专题二 从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论

数学分支学科的历史发展摘要：数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。

大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。

这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。

在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。

本文简要介绍数学三大核心领域中十几门主要分支学科的有关历史发展情况。

关键字：代数学几何学分析学代数学范畴一、算术算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。

另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。

现在一般所说的“算术”，往往指研究自然数(正整数)、分数、小数的简单性质，及其加、减、乘、除、乘方、开方运算法则的一门学科,是数学中最基础的部分,中国古代将数学和数学书也统称为算术。

如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。

作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。

算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。

它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。

自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。

日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。

为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。

现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。

它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。

15世纪，它被改造成现在的形式。

在印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。

19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。

专题02从求根公式谈起求根公式是代数方程研究中的重要工具，它能够用一种通用的形式来表示代数方程的根。

求根公式的提出为我们解决代数方程的根提供了一种统一的方法，极大地简化了计算的复杂度。

本文将从求根公式的历史背景、定义与基本概念、应用范围等方面进行论述。

求根公式最早可以追溯到古希腊时期。

柏拉图学派的代表人物尤西庇德斯研究了一元二次方程，并发现了一种求根公式。

他的求根公式是基于几何方法的，将二次方程的根与长度相关联。

然而，这种方法并不具有普遍性，只适用于特定的情况。

随着代数学的发展，学者们继续研究求根公式，希望能够找到更加一般的解法。

在16世纪，意大利数学家卡尔达诺首次提出了一元三次方程的求根公式。

他发现了一种与立方根相关的关系，可以用来求解三次方程。

这一发现极大地推动了代数方程的研究，成为了代数学中的里程碑之一、然而，卡尔达诺的求根公式仍然是特定的，只适用于特定的情况。

到了16世纪末，法国数学家维埃中将卡尔达诺的研究推广到了一元四次方程。

他发现了与四次方根相关的公式，并证明了一元四次方程的根可以用这个公式求得。

这一发现引起了广泛的关注，对代数方程的求根问题提出了新的理论框架。

然而，尽管求根公式在特定情况下有很高的实用性，但是随着研究的深入，人们发现了一些限制。

19世纪数论领域的研究引发了对求根公式的普适性的质疑。

德国数学家罗瓦斯基斯基证明了一元五次方程不存在通解，也就是说，不能用一个通用的求根公式来表示其根。

这一发现颠覆了人们对求根公式的传统认识，改变了代数方程研究的方向。

尽管无法用通用的求根公式来解决一元五次方程，但是数学家们发展了许多方法来处理代数方程的根。

例如，拉格朗日引入了群论的概念，用一个n维空间来表示一个n次代数方程的根，奠定了代数方程理论的基础。

另外，高斯提出了复数的概念，将方程的根从实数域扩展到复数域，从而解决了无理根的问题。

虽然一元高次方程没有一般的求根公式，但二次方程、三次方程和四次方程都存在通用的求根公式。

galois定理伽罗瓦理论（Galois Theory）是数学的一个重要分支，主要研究域扩张和自同构群的关系。

以下是关于伽罗瓦定理的详细介绍。

首先，伽罗瓦定理描述了一个多项式的根与该多项式在某个域上的分裂关系。

具体来说，如果一个多项式在某个域上可因式分解为若干个线性因子，那么这些线性因子对应的根就是这个多项式的根。

也就是说，一个多项式在某个域上的因式分解与其根之间存在一一对应关系。

其次，伽罗瓦定理还指出了域扩张和自同构群之间的关系。

对于一个给定的域扩张，存在一个与其相关的自同构群，这个自同构群就是这个域扩张的自同构群。

也就是说，任何给定的域扩张都与一个自同构群相关联。

这个定理在代数中具有广泛的应用，可以用来研究各种代数结构和性质。

此外，伽罗瓦定理还可以用来解决一些著名的数学问题。

例如，费马大定理就是通过伽罗瓦定理得以解决的。

费马大定理是指一个整数幂不可能被分解为两个大于1的整数幂的和。

尽管费马声称自己已经证明了这一定理，但他的证明一直未被找到。

直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）利用伽罗瓦定理证明了费马大定理，这一证明被广泛接受并被认为是最终的证明。

除了在数论中的应用，伽罗瓦定理还在其他数学领域中有着广泛的应用。

例如，在几何学中，伽罗瓦定理可以用来研究曲线和曲面在某个域上的性质和结构；在代数学中，它可以用来研究各种代数结构和性质；在组合数学中，它可以用来研究组合问题和图论问题等。

总之，伽罗瓦理论是一个非常重要的数学分支，它不仅在数论和代数中有广泛的应用，还对整个数学的发展产生了深远的影响。

通过深入研究和探索伽罗瓦理论的各种应用和性质，我们可以更好地理解和掌握数学的内在规律和本质，推动数学科学的发展和进步。

galois定理
摘要：
1.介绍伽罗华定理的背景和概念
2.阐述伽罗华定理的证明方法
3.分析伽罗华定理在数学领域的重要性
4.总结伽罗华定理的影响和应用
正文：
伽罗华定理是数学领域的一个重要定理，它由法国数学家埃瓦里斯特·伽罗华于1832 年提出。

伽罗华定理主要研究的是关于代数方程的解的性质，它指出了如何通过代数方法来判断一个n 次代数方程是否有解，以及解的个数。

伽罗华定理的证明方法比较复杂，需要引入一些抽象的数学概念，例如群和域。

简单来说，伽罗华定理的证明基于一个重要的数学原理，即拉格朗日定理。

拉格朗日定理指出，如果一个代数方程有解，那么它的解的个数等于某个特定的子空间的维数。

伽罗华定理则进一步说明了如何计算这个子空间的维数。

伽罗华定理在数学领域具有重要的地位。

它不仅为代数学的发展奠定了基础，而且也对其他数学领域产生了深远的影响。

例如，伽罗华定理在数论、几何学、拓扑学等领域都有重要的应用。

中学生看得懂的伽罗瓦理论
解决五次方程的求根问题，不知是多少数学家梦寐以求的愿望，然而群论一出手就一劳永逸地解决了N次方程的求解问题。

解决高次方程求根问题的群论已足够强大，但是群论的魅力还远不止如此。

在此之后群论又使困扰人类几千年的古希腊三大作图难题直接变成了群论的一个普通推论。

三大古典作图难题是：三等分任意角；倍立方；化圆为方。

虽然在群论1846年公开前的1837年旺尔策（Wantzel，1814～1848）曾用代数法证明过前面的两个，但是这三大难题，其本质上都属于群的问题，用群论来解答才清晰又本质。

不可作的原因，是因为这些作图中的某些点线，超出了尺规作图所能作出的点线的群，所以习惯上最终的定论都归入到了群论的范畴。

群论还具有广泛的结合性，很多物理、化学、晶体、电子、通信……等领域中都可以看到群论的身影，很多难题运用群论的思想都可以迎刃而解。

群论，可以说是站在更高的思维层次来看问题，这相当于用高维去研究低维，于是在低维里无法看清的东西在高维里就变得纤毫毕现了。

拿现在流行的一句话来说，就是降维打击。

群论，跳出了具体的计算而考察整体的结构，开创了从研究个体到研究群体的转变，进而敲开了近世代数的大门，将数学推上了一个全新的境界----抽象代数。

群论，一朵璀璨的思想之花，应该早点认识它！
本文试着用中学知识的语言来解释一下群论，希望能为群论的推广发挥点作用。

伽罗瓦理论用群论的方法来研究代数方程的解的理论。

在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。

早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。

在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。

但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。

三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。

从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。

经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。

19世纪上半叶，阿贝尔受高斯处理二项方程(p为素数)的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。

他还发现一类能用根式求解的特殊方程。

这类方程现在称为阿贝尔方程。

阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。

伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作)，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。

到1832年他完全解决了这个问题。

在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。

1846年他的手稿才公开发表。

伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。

伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。

在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。

伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。

戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。

随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。

伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。

1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。

伽罗瓦群与高次方程的代数解　李阳年轻的数学家伽罗瓦倒在一场决斗之中生前遭遇了种种的不平和不公在伽罗瓦理论中高于四次本文即将以一种简约的方式向大家介绍这个重要结论的求证过程伽罗瓦理论高次方程不可解我们接触到了一次和二次方程当方程的次数超过二次的时候直到１５世纪末但是不久和四次方程的解决方案指寻找到代数解然而欣喜过望的人们　其后的三百年间拉格朗日等人的努力相继以失败告终在１８２４年一般的五次方程或更高次代数方程的根而最终的明确论断其人随后死于决斗数学史上的一大悲剧数学的发展史上真是多灾多难伽罗瓦解决这个问题的基础理论是他发现的关于群和域的概念高次方程是否有代数解高次方程的一般方程不可能用根号求解让我们一起来探讨整个求证的过程可解群如果存在某个正规群列Ｇ１Ｇｒ＝１它的每个因子群ｉ＝０，１，ｒ－１　例　如Ｓ３Ａ３１中故Ｓ３是可解群Ａ４Ｋ４１中Ｋ４／１都是交换群　然而进一步的证明却让人张口结舌ｎＳｎ和Ａｎ都不是可解群证明略这将是导致高次方程不可解的根本原因详情参阅1998年　详情参阅［美］H1990年　参考任何一本关于群和域的专著都可以扩域如果Ｆ和Ｅ是两个域ＥＦ是Ｅ的子域是任一域的子域一个方程的求根总是在某个域中进行的但可能在某个扩域中有根设ＥＦＫ是三个域　分裂域Ｆ的包含ｆ（ｘ）所有根的最小扩域Ｅ称为ｆ（ｘ）在Ｆ上的分裂域分裂又称设Ｋ是Ｆ的有限扩域Ｆ［ｘ］中的任一ｎ次不可约多项式或者ｎ个根都在Ｋ中域Ｆ的任一有限正规扩域Ｋ称为Ｆ的伽罗瓦扩域域Ｅ到Ｅ自身的同构满射称为Ｅ的自同构所以域的自同构必把＋的单位元１变为１保持一切有理数不变即６｜Ｑ＝１Ｑ域Ｅ的自同构全体关于变换的乘法成群记为Ａｕｔ　Ｅ对于特殊的自同构集合Ｇａｌ　Ｅ／Ｆ＝｛б｜бａб＝ａ，　任取ａ其中每一个б都不变Ｆ中的任意数称为扩域Ｅ／Ｆ的伽罗瓦群ｆ（ｘ）　ｆ（ｘ）在Ｆ上的分裂域是Ｅ记为Ｇｆ 任一６III. 伽罗华基本定理我们把Ｉｎｖ　Ｇ＝｛ａ｜ａ＝ａ，任取Ｆ｝称为Ｇ的不变子域Ｓ２＝｛Ｋ｜Ｋ是Ｅ的包含Ｆ的子域｝Ｇ＝Ｇａｌ　Ｅ／Ｆ　Ｈ → σＩｎｖ　Ｈ是Ｓ１到Ｓ２的双射Ｓ１和Ｓ２之间存在如下伽罗瓦对应　Ｈ１Ｈ２　＜＝＞　Ｉｎｖ　Ｈ１Ｉｎｖ　Ｈ２　　Ｈ是Ｇ的正规子群　＜＝＞　Ｉｎｖ　Ｈ　是Ｆ的正规扩域且有　Ｇａｌ（Ｉｎｖ　Ｈ／Ｆ）同构于Ｇ／ＨＦＩｎｖ　Ｇ为两个伽罗瓦映射伽罗瓦对应图记号说明把Ｅ是Ｆ的扩域简记为Ｅ／Ｆ把多项式ｆ（ｘ）的次数记为ｄｅｇ　ｆ（ｘ）把Ｇ的不变子域记为Ｉｎｖ　Ｇ看了那么多的概念那么　第一步显然可以用根号来求解，Ｘ１＝　＋　普遍来讲ａ，ｂ，ｃａ不为０则扩域Ｆ（）包含了方程的所有根根塔由依次对前一域中的某数添加根号组建的塔ＱＱ（）对于三次方程了四次方程将ｆ（ｘ）的根全部包含在内根塔有部分方程根塔由于相邻的两层相等ｆ（ｘ）＝　ｘ３－２＝０的解为：ｘ１＝ＱＱ（）Ｑ（，）如ｆ（ｘ）＝　ｘ５－２＝０由此建立的对应根塔为Ｑ（）Ｑ（）Ｑ（）一个方程是否可以用根号求解可以利用其根塔的存在与否来判定　¹ÅµäÊýѧÄÑÌâÓëÙ¤ÂÞÍßÀíÂÛ1986年根号求解让我们重新定义１的多项式称ｆ（ｘ）＝０在Ｆ上可用根号求解设ｆ（ｘ）是某一首项系数为满足以下条件１即ＦＥＫ２Ｆ２ＦｒＦｒ＋１　＝　Ｋ（ｄｉ）ｎｉ＝ａｉｉ＝１，２，对应的自然数集｛ｎ１，ｎ２，，ｎｒ｝称为此根塔的根次数集（如根塔２３｝５｝）添加到Ｆｉ上而得的单代数扩域中每个数都可由Ｆｉ中的数经过有限系数属于Ｆｉ，即Ｆｉ＋１次的加减乘除和开ｎｉ次方得出因而也在Ｋ中经过有限次的加减乘除和开根号运算表示随后它所依据的标准　第三步两个十分重要的已证明的结论我们引入设ｎ是某个确定的自然数１Ｆ，ａ不为０则Ｇａｌ　Ｅ／Ｆ必是ｍ阶循环群　如果Ｅ是域Ｆ的这样一个伽罗瓦扩域则必存在ｄ使ｄｒ＝ａ这个定理说明了这样一个事实只要基域Ｆ含有ｎ次本原根即ｆ（ｘ）＝ｘｎ－ａ的伽罗瓦群必是ｍ阶循环群反之定理２ｆ（ｘ）＝　ｘｎ－１在Ｆ上的分裂域为Ｅ　以上两个定理在判定规则证明中起了重要的作用　设Ｆ为域则ｆ（ｘ）＝０可用根号求解　＜＝＞　Ｇｆ是可解群　一根据我们的定义知存在Ｆ的某个扩域Ｋ我们可以假定根塔４中的Ｋ是伽罗瓦扩域但Ｋ的正规闭包（记为Ｋａ）必是Ｆ的伽罗瓦扩域且仍有ＦＥＫＫａ证明略　设根塔４中所有根次数ｎ１，ｎ２，，ｎｒ　的最小公倍数是ｎ把ｚ添加到根塔４中的每个域上取ｉ＝１　那么根塔４又可以得到Ｋ（ｚ）／Ｆ的一个根塔　Ｆ＝Ｋ０Ｋ１ＫｒＫ（ｚ）＝Ｋｒ＋１　Ｋ１＝Ｆ（ｚ）＝Ｋ０（ｚ）（ｄｉ）ｎｉＫｉ，Ｉ＝１，２，，ｒ所以Ｋ必是某个ｇ（ｘ）　因为ｚ是ｎ次本原根ｎ－１）　因而Ｋ必是Ｆ的伽罗瓦扩域ｚｉ＝０，１，，ｒ则Ｋｉ＝Ｉｎｖ　Ｈｉ，Ｉ＝０，１，，ｒ这里１是Ｈ０的单位元群由定理二知对于任一ｉ（ｉ＝１，由于Ｋｉ中已包含了ｎｉ次本原根ｚｎ／ｎｉＫｉ［ｘ］在Ｋｉ上的分裂域Ｇａｌ　Ｋｉ＋１／Ｋｉ也是交换群由Ｋｉ＋１／Ｋｉ是正规扩域知Ｈｉ＋１是Ｈｉ的正规子群所以Ｈ０＝Ｇａｌ　Ｋ（ｚ）／Ｆ是可解群其中Ｅ是ｆ（ｘ）在Ｆ上的分裂域＝Ｇａｌ　Ｋ（ｚ）／Ｅ所以是Ｈ０的正规子群所以商群Ｇ也是可解群综上可知则Ｇｆ是可解群充分性　设ｆ（ｘ）在Ｆ上的分裂域为Ｅ设｜Ｇ｜＝ｎ任取ｎ次本原根ｚＥ上　Ｆ＝Ｆ１Ｆ２＝Ｆ（ｚ）Ｋ＝Ｅ（ｚ）所以ｆ（ｘ）在Ｆ２上的分裂域为Ｅ（ｚ）＝Ｋ而Ｆ２＝Ｆ（ｚ）已经是Ｆ的根号扩域故只须要构造一个从Ｆ２到Ｋ的根塔就行了Ｈ＝Ｇａｌ　Ｋ／Ｆ２同构于Ｇ＝Ｇａｌ　Ｅ／Ｆ的某个子群故Ｈ也是有限可解群Ｈ２ＨｒＨｒ＋１＝１　其中每个合成因子群Ｈｉ／Ｈｉ＋１都是素数ｐｉ阶循环群ｉ因为Ｋ是Ｆ２的伽罗瓦扩域Ｈ＝Ｈ１ＨｉＨｒＨｒ＋１＝１　 Ｆ２ＦｉＦｒＦｒ＋１＝Ｋ　必有Ｈｉ＝Ｇａｌ　Ｋ／Ｆｉ＋１，　Ｇａｌ　Ｆｉ＋２／Ｆｉ＋１同构与Ｈｉ／Ｈｉ＋１　因为Ｆ２＝Ｆ（ｚ）中已经包含了所有的ｐｉ次本原根ｚｎ／ｐｉ根据定理一Ｆｉ＋２，使得　＝Ｆｉ＋１（ｄｉ＋１），（ｄｉ＋１）ｐｉ　 Ｆｉ＋２故而得到根塔Ｆ２Ｆｒ＋１Ｆｒ＋２＝Ｋ　根次数依次为ｎ，ｐ１，ｐ２，且Ｋ＝Ｅ（ｚ）包含了ｆ（ｘ）在　综合以上可知判定定理得证由前面的引导概念我们可以有以下结论　一个ｎ次多项式ｆ（ｘ）的伽罗瓦群Ｇｆ在ｎ＝３或ｎ＝４的时候是可解群而当ｎ＞４的时候故而不能用根号求解高于四次的一般代数方程不可能用根号求解V. 结语伽罗瓦的证明成为数学史上重要的里程碑他研究数学的时间仅有短短的五年却成为了跨时代的超越伽罗华将他的一篇论文提交给法国科学院审查当时负责审查的数学家泊阿松最后结论居然是其朋友舍瓦利叶按照他的遗愿将其发表在中也就是１８４６年１８８２）领悟到这些演算中迸发出的天才思想刘维尔最后他将这些论文编辑发表在他的极有影响的上 １９３１年卷入了一场所谓的决斗伽罗瓦腹部中弹年仅２１岁成为人类科学史上的一大悲剧因此而停滞良久数学珍宝历史文献精选卡尔达诺大术李文林　主编科学出版社　［２］　徐诚浩　著复旦大学出版社　［３］　［美］Ｈ１９９０年域论１９９７年抽象代数学：　域论及伽罗瓦理论１９８７年伽罗华理论基础１９８９年伽罗瓦传商务印书馆　。

第二章多项式第二章多项式2.1 一元多项式的定义和运算2.2 多项式的整除性2.3 多项式的最大公因式2.4 多项式的分解2.5 重因式2.6 多项式函数多项式的根2.7 复数和实数域上多项式2.8 有理数域上多项式2.9 多元多项式2.10 对称多项式课外学习2:从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论课外学习2:从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论课外学习3:代数与代数基本定理的历史课外学习3:代数与代数基本定理的历史课外学习4:推广的余数定理及算法课外学习4:推广的余数定理及算法课外学习5:代数元的多项式的共轭因子课外学习5:代数元的多项式的共轭因子惠州学院数学系代数是搞清楚世界上数量关系的工具。

代数是搞清楚世界上数量关系的工具。

――怀特黑德(1961-1947)――怀特黑德(1961-1947)当数学家导出方程式和公式,如同看到雕像、美丽的当数学家导出方程式和公式,如同看到雕像、美丽的风景,听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。

风景,听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。

- -柯普宁前苏联哲学家- -柯普宁前苏联哲学家快乐地学习数学,优雅地欣赏数学。

快乐地学习数学,优雅地欣赏数学。

――匿名者――匿名者惠州学院数学系2.1 一元多项式的定义和运算2.1 一元多项式的定义和运算一、内容分布一、内容分布2.1.1 认识多项式 2.1.4 多项式的运算2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则2.1.2 相等多项式2.1.6 多项式的运算性质2.1.3 多项式的次数二、教学目的掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质三、重点、难点一元多项式的定义,多项式的乘法,多项式的运算性质。

惠州学院数学系2.1.1 认识多项式2.1.1 认识多项式多项式令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式2 naa xa x a x0 1 2 nai0, 1, ?, n这里n是非负整数而都是R中的数ifx ?, gx ?,一元多项式常用符号来表示i1:在多项式1中,a xa叫做零次项或常数项,i叫做 i 次项,a叫做 i 次项的系数i2:在一个多项式中,可以任意添上或去掉一些系注数为零的项;若是某一个i次项的系数是1 ,那么这个系数可以省略不写。

要点：Galois关于代数方程根式可解等价于它的Galois群可解这一定理的证明思路。

（1）存在性证明与数的计算相分离；如极限值、代数学基本定理、方程的根；（2）三次方程根的置换群和五次方程根的置换群有什么不同？3个根共有3!=6个可能的置换，5个根共有5!=120个可能的置换。

为什么说方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映？（3）方程的对称性质与有无求根公式有关系吗？（4）GALOIS定理是通过研究根式扩张和根对称性得出来的结果.问题是怎样求一个多项式方程的GALOIS群？怎样判断GALOIS群是否可解？为什么一般的五次以上方程GALOIS群不可解，但是某些特殊的五次以上方程有根式解？x^n-1=0可用根式解，它的n个根是？（5）假设一个多项式方程有根式解,发现了有根式的情况下,各个根的对称性要满足一定关系.五次以上的方程这个关系不一定满足.那么这个关系是什么呢？（6）阿贝尔定理：如果一个代数方程能用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表成方程诸根及某些单位根的有理函数．（7）怎样构造任意次数的代数可解的方程？怎样判定已知方程是否可用根式求解？怎样全部刻画可用根式求解的方程的特性？（8）一个方程究竟有多少个根？如何预知方程的正、负、复根的个数？方程的根与系数的关系如何？方程是否一定有根式解存在？（9）方程本身蕴涵的代数结构：方程根的置换群中某些置换组成的子群被伽罗瓦称之为方程的群（伽罗瓦群），伽罗瓦群就是由方程的根的置换群中这样一些置换构成的子群。

那么某些置换是哪些置换呢？四次方程x^4+p*x^2+q=0的四个根的系数在方程的基本域F中有两个关系成立：x1+x2=0,x3+x4=0.在方程根的所有24=4!个可能置换中，下面8个置换E=(1),E1=(12),E2=(34),E3=(12)(34),E4=(13)(24),E5=(1423),E6=(1324),E7= (14)(23)都能使上述两个关系在F中保持成立，并且这8个置换是24个置换中，使根之间在域F中的全部代数关系都保持不变的仅有的置换。

求根公式的历史与应用求根公式是一种数学工具，用于解决多项式方程的根的问题。

它在数学领域具有重要的历史渊源和广泛的应用。

本文将通过探索求根公式的历史，并重点介绍其在代数学、物理学和工程学等领域中的应用。

一、求根公式的历史求根公式最早可以追溯到古希腊时期。

古希腊的数学家毕达哥拉斯提出了求解一次方程的方法，但对于二次及更高次方程仍然没有有效的解法。

直到公元16世纪，意大利数学家卡尔达诺提出了求解三次方程的方法，称为卡尔达诺方程。

然而，直到公元16世纪末，法国数学家维埃塔提出了关于四次方程的解法，它们解决了过去数学家们长期以来的难题。

然而，对于高于四次方程的求根问题，长期以来一直被认为是不可解的。

直到18世纪，法国数学家欧拉才提出了一个关于五次方程的求根公式，但这个公式过于复杂，难以应用。

直到19世纪，法国数学家伽罗华和挪威数学家阿贝尔独立地证明了五次及更高次方程无一般求根公式。

二、求根公式的应用虽然没有一般的求根公式，但求根公式仍然在数学和其他学科中有着广泛的应用。

1. 代数学中的应用在代数学中，求根公式被广泛应用于多项式的因式分解和根的特征等方面。

通过求根公式，我们可以将多项式分解为一系列一次因式的乘积，从而更好地理解和分析多项式函数的性质。

2. 物理学中的应用求根公式在物理学中也有重要的应用。

许多物理问题可以用方程描述，而求解方程的根则是解决问题的关键。

例如，在牛顿力学中，求根公式可以用来解决抛体运动、振动问题等。

在电磁学中，求根公式可以用来解决电路中的电压和电流分布等问题。

3. 工程学中的应用在工程学中，求根公式以及相关的数值方法被广泛应用于解决各种工程问题。

例如，在控制系统工程中，求根公式可以用来分析和设计控制系统的稳定性和性能。

在结构工程中，求根公式可以用来计算和优化结构的固有频率和振型等。

总结起来，求根公式是一种重要的数学工具，在数学和其他学科中有着广泛的应用。

尽管一般的求根公式已被证明不存在，但通过特定的数值方法和近似解法，我们仍然能够有效地解决多项式方程的根的问题。

专题讲座二从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论根据古埃及的草片文书记载，早在公元前1700年左右，人们就发现，当a≠0时，ax= b有根x = b/a，随着岁月的流逝，数学的发展，到了公元前几世纪，巴比伦人实际上已经使用过配方法得知（当a≠0时）有根当时，人们只承认现在称之为正实根才是根，零，负数，无理数和复数的概念和理论迟至十六世纪到十八世纪才得到承认并逐步完善。

根据巴比伦文书记载，当时已解决了二次方程：得出的解答是：这就促使人们进一步思考，是否对于任意次数的方程都能找到这种求根公式？寻找三次方程的求根公式，经历了二千多年的漫长岁月，直到十六世纪欧洲文艺复兴时期，才由几个意大利数学家找到，这就是通常据说的卡丹（Cardan, 1501——1576）公式，其原始想法是：在中作变量代换后把方程化为（1）它不再含有平方项了，设，这里m和n是两个待定的数，则有如果取m, n满足则对应的y值必满足（1）式。

另一方面，由可得所以，当取时，并令，就得原三次方程的一个根它的另两个根是这里（其中）是的两个不是1的根。

在三次方程求根公式发明过得中，有一个十分有趣的故事，四百多年前，意大利盛行数学竞赛，竞赛的一方是菲俄（Fior，十六世纪前半叶），他是意大利波洛那（Bologna）数学学会会长费罗（Ferro，1465——1526）的学生。

另一方面是威尼斯的数学教授塔尔塔里亚（Taritalia，1500——1557），他小时候就受伤后“口吃”，从小学拉丁文，希腊文，酷爱数学，与费罗一样，对求解三次方程很有研究，在1530年，塔尔塔里亚曾解决了另一个挑战者科拉(Colla)提出的以下两个三次方程求解问题：。

这引出了菲俄的不服，定于1535年2月22日在米兰市大教堂公开竞赛，双方各出三十个三次方程。

结果塔尔塔里亚在两个小时内解完，而菲俄却交了白卷。

1541后，塔尔塔里亚得到了三次方程的一般解法，准备在译完欧几里得和阿基米德的著作后，自己写一本书公开他的解法。

代数方程的根式解及伽罗瓦理论有关代数方程的根式解及伽罗瓦理论的文章
代数方程的根式解及伽罗瓦理论是一门极具深度和广度的科学领域，对人类文明有着极其重要的意义。

代数方程是数学中使用最广泛的一类方程，可以用来解决众多高等数学和实际问题，掌握此类方程的根式解及伽罗瓦理论就显得尤为重要。

代数方程以数与字母组合而成，一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a，b，c是实数。

一般而言，其解的数目取决于a、b、c的关系，可以分为有解、无解或有无穷多解的几类。

其中，ax^2+bx+c=0的根式解是求解这类方程的关键，也是学习简单代数方程的理论基础。

伽罗瓦理论是一门研究多项式解的深入理论，其中包括了代数方程的根式解求解以及多项式的表示，基于这些原理可以解决更为复杂的代数方程，广泛应用于几何、代数、概率论等多个领域。

求解代数方程的根式解，需要依据方程求解公式，运用简单的数学计算求出根式解。

一般情况下，我们可以采用分解质因式的方法，把ax^2+bx+c=0拆分为
(x+m)(x+n)=0，而此时x=-m，x=-n即为其解，或可以将其改写为3次根式解，其形式为x={-b±√(b^2-4ac) }/2a，有时将其开方运算令人头痛，若采用伽罗瓦理论可以使其更加简单，将费时的开方运算转化为一个多项式幂的问题。

总之，代数方程的根式解及伽罗瓦理论在求解代数方程中发挥着重要作用，将其熟悉掌握可以极大地方便求解多项式方程，对于学习科学和算法编程都有着重要意义。

高次代数方程求根公式
方程求根公式法：x＝[-b±√(b^2-4ac)]/2a，a为二次项系数，b为一次项系数，c
是常数。

根据因式分解与整式乘法的关系，把各项系数直接带入求根公式，可避免配方过
程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

方程（equation）是指含有未知数的等式。

是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。

求方程
的解的过程称为“解方程”。

通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有
欲求解的量的等式即可。

方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次
方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。

要把r扩充到r1，需在r中构造一个预解式，则预解式的根，添加到r中得到一个新域r1，于是可证明原方程（3）关于域r1的群是h1，h1={e，e1，e2，e3}，并发现预解式的次数等于子群h1在母群g中的指数8÷4=2（即指母群的阶除以子群的阶）。

第二步，构造第二个预解式，解出根，于是在域r1中添加得到域r2，同样找出方程（3）在r2中的群h2，h2={e，e1}，此时，第二个预解式的次数也等于群h2在h1中的指数4÷2=2。

第三步，构造第三个预解式，得它的根，把添加到r2中得扩域r3，此时方程（3）在r3中的群为h3，h3={e}，即h3=i，则r3是方程（3）的根域，且该预解式的次数仍等于群h3在h2中的指数2÷1=2。

在这个特殊的四次方程中，系数域到根域的扩域过程中每次添加的都是根式，则方程可用根式解。

这种可解理论对于一般的高次方程也同样适用，只要满足系数域到根域的扩域过程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。

现仍以四次方程（3）为例，伽罗瓦从中发现了这些预解式实质上是一个二次的二项方程，既然可解原理对高次方程也适用，那么对于能用根式求解的一般高次方程，它的预解式方程组必定存在，并且所有的预解式都应是一个素数次p的二项方程xp=a。

由于高斯早已证明二项方程是可用根式求解的。

因此反之，如果任一高次方程所有的逐次预解式都是二项方程，则能用根式求解原方程。

于是，伽罗瓦引出了根式求解原理，并且还引入了群论中的一个重要概念“正规子群”。

他是这样给正规子群下定义的：设h是g的一个子群，如果对g中的每个g都有gh=hg，则称h为g的一个正规子群，其中gh表示先实行置换g，然后再应用h的任一元素，即用g的任意元素g乘h的所有置换而得到的一个新置换集合。

定义引入后，伽罗瓦证明了当作为约化方程的群(如由g 约化到h1)的预解式是一个二项方程xp=a (p为素数)时，则h1是g的一个正规子群。

根式解代数方程问题与Gal ois 理论定义1：设F 是特征0域，()[]f x F x ∈是一个n 次多项式，设E 是F 上()f x 的分裂域，若存在F 上的扩域链()()()1112223s s F F F F F F F K θθθ=⊆=⊆=⊆⊆=其中i n i i i d F θ=∈，i n 是自然数，1i s ≤≤，且E K ⊆，则称()f x 可用根式解。

并称K 为F 的根式扩域。

注1：F 的根式扩域K 一般不是F 的正规扩域，然而可以证明， F 的含K 的最小正规扩域K 也是F 的根式扩域。

这样，不失一般性，可以假定定义1中的根式扩域K 是F 的正规扩域。

注2：对于定义1中的每一个单根式扩张()1i i i F F θ+=，i n i i i d F θ=∈，若次数i n 是一个合数,1,1i n rs r s =>>，则在i F 和1i F +之间插入中间域()r i i L F θ=，使得1i i F L F +⊆⊆为一个根式扩张链，且[]:i L F s =，[]1:i F L r +=。

因此可以假定，定义1中的i n 均为素数。

定义2：设F 是特征0域，域F 上的n 次一般方程是指下列方程12120n n n n x t x t x t --++++=其中1,,n t t 是F 上的独立未定元，即代数无关元。

实际上，()11n n n f x x t x t -=+++ 并不是F 上的多项式，而是n 元多项式环[]1,,n R F t t = 上的多项式。

域F 上的n 次一般方程是否有公式解的问题，就转化为要确定()f x 在R 的有理分式域()1,,n F t t 上的分裂域E 是否能包含在一个()1,,n F t t 的根式扩域中。

可以证明，()()1,,n n Gal E F t t S ≅ 。

下面讨论3次和4次一般方程的根式解。

假设基域为特征0域。

例1：()32123f x x t x t x t =+++解：令13tx y =-，()13t f y g y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=3y py q ++，其中2123t p t =-+，()311231292727q t t t t =-+，p 与q 在F 上代数无关。

浅谈拓扑伽罗华理论原创顾险峰老顾谈几何和汪浩然探讨Arnold所创立的拓扑Galois理论，汪浩然比较认同Arnold的观点，Arnold认为应该用初等古典的观点讲解现代数学，而非用故弄玄虚的现代抽象观点讲解初等数学。

这里，我们用Arnold的拓扑方法来解释抽象的Galois理论。

可解群求解多项式方程是代数学的基本问题之一。

Abel证明五次方程无“代数”解（即解无法由方程的系数通过算术运算与求根运算表达），Galois完整地解决了多项式的根求解问题：他给出了多项式根式可解的充分必要条件。

与多项式可解性密切相关的群是对称群。

所谓群是一个集合和一个乘法算子, 满足条件1.封闭性：2.单位元：, , 都有3.可逆性：, , 使得4.结合律：, 都有例如考察数列的所有排列，以排列的复合为乘法，构成所谓的对称群。

对称群由所谓的对换生成，所有由偶数个对换生成的排列构成所谓的交错群。

我们注意到，群的条件中不包含可交换性，即可能。

如果乘法可交换，那么群被称为是Abel群，否则是非Abel群。

衡量一个群到Abel群的距离，要用到换位子群的概念。

设为群，称由集合生成的子群为的换位子群（Communtator Group），记作. 如果是Abel群，则换位子群为. 我们递归构造如下：如果存在一个整数，使得，那么我们说群是一个可解群。

（这里可解群的定义和传统定义不同，但是彼此等价）。

例如，令，直接计算中元素的个数，群GG'G''G'''S221S3631S4241241S5120606060这意味着，是可解群，但不是可解群，其交错群的换位子群等于自身，，因此不是可解群。

根式解存在性给定一个多项式我们将复平面并上一个无穷远点,通过球极投影映到单位球面上. 再将：看成是从球面到自身全纯映射，. 当时，，我们在平面上围绕无穷远点画一个小圆，由最高项，是平面上围绕点的转了圈的圆。

伽罗华理论逆问题——未解决的5次以上方程求根难题2010-4-27 15:53:44【字体大小：大中小】在数学中，代数方程的求解有悠久的历史。

很早就会解1次和2次方程，16世纪也会解3次和4次方程，它们的根都可以表示为系数的根的四则运算，我们称它们有根式解。

5次和5次以上代数方程求解遇到了严重的障碍，经过300年的努力仍然得不出求解公式。

经过多次失败之后，阿贝尔和伽罗华从反方向来看问题。

在19世纪20年代，他们证明：一般的5次和5次以上代数方程没有根式解。

而伽罗华走得更远，他引进群的概念来判断一个5次或5次以上方程是否有根式解。

关于代数方程理论，许多人对于伽罗华的结果往往有误解。

第一个误解是以为5次和5次以上方程就没有根了，这是大错特错了。

因为根据代数基本定理，次方程总有个根（实根、复根以及重根统统计算在内），只不过一般这些根不能表示为系数的根式而已。

第二个误解是认为所有5次和5次以上方程都不可能用根式解，实际上并非如此。

有相当数量的5次和5次以上代数方程是可以用根式解。

现在的问题是：给定一个方程，如何判定它能否用根式解。

伽罗华的贡献在于他给出一个明确的判据，他把每一个方程同一个根的置换群联系起来，这个群称为该方程的伽罗华群，是一个有限群，可由方程具体地计算出来。

如果伽罗华群是可解群，则方程可以用根式解，如果伽罗华群不是可解群，特别是单群（非交换），则方程不能用根式解。

那么伽罗华理论的逆问题就是，是否任何有限君都是某一个有理系数代数方程的伽罗华群？这个问题在100多年前首先由大数学家希尔伯特取得突破。

他证明如果群是对称群Sn 和交错群An,则答案是肯定的,也就是有这样的有理系数代数方程,以Sn或An为其伽罗华群。

到本世纪10年代，有史以来最伟大的女数学家爱米•诺特建立了一般的理论。

1954年苏联数学家沙法列维奇对可解群肯定解决伽罗华逆问题（证明中的一些错误后来补正），现在问题更集中于单群了。

1980年随着声称有限单群分类完成，对单群的伽罗华理论逆问题开始热起来，有不少单群已得到肯定的结果。

伽罗瓦理论【学习目标】1．掌握高次方程的根式解的解法和伽罗瓦理论。

2．熟练运用伽罗瓦理论解高次方程。

3．亲历高次方程的根式解探索过程，体验分析归纳得出 结论的过程，发展探究、交流能力。

【学习重难点】重点：掌握高次方程的根式解的解法以及伽罗瓦理论。

难点：伽罗瓦理论的实际应用。

【学习过程】一、新课学习知识点一：伽罗瓦理论理1．为了使一个n 次方程可用根式解，必须且只需它的伽罗瓦群的可解群。

2．设由一个n 次代数方程12121()n n n n n f x x a x a x a x a ---=+++⋯++，它的系数是给定的复数，那么这个方程必定有n 个根，这就是著名的代数基本定理。

3．阿贝尔关于代数方程的工作只是证明对于一般的五次和五次以上方程根式解是不可能的，但并不妨碍人们去求一些特殊代数方程的解，比如阿贝尔方程的根式解，在阿贝尔的工作之后，数学家所面临的一个问题就是：什么样的特殊方程能够用根式求解？这个问题稍后被同样年轻的数学家伽罗瓦解决了，对方程的根式可解问题的研究直接导致了群论的建立。

二、课程总结1．这节课我们主要学习了哪些知识？2．这节课我们主要学习了哪些解题方法？步骤是什么？三、习题检测1．三氟化硼是一种重要催化剂，应用于有机合成工业。

它的分子包含一个硼原子()B 、三个氟原子()F ，化学分子式是3BF 。

其中，三个氟原子位于正三角形的三个顶点，硼原子位于这个正三角形的中心。

在三氟化硼分子的平面里，作为平面图形，这个分子容许哪些变换？在空间里观察三氟化硼分子，作为空间图形，它容许哪些变换？2．什么是伽罗瓦理论？请简单说一说。