三次方程解法被称为-卡尔达诺公式

一元三次方程的卡尔丹公式与盛金公式(使用软件公式编辑器编辑的精华版)元三次方程的解法的历史人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。

古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。

在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。

在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。

那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样。

数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛•冯塔纳(Niccolo Fontana )。

冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。

由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”(Tartaglia ),也就是意大利语中“结巴”的意思。

后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。

经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。

这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。

但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世。

当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对冯塔纳的发现非常感兴趣。

他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。

可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。

虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执着，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。

后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。

冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。

解方程的故事很久以前，人们就解决了一元一次方程与一元二次方程的求解问题。

（在初一和初二就会学习到有关内容）然而对一元三次方程的求解却使众多的数学家们陷入了困境，许多人的努力都以失败而告终。

1494年，意大利数学家帕西奥利（1445—1509年），对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论，他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的。

这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数学家迎接挑战的号角。

以此为序曲引出了我们要讲述的关于三次方程求解的故事。

故事中第一个出场的人物：大学教授，费罗（Scipione del Ferro,1465-1526）。

费罗在帕西奥利作出悲观结论不久，大约在1500 年左右，得到了x3+mx=n这样一类缺项三次方程的求解公式。

在求解三次方程的道路上，这是一个不小的成功。

但出乎我们意料的是，他并没有马上发表自己的成果以广为传播自己的成功。

相反，他对自己的解法绝对保密！这在“不发表即发霉”的今天，真是不可思议之事！在当时却有其原因。

那时一个人若想要保住自己的大学职位，必须在与他人的学术论争中不落败。

因此，一个重要的新发现就成了一件论争中处于不败之地的有力武器。

故事中第二个出场的人物：费罗的学生菲奥尔。

最后直到费罗临终前，大约1510年左右，他才将自己的这一“杀手锏”传给两个人：他的女婿和他的一个学生。

他那不学无术的女婿不久就将此抛之脑后了，这样他的学生菲奥尔以这一“杀手锏”唯一传人的角色在我们的故事中作为第二个人物露面了。

菲奥尔本人的数学才能并不突出，但他却因独得费罗秘技而以之炫耀于世。

只不过他“独此一家，别无分店”的招牌却没有挂太长的时间，一个厉害的挑战者塔塔利亚出现在他的面前。

故事中第三个出场的人物：塔塔利亚(Niccolo Tartaglia of Brescia,1499-1557）。

这是我们故事中出场的第三个人物，其原名丰塔纳。

1512年，在一次战乱中他被一法国兵用刀砍伤脸部，头部口舌多处受伤，其后虽侥幸活命，却留下了口吃的后遗症。

一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。

所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。

代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。

这样上式就成为a3-b3=q两边各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。

进而可解出b和根x.除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。

很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。

参见同济四版的高等数学。

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

我归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)后记：一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

叱咤方程界的风云人物作者：韩雪清来源：《数学金刊·高中版》2009年第01期数学家们解决了一元一次方程与一元二次方程的求解问题后，对一元三次方程的求解却一筹莫展，陷入了困境，许多人的努力都以失败而告终。

1494年，意大利著名数学家帕西奥利对三次方程进行了艰辛的探索，他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方的问题一样，是根本不可能的。

16世纪意大利数学家由此吹响了迎接挑战的号角。

今天我们要讲述的就是关于三次方程求解的故事。

费罗故事中第一个出场的人物是一位大学教授，名字叫费罗。

在帕西奥利作出悲观结论不久后，费罗得到了x3＋mx＝n这样一类缺项三次方程的求解公式。

在求解三次方程的道路上，这是一个不小的成功。

但出乎我们意料的是，他并没有马上发表自己的成果，广为传播自己的成功。

相反，他对自己的解法绝对保密。

这在今天，真是不可思议之事！但在当时却有其原因：那时一个人若想要保住自己的教授职位，必须在与他人的学术论争中不落败。

因此，一个重要的新发现就成了一件在论争中处于不败之地的有力武器。

大约1510年左右，他才将自己的这一“杀手锏”传给两个人：他的女婿和他的一个学生。

他那不学无术的女婿不久就将此抛之脑后了，他的学生菲奥尔本人的数学才能并不突出，但他却因拥有费罗秘技而炫耀于世。

只不过他“独此一家，别无分店”的招牌却没有挂太长的时间，一个厉害的挑战者塔塔利亚就出现在他的面前。

塔塔利亚这是我们故事中出场的第二个人物，其原名是丰塔纳。

1512年，在一次战乱中他被一个法国兵用刀砍伤，使其头部及口舌多处受伤，其后虽侥幸活命，却留下了口吃的后遗症。

于是就得了“塔塔利亚”的绰号，意大利语就是“口吃者”的意思。

那时他还只有13岁。

然而这并没有妨碍这位有才能的顽强少年在数学上取得极高的成就。

1534年他宣称自己已得到了形如x3＋mx2＝n这类没有一次项的三次方程的解的方法。

不久，菲奥尔就听到了挑战者的叫板声，于是我们故事中的两位人物碰面了。

数学史上最重要的事件之一——求解三次方程，复数的黎明多项式方程自古以来就一直被研究。

今天，它仍然是现代代数的重要组成部分。

巴比伦人知道如何解二次方程，也就是形式为ax^2+ bx + c = 0的方程。

2000多年后，波斯数学家奥马尔·海亚姆首次尝试解三次方程。

三次方程的形式是ax^3+ bx^2+ cx + d = 0。

海亚姆是一位杰出的数学家，他对科学和数学做出了很大的贡献，他计算了一年有365.24219858156天。

相比之下，今天的计算结果是一年有365.242190天。

海亚姆找到了三次方程的几何方法。

通过计算二次曲线，他能够求出这些方程的正解，但这些解都是几何的，海亚姆还想找到三次方程的代数解。

文艺复兴时期的欧洲大约400年后，才有人发现三次方程的代数公式。

在15世纪，数学的中心又回到了欧洲，那时已经出现了阿拉伯数字和一些代数技术。

在早期的欧洲，人们更喜欢用罗马数字来计算，但是阿拉伯数字的优势很快就显现出来了，如LXX+XXX = C用阿拉伯数字表示为：70 + 30 = 100。

然而，当时的教会坚持使用罗马数字，在一段黑暗的历史时期，阿拉伯数字在意大利实际上是被禁止的。

一开始，只有外国推销员才会使用这种能在几秒钟内计算出奖金和利息的“黑魔法”。

最终，阿拉伯数字取得了胜利。

在斐波那契数列将这种阿拉伯数字引入欧洲的几百年后，数学界终于成熟到可以在代数上处理三次方程了。

回顾一下当时的数学家是如何处理方程的。

因为当时的数学家不知道负数，所以他们总是把系数写成正数。

因此，他们把多项式方程分成若干类。

例如，二次方程ax²+ bx + c = 0有三个，即：ax^2 + bx = c，ax^2 = bx +c，ax^2 + c = bx，其中a，b，c是正数。

事实上，当时的欧洲人也不知道数字0，所以对于“缺乏”某些项的方程，必须遵循特殊的规则。

每个类都有自己的公式。

三次方程当然也是如此，据说海亚姆考虑了14种不同类型的三次方程，它们都有不同的几何方法。

卡丹公式
卡尔达诺公式(Cardano formula)亦称卡丹公式，是三次方程的求解公式，它给出三次方程x3+px+q=0的三个解为x1=u+v ，x2=uw+vw2，x3=uw2+vw 。

1.公式来源：
由于一般三次方程y3+ay2+by+c=0经过未知量的代换y=x-a/3后，可化为形如x3+px+q=0的三次方程。

因此，运用卡尔达诺公式可解任意复系数的三次方程，此公式实为塔尔塔利亚(TN.artaglia)于1541年首先发现，但未公开发
表，却在允诺保密的央求下告诉了卡尔达诺(G.Cardano)，后者于1545年将这一结果发表在自己的著作《大法》里，后人遂称为卡尔达诺公式，沿袭至今。

2.基本介绍：
卡尔达诺公式是一个著名的求根公式，指实系数一元三次方程
的求根公式x=α+β，式中
且αβ=-p/3，此公式也可以应用于复系数三次方程中 。

3.卡丹公式：。

237卡尔达诺与《赌博之书》[作者简介]陈亦宇，上海师范大学哲学与法政学院在读研究生，研究方向：科学技术哲学。

卡尔达诺与《赌博之书》陈亦宇（上海师范大学哲学与法政学院 上海 200234）摘要：卡尔达诺是文艺复兴时期人文主义的代表，也是那个时代伟大的科学家之一。

他虽然嗜赌成性，但对赌博游戏中的概率问题进行了深入思考和研究，他的著作《赌博之书》，就是欧洲最早对概率论这一学科作出系统研究的著作，给后世留下了许多值得探讨的问题。

关键词：卡尔达诺 《赌博之书》 概率中图分类号：I546 文献标识码：A 文章编号：1009-5349（2019）16-0237-03一、卡尔达诺的生平吉罗拉莫•卡尔达诺（G i r o l a m o C a r d a n o ,1501.—1576）是意大利文艺复兴时期一位百科全书式的人物，他享有数学家、物理学家、占星家、哲学家等多种称号，同时也是古典概率论重要的奠基者之一。

卡尔达诺一生嗜赌成性，性情孤僻；但他智力超群，著述混杂，一生共写了200多种不同主题的文章、书籍，内容涵盖古典文学、数学、物理、化学、生物学、医学、哲学、占星学和音乐，其最主要的成就集中在数学、医学、物理学和哲学领域，是个不折不扣的“科学怪人”。

莱布尼兹曾如此评价他：“卡尔达诺是一个有许多缺点的伟人，没有这些缺点，他将举世无双。

”卡尔达诺于1501年9月24日出生于帕维亚，他是一位律师的私生子，从小体弱多病，受尽歧视和虐待，慢慢养成了孤僻古怪的性格。

他自幼学习古典文学、数学和占星学，他对所有的领域都抱有浓厚的求知欲望，尤其对占星学具有强烈的兴趣，终生都沉迷于占星术。

1518年卡尔达诺进入帕维亚大学，他不顾父亲的反对，选择了学医，他认为自己具有医学方面的天赋，再加上懂得占星术，将来必定会有一番作为；因为医疗占星在他生活的年代大行其道，人们普遍认为医生需要掌握占星术，当时甚至还出现了一种专供医生使用的星盘。

三次方程求根公式的诞生
文艺复兴时期，数学界喜欢浪漫，掌握真正解法后并不发表而是互相竞赛，比试下谁求解更厉害。

意大利一位数学家塔塔利亚，在一次挑战中完胜，其内容就是关于三次方程求解的问题，从此名声大噪，他将成为历史上掌握三次方程求根方法第一人，但当时却没发表他的解法，而是继续挑战，来证明自己的实力。

那时，一位有心人叫卡尔达诺（Cardano，有译为卡丹），觊觎其解法，就书信请教塔塔利亚，再三哀求下，终于知晓求根的真谛，并且向塔塔利亚承诺任何时候都不发表塔塔利亚的解法，但没多久卡尔达诺发表《大术》一书，完完整整地记载了三次方程的求根公式，并称为卡尔达诺公式，三次方程求根公式从此诞生。

三次方程的解法知识点总结三次方程是指次数为3的多项式方程，其一般形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。

解三次方程是高中数学中的一个重要内容，掌握解三次方程的方法可以帮助我们解决实际问题和提升解题能力。

本文将对解三次方程的知识点进行总结，帮助读者系统地学习和掌握三次方程的解法。

1. 一元三次方程的根的个数：一元三次方程最多有三个根。

根的个数有以下几种情况：- 当方程有一个实根时，其余两个根可能是实数或是共轭复数。

- 当方程有三个实根时，三个根互不相等。

- 当方程有一个实根和两个共轭复根时，一个是复数根，另一个是平方根的相反数。

2. 根与系数之间的关系：设方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的根为α，β，γ（可能是实根或复根），则有以下关系：- 根与系数的关系1：α+β+γ=-b/a- 根与系数的关系2：αβ+βγ+γα=c/a- 根与系数的关系3：αβγ=-d/a3.Vieta定理：Vieta定理是解三次方程的重要定理，它给出了方程的根与系数之间的关系。

设方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的三个根为α，β，γ，则有以下关系：- Vieta定理1：α+β+γ=-b/a- Vieta定理2：αβ+βγ+γα=c/a- Vieta定理3：αβγ=-d/a通过Vieta定理，我们可以通过方程的系数来计算根的求和、乘积等性质，简化解题过程。

4. 贝努利(Bernoulli)方法：贝努利方法是解决一元三次方程的一种常用方法，其基本思想是通过变量代换将方程转化为二次方程，然后再利用求解二次方程的方法得到解。

举个例子，我们考虑解方程x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = 0。

通过观察，我们可以发现此方程没有一次项，且二次项的系数为负数，适合使用贝努利方法。

1）将方程中的x替换为x-2/y，其中y是待定的变量。

2）通过变量代换后，方程化为关于y的二次方程：y^2 - 4y + 4 = 0。

近世代数发展简史近世代数是数学领域中一门重要的学科，它研究的是数和运算的结构。

近世代数的发展经历了数百年的演变和探索，涵盖了众多的数学家和理论。

本文将为您详细介绍近世代数的发展历程和相关的重要成果。

1. 古代代数的起源古代代数的起源可以追溯到公元前2000年左右的古埃及和古巴比伦时期。

在这个时期，人们开始使用符号和方程式来解决实际问题，如土地测量和贸易计算。

然而，古代代数的发展相对较为有限，主要集中在线性方程和几何问题的解决上。

2. 文艺复兴时期的代数革命文艺复兴时期（14世纪至17世纪）是近世代数发展的关键时期。

在这个时期，代数学开始脱离几何学的束缚，成为独立的学科。

重要的代数学家如意大利数学家斯卡拉潘尼、法国数学家维阿塔、德国数学家费尔马等，为近世代数的发展奠定了基础。

3. 代数方程的解法研究在文艺复兴时期，数学家们开始研究代数方程的解法。

其中最著名的是意大利数学家卡尔达诺的工作。

他发现了一种求解三次方程的方法，被称为“卡尔达诺公式”。

这个发现对于后来的代数学发展起到了重要的推动作用。

4. 群论的发展群论是近世代数的一个重要分支，它研究的是集合和运算的结构。

群论的发展起源于19世纪，德国数学家高斯和狄利克雷等人对数论中的整数运算进行了深入研究。

后来，法国数学家瓦埃斯特拉斯和德国数学家诺伊曼等人对群的性质进行了系统的研究，奠定了群论的基础。

5. 现代代数的发展20世纪是近世代数发展的黄金时期。

在这个时期，代数学的研究范围不断扩大，涉及到了更多的领域。

线性代数、抽象代数、代数几何等分支学科相继发展起来。

现代代数的发展离不开一些重要的数学家的贡献，如德国数学家埃米尔·阿尔蒂因、法国数学家布尔巴基等。

总结：近世代数的发展可以追溯到古代，但真正的突破发生在文艺复兴时期。

代数方程的解法研究为代数学的发展带来了重要的推动。

群论的出现和发展进一步丰富了代数学的研究内容。

而现代代数的发展则在20世纪达到了巅峰，形成了更为完整的理论体系。