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解三次方程的公式摘要：1.三次方程的一般形式2.三次方程的解法3.解三次方程的公式推导4.公式应用示例5.结论正文：在数学中，三次方程是一种较为复杂的方程，其一般形式如下：ax + bx + cx + d = 0其中，a、b、c、d 为常数，且a ≠ 0。
要解这种方程，我们可以使用以下方法。
首先，我们需要找到方程的判别式。
判别式的公式为：Δ= b - 3ac接下来，根据判别式的值，我们可以判断方程的根的情况：1.当Δ > 0 时，方程有三个不等实根；2.当Δ = 0 时，方程有一个实根（重根）；3.当Δ < 0 时，方程无实根。
那么，如何求解三次方程的根呢？我们可以利用以下公式：x1,2,3 = [-b ± √(b - 3ac)] / (3a)根据公式，我们可以计算出方程的三个根。
需要注意的是，在计算过程中，我们要确保使用的数值精度足够高，以避免误差。
接下来，我们通过一个示例来演示如何应用这个公式。
假设我们有如下三次方程：2x - 3x + 2x - 1 = 0根据公式，我们可以计算出方程的三个根：x1,2,3 = [3 ± √(9 - 3×2×(-1))] / (3×2)经过计算，我们得到：x1 ≈ 1.0715，x2 ≈ 0.3857，x3 ≈ -0.3857因此，这个三次方程的解为x1 ≈ 1.0715，x2 ≈ 0.3857，x3 ≈ -0.3857。
总之，解三次方程的公式为我们提供了一种有效的方法来求解这种复杂方程。
通过计算判别式和应用公式，我们可以轻松地求得方程的三个根。
一元三次方程的一般解法一元三次方程是一种数学形式，描述数据变化以及解答相应问题的方程，常被用于解答实际存在的问题。
了解一元三次方程解法，对于准确解决实际中涉及数学的问题具有重要意义。
那么，具体一元三次方程的一般解法有哪些呢？一、特征方程法特征方程法是一种天然的、直观的解决一元三次方程的方法，即对一元三次方程的三次项求特征多项式，并求解相应的根，从而求出方程的根。
1. 先求特征多项式的根：(1) 将方程的各项分别排列，把系数加以收敛，使其构成方程的一个齐次多项式；(2) 将齐次多项式化为零，并求解得出特征多项式；(3) 根据特征多项式的分母，根据普通的多项式求根法求出一元三次方程的特征多项式的根，即一元三次方程的解。
2. 根据特征多项式的根求一元三次方程的解：(1) 如果特征多项式只有一个根，则可以将此根作为一元三次方程的解；(2) 如果特征多项式有多个不相等的根，则可以将此多个根作为一元三次方程的解；(3) 如果特征多项式有多个相等的根，则每个相等的根可以作为一元三次方程的两个解，即一元三次方程的解即为特征多项式的根组成的有理方程组。
二、分段组合解法把一元三次方程分解成若干内容较为简单的一元二次方程的求解过程，将已知的实数范围分成若干段，由此确定出每一段内适当的近似解，然后结合方程的初始条件，最终得到方程的解。
三、借助代数解法借助代数解法，将一元三次方程变为积分方程，先求积分方程的积分，再利用积分的特性和方程的恰当初值条件，求得方程的解。
四、精确积分法将一元三次方程转化为形式适当的积分分段函数部分，然后对积分分段函数进行精确的积分，通常最后只要代入一个数值即可计算出方程的解。
总结1. 特征方程法：首先求解特征多项式并求其根，从而得到方程的根；2. 分段组合解法：将已知实数范围分成若干段，确定适当的近似解，结合方程的初始条件，求出方程的解；3. 借助代数解法：将一元三次方程变为积分方程，求其积分并应用解法特性，得到一元三次方程的解；4. 精确积分法：先将一元三次方程转化为形式适当的积分分段函数，再精确积分，最后代入一个数值即可计算出方程的解。
3次方程求解方法三次方程，即含有三次项的方程，可一般表示为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0其中a、b、c、d为已知系数，且a≠0。
解三次方程一般有四种方法：代入法、化为二次方程法、牛顿迭代法和Cardano公式法。
下面将逐一介绍这四种方法。
一、代入法代入法是一种直观的解方程的方法。
步骤如下：1.假设已知解为x=r，将r代入原方程得到一个二次方程；2.求解二次方程，得到解r；3.将r代入原方程，检验是否满足。
当然，这种方法的前提是我们能够猜测到一个解r，且这个解确实存在。
二、化为二次方程法化为二次方程法又称Vieta定理法。
其思想是通过变量代换将三次方程转化为二次方程，再用求解二次方程的方法求解。
步骤如下：1.设x=t-b/3a，其中t是未知数，代入原方程化简；2.移项整理后得到一个以t为未知数的二次方程；3.求解二次方程，得到解t；4.通过t求解原方程。
三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算方法，可以用来求方程的近似解。
步骤如下：1.假设已知解x0；2.假设x0附近存在解，通过牛顿迭代公式x=x0-f(x0)/f'(x0)求解近似解；3.重复步骤2，直至近似解达到所需精度。
四、Cardano公式法Cardano公式法适用于一般的立方方程。
步骤如下：1. 将原方程形式化为x^3 + px + q = 0；2. 令y = x + p/3x，将方程化为y^3 + ry + s = 0；3.引入一个新的变量z，使得y和z的线性项抵消，得到一个关于z 的二次方程；4.求解这个二次方程，得到根z；5.通过z回代求解y；6.通过y回代求解x。
四种方法中，代入法和化为二次方程法相对简单，适用于能够猜测到解的情况。
而牛顿迭代法和Cardano公式法更加复杂，适用于无法直接得到解的情况。
综上所述，解三次方程有多种方法，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
在实践中，通过结合多种方法，可以更加高效地求解三次方程。
1.方程得形式为Y^3+aY^2+bY+c=0得形式我们先对它做处理把它得二次项消去这个我们利用二次项得原理就知道如何换元了令Y=X-a/3这样带入就消去了二次项同时得到了一个新得方程X^3+mX+n=0通过两个方程相同我们可以知道有这样得关系式m=・a 八2/3+bn=2/27a^3-ab/3+c到了上而一步我们就把任何一个三次方程转换成为x^3+ax+b=0得形式了[p、S：这里得参数与第一个Y^3+aY^2+bY+c=0不同了 ] 在这个方程中我们把x=u+v得形式表示为方(*)程得解带入得到u^3+v^3+b+(3uv+a)(u+v)=0这个时候就有M3+"3=O (用公式)以及3uv+a=0这个时候我们可以把上而得两个式子转化为一个二次方程学过二次方程得解法得都会知道最后得"3,«3得值而U+V才就是原方程得解这个时候我们由3uv+a=0可以知道方程得最后得解就是U+VUW 人2+VWuw+vw八2 （另外强调下W我们前面以经介绍过7就就是XA3=1得单位根）这样我们就得出了一般得思路方法接下来我们开始讨论这个解得类型u^3+v^3=03uv+a=0这个方程组表示得二次方程得最后得判别式为"2/4+23/27=6当B>0时,23不等于"3 此时方程有一个实根与两个虚根当B=0得时候u^3=v^3这时方程有两个等根与另外一个根当BvO,uA3,v人3就是共扼虚数方程有三个不同得实数根上面都就是理论步骤具体得下面我们给几个例题并且介绍一般得四次方程得解法另外强调下'W，我们前面以经介绍过了就就是X^3=l得单位根大家有兴趣可以去解下例题1：XA3+3X 人2+9X+9=0解：首先根据有理根得理论我们带入9得因子（所有得）与1得比值正负1,正负3,以及正负9都不就是原方程得根所以它没有有理根这时对它令X二Y・1得到YA3+6Y+2 二0这个我们得到了"3 二2"3 二4那么带入U+VuwT+vwuw+vwT就可以得出这个方程得解为:XI 二(2)八(1/3卜(4)人(1/3)・1 X2=(2)^( l/3)w^2-(4)^( l/3)w-1 X3=(2)^( l/3)w-(4)^( l/3)w^2-1。
三次方程的解法归纳总结
三次方程是高等数学中的常见问题，解三次方程可以通过多种方法来实现。
本文将总结并归纳了解三次方程的几种常见方法。
一、牛顿法
牛顿法是一种迭代求解方程根的方法，可以用于解三次方程。
具体步骤如下：
1. 选择一个初始近似值$x_0$；
2. 根据迭代公式$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$计算下一个近似值$x_{n+1}$，直到达到精度要求；
3. 最终得到的近似值即为方程的解。
二、代换法
代换法是一种将三次方程转化为二次方程来解决的方法。
具体步骤如下：
1. 将三次方程写成标准形式$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$；
2. 通过代换$x = y - \frac{b}{3a}$将三次方程转化为形如$y^3 + py + q = 0$的二次方程；
3. 解二次方程$y^3 + py + q = 0$，得到$y$的值；
4. 将$y$的值代入$x = y - \frac{b}{3a}$中，得到$x$的值；
5. 最终得到的$x$即为方程的解。
三、公式法
对于特定形式的三次方程，我们可以使用公式来直接求解。
常见的公式包括：
1. 比尔卡诺公式：用于求解齐次三次方程，形如$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$；
2. 卡戴尔公式：用于求解非齐次三次方程，形如$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$。
根据具体的方程形式，选择相应的公式进行求解即可。
综上所述，解三次方程的方法包括牛顿法、代换法和公式法。
选择合适的方法可以更快地求解三次方程，并得到准确的解。
三次方程的应用知识点总结三次方程作为高中数学中的一个重要知识点，是解决一些实际问题的关键。
它在数学建模、物理等领域中有广泛的应用。
下面将对三次方程的性质、解法以及应用进行总结。
一、三次方程的性质1. 三次方程的一般形式为ax³ + bx² + cx + d = 0，其中a、b、c、d为实数，且a≠0。
2. 三次方程的最高次项是三次项，所以它的图像通常是一条曲线，可以是上凸曲线、下凸曲线或者S型曲线。
3. 三次方程的解可以有一个实根和两个共轭虚根，也可以有三个实根。
二、三次方程的解法1. 整式综合法：通过对三次方程进行展开和整理，利用因式分解或配方法将其化简为一次式和二次式的乘积，并求解出各个方程，最终得到三次方程的解。
2. 二次截点法：将三次方程与y轴相交的点、与x轴相交的点作为已知条件，通过构造方程求解出各个方程，进而求得三次方程的解。
3. 根与系数的关系：根据三次方程的系数和根之间的关系，可以列出Vieta定理，从而通过系数之间的运算求解出未知数。
三、三次方程的应用1. 几何问题：例如求解三次方程表示的曲线与坐标平面图形的交点问题，如与x轴、y轴相交的坐标点等。
2. 物理问题：例如求解三次方程表示的速度、加速度、质量等与时间的关系问题，如物体自由下落的加速度、弹簧振动的周期问题等。
3. 经济问题：例如求解三次方程表示的成本、收益等与产量的关系问题，如制造成本与产量的关系、销售收益与产量的关系等。
4. 工程问题：例如求解三次方程表示的弧线的长度、面积等问题，如管道弯曲处的水流速度、轨道上的列车运行时间等。
总结：三次方程是求解实际问题的一种强有力的工具。
掌握了三次方程的性质和解法，我们能够更好地应用它来解决各种数学、物理、经济、工程等领域的问题。
通过不断的学习和实践，我们能够提高解三次方程的能力，并在实际应用中灵活运用，从而更好地解决问题。
三次方程---解法练习(4个常见方法)及例题引言本文将介绍四种常见的解三次方程的方法，并通过例题进行练。
解三次方程是数学中的重要内容之一，掌握相应的解法可以帮助我们更好地理解和解决问题。
方法一：因式分解法三次方程的因式分解法是一种常见的解法。
我们可以通过将三次方程化简为二次方程或一次方程，然后进行因式分解，寻找方程的根。
例题一：求解方程 x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0解：首先，观察该方程可以发现，x = 2 是一个根，即方程可以被(x - 2) 整除。
通过因式分解可得：(x - 2)(x^2 + 5x + 6) = 0进一步分解为：(x - 2)(x + 2)(x + 3) = 0解得方程的三个根为 x = 2, x = -2, x = -3。
方法二：配方法三次方程的配方法是另一种常见的解法。
通过选取适当的替换变量，将三次方程转化为一个更容易求解的方程。
例题二：求解方程 x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0解：我们选择 x = t - (b/3a) 进行替换，其中 t 是一个新的变量，b 是二次项的系数，a 是三次项的系数。
将方程进行替换，得到 (t - 2)^3 - 6(t - 2)^2 + 11(t - 2) - 6 = 0对上述方程进行展开和化简后，得到 t^3 - 12t^2 + 34t - 23 = 0 解得方程的根为 t = 1, t = 2, t = 11再将 t 的值带回原方程，得到 x 的值为 x = -1, x = 0, x = 9方法三：综合除法与剩余定理综合除法与剩余定理是用来解三次方程的另一种方法。
通过综合除法和观察剩余项的特点，可以求得方程的根。
例题三：求解方程 x^3 + 2x^2 - 3x - 10 = 0解：我们假设 x = a 是方程的一个根，然后使用综合除法得到剩余项。
将方程应用综合除法，得到 (x - a)(x^2 + (2a - 3)x + (4a - 10)) = 0观察剩余项，我们发现它是一个二次方程 x^2 + (2a - 3)x + (4a - 10)。
3次方程求解方法3次方程是数学中一类重要的方程，包括一元三次方程和二元三次方程。
一元三次方程的解法有求根公式法、插值法和图像法。
二元三次方程的解法有求根公式法、插值法和图像法。
下面，我们将详细介绍求解三次方程的方法。
一、求根公式法求根公式法是一种有效的求解三次方程的方法。
一元三次方程的求根公式是：ax3+bx2+cx+d=0，那么它的解析式是：x1=-b/3a+[bc/3a-3aab2/2a2]1/2+[2a3d/bc2-9a2d/2b3]1/3，x2=[bc/3a-3aab2/2a2]1/2-b/3a+[2a3d/bc2-9a2d/2b3]1/3，x3=-[bc/3a-3aab2/2a2]1/2-b/3a-[2a3d/bc2-9a2d/2b3]1/3。
二元三次方程的求根公式为：ax3+by3+cz3+dxy+exz+fxyz+g=0，它的解析式为：x=[2ad-bc2/6b2a2]1/3，y=[-ac3+9abc2-27a2d-2b3f/27b3a2]1/3，z=[9ab2c-27a2c-2b3d+bc3/27b3a2]1/3。
二、插值法插值法是一种求解三次方程的直接方法，其原理是在给定三个点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)，令 ax3+bx2+cx+d=0，其中 a、b、c、d是待求参数，计算得：a=-[(x2-x1)(x3-x1)(y2-y1)-(x2-x1)(x3-x2)(y3-y2)]/[(x2-x1)^3 (x3-x2)-(x2-x1)^2(x3-x1)]，b=[(x3-x1)^2(y2-y1)-(x2-x1)^2(y3-y2)]/[(x2-x1)^3(x3-x2)-(x2-x1)^2(x3-x1)]，c=-[(x2-x1)(x3-x2)^2(y2-y1)-(x2-x1)^2(x3-x2)(y3-y2)]/[(x2-x 1)^3(x3-x2)-(x2-x1)^2(x3-x1)]，d=(x2-x1)^2(x3-x1)^2(y2-y1)/[(x2-x1)^3(x3-x2)-(x2-x1)^2(x3-x1)]。
三次方程通解引言三次方程是指次数为3的代数方程，它的一般形式可以表示为ax3+bx2+cx+d=0。
解三次方程是高中数学中的重要内容，求解三次方程的通解可以帮助我们理解方程的性质和解法。
本文将深入探讨三次方程的通解及其相关内容。
三次方程的一般解法为了求解三次方程的通解，我们可以运用一些特定的解法。
下面介绍三次方程的三种常见解法：牛顿迭代法、Cardano公式和Vieta定理。
牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算方法，通过迭代逼近的方式求解方程。
对于三次方程，我们可以将其转化为一个不动点问题，然后利用迭代法求解。
具体步骤如下： 1. 假设三次方程的根为x，求方程的导数f′(x)。
2. 根据牛顿迭代公式x n+1=x n−f(x n)f′(x n)，进行迭代计算。
3. 当x n+1与x n的差值小于某个阈值时，迭代停止，x n即为方程的一个根。
需要注意的是，三次方程可能有三个实根或一个实根和两个共轭复根。
在进行牛顿迭代时，需要针对不同的情况进行处理。
Cardano公式Cardano公式是一种解三次方程的代数方法。
它是由意大利数学家Gerolamo Cardano在16世纪提出的。
对于一般的三次方程ax3+bx2+cx+d=0，Cardano公式给出了一种求解的方法： 1. 将方程转化为标准形式，即x3+px+q=0。
其中p=ba ，q=ca。
2. 引入一个新的变量y，使得x=y−p3，将方程转化为y3+py+q−p327=0。
3. 利用Cardano公式y=√−q2±√(q2)2+(p3)33得到y的解。
4. 将y的解代入x=y−p3，得到原方程的根。
Cardano公式的求解过程较为复杂，计算过程中会出现复数解。
但这种方法对于求解一些特殊的三次方程非常有效。
Vieta定理Vieta定理是一种利用系数和根之间的关系来求解方程的方法。
对于三次方程，Vieta定理给出了根与系数之间的关系。
1.盛金公式一元三次方程a x^3＋b x^2＋c x＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9a d；C=c^2－3b d，总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：x1=x2=x3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：x1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；x2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，2=A b＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：x1=－b/a＋K；x2=x3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：x1= (－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；x2，3= (－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2A b－3a B)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。
2.盛金判别法①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
3.盛金定理当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
三次方程解法
“卡尔达诺公式”或“卡当公式”简述如下：
方程
x3＋px=q(p，q为正数)． (1)
卡尔达诺以方程x3＋6x＝20为例说明这一方法，他得到的解是x=
过同样的程序得到
他还求出x3＋px＋q＝0和x3＋q＝px(p，q为正数)的公式解，就是说他已经能解任何形式的三次方程了．毫无疑问，这里包含了塔尔塔利亚的工作．但需要说明的是，他们像当时其他数学家一样，解方程只求正根，所以解法还是不完善的．
管会受到多大的良心的责备”，把这两个根相乘，会得25－(-15)＝40．于是他写道：“算术就是这样神秘地搞下去的，它的目标，正如常言所说，是又精致又不中用的．”他既承认负数有平方根，又怀疑它的合法性，因此称它为“诡变量”．但不管怎样，虚数毕竟在卡尔达诺那里诞生了．他还进一步指出，方程(指实系数方程)的虚根是成对出现的．
三次方程成功地解出之后，卡尔达诺的学生费拉里(L．Ferrari，1522—1565)受到启发，很快解出了四次方程，解法也发表在卡尔达诺《大术》中．下面用现代符号表出．
设方程为x4＋bx3+cx2+dx+e＝0． (4)
移项，得x4＋bx3=-cx2-dx-e，
右边为x的二次三项式，若判别式为0，则可配成x的完全平方．
解这个三次方程，设它的一个根为y0，代入(5)，由于两边都是x的完全平方形式，取平方根，即得
解这两个关于x的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．
在卡尔达诺之后，韦达对三次方程和四次方程解法作了进一步改进．1591年发表的《分析术引论》(Inartemanalyticemisagoge)中，他是这样解三次方程的：
对于 x3+bx2+cx+d=0，
结果得到简约三次方程
y3＋py＋q＝0．
他和卡尔达诺一样，只考虑方程的正根．
韦达不仅研究方程解法，还努力寻找方程的根与系数的关系，在《论方程的识别与修正》(Deaequationumrecog－nitoneetemendatjone，写于1591年，出版于1615年)中，他提出了四个定理，后人为了纪念这位大数学家，称之为韦达定理．二次方程的韦达定理是我们经常使用的，就
对方程理论作出重要贡献的另一位数学家是笛卡儿．他承认方程的负根，并研究了多项式方程的正根和负根个数的规律，得到著名的笛卡儿符号法则：多项式方程f(x)=0的正根个数等于方程系数的变号次数，或比此数少一正偶数；负根个数等于f(-x)的系数的变号次数，或少于此数一个正偶数．在这里，m重根是看作m个根的．实际上，正根个数和负根个数都可表成n-2p的形式，其中n是f(x)或f(-x)的系数变号次数，p为0，1，2…，p的取值要使n－2p非负．笛卡儿还研究了方程的根的个数同方程次数的关系，认为n次方程至多有n个根．在讨论三次方程时，他得到如下结论：若一有理系数三次方程有一个有理根，则此方程可表为有理系数因子的乘积．他的另一项重要成果是现今所谓因子定理：f(x)能为(x-a)整除(a＞0)，当且仅当a是f(x)＝0的一个根，所有这些成就都是在笛卡儿《方法论》(DiscoursdelaMéthod，1637)的附录《几何》(LaGéometrie)中出现的．
除了方程以外，二项式定理的发现也在代数史上占有一席之地．实际上，指数为正整数的二项式定理(即(a＋b)n在n为正整数时的展开式)曾被不同民族多次独立发现．11世纪的中国人贾宪和15世纪的阿拉伯数学家卡西(al－Kāshī)各自得到如下形式的三角形
这个三角形特点是，左右两行的数都是1，中间每个数为肩上两数之和．
在欧洲，德国数学家阿皮安努斯(P．Apianus，1495—1552)最早给出这个三角形(1527年)，1544年左右，施蒂费尔引入“二项式系数”这个名称，并指出怎样从(1＋a)n-1来计算(1＋a)n．1653年，帕斯卡写成《算术三角形》(Traitédutrianglearithmétique)一书，从上述三角形出发，详细讨论了二项展开式的系数．该书于1665年出版后，影响很大．由于帕斯卡在数学界的威望，人们
习惯地称此三角形为帕斯卡三角形．实际上，他的功绩主要是通过组合公式给出了二项式系数，即(a+b)n
牛顿(T．Newton，1643—1727)进一步认识到，这个公式不仅适用于指数为正整数的二项展开式，而且当指数为分数或负数时，同样适用．他把二项式定理推广到分指数和负指数的情形，指出这三种形式的二项展开式第1项都是1，后面各项系数及字母指数也具有相同的变化规律：设n，m 为正整数，则
如果括号里是a-b，则第k＋1项的符号由(－1)k决定．它们的区别只
三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
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三次方程新解法——盛金公式解题法
盛金公式
一元三次方程aX3＋bX2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：
A=b2－3ac；
B=bc－9ad；
C=c2－3bd，
总判别式：
Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：
X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②：
X1=(－b－3√Y1－3√Y2)/(3a)；
X2，3=(－2b＋3√Y1＋3√Y2±√3(3√Y1－3√Y2)i)/(6a)；
其中Y1，2=Ab＋3a (－B±√(B2－4AC))/2，i2=－1。
当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：
X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，
其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B2－4AC<0时，盛金公式④：
X1= (－b－2√Acos(θ/3) )/(3a)；
X2，3= (－b＋√A(cos(θ/3)±√3sin(θ/3)))/(3a)；
其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2√A3)，(A>0，－1<T<1)。
盛金判别法
①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③：当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
盛金定理
当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。
（此时，适用盛金公式④解题）。
盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金公式逆之不一定成立。
如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。
任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。
重根判别式A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B2－4AC也是最简明的式子（这些式子是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子 (－B±√(B2－4AC))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
“盛金公式、盛金判别法与盛金定理”形成了一套系统的、简明实用的解三次方程的理论体系。
作为数学解题的工具，这对研究解三次方程问题以及研究解更高次的代数方程问题有积极的作用。
以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。
国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。
范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。
