1522完全平方公式(2)

《15.2.2完全平方公式》教案教学目标1．理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算。

2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．3. 利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力。

4. 进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义。

5 在灵活运用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神。

鼓励学生算法多样化，培养学生的方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神。

教学重点完全平方公式的推导过程、结构特征、几何解释及灵活运用。

教学难点理解完全平方公式的结构特征并能灵活运用公式进行计算。

教学手段：多媒体辅助教学。

教学程序：（一）创设情境，引出课题问题1：花园小区有一块边长为a 的正方形绿地，为了扩大绿地的面积，要把边长增加b 。

你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？不同的表示方法之间有什么关系呢？学生独立思考后交换各自的解法： 方法一：绿地的面积是 (a+b) 2方法二：绿地的面积是a 2+ab+ab+b 2=a 2+2ab+b 2因为(a+b)2和a 2+2ab+b 2都表示绿地的面积，所以(a+b)2= a 2+2ab+b 2。

问题2：瑞安小区为了更好的美化环境，要把边长为a 的正方形花园按照图纸分为一、二、三、四部分,分别种植四种鲜花。

你能用几种方法表示第一部分面积?不同的表示方法之间有什么关系呢？学生独立思考后交换各自的解法：方法一: 第一部分的面积是(a-b)2方法二：第一部分的面积是a 2-b(a-b)-b(a-b)-b 2=a 2-ab+b 2-ab+b 2-b2 =a 2-2ab+b 2因为(a-b)2和a 2-2ab+b 2都表示第一部分的面积，所以(a-b)2=a 2-2ab+b 2。

【设计意图】问题是知识、能力的生长点，通过富有实际意义的问题能激活学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考，自然引出本节课的主要内容。

完全平方公式在数学的奇妙世界里，有一个非常重要的公式，那就是完全平方公式。

它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们轻松解决许多数学问题。

完全平方公式包括两个：一个是两数和的完全平方公式，即\（（a＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）；另一个是两数差的完全平方公式，即\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）。

咱们先来看看两数和的完全平方公式\（（a ＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab＋ b^2\）。

为了更好地理解它，我们可以通过一个实际的例子来感受一下。

假设小明有一个边长为\（a\）的正方形花坛，后来他在旁边又扩建了一个宽为\（b\）的长方形花坛。

那么现在整个花坛的面积是多少呢？原来正方形花坛的面积是\（a^2\），扩建的长方形花坛的面积是\（2ab\）（因为长方形的长是\（a\），宽是\（b\），面积就是\（ab\），两边都有所以是\（2ab\）），新扩建的小正方形花坛面积是\（b^2\）。

所以整个花坛的面积就是\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\），而这恰好就是\（（a ＋ b)＾2\）展开后的结果。

再来说说两数差的完全平方公式\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）。

比如小红有一块边长为\（a\）的正方形布料，她从中间裁掉了一个边长为\（b\）的小正方形。

那么剩下布料的面积是多少呢？原来正方形布料的面积是\（a^2\），裁掉的小正方形面积是\（b^2\），由于裁掉的部分在原来正方形的内部，所以重叠了两次，重叠部分的面积是\（2ab\）。

那么剩下布料的面积就是\（a^2 2ab ＋b^2\），这正好就是\（（a b)＾2\）展开后的式子。

掌握完全平方公式对于解决代数问题非常有帮助。

比如在进行因式分解的时候，如果我们遇到了形如\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）或者\（a^2 2ab ＋ b^2\）的式子，就可以直接利用完全平方公式将其转化为\（（a ＋ b)＾2\）或者\（（a b)＾2\）。

初中数学完全平方公式完全平方公式是指一些特定的二元二次方程式可以通过一个完全平方公式来求解。

完全平方公式的形式通常为x^2 + bx + c = (x + m)^2，其中b为常数，m为待求解的常数。

为了解决完全平方公式，可以通过解方程x^2 + bx + c = 0来找到x的值。

在初中数学中，我们通常遇到的是一元二次方程，即方程的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

解一元二次方程可以通过两种常用方法：配方法和因式分解方法。

完全平方公式就是在配方法的基础上发展而来的。

完全平方公式的基本形式是(x + m)^2 = x^2 + 2mx + m^2，其中m 为常数。

将该公式与一元二次方程ax^2 + bx + c = 0进行比较，可以得到如下关系：x^2 + 2mx + m^2 = ax^2 + bx + c。

通过比较系数，我们可以得到以下等式：a=1，2m=b，m^2=c。

解完全平方公式的步骤如下：1.将一元二次方程的系数与完全平方公式的系数进行比较，确定a、b、c的值。

2.通过等式2m=b，可以解出m的值。

3.将m的值代入m^2=c中，可以解出c的值。

4.验证一下解是否正确，将a、b、c的值代入一元二次方程中进行计算。

下面举一个例子来说明完全平方公式的应用。

例题：解方程x^2+10x+25=0。

解：比较一元二次方程与完全平方公式的系数：a=1，b=10，c=25根据等式2m=b，可以解出m的值：2m=10，m=5将m的值代入m^2=c中，可以解出c的值：5^2=c，c=25验证解的正确性，将a、b、c的值代入一元二次方程中计算：1(x^2)+10x+25=0。

式子两边都乘以1，得到：x^2+10x+25=0。

由此可见，方程x^2+10x+25=0的解为x=-5完全平方公式的应用不仅限于解方程，还可以用来化简一些特定的代数表达式。

例如，我们可以通过完全平方公式化简(x+m)^2-(x+n)^2这样的表达式。

完全平方的推论公式完全平方公式，这可是数学学习中的重要知识点呀！咱们先来回顾一下完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²，(a - b)² = a² - 2ab + b²。

记得我当年读中学的时候，对这个公式也是又爱又恨。

爱它是因为一旦掌握了，解题能省不少事儿；恨它呢，是因为有时候稍微一迷糊，就容易出错。

有一次数学考试，就因为在完全平方公式的运用上出了差错，导致一道原本能拿满分的题目只得了一半的分数，那叫一个懊悔呀！咱们先来说说完全平方公式的推论。

从这两个公式出发，咱们能推导出好多有趣的东西。

比如说，我们可以通过变形得到 a² + b² = (a +b)² - 2ab 或者 a² + b² = (a - b)² + 2ab 。

这两个变形在解决一些求值问题时特别有用。

举个例子，已知 a + b = 5 ，ab = 2 ，让咱们求 a² + b²的值。

这时候，咱们就可以用上面的推论啦，把 a² + b²变形为 (a + b)² - 2ab ，也就是5² - 2×2 = 21 。

是不是很神奇？再比如，在因式分解中，完全平方公式的推论也大有用处。

像 x² +6x + 9 ，咱们一眼就能看出这是 (x + 3)²。

在实际生活中，完全平方公式的推论也能派上用场呢。

比如说，咱们要给一个正方形花园围篱笆，已知正方形花园的边长增加了 x 米，面积增加了 y 平方米。

那原来正方形花园的边长就可以通过完全平方公式的推论来求。

学习完全平方公式的推论，关键在于多练习。

做的题目多了，自然而然就能熟练掌握。

可别像我当年那样，因为粗心大意在考试中丢分。

咱们得细心再细心，把每个细节都处理好。

总之，完全平方的推论公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多琢磨，多练习，一定能把它拿下，让数学学习变得轻松又有趣！。

完全平方公式口诀表
中国古代数学家华罗庚曾经提出完全平方公式，也叫华罗庚定理，它给了我们解决复杂问题的有效方法。

这个定理可以用来求解自然数的完全平方。

它的公式如下：完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²这个公式有一个口诀，可以帮助我们更好地记忆它：“加减同根，平方等于毕；加减
不同根，两边和等于积。

”完全平方公式的口诀表可以帮助我
们更好地理解它的用法：
1、当两个数字的平方相加时，可以直接用完全平方公式：
(a + b)² = a² + 2ab + b²
2、当两个数字的平方相减时，也可以直接用完全平方公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²
3、两个数字的平方相乘时，可以先用完全平方公式把它
们分解成两部分，然后再用乘法解决：(a + b) (a - b) = a² - b²
4、两个数字的平方相除时，可以先用完全平方公式把它
们分解成两部分，然后再用除法解决：(a² - b²) / (a - b) = a + b
完全平方公式口诀表给了我们一个有用的工具，可以帮助我们解决许多复杂的数学问题，比如二次方程的求解。

它的口诀表可以帮助我们更容易地记忆它的用法，从而更好地理解它的应用。

完全平方公式口诀表是一种有用的数学工具，它可以帮助我们更容易地理解和解决复杂的数学问题。

只要记住它的口诀表，就可以轻松地掌握它的用法，从而更好地理解和应用它。

数学完全平方公式
数学完全平方公式
(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点
①项数：三项
②有两项是两个数的的`平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。