因式分解知识点总结-8.8

因式分解的知识点总结因式分解是数学中的重要知识点之一，它在代数运算、方程求解、解决实际问题等方面起到了重要作用。

因式分解的目的是将复杂的代数式或多项式表示为简单的因式乘积形式，从而揭示其内在的性质和关系。

下面将对因式分解的定义、方法和应用进行总结。

一、因式分解的定义因式分解是将一个代数式或多项式分解为若干个互不相等、不可再分的因式的乘积形式。

因式分解的基本原则是尽量找出能够整除原式的因式，然后重复这一过程，直到无法再分解为止。

二、因式分解的方法1.提取公因式：当一个多项式的各项中存在一个公因式时，可以通过提取公因式来进行因式分解。

具体步骤是找出各项的最高公因式，然后提取出来，余下的部分就是新的因式。

2.公式法：对于一些特定的多项式，可以利用已知的公式进行因式分解。

常用的公式有平方差公式、差平方公式、和差积公式等。

3.配方法：对于一个二次多项式，可以通过配方法将其分解为两个一次多项式的乘积形式。

具体步骤是将二次项拆解成两个一次项相乘的形式，然后根据一次项的系数和常数项进行组合。

4.完全平方公式：对于一个二次多项式，如果能够表示为两个一次多项式的平方和的形式，则可以利用完全平方公式进行因式分解。

5.分组法：对于一个含有四个以上项的多项式，可以通过将其分成两组或多组来进行因式分解。

具体步骤是找出各组之间的公因式，然后进行提取，最后再对各组的公因式进行提取。

6.根据题目的要求进行因式分解：在实际问题中，可能会给出一些特殊的条件或要求，可以根据这些特殊条件进行因式分解。

三、因式分解的应用因式分解在数学中起到了重要的作用，它不仅可以简化代数式的计算，还可以帮助我们解决实际问题和证明数学定理。

以下列举了因式分解的一些常见应用。

1.求解方程和不等式：通过因式分解，可以将复杂的方程或不等式转化为简单的乘积形式，从而更容易求解。

2.展开与合并式子：通过因式分解，可以将复杂的多项式展开成为简单的乘积形式，或者将多个因式合并成为一个多项式。

初二数学分解因式的方法知识点初二数学分解因式的方法知识点在现实学习生活中，大家都背过各种知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。

那么，都有哪些知识点呢？下面是店铺整理的初二数学分解因式的方法知识点，欢迎阅读与收藏。

初二数学分解因式的方法知识点篇1注意四原则1.分解要彻底(是否有公因式，是否可用公式)2.最后结果只有小括号3.最后结果中多项式首项系数为正(例如：-3x^2+x=x(-3x+1))4.最后结果每一项都为最简因式归纳方法：1.提公因式法。

2.公式法。

3.分组分解法。

4.凑数法。

[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]5.组合分解法。

6.十字相乘法。

7.双十字相乘法。

8.配方法。

9.拆项补项法。

10.换元法。

11.长除法。

12.求根法。

13.图象法。

14.主元法。

15.待定系数法。

16.特殊值法。

17.因式定理法。

我们在竞赛上，又有待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，短除法，除法等。

初二数学分解因式的方法知识点篇2因式分解的一般步骤如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。

因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。

初中数学知识点：因式分解下面是对数学中因式分解内容的知识讲解，希望同学们认真学习。

因式分解因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。

因式分解要素：①结果必须是整式；②结果必须是积的形式；③结果是等式；④因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

作业帮一课初中独家资料之【初二数学】
核心知识点一：因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
核心知识点二：提公因式法因式分解
（1）公因式：多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式的公因式．
（2）提公因式法：一般地，如果多因式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 核心知识点三：公式法因式分解
（1）平方差公式：()()22a b a b a b -=+-
（2）完全平方公式：()
2
222a ab b a b ±+=±核心知识点四：因式分解的基本步骤
（1）有公因式先提公因式；
（2）提完公因式以后按照公式法分解. 因式分解基础方法の重点梳理
一、基础知识梳理
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二、知识体系梳理。

因式分解【知识点清单】知识点1：分解因式的定义1．分解因式：把一个多项式化成几个整式的知识点2：公因式公因式的确定：号）（2（3（4知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

知识点4公式法分解因式一、平方差公式分解因式法.二、完全平方式分解因式法差）的平方。

即a2+2ab+b2a2-2ab+b2考点1：因式分解的定义【例1】下列变形中,属于因式分解的是 ________．A．(a+b)(a－b)=a2－b2 B．x2－y2+4y－4=(x+y)(x－y)+4(y－1)C．a3－b3=(a－b)(a+ab+b) D．a2－10a+10=a(a－10)+10【例2】关于x的多项式22x+5x+m因式分解后，有一个因式是（x+4）求m的值。

变式训练1.下列各式从左到右的变形时因式分解的是（）A(.x+2)(x-2)= 2x -4 B(.a-b)(m-n)=(b-a)(n-m)C.ab-a-b+1 =(a-1)(b-1)D. 2m -2m-3=m 32m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 2.求值：23x x c ++因式分解为（x+1）（x+2），求c 。

考点2：提公因式分解因式【例3】1.因式分解（1）32310x y z --3532xy z +152x yz ；（2）11232n n n x x x +--+；（3）5m ()23()a b n b a ---2.求值：已知x 、y 均为正整数，且x （x-y ）-y （y-x ）=16，求x 、y 的值。

变式训练1.因式分解：（1）2a(a-b)+4a(2a+3b) （2）1141232n n n x x x +--+2.计算：2014201322-3求值：23a -a-2=0，求5+2a-62a 的值。

考点3：因式分解应用 【例4】求证：把一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能被99整除变式训练求正整数n ，422n n +-能被30整除。

第一讲因式分解知识梳理1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式f几个整式的积例：-ax+-bx=-x(a-∖-b)3 3 3因式分解，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幕的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：(1)提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。

公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

'系数一一取各项系数的最大公约数＜字母——取各项都含有的字母指数一一取相同字母的最低次塞例：↑2a3b3c-Sa3b2c3+βa4b2c2的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数为2；字母部分/匕3g。

302。

3,。

力力：都含有因式/∕c,故多项式的公因式是2a3b2c.②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。

多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把12/b78。

从一2447√分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次耗是ab,故公因式为6abo 解：↑2a2b-↑Sab2-24aV=6ab(2a-3b-4a2b2)例2：把多项式3。

-4)+x(4-R)分解因式解析：由于4-x=-(x-4),多项式3(x-4)+M4-x)可以变形为3(x-4)-X(X-4),我们可以发现多项式各项都含有公因式(工-4),所以我们可以提取公因式(x-4)后,再将多项式写成积的形式.解：3(x-4)+x(4-x)=3(x-4)-x(x-4)=(3-x)(x-4)例3：把多项式-f+2为分解因式解：-X2+2x=-(x2-2x)=-x(x-2)(2)运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

因式分解一、知识梳理1、因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解. 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.2、提取公因式法把ma+mb+mc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：ma+mb+mc=m（a+b+c）注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.3、运用公式法把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.ⅰ）平方差公式注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清a、b分别表示什么.ⅱ）完全平方公式注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成公式原型，弄清a、b分别表示的量.补充：常见的两个二项式幂的变号规律：4、十字相乘法借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l的二次三项式,寻找满足的ab、，则有5、分组分解法定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式，即可达到分解因式的目的。

例如：这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式.6、求根公式法：如果有两个根，那么二、典型例题及针对练习考点1 因式分解的概念例1、在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..考点2 提取公因式法2注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.[补例练习]1。

因式分解法知识点一、知识概述《因式分解法》①基本定义：因式分解法呢，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

简单说，就像是把一个大的“数学组合体”拆成几个小“零件”相乘的样子。

比如说多项式$x^2 - 4$，把它变成$(x + 2)(x - 2)$，这就是因式分解。

②重要程度：在数学这个学科里，它可太重要了。

在解方程里经常要用，如果不会因式分解，很多方程都解不出来。

而且在分式运算、化简代数式等方面也是超级重要的。

就好比在一个建筑工程里，它是基础中的基础，要是不会，后面一系列高楼大厦（复杂的数学问题）都盖不起来。

③前置知识：那得先掌握整式乘法的知识，像单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式这些。

还得知道基本的代数式运算规则，加减乘除啥的。

比如说不知道乘法规则，怎么能知道怎么把一个多项式拆成乘法的形式呢？④应用价值：实际应用啊，就比如在物理计算里，如果要化简一个关于力或者速度的表达式，可能就用到因式分解把式子变简单去计算。

再比如安排人员分组计算的时候，若关系用式子表示出来，因式分解能帮助快速算出分组个数和每组人数的关系。

二、知识体系①知识图谱：在数学这个大乐园里，因式分解算是代数部分的一个重要“景点”。

它跟很多地方都有联系，像是解方程的桥上、分式化简的城堡旁。

②关联知识：跟整式、方程、分式、代数式求值都有关系啊。

就像在一个大家庭里，它和其他成员相互帮助，整式为它提供原材料，方程依靠它来破解答案，分式需要它梳理关系，代数式求值借助它来变身简化。

③重难点分析：- 掌握难度：说实话，这个对于初学者有点难。

因为有时候要观察多项式的特点，不是一眼就能看出来怎么分解的。

- 关键点：关键就在于对多项式的形式要特别敏感。

看到多项式得能想到它可能用哪种分解方法，比如看到平方差形式，就知道可以用平方差公式。

④考点分析：- 在考试中的重要性：考试里经常出现啊，特别是在代数部分的考试中。

不管是选择题、填空题还是解答题，都有可能露面。

因式分解知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式，及形如x 2+(p+q)x+pq 的多项式因式分解，培养学生应用因式分解解决问题的能力.知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.知识点2 提公因式法多项式m a +mb+mc 中的各项都有一个公共的因式m ，我们把因式m 叫做这个多项式的公因式.m a +mb+mc=m(a +b+c)就是把m a +mb+mc 分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式(a +b+c)是m a +mb+mc 除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.【例题解析】：例1、下列变形是否是因式分解(1)3x 2y-xy+y=y(3x 2-x)；(2)x 2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x 2y 2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)x n (x 2-x+1)=x n+2-x n+1+x n .例2、:把下列整式分解因式（1）、c ab b a 323128- （2）m m m 2616423-+-（3）、)2()2(6x x x -+- （4）、23)(10)(5x y y x -+-练习：把下列整式分解因式（1)、.46z x y x - （2）、3223220155y x y x y x ++ （3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)（4）、(2a +b)(2a -3b)+(2a +5b)(2a +b) (5) 、4p(1-q)3+2(q-1)2知识点3 公式法(1)平方差公式：a 2-b 2=(a +b)(a -b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.例如：4x 2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)完全平方公式：a 2±2a b+b 2=(a ±b)2.其中，a 2±2a b+b 2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例如：4x 2-12xy+9y 2=(2x)2-2·2x ·3y+(3y)2=(2x-3y)2.【例题解析】例1 把下列各式分解因式.(1) (a +b)2-4a 2； （2）22)(9)(16b a b a +-- (3)1-10x+25x 2； (4)(m+n)2-6(m+n)+9.例2、把下列各式分解因式.(1)35x x - （2）44y x - (3)22363ay axy ax ++ (4)xy y x 4422+--练习： 把下列各式分解因式.（1）、;)()(22c b a c b a ---++ （2）;2824y y - （3）、.4)(4)(22m n m m n m ++++ （4）ab b a 81622--- （5）22242bn bmn bm ++ （6）;44322y y x xy --知识点4:分组分解法1．分组后能提取公因式例1把2105ax ay by bx -+-分解因式． 例2把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．2．分组后能直接运用公式例3把22x y ax ay -++分解因式． 例4把2222428x xy y z ++-分解因式．练习：把下列各式分解因式：(1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +-- (3) 251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +--知识点5 关于x 2+(p+q)x+pq 型二次三项式的因式分解x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).例1 把下列各式分解因式①x x 232++ ②x x 276-+ ③x x 2421--例2 把下列各式分解因式（1）x x 4268++ （2）()()ab ab ---+243 （3）m m n nm n 222228++---例3、 把下列各式分解因式（1）x x y y 2245+- （2）x x x 432328+- （3）x xy y 422489--练习： 把下列各式分解因式(1) 232x x -+(2) 23736x x ++ (3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n -- (6) 2()11()28a b a b -+-+知识点6：一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 例1把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-例2 分解因式（1）3212112()x x +-- （2）()()2523x y x yx y +-+-+ （3）253316522x x y y x y +----练习：把下列各式分解因式(1) ;71032++x x (2) ;61152+-y y (3) ;51272++a a(4) ;445112+-b b (5) ;18671422y xy x +- (6) .42854222y xy x +-知识点7：因式分解的应用： 例1： 解方程组⎩⎨⎧=-=-②①.12,5422y x y x 练习：解方程组⎩⎨⎧-=-=+.359,7322y x y x例2： 若a ，b ，c 是三角形的三边，且满足关系式a 2+b 2+c-a b-a c-bc=0，试判断这个三角形的形状.例3 利用因式分解计算下列各题.(1)234×265-234×65； (2)992+198+1.例5 若x 2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有( )A.2个B.3个C.4个D.6个练习：1、利用因式分解计算下列各题.(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9； (2)20022-4006×2002+20032；(3)5652×11-4352×11； (4)(543)2-(241)2.2、已知多项式2x 3-x 2+m 有一个因式(2x+1),求m 的值.3、已知a+b=5,ab=3,求代数式a 3b -2a 2b 2+ab 3的值.5.已知x 2+y 2-4x+6y+13=0,求x,y 的值。

整式乘除与因式分解一、知识点总结：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列： 如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+-- 按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x 按y 的升幂排列：3223221y y x xy x --++- 按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y 5、同底数幂的乘法法则：mnm na a a+= （n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：235()()()a b a b a b ++=+ 6、幂的乘方法则：mnnmaa =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即mn n m mna a a )()(==如：23326)4()4(4== 7、积的乘方法则：nnb a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙-8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。

因式分解的知识点总结因式分解的知识点总结篇1因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。

因式分解要素：①结果必需是整式②结果必需是积的形式③结果是等式因式分解与整式乘法的关系：m（a+b+c）公因式：一个多项式每项都含有的公共的`因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。

②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

提取公因式步骤：①确定公因式。

②确定商式③公因式与商式写成积的形式。

分解因式注意；①不准丢字母②不准丢常数项注意查项数③双重括号化成单括号④结果按数单字母单项式多项式次序排列⑤相同因式写成幂的形式⑥首项负号放括号外⑦括号内同类项合并。

因式分解的知识点总结篇21.因式分把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化。

2.因式分解的方法：常用“提取公因式法”“公式法”“分组分解法”“十字相乘法”。

3.公因式确实定：系数的最大公约数？相同因式的最低次幂。

注意公式：a+b=b+a；a—b=—（b—a）；（a—b）2=（b—a）2；（a—b）3=—（b—a）3、4.因式分解的公式：（1）平方差公式：a2—b2=（a+b）（a—b）；（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2—2ab+b2=（a—b）2、5.因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的.字母都具有整体性；（3）因式分解的最终结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最终结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最终结果要求加以整理；（6）因式分解的最终结果要求相同因式写成乘方的形式。

6.因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）敏捷分组；（8）提取分数系数；（9）打开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项。