OC；（2）I到BC、CA、AB的距离相等．分析：由于ABC是等腰三角形，AD为底边上的中线，同时也是底边上的高，所以O点既在BC边的垂直平分线上，又在AB的垂直平分线上．利用线段垂直平分线的性质易证得⑴，利用角平分线的性质易证得⑵．六、利用相似三角形或比例线段证明线段相等若题目中出现比例线段，四条比例线段所在的两个三角形不相似或不能构成两个三角形．此时需要添加辅助线，作平行线转移比例，构造出相似三角形，然后利用相似三角形的性质来证．例7、直线EFD与△ABC的边AB、AC分别交于F、D，交CB边的延长线于E，且＝求证：BE＝AD分析：（如图2）由四条线段成比例，但这四条线段又不能构成两个三角形，可利用作平行线构造相似三角形．过D作DG∥BC，交AB于G，可得出△GDF∽△BEF、△ADG∽△ACB，由相似三角形的性质得出＝＝通过转移比例得出：＝，证得两线段相等．上述几种证明线段相等的方法，有一定的规律可循．但在遇到此类问题是仍要具体问题具体分析，灵活运用解题方法．在教学中，通过归类总结，使学生掌握解答问题的技巧，可以提高解题效率，锻炼学生的思维能力，从而提高学生素质．如果在教学中能够引导学生灵活地使用这些方法，则可使学生在解题中拓展思路，培养其分析问题解决问题的能力，提高其数学思维品质。
相似三角形-基本知识点+经典例题(完美打印版)知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)假如两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念（1）假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，假如说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，假如b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 现在有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 差不多性质：注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =⇔=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=⇔=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （5）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么ba n f db m ec a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）如此能够减少未知数的个数，这种方法是有关比例运算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：b a f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 注： ①重要结论：平行于三角形的一边,同时和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.B此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. ③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 注：平行线分线段成比例定理的推论： 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，假如在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
几何探秘相似与全等的证明在我们的数学世界中，几何图形就像一个个神秘的密码等待我们去破解。
其中，相似与全等的证明无疑是打开几何大门的重要钥匙。
相似和全等是几何中两个非常重要的概念。
全等意味着两个图形在形状和大小上完全相同，而相似则是指两个图形形状相同，但大小可能不同。
要证明两个三角形全等，我们有多种方法可以运用。
比如“边边边”（SSS），如果两个三角形的三条边对应相等，那么它们就是全等的。
想象一下，三条边都一模一样，那这两个三角形能不一样吗？肯定是完全重合的。
再比如“边角边”（SAS），如果两条边及其夹角对应相等，那这两个三角形也是全等的。
这里的夹角就像是一个关键的枢纽，连接着两条边，决定了三角形的形状和大小。
还有“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS），通过角与边的特定组合来确定三角形的全等。
相似三角形的证明方法也不少。
“两角对应相等，两三角形相似”，这就好像是通过两个三角形的内在“气质”——角度，来判断它们是否相似。
因为角度决定了三角形的形状，如果两个三角形的对应角都相等，那它们的形状必然相同，也就相似了。
“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，这里不仅考虑了边的比例关系，还关注了夹角，就像是给相似加上了双重保险。
“三边对应成比例，两三角形相似”，则是从三角形的整体框架出发，通过边的比例关系来判断相似。
在实际的证明过程中，我们首先要仔细观察图形，找出可能的全等或相似条件。
这就像是在一堆拼图碎片中寻找关键的几块，需要我们有敏锐的观察力。
比如说，看到两个直角三角形，我们可能会先考虑“斜边、直角边”（HL）这个特殊的全等判定方法。
有时候，题目中不会直接给出我们需要的条件，这就需要我们通过一些辅助线来创造条件。
辅助线就像是我们解题的秘密武器，用得好就能柳暗花明。
比如在证明全等时，通过作垂线、平行线等，构造出全等的三角形或者找到对应的边和角。
再来说说证明过程中的逻辑推理。
每一步都要有依据，不能凭空想象。
初三相似三角形知识点以及经典例题相似三角形是指形状相同但大小不同的三角形。
它是相似多边形中最简单的一种。
如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。
相似三角形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
比例线段是指四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段就是成比例线段，简称比例线段。
需要注意的是，比例线段是有顺序的，而且有比例式的定义。
在比例式中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，a、c叫比例前项，b、d叫比例后项。
如果b=c，即a：b=c：d，那么b叫做a、d的比例中项，此时有b=ad。
比例有一些基本性质和定理。
比如，a:b=c:d等价于ad=bc；a:b=b:c等价于b=ac/b；同时，比例的分母不能为0.还有更比性质、反比性质、合、分比性质等。
需要注意的是，由一个比例式只能化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad=bc，除了可化为a:b=c:d等。
比例线段也有一些相关定理，如三角形中平行线分线段成比例定理和平行线分线段成比例定理。
其中，三角形中平行线分线段成比例定理指的是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；而平行线分线段成比例定理指的是三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。
例题1：已知线段a=6 cm，b=2 cm，则a、b、a+b的第四比例项是18 cm，a+b与a-b的比例中项是3 cm。
例题2：若(a+b)/(b+c)=(a-c)/(c-a)，则m=1.相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
用符号“∽”表示，读作“相似于”。
对应角和对应边可以通过对应顶点的字母来表示，这样更容易找到相似三角形的对应角和对应边。
相似三角形的对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
相似三角形对应角相等，对应边成比例。
相似三角形有三个等价关系：反身性、对称性和传递性。
反身性是指任何三角形都与自己相似。
