2019-2020年高中数学 1.3.1《正弦函数的图像与性质》教案5 新人教B 版必修4 教学目标： 1．理解正弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 教学重点：正、余弦函数的性质 教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学方法与学习指导策略建议：讲正弦函数的性质时，要从多方面讲解，一方面要用正弦函数的定义，从理论上分析推导；用诱导公式证明正弦函数是周期函数，且周期为，等等。另一方面要观察图形，使学生对这些性质有直观印象。教师在讲课时，可充分利用多媒体设备，让学生观察、理解、记忆。
由正弦函数的作图过程以及正弦函数的定义，容易得出正弦函数还有以下重要性质： (1)定义域： 正弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y＝sin x，x∈R (2)值域 因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线和之间，所以｜sin x｜≤1，即 －1≤sin x≤1也就是说，正弦函数的值域都是［－1，1］ 正弦函数y=sin x,x∈R ①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最大值1 ②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最小值－1 (3)周期性 由sin(x＋2kπ)＝sin x (k∈Z)知： 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的当自变量的值每增加或减少的整数倍时，正弦函数的值重复出现。在单位圆中，当角的终边饶原点转动到原处时，正弦线的数量（长度和符号）不发生变化，以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示。这种性质称为三角函数的周期性。 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是正弦函数的周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 注意： 1周期函数x定义域M，则必有x+T M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义
教案漂市一中钱少锋
点A不在直线l上 l A∉ 2.两条直线 位置关系符号表示图形表示 直线a与l 相交 A l a= 直线a与l 平行 l a// 直线a与l 异面 异面与l a 异面直线的定义：空间中的两条直线既不平行也相交，则称这两条直线异面. 两条直线异面，则它们不同在任何一个平面内. 用平面衬托的方法表示异面直线. 3.点与平面 空间中的平面也可看成这个平面上的所有点组成的集合. 位置关系符号表 示 图形表示
点A 在平面α内 α∈A 点A 不是平面α内的点 α∉A 4. 直线与平面 （1）直线在平面α内（或平面α过直线l ）：直线l 上的所有点都在平面α内，记作α⊂l . （2）直线l 在平面α外：直线l 上至少有一个点不在平面α内，记作α⊄l . ①直线l 与平面α相交：直线l 与平面α有且只有一个公共点A ，记作A l =α . ②直线l 与平面α平行：直线l 与平面α没有公共点，记作α//l . 5. 平面与平面 位置关系 符号表示 图形表示 平面 βα与相交 l =βα
平面 βα与平行 βα// 三、直线与平面垂直 1. 直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α相交于点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有m l⊥，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面），记作α ⊥ l.其中点A称为垂足. 2.点与面的距离：给定空间中的一个平面α及一个点A，过点A作只可以作平面α的一条垂线，如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离. 3.直线与平面的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离； 4.两个平行平面的距离：当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为
1.1.2弧度制 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 2、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 3、情态与价值 通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.
二、教学重、难点 重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 三、学法与教学用具 在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 教学用具:计算器、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里） 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制. 【探究新知】
2019-2020年高中数学《3.1.1两角差的余弦公式》教案新人教A版必 修4 一、课标要求： 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用. 1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用. 二、编写意图与特色 1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受； 2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式； 3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识； 4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 三、教学内容及课时安排建议 本章教学时间约8课时，具体分配如下： 3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时 3.2简单的恒等变换约3课时 复习约2课时 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、课标要求： 本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用. 二、编写意图与特色
人教版高中数学必修精品教学资料 §3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标 理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点 1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式： ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化,这对我们解决今天的问题有帮助吗？ 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式. ()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ??????????+=-+=-+=-+- ? ? ??????????????? sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-????让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.（学生动手） ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ +++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式
2．2.1 平面向量基本定理 预习课本P96～98，思考并完成以下问题 (1)平面向量基本定理的内容是什么？ (2)如何定义平面向量基底？ (3)直线的向量参数方程式是什么？ [新知初探] 1．平面向量基本定理 (1)定理 如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2. (2)基底 把不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．a 1e 1＋a 2e 2 叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式． [点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a 都可以用e 1，e 2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底． 2．直线的向量参数方程式 已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，则对于 直线l 上任意一点P ，存在唯一实数t (1－t )；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等 (1－t )叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参 数．当t ＝12时，＝1 2 ，此时P 点为线段AB 的中点，这是线段AB 中点的向
量表达式． [点睛] 1. [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底．( ) (2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (3)零向量不可以作为基底中的向量．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底e 1，e 2表示为( ) A ．e 1＋e 2 B ．－2e 1＋e 2 C ．2e 1－e 2 D ．2e 1＋e 2 答案：B 3．设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( ) A ．e 1，e 2 B ．e 1＋e 2,3e 1＋3e 2 C ．e 1,5e 2 D ．e 1，e 1＋e 2 答案：B 4．设e 1，e 2为两个不共线的向量，若点O 是▱ABCD 4e 16e 2，则3e 2－2e 1＝________. 解析：3e 2－2e 1＝1 2(6e 2－4e 1) ＝12(＝1 2( (答案不唯一) 用基底表示向量 [典例] 如图，在平行四边形ABCD 中，a b ，
2019-2020年高中数学 1.3 《三角函数的诱导公式》教学设计 新人教A 版必修4 【教学目标】 1.诱导公式(一)、（二）的探究、推导借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式． 2.利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值、化简和恒等式的证明． 【导入新课】 1.复习公式一，公式二 2.回忆公式的推导过程 新授课阶段 1．诱导公式二： 思考：（1）锐角的终边与的终边位置关系如何？ （2）写出的终边与的终边与单位圆交点的坐标． （3）任意角与呢？ 结论：任意与的终边都是关于原点中心对称的．则有，由正弦函数、余弦函数的定义可知： ， ； ， ． ②若是弧度制，即有，； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αα αααα +-+===-+-． 2．诱导公式三： 思考：（1）的终边与的终边位置关系如何？从而得出应先研究； （2）任何角与的终边位置关系如何？ 可以由学生自己结合一个简单的例子思考，从坐标系看与，与的终边的关系．从而易知， ,33) k z απαπαπαπαπ +-+-+∈与，，，（2k+1），( 终边相同，所以三角函数值相等．由与的终边与单位圆分别相交于P 与 P ´，它们的坐标互为相反数P(x ，y)，P ´(-x ，-y)（见课本图1-18），所以有 []cos (21)-cos k απα++=
[]sin (21)-sin k απα++= （三） []tan (21)tan k απα++= 结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：；． 说明：①公式中的指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：． 3．诱导公式四：； ． 4．诱导公式五：； ． 说明：①公式四、五中的指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名变化，符号看象限． 结合公式（一）和（三）可以得出下结论： sin ,sin()sin a n n a n απ-⎧+=⎨ ⎩当为奇数，当为偶数 cos , cos()cos a n n a n απ-⎧+=⎨ ⎩当为奇数， 当为偶数 tan()tan , n n Z απα+=∈ 由与和单位圆分别交于点P ´与点P ，由诱导公式（二）和（三）或P ´与点P 关于y 轴对称，可以得到 与只见的三角函数关系（见课本图1-19） 例1 下列各三角函数值： 219sin120cos135tan cos(3 4 ππ -
2019-2020年高中数学3.1.1两角差的余弦公式教学设计新人教A 版必修 4 一、教学目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。 2、能力目标 通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 二、教学重点、难点 重点：通过探索得到两角差的余弦公式。 难点：探索过程的组织和适当引导。 三、教学过程 (一) 问题引入 （1） 任意角的三角函数的定义？ （2） 若角与的终边与单位圆的交点分别是A ，B ， 则_____,______.OA OB == ______________.OA OB ⋅= (二) 公式探究 第一步，明确探究途径与目的 提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中的数量积与三角函数线作为研究途径。 如右图，在单位圆中作出角，它们的终边与单位圆分 别交于A 、B 两点，先假设，且，提出以下问题：
（3） 此时的取值范围是多少？ （4） 图中哪个角可以表示？ （5） 可以看作是哪两个向量的夹角？ （问题设计目的：在探究公式的过程中，教材不要求学生做到一步到位。首先对角选择较为特殊的范围来进行探究，能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的，让大部分学生都参与到探究中来，避免部分学生一开始就感觉到困难，提不起向下探究的兴趣。） 第二步，复习相关知识 （1）向量的数量积运算（强调向量夹角的范围） ),(),,(2211y x OB y x OA == 1212cos ,OA OB OA OB OA OB x x y y ⋅==+ （2）三角函数线（结合图形，特别要强调方向问题） 第三步，推导公式 在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A 、点B 的坐标。 证明：在平面直角坐标系XOY 内作单位圆O ，以OX 为 始边作角，其中，且，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则 )sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα== 由向量数量积的坐标表示，有： (cos ,sin )(cos ,sin )cos cos sin sin OA OB ααββαβαβ⋅=⋅=+ 由，且知，那么向量的夹角就是，由数量积的定义，有 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=-=- 于是 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- （1） 由于我们前面的推导均是在，且的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性。事实上，只要，所表示的就是向量的夹角。（这一点可以结合图形作出说明。） 但是，若，（1）式是否依然成立呢？ 当时，设与的夹角为，则 cos cos OA OB OA OB θθ⋅==βαβαsin sin cos cos += 另一方面，， 于是所以 也有 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 综上所述，得出公式： 对任意的
教学设计： 2019-2020年高中数学3.1.1两角和与差的余弦教学案新人教B版必修4一：学习目标： 1、理解用向量方法推导两角差的余弦公式的过程； 2、通过简单运用公式C C 和，初步理解公式的结构及其功能， αβαβ -+ 为建立其它和（差）公式打好基础； 二：复习引入： (1)向量的数量积 （定义） 则 (坐标表达式) （2）观察图（一）单位圆上的点的坐标表示p1( )p2( ) 图（一）图（二） 由图一可知：( ) , ( )则 三：合作探究 各小组交流以下问题
问题1：150可以用那两个特殊角表示？ 问题2：cos150= cos(450-300)=cos450 –cos300成立吗？ 问题3：由图（一）=︒-︒=∠)3045cos(P cos 21OP ( ) , ( )则 由定义()a b __________cos ⋅== 所以=︒-︒=∠)3045cos(P cos 21OP 问题4 ：由︒︒+︒︒=︒-︒30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(出发，你能推广到对任意的两个 角都成立吗？根据图二如何推导？ 问题5：两角和的余弦公式如何推导？ 提示：令 结论：） （两角和与差的余弦公式βα±C 注： 1. 2.
3. 结构特点： 四． 互相交流，小组活动 公式应用闯关 第一关：小试身手 请用特殊角分别代替公式中α、β，你能求哪些非特殊角的值呢？（选择的特殊角可以是30°60°45°等）请每组自行选择两个特殊角计算和与差的余弦 (1) (2) 第二关：再接再厉 若β固定，分别用 代替α，你将会发现什么结论呢？ (1)cos()___________(2)cos()___________ (3)cos()__________(4)cos()___________22 πβπβππββ+=-=+=-= 第三关：各显神通 倘若让你对C (α±β)公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？ (1)cos __________4π α+=（）；(2)cos ____________αα+=（） (3)[]____)____)sin(______sin(_cos(_____)(_____)cos cos =-+αβα）（ (4)[]___)___)sin(______sin(__cos(_____)cos(_____)cos =--+）（）（βαβα 第四关：逆向训练 1、化简求值：cos 80°cos 20°＋sin80°sin20°. 2、化简求值：sin15°cos75°＋cos15°sin105°
2019-2020年高中数学《3.2简单的三角恒等变换》教案新人教A版必 修4 一、课标要求： 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用． 二、编写意图与特色 本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 三、教学目标 通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 四、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想： 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容． 例1、试以表示． 解：我们可以通过二倍角和来做此题． 因为，可以得到； 因为，可以得到． 又因为 2 2 2 sin1cos 2 tan 21cos cos 2 α αα αα - == + ． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不
2019-2020年高中数学1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算教案新人教 A版必修4 一、教学目标 1．知识目标： ①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. ②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深. 2. 能力目标： ①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系. ②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. ③通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力. 3．情感目标：使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一. 进一步加强学生对辩证统一思想的理解. 二、教学重点、难点 重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 三、教学方法 自学—讨论—讲授—练习 先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学. 四、教学过程
读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫 做弧度制． ②平角、周角的弧度数：平角= rad 、周角=2 rad ③正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角 的弧度数是0 ④角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径） 3．角度制与弧度制的换算： ∵ 360=2 rad ∴180= rad ∴ 1= '185730.571801 =≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad 4． 用弧度制表示弧长及扇形面积 公式： ① 弧长公式： 由公式： 比公式简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半 径的积 ②扇形面积公式 其中是扇形弧长，是圆的半径 5．角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间 建立一种一一对应的关系 正角 正实数 o R S l
祖暅原理与几何体的体积 【教学目标】 1．了解柱、锥、台和球的体积计算公式．(重点) 2．能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积．(重点) 3．台体的体积及简单几何体的体积计算．(难点) 【教学过程】 一、基础铺垫 1．祖暅原理 （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”． （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等． 2．柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R 二、新知探究 1．求柱体的体积 【例1】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱
柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积． [解]V六棱柱＝ 3 4×4 2×6×2＝483(cm3)， V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)， V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)， ∴此几何体的体积： V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(483＋22π)(cm3)． 【教师小结】 计算柱体体积的关键及常用技巧 （一）计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高． （二）常用技巧： （1）充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高． （2）由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积．2．求锥体的体积 【例2】如图三棱台ABCA1B1C1中，AB∴A1B1＝1∴2，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比． [思路探究]AB∴A1B1＝1∴2―→S∴ABC∴S∴A 1 B1C1―→ 计算V A 1 －ABC―→计算V C－A1B1C1―→计算V B－A1B1C [解]设棱台的高为h，S∴ABC＝S，则S∴A 1 B1C1＝4S.
2019-2020年高一数学向量的加法运算及其几何意义教案新课标人教版A 必修4 教材分析：本课取自普通高中课程标准实验教科书数学4（必修·人民教育出版社A版）第二章2.2.1，向量是近代数学中重要，基本的数学概念，它既是代数的对象，又是几何的对象。向量作为代数对象，可以像数一样进行运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线，平面，切线等几何对象；向量有长度，可以解决有关几何对象得长度，面积，体积等几何度量问题。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，因此，向量是集数，形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。同时也是重要的物理模型，平面力场，平面位移以及二者混合产生的做功问题，都可以用向量空间来刻画和描述。向量不仅沟通了代数与几何的联系，而且体现了近现代数学的思想，它在高中数学中的重要地位是不言而喻的。 学生情况：学生已经通过2.1的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线向量，在学习物理的过程中，已经知道位移，速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则。为本课题的引入提供了较好的条件。 教学目标： 一、教学知识目标 ⑴掌握向量加法的定义 ⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量 ⑶理解向量加法的运算律 二、教学能力目标： 让学生了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学和物理中的一些问题，培养类比、迁移、分类、归纳等能力。发展运算能力和解决实际问题的能力。 三、情感态度： 理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。 教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量. 教学难点：向量的运算律的理解 授课类型：新授课 教学方法：启发、讨论 课时安排：1课时 教具：弹簧、橡皮筋、电脑、实物投影仪 教学过程： 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？作为既有大小又有方向的一个矢量，它的运算和实数的运算有什么区别呢？本节课我们将一起探讨向量加法的定义： 【环节一引入】 【设计思路】：学生虽然具备一定的物理知识，不过对于力的合成和分解，同样是高一才开始接触，有必要安排实验让学生再次认识合力的大小和方向，学生经过直观实验的观察和分析，很自然地认识三角形法则和平行四边形法则，为向量的加法定义做铺垫。说明，如果环境不允许做这样的实验，可以通过课件直观显示，结合学生在物理实验中的实验数据，让学生体会这一结果。 准备适当的器材，让学生分组实验讨论： 问题（1）用二个互相垂直的力F1=3，F2=4把橡皮条拉长一定的距离OE，再撤去F1，F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮沿着相同的方向伸长相同的长度，记录F的大小和方向 问题（2）改变F1，F2的大小和方向，重复以上实验，探究F与F1，F2的关系（学生代表发言）结论：排除误差，可以通过实验验证，在取得相同效果的前提下，合力F的方向在以F1，F2的为邻边的平行四边形的对角线上，且大小等于平行四边形的对角线的长。 问题（3）飞机从点A经过点B到C，两次位移的结果与位移比较？ 结论：的结果为，与从A点直接到C点的位移相同 结论：位移和力都可以看成向量，从物理的角度，力F和位移都得到相同的效果，我们把它们称为合力和合位移，从数学的角度可以把它们看成是二个向量相加。那么根据以上实验结果，我们如何定义二个向量的加法呢？ 【环节二向量加法定义的探究】 【设计思路】：对于此环节，比较常见的处理方式是直接给出定义，事实上，学生通过引入环节的活动
2019-2020年人教版高中数学必修四第一章 1-4-3 正切函 数的图像与性质 《教案》 “正切函数的图像和性质”是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下） 第四章第十节的内容，也是普通高中课程标准试验教科书（必修）数学 4 1.4.3的内容。 正切函数的图像和性质的学习是正弦、余弦函数的图象和性质知识的延续和深化，也是数形结合等重要数学思想方法的基础。本节课的教学不但能使学生在原有知识和经验的基础上进一步体会数形结合思想，而且可以提高观察、比较、概括等能力的发展。但对图象的认识学生始终有些难以理解，因此，本节课力争使用多媒体教学，使学生从理性和感性两方面去认识，从而达到预期的效果。 1.教学目标 1.1 知识目标 通过本节的学习能理解并掌握作正切函数图象的方法,能用正切函数的图象解决有关问题。 1.2 能力目标 经历正切函数图象的作法过程，发展学生运用类比的方法分析问题和解决问题的能力，并让学生进一步体会数形结合思想方法的重要性。 1.3情感目标 培养学生积极参与、合作交流的主体意识和主动探索、勇于发现的科学精神。在知识的探索和发现的过程中，使学生感到数学学习的意义，从而产生良好的数学学习态度。 1.4 重点和难点 重点:正切函数的图象形状及其主要性质。 难点:利用正切线画出正切函数),(,tan 22ππ -∈=x x y 的图象。 为了突出重点、突破难点，在教学中采取以下措施: (1)采用类比的方法，让学生在正弦函数图象画法的基础上研究正切函数图象的画法。 (2)从学生已有的知识出发，利用数形结合的思想，逐步引导学生通过自主探索、合作交流的形式，观察、归纳出正切函数的主要性质。 2 教法探索 2.1 教法分析 针对高一年级学生的年龄特点和心理特征，结合他们的认知水平，在遵循启发式教学原则的基础上，本节课我主要采用以“情境——问题”教学法为主，以类比法、讨论法、练习法为辅的教学方法，意在通过教师的引导，调动学生的积极性，让学生多交流、多讨论，主动参与到教学活动中来。 “情境——问题”教学法是贵州师范大学数学系的教授和研究生们，从跨文化数学教育研究的结果出发，为改变由教师单向灌输书本知识、学生被动接受学习的模式，提出了旨在培养创新意识和创新能力的基本教学模式，表示为： 设置数学情境→提出数学问题→解决数学问题→注重数学应用 （引导观察分析） （猜想探究） （正面求解或反例反驳） （学做学用）
2019-2020年高中数学《2.2.1向量的加法》教学案新人教版必修4 【学习目标】 1. 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 【学习重点】会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 【学习难点】理解向量加法的定义 【教材助读】 情景引入：（预习教材P74—P76） （1）某人从A 到B ，再按原方向从B 到C ， 则两次的位移和： AC → （2）若上题改为从A 到B ，再按反方向从B 到C ， 则两次的位移和： AC → （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和： AC → （4）船速为，水速为，则两速度和： AC → 合作探究 探究一：向量加法——三角形法则和平行四边形法则 问题1：在情景引入（3）中两次位移的和向量与向量,的关系如何？ 1、向量加法的三角形法则(“首尾相接”)：已知非零向量，在平面内任取一点A ，作，则向量___AC →_______叫做与的和，记作_________ ，即=__ __ __=_AC → _____ ，这种求向量和的方法称为向量加法的 三角形 法则. 2、向量加法的平行四边形法则：已知向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，再作平行AD →的BC → ＝b ，连接DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，向量AC →叫作向量a 与b 的和，表示为AC → ＝a ＋b 3、对于零向量与任一向量，我们规定=_________=____. 探究二：向量加法的交换律和结合律 A B C A B C A B C
问题2：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？ 4、对于任意向量，，向量加法的交换律是：___ a ＋b ＝b ＋a ____ 结合律是：_(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )________ ____. 小结：在三角形法则中 “首尾相接”，是第二个向量的 始点 与第一个向量的 终点 重合. 拓展提升 一般地|+|≤ || + || 当与不共线时，|+||| + || 当与共线且同向时，|+|=|| + || 当与共线且反向时，|+|=||| —||| 【预习自测】 1．化简 2．在平行四边形ABCD 中，下列各式中不成立的是 (1)(2)(4) （1） （2） （3） （4） 3．已知正方形ABCD 的边长为1，===,, AB a AC c BC b ，则为（ ） A ．0 B ．3 C ． D ． 【答案】D 二、课堂互动探究 【例1】化简下列各式： (1)PB →＋OP →＋OB →；(2)AB →＋MB →＋BO →＋OM → 解：(1)PB →＋OP →＋OB →＝(OP →＋P B →)＋OB →＝OB →＋OB →＝2OB → ； (2)AB →＋M B →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋M B →)＝AO →＋OB →＝AB →. 【巩固训练】 化简: (1)CD →＋BC →＋AB → ； (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →； (3)AO →＋OB →＋OC →＋CA →＋BO →． 解：(1)原式＝AB →＋BC →＋CD →＝AD → ； (2)原式＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝0； (3)原式＝(AO →＋OC →)＋CA →＋(OB →＋BO →)＝AC →＋CA → ＋0＝0. 【例2】如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →；
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 半角公式 sin α 2＝± cos α 2 ＝± tan α 2 ＝± ＝sin α1＋cos α＝1－cos α sin α . 思考：如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？ [提示] (1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号． (2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求角α2所在范围，然后再根据角α 2所 在象限确定符号． 1．若cos α＝23，α∈(0，π)，则cos α 2的值为( ) A ． 6 6 B ．－ 66 C ．306 D ．－ 306 C [由题意知α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α 2>0， cos α 2 ＝ 1＋cos α2＝30 6 .] 2．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α 1＋cos 2α B.sin α 1＋cos α C. sin α 1－cos 2α D. 1－cos 2α sin 2α
D [ 1－cos 2α 1＋cos 2α ＝ 2sin 2 α2cos 2 α ＝tan 2 α＝|tan α|； sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α 2＝tan α 2； sin α1－cos 2α＝sin α2sin 2 α＝1 2sin α ； 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2 α 2sin αcos α＝tan α.] 3．设α∈(π，2π)，则1＋cos (π＋α) 2 等于________． sin α2 [ 1＋cos (π＋α) 2 ＝ 1－cos α 2 ＝sin 2 α2＝⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪sin α2. ∵α∈(π，2π)，∴α2∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π2，π ，∴sin α2>0，故原式＝sin α2.] 【例1】 已知π<α<2，求1＋cos α－1－cos α ＋ 1－sin α1＋cos α＋1－cos α 的值． [思路探究] 解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据α 2 的范围开方化筒． [解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪sin α2 ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0，sin a 2 >0. ∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α 2－cos α 22 ＝－2cos α 2.
3．2.1 倍角公式 预习课本P143～144，思考并完成以下问题 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推导？ (2)联系已学公式，考虑cos 2α，sin 2α有哪几种变形方法？ [新知初探] 二倍角公式 [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对任意角α，总有tan 2α＝2tan α 1－tan 2α .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 2．已知sin α＝35，cos α＝4 5，则sin 2α等于( ) A.7 5 B.125 C.1225 D.2425
答案：D 3．计算cos 215°－sin 215°结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32 答案：D 4．已知α为第三象限角，cos α＝－3 5，则tan 2α＝________. 答案：－24 7 [典例] 求下列各式的值： (1)sin π12cos π 12；(2)1－2sin 2750°； (3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)cos 20°cos 40°cos 80°. [解] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sin π62＝1 4. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°) ＝cos 60°＝1 2 . (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20° ＝2sin 40°·cos 40°·cos 80° 4sin 20° ＝2sin 80°·cos 80° 8sin 20° ＝ sin 160° 8sin 20°