必修四常考公式及高频考点
第一部分 三角函数与三角恒等变换
考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以构成一个集合：{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法：
第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α 第二象限角的集合为{α| k ·360 °+90 °<α （1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z },其中α为射线与x 轴非负半轴形成的夹角 （2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β= k ·180 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角 （3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β= k ·90 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角 例： 终边在y 轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k ·360 °+270 °,k ∈Z } 终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k ·180 °+135 °,k ∈Z } 终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k ·90 °+45 °,k ∈Z } 易错提醒： 区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角 考点二 弧度制有关概念与公式 1.弧度制与角度制互化 π=︒180，1801π= ︒，1弧度︒≈︒ = 3.57180π 2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法） 弧长公式：R R n l απ== 180 , 其中α为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式：lR R n S 2 13602== π=1 2 R 2|α|, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 易错提醒：利用S=12 R 2 |α|求解扇形面积公式时，α为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数 规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧 考点三 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=（22||r OP x y == +） ；化简为x y x y ===αααtan ,cos ,sin . 2.三角函数值符号 规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号. 3.特殊角三角函数值 SIN15º=SIN(60º-45º)=SIN60ºCOS45º-SIN45ºCOS60º=(√6-√2)/4 COS15º=COS(60º-45º)=COS60ºCOS45º+SIN60ºSIN45º=(√6+√2)/4 除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值 4.三角函数线 经典结论： (1)若(0,)2 x π ∈，则sin tan x x x << (2)若(0, )2 x π ∈，则1sin cos 2x x <+≤(3)|sin ||cos |1x x +≥ 考点四 三角函数图像与性质 y O x y O x α终边 y O x y O x P M A T P M A T 正弦线 余弦线 正切线 P P M A T P M A T α终边 α终边 α终边 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭ 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =； 当22 x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =； 当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,222k k ππππ⎡ ⎤ -+⎢⎥⎣ ⎦()k ∈Z 上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡ ⎤++⎢⎥⎣ ⎦()k ∈Z 上是减函 数． 在 []()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝ ⎭ ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心(),02 k k ππ⎛⎫ +∈Z ⎪⎝ ⎭ 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心(),02 k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭ 无对称轴 考点五 正弦型（y=Asin(ωx ＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx ＋φ)）、正切性函数（y=Atan(ωx ＋φ)）图像与性质 1.解析式求法 字母 确定途径 说明 A 由最值确定 A ＝最大值－最小值2 B 由最值确定 B ＝最大值＋最小值2 ω 由函数的周期确定 相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期 φ 由图象上的特殊点确定 可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通过解简单三角方程确定 A 、 B 通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路： ①φ求解思路： 函 数 性 质 代入图像的确定点的坐标.如带入最高点),(11y x 或最低点坐标),(22y x ，则)(22 1Z k k x ∈+= +ππ ϕω或 )(22 32Z k k x ∈+= +ππ ϕω，求ϕ值． 易错提醒：y=Asin(ωx＋φ)，当ω>0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω>0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+600 )的初相是-600 ②ω求解思路： 利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2.“一图、两域、四性” “一图”：学好三角函数，图像是关键。 易错提醒：“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x ，不可针对-x 或2x 等. 例： “两域”： (1) 定义域 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解. (2) 值域(最值)： a.直接法（有界法）：利用sinx ，cosx 的值域. b.化一法：化为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值). c.换元法：把sinx 或cosx 看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题. 例： 1.y=asinx 2 +bsinx+c 2.y=asinx 2+bsinxcosx+ccosx 2 3.y=(asinx+c)/(bcosx+d) 4.y=a(sinx ±cosx)+bsinxcosx+c “四性”： (1)单调性 ①函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ-π2<ωx+φ<2kπ＋π 2，k ∈Z 解得, 单调递减区间由 2kπ+π 2 <ωx+φ<2 kπ＋1.5π，k ∈Z 解得; ②函数y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ+π<ωx+φ<2kπ＋2π,k ∈Z 解得, 单调递减区间由2kπ<ωx+φ<2 kπ＋π，k ∈Z 解得; ③函数y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由kπ-π2<ωx+φ 2，k ∈Z 解得,. 规律总结：注意ω、A 为负数时的处理技巧． (2)对称性 ①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ＋π 2(k ∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得; ②函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ＋π 2(k ∈Z) 解得; ③函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ= kπ(k ∈Z)解得. 规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A 符号. (3)奇偶性 ①函数y ＝Asin(ωx＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)，函数y ＝Asin(ωx＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝kπ＋π 2(k ∈Z)； ②函数y ＝Acos(ωx＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝kπ＋π 2 (k ∈Z)；函数y ＝Acos(ωx＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝kπ(k ∈Z)； ③函数y ＝Atan(ωx＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝kπ 2(k ∈Z)． 规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A 符号. (4)周期性 函数y ＝Asin(ωx＋φ)或y ＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T ＝2π |ω|， y ＝Atan(ωx＋φ) 的最小正周期T ＝π|ω| . 考点六 常见公式 常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用 1.同角三角函数的基本关系 22sin cos 1θθ+=；tan θ= θ θ cos sin 2.三角函数化简思路：“去负、脱周、化锐” （1）去负，即负角化正角： sin(-a)=-sina ； cos(-a)=cosa ；tan(-a)=-tana ； （2）脱周，即将不在（0,2π）的角化为（0,2π）的角： sin(2k π+a)=sina ； cos(2k π+a)=cosa ；tan(2k π+a)=-tana ； （3）化锐，即将在（0,2π）的角化为锐角： 6组诱导公式 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫ -= ⎪⎝⎭ ． ()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ． 口诀：奇变偶不变，符号看象限. 均化为“k π/2±a ”,做到“两观察、一变”。一观察：k 是奇数还是偶数；二观察：k π/2±a 终边所在象限，再由k π/2±a 终边所在象限，确定原函数对应函数值的正负.一变：正弦变余弦、余弦变正弦、正切利用商的关系变换. 其中公式（1）也可理解为终边相同角的三角函数值相同，公式（3）也可按照函数奇偶性理解 3.两角和差公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=； tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= , 4.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-； 22tan tan 21tan α αα = -， 二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式，当α=β时的特殊情况 倍角是相对的，如0.5α是0.25α的倍角，3α是1.5α的倍角 5.升降幂公式 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（升幂缩角）. 221cos 21cos 2cos ,sin 22 αα αα+-== （降幂扩角）， 6.辅助角公式 sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a ϕ= ，- π2<ϕ<π2). 7.半角公式 sin 2A =±2cos 1A -；cos 2A =±2cos 1A + tan 2A =A A cos 1cos 1+-；tan 2 A =A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 8.其它公式 1+sin a =(sin 2a +cos 2a )2；1-sin a = (sin 2a -cos 2 a )2 9.万能公式 sin a= 2)2(tan 12tan 2a a +；cos a=22)2(tan 1)2(tan 1a a +-；tan a=2 )2 (tan 12tan 2a a - 10.和差化积 sin a+sin b=2sin 2b a +cos 2b a -；sin a-sin b = 2cos 2b a +sin 2b a - cos a+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a -；cos a-cos b = -2sin 2b a +sin 2b a - tan a+tan b =b a b a cos cos ) sin(+ 11.积化和差 sinAsinB =-21[cos(A+B)-cos(A-B)]；cosAcosB =21 [cos(A+B)+cos(A-B)] sinAcosB =21[sin(A+B)+sin(A-B)]；cosAsinB =2 1 [sin(A+B)-sin(A-B)] 12.三倍角公式 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin() 33 ππ θθθθθθ=-=-+； 3 cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33 ππ θθθθθθ=-=-+；32 3tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππ θθθθθ-==-+- 14.三角形中三角函数关系 在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222 C A B π+⇔ =- 222()C A B π⇔=-+. sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan(A+B)=-tanC;sin cos 22 A B C +=等． 15.三角函数化简的常用技巧 1.三角函数化简要做到“四看、四变” (1)看角、做好角的变换：观察角与角之间和、差、倍、互补、互余等关系，采取诱导公式、两角和差公式、倍角公式、拼凑角等办法化简. (2)看名、做好名的变换：利用同角三角函数基本关系实现弦切互化，掌握弦的一次齐次式或二次齐次式化简方法 (3)看次数、做好次数的变换：利用升降幂公式实现扩角降次、缩角升次 (4)看形、做好形的变换：利用辅助角公式，统一函数形式 2.具体技巧 (1)遇分式通分、遇根式升幂. (2)和积转换法 掌握sin α±cos α，sin αcos α化简方法，利用(sin α±cos α)2 ＝1±2sin αcos α，“知一求二”． (3)巧用“1”的变换 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝＝tan450 ＝sin π2 ＝cos 0…. 3.四种常见题型 给角求值、给值求值、给值求角，辅助角公式 若角的范围在（0,90），选择正弦、余弦函数均可；若角的范围在（0,180），选择余弦函数较好；若角的范围在（-90,90），选择正弦函数较好 第二部分 平面向量 考点一 向量的有关概念 1.向量：既有大小又有方向的量，用黑体小写字母或用起点终点的大写字母表示 2.向量的模：有向线段的长度，|a| 3.单位向量：模为1的向量.与a 平行的单位向量：±a/|a|；与a 同向的单位向量：a/|a|；单位向量有无数个 4.零向量：模为0的向量，方向是任意的.注意实数0与向量0的区别 5.相等向量：长度相等、方向相同.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移 6.相反向量：长度相等、方向相反.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移 7.共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，对长度不作要求 易错提醒： 1.有向线段与向量的区别：向量可用有向线段来表示，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段. 向量只有两要素:方向和大小;而有向线段有三要素:起点、方向和大小 2.共线向量（平行向量）可重合，注意与直线平行的区别；不要单纯从字面上理解共线向量，注意与直线重合的区别 3.规定零向量与任意向量平行；不可说零向量与任意向量垂直 4.零向量与单位向量的特殊性：长度确定、方向任意.a//b, b// c,不一定推出a//c; a=b, b= c,一定推出a=c 6.向量不可以比较大小，如不能得出3i>2i 考点二 向量的线性运算 1.向量的加法法则 （1）平行四边形法则：共起点，指向对角线；起点相同、终点相同，首尾相连、路径不限 （2）三角形法则：首尾相连，可理解为“条条大路通罗马” 2. 向量的减法原则：起点相同、指向被减 OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ 12 (a+b)= 12 OC ,12 (a-b)= 12 BA 两个向量共线只可用三角形法则；封闭图形、首尾相连、相加为零 3.向量的数乘运算 实数λ与向量a 的积叫做向量的数乘，记作a λ．其几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩 （1） a a λλ= （2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= 4.a 与b 的数量积运算 a·b=|a ||b|cos θ=|a||b|cos （1）|a|cos （2）a·b 的几何意义：a·b 等于|a|与|b|在a 方向上的投影|b|cos （6）向量没有除法，“a /b”没有意义,注意与复数运算的区别 （7）向量的加法、减法、数乘结果为向量，向量的数量积结果为实数 易错提醒： 向量的数量积与实数运算的区别： （1）向量的数量积不满足结合律，即：(a •b)•c ≠a •(b •c) （2）向量的数量积不满足消去律，即：由 a •b=a •c (a ≠0)，推不出 b=c （3）由 |a|=|b| ，推不出 a=b 或a=-b （4）|a •b|≤|a|•|b| 考点三 向量的运算律 1.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b= a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 考点四 向量的坐标表示及坐标运算 1.平面向量基本定理 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量（隐含另一条件为非零向量，基底不唯一）e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 该定理作用：证明三点共线、两直线平行或两个向量a 、b 共线. 解题思路：可用两个不共线的向量e 1、e 2表示向量a 、b ，设b=λa （a ≠0），化成关于e 1、e 2的方程，即f(λ) e 1+g(λ) e 2=0,由于e 1、e 2不共线，则f(λ)=0，g(λ) =0 2.向量的坐标表示 i j x y → → ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得()a x i y j x y a a x y →→→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()表示 (1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++ (2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y -- (3)设 ()() λλλλa x y x y → ==1111，， (4)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a ·b=|a ||b|cos θ=x 1x 2+y 1y 2 （5）设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=-- （6） ()()||AB x x y y A B →= -+-212 212 ，、两点间距离公式 易错提醒： 公式（2）与公式（5）的区别 向量坐标与该向量有向线段的端点无关，仅与其相对位置有关 考点四 向量的常见公式 1.线段的定比分公式 （1）定比分点向量公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则P 的 坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫ ⎪ ++⎝⎭，即12 12 11x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ ⇔12 1OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（1 1t λ = +）. （2）定比分点坐标公式： ()()()设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在 P x y P x y P x y P P P 11122212l l 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212λλλ→=→ P P P P P P P P 12121200→ ><所成的比（，在线段内，，在外），且λλ x x x y y y P P P x x x y y y =++=++⎧⎨ ⎪⎪⎩ ⎪⎪=+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1212121212 112 2λλλλ，为中点时， ()()() 如：，，，，，，∆ABC A x y B x y C x y 112233， 则重心的坐标是，∆ABC G x x x y y y 123 12333++++⎛⎝ ⎫⎭⎪ 2.三角形五“心”向量形式的充要条件 设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心2 2 2 OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=. （3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 3. A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3)三点共线⇔OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 (x 1-x 2)(y 2-y 3)= (x 2-x 3) (y 1-y 2)等 4. 向量的三角形不等式和方程 （1）∣∣a ∣-∣b ∣∣≤∣a+b ∣≤∣a ∣+∣b ∣ 11 ① 当且仅当a 、b 反向时，左边取等号；② 当且仅当a 、b 同向时，右边取等号 （2）∣∣a ∣-∣b ∣∣≤∣a-b ∣≤∣a ∣+∣b ∣ ① 当且仅当a 、b 同向时，左边取等号；② 当且仅当a 、b 反向时，右边取等号 记忆规律： （1）与（2）的几何意义为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （3）∣a+b ∣2+∣a-b ∣2=2（∣a ∣2+∣b ∣2），该式几何意义为平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和 （4）a ·b>0推不出a 与b 的夹角为锐角，可能为0；a ·b<0推不出a 与b 的夹角为钝角，可能为180 5.点的平移公式 ''''x x h x x h y y k y y k ⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k . 6.“按向量平移”的几个结论 (1)点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++. (2)函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3)图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5)向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y . 考点五 向量的的四种常见题型 设a=11(,)x y ,b=22(,)x y 1.两个向量的平行或共线关系：a//b ⇔b=λa （a ≠0）12210x y x y ⇔-=（交叉相乘差为零）， 若a=0,则λa=0，当b=0，λ不唯一；当b ≠0，λ不存在.限定a ≠0是保证λ的唯一性和存在性 不可写为x 1/x 2=y 1/y 2 2.两个向量的垂直关系 a ⊥b ⇔a ·b=0⇔|a ||b|cos θ=012120x x y y ⇔+=（对应相乘和为零） 3. 两个向量的夹角公式：cos θ=,其中θ为a 与b 的夹角 4.两个向量的模运算：若(),a x y =，则222a x y =+或2a x y = +（a±b）2=a 2±2ab+b 2,（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2 解题技巧： 1.如向量用模表示，且已知两个向量的夹角，遇模，先平方后开方，如()2wb a wb a ±= ±λλ 2.如向量用坐标表示，遇模不平方，直接按照坐标运算 最新人教版高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数 1、特殊角的集合: 第一象限角的集合:},90360360|{Z k k k ∈+?<+=y x r ,那么比值 r y 叫做α的正弦,记作r y =αsin ； 比值r x 叫做α的余弦,记作r x =αcos ；比值x y 叫做α的正切,记作x y =αtan 。 人教版高中数学必修四 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【学习目标】 1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换. 【要点梳理】 要点一：两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()C αβ+ 要点诠释： (1)公式中的αβ、都是任意角； (2)和差角的余弦公式不能按分配律展开，即()cos cos cos αβαβ±≠±； (3)公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由cos50cos20sin50sin 20??+??能迅速地想到 ()cos50cos 20sin 50sin 20cos 5020cos30??+??=?-?=?= ； (4)第一章所学的部分诱导公式可通过本节公式验证； (5)记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反. 要点二：两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ ()S αβ+ 在公式()S αβ+中用β-代替β，就得到： 两角差的正弦函数 sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- ()S αβ- 要点诠释： (1)公式中的αβ、都是任意角； (2)与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即()sin sin sin αβαβ±≠±； (3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如 高中数学必修4必背知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则s i n y r α=，cos x r α=，()tan 0y x x α= ≠． 9、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11同角三角函数的基本关 系：()221sin cos 1 αα+=() 2 222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-； () sin 2tan cos α αα =sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ??? ． 12、函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα?? -= ??? ， cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα?? += ??? ， cos sin 2παα?? +=- ??? ． 高中数学必修4常用公式及结论 一、三角函数与三角恒等变换 2、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 α αcos tan = tan αcot α=1 3、二倍角的三角函数公式 sin2α= 2sin αcos α cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α= cos 2α- sin 2α α α α2 tan 1tan 22tan -= 4、降幂公式 22cos 1cos 2 αα+= 2 2cos 1sin 2 αα-= 5、升幂公式 1±sin2α= (sin α±cos α) 2 1 + cos2α=2 cos 2α 1- cos2α= 2 sin 2α 6、两角和差的三角函数公式 sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ± 7、两角和差正切公式的变形： tan α±tan β= tan (α±β) (1干tan αtan β) ααtan 1tan 1-+=ααtan 45tan 1tan 45tan ︒-+︒= tan (4π+α) ααtan 1tan 1+-=ααtan 45tan 1tan 45tan ︒+-︒= tan (4 π -α) 8、两角和差正弦公式的变形（合一变形） ()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中a b = ϕtan ） 9、半角公式：212 αα cos sin -± = 212α αcos cos +±= α α ααααα sin cos cos sin cos cos tan -=+=+-± =11112 10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。” sin (π－α) = sin α， cos (π－α) = －cos α， tan (π－α) = －tan α； sin (π+α) = －sin α cos (π+α) = －cos α tan (π+α) = tan α sin (2π－α) = －sin α cos (2π－α) = cos α tan (2π－α) = －tan α sin (－α) = －sin α cos (－α) = cos α tan (－α) = －tan α sin ( 2π－α) = cos α cos (2π－α) = sin α tan (2π －α) = cot α sin (2π+α) = cos α cos (2π+α) = －sin α tan (2 π +α) = －cot α 11.三角函数的周期公式 函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π ω = ；函数tan()y x ωϕ=+，,2 x k k Z π π≠+ ∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω = . 二、平面向量 （一）、向量的有关概念 1、向量的模计算公式：（1）向量法：|a = ； （2）坐标法：设a =（x ，y ），则|a | =2 2 y x + 2、单位向量的计算公式： （1）与向量a =（x ，y ）同向的单位向量是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2 22 2y x y , y x x ； （2）与向量a =（x ，y ）反向的单位向量是⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛+- +-2222y x y , y x x ； 3、平行向量 规定：零向量与任一向量平行。设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），λ为实数 向量法：a ∥b （b ≠0）<=> a =λb 坐标法：a ∥b （b ≠0）<=> x 1 y 2 – x 2 y 1 = 0 <=> 2 2 11y x y x =（y 1 ≠0 ，y 2 ≠0） 必修四常考公式及高频考点 第一部分 三角函数与三角恒等变换 考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以构成一个集合：{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法： 第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α 高中数学必修 4 第一章 三角函数 ⎧⎪ ⎨⎪⎩ 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{} 360,k k ββα=⋅+∈Z 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α= ． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π= ，1180π = ，180157.3π⎛⎫ =≈ ⎪⎝⎭ ． 7、若扇形的圆心角为()α α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+， 211 22 S lr r α==． 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是( ) 0r r >， 则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关 系 ()221sin cos 1 αα+=() 2 222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-() sin 2tan cos α αα =sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛ ⎫== ⎪⎝⎭ ． 12、函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫ +=- ⎪⎝⎭ ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将 函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数 ()sin y x ωϕ=A +的图象． ②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移 ϕ ω 个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横 高中数学必修4知识点(完美版) 高中数学必修4 第一章三角函数 角是指由两条射线（或直线）共同端点所组成的图形。按照旋转方向，角可以分为正角、负角和零角。其中，正角是按逆时针方向旋转形成的角，负角是按顺时针方向旋转形成的角，零角是不作任何旋转形成的角。 如果一个角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角。各象限角的集合可以表示为： 第一象限角的集合为：α ∈ {α | k360° < α < k360° + 90°， k∈Z}； 第二象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 90° < α < k360° + 180°，k∈Z}； 第三象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 180° < α < αk360° + 270°，k∈Z}； 第四象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 270° < α < αk360° + 360°，k∈Z}； 终边在x轴上的角的集合为：α ∈{α | α = k180°，k∈Z}； 终边在y轴上的角的集合为：α ∈ {α | α = k180° + 90°， k∈Z}； 终边在坐标轴上的角的集合为：α ∈ {α | α = k90°，k∈Z}。 根据终边所在的象限，可以将角分为四个象限。第一象限角的终边落在第一象限，第二象限角的终边落在第二象限，以此类推。在第一象限，角的值在0°到90°之间；在第二象限， 角的值在90°到180°之间；在第三象限，角的值在180°到270°之间；在第四象限，角的值在270°到360°之间。 与角α终边相同的角的集合可以表示为：β = k360° + α， k∈Z。 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度。如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，则角α的弧度数的绝对 数学必修四知识点(15篇) 数学必修四知识点1 平面向量 戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算： (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则ab=(x1+x2,y1+y2). 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律：+=+(交换 律);+(+c)=(+)+c(结合律); 两个向量共线的充要条件： (1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=. (2)若=(),b=()则‖b. 平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，戴氏航天学校老师提醒有且只有一对实数，，使得=e1+e2 高考数学必修四学习方法 养成良好的课前和课后学习习惯：在当前高中数学学习中，培养正确的学习习惯是一项重要的学习技能。虽然有一种刻板印象的猜疑，但在高中数学学习真的是反复尝试和错误的。学生们不得不预习课本。我准备的数学教科书不是简单的阅读，而是一个例子，至少十分钟的思考。在使用前不能通过学习知识解决问题的情况下，可以在教学内容中找到答案，然后在教材中考察问题的解决过程，掌握解决问题的思路。同时，在课堂上安排笔记也是必要的。在高中数学研究中，建议采用两种形式的笔记，一种是课堂速记，另一种是课后笔记。这不仅提高了课堂记忆的吸收能力，而且有助于对笔记内容的查询。 高考数学必修四学习技巧 养成良好的学习数学习惯 多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的'脑海中。良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。 及时了解、掌握常用的数学思想和方法 中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。 有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的 人教B高中数学必修第四册全册各章知识点汇总 第九章解三角形.................................................................................................................... - 1 - 第十章复数 ......................................................................................................................... - 12 - 第十一章立体几何初步...................................................................................................... - 19 - 第九章解三角形 知识体系 题型探究 利用正弦、余弦定理解三角形 【例1】如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BD＝5，AB⊥BC，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2. (1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积． [思路探究] (1)由面积公式求出sin ∠ABD ，进而得cos ∠ABD 的值，利用余弦定理可解； (2)由AB ⊥BC 可以求出sin ∠CBD 的大小，再由二倍角公式求出sin ∠BCD ，可判断△CBD 为等腰三角形，利用正弦定理求出CD 的大小，最后利用面积公式求解． [解] (1)由S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝1 2×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝2 55， 又∠ABD ∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ， 可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5. (2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π 2， 所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝5 5. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝4 5，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD . 在△CBD 中，由正弦定理知， BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ， 得CD ＝BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD ＝5×55 45 ＝5 4， 高一数学必修4知识点总结(人教版) 要想学好数学，大量做题是必可避开的，娴熟地把握各种题型，这样才能有效的提高数学成果。今日我在这给大家整理了〔高一数学〕必修4学问点〔总结〕(人教版)，接下来随着我一起来看看吧! 高一数学必修4学问点总结(人教版) 高一数学必修4学问点名目 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 1.2任意角的三角函数——阅读与思索三角形与天文学 1.3三角函数的诱导公式 1.4三角函数的图像与性质——探究与觉察函数y=Asin(ωX+φ)及函数 y=Acos(ωx+φ)的周期 探究与觉察利用单位圆中的三角函数线商量正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用利用正切线画函数 y=tanX,X∈(—2π，2π )的图像 1.5函数y=Asin(ωX+φ)的图像——阅读与思索振幅、周期、频率、相位 1.6三角函数模型的简洁应用 小结 复习参考题 第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念——阅读与思索向量及向量符号的由来 2.2平面向量的线性运算 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.4平面向量的数量积 2.5平面向量应用举例——阅读与思索向量的运算(运算律)与图形性质 小结 复习参考题 第三章三角恒等变换 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式——信息技术应用利用信息技术制作三角函数表 3.2简洁的三角恒等变换 复习参考题 第一章三角函数 1. 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。 按边旋转的方向分零角：假如一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。角负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。 的第一象限角{α|k2360°α90°+k2360°,k∈Z} 分第二象限角{α|90°+k2360°α180°+k2360°,k∈Z}类第三象限角 {α|180°+k2360°α270°+k2360°,k∈Z}第四象限角{α|270°+k2360°α360°+k2360°,k∈Z}或{α|-90°+k2360°αk2360°,k∈z}(象间角):当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一个象限.2.终边相同角的表示：全部与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合s={β|β=α+k2360°,k∈z}即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和。3.几种特殊位置的角：p= 高中数学必修4知识点总结 第一章：三角函数 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ. § 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 1、 设αx y =α 2、 3、 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . 3、 倒数关系：tan cot 1αα= §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈） 1、 诱导公式一： ()()(). tan 2tan ,cos 2cos , sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、 诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 3、诱导公式三： ()() .tan tan ,cos cos , sin sin αααααα-=-=--=- 1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象： 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 周期函数定义：对于函数()x f，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有()()x f就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. +，那么函数()x f= f x T 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 x y sin =()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系. ① 先平移后伸缩： sin y x = 平移|| ϕ个单位 ()sin y x ϕ=+ （左加右减） 横坐标不变 ()sin y A x ϕ=+ 纵坐标变为原来的A 倍 数学公式 (1) ①0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n > ② 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n > ③(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ④()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ⑤()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ ⑥log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠> ⑦log 10a =；log 1a a = ⑧常用对数：lg N ，即10log N ； 自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． (2)如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =；log N a a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 log log 1a b b a ⇒•= (3)扇形的圆心角α(α为弧度制)，半径r ，弧长l ， ①l r α=， ②扇形面积211 22 S lr r α==． 三角恒等变换 (1)①sin tan cos y x θ θθ = = sin sin tan cos cos tan α ααααα ⇒=⇒= ②sin y r θ= ， cos x r θ= ，其中r =③2 2 sin cos 1θθ+= 2222sin 1cos cos 1sin αααα⇒=-⇒=- ④sin cos 2παα⎛⎫ -= ⎪⎝⎭ ，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ⑤sin cos 2παα⎛ ⎫ =- ⎪⎝ ⎭ ，cos sin + 2παα⎛⎫ = ⎪⎝ ⎭ （2）两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ①()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ②()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ③()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- ④ ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ⑤()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ--= + ⑥()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= - （3）二倍角的正弦、余弦和正切公式： ①sin 22sin cos ααα= 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα =-=-=- ⇒降幂公式： 2cos 21cos 2αα+= ，2 1cos 2sin 2 αα-= ②22tan tan 21tan α αα = - （4）)sin(cos sin 22ϕθθθ++= +b a b a 人教版高中数学必修四知识点归纳总结 1.1．1 任意角 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 1.1.2弧度制（一） 1．定 义 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为 ②整圆所对的圆心角为 ③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|= 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度： ； ； ； ． ②将弧度化为角度： ； ； ； ． 5．常规写法： 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成负角：按顺时针方向旋转形成始 终 顶 A O B ① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180 ° 270° 360° 弧 度 7．弧长公式 弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 4-1.2.1任意角的三角函数（三） 1. 三角函数的定义 2. 诱导公式 当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 1．有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义： 设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延 长线交与点T . o x y M T P A o x y M A x P x y o M T A （Ⅱ（Ⅰ 一、基础概念 1、正角、负角和零角 正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：不作任何旋转形成的角 2、象限角、轴线角 属于任何项限 3、角的集合：与任意角终边相同的角构成一个集合 k 360 ,k 常见结论：（1）第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 k 360o k 360o 90o,k k 360 90 180 36 0 k,k Z k 360o180o k 360o270o,k k 360o270o k 360o360o,k （2）终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 必修四三角函数 终边在y x 上的角的集合为45 k 180 ,k Z 终边在y x 上的角的集合为135 k 180 ,k Z 正角负角零角 象限角：点O 与坐标原点重合，OA与x 轴正半轴重合，当终边OB 落在第几象限就说这个角是第几象限角 轴线角：点O 与坐标原点重合，OA与x 轴正半轴重合，当终边OB 落在坐标轴上就说这个角是轴线角，这个角不 k 180o,k k 180o 90o,k k 90o,k （3）任何一个象限角有可能是正角，也有可能是负角； 任何轴线角有可能是正角、负角、零角； 小于90 的角不一定是锐角； 大于90 的角不一定是钝角； 终边相同的角不一定相等 4、已知是第几象限角，确定（n Z）所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，n 依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域。 n 二、角度制与弧度制 1、角度制：将圆周分为360等份，每一份所对的圆心角是1 度，这种用度作单位来度量角的制度叫角度制。弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫1 弧度角，这种用弧度为单位来度量角的制度叫弧度制。1 弧度记为1rad ，l r 注意：（1）度作为单位度量角时，“”度“ ”不能省略； （2）弧度作为单位度量角时，“ rad可”以省略。 2、角度与弧度的互化 180 180 1 1rad 57.3 180 30 6 45 4 60 3 90 2 120 2 3 135 3 150 5 180 270 3 360 2 4 6 2 3、扇形的弧长及面积公式 lR S1lR1R2 22 高中数学必修四知识点总结 ⎧⎪ ⎨⎪⎩ 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{} 36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号 即为n α 终边所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π = ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭ ． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ， 则l r α=，2C r l =+， 211 22 S lr r α==． 9、（一）设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记 做sin α,即sin y α=；（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；（3）y x 叫做α的正切, 记做tan α,即tan (0)y x x α=≠。 （二）设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数 ⎧⎪ ⎨⎪⎩ 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，那么称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、与角α终边一样的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是l r α=． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180 π =，180157.3π⎛⎫ =≈ ⎪⎝⎭ ． 7、假设扇形的圆心角为()α α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，那么l r α=， 2C r l =+，211 22 S lr r α==． 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标 是(),x y ，它与原点的距离是 () 0r r =>，那么sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的根本关 系 高中数学必修4 知识点总结 第一章：三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ. §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式：R R n l απ== 180 . 4、扇形面积公式：lR R n S 2 1 3602== π. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么： （设r = sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°， §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈） 1、 诱导公式一： ()()(). tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、 诱导公式二： ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 3、诱导公式三： ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=- 5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、 单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-1202 2 π π ππ（ ，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质 1 2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.最新人教版高中数学必修4知识点总结
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