人教版--高一数学必修4全套导学案

目录

第一章 三角函数

1。1。1 任意角 ..........................................................................................1 1。1。2 弧度角 ..........................................................................................5 1。2.1 任意角的三角函数(1） ........................................................................8 1。2。1 任意角的三角函数(2） ........................................................................12 1。2.2 同角三角函数的关系(1） .....................................................................15 1。2.2 同角三角函数的关系（2） .....................................................................17 1。2.3 三角函数的诱导公式(1） .....................................................................19 1.2.3 三角函数的诱导公式(2） .....................................................................22 1。2.3 三角函数的诱导公式(3) .....................................................................25 1。3。1 三角函数的周期性 ...........................................................................27 1。3。2 三角函数的图象和性质(1) ..................................................................30 1.3。2 三角函数的图象和性质（2） (33)

1.3.2 三角函数的图象和性质(3) ..................................................................36 1.3。3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象（1) ......................................................38 1。3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象(2) ......................................................41 1.3.4 三角函数的应用.................................................................................44 三角函数复习与小结 (46)

第二章 平面的向量

2。1 向量的概念及表示..............................................................................49 2。2。1 向量的加法.......................................................................................52 2.2.2 向量的减法.......................................................................................55 2。2.3 向量的数乘（1) .................................................................................58 2.2.3 向量的数乘(2) .................................................................................62 2。3。1 平面向量的基本定理 ........................................................................65 2.3。2 向量的坐标表示(1） ........................................................................68 2。3.2 向量的坐标表示（2） (70)

2。4。1 向量的数量积(1） (72)

2。4。1 向量的数量积（2) (75)

第三章 三角恒等变换

3.1。1 两角和与差的余弦公式 .....................................................................77 3。1。2 两角和与差的正弦公式 (81)

3.1.3 两角和与差的正切公式 .....................................................................85 3。2。1 二倍角的三角函数(1) .....................................................................88 3。2。1 二倍角的三角函数(2） (92)

第一章 三角函数 1.1。1 任意角

【学习目标】

1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念

2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集

合表示

【学习重点、难点】

用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入

问题1:回忆初中我们是如何定义一个角的？

______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？

______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0

720”这样的动作名词,这里的“0

720”，怎么刻画?

______________________________________________________

二、建构数学 1．角的概念

角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形. 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______.

2．角的分类

按__________方向旋转形成的角叫做正角, 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________. 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合.这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。

3. 终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 。

4．象限角、轴线角的概念

我们常在 直角坐标系 内讨论角.为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合,角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是__________________.

如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。 象限角的集合

（1）第一象限角的集合：_______________________________________ （2）第二象限角的集合：_______________________________________ (3）第三象限角的集合：_______________________________________ (4）第四象限角的集合：_______________________________________ 轴线角的集合

(1)终边在x 轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （2）终边在x 轴负半轴的角的集合:_______________________________________ (3）终边在y 轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （4）终边在y 轴负半轴的角的集合:_______________________________________ （5）终边在x 轴上的角的集合:_______________________________________ (6)终边在y 轴上的角的集合：_______________________________________ （7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________

三、课前练习

在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。

00000030,150,60,390,390,120---

【典型例题】

例1 (1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？

（2）若将钟表拨慢了10分钟,则时针和分针分别转了多少度？

例2 在0

3600到的范围内，找出与下列各角终边相同的角,并分别判断它们是第几象限角。

（1）0

650 （2）0

150- (3)0

240- （4）'

15990-

例3 已知0

240与α角的终边相同，判断

2

α

是第几象限角。

例4 写出终边落在第一、三象限的角的集合。

例5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界)

（1） （2） （3）

【拓展延伸】

已知角α是第二象限角，试判断2

α

为第几象限角？

【巩固练习】

1、设0

60-=α，则与角α终边相同的角的集合可以表示为___________________。 2、把下列各角化成),3600(3600

Z k k ∈<≤⋅+αα的形式，并指出它们是第几象限的角。

（1)0

1200 （2）0

55- （3）0

1563 （4）0

1590-

3、终边在y 轴上的角的集合_______________;终边在直线x y =上的角的集合________________；终边在四个象限角平分线上的角的集合_________________________.

4、 终边在030角终边的反向延长线上的角的集合___________________________。

5、 若角α的终边与0

45角的终边关于原点对称，则___________=α；若角βα,的终边

关于直线0=+y x 对称，且0

60-=α，则____________=β。

6、 集合},3690|{0

0Z k k A ∈-⋅==αα，

}180180|{00<<-=ββB ,则._________=⋂B A

7、若

2

α

是第一象限角，则α的终边在_______________________________

【课后训练】

1、 分针走10分钟所转过的角度为___________；时针转过的角度为____________。

2、若0

13590<<<αβ，则βα-的范围是_________,βα+的范围是________. 3、（1)与'30350

-终边相同的最小正角是________; (2）与0

715终边相同的最大负角是_______________; （3)与0

1000终边相同且绝对值最小的角是__________； （4)与0

1778-终边相同且绝对值最小的角是___________。 4、与0

15-终边相同的在00

3601080

-<≤-β之间的角β为_______________________.

5、已知角βα,的终边相同,则βα-的终边在___________________________。

6、若β是第四象限角,则β-0

180是第_____象限角；β+0

180是第____象限角。 7、若集合},9018030180|{0

Z k k k A ∈+⋅<<+⋅=αα， 集合},4536045360|{0

Z k k k B ∈+⋅<<-⋅=ββ， 则._____________=⋂B A

8、已知集合}{锐角=M ，}90{0

的角小于=N ，}{第一象限的角=P ，下列说法:（1)N P ⊆，(2）M P N =⋂，（3)P M ⊆，（4）P N M ⊆⋃)(其中正确的是____________。

9、角α小于0

180而大于0

180-，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角α。 10、已知α与060角的终边相同，分别判断αα2,2

是第几象限角。

【课堂小结】

【布置作业】

（编者：吴笋）

1。1.2 弧度制

【学习目标】

3．理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度数

4．掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题5．了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系

【学习重点、难点】

弧度的概念，弧度与角度换算

【自主学习】

一、复习引入

请同学们回忆一下初中所学的01的角是如何定义的？

二、建构数学

1．弧度制

角还可以用__________为单位进行度量，

___________________________________叫做1弧度的角，用符号_____表示，读作________。2．弧度数：正角的弧度数为_________，负角的弧度数为_________，零角的弧度数为_____如果半径为r的圆心角所对的弧的长为1,那么，角α的弧度数的绝对值是_________。这里，α的正负由____________________________________决定。

3．角度制与弧度制相互换算

360°＝_________rad 180°＝_________rad

1°＝_________rad 1 rad＝_________°≈ _________°

4．角的概念推广后,在弧度制下， ________________与______________之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数（即_______________）与它对应;反过来,每一个实数也都有________________(即_______________)与它对应。

5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：

α=______________ （l为弧长,r为半径）角α的弧度数的绝对值||

弧长公式:____________________________

扇形面积公式：____________________________

【典型例题】

例1．把下列各角从弧度化为度。

（1）

53π （2)12π （3)6

5π- (4）2 (5）5.3

例2．把下列各角从度化为弧度。

（1）0

750- （2)0

1440- （3）0

'

6730 (4)0252 （5）'15110

例3．（1）已知扇形的周长为cm 8，圆心角为rad 2,求该扇形的面积。

(2）已知扇形周长为cm 4,求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。

例4．已知一扇形周长为C （0C >）,当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最大

面积.

【巩固练习】

2、若角，则角的终边在第____象限；若，则角的终边在第___象限。

3、将下列各角化成)20(,2παπα<≤+k ，Z k ∈的形式,并指出第几象限角。 （1)319πα=

（2）0

315-=α (3）322πα= （4）2

23πα=

4、圆的半径为10，则2的圆心角所对的弧长为______；扇形的面积为________。

5、用弧度制表示下列角终边的集合.

（1）轴线角 (2）角平分线上的角 (3）直线x y 3=

上的角

6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于_____.

【课堂小结】

【布置作业】

(编者:吴笋)

2。2。2任意角的三角函数（1）

【学习目标】

6．掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义

7．会用三角函数线表示任意角三角函数的值

8．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号

【学习重点、难点】

任意角的正弦、余弦、正切的定义

【自主学习】

一、复习旧知，导入新课

在初中，我们已经学过锐角三角函数：

角的范围已经推广，那么对任意角α是否也能定义其三角函数呢？

二、建构数学

P x y,它与原点的距离1．在平面直角坐标系中，设点P是角α终边上任意一点,坐标为(,)

==，一般地,我们规定：

OP r

||

⑴比值___________叫做α的正弦，记作___________,即___________=___________；

⑵比值___________叫做α的余弦,记作___________,即___________=___________;

⑶比值___________叫做α的正切,记作___________,即___________=___________. 2。当α=___________________时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标等于____________,所以_____________无意义。除此之外，对于确定的角α，上面三个值都是______________.所以，正弦、余弦、正切都是以_________为自变量,以__________为函数值的函数,我们将它们统称为___________________。

3.由于________________________与________________________之间可以建立一一对应关

系,三角函数可以看成是自变量为_________________的函数。 4。其中，sin y x =和cos y x =的定义域分别是________________； 而tan y x =的定义域是__________________.

5．根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号.

=y sin α =y cos α

=y tan α

【典型例题】

例1．已知角α的终边经过点()4,3P -，求α的正弦、余弦、正切的值。

变题1 已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠，求α的正弦、余弦、正切的值.

变题2 已知角α的终边经过点()6,--x P ，且13

5

cos -

=α，求x 的值

例2．已知角α的终边在直线x y 3-=上，求α的正弦、余弦、正切的值

例3．确定下列三角函数值的符号： (1）π127cos

（2)()︒-465sin （3）π3

11

tan （4）5tan 4cos 3sin ⋅⋅

例4．若ABC ∆两内角A 、B 满足sin cos 0A B <，判断三角的形状.

【巩固练习】

1、已知角α的终边过点P （－1,2），cos α的值为

2、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 A ．sin α B ．cos αC ．tan α D ．

tan 1

α 3、填表：

4、已知角α的终边过点P （4a,－3a ）(a<0)，则2sin α＋cos α的值是

5、若点P （－3,ｙ）是角α终边上一点，且3

2

sin -=α，则ｙ的值是

6、α是第二象限角，P （x, 错误!） 为其终边上一点,且cos α=

4

2x ，则sin α的值为_______

【课堂小结】

【布置作业】

（编者:吴笋）

1．2．1任意角的三角函数(2）

【学习目标】

1、掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义

2、会用三角函数线表示任意角三角函数的值

3、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号

【学习重点、难点】

会用三角函数线表示任意角三角函数的值

【自主学习】

一、复习回顾

1．单位圆的概念:在平面直角坐标系中，以________为圆心，以_______为半径的圆。2．有向线段的概念：把规定了正方向的直线称为___________________;

规定了___________（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。3．有向线段的数量:若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l_____________，根据有向线段AB与有向直线l的方向_____________或_____________，分别把它的长度添上______或_______，这样所得的__________叫做有向线段的数量.

4．三角函数线的定义：

P x y，设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)

A作单位圆的切线，设它与α的终边(当过点P作x轴的垂线,垂足为M；过点(1,0)

α为第_______象限角时)或其反向延长线（当α为第______象限角时）相交于

点

T

。根据三角函数的定义：

sin y α==________;cos x α==_______;tan y

x

α=

=__________。 【典型例题】

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:

()3

1π

()π652 ()π323-

()6

4π-

例2．利用三角函数线比较大小

() 30sin 1______ 150sin ： () 25sin 2______ 150sin :

()π3

2cos 3______π5

4cos ； ()π3

2tan 4______π3

2tan

例3．解下列三角方程

()23sin 1=

x ()2

1

cos 2=x ()1tan 3=x

变题1．解下列三角不等式()23sin 1>x ()2

1

cos 2≤x ()1tan 3>x

变题2．求函数()x x y cos 211sin 2lg ++-=的定义域。

【巩固练习】

1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线

()π6

111- ()π3

22

2．利用余弦线比较cos 64,cos 285的大小; 3．若

4

2

π

π

θ<<

，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；

4．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：

（1)cos θ< ； （2)tan 1θ>- ； （3)sin θ>

5．当角α,β满足什么条件时，有βαsin sin =

6．若cos θ<，sin θ>，写出角θ的取值范围。

【课堂小结】

【布置作业】

(编者：吴 笋)

1.2.2同角三角函数的关系（1)

【学习目标】

1、 掌握同角三角函数的两个基本关系式

2、 能准确应用同角三角函数关系进行化简、求值

3、 对于同角三角函数来说，认清什么叫“同角”,学会运用整体观点看待角

4、 结合三角函数值的符号问题，求三角函数值

【重点难点】同角三角函数的两个基本关系式和应用

【自主学习】 一、数学建构：

同角三角函数的两个基本关系式：_______________________________________; _______________________________________。

二、课前预习： 1、),0(,5

4

cos παα∈=

，则tan α的值等于

2、化简：=ααtan cos

【典型例题】 例1、 已知2

1

sin =α，并且α是第二象限角，求ααtan ,cos 的值

变：已知2

1

sin =α，求ααtan ,cos 的值

例2、已知5

12

tan =α,求ααcos ,sin 的值．

解题回顾与反思：通过以上两个例题,你能简单归纳一下对于ααcos ,sin 和αtan 的“知一求二"问题的解题方法吗？

例2、化简

440． （240cos40． (3）1sin 1tan 2

-α

α

（α是第二象限角） (4）αα

ααsin 1sin 1sin 1sin 1+-+-+

【课堂练习】 1、已知4

cos 5

α=-

，求αsin 和αtan 的值

2、化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β= ．

3、若θ为二象限角，且2

cos

2

sin

212

sin

2

cos θ

θ

θ

θ

-=-，那么

2

θ

是第几象限角。

【课堂小结】

（编者：许琳）

1.2.2同角三角函数的关系（2）

【学习目标】

1、 能用同角三角函数关系解决简单的计算、化简与证明

2、 掌握“知一求二”的问题 【重点难点】

奇次式的处理方法和“知一求二"的问题 【自主学习】 一、复习回顾：

1、 同角三角函数的两个基本关系式：

2、 ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -+有何关系？（用等式表示)

二、课前练习

1、已知,3

1

cos sin =

+αα则=ααcos sin _________________________ 2、若15tan =α，则=αcos

；=αsin

．

【典型例题】

例1、 已知,3tan =α求下列各式的值

（1）α

αααcos 9sin 4cos 3sin 2-- (2)αααα2

222cos 9sin 4cos 3sin 2-- （3）αα2

2cos 3sin 2-

例2、求证：（1)ααααsin cos 1cos 1sin -=+ （2）α

αα

αααααsin tan sin tan sin tan sin tan ⋅+=-⋅

例3、已知,0πθ<<5

1

cos sin =

+θθ,求θtan 的值

例4、若),3(3

1

cos ,31sin ≠--=-+=k k k k k αα (1）求k 的值; （2）求1

tan 1

tan +-αα的值

【课堂练习】

1、已知,0πα<

12

-,则cos α－sin α的值等于

2、已知θ是第三象限角，且9

5

cos sin 44

=

+θθ，则=θθcos sin

3、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么1

tan tan θθ

+

的值是

4、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为

5、 求证:1

tan 1

tan cos sin cos sin 2122-+=-+αααααα

【课堂小结】

(编者：许琳）

1。2.3三角函数的诱导公式（1）

【学习目标】

1、 巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式

2、 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值

3、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程

4、 准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值 口诀:函数名不变,符号看象限

【重点难点】诱导公式的推导与运用

【自主学习】

1、 利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值：),(y x P 为角α的终边与单位圆的交点，

则___________cos _,__________sin ==αα

2、 诱导公式

由三角函数定义可以知道：

（1） 终边相同的角的同一三角函数值相等.

公式一（παk 2+）:__________________________________________; __________________________________________； ___________________________________________.

(2）当角α的终边与角β的终边关于x 轴对称时，α与β的关系为：__________________

公式二（ ）:__________________________________________； __________________________________________; ___________________________________________。

（3)当角α的终边与角β的终边关于y 轴对称时,α与β的关系为:__________________ 公式三（ ）：__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________。

（4）当角α的终边与角β的终边关于原点对称时,α与β的关系为：

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§1.1.1任意角 1. 理解任意角、象限角的概念，会用集合语言表示终边相同的角； 2. 通过学习，培养学生的类比思维能力、形象思维能力； 3. 通过对任意角的概念的学习，体验角的概念扩展的必要性，促进学生对数学知识形成过程的认识.用数 . 重点：任意角的概念，用集合表示终边相同的角. 难点：角的概念的推广，终边相同的角之间的关系. 通过回忆已有知识和观察日常生活中的实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法. 回忆初中所学的角的定义,任意角概念的学习为以后三角函数的建立做好了准备. 探究1：任意角的概念 1．初中时，我们已学习了0 360︒ ︒~角的概念，它是如何定义的呢？ (1)角可以看成是由平面内的一点出发的两条 所组成的图形. (2)角可以看成平面内的一条 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的 ，OB 叫做角的 ，射线的端点O 叫做叫做角的 . 以上两种定义方式哪一种更科学、合理?为什么? 2.在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒ ”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒ 的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒ 的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫做 __,按顺时针方向旋转所形成的角叫做 __.如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个 __.这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括 __、 __和 __. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. 探究2：象限角 在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与 ___重合，角的始边与_____轴的非负半轴重合.那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是________________.如教材图1.1-4中的30︒ 角、210︒ -角分别是第______象限角和第______象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为__________. 探究3：终边相同的角 将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标

人教版--高一数学必修4全套导学案

目录 第一章 三角函数 1。1。1 任意角 ..........................................................................................1 1。1。2 弧度角 ..........................................................................................5 1。2.1 任意角的三角函数(1） ........................................................................8 1。2。1 任意角的三角函数(2） ........................................................................12 1。2.2 同角三角函数的关系(1） .....................................................................15 1。2.2 同角三角函数的关系（2） .....................................................................17 1。2.3 三角函数的诱导公式(1） .....................................................................19 1.2.3 三角函数的诱导公式(2） .....................................................................22 1。2.3 三角函数的诱导公式(3) .....................................................................25 1。3。1 三角函数的周期性 ...........................................................................27 1。3。2 三角函数的图象和性质(1) ..................................................................30 1.3。2 三角函数的图象和性质（2） (33) 1.3.2 三角函数的图象和性质(3) ..................................................................36 1.3。3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象（1) ......................................................38 1。3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象(2) ......................................................41 1.3.4 三角函数的应用.................................................................................44 三角函数复习与小结 (46) 第二章 平面的向量 2。1 向量的概念及表示..............................................................................49 2。2。1 向量的加法.......................................................................................52 2.2.2 向量的减法.......................................................................................55 2。2.3 向量的数乘（1) .................................................................................58 2.2.3 向量的数乘(2) .................................................................................62 2。3。1 平面向量的基本定理 ........................................................................65 2.3。2 向量的坐标表示(1） ........................................................................68 2。3.2 向量的坐标表示（2） (70) 2。4。1 向量的数量积(1） (72) 2。4。1 向量的数量积（2) (75) 第三章 三角恒等变换 3.1。1 两角和与差的余弦公式 .....................................................................77 3。1。2 两角和与差的正弦公式 (81)

新人教A版必修4高中数学2.5.1平面几何中的向量方法导学案

1 高中数学 2.5.1平面几何中的向量方法导学案 新人教A 版必修4 学习目标 1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题； 2. 能通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系. 学习过程 一、课前准备（预习教材P109—P111） 复习： （1）若O 为ABC 重心,则OA +OB +OC = （2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC = 12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为 .类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? （3）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如下

图，AC AB AD =-，你能发现平行四边形对角线=+，DB AB AD 的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ 结论： 2

3 结论： 问题3：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ ⑴ ⑵ ⑶ ※ 典型例题 1、在ABC ?中，若()()0CA CB CA CB +?-=，判断ABC ?的形状.

4 2、设ABCD 是四边形，若AC BD ⊥，证明：2222AB CD BC DA +=+ 三、小结反思 1、在梯形ABCD 中，CD // AB,E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝1 2 （AB ＋CD ）.

求证：EF// AB// CD. 2、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 课后作业 1. 已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两 5

高中数学 新人教A版必修4导学案全套

任 意 角 高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4 一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。 二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接： 1.初中是如何定义角的？ 2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？ 四、学习过程: （一）阅读课本1-3页解决下列问题。 问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。 问题2、 问题3、象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。 问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角： （1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o

问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1. 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）︒480； （２）︒-760； （３）03932'︒. 变式练习 1、 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： (1)420 º (2)—54 º18′ （3）395º 8 ′ (4)—1190º 30′ 2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720 o β≤＜360o 的元素 写出来： （1）1303o 18， （2）--225o 问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合 变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360 ≤β＜720o 元素β写出来。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系导学案

1.2.2.同角三角函数的基本关系 学习目标.1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明. 知识点.同角三角函数的基本关系式 思考1.计算下列式子的值： (1)sin 2 30°＋cos 2 30°； (2)sin 2 45°＋cos 2 45°； (3)sin 2 90°＋cos 2 90°. 由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案.3个式子的值均为1.由此可猜想： 对于任意角α，有sin 2 α＋cos 2 α＝1，下面用三角函数的定义证明： 设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝ x . ∴sin 2 α＋cos 2 α＝x 2 ＋y 2 ＝|OP |2 ＝1. 思考2.由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 答案.∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin α cos α . 梳理.(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2 α＋cos 2 α＝1. ②商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π 2，k ∈Z ). (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2 α＋cos 2 α＝1的变形公式 sin 2 α＝1－cos 2 α；cos 2 α＝1－sin 2 α. ②tan α＝sin α cos α 的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝sin α tan α . 类型一.利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1.已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值

新人教A版必修4高中数学2.2.2向量的减法运算及其几何意义导学案

高中数学 2.2.2向量的减法运算及其几何意义导学案 新人教A版必修4 学习目标 1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； 2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题. 教学重点 会用向量减法的三角形法则作两个向量的差向量. 教学难点 三角形不等式 学习过程 一、课前准备 （预习教材P85—P87） 复习：求作两个向量和的方法有法则和 法则. 二、新课导学 ※探索新知 探究：向量减法——三角形法则 问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？1、相反向量：与a的向量，叫做a的相反向量，记作a .

零向量的相反向量仍是 . 问题2：任一向量a与其相反向量a-的和是什么？ 如果a、b是互为相反的向量，那么a=，b=，a b+= . 1、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量，即， a b是互为相反的向量，那么a=，b=_________， a b=____________。 + 问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考() a b +-的作图方法. ※典型例题 例1、阅读并讨论P86例3和例4 变式：如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( ) A. AB→＝DC→ B. AD→＋AB→＝AC→ C. AB→－AD→＝BD→ D. AD→＋CB→＝0

例2、在△ABC中，O是重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列两式： ⑴CB CE BA -+； ⑵OE OA EA -+. 变式：化简AB FE DC ++. 三、小结反思 1、向量减法的含义； 2、求两向量的差； 3、两向量a与b的差b a-起点，终点和指向。 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

2020年高中数学人教A版 必修4 导学案《任意角》(含答案)

1．1.1 任意角 [新知初探] 1．任意角 (1)角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶 点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． (3)角的分类： 名称定义图示 正角按逆时针方向旋转形成的角 负角按顺时针方向旋转形成的角 零角一条射线没有作任何旋转形成的角 [点睛] 对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． [点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [点睛] 对终边相同的角的理解 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少； (3)终边相同的角的表示不唯一． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－30°是第四象限角．( ) (2)钝角是第二象限的角．( ) (3)终边相同的角一定相等．( )

2．与45°角终边相同的角是( ) A．－45° B．225° C．395° D．－315° 3．下列说法正确的是( ) A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角 C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角 4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________． 任意角的概念 [典例] A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D．小于90°的角是锐角 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________． 终边相同角的表示 [典例] 写出与080°范围内与75°角终边相同的角．

高中数学人教A必修四第一章全章导学案

鸡西市第十九中学学案 如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点 成角α. 旋转开始时的射线OA叫做角的 的顶点.初中所研究的角的范围为. 【复习二】举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“转体720o”（即转体 ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（小结：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？ 思考：与60°终边相同的角有、、…都可以用代数式表示为那么，与α终边相同的角如何表示？ 新知：与α角终边相同的角,都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z

3.写出终边在直线y=－

鸡西市第十九中学学案

α终边所在的象限角α的集合 Ⅰ{α| <α< ，k∈Z} Ⅱ{α| <α< ，k∈Z} Ⅲ{α| <α< ，k∈Z} Ⅳ{α| <α< ，k∈Z} 2lR =

鸡西市第十九中学学案 问题2 如图，锐角任取一点P (a ，b )OP r === = ；OM = = . 问题3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于tan α＝ . 【单位圆定义任意角三角函数】设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点记作sin α，即sin α＝ 问题 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角请以角α为第二象限角为例，借助三角形相似的知识证明上述两种定义是一致的 小结：根据三角函数的定义可知，三角函数是一个和点P (x ，y )离原点的距离无关

三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)． 判断下列各式的符号： cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan 若sin αcos α<0，则α是第________象限角． 代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是_________．

【人教A版】2020高中数学必修四导学案：第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二_含答案

1.3 三角函数的诱导公式（二） 学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力. 知识点一 诱导公式五 完成下表，并由此总结角α，角π 2－α的三角函数值间的关系. (1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3； (2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π 4； (3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π 6. 由此可得 诱导公式五 知识点二 诱导公式六 思考 能否利用已有公式得出π 2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？ 答案 以－α代替公式五中的α得到 sin ? ????α＋π2＝cos(－α)， cos ? ????α＋π2＝sin(－α). 由此可得 诱导公式六

知识点三 诱导公式的推广与规律 1.sin(32π－α)＝－cos α，cos(3 2π－α)＝－sin α， sin(32π＋α)＝－cos α，cos(3 2π＋α)＝sin α. 2.诱导公式记忆规律： 公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五～六归纳：π 2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加 上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”. 六组诱导公式可以统一概括为“k ·π 2 ±α(k ∈Z )”的诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k ·π 2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性， 当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号. 类型一 利用诱导公式求值 例1 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ? ?? ??π2＋α的值. (2)已知cos ? ????π6－α＝13，求cos ? ????5π6＋α·sin ? ?? ??2π3－α的值. 解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－1 2， ∴cos α＝1 2，又α为第一象限角， 则cos ? ?? ??π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α

人教 B 版高中数学必修4第一章导学案

课题：角的概念的推广 第 一 章 第 1 节 第 1 课时 【学习目标】1.了解角的概念及推广。2.掌握终边相同的角及象限角的概念。 【学习重点】角的概念的推广。 【学习难点】1.角的旋转合成。2.终边相同的角的集合。 【学习方法】阅读，讨论，练习 【学习过程】 一、预习成果展示（学生以思维导图形式展示预习成果） 二、小组探究解疑（小组合作学习新知，讨论解疑） 1.角的概念的推广： 2.角的加减法运算： 3.终边相同的角的集合： 4.象限角（轴上角）： 三、反馈矫正点拨（将难点问题集中呈现，教师点拨） 1.（1）分别写出终边在x 正半轴和负半轴，y 正半轴和负半轴，x 轴和y 轴上的角的集合。 （2）分别写出第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的角的集合。 2.在直角坐标系中，判断下列语句的真假： （1）第一象限的角一定是锐角。 （2）终边相同的角一定相等。 （3）相等的角终边一定相同。 （4）小于90°的角一定是锐角。 （5）象限角为钝角的终边一定在第二象限。 （6）终边在直线y=3x 上的象限角表示为0 060360k +?，k ∈Z 。 3.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角： （1）-150° （2）650° （3）-950°15′

4.射线OA 绕端点O 逆时针旋转270°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转一周到达OC 位置，求∠AOC 的大小？ 四、强化巩固练习（通过精选习题训练巩固新知） 1.若α分别是第一，二，三，四象限的角，那么2 α 分别是第几象限角？α2的终边又分别在哪呢？（你能总结出一点规律吗） 2.小明发现自己的手表走慢了10分钟，他想把时间调准那么时针和分针各旋转了多大的角度呢？ 3.（1）若?<<

【创新设计】2022-2021学年高一数学人教A版必修4学案：1.1.1 任意角 Word版含答案

1．1 任意角和弧度制 1．1.1 任意角 [学习目标] 1.了解角的概念.2.把握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. 3.娴熟把握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角． [学问链接] 1．手表慢了5分钟，如何校准？手表快了1.5小时，又如何校准？ 答 可将分针顺时针方向旋转30°；可将时针逆时针方向旋转45°. 2．在学校角是如何定义的？ 答 定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角． 定义2：平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角． 3．学校所学角的范围是什么？ 答 角的范围是[0°，360°]． [预习导引] 1．角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示方法：①常用大写字母A ，B ，C 等表示；②也可以用希腊字母α、β、γ等表示； ③特殊是当角作为变量时，常用字母x 表示． (3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 2.象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边( 除端点外) 在第几象限，就说 这个角是第几象限角．假如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 要点一 任意角概念的辨析 例1 在下列说法中： ①0°～90°的角是第一象限角； ②其次象限角大于第一象限角； ③钝角都是其次象限角； ④小于90°的角都是锐角． 其中错误说法的序号为 ． 答案 ①②④ 解析 ①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确． ②120°是其次象限角，390°是第一象限角，明显390°>120°，所以②不正确． ③钝角的范围是(90°，180°)，明显是其次象限角，所以③正确． ④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确． 规律方法 推断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各类角的定义．随着角的概念的推广，对角的生疏不能再停留在学校阶段，否则推断简洁错误． 跟踪演练1 设A ＝{小于90°的角}，B ＝{锐角}，C ＝{第一象限角}，D ＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( ) A ．B C A B ．B A C C ．D (A ∩C ) D ．C ∩D ＝B 答案 D 解析 锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示. 角 集合表示 锐角 B ＝{α|0°<α<90°} 0°～90°的角 D ＝{α|0°≤α<90°}

2022-2021学年高一数学人教A版必修4学案：1.1.2 弧度制 Word版含答案

1．1.2弧度制 明目标、知重点 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.把握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的 1 360. (2)弧度制 ①弧度制的定义 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制． ②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零． ③角的弧度数的计算 假如半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝l r. 2．角度制与弧度制的换算 (1) 角度化弧度弧度化角度 360°＝2π rad2π rad＝360° 180°＝π radπ rad＝180° 1°＝ π 180rad≈0.017 45 rad 1 rad＝⎝ ⎛ ⎭ ⎫ 180 π°≈57.30° (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度0°1°30°45°60°90° 弧度0 π 180 π 6 π 4 π 3 π 2 度120°135°150°180°270°360° 弧度2π 3 3 4π 5π 6π 3π 22π 3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别α为角度制α为弧度制 扇形的弧长l＝ απR 180l＝α·R 扇形的面积S＝ απR2 360S＝ 1 2l·R＝ 1 2α·R2 [情境导学]学校几何争辩过角的度量，规定周角的 1 360 作为1°的角．我们把用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今日我们就来争辩这种新的单位制—弧度制． 探究点一弧度制 思考11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？ 答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关．如图所示， ∠AOB就是1弧度的角． 思考2假如一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律． AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数 ∠AOB 的度数 0没旋转00° π 2r 顺时针方向－ π 2－90° πr逆时针方向π180° 2πr顺时针方向－2π－360° πr 180 逆时针方向 π 1801° r逆时针方向1⎝⎛⎭⎫ 180 π° （

高中人教版数学必修4学案：第1章-1.1.2-弧度制-【含答案】

1.1.2弧度制 学习目标核心素养1.体会引入弧度制的必要性，了解弧度制 下，角的集合与实数集之间的一一对应 关系． 2．能进行弧度与角度的换算、掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，提升学生数学抽象素养．2．在类比和数学运用过程中，培养学生数学建模和数学运算素养. 1．度量角的两种单位制 角度制 定义用度作为单位来度量角的单位制1度的 角 周角的 1 360为1度的角，记作1° 弧度制 定义以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度 的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角.1弧度记作1 rad 2．弧度数的计算 思考：比值l r 与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 3．角度制与弧度制的换算

4．一些特殊角与弧度数的对应关系 度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧 度 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π5.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则： (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝ 1 2lR＝ 1 2αR 2. 1．下列说法中错误的是() A．1弧度的角是周角的 1 360 B．弧度制是十进制，而角度制是六十进制 C．1弧度的角大于1度的角 D．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 A[A错误，1弧度的角是周角的 1 2π.B、C、D都正确．] 2．(1) 7π 5化为角度是________． (2)105°的弧度数是________． (1)252°(2) 7π 12[(1) 7π 5＝⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ 7π 5× 180 π°＝252°； (2)105°＝105× π 180rad＝ 7π 12rad.] 3．半径为2，圆心角为 π 6的扇形的面积是________． π 3[由已知得S扇＝ 1 2× π 6×2 2＝ π 3.]

高中数学 必修四全部导学案

学生班级姓名小组号评价 必修四 1.1.1任意角 【学习目标】 1. 理解任意大小的角、正角、负角和零角概念； 2. 掌握终边相同的角的表示； 3. 了解象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示； 【重点和难点】 教学重点：理解任意角的概念;教学难点：终边相同的角表示，象限角的表示，轴线角的表示 【使用说明及学法指导】 1.先预习课本P2-P5,然后开始做导学案。 预习案 一．知识梳理 1.复习1：回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？ 角可以看成平面内一条绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α. 旋转开始时的射线OA叫做角的，OB叫，射线的端点O叫做叫α的顶点. 初中所研究的角的范围为. 2.复习2：举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“转体720o”（即转体周），“转体1080o”（即转体周）； ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（时针旋转度） 如果慢了5分钟，又该如何校正？（时针旋转度） 3. 新知1：按逆时针方向旋转所形成的角叫角，按顺时针方向旋转所形成的角叫角，未作任何旋转所形成的角叫角.这样，我们就把角的概念推广到了任意角。 4. 新知2：将角放入坐标系中讨论：当角的顶点与重合，角的与x轴的非负半轴重合. 角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限， 5.新知3：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合。 二．问题导学 1.如何理解角的概念推广？ 2.角的概念推广后，角可以分为几类？ 3.象限角及终边相同的角怎么表示? 三.预习自测 1．下列结论： （1）锐角都是第一象限角； （2）第一象限角一定不是负角； （3）第二象限角是钝角； （4）小于180°的角是钝角、锐角或直角。其中正确的序号为。 2. 在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别它们分别在第、、象限. 反思：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？ 四.我的疑问：

人教版数学高一-人教B版必修4学案 1. 正弦函数的图象与性质

1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质 第1课时 正弦函数的图象与性质 1.能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象.(难点) 2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值.(重点) [基础·初探] 教材整理1 正弦函数的图象 阅读教材P 37～P 38“例1”以上部分，完成下列问题. 1.利用正弦线可以作出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，要想得到y ＝sin x (x ∈R )的图象，只需将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象沿x 轴平移±2π，±4π…即可，此时的图象叫做正弦曲线. 2.“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 32π，－1和(2π，0). 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的.( ) (2)正弦函数y ＝sin x 的图象在x ∈[2k π，2k π＋2π]，(k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同.( ) (3)正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象关于x 轴对称.( ) (4)正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象关于原点成中心对称.( )

【解析】由正弦曲线的定义可知只有(3)错误. 【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√ 教材整理2正弦函数的性质 阅读教材P39～P40“例2”以上部分，完成下列问题. 1.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f (x＋T)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：对于一个周期函数f (x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期. 2.正弦函数的性质 函数y＝sin x 定义域(－∞，＋∞) 值域[－1,1] 奇偶性奇函数 周期性最小正周期：2π 单调性在 ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ 2kπ－ π 2，2kπ＋ π 2(k∈Z)上递增； 在 ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ 2kπ＋ π 2，2kπ＋ 3 2π(k∈Z)上递减 最值x＝2kπ＋ π 2，(k∈Z)时，y最大值＝1；x＝2kπ－ π 2(k∈Z)时，y最小值＝－1 函数y＝sin x的一条对称轴是() A.x＝π 2 B.x＝ π 4 C.x＝0 D.x＝π 【解析】y＝sin x的对称轴是x＝kπ＋π 2(k∈Z)，∴应选A. 【答案】 A [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

人教A版高中数学必修四全一册导学案

课下能力提升(一) [学业水平达标练] 题组1 终边相同的角及区域角的表示 1．与－457°角的终边相同的角的集合是( ) A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z} 2．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( ) A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z} 3．与角－1 560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________． 4．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________. 5．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜ 720°的元素α写出来： ①60°；②－21°. (2)试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜

180°的元素α写出来． 题组2 象限角的判断 6．－1 120°角所在象限是( ) A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 7．下列叙述正确的是( ) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．第四象限角一定是负角 D．钝角比第三象限角小 8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( ) A．第一象限角B．第二象限角 C．第三象限角D．第四象限角 题组3 nα或α n 所在象限的判定 9．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是( ) A．第一象限角B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角 [能力提升综合练] 1．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝( ) A．{α|α为锐角} B．{α|α小于90°} C．{α|α为第一象限角}

2020版高中数学人教A版必修4 导学案《向量数乘运算及其几何意义》(含答案解析)

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题. 知识点一 向量数乘的定义 思考1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？ 答案为：向量. 思考2 向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ 答案为： 3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相同. －3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相反. 思考3 λa 的几何意义是什么？ 答案为：λa 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩. 当|λ|＞1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍. 梳理 向量数乘运算 实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|=|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 当λ>0时，与a 方向相同， 当λ<0时，与a 方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时，0a=0或λ0=0. 知识点二 向量数乘的运算律 思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？ 答案为： 结合律，分配律. 梳理 向量数乘运算律 (1)λ(μa)=(λμ)a； (2)(λ＋μ)a=λa＋μa； (3)λ(a＋b)=λa＋λb. 知识点三 向量共线定理 思考1 若b=2a ，b 与a 共线吗？ 答案为：根据共线向量及向量数乘的意义可知，b 与a 共线. 如果有一个实数λ，使b=λa(a≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b=λa. 思考2 若b 与非零向量a 共线，是否存在λ满足b=λa？若b 与向量a 共线呢？ 答案为：若b 与非零向量a 共线，存在λ满足b=λa；若b 与向量a 共线，当a=0，b≠0时，不存在λ满足b=λa. 梳理 (1)向量共线定理 向量a (a≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa. (2)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.