人教B版数学必修4 第一章大体初等函数（Ⅱ）教学设计一、教材分析
一、本单元教学内容的范围
任意角的概念与弧度制
1.1.1 角的概念的推行
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
任意角的三角函数
1.2.1 三角函数的概念
1.2.2 单位圆与三角函数线
1.2.3 同角三角函数的大体关系式
1.2.4 诱导公式
三角函数的图象与性质
1.3.1 正弦函数的图象与性质
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
1.3.3 已知三角函数值求角
本章知识结构如下：
二、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用
（1）三角函数是一类十分重要的初等函数，它与本模块第三章“三角恒等变换”组成了高中“三角”知识的主体，是中学数学的重要内容之一，也是学习后继内容和高等数学的基础。
（2）三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究气宇几何的基础，又是研究自然界周期转变规律最强有力的数学工具。
（3）三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其它学科如天文学、物理学等联系超级紧密。因此三角函数的学习能够培育学生的数学应用能力。
（4）三角函数的基础知识，主如果平面几何中的相似形和圆。研究三角函数的方式，主如果在必修1中成立的研究初等函数的方式。因此，通过对三角函数的学习，能够初步地把“数”与“形”联系起来。
（5）通过对三角函数的学习，不仅能使学生取得新的知识和技术，而且能够培育学生的辨证唯物主义观点，提高分析问题和解决问题的能力。
3、本单元教学内容整体教学目标 （1）任意角的概念、弧度制 了解任意角的概念．
了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． （2）任意角的三角函数
理解任意角的正弦、余弦、正切的概念；了解任意角的余切、正割、余割的概念；并会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切，并理解其原理。
理解同角三角函数的大体关系式： 22sin cos 1x x +=，
sin tan cos x
x x
=；借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，能进行同角三角函数之间的变换，会求任意角的三角函数值，并记住某些特殊角的三角函数值。
（3）三角函数的图像和性质
能结合三角函数的图象或单位圆理解正弦函数、余弦函数和正切函数的性质，特别要深切领会三角函数的周期性与最小正周期的意义。
能正确利用“五点法”、“几何法”、“图象变换法”画出正弦函数、余弦函数和)sin(φϖ+=x A y 的图象，能正确地作出正切函数的简图，结合具体实例，了解
)sin(ϕω+=x A y 的实际意义，了解)sin(ϕω+=x A y 中的参数对函数图象转变的影
响和它们的物理意义，会用变换法说明有关函数图象间的关系。
会用三角函数解决简单的实际问题，了解三角函数是描述周期转变现象的重要模型，领会它在描述自然界周期现象中的作用。
会由已知三角函数值求角
4、本单元教学内容重点和难点分析
本单元教学内容的重点：任意角三角函数的概念，同角三角函数的关系式，诱导公式，正弦函数的性质与图象，函数)sin(φϖ+=x A y 的图象和正弦函数图象间的关系。
本单元教学内容的难点： （1）弧度制概念的成立
一方面，学生已经熟悉并掌握了角度制，因此，在学习弧度制时，会对学习弧度制的必要性产生怀疑，因此缺乏踊跃性；另一方面，由于弧度制的概念方式比较特殊，表面上看不出这种概念的优越性，因此对这种加倍抽象、加倍不易理解的新的气宇制容易产生畏难心理。在教学中应注意解决学生学习心理上的障碍。
（2）周期函数的概念
三角函数是学生在中学阶段学习的各类函数中唯一具有周期性的函数，而函数的周期性，由于数学刻画比较抽象，逻辑上比较严谨，所以较难理解。在教学中应遵循从具体到抽象，由简单到复杂，从理解到应用的原则，慢慢引入那个概念，加深对那个性质的理解。
（3）正弦型函数)sin(φϖ+=x A y 的图象变换
由于变换进程较长，转变较多，所以学生不易掌握。在教学时能够采取先分解，再综合，化整为零，逐个冲破，然后再统一归纳的方式。最终，使学生能对变换的按照有全面而深刻的了解，明白不论是图象的平移仍是图象的伸缩，)sin(φϖ+=x A y 中的φϖ,都是针对x 而言的，达到真正掌握的目的。
（4）综合运用公式进行求值、化简、证明
在这里，教学难点主要表现为：如何培育学生按照题目的不同特点，选择适当的公式，设计简捷合理的解题方式；初中代数中学习过的算术根、绝对值等大体概念和三角式结合起来，如何使学生适应这种新的转变，顺利地把二者结合起来，并熟练地掌握和应用；如何训练学生减少乃至避免三角计算中的符号错误，最好让学生养成随时判别三角式应取的符号的适应，并熟练掌握三角函数符号的规律。
五、其他相关问题
（1）原人教版第一册（下）中三角函数相关内容的结构安排： （一）任意角的三角函数 4．1角的概念的推行 4．2 弧度制
4．3任意角的三角函数
4．4同角三角函数的大体关系式 4．5正弦、余弦的诱导公式 （三）三角函数的图象与性质
4．8 正弦函数、余弦函数的图象与性质 4．9 函数)sin(φϖ+=x A y 的图象
4．10正切函数的图象与性质 4．11已知三角函数值求角
1. 知识内容的衔接：在初中，三角函数是静态的，主要讨论直角三角形的边角关系，通过边的比值反映角的大小，而不是从函数的角度来熟悉。受此局限，角度只能限制在0度到90度。而在高中阶段，从函数的角度来研究三角函数，强调的是转变规律。因此，在高中教三角函数时会受到必然的影响。
2. 教学方式的衔接：2007届的这一批学生已经同意了初中三年的课改理念，他们应该加倍适应于“情境——问题——探讨——反思——提高”的教学模式，反而是咱们老师要尽力克服旧的教学模式的影响，真正以学生为主体来设计和组织课堂教学。
3. 学习方式的衔接：学生们已经具有了必然的自主学习、合作学习的能力，也具有了必然的实践与探索的能力。因此，如何保护好并延续学生们的这些学习方式是超级重要的。作为老师，要充分重视学生良好适应的培育和学习大体方式的教授。
二、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方式概述
针对不同的教学内容，针对不同窗生的实际，针对所处的不同的环境条件，必然会形成不同形式的教学方式。
1. 建议充分利用教材中所提供的问题情境。如在学习角的概念推行，单位圆和三角函数线时所给出的“观览车”的问题情境；书上所附的“试探与讨论”中的问题等等都能够使学生参与到教学中来，建构他们的数学知识。
2. 要重视数学思想方式的渗透。本单元的教学应始终贯穿着旋转、对称变换及数形结合的思想方式，使学生初步形成用运动转变的观点和借助图形的直观性来分析问题、解决问题。
3。恰本地利用信息技术。信息技术应为数学的教与学服务，教学中不该为用信息技术而用，而关键要看其在课堂上可否为教学目标服务，起到传统方式达不到的效果。在本单元，仍是有相当多的章节适合利用信息技术。如周期性的教学，函数
)sin(φϖ+=x A y 的图像及其变换，等等。
三、本单元所需教学资源概述
利用计算器解决计算有关弧度制角度制转化的问题、非特殊角求值等问题；利用几何画板、Excel 、scilab 等辅助教学软件帮忙学生学习理解有关的数学问题.
四、本单元学时建议 任意角的概念与弧度制
1.1.1 角的概念的推行 1课时
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1课时
任意角的三角函数
1.2.1 三角函数的概念2课时
1.2.2 单位圆与三角函数线1课时
1.2.3 同角三角函数的大体关系式1课时
1.2.4 诱导公式3课时
三角函数的图象与性质
1.3.1 正弦函数的图象与性质3课时
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质2课时
1.3.3 已知三角函数值求角1课时
本章小结 1课时（共计16课时）
五. 本章各节的教学设计
1.1.1角的概念的推行
一、学习目标：
一、掌握用“旋转”概念角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
二、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方式
3、体会运动转变观点，深刻理解推行后的角的概念；
二、教学重点、难点
重点：理解并掌握正角负角零角的概念，掌握终边相同的角的表示方式.
难点：终边相同的角的表示.
三、教学方式：
教学法、讨论法、媒体课件演示
四、内容分析：
本节主要介绍推行角的概念，引入正角、负角、零角的概念，象限角的概念和终边相同的角的表示方式.树立运动转变的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推行后的角的概念.教学方式能够选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成加倍形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方式，达到冲破难点之目的.
k Z +⎫⎬
∈⎭
从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结。
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标
1．知识目标：
①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
②熟悉弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，没必要在应用方面加深.
2. 能力目标：
①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系.
②了解角的集合与实数集成立了一一对应关系，培育学生学会用函数的观点分析、解决问题.
③通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力.
3．情感目标：使学生熟悉到角度制、弧度制都是角的气宇制度，二者虽单位不同，可是二者彼此联系、辩证统一. 进一步增强学生对辩证统一思想的理解.
二、教学重点、难点
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念及其与角度的关系.
三、教学方式
自学—讨论—教学—练习
先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生试探，在此基础上，能够通过教学再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
1.1.2弧度制的教学设计 一、内容及其解析 本节内容包括弧度制，其核心内容是角度制和弧度制的转化，理解它的关 键是掌握公式 。 、 学生在上一节内容中已学习了任意角的概念，本节内容是在上节的基础上，是角的度量的一个延伸，对后面三角公式，三角函数的学习是个奠基。 二、目标及其解析 （1）理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换； (2）熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式. 2、目标解析： （1）我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制． （2）角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度： ；；；． ②将弧度化为角度： ；；；． （3）(1);(2); (3). 其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积. 三、问题诊断分析 在本节课中学生可能遇到的问题是把角度制转化成弧度制，产生问题的原因是“角度制”与“弧度制”间的区别与联系掌握不好，要解决问题关键是多做练习。 四、教学设计 问题一：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的,在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？解析：我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略． 问题1：什么叫角度制？ 解析：规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．问题2：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？ 解析：我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度
量角的单位制叫做弧度制． 问题3：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？ ①将角度化为弧度： ；；；． ②将弧度化为角度： ；；；． °°°°°°°°°°° 例题：课本上例1、例2 设计意图：让学生进一步熟练角度与弧度进行互化。 变式训练：1、将下列角度与弧度进行互化。 （1）20°（2）-15°（3）（4）- 2、将下列各角化成2kπ+ α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的 象限． ；． 解: (1) 而是第三象限的角,是第三象限角. (2) 是第二象限角. 问题二：弧度制下的弧长公式是什么？
2014级必修四 编号：4001 课题：角的概念的推广 编制人：李敏 审核人：王国燕 编制日期 ： 班级 姓名 一、学习目标： 1. 会判断角的大小； 2. 能够会用集合表示终边相同的角； 3. 会用集合表示表示象限角区间角以及终边在坐标轴上的角. 二、自主学习 1、回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？ 初中所研究的角的范围为 . 2、举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“转体720o ”（即转体 周），“转体1080o ”（即转体 周）； ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转 度） 如果慢了5分钟，又该如何校正？（ 时针旋转 度） 3、在实际生活中有些角显然超出了我们已有的认识范围. 如何重新给出角的定义？研究这些角的分类及记法？ 4、如何将角放入坐标系中讨论？ 角的顶点与 重合，角的 与x 轴的非负半轴重合. 象限角的定义： 5、终边相同的角 与60°终边相同的角有 , , …都可以用代数式表示为 . 与α终边相同的角如何表示？ 6、终边在以下象限中的角如何表示? 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角: 第四象限角 三．尝试练习 1、基础过关 (1)（A ）下列命题是真命题的有 .（填序号） ①三角形的内角必是第一二象限角 ②始边相同而终边不同的角一定不相等 ③第四象限角一定是负角 ④钝角比第三象限角小 (2)用集合表示下列各角：“第一象限角”、“锐角”、“小于90o 的角”、“0o ~90o 的角” 2、难点突破 (A) (1)写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来. －15° 124°30′ (A) (2)求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： 210-； 731484'- ． (B) (3)若α是第二象限的角，试分别确定2α， 2α，3 α 的终边所在位置. (B) (4)如果α是第三象限的角，那么—α，2α的终边落在何处？ 四．巩固提高 (A)1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° (A)2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (B)3、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C (B)4、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ） A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角 D ．第一、四象限角 (B)5、若α是第四象限的角，则α- 180是 ． A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角 D ．第四象限的角 (C)6、设集合{} Z k k x k x A ∈+?<<+?=,30036060360| , {} Z k k x k x B ∈?<<-?=,360210360| , 求B A ,B A .
11.3.2 直线与平面平行 学习目标核心素养 1.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点) 2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)1.通过空间直线与平面位置关系的学习，培养直观想象的数学核心素养． 2．借助直线与平面平行的判定与性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理的数学核心素养. 前面我们已经通过一些常见几何体直观认识了直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，其中后两种位置关系又统称为直线在平面外，根据平面的基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，它是我们判断一条直线是否在平面内的重要依据．如果一条直线与平面的公共点个数不是两个，若有且只有一个，则直线与平面相交，若没有公共点，则直线与平面平行． 思考：(1)直接判定一条直线与一个平面有没有公共点，是否很容易做到？为什么？ (2)假设直线m在平面α内，将直线m平移出平面α，平移后的直线记为l，试判断直线l与平面α的位置关系，并说明理由． 1．直线与平面的位置关系 位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面 α平行 公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a?αa∩α＝A a∥α
图形表示 2.直线与平面平行的判定定理及性质定理 定理条件结论图形语言符号语言 判定定理 平面外的一条直线与 平面内的一条直线平 行 这条直线与这 个平面平行 ________l ? ? ? l?α， m?α， l∥m ?l∥α 性质定理 一条直线与一个平面 平行，且经过这条直 线的平面与这个平面 相交 这条直线与两 平面的交线平 行 ? ? ? l∥α， l?β， α∩β＝m ?l∥m 直线与平面平行的性质定理与判定定理的关系 线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用：先通过线线平行找出线面平行，再通过线面平行推出线线平行． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．() (2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．() (3)直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α. () (4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．() [提示](1)错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行． (2)错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行． (3)错误．直线l也可能与平面α相交． (4)错误．在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错．
人教B版数学必修4 第一章大体初等函数（Ⅱ）教学设计一、教材分析 一、本单元教学内容的范围 任意角的概念与弧度制 1.1.1 角的概念的推行 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 任意角的三角函数 1.2.1 三角函数的概念 1.2.2 单位圆与三角函数线 1.2.3 同角三角函数的大体关系式 1.2.4 诱导公式 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 1.3.3 已知三角函数值求角 本章知识结构如下：
二、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用 （1）三角函数是一类十分重要的初等函数，它与本模块第三章“三角恒等变换”组成了高中“三角”知识的主体，是中学数学的重要内容之一，也是学习后继内容和高等数学的基础。 （2）三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究气宇几何的基础，又是研究自然界周期转变规律最强有力的数学工具。 （3）三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其它学科如天文学、物理学等联系超级紧密。因此三角函数的学习能够培育学生的数学应用能力。 （4）三角函数的基础知识，主如果平面几何中的相似形和圆。研究三角函数的方式，主如果在必修1中成立的研究初等函数的方式。因此，通过对三角函数的学习，能够初步地把“数”与“形”联系起来。
（5）通过对三角函数的学习，不仅能使学生取得新的知识和技术，而且能够培育学生的辨证唯物主义观点，提高分析问题和解决问题的能力。 3、本单元教学内容整体教学目标 （1）任意角的概念、弧度制 了解任意角的概念． 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． （2）任意角的三角函数 理解任意角的正弦、余弦、正切的概念；了解任意角的余切、正割、余割的概念；并会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切，并理解其原理。 理解同角三角函数的大体关系式： 22sin cos 1x x +=， sin tan cos x x x =；借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，能进行同角三角函数之间的变换，会求任意角的三角函数值，并记住某些特殊角的三角函数值。 （3）三角函数的图像和性质 能结合三角函数的图象或单位圆理解正弦函数、余弦函数和正切函数的性质，特别要深切领会三角函数的周期性与最小正周期的意义。 能正确利用“五点法”、“几何法”、“图象变换法”画出正弦函数、余弦函数和)sin(φϖ+=x A y 的图象，能正确地作出正切函数的简图，结合具体实例，了解 )sin(ϕω+=x A y 的实际意义，了解)sin(ϕω+=x A y 中的参数对函数图象转变的影 响和它们的物理意义，会用变换法说明有关函数图象间的关系。 会用三角函数解决简单的实际问题，了解三角函数是描述周期转变现象的重要模型，领会它在描述自然界周期现象中的作用。 会由已知三角函数值求角
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 半角公式 sin α 2＝± cos α 2 ＝± tan α 2 ＝± ＝sin α1＋cos α＝1－cos α sin α . 思考：如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？ [提示] (1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号． (2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求角α2所在范围，然后再根据角α 2所 在象限确定符号． 1．若cos α＝23，α∈(0，π)，则cos α 2的值为( ) A ． 6 6 B ．－ 66 C ．306 D ．－ 306 C [由题意知α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α 2>0， cos α 2 ＝ 1＋cos α2＝30 6 .] 2．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α 1＋cos 2α B.sin α 1＋cos α C. sin α 1－cos 2α D. 1－cos 2α sin 2α
D [ 1－cos 2α 1＋cos 2α ＝ 2sin 2 α2cos 2 α ＝tan 2 α＝|tan α|； sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α 2＝tan α 2； sin α1－cos 2α＝sin α2sin 2 α＝1 2sin α ； 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2 α 2sin αcos α＝tan α.] 3．设α∈(π，2π)，则1＋cos (π＋α) 2 等于________． sin α2 [ 1＋cos (π＋α) 2 ＝ 1－cos α 2 ＝sin 2 α2＝⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪sin α2. ∵α∈(π，2π)，∴α2∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π2，π ，∴sin α2>0，故原式＝sin α2.] 【例1】 已知π<α<2，求1＋cos α－1－cos α ＋ 1－sin α1＋cos α＋1－cos α 的值． [思路探究] 解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据α 2 的范围开方化筒． [解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪sin α2 ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0，sin a 2 >0. ∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α 2－cos α 22 ＝－2cos α 2.
三角函数的诱导公式的教学设计 一、指导思想与理论依据 数学是一门培育人的思维，进展人的思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要使同学“知其然”而且要使同学“知其所以然”。所以在同学为主体，老师为主导的原则下，要充分揭示猎取学问和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要接受观看、启发、类比、引导、探究相结合的教学方法。在教学手段上，则接受多媒体帮助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完善。 二.教材分析 三角函数的诱导公式是一般高中课程标准试验教科书(人教A版)数学必修四，第一章第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式(二)至公式(六).本节是第一课时,教学内容为公式(二)、(三)、(四).教材要求通过同学在已经把握的任意角的三角函数的定义和诱导公式(一)的基础上，利用对称思想发觉任意角与、、终边的对称关系，发觉他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发觉他们的三角函数值的关系，即发觉、把握、应用三角函数的诱导公式公式(二)、(三)、(四).同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培育同学养成良好的学习习惯提出了要求.为此本节内容在三角函数中占有格外重要的地位. 三.学情分析 本节课的授课对象是本校高一(1)班全体同学，本班同学水平处于中等偏下，但本班同学具有擅长动手的良好学习习惯，所以接受发觉的教学方法应当能轻松的完成本节课的教学内容. 四.教学目标 (1).基础学问目标：理解诱导公式的发觉过程，把握正弦、余弦、正切的诱导公式; (2).力量训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简洁的三角函数求值与化简; (3).创新素养目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的力量和渗透化归、数形结合的数学思想，提高同学分析问题、解决问题的力量; (4).共性品质目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的一般联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培育同学的唯物史观. 五.教学重点和难点 1.教学重点 理解并把握诱导公式. 2.教学难点 正确运用诱导公式，求三角函数值，化简三角函数式. 六.教法学法以及预期效果分析 “授人以鱼不如授之以鱼”，作为一名老师,我们不仅要传授给同学数学学问,更重要的是传授给同学数学思想方法, 如何实现这一目的,要求我们每一位教者苦心钻研、认真探究.下面我从教法、学法、预期效果等三个方面做如下分析. 1.教法 数学教学是数学思维活动的教学，而不仅仅是数学活动的结果，数学学习的目的不仅仅是为了获得数学学问，更主要作用是为了训练人的思维技能，提高人的思维品质. 在本节课的教学过程中，本人以同学为主题，以发觉为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，接受提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式，还给同学“时间”、“空间”，由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让同学体会学习的欢快和成功的喜悦. 2.学法 “现代的文盲不是不识字的人，而是没有把握学习方法的人”，很多课堂教学经常以高起点、大容量、快推动的做法，以便教给同学更多的学问点，却忽视了同学接受学问需要时间消化，进而泯灭了同学学习的爱好与热忱.如何能让同学最大程度的消化学问，提高学习热忱是教者必需思考的问题. 在本节课的教学过程中，本人引导同学的学法为思考问题共同探讨解决问题简洁应用重现探究过程练习巩固.让同学参与探究的全部过程，让同学在猎取新学问及解决问题的方法后，合作沟通、共同探究，使之由被动学习转化为主动的自主学习. 3.预期效果 本节课预期让同学能正确理解诱导公式的发觉、证明过程，把握诱导公式，并能娴熟应用诱导公式了解一些简洁的化简问题. 七.教学流程设计 (一)创设情景 1.复习锐角300，450，600的三角函数值; 2.复习任意角的三角函数定义; 3.问题:由sin300，你能否知道sin2100的值吗?引如新课.
三角函数的定义 [考点透视] 一、考纲指要 1．理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算. 2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义. 二、命题落点 1．考查象限角的概念.如例1. 2．考查三角函数化简，求值等知识.如例2. 3．考查三角函数在各个象限的符号.如例3. [典例精析] 例1：α为第三象限角，那么2α 所在的象限是〔 〕 A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 解析：α第三象限，即3222 k k k Z π ππαπ+<<+∈, ∴3224k k k Z πα π ππ+<<+∈, 可知2α 在第二象限或第四象限． 答案：D ． 例2： tan600°的值是〔 〕 A ．33- B ．33 C ．3- D ．3 解析:360tan 240tan 600tan 000===． 答案：D ． 例3：假设sinθcosθ＞0，那么θ在〔 〕 A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 解析：∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同号.
当sinθ＞0，cosθ＞0时，θ在第一象限，当sinθ＜0，cosθ＜0时，θ在第三象限，因此，选B ． 答案：B ． [常见误区] 1．在角的表示中注意角度值和弧度值不能在同一角的表示中使用. 2．三角函数值的符号是学生解题中的易错点、易漏点. [基础演练] 1．R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，那么a ＝〔 〕 A ．0 B ．1 C ．－1 D ． ±1 2．设M 和m 分别表示函数y=31 cosx －1的最大值和最小值，那么M+m 等于〔 〕 A ．32B ．－32C ．－34 D ．－2 3．假设A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且A 高中数学人教新课标必修四B版教案人教B版数学必修4：两 角和与差的正切公式 人教B版数学必修4：两角和与差的正切公式（一）、教学目标 1、知识目标：掌握公式的结构特点及其推导过程，理解公式成立的条件； 运用公式求值； 2、能力目标：培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力（即 不能直接套公式,需要变化条件,寻找依据,才能推出结论）；自学能力； 3、情感目标：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数 学思维品质； （二）教学重点、难点 重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件；运用公式求值； 难点：公式的逆向及变形运用； （三）学法与教学用具 学法：研讨式教学 （四）教学设计： 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 复习引入复习公式 β α± C、 β α± S 首先回顾一下两角和与差的正、余弦公式：()β α β α β αsin cos cos sin sin+ = + ()β α β α β αsin cos cos sin sin- = - () cos cos cos sin sin αβαβαβ +=- () cos cos cos sin sin αβαβαβ -=+ 以旧引 新，让学 生明确学 习内容 公式推导及理解公式推导这是两角和与差的正、余弦公式，下面大家思考一下两角和与差正切公式是怎样的 呢？ 提示：我们学习过正弦、余弦与正切的关系， 这对我们解决今天的问题有帮助吗？ 让学生动手完成两角和与差的正切公式. （学生动手） () () () sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβ αβ αβαβαβ ++ +== +- 通过什么途径可以把上面的式子化成只 含有tanα、tanβ的形式呢？（分式分子、分 引导学生 运用学过 高中数学平面向量基本定理教学设计新人教B版必修4 学生学情分析： 1.平面向量基本定理的学习是在学生系统学习了向量的概念及线性运算的基础上进行的，是对向量加法和数乘运算的进一步应用.此前，学生已在物理中初步掌握了力、速度、位移等的分解，为理解平面向量基本定理奠定了一定基础. 2．学生对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够，容易将向量的运算与数的运算混淆。 3．对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。 教材分析： 1.教材中给出了一个实际例子(火箭升空的某一时刻速度的分解)，已经让学生感受到向量分解的实际背景，但这个背景对于学生来说有些陈旧，且图片有些偏离实际(火箭与地面形成了45度的夹角，与实际上火箭发射方向一般开始时垂直于地面不符).因此需要设计一个更具时代气息的问题，通过类比来激发学生学习新知的兴趣和欲望. 2本节课主要内容是平面向量基本定理及其应用,学生在前面已经掌握了向量的基本概念、向量的加减运算法、实数与向量的积、向量共线充要条件,这些都是学习本节内容的基础知识,本节课内容是教材第5章中最重要的内容之一.向量具有数和形的两种特征,是数学中解决几何问题的工具,可以使复杂问题简单化、直观化,使代数问题几何化、几何问题代数化,解决起来更加简捷;而平面向量基本定理是把几何问题向量化的理论基础,这一定理说明了同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合.定理本身蕴涵着严谨、条理的数学思维方式,通过合理引导,可以培养学生良好的个性心理品质和较高的数学素养. 3.本节课的重点是平面向量基本定理,也是本节课的难点.突破难点的关键是在充分理解向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件的基础上,多方位、多角度设计有关训练题,从而加深对该定理的理解. 4.本课之后要研究向量的坐标表示及运算.本课要从向量的线性运算中得出平面向量基本定理，为下一课定义向量的坐标提供理论基础，从而彻底实现“向量运算的代数化”.所以本课具有承前启后的作用. 课标分析 向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。从问题中抽象出向量模型，再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果，是利用向量解决问题的基本特征。（平面向量的概念、向量的运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示是平面向量的主要内容。）平面向量基本定理是向量进行坐标表示，进而 第九章解三角形 9.1正弦定理与余弦定理..................................................................................................... - 1 - 9.1.1正弦定理 ............................................................................................................. - 1 - 9.1.2余弦定理 ........................................................................................................... - 13 - 9.2正弦定理与余弦定理的应用....................................................................................... - 23 - 9.3数学探究活动：得到不可达两点之间的距离........................................................... - 23 - 9.1正弦定理与余弦定理 9.1.1正弦定理 学习目标核心素养 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点) 2．理解正弦定理及其变形的结构形式，并能用正 弦定理解决三角形度量和边角转化问题，会判三角 形的形状．(难点) 3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、 易错点) 1.借助正弦定理的推导，提升 数学抽象、逻辑推理的素养． 2．通过正弦定理的应用的学 习，培养数学运算、直观想象 的素养. 关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学家阿布瓦法(940～998)提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁-图西(1201～1274)给出的．我国清代数学家梅文鼎(1633～1721)在他的著作《平三角举要》中也给出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式． 思考：三角形中的边与其所对的角的正弦值之间具有什么关系？ 1．三角形的面积公式 (1)S＝ 1 2a·h a＝ 1 2b·h b＝ 1 2c·h c(h a，h b，h c分别表示a，b，c边上的高)． 预习课本P149～151，思考并完成以下问题 (1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出积化和差与和差化积公式？ (2)两组公式有何特点？ 1．三角函数的积化和差 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]， sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． [点睛] 积化和差公式的结构特点 (1)同名函数积化为余弦函数的和差；异名函数积化为正弦函数的和差． (2)角的顺序，“α＋β”在前，“α－β”在后． 2．三角函数的和差化积 sin x＋sin y＝2sincos， sin x－sin y＝2cossin， cos x＋cos y＝2coscos， cos x－cos y＝－2sinsin. [点睛] 和差化积公式的特点 (1)同名函数的和或差才可化积． (2)余弦函数的和或差化为同名函数之积． (3)正弦函数的和或差化为异名函数之积． (4)等式左边为单角α和β，等式右边为与的形式． (5)只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正． 1．下列等式错误的是( ) A ．sin(A ＋B)＋sin(A －B)＝2sin Acos B B ．sin(A ＋B)－sin(A －B)＝2cos Asin B C ．cos(A ＋B)＋cos(A －B)＝2cos Acos B D ．cos(A ＋B)－cos(A －B)＝2cos Acos B 答案：D 2．sin 37.5°cos 7.5°等于( ) A. B.3＋2 2 C. D. 3＋2 4 答案：C 3．cos 75°cos 15°＝________. 答案：1 4 化简求值 [典例] θ)． [解] 原式＝2sin θ[2sin(60°－θ)·sin(60°＋θ)] ＝－2sin θ[cos 120°－cos(－2θ)] ＝－2sin θ·⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－12－cos 2θ ＝sin θ＋2sin θ·cos 2θ ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ)＝sin 3θ. 用和差化积公式化简三角函数式时，若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数可供化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或 旋转体 【教学目标】 1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义。 2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。 3．能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体。 【教学重难点】 1．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。 2．会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题。 【教学过程】 一、问题导入 从生活中的一些物体可以抽象出圆柱、圆锥、圆台，。观察它们的结构，总结出形成圆柱、圆锥、圆台的方式。 二、新知探究 1．旋转体的结构特征 【例1】判断下列各命题是否正确 （1）圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线； （2）一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台； （3）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形； （4）到定点的距离等于定长的点的集合是球。 [解]（1）错。由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴。 （2）错。直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示。 （3）正确。 （4）错。应为球面。 【教师小结】 （1）圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求。 （2）只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误。 2．旋转体中的计算 [探究问题] （1）圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？ [提示]圆面。 （2）圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？ [提示]分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形。 （3）经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？ [提示]因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形。 （4）球的截面是什么？ [提示]球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆。 （5）球的表面积公式是什么？ [提示]S=4πR2 【例2】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求圆台的高。 [思路探究]作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形。 [解]圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)。 由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm。 又由题意知，腰长为12 cm， 所以高AM＝122－(5－2)2 ＝315(cm)。 教 目标 知识与技能： 通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，包括公式的直接运用与公式的逆用，会进行简单的求值、化简；有目的的化简函数。 过程与方法： 在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的 正弦、正切公式。 情感、态度、价值观： 通过知识的探究过程培养学生认真分析的良好的习惯及勇于探索精神,激发学生的学习兴趣。 重点 两角和与差的正弦和正切公式的推导，及运用公式进行简单的求值。 难点 灵活运用所学公式进行求值、化简。 教学方法 探究学习，小组讨论、 学案导学 教学手段 投影仪，多媒体 教 学 过 程 设 计 意 图 一、知识回顾 学生活动：回顾复习，完成两角差与和的余弦公式的填空。 二、公式推导 思考1：上面学生回顾复习了两角和与差的余弦公，两角和与 差的正弦公式是怎样的呢？ ?)(cos =-βα ?)(cos =+βα 师生活动: 引导学生回答)(cos βα +是怎样由) (cos βα-推导出来的？ 思考2：我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？ 学生活动：学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦 即 引导学生得出：sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2 π -α)-β］ 合作探究：（分小组讨论完成下面的推导） cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β. 思考3：类比cos(α-β)推导出cos(α+β)的方法，我们可以由 sin(α+β)的公式推出sin(α-β)的公式吗？ β用-β代之，则（下面由学生自己推导，找一个学生回答） 学生活动：sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β) 设计意图：由复习引入新课，激发学生的成功喜悦，同时引起学生对新知识的思考和探索，激发学生的学习兴趣，增 强学生的求知欲望． (也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行) 设计意图：合作探究，让学生小组讨论，自己推导出两角差的正弦公式，加深学生对知识 的理解。 设计意图：学生独立思考，自己完成公式的推导过程，体验换元的思想方法。 §3.1.2课题：两角和与差的正弦，正切公式 )2(cos α-π = αsin 新教材高中数学： 11.1.4 棱锥与棱台 学习目标核心素养 1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征．(重点) 2．掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质．(难点) 3．知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题．(重点、难点)1.通过棱锥、棱台的定义及结构特征的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助棱锥、棱台中的有关计算问题，提升数学运算的核心素养. 我们见到的很多建筑物呈棱锥形状． 思考：观察棱锥的结构，你能给出一个几何体是棱锥的充要条件吗？ 1．棱锥 (1)棱锥的定义、分类、图形及表示 棱锥图形及表示 定义如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥 相关概念底面(底)：是多边形的那个面；侧面：有公共顶点的各三角形； 侧棱：相邻两侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点； 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)； 侧面积：所有侧面的面积之和如图棱锥可记作：棱锥SABCD 或棱锥SAC 分类①依据：底面多边形的边数； ②举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)…… (2)正棱锥的有关概念及其特征 如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高． 2．棱台 (1)棱台的定义、分类、图形及表示 棱台图形及表示 定义一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱 锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 如图棱台可记作：棱台 ABCDA′B′C′D′ 相关概念上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点；高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)； 侧面积：所有侧面的面积之和 分类①依据：由几棱锥截得； ②举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)…… (2)正棱台的有关概念及其特征 由正棱锥截得的棱台称为正棱台，不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高． 新教材高中数学教师用书： 第2课时 复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集 [课程目标] 1.掌握复数的除法法则，并能运用复数的除法法则进行计算.2.会在复数范围内解实系数一元二次方程． 知识点一 复数的除法 [填一填] (1)复数的除法 如果复数z 2≠0，则满足zz 2＝z 1的复数z 称为z 1除以z 2的商，并记作z ＝z 1 z 2 (或z ＝z 1÷z 2)， z 1称为被除数，z 2称为除数． (2)复数的倒数 给定复数z ≠0，称1z 为z 的倒数，z 1除以z 2的商z 1 z 2 也可以看成z 1与z 2的倒数之积． (3)运算法则 (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ a ＋ b i c ＋ d i ＝(a ＋b i)(1c ＋d i )＝(a ＋b i)·c －d i c 2＋d 2＝ ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. [答一答] 怎样理解和应用复数代数形式的除法法则？ 提示：(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆运算． (2)复数除法的运算法则不必死记，在实际运算时，只需把商 a ＋ b i c ＋ d i 看作分数，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，把分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果． 知识点二 实系数一元二次方程 [填一填] 当a ，b ，c 都是实数且a ≠0时，关于x 的方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且 (1)当Δ＝b 2 －4ac >0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b 2 －4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b 2－4ac <0时，方程有两个互为共轭的虚数根． 复数的模的运算性质． 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，|z |＝a 2 ＋b 2 ， (1)|z |＝|z － |； (2)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|； (3)|z 1z 2|＝|z 1||z 2| (z 2≠0)； (4)|z n |＝|z |n ； (5)|z |＝1⇔z ·z － ＝1； (6)|z |2＝|z －|2＝|z 2 |＝|z －2|＝z ·z －. 类型一 复数的除法运算 [例1] 计算下列各式： (1)1－4i 1＋i ＋2＋4i 3＋4i ； (2) i －2i －1 1＋i i －1＋i . [分析] 题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减． [解] (1)1－4i 1＋i ＋2＋4i 3＋4i ＝1＋4＋－4＋1i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i ＝ 7＋i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝21＋4＋3－28i 25＝25－25i 25 ＝1－i. (2) i －2i －11＋i i －1＋i ＝－1－i －2i ＋2i －1－1－i ＋i ＝1－3i －2＋i 第十章 复数 10．1 复数及其几何意义 10．1.1 复数的概念 [课程目标] 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学知识体系内部的矛盾(数的运算规则、求方程的根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件． 知识点一 复数的概念及分类 [填一填] (1)复数的概念 ①为了使得方程x 2 ＝－1有解，人们规定i 的平方等于－1，即i 2 ＝－1，并称i 为虚数单位． ②当a 与b 都是实数时，称a ＋b i 为复数，复数一般用小写字母z 表示，即z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )． 其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部，分别记作Re(z )＝a ，Im(z )＝b . (2)复数的分类 所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C 表示，因此C ＝{z |z ＝a ＋b i ， a ， b ∈R }． 任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数． [答一答] 1．复数集与实数集的关系是怎样的？与已学过的有关数集的关系是怎样的？ 提示：实数集R 是复数集C 的真子集，即R C .至此，我们学过的有关数集的关系如下： 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩ ⎨⎧ 实数b ＝0，虚数 b ≠0 ⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0. 知识点二复数相等 [填一填] 两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2. 如果a，b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d. 特别地，当a，b都是实数时，a＋b i＝0的充要条件是a＝0且b＝0. [答一答] 2．怎样理解两复数相等的概念？ 提示：(1)两个实数可以比较大小，但两个不全是实数的复数就不能比较大小，只能说相等或不相等．如2＋i和3－i,2和i之间就无大小可言． (2)虚数不能比较大小，有大小关系的两个数一定是实数． 两个不全为实数的复数不能比较大小． (1)根据复数a＋b i与c＋d i相等的定义可知，在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么就有a＋b i≠c＋d i. (2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． (3)实数之间的“<”(小于)关系，具有以下性质： ①若a高中数学人教新课标必修四B版教案人教B版数学必修4：两角和与差的正切公式
高中数学 221平面向量基本定理教学设计 新人教B版必修4 教案
新教材 人教B版高中数学必修第四册 第九章 解三角形 精品教学案(知识点考点汇总)
人教B版高中数学-必修4教学案-第三章三角函数的积化和差与和差化积(Word)
11-1-5旋转体(教案)——高中数学人教B版(2019)必修第四册
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两角和与差的正弦》_4
新教材高中数学第11章立体几何初步棱锥与棱台教案新人教B版必修第四册
新教材高中数学第十章一元二次方程在复数范围内的解集教师用书教案新人教B版必修第四册
2021年新教材高中数学第十章复数10.1.1复数的概念教师用书教案人教B版必修第四册
相关主题
文本预览