一、如何证明三角形相似
例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD
例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD
求证：△DBE ∽△ABC
例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三
角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF •AC=BC •FE
例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900
，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，
交BA 的延
长线于点D 。
求证：（1）MA 2
=MD •ME ；（2）MD ME
AD
AE =2
2 例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。
三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且
3
1
==AD AF AB EB 。求证：∠AEF=∠FBD
例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线， 求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC
例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD
例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG
例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BF
A
B
C
D
E
F
G
A
B C
D E M 12
A B C D E F
G 1
2
34A
B
C D A
B C D E F
K A B C
D E F
A
B
C
D
S P
R
Q
O
A
B C
D E F
A B
C
D
E
F O 123
A
B
C
D
F
G
E
（答案）
例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。
例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°
在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD
例3分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴BC
AB
=
BE
BD
即：
BC
BE
=
AB
BD
△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且BC
BE
=
AB
BD
∴△DBE∽△ABC
例4分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形
E
(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。
A
B
C
D
E
1
2
A
A
B
B C C
D
D
E
E
1
2
4
1
2
(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA 解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，
由勾股定理可求得AE=a
2，在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且2
=
=
AE
EC
EF
AE
所以△EAF∽△ECA 例5 分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过D点作DK∥AB，交BC于K，
∵DK∥AB，∴DF：FE=BK：BE
又∵AD=BE，∴DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC
即DF：FE= BC：AC，∴DF•AC=BC•FE
例6 证明：（1）∵∠BAC=900，M是BC的中点，∴MA=MC，∠1=∠C，
∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=900-∠B，∴∠1=∠D，
∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴
MA
ME
MD
MA
=，∴MA2=MD•ME，
（2）∵△MAE∽△MDA，∴
MD
MA
AD
AE
=，
MA
ME
AD
AE
=∴
MD
ME
MA
ME
MD
MA
AD
AE
=
•
=
2
2
评注：命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=AD•AC。
命题2 如图，如果AB2=AD•AC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。
B
E
A
C
D
1
2
