人教版高中数学必修四
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
正弦函数、余弦函数的性质
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；
2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)．
【要点梳理】
要点一：周期函数的定义
函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期. 要点诠释：
1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足
)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.
2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
要点诠释：
（1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．
（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()y x =-的单调递增区间时，
应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相当于求sin y x =的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先
求定义域．
要点三：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的性质． 函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R （2）值域：[],A A -
（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由
)(222
2Z k k x k ∈+
≤+≤-
π
πϕωπ
π解出x 的范围所得区间即为增区间，由
)(2
3222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．
（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2
k k z π
ϕπ=±∈时为偶函数；
对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2
k k z π
ϕπ=±∈时为奇函数．
要点诠释：
判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．
（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T π
ω
=
．
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数sin y x =比较可知，当()2
x k k z π
ωϕπ+=±
∈时，
函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2
x k k z π
ωϕπ+=±
∈解出，其对称中心的横坐标
()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()2
x k k z π
ωϕπ+=±
∈解出．
要点诠释：
若x R ∉，则函数sin()y A x ωϕ=+和函数cos()y A x ωϕ=+不一定有对称轴和对称中心． 【典型例题】
类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域
例1．求函数y = 【答案】2222,33x k x k k Z ππππ⎧⎫-
≤≤+∈⎨⎬⎩
⎭
【解析】 为使函数有意义，需满足2sin 2x+cos x －1≥0，即2cos 2x ―cos x ―1≤0，解得1
cos 12
x -≤≤．
画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示．
∴定义域为2222,33x k x k k Z ππππ⎧⎫-
≤≤+∈⎨⎬⎩
⎭
． 【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，
要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
举一反三：
【变式1】求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域 【解析】依题意得2sin x －1＞0，即1sin 2x >，∴5
2266
k x k ππππ+<<+（k ∈Z ）， ∴函数的定义域为522,66x k x k k Z π
πππ⎧
⎫
+<<+∈⎨⎬⎩
⎭
． 例2．求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x
（2）2sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦； （3）cos 2
cos 1
x y x -=
-．
【答案】（1）[1，5]（2）[0，2]（3）3,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 （1）∵－1≤sin x ≤1，∴－2≤2sin x ≤2，∴－2≤－2sin x ≤2，∴1≤3－2sin x ≤5，∴函数的值域为[1，5]．
（2）∵6
6
x π
π
-
≤≤
，∴2023
3
x π
π≤+
≤
． ∴0sin 213x π⎛⎫
≤+
≤ ⎪⎝
⎭．∴02sin 223x π⎛
⎫≤+≤ ⎪⎝⎭
， ∴0≤y ≤2．∴函数的值域为[0，2]．
（3）∵cos 2cos 111
1cos 1cos 11cos x x y x x x
---=
==+
---， 当cos x=－1时，min 13
122
y =+=，
∴函数的值域为3
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
．
【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．
举一反三：
【变式1】 求y=cos 2x+4sin x ―2的值域． 【解析】y=cos 2x+4sin x ―2
=―sin 2x+4sin x ―1 =―(sin x ―2)2+3． ∵－1≤sin x ≤1，
∴当sin x=―1时，y min =―6；当sin x=1时，y max =2． ∴函数的值域为[－6，2]．
类型二：正弦函数、余弦函数的单调性
例3．（2016 浙江温州期末）设函数()sin(2)3
f x a x b π
=++
（1）若a ＞0，求f （x ）的单调递增区间； （2）当[0,
]4
x π
∈时，f （x ）的值域为[1，3]，求a ，b 的值．
【思路点拨】（1）由复合函数的单调性，解不等式2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
可得答案；
（2）由[0,]4x π∈，可得1sin(2)123x π
≤+≤，结合题意可得03112a a b a b ⎧⎪>⎪+=⎨⎪⎪+=⎩或011
32
a a
b a b ⎧
⎪<⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，解方程组
可得．
【答案】（1）5[,]()1212k k k Z ππ
ππ-
+∈；（2）41a b =⎧⎨=-⎩或45
a b =-⎧⎨
=⎩ 【解析】（1）∵a ＞0，由222232
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
可得51212
k x k ππ
ππ-
≤≤+， ∴f （x ）的单调递增区间为5[,]()1212
k k k Z ππ
ππ-+∈；
（2）当[0,]4x π∈时，52336
x πππ
≤+≤，
∴1sin(2)123
x π
≤+≤， ∵f （x ）的值域为[1，3]，
∴03112a a b a b ⎧⎪>⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，或01132
a a
b a b ⎧
⎪<⎪
+=⎨⎪⎪+=⎩， 分别可解得41a b =⎧⎨=-⎩或4
5a b =-⎧⎨=⎩
举一反三：
【变式1】（2015春 河南期中）已知函数1
sin(
)32
y x π
=- （1）求该函数的周期，并求函数在区间[0，π]上的值域； （2）求该函数在[－2π，2π]上的单调增区间． 【答案】（1）T=4π
，1[2-
；（2）单调递增区间为：[2,]3ππ--和5[,2]3
π
π． 【解析】（1）由题意函数的周期2412
T π
π=
=， ∵x ∈[0，π]，∴
1[,]3263
x π
ππ-∈-，
∴11sin(
)[3
22x π
-
∈-， 即函数在区间[0，π]
上的值域为1[,22
-
； （2）原函数可化为1sin()23y x π
=--
，
原函数的增区间即为1sin()23
y x π
=-的减区间，
令13222232k x k π
ππ
ππ+
≤
-≤+
， 解得5114433k x k ππ
ππ+≤≤+
，k ∈Z ， 令k =0，可得51133x ππ
≤≤
， 令k =－1，可得733
x ππ
-≤≤-，
∵x ∈[－2π，2π]，
∴函数的单调递增区间为：[2,]3
π
π--和5[
,2]3
π
π． 类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性
例4．判断下列函数的奇偶性：
（1）5
())2f x x π=+；
（2）()f x =
；
【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为()f x x =，再按步骤去判断．（2）先求函数的定义域，
然后判断．
【解析】（1）函数定义域为R ，且5()sin 2sin 2cos 222f x x x x ππ⎛
⎫⎛
⎫=
+=
+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，显然有
()()f x f x -=恒成立．
∴函数5()22f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭为偶函数．
（2）由2sin x －1＞0，即1sin 2x >
，得函数定义域为52,266k k ππππ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭（k ∈Z ），此定义域在x 轴
上表示的区间不关于原点对称．
∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．
【总结升华】 判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证
()f x -是否等于()f x -或()f x ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
举一反三：
【变式】关于x 的函数)(x f =sin(x+ϕ)有以下命题： ①对任意的ϕ，)(x f 都是非奇非偶函数； ②不存在ϕ，使)(x f 既是奇函数，又是偶函数； ③存在ϕ，使)(x f 是奇函数； ④对任意的ϕ，)(x f 都不是偶函数.
其中一个假命题的序号是_____.因为当ϕ=_____时，该命题的结论不成立. 【思路点拨】
当ϕ=2k π，k ∈Z 时，)(x f =sinx 是奇函数. 当ϕ=2(k+1)π，k ∈Z 时x x f sin )(-=仍是奇函数. 当ϕ=2k π+
2π，k ∈Z 时，)(x f =cosx ，
当ϕ=2k π-
2
π，k ∈Z 时，)(x f =-cosx ，)(x f 都是偶函数.
所以②和③都是正确的.无论ϕ为何值都不能使)(x f 恒等于零.所以)(x f 不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.
【解析】①，k π(k ∈Z )；或者①，2
π
+k π(k ∈Z )；或者④，
2
π+k π(k ∈Z )
类型四：正弦函数、余弦函数的对称性
例5．（2015春 湖南益阳月考）已知函数()2sin(2)4
f x x π
=-
．
（1）求函数的最值及相应的x 值集合； （2）求函数的单调区间；
（3）求函数f （x ）的图象的对称轴与对称中心． 【思路点拨】（1）根据正弦函数的最值性质即可求函数的最值及相应的x 值集合； （2）根据三角函数的单调性即可求函数的单调区间；
（3）根据三角函数的对称性即可求函数f （x ）的图象的对称轴与对称中心． 【解析】（1）当sin(2)14
x π
-=，即224
2
x k π
π
π-
=+
，k ∈Z ，
即38
x k π
π=+
，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2； 故f （x ）的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为3{|,}8
x x k k Z π
π=+∈； （2）由2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，得38
8
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+，k ∈Z ． ∴函数f （x ）的单调递增区间为3[,
]88
k k π
π
ππ-
++，k ∈Z ．
由3222242k x k πππππ+≤-≤
+，得3788
k x k ππ
ππ+≤≤+，k ∈Z ． ∴函数f （x ）的单调递减区间为37[,]88
k k ππππ++，k ∈Z ． （3）由242x k πππ-=+，得31
82
x k ππ=
+，k ∈Z ． 即函数f （x ）的图象的对称轴为31
82
x k ππ=
+，k ∈Z ．
由24
x k π
π-
=，得182x k π
π=
+，k ∈Z ，即对称中心为1
(,0)82
k ππ+，k ∈Z ． 【总结升华】（1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，
即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值．
（2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x 轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0．
举一反三：
【正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】 【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心 （1）sin()4y x =+
π
；（2）cos(2)3
y x =-π
. 【解析】（1）令4
t x π
=+
，则s i n s i n
4y x t π⎛
⎫
=+
= ⎪⎝
⎭的对称轴方程是2
t k π
π=+（k ∈Z ），即4
2
x k π
π
π+
=+
（k ∈Z ），解得4
x k π
π=+
（k ∈Z ）．
∴函数sin 4y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的对称轴方程是4
x k π
π=+
（k ∈Z ）．
同理，对称中心的横坐标为4
x k π
π+
=，4
x k π
π∴=-
，即对称中心为,04k π
π⎛
⎫-
⎪⎝
⎭
． （2）令23
t x π
=-
，则c o s 2c o s 3y x t π⎛
⎫
=-
= ⎪⎝
⎭
的对称轴方程是t k π=（k ∈Z ），即23
x k π
π-
=（k ∈Z ）
，解得26
k x ππ
=
+（k ∈Z ）
． ∴函数cos 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的对称轴方程是26
k x ππ
=
+（k ∈Z ）
． 同理，对称中心的横坐标为23
2
x k π
π
π-
=+
，5212k x ππ∴=
+
，即对称中心为5,0212k ππ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
（k ∈Z ）．
类型五：正弦函数、余弦函数的周期 例6．求下列函数的周期： （1）sin 3y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
；
（2）cos 2y x =；（3）3sin 23x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
； （4）11
2sin cos 232
6y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【解析】（1）①令3
z x π
=+
，而sin(2)sin z z π+=，即(2)()f z f z π+=．
(2)33f x f x πππ⎡⎤⎛
⎫++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭．∴T=2π．
②令z=2x ，则()cos 2cos cos(2)cos(22)cos[2()]f x x z z x x πππ===+=+=+， 即()()f x f x π+=，∴T=π． ③
令
23
x z π
=
+，则
4()3
s i n
23
2
x x f x z z f x πππ
πππ+⎛⎫
⎛⎫
==+=
++=+=+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， ∴T=4π ④
∵
原
式
111
2
s i n 22
6x x x
ππ
π⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
⎛⎫=+-
--
=---
=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭
⎣
⎦， ∴2412
T π
π=
=． 举一反三：
【正弦函数、余弦函数的性质394836 例2】
【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）|sin |y x =； （2）sin ||y x =； （3）sin(2)3
y x =-
π
.
【答案】（1）是 T π= （2）不是 （3）22
T π
π== 类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用 例7．已知函数12
()log |sin |f x x =．
（1）求其定义域和值域； （2）判断奇偶性；
（3）判断周期性，若是周期函数，求周期； （4）写出单调区间．
【思路点拨】在（3）中，可画出图象求周期，除了用周期函数的定义求周期外，作图也是一种基本的方法．在（4）中，可以将12
()log |sin |f x x =看成是由12
log y u =，u=|t|，t=sin x 复合而成．
【解析】（1）由|sin |0x >，得sin 0x ≠，∴x ≠k π，k ∈Z ．
∴函数的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}． ∵0|sin |1x <≤，∴12
log |sin |0x ≥，
∴函数的值域为{y|y ≥0}．
（2）∵112
2
()log |sin()|log |sin |()f x x x f x -=-==，
∴函数()f x 是偶函数．
（3）∵112
2
()log |sin()|log |sin |()f x x x f x ππ+=+==，
∴函数()f x 是周期函数，且周期是π．（可结合图象验证） （4）设t=|sin x|， 当,2x k k πππ⎛
⎤
∈+
⎥⎝
⎦
时，sin x ＞0，t=|sin x|为增函数； 当,2x k k π
ππ⎡
⎫
∈-
⎪⎢⎣
⎭
时，sin x ＜0，t=|sin x|为减函数． 又∵函数12
log y t =为减函数，
∴函数()f x 的单调增区间为,2k k π
ππ⎡
⎫-⎪⎢⎣
⎭，k ∈Z ；单调减区间为,2k k πππ⎛
⎤+ ⎥⎝
⎦，k ∈Z ． 举一反三： 【变式】已知函数11
cos |cos |22
y x x =
+． （1）画出函数的简图；
（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； （3）指出这个函数的单调增区间．
【解析】 （1）11
cos |cos |22
y x x =
+ cos , 2,2()2230, 2,2()
22x x k k k Z x k k k Z ππππππππ⎧⎡
⎤∈-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪∈++∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩
． 函数图象如右图所示．
（2）由图象知函数的周期是2π． （3）由图象知函数的单调区间为2,22k k π
ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦
（k ∈Z ） 【总结升华】本题易犯的错误是求得周期为π，实际上通过图象可知，在一个区间长为2π的区间内
函数值才发生周期性变化．
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在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B 的对边b 正弦函数就是sin A=a/c，即sin A=BC/AB. 定义与定理 定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sin x，叫做正弦函数。 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a/sin A=b/sin B=c/sin C 图像 图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出），叫做正弦曲线(sine curve) 正弦函数x∈[0,2π] 定义域：实数r 值域 [-1，1] （正弦函数有界性的体现） 最值和零点 1最大值：当x=2kπ+(π/2) ，k∈Z时，y(max)=1 2最小值：当x=2kπ+(3π/2)，k∈Z时，y(min)=-1
零值点： (kπ,0) ，k∈Z 对称性 既是周对称图形，又是中心对称图形。 1）对称轴：关于直线x=(π/2)+kπ，k∈Z对称 2)中心对称：关于点(kπ,0)，k∈Z对称 周期性 最小正周期：y=Asin(ωx+φ) T=2π/|ω| 奇偶性 奇函数 (其图象关于原点对称) 单调性 在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增. 在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减. 余弦函数:余弦函数是锐角三角函数的一种
直角三角形 英文简称 cos 英文全称 cosine 余弦：余弦函数，即在Rt△ABC中，∠C=90°，AB是斜边c，BC是∠A的对边a，AC是∠A 的邻边b 余弦函数就是cos(A)=∠A的临边/斜边=b/c 余弦函数是三角函数的一种，可通过直角三角形进行定义。 三角比拓展到实数范围后，对于任意一个实数x，都对应着唯一的角，而这个角又有唯一确定的余弦值cos x与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为余弦函数。但这并不完全。 其本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射，通常在直角坐标平面中定义的。 形式是f(x)=cos x
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、考纲要求： 1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 二、知识点梳理 1、考点一：角的有关概念 从运动的角度看，角可分为、和 从终边的位置来看，角可分为和轴线角。 2、考点二：弧度的概念与公式 在半径为r的圆中， 3、考点三：任意角的三角函数
三、要点探究 【例1】 已知角α＝2k π－ π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ| ＋???? ??cos θcos θ＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 【例2】 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3 cos α 的值． 【例3】 扇形AOB 的周长为8 cm. (1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 第二节 同角三角函数关系式与诱导公式 一、考纲要求： 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1， sin α cos α ＝tan α. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2 ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． 二、知识点梳理 1、考点一：同角三角函数基本关系式 ㈠ 平方关系： ㈡商数关系： 2、考点二：诱导公式 三、要点探究
【例1】 已知α∈? ????0，π2且tan ? ????α＋π4＝3，则lg(sin α＋2cos α)－lg(3sin α＋ cos α)＝________. 【例2】 (1)已知cos ????π6＋α＝3 3，求cos ??? ?5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos (α－7π)＝－3 5 ，求sin(3π＋α)·tan ????α－72π的值． 【例3】 在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内 角． 第三节 三角函数的图象与性质 一、考纲要求： 1．画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在??? ?－π2，π 2上的性质． 二、知识点梳理 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
正弦函数、余弦函数的性质(一) 【知识梳理】 1．函数的周期性 (1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期． 2．正弦、余弦函数的周期性 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )都是周期函数，2k π(k ∈Z ，且k ≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π. 3．正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 【常考题型】 题型一、函数的周期 【例1】 求下列三角函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x ∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x ∈R ； (3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，x ∈R ； (4)y ＝|cos x |，x ∈R . [解] (1)因为3sin(x ＋2π)＝3sin x ，由周期函数的定义知，y ＝3sin x 的周期为2π. (2)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π. (3)因为sin ⎣⎡⎦⎤13(x ＋6π)－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13 x ＋2π－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4， 由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4的周期为6π. (4)y ＝|cos x |的图像如图(实线部分)所示， 由图像可知，y ＝|cos x |的周期为π.
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 学习目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间． 知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线． 正弦曲线： 余弦曲线： 可得如下性质： 由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[－1,1]． 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ，有： 当且仅当x ＝π 2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝－π 2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ，有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 知识点二 正弦、余弦函数的单调性 思考1 观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈????－π2，3π2的图象．正弦函数在????－π2，3π 2上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
答案 观察图象可知： 当x ∈????－π2，π 2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈????π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得 当x ∈????－π2＋2k π，π 2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈????π2＋2k π，3π 2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考2 观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象． 余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 答案 观察图象可知： 当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得 当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？ 答案 y ＝sin x 的增区间为????－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，减区间为????π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . y ＝cos x 的增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，减区间为[2k π，π＋2k π]，k ∈Z . 梳理 解析式 y ＝sin x y ＝cos x 图象
人教版高中数学必修四 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 正弦函数、余弦函数的性质 【学习目标】 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义； 2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)． 【要点梳理】 要点一：周期函数的定义 函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期. 要点诠释： 1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足 )()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期. 2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
要点诠释： （1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()y x =-的单调递增区间时， 应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相当于求sin y x =的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先 求定义域． 要点三：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的性质． 函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R （2）值域：[],A A - （3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由 )(222 2Z k k x k ∈+ ≤+≤- π πϕωπ π解出x 的范围所得区间即为增区间，由 )(2 3222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2 k k z π ϕπ=±∈时为偶函数； 对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2 k k z π ϕπ=±∈时为奇函数． 要点诠释： 判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． （5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T π ω = ． （6）对称轴和对称中心
§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象和性质 班级 姓名 学号 得分 一、选择题 1.下列说法只不正确的是 ( ) (A) 正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[-1，1]； (B) 余弦函数当且仅当x =2k π( k ∈Z) 时，取得最大值1； (C) 余弦函数在[2k π+2π,2k π+32 π]( k ∈Z)上都是减函数； (D) 余弦函数在[2k π-π,2k π]( k ∈Z)上都是减函数 2.函数f (x )=sin x -|sin x |的值域为 ( ) (A) {0} (B) [-1,1] (C) [0,1] (D) [-2,0] 3.若a =sin 460,b =cos 460,c =cos360，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) (A) c > a > b (B) a > b > c (C) a >c > b (D) b > c > a 4. 对于函数y =sin(132 π-x ），下面说法中正确的是 ( ) (A) 函数是周期为π的奇函数 (B) 函数是周期为π的偶函数 (C) 函数是周期为2π的奇函数 (D) 函数是周期为2π的偶函数 5.函数y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是 ( ) (A) 4 (B)8 (C)2π (D)4π *6.为了使函数y = sin ωx （ω>0）在区间[0,1]是至少出现50次最大值，则的最小值是 ( ) (A)98π (B)1972π (C) 1992 π (D) 100π 二. 填空题 7.函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是 . 8.函数y =cos(sin x )的奇偶性是 . 9. 函数f (x )=lg(2sin x +1)+ 的定义域是 ; *10.关于x 的方程cos 2x +sin x -a =0有实数解，则实数a 的最小值是 . 三. 解答题 11.用“五点法”画出函数y =12 sin x +2, x ∈[0,2π]的简图.
第一章第四节三角函数的图象与性质第三课时 导入新课 思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究． 思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sin x，y＝cos x是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究． 推进新课 新知探究 提出问题 ①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置； ②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？ ③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？ ④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？ ⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？ (1) (2) 图2 活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势．对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(－∞，＋∞)〕． 对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明．
必修四常考公式及高频考点 第一部分 三角函数与三角恒等变换 考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以构成一个集合：{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法： 第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α 三角函数 一、随意角、弧度制及随意角的三角函数 1．随意角 (1)角的观点的推行 ①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角． 正角 : 按逆时针方向旋转形成的角 随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角 零角 : 不作任何旋转形成的角 ②按终边地点不一样分为象限角和轴线角． 角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角． 第一象限角的会合为 k 360o k 360o 90o , k 第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k 第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k 第四象限角的会合为 k 360o 270o k 360o 360o , k 终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k 终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k 终边在座标轴上的角的会合为 k 90o ,k (2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为 k 360o , k (3)弧度制 ① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角． ②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧 度． ③ 半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是 l r ④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 l r ，C 2r l ， S 1 lr 1 r 2 ． 2 2 2 ．随意角的三角函数定义 设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一 点 P(x ， y)，它与原点的距离为 r r x 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、 r r x （三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三 正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y ． 正切、四余弦） 3．特别角的三角函数值 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 自主学习 知识梳理 1．函数的周期性 (1)对于函数f (x )，如果存在一个______________，使得当x 取定义域内的______________时，都有______________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的________________． 2．正弦函数、余弦函数的周期性 由sin(x ＋2k π)＝________，cos(x ＋2k π)＝__________知y ＝sin x 与y ＝cos x 都是________函数，______________都是它们的周期，且它们的最小正周期都是________． 3．正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数y ＝sin x 与余弦函数y ＝cos x 的定义域都是________，定义域关于________对称． (2)由sin(－x )＝________知正弦函数y ＝sin x 是R 上的______函数，它的图象关于________对称． (3)由cos(－x )＝________知余弦函数y ＝cos x 是R 上的______函数，它的图象关于________对称． 自主探究 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (Aω≠0)是否是周期函数，它的最小正周期是多少？ 函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)呢？ 对点讲练 知识点一 求三角函数的周期 例1 求下列函数的周期． (1)y ＝sin ? ???2x ＋π 3 (x ∈R )；(2)y ＝|sin x | (x ∈R )． 回顾归纳 对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，ω≠0时的周期求法常直接利用T ＝2π |ω| 来求 解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解．易知y ＝|A sin ωx |的周期是y ＝A sin ωx 周期的12 . 变式训练1 求下列函数的周期． (1)y ＝sin ??? ?－12x ＋π 3；(2)y ＝|cos x |. 知识点二 判断三角函数的奇偶性 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值. 2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小. 3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间． 正弦函数、余弦函数的性质： 函数 y ＝sin x y ＝cos x 图象 定义域 ______ ______ 值域 ______ ______ 奇偶性 ______ ______ 周期性 最小正周期：______ 最小正周期：______ 单调性 在__________________________________ 上单调递增；在__________________________________________________上单调递减 在__________________________________________上单调递增；在______________________________上单调递减 最值 在________________________时，y max ＝1；在________________________________________时，y min ＝－1 在______________时，y max ＝1；在__________________________时，y min ＝－1 一、选择题 1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin α C ．sin α≥sin β D ．sin α与sin β的大小不定 3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A.[]－1，1 B.⎣⎡⎦ ⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣ ⎡⎦⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭ ⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭ ⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11° 高一数学正弦函数、余弦函数的图象和性质通用版 【本讲主要内容】 正弦函数、余弦函数的图象和性质 【知识掌握】 【知识点精析】 2. 三角函数的周期性 ①周期函数的定义： 一般地，对于函数)(x f ，若存在常数T （T ≠0），使得当x 取它定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，则函数)(x f 就叫做周期函数，T 叫做)(x f 的周期。 ②最小正周期： 若)(x f 的所有周期中存在一个最小正数，则称这个最小正数为最小正周期。 ③正弦函数，余弦函数都是周期函数，2k π（k ∈Z 且k ≠0）都是它们的周期，最小正周期是2π。 （注意：以后若不加说明，周期都是指函数的最小正周期） ④一般地：函数)sin(ϕω+=x A y ，x ∈R 及函数)cos(ϕω+=x A y ，x ∈R （其中A ，ω，ϕ为常数，且A ≠0，ω>0）的周期为 π 2= T （0，1）（ 2 π，0）（π，－1）（23π ，0）（2π，1） 因此， 【 例1. （1）y )(6262Z k k x k ∈+<<+∴ππ ∴函数的定义域为⎭ ⎬⎫⎩ ⎨⎧∈+ <<+ Z k k x k x ，6526 2|πππ π 说明：确定三角函数的定义域的依据是： ①正、余弦函数自身的定义域（大前提），见第一页表格。 ②若函数是分式函数，则分母不为零。 ③若函数是偶次根式，则被开方式非负。 ④若函数是形如)10)((log ≠>=a a x f y a ，的函数，则其定义域由0)(>x f 及a>0且a ≠1共同确定。 例2. 求下列函数的最大值与最小值。 （1）)4 sin(2π - -=x y （2）4sin 5cos 22 -+=x x y 分析（1）：可利用y=sinx 的值域求解，特别注意)4 sin(π -x 前面有“－”号。 解（1）：当2 24 π ππ + =- k x ，即)(4 32Z k k x ∈+ =π π时 )4 sin(π - x 取最大值1，从而112min =-=y 当2 24 π ππ -=- k x ，即)(4 2Z k k x ∈- =π π时 )4 sin(π - x 取最小值－1，从而3)1(2max =--=y 分析（2）：利用三角函数的恒等变形公式将原函数化为关于sinx 的二次函数，把问题转化为二次函数求最值问题。 解（2）：2sin 5sin 24sin 5cos 22 2 -+-=-+=x x x x y 8 9)4 5 (sin 22 + --=x ]11[sin ，-∈x ∴当sinx=－1时，即)(2 2Z k k x ∈-=π π时，9min -=y 当sinx=1时，即)(2 2Z k k x ∈+ =π π时，1max =y 评述：题型①)cos (sin b x a y b x a y +=+=（如第1小题） 求函数的最值或值域主要是利用y=sinx 与y=cosx 的有界性，以及复合函数的有关性质求解。 题型②)cos cos (sin sin 22 c x b x a y c x b x a y ++=++=（如第2小题） 求函数的最值或值域是将函数转化为二次函数型求解。 第一章 §1.4.2.1 正余弦函数的性质 【学习目标】1.了解周期函数及最小正周期的概念. 2.会求一些简单三角函数的周期. 【学习重点】理解周期函数的意义会求周期函数的周期 【基础知识】 函数 x x k y sin )2sin(=+=π，说明当自变量x 的值增加π2的整数倍时，函数的值重复出现，数学上用周期来刻画这一变化规律. 1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. 问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠） （3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+） 2．一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2|| T πω= 说明：①周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； ②“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） ③T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期） 从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π； 判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期） 3.求周期的方法： 授课 学科 数学 授课 班级 高一 授课 时间 授课 内容 第一章 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）——单调性及其应用 课 时 1 课时 课 型 微课 核 心 素 养 及 教 学 目 标 【核心素养】 1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性，提升学生的数学抽象素养。 2.通过三角函数单调性等性质的学习，培养学生的运用数形结合研究问题的思想，提升学生的数学运算素养。 【教学目标】 1.掌握y ＝sin x 和y ＝cos x 的单调性，并结合图像熟记单调区间。 2会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间。(重点、易混点) 重 难 点 【教学重点】 正弦、余弦函数的单调性及应用 【教学难点】 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间 教学方法 数形结合法、分析探究法、讲述法、讲练结合法 授课环节 教师行为 学生活动 设计意图 导入新课 1、 正弦函数、余弦函数的一般式及图像。 2、 复习定义域、值域、奇偶性、周期性。 观察图像，复习之前所学习的性质。 抽查，提问 复习旧知 引出新课 讲授新课 【互动探究】 一、观察正弦函数y ＝sin x 的图像 思考：在哪些区间上函数单调递增？这样的区间有多少个？它们之间有什么联系？ 由图像可知，在闭区间Z k k k ∈⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡++-,π22 ππ,22 π上，函数单 调递增，函数值由-1增大到1. 在闭区间Z k k k ∈⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡++,π22 3ππ,22 π上，函数单调递减，函数值 由1减小到-1. 二、观察余弦函数y ＝cos x 的图像 类比正弦函数的单调区间，你能得出余弦函数的单调区间吗？ 分析、观察图像，引导学生，学生通过类比，从图像上的部分单调区间得出正弦、余弦函数的单调区间。 小组探究、抽查、提问。 解读目标，数形结合，提出困惑 解决困惑，形成新知 正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值 一、选择题 1．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间[0π2 ]上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数 答案：D 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭ ⎫x －π2＝－cos x 所以f (x )是偶函数故D 错． 2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6x ∈⎣⎡⎦ ⎤0，π2的值域是( ) A ⎝⎛⎦⎤－32，12 B ⎣⎡⎦⎤－12，32 C ⎣⎡⎦ ⎤32，1 D ⎣⎡⎦⎤12，1 答案：B 解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2得x ＋π6∈⎣⎡⎦ ⎤π6，2π3 故y max ＝cos π6＝32y min ＝cos 2π3＝－12 所以所求值域为⎣⎡⎦ ⎤－12，32 3．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A ⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B ⎝⎛⎭ ⎫π4，3π4 C ⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ⎝⎛⎭ ⎫3π2，2π 答案：C 解析：画出y ＝|sin x |的图象如图． 由图象可知函数y ＝|sin x |的一个递增区间是⎝⎛⎭⎫π，3π2 4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11° 正弦函数、余弦函数的图象和性质（3） 教学目的： 1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3掌握正弦函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期及求法 教学重点：正、余弦函数的性质 教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： (0,0) (2 π,1) (,0) (2 3π,-1) (2,0) 余弦函数y=cosx x [0,2 ]的五个点关键是 (0,1) (2 π,0) (,-1) (2 3π,0) (2 ,1) 3．定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R 4．值域 正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］ 其中正弦函数y =sin x ,x ∈R ①当且仅当x ＝2 π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2π ＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1 5．周期性 一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )， 《三角函数》 【知识网络】 应用 弧长公式同角三角函数诱导应用计算与化简 的基本关系式公式证明恒等式 应用 任意角的概念 角度制与任意角的三角函数的应用已知三角函 弧度制三角函数图像和性质数值求角 和角公式应用倍角公式 应用 差角公式 应用 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为k 360 k Z x 轴上角：k 180 k Z y 轴上角：90k 180k Z 3、第一象限角：0 k 36090k 360k Z 第二象限角：90k 360180k 360k Z 第三象限角：180k 360270k 360k Z 第四象限角：270k 360360k 360k Z 4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角 第一象限角：0 k 36090k 360k Z 锐角：090小于 90 的角：90 5、若为第二象限角，那么为第几象限角？ 2 2k2k 4k 22 k 2 k 0, , k 1, 5 3 , 4 2 4 2 所以 在第一、三象限 2 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为 1弧度的圆心角，记作 1rad . 7、角度与弧度的转化： 1 0.01745 1 180 57.30 57 18 180 8、角度与弧度对应表： 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 360 弧度 2 3 5 2 6 4 3 2 3 4 6 9、弧长与面积计算公式 弧长： l R ；面积： S 1 l R 1 R 2 ，注意：这里的 均为弧度制 . 2 2 二、任意角的三角函数 P (x, y) 1、正弦： sin y x y ；余弦 cos ；正切 tan x r r r 其中 x, y 为角 终边上任意点坐标， r x 2 y 2 . 2、三角函数值对应表： 度 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 2 3 5 3 2 6 4 3 2 3 4 6 2 sin 1 2 3 1 3 2 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cos 3 2 1 0 1 2 3 0 1 2 1 1 2 2 2 2 2 tan 3 1 3 3 3 无 1 3 无 3 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二） ［学习目标］1•掌握y=sin x, y=cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值2掌握j；=sinx, j/=cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y=Asin（^x+（p）及y=A cos（ex+卩）的单调区间. 戸预习导学全挑战自我，点点落实______________________________________________________________ ［知识链接］ 1.怎样求函数fix）=Asin（cox+（/））（或./（x）=/cos（亦+卩））的最小正周期 答由诱导公式一知：对任意xGR,都有Asin［（a）x+（p） + 2TI］=Asin（cox+（p）, 所以./W=A sin（cox+（p）（co0）是周期函数，方就是它的一个周期. 由于兀至少要增加两个单位，/（X）的函数值才会重复出现，因此，两是函数/（x）=/sin（ex+°）的最小正周期. 同理，函数/（x）=/cos（砂+卩）也是周期函数，最小正周期也是壽. 2.观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？ 答正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和一1. ［预习导引］ 正弦函数、余弦函数的性质 函数y=sinx y=cosx 图象-i-TT \J/ 定义域R R 值域[-1,11[-1,11 对称性 对称轴：兀=航+畝WZ）； 对称中心：伙兀，0）伙EZ） 对称轴：x=k7t（k^Z）； 对称中心：仏+号’0） 所以Asin=Asin（cox+ （p）, §1.4.1正弦函数、余弦函数的图像 【三维目标】 1.要求学生了解用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象， 2.学会用诱导公式，平移正弦曲线获得余弦函数图象． 3.通过分析掌握五点法画正（余）弦函数图象． 4.培养学生利用类比的思想方法研究正弦、余弦问题；培养学生的动手操作能力． 【预习要点】 （1）正弦函数、余弦函数的解析式各是什么？__________________________。 （2）我们在必修一学习了指数函数、对数函数以及幂函数，请同学们思考并回答：如何绘制函数的图像？ _____________________________________________________________________________________________ 【学习内容】 （一）用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）： 为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一 般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识． （1）函数y=sinx 的图象 第一步：_______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 第二步：在单位圆中画出对应于角6 , 0π ， 3π，2 π ,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象． 探究1：你能由y=sinx ，x ∈[0，2π]的图像得到y=sinx ，x ∈R 的图象吗？说明理由。 _____________________________________________________________________________________。 （2）余弦函数y=cosx 的图象 探究2：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？ ____________________________________________________________________________________。 正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
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