人教版高中数学必修4第一章《三角函数》教材分析和教学建议
函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画.三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数.本章中，学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数I 的基础上，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．通过本章的学习，学生将进一步加深对函数概念的理解，提高用函数概念解决问题的能力.
一、课程标准内容
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.
2. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
3. 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2π±α, π±α的正弦、余弦、正切)，能画出y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性.
4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-2π，2
π）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）.
5. 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x =1，x x x tan cos sin =.
6. 结合具体实例，了解y =Asin （ωx +ϕ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y =Asin （ωx + ϕ）的图象，观察A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.
7. 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
二、知识框图
三、教学要求
1．1任意角、弧度
四、教学建议
1．课时分配：(共16个课时)
2．重点难点
1.1 任意角和弧度制
重点：将0︒至360︒范围的角推广到任意角，了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念，用集合来表示终边相同的角和象限角.
1.2 任意角的三角函数
重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，同角三角函数的基本关系.
难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；利用与单位圆有关的有向线段，表示任意角α的正弦、余弦、正切的函数值.
1.3三角函数的诱导公式
重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明. 难点：（2
π±α）的诱导公式的推导. 1.4三角函数的图象与性质
重点：正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）.
难点：正弦函数和余弦函数图象间关系、图象间的变换.
1.5函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象
重点:用平移变换和伸缩变换画函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象变换过程.
难点:图象变换与函数解析式变换的内在联系的认识.
1.6三角函数模型的简单应用
重点: 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
难点: 将某些实际问题抽象为三角函数模型.
3.分析说明
任意角和弧度制,教学中要注意在学生已有生活经验的基础上，通过较丰富的实例展示角扩充的必要性.在直角坐标系中，引入象限角概念，为用代数方法研究角提供了基础. 要认识象限角的分类，通过比较、发现，导出同终边角的集合表示.要揭示引入实数度量角的必要性，弧长公式和扇形面积计算公式只需要会做简单应用. 本节内容涉及概念较多，在教学方法上建议：先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
任意角的三角函数的教学，可通过计算机辅助，突出三对比值与终边上点的位置无关，
与角的终边有关.在此基础上，得出三种函数.教学中可运用三角函数定义，导出单位圆中它们的几何表示，既促进对三角函数定义的理解，又给出三角函数的几何意义. 但作为初次接触，学生能达到能辩认出任意角的正弦线、余弦线和正切线即可.教学中只运用三角函数定义导出两个同角三角函数基本关系即可.
三角函数的诱导公式的教学中可先创设情境，引入发现结论的条件，促成学生发现诱导公式. 为能使创设的情境与学生原有基础的距离缩小，需要复习一些已知知识，如终边相同的角的同一三角函数的值相等；单位圆与三角函数线等. 在此基础上，提出P26探究问题，给学生思考时间，而后，由学生发现，终边与角α的终边关于原点、x 轴、y 轴和直线y=x 对称的各类角的各种表示方法，借助单位圆，通过图形观察，由学生发现公式二至四，然后引导学生，概括四组公式，认识它们的作用. 而后安排的例题与练习，要围绕熟悉公式，理解化归与转化思想来进行, 并知道任意角的三角函数一定可以等价于转化为0至2
π内的角的三角函数. 公式五、六的教学可同上安排. 在本节小结中，要突出两点，一是突出几何图形对发现结论的影响，即我们是如何从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现结论的. 二是在诱导公式的运用中隐含着化归与转化的思想.
三角函数的图象与性质的教学建议在通过给出一定的实例，展现正弦函数图象，使学生对这类函数图象有一个直观的了解.利用单位圆中的正弦线画出y=sinx 在一个周期内的图象，再经平移得出y=sinx （x ∈R ）的图象，然后利用诱导公式经过平移变换得出y=cosx 的图象.引导学生观察图象上的关键点，引入“五点法”画简图的方法.学习正、余弦函数性质要注意借助图象的支持.函数周期性是首次引入，需要展示三角函数具有f( x + T ) = f ( x )的特征，由此引入定义，使学生理解周期性是三角函数的重要性质.对于正切函数，教材是先讲性质，再画图象，为此在图象产生后，可以反来利用图象观察性质.
函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象的教学，可以借助计算机来模拟A,ω,ϕ的变化对函数y=Asin(ωx+ϕ)图象的影响，关键是建立y=sinx 与y=Asin(ωx+ϕ)图象的联系.利用前面研究结果，通过变换由y=sinx 的图象得出y=Asin(ωx+ϕ)图象. 其基本要求是掌握由ϕ→ω→A 的变换，也可以引入其它顺序的变换，从本质上掌握这类变换.通过图象引导学生认识y=Asin(ωx+ϕ)图象的五个关键点，由此得出“五点法”画y=Asin(ωx+ϕ)图象的方法.教学中可在A,ω,ϕ对函数y=Asin(ωx+ϕ)图象影响的基础上，介绍它们的物理意义.
三角函数模型的简单应用是通过4个例题，展现三角函数的简单应用，突出三角函数作为描述现实世界中周期变化现象的一种数学模型，其在刻画周期变化规律、预测其未来等方
面都发挥着十分重要的作用. 同时，也体现化归转化、方程与函数、数形结合等思想方法在研究解决问题中的作用.
五．注意问题
（1）准确把握教学要求.
（2）加强相关知识的联系，强调数学思想方法.
（3）恰当使用信息技术.
人教版数学高中必修4《三角函数》单元教学设计 《人教版数学高中必修4《三角函数》单元教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！ 一、教学分析 三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在必修Ⅰ中建立的函数概念以及指数函数、对数函数的研究方法。主要的学习内容是三角函数是概念、图像和性质，以及三角函数模型的简单应用;研究方法主要是代数变形和图像分析。因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科联系紧密。 二、目标要求 1.总体要求 三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域有着重要作用。在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。 2.具体要求 (1)任意角、弧度制：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。 (2)三角函数
①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。 ②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(的正弦、余弦、正切)，能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图像，了解三角函数的周期性。 ③借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2]，正切函数在上的性质(如单调性、最大和最小值、图像与x轴的交点等)。 ④理解同角三角函数的基本关系式： ⑤结合具体实例，了解的实际意义;能借助计算器或计算机画出的图像，观察参数对函数图像变化的影响。 ⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 三、重点和难点分析 1.理解三角函数是刻画周期现象的重要模型 三角函数拓展了函数模型，三角函数模型是刻画周期现象变化规律的最重要、最基本的数学模型，可以直接表述实际问题，更重要的是用它来解决实际问题。 2.弧度制概念的建立 一方面，学生已经熟悉并掌握了角度制，因此，在学习弧度制时，会对学习弧度制的必要性产生怀疑，因而缺乏积极性;另一方面，由于弧度制的定义方法比较特殊，表面上看不出这种定义的优越性，因而对这种更加抽象、更加不易理解的新的度量制容易产生畏难心理。在教学中应注意解决学生学习心理上的障碍。 3.正弦型函数的图像变换 由于变换过程较长，变化较多，所以学生不易掌握。在教学时可以采取先分解，再综合，化整为零，逐个突破，然后再统一归纳的方法。最终，使学生能对变换的根据有全面而深刻的了解。 3.借助单位圆和函数图像学习三角函数 三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数的学习集中地体现了数形结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系。任意角、任意角的三角函数、三角函数
必修4“第一章三角函数”教材分析 函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画。三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数。本章中，学生将在数学1 中学习函数概念与基本初等函数I的基础上，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．通过本章的学习，学生将进一步加深对函数概念的理解，提高用函数概念解决问题的能力。 一、内容与课程学习目标 本章的学习内容是三角函数及其基本性质。通过本章学习，要引导学生： 1．了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 3．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性； 4．借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）； 5．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，； 6．结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，ω，φ对函数图象变化的影响； 7．会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 二、内容安排 本章共安排了6个小节以及两个选学内容，教学时间约需16课时，大体分配如下（仅供参考）： 1。1任意角和弧度制…………………………………………………约2课时 1。2任意角的三角函数………………………………………………约3课时 1。3三角函数的诱导公式……………………………………………约2课时 1。4三角函数的图象与性质…………………………………………约4课时
1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y； ②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ y x (x≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域
思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？ 梳理三角函数的定义域 知识点三 思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 知识点四诱导公式一 思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？
任意角的三角函数(一) 一、教学目标： 1、知识与技能 〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系. 另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内 容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时任意角的三角函数〔一〕 提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾. 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,
1.6 三角形函数模型的简单应用 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标 1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤． 2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法． 3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点 1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题. 2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点 分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测 （1）函数y =sin （2x - 3 π ）的最小正周期为 π . （2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8 π x - 4 5π ）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.
(二)课堂设计 1.知识回顾 （1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象. （3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究 例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b . (1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】 解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃. (2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象, ∴A =21(30-10)=10,b =21 (30+10)=20. ∵21·ω π 2=14-6, ∴ω= 8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=4 3π. 综上,所求解析式为y =10sin(8 π x + 4 3π )+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.
第一章 三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 2、过程与方法 通过创设情境： “转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值 通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到 一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒ ~之间，这正是我们这节课要研 究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1．初中时，我们已学习了0360︒︒ ~角的概念，它是如何定义的呢？ [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的
任意角 一、知识概述 1、角的分类：正角、负角、零角. 2、象限角：〔1〕象限角. 〔2〕非象限角〔也称象限间角、轴线角〕. 3、终边一样的角的集合：所有与角终边一样的角，连同α角自身在，都可以写成α＋k·360°(k∈Z)的形式；反之，所有形如α＋k·360°(k∈Z)的角都与α角的终边一样． 4、准确区分几种角 锐角：0°<α<90°； 0°～90°：0°≤α<90°； 第一象限角：． 5、弧度角：弧长等于半径的弧所对应的角称为1弧度角〔1 rad〕. 1 rad=，1°=rad. 6、弧长公式：l=αR. 7、扇形面积公式：. 二、例题讲解 例1、写出以下终边一样的角的集合S，并把S中适合不等式的元素写出来： 〔1〕60°；〔2〕－21°；〔3〕363°14′． 解： 〔1〕， S中满足的元素是
〔2〕， S中满足的元素是 〔3〕， S中满足的元素是 例2、写出终边在y轴上的角的集合. 解析： ∴. 注： 终边在x轴非负半轴：. 终边在x轴上：. 终边在y=x上：. 终边在坐标轴上：. 变式：角α与β的终边关于x轴对称，那么β=_______.
答案：. 角α与β的终边关于y轴对称，那么β=_______. 答案： 任意角的三角函数 一、知识概述 1、定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P〔x，y〕，那么sinα=y，cosα=x，tanα=. 注：①对于确定的角α，其终边上取点，令，那么 . ②α的终边没有说明α一定是正角或负角，以及α的大小，只说明与α的终边一样的角所在的位置. 2、公式一：， ， ，其中. 3、三角函数线 角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M，那么sinα=MP(正弦线)，cosα=OM 〔余弦线〕.过A作单位圆的切线，那么α的终边或其反向延长线交此切线于点T，那么tanα=AT〔正切线〕. 注：假设，那么.
正弦、余弦函数的周期性教案 一、教材分析： 《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用． 二、教学目标： 学情分析： 学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标： (一)知识与技能 1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性． 2．会求一些简单三角函数的周期. (二)过程与方法 从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性． (三)情感、态度与价值观 让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力． 三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性. 四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期. 五、教学准备：三角板、多媒体课件 六、教学流程：
人教版高中数学必修4第一章《三角函数》教材分析和教学建议 函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画.三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数.本章中，学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数I 的基础上，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．通过本章的学习，学生将进一步加深对函数概念的理解，提高用函数概念解决问题的能力. 一、课程标准内容 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 2. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 3. 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2π±α, π±α的正弦、余弦、正切)，能画出y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性. 4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-2π，2 π）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）. 5. 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x =1，x x x tan cos sin =. 6. 结合具体实例，了解y =Asin （ωx +ϕ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y =Asin （ωx + ϕ）的图象，观察A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.
7. 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 二、知识框图 三、教学要求 1．1任意角、弧度
四、教学建议 1．课时分配：(共16个课时)
人教版高中数学必修4《三角函数模型简单应用》说课稿
三角函数模型的简单应用(一)说课稿 今天我说课的题目是《三角函数模型的简单应用(一)》，内容选自《人民教育出版社数学必修4》第一章第六节。下面我从五个方面来说说对这节课的分析和设计： 一、教材分析 （一）设计思想 引导学生观察日常生活，通过对具有周期性变化这一类实际问题进行建模练习，让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决实际问题的“苦”，从而拓广视野，增长知识，积累经验；在建模过程中，让学生自觉地运用问题所给的条件进行自主探究，寻求解决问题的最佳方法和途径，从而培养学生的创新精神和实践能力。 （二）教材的地位与作用 本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力。并且课标对这节的要求是让学生了解三角函数是描述周期变化现象
的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。 （三）教学重点和难点 1．教学重点。精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质。 2．教学难点：a、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽 取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解 的确定。 决问题；b、由图象求解析式时 二、教学目标分析 根据三角数函数模型应用及其相关知识历来在高考中的地位以及新课程标准的要求、学生的认知水平，确定教学目标如下：（一）基础知识目标。a、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b、根据解析式作出图象并研究性质；c、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d、体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．（二）能力训练目标。让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力. （三）个性情感目标。让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。 三、教法与学法分析 （一）教法：启发式、讲练相结合式。
1.4三角函数的图象与性质 1.4.2正弦函数、余弦函数的图像与性质(一)（赵中玲） 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课的学习，能够很好的掌握正弦函数、余弦函数的周期性和单调性，在直观想象、数学抽象、逻辑推理过程中用这些性质能够对相关函数作出准确的分析进而解答相关问题. （二）学习目标 1.通过研究sin y x =（cos y x =）“周而复始”的特征，得出周期性的准确定义. 2.理解周期性的定义，并能够运用该定义求周期函数的周期. 3.能结合图象得出sin y x =（cos y x =）的单调性和单调区间，以及会运用单调性求最值和比较大小. 4.在渗透数形结合的数学思想过程中，同时培养学生类比和转化的思维习惯. （三）学习重点 正弦函数、余弦函数的周期性，周期性的定义及其运用. （四）学习难点 正弦函数、余弦函数的周期性. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材34——36页，填空： 正弦函数sin y x =的周期为)(2Z k k ∈π，最小正周期为 2л . 余弦函数cos y x =的周期为)(2Z k k ∈π，最小正周期为 π2 . 周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数就叫周期函数，周期为非零常数T 2.预习自测 （1）sin y x =（cos y x =）的最小正周期为 【答案】2π
（2）sin （)3 y x π =-的最小正周期为 【答案】2π （3）cos 2y x =的最小正周期为 【答案】π (二)课堂设计 1.知识回顾 回顾sin y x =（cos y x =）的图象. 2.问题探究 探究一 正弦函数、余弦函数的周期性，周期性定义★ ●活动①根据sin y x =的图象得出周期性的概念 由正弦函数的图象我们发现：它具有“周而复始”的变化规律.其实在由正切线向正弦函数转变的探究过程中也有感受到，而从式子上面也有准确的体现——正弦的诱导公式： sin （2)sin ()x k x k Z π+=∈，即当自变量x 增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学 上我们称这种规律为周期性，下面得出周期性的准确定义： 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 ()()f x T f x +=，则称函数()f x 为周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，如果在所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做()f x 的最小正周期. 【设计意图】通过数形结合得出周期性的准确定义，从而使三角函数的这种特征由感官的转变为数式的准确描述. ●活动② 利用周期性的定义判断cos y x =是否为周期函数，并确定其周期和最小正周期. 引导学生先根据cos y x =的图象直观的得出其周期性和周期以及最小正周期，再引导学生类比sin y x =发现cos （2)cos ()x k x k Z π+=∈，由k 取不同的整数得cos y x =的周期可以为2π、4π、6π……及2π-、4π-、6π-……，其中最小的一个正数为2π，因此最小正周期为2π. 如果有时间教师可以对最小正周期为2π进行严格证明，证明如下：
高中数学人教A版必修4第一章《三角函数》单元教学设计 ［教材地位分析］ 三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。三角函数是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。三角函数是高中数学课程的传统内容，本模块的内容属于“传统内容”。“三角函数”一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。通过发现生活中的周期现象，使学生感受引入三角函数的必要性，从而引出三角函数。在研究三角函数的基本性质过程中，除了研究函数问题的常规方法外，教材也体现了研究周期性问题的方法，突出了数形结合的数学思想，最终目标是用三角函数的知识解决一大类生活中的问题，来服务生活。 ［本单元教学内容］ ［教学内容分析］ 本单元教学 课堂主线：1、坐标系、单位圆几乎贯穿每节课 2、数学思想：数形结合思想 3、计算能力：代数变形与三角变换 教学要素分析： 1、任意角讲课时需说明，锐角、直角、钝角已不能解决问题，需要对角的概念推广，角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，且这种推广是符合逻辑推理的。如何刻画圆周上一点周而复始的的运动？从生活中事例出发，如：体操中有“转体2周”，手表慢了5分钟，手表快了5分钟等，然后把课堂交给学生，学习小组讨论之后，小组代表发言，①用什么方法研究任意角？如何写出终边相同的角的集合，并介绍自己是如何思考的，为什么这样写？②如何判断两个角终边相同？弄清楚这两个问题，本节课目标完成。建议充分利用教材中所提供的问题情境，如教材上所附的“思考”、“探究”中的问题等等都能够使学生参与到教学中来，建构他们的数学知识。 2、引入弧度制，建立角的集合与实数集之间的对应关系，为以后研究角的问题提供方便。讲弧度制时，角度与弧度如何对应起来，就是说实数与度数如何来对应，先提出问题，让学生分小组合作探究，各小组说出想法，最后统一。这样的课堂比较轻松，学生会主动学习知识，接受知识。事实上，圆的周长是实数统
1.2.1任意角的三角函数（1） 教学目的： 知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义； （2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； （3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与 比值（函数值）的一种联系方式； （2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。 教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他 们的集合形式表示出来. 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依 次为,,a b a sinA cosA tanA c c b = == ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。 二、讲解新课： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为(0)r r == >，那么 （1）比值 y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； （5）比值r x 叫做α的正割，记作sec α，即sec r x α=； （6）比值r y 叫做α的余割，记作csc α，即csc r y α=．
高中数学第一章三角函数新人教版必修4 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 目标定位 1.认识角的扩充的必要性，了解任意角的概念；2.能用集合和数学符号表示终边相同的角；3.能用集合和数学符号表示象限角及终边满足一定条件的角. 自主预习 1.角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类 2. 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 4.象限角的集合表示 即时自测 1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限角是锐角.(×)
(2)小于90°的角是锐角.(×) (3)若角α与β的终边关于x轴对称，则α＋β＝0°.(×) (4)若两个角始边相同，终边也相同，则这两个角相等.(×) 提示(1)第一象限角仅仅是终边位置在第一象限，如α＝－330°角不一定是锐角，故错. (2)负角小于90°，但不是锐角，故错. (3)α＋β＝k·180°，k∈Z，故错. (4)两个角可能相差360°的整数倍，故错. 2.手表时针走过2小时，时针转过的角度为( ) A.60° B.－60° C.30° D.－30° 解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，2 12 ×360°＝60°，故时针转过的角度 为－60°. 答案 B 3.下列各角中与330°角终边相同的角是( ) A.510° B.150° C.－150° D.－390° 解析与330°终边相同的角可表示为α＝330°＋k·360°(k∈Z)，令k＝－2，则α＝－390°. 答案 D 4.－60°是第象限角_____. 解析－60°是顺时针旋转60°(以x轴的非负半轴的为始边)所得角，故－60°为第四象限角. 答案四
数学必修四第一章三角函数(单元)教学设 计 单元整体教学设计参考模板 课标导向下高中学数学必修四第一章（单元）教学设计 单元名称：三角函数 姓名 学科年级 单元研究概述 本单元是基于初中角和锐角三角函数的拓展和延伸，主要研究任意角的三角函数值的问题，而三角函数的图像和性质，则是对必修一函数部分的一个拓展，是整个三角函数部分的基础。 高一数学
工作单位 教材版本人教A版必修四 单元教学目标 通过本章知识的研究，有以下几个点是预期达到的：（1）学生能正确理解角的定义和分类，能判别角的象限，能正确在弧度制和角度制之间进行转化；（2）能用三角函数的定义正确求解任意角的三角函数，能正确判别三角函数的符号；（3）会用诱导公式求解角的三角函数值、对三角代数式进行恒等变形；（4）能正确作出y sinx,y cosx,y tanx的图像，并能对图像进行简单运用；（5）能正确掌握三角函数的图像的变换。 课时划分 课时一：任意角和弧度制2课时 课时二：任意角的三角函数3课时 课时三：三角函数的诱导公式4课时 课时四：三角函数的图象和性子6课时
课时五：函数y Asin x的图像2课时 课时六：三角函数模型的简单应用、单元小结2课时 各课时的联系 任意角和弧度制是本章教学的切入点，是后续教学内容的衍生点，学生在对角的概念扩充之后，接触角的另外一种度量方式，可以说是在原来对于角认识和掌握的基础上的一次变革性延伸，对于后续三角函数值和三角函数是一个基础性的拓展；在角的概念拓展之后，三角函数部分的引入和研究，正式进入本章的主题，而由三角函数的定义求值的繁琐，也顺利的引出诱导公式，对任意角三角函数的求值是一个补充，求值结束之后，就将三角函数正式引出，不仅是对三角函数值是一个扩充，也是对必修一函数部分的延伸。而函数y Asin x 的图像则是三角部分一个重点和难点。 课时一 一、教学内容阐发
人教 A （必修 4） 1.6 三角函数模型的简单应用（第一课时教学设计案例） 一、教材分析 （1）地位与作用 本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简 单应用，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。 （ 2）学情分析 学生学习了三角函数的图像及其性质，已经初步具有用数学知识解决这类实际问题的能力；已经初步形成对数学问题进行合作探究的意识与能力。 （ 3）教学重点与难点分析 教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质 教学难点：①由图象求解析式时的确定。 ②分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立 数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题． 二、教学目标分析 1、知识目标：①使学生初步学会由图象求解析式的方法；②根据解析式作 出图象并研究性质；③体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；④体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学 “建模”思想 , 从而培养学生的创新精神和实践能力。 3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题 中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。 三、教法及学法分析 教学方法——启发式、讲练相结合式 学习方法——小组自主探究、合作交流式 教学手段——使用多媒体辅助教学 四、教学过程分析 情合变深归布 境作式入纳置 引探练探小作 入究习究结业 ，，，，，， 点实加学形巩 明践深以成固 主新理致体新 旨知解用系知 教学设计 教学活动设计意图
三角函数测试卷讲评课教学设计 【学习目标】 1、能以错悟理，加深对三角函数定义及性质等基础知识，基本概念的理解； 2、强化基本方法的运用，熟练掌握“整体换元”“三角函数最值问题”的解题方法，提高解题能力； 3、认真细致进行错例分析，用心思考，积极交流，总结经验，查漏补缺，体会数学方法和思想在解题中的应用。 学习重点 三角函数性质的应用、函数B x A y ++=)sin(ϕω的解析式及平移伸缩变换 学习难点 与三角函数有关的值域与最值问题 学习方法 小组自主合作探究 【错题展示】 {}Z k k ∈+=,23|ππαα 第7题 等于 （ ） A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±（sin2－cos2） D ．sin2+cos2 错解：C 错因： 大小的比较 )2cos()2sin(21++-ππ2cos 2sin 与分析： , 所以2在第二象限 cos2<0 ,sin2>0 |cos2－sin2 |=sin2-cos2 ππ<<22正解：A 第11题 已知角α的终边经过点 ，则与α终边相同角的集合是 错解： 错因：集合描述法理解不透彻 正解：描述法 ），（333P {}Z k k ∈+=,23 ππα第14题 函数 的单调递减区间是 错解： 错因：函数性质理解不深刻 )62sin(y π+-=x )(2,k -322k -322236-2x 2k 2Z k k k x k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∴-≤≤-⇒+≤+≤+πππππππππππππ
【自主合作探究】 例1（1）利用“五点法”画出函数)621sin(π+=x y 在长度为一个周期的闭区间的简图 （2）说明该函数图象可由 y=sinx （x ∈R ）的图象经过怎样 平移和伸缩变换得到。 例 2 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π =x . （1）求ϕ； （2）求函数)(x f y =的单调增区间； 例题3已知函数）4x 2（cos 2)(π-=x f ，求函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2，8-ππ上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⇒ +≤-≤+---=<=ππππππππππωk k k x k x y 3,6226222)62sin(0-2
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时正弦函数、余弦函数的性质(一) [提出问题] 问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？ 提示：相等．即sin(2kπ＋x)＝sin x，cos(2kπ＋x)＝cos x(k∈Z)． 问题2：正弦曲线具有什么特点？ 提示：“周而复始”，每隔2π就重复一次． 问题3：余弦曲线是否也具有上述特点？ 提示：是． [导入新知] 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期． 2．正弦、余弦函数的周期性 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π. [化解疑难] 细解周期函数 (1)一定要强调是对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)成立，即x的任意性，否则不能说y＝f(x)是周期函数． (2)并非所有周期函数都有最小正周期．例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期． (3)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(n∈Z)，从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界. [提出问题] 问题1：正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？ 提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称． 问题2：诱导公式sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x体现了函数的什么性质？ 提示：奇偶性．
第一章 三角函数 4-1.1.1任意角（1） 教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立 适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 教学难点：“旋转”定义角 课标要求：了解任意角的概念 教学过程： 一、引入 同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。 二、新课 1．回忆：初中是任何定义角的？ （从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 师：初中时，我们已学习了0○～360○ 角的概念，它是如何定义的呢？ 生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 师：如图1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆 时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。 师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o ” （即 转体2周），“转体1080o ”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟， 现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校 正？ 生：逆时针旋转300；顺时针旋转300 . 师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 ～ 角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法． 2.角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。 3．正角、负角、零角概念 师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它 等于300与7500 ；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？ 生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。 师：如图3，以OA 为始边的角α=-1500，β=-6600 。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。 B α O A 图1