卡当公式

卡当公式的推导好嘞，以下是为您生成的关于“卡当公式的推导”的文章：咱们先来说说卡当公式哈。

卡当公式在数学领域那可是相当重要的一部分。

还记得我之前教过的一个学生小明，这孩子特别聪明，就是在刚接触卡当公式推导的时候，那叫一个迷糊。

我就跟他说，别着急，咱们一步一步来。

要推导卡当公式，咱们得先从一元三次方程说起。

一般形式是 ax³ + bx² + cx + d = 0 （a ≠ 0）。

这看起来是不是有点复杂？别急，咱们慢慢拆解。

假设方程的解可以写成 x = u + v 的形式。

那把它代入方程里，一顿操作猛如虎，展开、合并同类项，能得到一堆式子。

这时候，咱们再给它加点料。

假设 3uv = -b ，通过这个假设，能得出一些新的关系式。

经过一系列复杂但有趣的运算和推导，就能慢慢得出卡当公式啦。

这中间的计算过程，那真是需要细心再细心。

就像小明，一开始总是在计算上出错，不是符号弄错了，就是系数没乘对。

我就告诉他，每一步都要像走在钢丝上一样，小心翼翼。

卡当公式的推导其实就像是搭积木，一块一块地往上放，每一块都要放稳当了，不然整个结构就会垮掉。

而且这个过程中，要有耐心，不能一看式子长了、复杂了，就打退堂鼓。

说起来，还有一次课堂小测试，专门考卡当公式的推导。

好多同学都叫苦连天，觉得太难了。

可我发现，只要是认真跟着推导步骤一步一步走的同学，都能拿到不错的分数。

卡当公式的推导虽然有点难度，但当你真正掌握了，那种成就感可真是无与伦比。

就好像你在黑暗中摸索了好久，突然看到了一丝光亮，然后顺着那光亮走，最终走出了黑暗，看到了一片广阔的天地。

所以啊，同学们，别怕卡当公式的推导，只要用心，都能搞定它！相信自己，加油！。

伽罗华（Évariste Galois，公元1811年~公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根数解（Solution by Radicals）的不可能性（其实当时已为阿贝尔（Abel）所证明，只不过伽罗华并不知道），和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。

虽然他已经发表了一些论文，但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西（Cauchy）遗失了，第二次则被傅立叶（Fourier）所遗失；他还与巴黎综合理工大学（école Polytechnique）的口试主考人发生顶撞而被拒绝给予一个职位。

在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。

他第三次送交科学院的论文均被泊松（Poisson）所拒绝。

伽罗华死于一次决斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。

他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一。

Galois小传：1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。

第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。

后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。

天才的童年1811年10月25日，伽罗华出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗瓦街的第54号房屋内。

现在这所房屋的正面有一块纪念牌，上面写着：“法国著名数学家埃瓦里斯特•伽罗瓦生于此，卒年20岁，1811～1832年”。

纪念牌是小镇的居民为了对全世界学者迄今公认的、曾有特殊功绩的、卓越的数学家——伽罗瓦表示敬意，于1909年6月设置的。

伽罗瓦的双亲都受过良好的教育。

卡丹公式推导全过程The Cardano formula, also known as Cardano's method, is a method for solving cubic equations. This formula was derived by the Italian mathematician Gerolamo Cardano in his 1545 book Ars Magna. The Cardano formula is an important and fundamental result in mathematics, as it provides a way to find the roots of cubic equations using only elementary algebraic operations.卡丹公式，也被称为卡丹方法，是一种解决三次方程的方法。

这个公式是由意大利数学家杰罗拉莫·卡丹在他的1545年著作《Ars Magna》中导出的。

卡丹公式是数学中的一个重要而基本的结果，因为它提供了一种只使用基本代数运算就能找到三次方程的根的方法。

The Cardano formula can be applied to any cubic equation of the form \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\), where \(a \neq 0\). The first stepin using the Cardano formula is to remove the quadratic term by making a substitution \(x = y - \frac{b}{3a}\). This simplifies the equation to a depressed cubic form, \(y^3 + py + q = 0\), where \(p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}\) and \(q = \frac{2b^3 - 9abc +27a^2d}{27a^3}\).卡丹公式可以应用于任何形式为\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)的三次方程，其中\(a \neq 0\)。

复数的发展过程高祥旭在高中数学的学习中我们就学习了有关“复数”的知识，知道这是根据实际的需要，在实数的基础上扩充得到的新的数域。

这是许多数学家经过200多年不懈努力的结果,下面来看看它的发展过程：16世纪意大利米兰学者卡当在1545年发表了《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称为“卡当公式”,他是第一个把复数的平方根邪道公式中得数学家。

他在讨论能否把10分成两部分，使它们的积为40时。

尽管他认为是没有意义的,可还是把答案写成就这样把10分成两部分,而答案为40。

1637年，法国数学家笛卡尔在《几何学》一书中提出：“虚的数”与“实的数相对应"。

自此,虚数流传开来，但却引起数学系的一片困惑。

很多大数学家都不承认。

1702年德国数学家莱布尼茨说:“虚数是神灵循迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界种的两栖物”.欧拉也说过：“一切形如，的数学式子是不可能有的”,“它们纯属虚幻的”.然而。

真理是经得起考验的。

1747年，法国数学家达朗贝尔指出按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算法则对虚数进行运算结果总是（a，b是实数）的形式。

1730年，法国数学家棣莫佛发现公1748年，欧拉发现了有名的关系式并且在1777年发表的《微分公式》中第一次用了i来表示—1的平方根。

1779年,挪威的测量学家成塞尔给虚数以直观的几个解释并首先发表了其作法，但没有引起学术界的重视。

1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图象表示法,又在1832年提出“复数”这个名词，并且将复数的知识系统的表述出来。

终于虚数在高斯手中得到发展.自此复数理论才比较完整和系统的建立起来。

然而复数概念的进化是数学史中最奇特的一章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。

人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。

在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识,而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地.1545年,此时的欧洲人尚未完全理解负数、无理数，然而他们智力又面临一个新的“怪物"的挑战.笛卡尔（Descartes,1596-1650)也抛弃复根，并造出了“虚数"（imaginary number）这个名称.对复数的模糊认识,莱布尼兹（Leibniz，1646- 1716）的说法最有代表性：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的—1的平方根。

最新小学数学故事《数学的“秘密”被公开了》
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今天我们知道，一元三次方程解法的最早发现者，是意大利的数学家塔塔利亚。

但是在数学史上，一元三次方程的求根公式却叫做卡当公式。

为什么呢?卡当又是谁呢?卡当也是一个数学家。

塔塔利亚在与菲俄的数学挑战中获胜，这个消息传遍了意大利全国，也传到了数学家卡当的耳朵里面。

卡当正在编一本数学专著《大法》，他非常想把解一元三次方程的最新成果写到书里。

他就去找塔塔利亚，要求塔塔利亚把三次方程的解法告诉他。

塔塔利亚当然不会轻易开口。

卡当也不轻易放弃。

他用尽了各种方法，对塔塔利亚软磨硬泡，还对天发誓一定不告诉别人。

塔塔利亚想了半天，这才把解法写成一首很难懂的诗，交给了卡当。

卡当回去以后，拿着塔塔利亚给他的诗，左看右看，上看下看，仔细研究，终于弄清了诗的意思，还给出了证明。

他就把这个解法写进了《大法》这本书里，还出版了。

他在书里面写到：这一解法来自一位最值得尊敬的朋友布里西亚的塔塔利亚。

塔塔利亚在我的恳求之下把这个方法告诉了我，但是他没有给出证明。

我找到了几种证法，证法很难，我把它。

意大利数学家求解三、四次方程的思想方法16世纪以前，数学家们一直未能找到三次方程的一般求根公式，但在这之前人们已经得出了一元一次和二次方程的求根公式。

在一部14世纪的意大利数学手稿中，作者类比一元二次方程的求根公式，给出了方程c bx ax +=3的错误求根公式。

15世纪意大利数学家帕西沃里（L.paccioli,1445—1509）在其《算术，几何，比例和比例性概率》中称，求解三，四次方程c bx ax =+3，c bx ax =+23和c bx ax =+34在当时和“画圆为方”问题一样是不可能的。

这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数学家迎接挑战的号角。

以此为序曲引出了我们要讲述的关于三，四次方程求解的故事。

1. 费罗对三次方程的求解在帕西沃里做出悲观结论不久，大约1500年左右，波仑大学的算术与几何学教授费罗（Ferro,1465—1562）用代数方法得到了n mx x =+3这样一类缺项三次方程的求解公式，据说他的工作是以更早的阿拉伯资料为基础的。

但他并没有马上发表自己的成果，这在现在我们看来是不太可能的，但在当时社会，一个人要想保住自己的大学职位，必须在与他人的学术论争中不落败。

因此一个重要的新发现就成了一件在论争中保持不败之地的有力武器。

直到费罗去世前才把三次方程的求法传给了他的学生菲奥。

费罗对缺项三次方程的求法并没有公布于世，但后来的数学家们并没有停止对三次方程根的探求。

2.塔塔利亚对三次方程的探求2.1 塔塔利亚生平塔塔利亚1499年出生于意大利的布雷西亚城，小时因头部受伤留下口吃的后遗症，14岁因交不起学费而辍学，但他很早就表现出惊人的数学才能。

1543年，他去了威尼斯，当上了数学教授。

图1塔塔利亚2.2 塔塔利亚对三次方程的求解1530年，科伊（T.da Coi ）向塔塔利亚请教了两个问题：(1)一数的平方根加3，乘以该数，积为5，求该数；(2)求三数，其中第二数比第一数大2，第三数又比第二数大2，三数乘积为1000。

卡当公式卡当公式卡当公式三次方程解法被称为“卡尔达诺公式”或“卡当公式”流传开来．卡尔达诺公布的解法可简述如下：方程x^3＋px=q(p，q为正数)．(1)卡尔达诺以方程x3＋6x＝20为例说明这一方法，他得到的解是x=过同样的程序得到他还求出x^3＋px＋q＝0和x^3＋q＝px(p，q为正数)的公式解，就是说他已经能解任何形式的三次方程了．毫无疑问，这里包含了塔尔塔利亚的工作．但需要说明的是，他们像当时其他数学家一样，解方程只求正根，所以解法还是不完善的．管会受到多大的良心的责备”，把这两个根相乘，会得25－(-15)＝40．于是他写道：“算术就是这样神秘地搞下去的，它的目标，正如常言所说，是又精致又不中用的．”他既承认负数有平方根，又怀疑它的合法性，因此称它为“诡变量”．但不管怎样，虚数毕竟在卡尔达诺那里诞生了．他还进一步指出，方程(指实系数方程)的虚根是成对出现的．三次方程成功地解出之后，卡尔达诺的学生费拉里(L．Ferrari，1522—1565)受到启发，很快解出了四次方程，解法也发表在卡尔达诺《大术》中．下面用现代符号表出．设方程为x^4＋bx^3+cx^2+dx+e＝0．(4)移项，得x^4＋bx^3=-cx^2-dx-e，右边为x的二次三项式，若判别式为0，则可配成x的完全平方．解这个三次方程，设它的一个根为y0，代入(5)，由于两边都是x的完全平方形式，取平方根，即得解这两个关于x的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．在卡尔达诺之后，韦达对三次方程和四次方程解法作了进一步改进．1591年发表的《分析术引论》(Inartemanalyticemisagoge)中，他是这样解三次方程的：对于x3+bx^2+cx+d=0，结果得到简约三次方程y^3＋py＋q＝0 他和卡尔达诺一样，只考虑方程的正根．韦达不仅研究方程解法，还努力寻找方程的根与系数的关系，在《论方程的识别与修正》(Deaequationumrecog－nitoneetemendatjone，写于1591年，出版于1615年)中，他提出了四个定理，后人为了纪念这位大数学家，称之为韦达定理．二次方程的韦达定理是我们经常使用的，就对方程理论作出重要贡献的另一位数学家是笛卡儿．他承认方程的负根，并研究了多项式方程的正根和负根个数的规律，得到著名的笛卡儿符号法则：多项式方程f(x) =0的正根个数等于方程系数的变号次数，或比此数少一正偶数；负根个数等于f(-x)的系数的变号次数，或少于此数一个正偶数．在这里，m重根是看作m个根的．实际上，正根个数和负根个数都可表成n-2p的形式，其中n是f(x)或f(-x)的系数变号次数，p为0，1，2…，p的取值要使n－2p非负．笛卡儿还研究了方程的根的个数同方程次数的关系，认为n次方程至多有n个根．在讨论三次方程时，他得到如下结论：若一有理系数三次方程有一个有理根，则此方程可表为有理系数因子的乘积．他的另一项重要成果是现今所谓因子定理：f(x)能为(x-a)整除(a＞0)，当且仅当a是f(x)＝0的一个根，所有这些成就都是在笛卡儿《方法论》(DiscoursdelaMéthod，1637)的附录《几何》(LaGéometrie)中出现的．除了方程以外，二项式定理的发现也在代数史上占有一席之地．实际上，指数为正整数的二项式定理(即(a＋b)n在n为正整数时的展开式)曾被不同民族多次独立发现．11世纪的中国人贾宪和15世纪的阿拉伯数学家卡西(al－Kāshī)各自得到如下形式的三角形这个三角形特点是，左右两行的数都是1，中间每个数为肩上两数之和．在欧洲，德国数学家阿皮安努斯(P．Apianus，1495—1552)最早给出这个三角形(1527年)，1544年左右，施蒂费尔引入“二项式系数”这个名称，并指出怎样从(1＋a)n-1来计算(1＋a)n．1653年，帕斯卡写成《算术三角形》(Traitédutrianglearith métique)一书，从上述三角形出发，详细讨论了二项展开式的系数．该书于1665年出版后，影响很大．由于帕斯卡在数学界的威望，人们习惯地称此三角形为帕斯卡三角形．实际上，他的功绩主要是通过组合公式给出了二项式系数，即牛顿(T．Newto n，1643—1727)进一步认识到，这个公式不仅适用于指数为正整数的二项展开式，而且当指数为分数或负数时，同样适用．他把二项式定理推广到分指数和负指数的情形，指出这三种形式的二项展开式第1项都是1，后面各项系数及字母指数也具有相同的变化规律：设n，m为正整数，则三次方程解法被称为“卡尔达诺公式”或“卡当公式”流传开来．卡尔达诺公布的解法可简述如下：方程x^3＋px=q(p，q为正数)．(1)卡尔达诺以方程x^3＋6x＝20为例说明这一方法，他得到的解是x=过同样的程序得到他还求出x^3＋px＋q＝0和x^3＋q＝px(p，q为正数)的公式解，就是说他已经能解任何形式的三次方程了．毫无疑问，这里包含了塔尔塔利亚的工作．但需要说明的是，他们像当时其他数学家一样，解方程只求正根，所以解法还是不完善的．管会受到多大的良心的责备”，把这两个根相乘，会得25－(-15)＝40．于是他写道：“算术就是这样神秘地搞下去的，它的目标，正如常言所说，是又精致又不中用的．”他既承认负数有平方根，又怀疑它的合法性，因此称它为“诡变量”．但不管怎样，虚数毕竟在卡尔达诺那里诞生了．他还进一步指出，方程(指实系数方程)的虚根是成对出现的．三次方程成功地解出之后，卡尔达诺的学生费拉里(L．Ferrari，1522—1565)受到启发，很快解出了四次方程，解法也发表在卡尔达诺《大术》中．下面用现代符号表出．设方程为x^4＋bx^3+cx^2+dx+e＝0．(4)移项，得x^4＋bx^3=-cx^2-dx-e，右边为x的二次三项式，若判别式为0，则可配成x的完全平方．解这个三次方程，设它的一个根为y0，代入(5)，由于两边都是x的完全平方形式，取平方根，即得解这两个关于x的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．在卡尔达诺之后，韦达对三次方程和四次方程解法作了进一步改进．1591年发表的《分析术引论》(Inartemanalyticemisagoge)中，他是这样解三次方程的：对于x^3+bx^2+cx+d=0，结果得到简约三次方程y^3＋py＋q＝0 他和卡尔达诺一样，只考虑方程的正根．韦达不仅研究方程解法，还努力寻找方程的根与系数的关系，在《论方程的识别与修正》(Deaequationumrecog－nitoneetemendatjone，写于1591年，出版于161 5年)中，他提出了四个定理，后人为了纪念这位大数学家，称之为韦达定理．二次方程的韦达定理是我们经常使用的，就对方程理论作出重要贡献的另一位数学家是笛卡儿．他承认方程的负根，并研究了多项式方程的正根和负根个数的规律，得到著名的笛卡儿符号法则：多项式方程f(x) =0的正根个数等于方程系数的变号次数，或比此数少一正偶数；负根个数等于f(-x)的系数的变号次数，或少于此数一个正偶数．在这里，m重根是看作m个根的．实际上，正根个数和负根个数都可表成n-2p的形式，其中n是f(x)或f(-x)的系数变号次数，p为0，1，2…，p的取值要使n－2p非负．笛卡儿还研究了方程的根的个数同方程次数的关系，认为n次方程至多有n个根．在讨论三次方程时，他得到如下结论：若一有理系数三次方程有一个有理根，则此方程可表为有理系数因子的乘积．他的另一项重要成果是现今所谓因子定理：f(x)能为(x-a)整除(a＞0)，当且仅当a是f(x)＝0的一个根，所有这些成就都是在笛卡儿《方法论》(DiscoursdelaMéthod，1637)的附录《几何》(LaGéometrie)中出现的．除了方程以外，二项式定理的发现也在代数史上占有一席之地．实际上，指数为正整数的二项式定理(即(a＋b)n在n为正整数时的展开式)曾被不同民族多次独立发现．11世纪的中国人贾宪和15世纪的阿拉伯数学家卡西(al－Kāshī)各自得到如下形式的三角形这个三角形特点是，左右两行的数都是1，中间每个数为肩上两数之和．在欧洲，德国数学家阿皮安努斯(P．Apianus，1495—1552)最早给出这个三角形(1527年)，1544年左右，施蒂费尔引入“二项式系数”这个名称，并指出怎样从(1＋a)n-1来计算(1＋a)n．1653年，帕斯卡写成《算术三角形》(Traitédutrianglearith métique)一书，从上述三角形出发，详细讨论了二项展开式的系数．该书于1665年出版后，影响很大．由于帕斯卡在数学界的威望，人们习惯地称此三角形为帕斯卡三角形．实际上，他的功绩主要是通过组合公式给出了二项式系数，即牛顿(T．Newto n，1643—1727)进一步认识到，这个公式不仅适用于指数为正整数的二项展开式，而且当指数为分数或负数时，同样适用．他把二项式定理推广到分指数和负指数的情形，指出这三种形式的二项展开式第1项都是1，后面各项系数及字母指数也具有相同的变化规律：设n，m为正整数。

莫衷一是的数学怪杰——卡当作者：林革来源：《科学24小时》2012年第02期卡当是一位有很多缺陷的伟人；假如没有这些缺陷，他将是无与伦比的！他不是鼎鼎大名、备受推崇的数学大师，但他却是文艺复兴时期举足轻重的数学家；他不是身世清白、研究专一的纯粹学者，但他坎坷离奇、跌宕起伏的经历令人感佩；他称不上是光明磊落、令人尊敬的谦谦君子，但他对于数学的执著、领悟和贡献却有据可查、勿容置疑；他圆滑诡异的处事方式和亦正亦邪的处世风格，在他身后被贴上欺世盗名的恶名，同时也在数学史上留下了颇受争议的另类数学家之名。

他就是意大利数学家、著名医生，并在哲学、物理学、人文学和星占学领域都有相当成就的卡当。

卡当1501年出生于意大利帕维亚，据说他是一个法官和一个寡妇的私生子。

也正因为此，卡当在呱呱坠地之时就历经劫难：不想要这个孩子的父母用尽各种手段试图堕胎，但始终没有奏效。

出生的时候又是难产，几乎“被硬生生地从母亲的子宫中拽出来” 的他差点夭折，是医生用热酒给他从头到脚洗了一遍，这才勉强保住了性命。

但在婴幼时期遭遇的摧残却给卡当留下了终生的痛苦，他一生的身体状况都处于非常糟糕的状态，一连七八夜失眠是家常便饭，心脏、肾脏各器官功能不良，伴随着不计其数的其他疾病，这导致他的精神也不完全正常。

他经常狠咬自己的嘴唇，狠扭手指或猛掐胳膊上的皮肤，直到疼得流出眼泪。

按照他自己的说法，这样自虐是因为停下来时的感觉无比舒畅。

童年的不幸和磨砺使卡当的个性呈现极端扭曲的状态。

从小智力超群的他生性孤僻、自负、缺乏幽默感、不能自我反省，并且往往表现得冷漠无情，喜欢走旁门左道和极端。

在40岁之前穷困潦倒的他为了逃避拮据的生活、病痛、诽谤和不公平的待遇，曾在25年之中每天摆弄骰子。

这也从另一方面反映出卡当对各种事物浓厚的兴趣和钻研的热情。

事实上，卡当在青少年时代，就努力钻研数学、物理及赌博等所有自己想深入了解的领域，而后他又进入帕维亚大学学习医学，并以优异成绩毕业，这显示了卡当全面扎实的知识素养。