15.2.2 完全平方公式

《15.2.2完全平方公式》教案教学目标1．理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算。

2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．3. 利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力。

4. 进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义。

5 在灵活运用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神。

鼓励学生算法多样化，培养学生的方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神。

教学重点完全平方公式的推导过程、结构特征、几何解释及灵活运用。

教学难点理解完全平方公式的结构特征并能灵活运用公式进行计算。

教学手段：多媒体辅助教学。

教学程序：（一）创设情境，引出课题问题1：花园小区有一块边长为a 的正方形绿地，为了扩大绿地的面积，要把边长增加b 。

你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？不同的表示方法之间有什么关系呢？学生独立思考后交换各自的解法： 方法一：绿地的面积是 (a+b) 2方法二：绿地的面积是a 2+ab+ab+b 2=a 2+2ab+b 2因为(a+b)2和a 2+2ab+b 2都表示绿地的面积，所以(a+b)2= a 2+2ab+b 2。

问题2：瑞安小区为了更好的美化环境，要把边长为a 的正方形花园按照图纸分为一、二、三、四部分,分别种植四种鲜花。

你能用几种方法表示第一部分面积?不同的表示方法之间有什么关系呢？学生独立思考后交换各自的解法：方法一: 第一部分的面积是(a-b)2方法二：第一部分的面积是a 2-b(a-b)-b(a-b)-b 2=a 2-ab+b 2-ab+b 2-b2 =a 2-2ab+b 2因为(a-b)2和a 2-2ab+b 2都表示第一部分的面积，所以(a-b)2=a 2-2ab+b 2。

【设计意图】问题是知识、能力的生长点，通过富有实际意义的问题能激活学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考，自然引出本节课的主要内容。

15.2.2 完全平方公式1【课题】：完全平方公式1【设计与执教者】：邝维煜纪念中学朱绍恩邮箱：zsezhu@【教学时间】：【学情分析】：（适用于特色班）学生已经掌握了同类项的定义、合并同类项法则的正确应用、多项式乘以多项式法则；学生已经能够整理出公式的右边形式。

这节课的目的就是让学生从特殊性的计算上升到一般性的规律,得出公式，并能正确的应用公式。

【教学目标】：（一）教学知识点1．完全平方公式的推导及其应用．2．完全平方公式的几何解释．（二）能力训练要求1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．（三）情感与价值观要求在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神．【教学重点】：完全平方公式的推导过程及应用．【教学难点】：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．【教学突破点】：【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、创设情境，激发兴趣请同学们探究下列问题：（出示投影片）广药一队俱乐部为鼓励球员积极进攻，设立进球奖励，一场球赛中进一个球，俱乐部就奖励全队一万元，进两个球，俱乐部就给每个球奖两万元，进三个球，俱乐部就给每个球奖三万元，…（1）第一场广药一队进了a个球，则俱乐部一共给了球队多少万元奖金？（2）第二场广药一队进了b个球，则俱乐部一共给了球队多少万元奖金？（3）第三场广药一队上半场进了a个球，下半场进了b个球，则俱乐部一共给了球队多少万元奖金？（4）球队第三场的进球数与前两场的进球数总和相同，请问球队第三场得到的奖金数与前两场他们得到的奖金总数相等吗？自主探究，积极抢答：（1）第一天俱乐部一共给了球队a2万元奖金．（2）第二天俱乐部一共给了球队b2万元奖金．（3）第三天俱乐部一共给了球队（a+b）2万元奖金．（4）球队第三天得到的奖金总数与前两天他们得到的奖金总数比较，应用减法．即：（a+b）2 —（a2+b2）万元我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方，这倒是个新问题．老师需及时表扬学生的观察力，这正是我们这节课要研究的问题．从学生熟悉的实例引入，体现了数学知识源于生活，调动学生学习的积极性。

1 5．2．2完全平方公式教学目标①经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一步发展符号感和推理能力．②会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．③了解公式的几何背景，进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．教学重点与难点重点：(a±b)2=a2±2ab+b2的推导及应用．难点：公式的结构特征及教科书P184例5．教学准备投影仪；多媒体课件；小黑板,边长为a、b的两种正方形卡片每小组一张；长为a、宽为b的长方形卡片每小组一张．教学设计引入同学们，前一节课我们已经探究了一种特殊形式的多项式乘法，学会了平方差公式的一些简单应用．今天我们在这个基础上要继续学习另一种特殊形式的多项式乘法．下面请同学们像上一节课一样，自己来探究下面的问题：(1)完全平方公式也是多项式乘法运算中一个重要的公式，由于学生在前面已经接触过乘法公式推导的思路和方法，所以在此引导他们再次自主推导即可．在推导公式的过程中，要重视学生对运算依据的理解与叙述，强调推理，培养他们的代数推理能力、用数学语言进行表达的能力．探究计算下列各式，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=(2)(m+2)2=(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=(4)(m-2)2=注：引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．(2)这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算．举例：再举几个这样的运算例子．让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．验证我们再来计算(a+6)2，(a-b)2．公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例——归纳——猜想——验证——用数学符号表示．概括完全平方公式及其形式特征．注：教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因．还可以引导学生将(a-b)2的结果用(a+b)2来解释：(a-b )2={a+(-b)]2=a 2+2a(-b)+(-b)2=a 2-2ab+b 2(3)对公式(a-b)2=a 2-2ab+b 2的多角度解释，是为了加深学生对公式中字母a 、b 的广泛意义的理解，并再次让学生体会加、减法的互相转化与统一应用教科书第154页例3运用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2 (2)(y-12)2 引导学生用如下的填空形式完成例3：解：(1)∵(4m+n)2是__与__和的平方，(2)∵(y -12)2是__与__和的平方，注：可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课堂效率．(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a 、b 进行对照，进一步体会字母a 、b 的含义，加深对字母含义广泛性的理解．(2)在具体计算时，当二项式的项不再是单独的数或字母时，或者项是小数时，往往容易出现运算错误，如例1第(1)小题，易错解得(4m)2=4m 2，通过这样的填空，可引起学生的思考、讨论，有助于学生辨析公式，熟悉公式的结构特征，继而正确进行运用．教科教科书第154页例4运用完全平方公式计算：(1)1022(2)992此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．注：运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，教学时可让学生自己独立解决此问题．巩固教科书第155页练习1、2练习1采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(3)由两个大组完成，(2)(4)由另两个大组完成；练习2由学生独立完成，投影仪显示两位学生的完成情况．注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标．利用投影仪可以提高课堂效率。

2019-2020学年八年级数学上册《15.2.2 完全平方公式（一）》教案人教新课标版课型：新授教学目标1．知识与技能会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算，形成推理能力．2．过程与方法利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公式．掌握完全平方公式的计算方法．3．情感、态度与价值观培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．重、难点与关键1．重点：完全平方公式的推导和应用．2．难点：完全平方公式的应用．3．关键：从多项式与多项式相乘入手，推导出完全平方公式，•利用几何模和割补面积的方法来验证公式的正确性．教具准备制作边长为a和b的正方形以及长为a宽为b的纸板．教学方法采用“情境──探究”教学方法，让学生在所创设的情境中领会完全平方公式的内涵．教学过程一、创设情境，导入新知【激趣辅垫】寓言故事：请一位学生讲一讲《滥竽充数》的寓言故事．【学生活动】由一位学生上讲台讲《滥竽充数》的寓言故事，其他学生补充．【教师活动】提出：你们从故事中学到了什么道理？（寓德于教）【学生发言】比喻没有真才实学的人，混在行家里充数，或以次货充好货．【教师引导】对！所以我们在以后的学习和工作中，千万别滥竽充数，一定要有真才实学．好．今天同学们喊得很响亮，我要看看有没有南郭先生，请同学们完成下面的几道题：（1）（2x－3）2；（2）（x+y）2；（3）（m+2n）2；（4）（2x－4）2．【学生活动】先独立完成以上练习，再争取上讲台演练，（1）（2x－3）2=4x2－12x+9；（2）（x+y）2=x2+2xy+y2；（3）（m+2n）2=m2+4mn+4n2；（4）（2x－4）2=4x2－16x+16．【教师活动】组织学生通过上面的运算结果中的每一项，观察、猜测它们的共同特点．【学生活动】分四人小组，讨论．观察，探讨，发现规律如下：（1）•右边第一项是左边第一项的平方，右边最后一项是左边第二项的平方，中间一项是它们两个乘积的2倍．（2）左边如果为“+”号，右边全是“+”号，左边如果为“－”号，它们两个乘积的2•倍就为“－”号，其余都为“＋”号．【教师提问】那我们就利用简单的（a+b ）2与（a －b ）2进行验证，请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．【学生活动】计算出（a+b ）2=a 2+2ab+b 2；（a －b ）2=a 2－2ab+b 2，完成后，•一位学生上讲台板演．【教师活动】利用学生的板演内容，引出本节课的教学内容──完全平方公式． 归纳：完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2；（a －b ）2=a 2－2ab+b 2．语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． 为了让学生直观理解公式，可做下面的拼图游戏．【拼图游戏】解释：（1）现有图1所示的三种规格的硬纸片各若干张，•请你根据二次三项式a 2+2ab+b 2，选取相应种类和数量的硬纸片，拼出一个正方形，•并探究所拼出的正方形的代数意义．（2）你能根据图2，谈一谈（a －b ）2=a 2－2ab+b 2吗？【课堂活动】第（1）题由小组合作，在互动中完成拼图游戏，比一比，哪个四人小组快？第（2）题，可以借助多媒体课件，直观地演示面积的变化，帮助学生联想到（a －b ）2=a 2－b 2－2b （a －b ）=a 2－2ab+b 2．二、范例学习，应用所学【例1】运用完全平方公式计算：（1）（－x －y ）2； （2）（2y －13）2 （1）解法一：（－x －y ）2=[（－x ）+（－y ）] 2=（－x ）2+2（－x ）（－y ）+（－y ）2=x 2+2xy+y 2；解法二：（－x －y ）2=[－（x+y ）] 2=（x+y ）2=x 2+2xy+y 2．（2）解法一：（2y －13）2=（2y ）2－2·2y ·13+（13）2 =4y 2－43y+19．解法二：（2y －13）2=[2y+（－13）] 2 =（2y ）2+2·2y ·（－13）+（－13）2 =4y 2－43y+19． 【例2】运用乘法公式计算99992． 解：99992=（104－1）2=108－2×104+1=100000000－20000+1=99980001．三、随堂练习，巩固新知【基础训练】（1）（3a －2b ）2； （2）（2xy+3）2；（3）（－ab+13）2；（4）（7ab+2） 【拓展训练】（1）（－2x －3）2； （2）（2x+3）2；（3）（2x －3）2；（4）（3－2x ）2．【教师活动】在学生完成“拓展训练”之后，让学生观察一下结果，看看有什么规律．【学生活动】分四人小组合作交流，寻找规律如下：把以上所有的题目都看作两个数的和的完全平方（把减去一个数看作加上一个负数），如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项都是正的，如果两个数具有不同的符号，•则它们乘积的2倍这一项就是负的．【探研时空】已知：x+y=－2，xy=3，求x 2+y 2．四、课堂总结，发展潜能本节课学习了（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2，全平方公式的结构特征．公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．两个乘法公式，在应用时，（1）•要了解公式的结构和特征．让住每一个公式左右两边的形式特征，记准指数和系数的符号；（2）掌握公式的几何意义；（3）弄清公式的变化形式；（4）注意公式在应用中的条件；（5）应灵活地应用公式来解题．五、布置作业，专题突破课本P156习题15．2第3、4、8、9题．备用题：计算： 50.012 49.92计算： 2)4(y x - 222)43(c ab b a - -x 5( ）2= 4210y xy +- )3)(3(b a b a --+ 2)1(x x + 2)1(xx - 六、 板书设计七、教学反思：。

§15.2.2完全平方公式主备人许冬荣预习自测：1.两数和（或差）的平方，等于它们的加（或减）它们的 .2.()2-= .a b+= . ()2a b3. ()23y-= .x+= . ()254.()21--= . ()2a+= .4m n5.x2+4x+ =（x+2）2. 9x2+ +49y2=（3x-7y）2..一、学习目标: 经历探索完全平方公式的推导过程；会推导完全平方公式，并能运用完全平方公式进行简单的运算；培养自己的思维条理性和表达能力．重点：完全平方公式的灵活应用。

难点：完全平方公式的推导过程、结构特点.二、预习提纲：1.根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2 =__________________.2.思考并完成P153的探究⑴（p+1）2=（p+1）（p+1）=___________；⑵（m+2）2=__________；⑶（p-1）2=（p-1）（p-1）=____________；⑷（m-2）2=__________.结果中有两个数的________，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数____的______,计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___你发现了：_____________________________________________________ .用公式表示为：_____________________ ,这个公式叫做______________.3.完成P154的思考______________________________________________.4.细读P154的例3、4，完成P155的练习1解：⑴___________________________⑵_____________________________________________________ ___________________________⑶__________________________⑷_____________________________________________________ __________________________5.完成P155的思考，完成P155的练习2解：⑴__________________________⑵_____________________________________________________ __________________________三、讨论与交流要求：以小组为单位对预习提纲的内容展开交流，并准备展示内容.四、展示与点评要求：以小组为单位对预习提纲的内容进行展示，其他小组进行质疑、点评，教师做适当补充.五、当堂检测：A 组：1.下列计算正确的是（ ）A ．（m-1）2=m 2-1B ．（x+1）（x+1）=x 2+x+1C ．（12x-y ）2=14x 2-xy-y 2 D ．（x+y ）（x-y ）（x 2-y 2）=x 4-y 42.（1）（-3x+4y ）2=_________（2）x 2-4xy+________=（x-2y ）2．3.将正方形的边长由acm 增加6cm ，则正方形的面积增加了（ ）A ．36cm 2B ．12acm 2C ．（36+12a ）cm 2D ．以上都不对4.（1）（-2a-b ）2=_________ （2）a 2+b 2=（a+b ）2+_________． （3）-x 5( ）2= 4210y xy +-.B 组：5.运用完全平方公式计算：⑴ 2)4(y x - ⑵ （y-12）2 ⑶2)1(x x +⑷ )3)(3(b a b a --+ ⑸2104 ⑹299.996.计算 （1）（x+3）2-x 2 （2）（x+5）2 -（x-2）（x-3）C 组：7.在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？224139y xy x +-，442+-x x ,2161a +，12-x , 22y xy x ++8.如果3642++kx x 是一个完全平方公式，则k 的值是多少？六、小结：你学会了什么？完全平方公式与平方差公式有什么区别？讨论交流。

人教版数学八年级上册15.2.2《完全平方公式》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册15.2.2《完全平方公式》是初中数学中的一部分，主要让学生掌握完全平方公式的概念和应用。

本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘法、平方根的基础上进行学习的，对于学生来说，完全平方公式较为抽象，需要通过具体例子让学生理解和掌握。

二. 学情分析学生在学习本节内容时，已经具备了一定的数学基础，但对于完全平方公式，由于其抽象性，学生可能需要通过具体的例子和实际操作来理解和掌握。

在教学过程中，需要关注学生的学习情况，对于理解有困难的学生，需要给予个别辅导和指导。

三. 教学目标1.让学生理解完全平方公式的概念和意义。

2.让学生掌握完全平方公式的运用和计算方法。

3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.完全平方公式的概念和意义。

2.完全平方公式的运用和计算方法。

五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子让学生理解和掌握完全平方公式。

2.采用小组合作学习法，让学生在小组内讨论和探究，培养学生的合作精神和解决问题的能力。

3.采用问题驱动法，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和主动性。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。

2.准备黑板和粉笔，用于板书和演示。

3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节内容，例如：“一个正方形的边长为a，求它的面积。

”让学生思考和讨论，引导学生发现正方形的面积可以表示为a^2，进而引出完全平方公式的概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现完全平方公式的定义和表达式，同时给出一些具体的例子，让学生观察和分析，引导学生理解和掌握完全平方公式的概念和意义。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组给出一些数字，要求学生运用完全平方公式进行计算。

在学生练习的过程中，教师进行巡回指导，帮助学生解决遇到的问题。