高中数学必修4常用公式及结论
一、三角函数与三角恒等变换
2、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 α
αcos tan = tan αcot α=1
3、二倍角的三角函数公式
sin2α= 2sin αcos α cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α= cos 2α- sin 2α
α
α
α2
tan 1tan 22tan -=
4、降幂公式 22cos 1cos 2
αα+=
2
2cos 1sin 2
αα-= 5、升幂公式 1±sin2α= (sin α±cos α) 2 1 + cos2α=2 cos 2α 1- cos2α= 2 sin 2α
6、两角和差的三角函数公式
sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β
()β
αβ
αβαtan tan 1tan tan tan ±=
±
7、两角和差正切公式的变形：
tan α±tan β= tan (α±β) (1干tan αtan β)
ααtan 1tan 1-+=ααtan 45tan 1tan 45tan ︒-+︒= tan (4π+α) ααtan 1tan 1+-=ααtan 45tan 1tan 45tan ︒+-︒= tan (4
π
-α)
8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）
()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中a
b =
ϕtan ） 9、半角公式：212
αα
cos sin
-±
= 212α
αcos cos +±= α
α
ααααα
sin cos cos sin cos cos tan
-=+=+-±
=11112
10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”
sin (π－α) = sin α， cos (π－α) = －cos α， tan (π－α) = －tan α； sin (π+α) = －sin α cos (π+α) = －cos α tan (π+α) = tan α sin (2π－α) = －sin α cos (2π－α) = cos α tan (2π－α) = －tan α
sin (－α) = －sin α cos (－α) = cos α tan (－α) = －tan α
sin (
2π－α) = cos α cos (2π－α) = sin α tan (2π
－α) = cot α sin (2π+α) = cos α cos (2π+α) = －sin α tan (2
π
+α) = －cot α
11.三角函数的周期公式
函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π
ω
=
；函数tan()y x ωϕ=+，,2
x k k Z π
π≠+
∈(A,ω,ϕ为常数，且A
≠0，ω＞0)的周期T πω
=
.
二、平面向量 （一）、向量的有关概念 1、向量的模计算公式：（1）向量法：|a
=
；
（2）坐标法：设a =（x ，y ），则|a | =2
2
y x +
2、单位向量的计算公式：
（1）与向量a =（x ，y ）同向的单位向量是⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++2
22
2y x y ,
y x x ； （2）与向量a =（x ，y ）反向的单位向量是⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-
+-2222y x y
,
y x x
； 3、平行向量
规定：零向量与任一向量平行。设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），λ为实数 向量法：a ∥b （b ≠0）<=> a =λb
坐标法：a ∥b （b ≠0）<=> x 1 y 2 – x 2 y 1 = 0 <=>
2
2
11y x y x =（y 1 ≠0 ，y 2 ≠0）
4、垂直向量
规定：零向量与任一向量垂直。设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2） 向量法：a ⊥b <=> a ·b = 0 坐标法：a ⊥b <=> x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 5.平面两点间的距离公式
,A B d =||AB AB AB =
⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).
（二）、向量的加法
（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角） （2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+ x 2 ，y 1+ y 2） （三）、向量的减法
（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量） （2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a -b =（x 1 - x 2 ，y 1- y 2） （3）、重要结论：| |a | - |b | | ≤ |a ±b | ≤ |a | + |b | （四）、两个向量的夹角计算公式：（1）向量法：cos θ =
|
|||b a
（2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则cos θ =
22
2221
2
1
2121y
x y
x y y x x +++
（五）、平面向量的数量积计算公式：（1）向量法：a ·b = |a | |b | cos θ
（2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ·b = x 1 x 2 + y 1 y 2
（3） a ·b 的几何意义：
数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．
（六）.1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .
2.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c.
3.平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （七）.三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐 标是123123
(
,)33
x x x y y y G ++++
公式一： 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值,
①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变； ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号. （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α),k＝4为偶数,所以取sinα. 当α是锐角时,2π－α∈(270°,360°),sin(2π－α)＜0,符号为“－”. 所以sin(2π－α)＝－sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变,符号看象限. 公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α（k∈Z）,-α、180°±α,360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限. 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”． 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”,其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”,弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”,其余全部是“－”． 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦 其他三角函数知识： 同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接） 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型. （1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数； （2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积. （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）.由此,可得商数关系式. （3）平方关系：在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方.
Cos Sin tan Cot 基本三角函数 Ⅰ α 2 α ∈αⅠ ∈2 α Ⅰ、Ⅲ ∈αⅡ ∈2 α Ⅰ、Ⅲ ∈αⅢ ∈2 α Ⅱ、Ⅳ ∈αⅣ ∈2 α Ⅱ、Ⅳ Ⅱ ◆ 终边落在x 轴上的角的集合： {}z ∈=κκπαα, 终边落在y 轴上的角的集合： ??????∈+=z κπκπαα,2? 终边落在坐标轴上的角的集合：? ?????∈=z κπ καα,2 ? 2 21 21 r r l S r l αα=== 弧度 度 弧度弧度弧度 度 180180 11801 2360. ππ π π====?? 倒数关系：1 11 cot tan ===ααααααSec Cos Csc Sin 平方关系：α αααα α222 2 22111tan Csc Cot Cos Sin Sec =+=+=+ 乘积关系：αααCos Sin tan = ， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积 Ⅲ 诱导公式◆ 终边相同的角的三角函数值相等 ()()()z k , tan 2tan z k , 2z k , 2∈=+∈=+∈=+απααπααπαk Cos k Cos Sin k Sin 轴对称关于与角角x αα- ()()()α αααα αtan tan -=-=--=-Cos Cos Sin Sin ? 轴对称关于与角角y ααπ- ()()()α απααπααπtan tan -=--=-=-Cos Cos Sin Sin 基本三角函数符号记 忆：“一全，二正弦，三切，四余弦” 三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对 边对应的三角函数的平方
? 关于原点对称 与角角ααπ+()()()α απααπααπtan tan =+-=+-=+Cos Cos Sin Sin ?对称关于与角角 x y = -ααπ 2 ααπααπααπcot 2tan 22=??? ??-=??? ??-=??? ??-Sin Cos Cos Sin ααπα απααπcot 2tan 22-=?? ? ??+-=??? ??+=?? ? ??+Sin Cos Cos Sin 上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限 三角函数的性质 性 质 x Sin y = x Cos y = 定义域 R R 值 域 []1,1- []1,1- 周期性 π2 π2 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 减函数增函数,,232,22,,22,22z k k k z k k k ∈????? ?++∈?? ????+-ππππππππ [][]减函数 增函数 ,,2,2,,2,2z k k k z k k k ∈+∈-ππππππ 对称中心 ()z k k ∈,0,π z k k ∈??? ? ? +,0,2ππ 对称轴 z k k x ∈+ =,2 π π z k k x ∈=,π 图 像 5 4 3 2 1 -1 -2-3 -4 -5 -6 y -8 -6-4-2246 8 x O π /2π 2π -π -2π 3π /2 -π /2 -3π /2 54 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y -8-6-4-22468 x O π /23π /2-π /2-3π /2π -π -2π 2π 性 质 x y tan = x y cot =
高中数学必修四第一章三角函数公式总结锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=2tanA/1-tanA^2 注：SinA^2 是sinA的平方 sin2A 三倍角公式 sin3α=4sinα·sinπ/3+αsinπ/3-α cos3α=4cosα·cosπ/3+αcosπ/3-α tan3a = tan a · tanπ/3+a· tanπ/3-a 三倍角公式推导 sin3a =sin2a+a =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=A^2+B^2^1/2sinα+t，其中 sint=B/A^2+B^2^1/2 cost=A/A^2+B^2^1/2 tant=B/A
Asinα+Bcosα=A^2+B^2^1/2cosα-t，tant=A/B 降幂公式 sin^2α=1-cos2α/2=versin2α/2 cos^2α=1+cos2α/2=covers2α/2 tan^2α=1-cos2α/1+cos2α 半角公式 tanA/2=1-cosA/sinA=sinA/1+cosA; cotA/2=sinA/1-cosA=1+cosA/sinA. sin^2a/2=1-cosa/2 cos^2a/2=1+cosa/2 tana/2=1-cosa/sina=sina/1+cosa 三角和 sinα+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cosα+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tanα+β+γ=tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/1-tanα·tanβ- tanβ·tanγ-tanγ·tanα 两角和差 cosα+β=cosα·cosβ-sinα·sinβ cosα-β=cosα·cosβ+sinα·sinβ sinα±β=sinα·cosβ±cosα·sinβ tanα+β=tanα+tanβ/1-tanα·tanβ tanα-β=tanα-tanβ/1+tanα·tanβ 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[θ+φ/2] cos[θ-φ/2]
高中数学必修四向量公式 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 3、向量的的数量积 定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。 定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos 〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。 向量的数量积的运算率 a·b=b·a(交换率); (a+b)·c=a·c+b·c(分配率); 向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c (a≠0)，推不出b=c。 3、|a·b|≠|a|·|b| 4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 当λ>0时，λa与a同方向; 当λ<0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
高中数学必修四部分重要公式大全（三角,向量） 一、三角函数诱导公式 1.sin(A+2kπ=sinA cos(A+2kπ=cosA tan(A+2kπ=tanA 2.sin(π+A=-sinA cos(π+A=-cosA tan(π+A=tanA 3.sin(-A=-sinA cos(-A=cosA tan(-A=-tanA 4.sin(π-A=sinA cos(π-A=-cosA tan(π-A=-tanA 5.sin(π/2-A=cosA cos(π/2-A=sinA 6.sin(π/2+A=cosA cos(π/2+A=-sinA 7.sin(3π/2-A-cosA cos(3π/2-A=-sinA 8.sin(3π/2+A=-cosA cos(3π/2+A=sinA 二、平面向量公式 1、线性运算 ①a+b=b+a②(a+b+c=a+(b+c③λ(μa=(λμa.④(λ+μa=λa+μa. ⑤λ(a±b=λa±λb⑥a,b共线→b=λa 2、坐标运算,其中a(x1,y1,b(x2,y2 ①a+b=(x1+x2,y1+y2②a-b=(x1-x2,y1-y2③λa=(λx1,λy1 ④点A(a,b,点B(c,d,则向量AB=(c-a,b-d ⑤点A(a,b,点B(c,d,则向量BA=(a-c,b-d 3、数量积运算
①a*b=∣a∣*∣b∣*cosθ②a*b=b*a(交换律 ③(λ*a*b=λ*(a*b=a*(λ*b(结合律,注意向量间无结合律 ④(a±b*c=a*c±b*c(分配律 ⑤若a*(b-c=0,则b=c或a垂直于(b-c ⑥(a±b2=a2±2a*b+b2⑦(a+b*(a-b=a2-b2 ⑧a(x1,y1,b(x2,y2,则a*b=x1x2+y1y2,∣a∣2=x2+y2,∣a∣=√x2+y2 a垂直于b→x1x2+y1y2=0;一般地,a与b夹角θ满足如下条件:cosθ=a*b/∣a∣*∣b∣=(x1x2+y1y2/(√x12+y12*(√x22+y22 三、三角恒等变换公式 1.cos(A-B=cosA*cosB+sinA*sinB cos(A+B=cosA*cosB-sinA*sinB 导 出:cos((A+B/2=cos(A-B/2*cos(A/2-B+sin(A-B/2*sin(A/2-B 2.sin(A-B=sinA*cosB-cosA*sinB sin(A+B=sinA*cosB+cosA*sinB 3.tan(A-B=tanA-tanB/1+tanA*tanB tan(A+B=tanA+tanB/1-tanA*tanB 4.sin(2A=2*sinA*cosA 5.cos(2A=cos2A-sin2A=1-2*sin2A=2*cos2A-1 6.tan(2A=2*tanA/1-tan2A其中456公式可由123公式推导出。
必修4常用公式手册 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）＝sinα cos （2kπ＋α）＝cosα tan （2kπ＋α）＝tanα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos （π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sinα cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tanα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sinα cos （2π－α）＝cosα tan （2π－α）＝－tanα 公式六：2π±α及32 π±α与α的三角函数值之间的关系：
sin(2π+α)＝cosα sin(2π-α)＝cosα sin(32π＋α)＝－cosα sin(32π－α)＝－cosα cos(2π+α)＝－sinα cos(2π-α)＝sinα cos(32π＋α)＝sinα cos(32π－α)＝－sinα 1.同角三角函数的基本关系式 商的关系： sin tan cos ααα ＝ 平方关系：221sin cos αα＋＝ 2211tan cos αα=+ ⒉两角和与差的三角函数公式 sin sin cos cos sin αβαβαβ（＋）＝＋ s in sin cos cos sin αβαβαβ（－）＝－ ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式 21cos sin ()22α α-= 21cos cos ()22αα+= 21cos tan ()21cos ααα-=+
高中数学必修4公式大全 三角公式汇总 一、特殊角的三角函数值 二、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．．一点),(y x P ,记：22y x r +=, 正弦：r y = αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 三、同角三角函数的基本关系式 商数关系：α ααcos sin tan = ,平方关系：1cos sin 2 2=+αα 四、诱导公式<记忆口诀："奇变偶不变,符号看象限一般形式为〔 απ±2 k 〕> ◆()()()z k , tan 2tan z k , cos 2cos z k , sin 2sin ∈=+∈=+∈=+απααπααπαk k k ❖ ()()()α αααα αtan tan cos cos sin sin -=-=--=- ♦()()()α απα απααπtan tan cos cos sin sin -=--=-=-⌧()()()ααπααπα απtan tan cos cos sin sin =+-=+-=+ ⍓ α απααπsin 2cos cos 2sin =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- α απααπsin 2cos cos 2sin -=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+五、两角和差的正弦、余弦和正切公式 六、二倍角公式 七、降幂公式 八、辅助角公式 其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同,a b =ϕtan . 九、图像y ＝sin x 平移得到y ＝sin<ωx ＋ϕ>变换 途径一：先平移变换再周期变换<伸缩变换> 先将y ＝sin x 的图象向左<ϕ＞0>或向右<ϕ＜0>平移|ϕ|个单位,得y ＝sin
高中数学必修四三角函数万能公式归纳sinα=2tanα/2/[1+tan^α/2] cosα=[1-tan^α/2]/1+tan^α/2] tanα=2tanα/2/[1-tan^α/2] 其它公式 1sinα^2+cosα^2=1 21+tanα^2=secα^2 31+cotα^2=cscα^2 证明下面两式,只需将一式,左右同除sinα^2,第二个除cosα^2即可 4对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-C tanA+B=tanπ-C tanA+tanB/1-tanAtanB=tanπ-tanC/1+tanπtanC 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当x+y+z=nπn∈Z时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 5cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 6cotA/2+cotB/2+cotC/2=cotA/2cotB/2cotC/2 7cosA^2+cosB^2+cosC^2=1-2cosAcosBcosC 8sinA^2+sinB^2+sinC^2=2+2cosAcosBcosC
9sinα+sinα+2π/n+sinα+2π*2/n+sinα+2π*3/n+……+sin[α+2π*n-1/n]=0 cosα+cosα+2π/n+cosα+2π*2/n+cosα+2π*3/n+……+cos[α+2π*n-1/n]=0 以 及 sin^2α+sin^2α-2π/3+sin^2α+2π/3=3/2 tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0 抓好基础是关键 数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、 基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想到 我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提 条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理 清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。 严防题海战术 做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的 习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题 方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的 考查上。因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问： 本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么 解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养自己的悟性 与创造性，开发其创造力。也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合 性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。 归纳数学大思维 数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应 注重归纳它。在平时听课时，一个明知的学生，应该听老师对该题目的分析和归纳。但还 有不少学生，不注意教师的分析，往往沉静在老师讲解的每一步计算、每一步推证过程。 听课是认真，但费力，听完后是满脑子的计算过程，支离破碎。老师的分析是引导学生思考，启发学生自己设计出处理这些问题的大策略、大思维。当教师解答习题时，学生要用 自己的计算和推理已经知道老师要干什么。另外，当题目的答案给出时，并不代表问题的 解答完毕，还要花一定的时间认真总结、归纳理解记忆。要把这些解题策略全部纳入自己 的脑海成为永久地记忆，变为自己解决这一类型问题的经验和技能。同时也解决了学生中 会听课而不会做题目的坏毛病。
人教版高中数学必修一至必修四公式（必会） 初高中连接： 和平方： a 2 b 2 (a b)(a b) 和、差平方： (a b)2 a 2 2ab b 2 立方和、立方差： a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 ) 和、差立方： (a b)3 a 3 b 3 3a 2b 3ab 2 (a b c)2 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac ; (a b c) 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac (a b c) 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac ; (a b c) 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac x 1 x 2 b x 1和x 2为 ax 2 bx c 0的两根，那么 a 韦达定理：设 c x 1 x 2 a 恒建立问题： ax 2 bx c 0( a 0)在 R 上恒建立的条件 a 0且△ 0; ax 2 bx c 0( a 0)在 R 上建立的条件为 a 0且△ 0 指数函数： n a ， a 0 a m m a n 当 n 为奇数时： n a n a ；当 n 为偶数时： n a n a ； n 1 （ a 0， m 、 n N *，且 m 1) a ， a 0 a m n a m r a s a r s (a ， 、 s ； r ) s a rs ( a ， 、 s ； r a r r ( a ， b ； Q) a 0 r Q ) (a 0 r Q) ( ab) b 0 0 r 对勾函数单一区间公式： 对勾函数基本形式： y x p ，在 ( ,0) (0, 单一递加：( , p ) ( p, ) x ) 上 单一递减： ，）（， ( p 0 0 p ) 对数函数 : log a a 1 , log a b ? log b a 1 , log a 1 , a log a N N ( N 、 a 0且 a 1) , log a b 1 (a 、 b 且 a 、 b d d log b c log a c log b 1) , log b log a d d a a c b c a b log a ( M ? N ) log a M log a N log a M log a M log a N (a 、 M 、 N>0, 且 a ≠ 1) ln x log e x( x 0), ln e log e e 1 N log a m n n log a m ( a 、 b 、 m 0， n R,且 a 1) , log a b log c b (a 、 b 、 c 0,且 a 、 c 1) (换底公式 ) n n log a m b log a b log c a m 函数图像（一定熟） 表 1 指数函数 y a x a 0,a 1 对数数函数 y log a x a 0, a 1
1、集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有_____个；真子集有_____个；非空子集有____个. 2、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = _________ ， 偶函数 <=> f (–x ) =_________（注意定义域） 3、幂的运算法则 （1）a m • a n = _____________（2）=m n a a ÷ _____________ （3）( a m ) n = _____________ （4）( ab ) n =_____________ （5） n a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ _____________ （6）a 0( a ≠0) =_____________ （7）n a -= _____________ （8_____________ （9）n m a -= _____________ 4、根式的性质 （1）n =_____________ （2）当n =_____________ 当n =_____________=_____________ 5、指数式与对数式的互化： log a N b =⇔_____________ (0,1,0)a a N >≠>. 6、对数的运算法则 （1）log a N b =⇔_____________ (0,1,0)a a N >≠>. （2）log a 1 = _______ （3）log a a = _______ （4）log a a b = _______ （5）a log N a =_______ （6）log a (MN) = _____________ （7）log a (N M ) =_____________ （8）log a N b =_____________ （9）换底公式(以b 为底，b>0且b 1≠)：log a N = _____________ （10）log m n a b =_____________ (0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). （11）log log a N N a = _____________ （12）常用对数： log 10 N =______ （13）自然对数：log e N =_________（其中 e = 2.71828…） 7、函数零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并有()()f a f b ⋅______ ，那么()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，C 就是零点。
高中数学必修4常用公式及结论 一、三角函数与三角恒等变换 2、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 α αcos tan = tan αcot α=1 3、二倍角的三角函数公式 sin2α= 2sin αcos α cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α= cos 2α- sin 2α α α α2 tan 1tan 22tan -= 4、降幂公式 22cos 1cos 2 αα+= 2 2cos 1sin 2 αα-= 5、升幂公式 1±sin2α= (sin α±cos α) 2 1 + cos2α=2 cos 2α 1- cos2α= 2 sin 2α 6、两角和差的三角函数公式 sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ± 7、两角和差正切公式的变形： tan α±tan β= tan (α±β) (1干tan αtan β) ααtan 1tan 1-+=ααtan 45tan 1tan 45tan ︒-+︒= tan (4π+α) ααtan 1tan 1+-=ααtan 45tan 1tan 45tan ︒+-︒= tan (4 π -α) 8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）
()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中a b = ϕtan ） 9、半角公式：212 αα cos sin -± = 212α αcos cos +±= α α ααααα sin cos cos sin cos cos tan -=+=+-± =11112 10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。” sin (π－α) = sin α， cos (π－α) = －cos α， tan (π－α) = －tan α； sin (π+α) = －sin α cos (π+α) = －cos α tan (π+α) = tan α sin (2π－α) = －sin α cos (2π－α) = cos α tan (2π－α) = －tan α sin (－α) = －sin α cos (－α) = cos α tan (－α) = －tan α sin ( 2π－α) = cos α cos (2π－α) = sin α tan (2π －α) = cot α sin (2π+α) = cos α cos (2π+α) = －sin α tan (2 π +α) = －cot α 11.三角函数的周期公式 函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π ω = ；函数tan()y x ωϕ=+，,2 x k k Z π π≠+ ∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω = . 二、平面向量 （一）、向量的有关概念 1、向量的模计算公式：（1）向量法：|a = ； （2）坐标法：设a =（x ，y ），则|a | =2 2 y x + 2、单位向量的计算公式： （1）与向量a =（x ，y ）同向的单位向量是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2 22 2y x y , y x x ； （2）与向量a =（x ，y ）反向的单位向量是⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛+- +-2222y x y , y x x ； 3、平行向量 规定：零向量与任一向量平行。设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），λ为实数 向量法：a ∥b （b ≠0）<=> a =λb 坐标法：a ∥b （b ≠0）<=> x 1 y 2 – x 2 y 1 = 0 <=> 2 2 11y x y x =（y 1 ≠0 ，y 2 ≠0）
Cos Sin tan Cot Sec Csc ◆ 终边相同的角的三角函数值相等 ()()()z k , t an 2t an z k , 2z k , 2∈=+∈=+∈=+απααπααπαk Cos k Cos Sin k Sin 轴对称关于与角角x αα- ()()()α αααα αtan tan -=-=--=-Cos Cos Sin Sin ♦ 轴对称关于与角角y ααπ- ()()()α απααπααπt an t an -=--=-=-Cos Cos Sin Sin ⌧ 关于原点对称 与角角ααπ+()()()α απααπααπt an t an =+-=+-=+Cos Cos Sin Sin ⍓对称 关于与角角 x y =-ααπ 2 ααπααπααπcot 2t an 22=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Sin Cos Cos Sin ααπα απααπcot 2tan 22-=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+Sin Cos Cos Sin ◆ 两角的和与差公式：()()) ()(S , S , βαβαβαβαβαβαβαβα-+-=-+=+Sin Cos Cos Sin Sin Sin Cos Cos Sin Sin ()()()()) () () ()(T , tan tan 1tan tan tan T , tan tan 1tan tan tan C , C , βαβαβαβαβαβ αβαβαβ αβαβαβαβαβαβαβα-+-++-=--+= ++=--=+Sin Sin Cos Cos Cos Sin Sin Cos Cos Cos 变形： ()() ()()为三角形的三个内角 其中χβαχ βαχβαβαβαβαβαβαβα,,tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan 1tan tan tan =+++-=--+=+ 二倍角公式： α αααααααα αα22 222 t an 1t an 22t an 2112222-= -=-=-==Sin Cos Sin Cos Cos Cos Sin Sin ♦ 半角公式： 2 122 12 α α α α Cos Cos Cos Sin +± =-± =α αααααα Sin Cos Cos Sin Cos Cos -= +=+-± =11112 tan ⌧ 降幂扩角公式：2 21 , 2 2122ααααCos Sin Cos Cos -=+=
高一数学必修四公式归纳 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα
公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点).2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用(重点、难点)． 课前预习： 预习教材P132－134完成下面问题： 知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin α＝2sin α2cos α 2 .( ) (2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)，cos 3α＝1－2sin 23 2α.( ) 课堂互动 题型一 二倍角公式的正用、逆用 【例1】 求下列各式的值： (1)cos 2π12－sin 2π12； (2)tan 22.5° 1－tan 222.5°； (3)cos 20°cos 40°cos 80°．
规律方法 二倍角公式的关注点 (1)对“二倍角”应该有广义的理解，如：4α是2α的二倍角；α是α2的二倍角，3α是 3α 2的二倍角等． (2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α 2sin α，cos 2α －sin 2α＝cos 2α，2tan α 1－tan 2α ＝tan 2α． (3)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 【训练1】 (1)12－cos 2π 8＝________； (2)若sin(π4－α)＝1 2，则sin 2α＝________． 题型二 条件求值问题 【例2】 (1)若tan α＝3 4，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A ．6425 B ．4825 C ．1 D ．1625 (2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0 高中数学必修四必修五 公式 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高中数学必修四必修五公式_知识点 正弦定理：（R 为外接圆半径）， sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B 边角互化关系式： 余弦定理： 三角形面积公式： 三角形判断方法： 设a 、b 、c 是△ABC 的角A 、B 、C 的对边，则：①若，则； ②若，则；③，则。 等差数列： 通项公式：d n a a n )1(1-+= 通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③1 1 n a a d n -=-；④11n a a n d -= +；⑤ n m a a d n m -= - 等差数列性质：m n p q += +（m 、n 、 p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等差数列，且 2n p q =+（n 、 p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+。 求和公式： ()()2 211 1n a a d n n na S n n +=-+ = 等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()* 2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇， 1 n n S a S a +=奇偶．②若项数为()* 21 n n -∈N ，则()21 21n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1 S n S n =-奇偶（其中n S na =奇 ，()1n S n a =-偶）。 ③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列（d n 2 ） 等比数列： 通项公式：11-=n n q a a 通项公式的变形：① n m n m a a q -=；②()11n n a a q --=；③1 1 n n a q a -=；④n m n m a q a -= 高中必修4、5公式定理及常见规律 1.三角函数 1.1终边相同的角 ⑴α与)(Z k k ∈+απ表示终边相同的角度; ⑵终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同; ⑶而α与)(Z k k ∈+απ表示终边共线的角. ⑷终边相同的角的集合表示: } ,2|{Z k k S ∈+==παββ或者 },360|{Z k k S ∈⋅+== αββ 1.2特殊位置的角的集合的表示 1.3孤独之与角度制互化 rad 1（弧度）π 180 = 度 7.53≈ 1.4扇形有关公式 ⑴弧长公式:R l ||α=; ⑵扇形面积公式:2||2 1 21R lR S α==扇形 (注 想象成三角形面积计算公式) 1.5任意角的三角函数定义 以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ,点P 到原点的距离记为r ,则x y r x r y === ααα tan ,cos ,sin . 1.6三角函数的同角关系 ⑴商数关系: αααtan cos sin =, 其中Z k k ∈+≠,22ππ α. ⑵平方和关系: 1cos sin 22=+αα; 1.7三角函数的诱导公式 诱导公式（一）απαsin )2sin(=+k ; απαcos )2cos(=+k ; απαtan )2tan(=+k ; 诱导公式（二）α απsin )sin(-=+; ααπcos )cos(-=+; ααπtan )tan(=+; 诱导公式（三）ααπ sin )sin(=-; ααπcos )cos(-=-; ααπtan )tan(-=-; 诱导公式（四）ααsin )sin(-=-; ααcos )cos(=-; ααtan )tan(-=-; 诱导公式（五）ααπcos )2sin(=-; ααπ sin )2cos(-=-; 诱导公式（六）ααπ cos )2sin( =+; ααπ sin )2 cos(-=+; 1.8特殊的三角函数值 1.9三角函数的图象与性质高中数学必修四必修五公式
高中数学必修4、5公式总结
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