人教版数学高中必修4《三角函数》单元教学设计
《人教版数学高中必修4《三角函数》单元教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
一、教学分析
三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在必修Ⅰ中建立的函数概念以及指数函数、对数函数的研究方法。主要的学习内容是三角函数是概念、图像和性质，以及三角函数模型的简单应用;研究方法主要是代数变形和图像分析。因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科联系紧密。
二、目标要求
1.总体要求
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域有着重要作用。在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。
2.具体要求
(1)任意角、弧度制：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
(2)三角函数
①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(的正弦、余弦、正切)，能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图像，了解三角函数的周期性。
③借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2]，正切函数在上的性质(如单调性、最大和最小值、图像与x轴的交点等)。
④理解同角三角函数的基本关系式：
⑤结合具体实例，了解的实际意义;能借助计算器或计算机画出的图像，观察参数对函数图像变化的影响。
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
三、重点和难点分析
1.理解三角函数是刻画周期现象的重要模型
三角函数拓展了函数模型，三角函数模型是刻画周期现象变化规律的最重要、最基本的数学模型，可以直接表述实际问题，更重要的是用它来解决实际问题。
2.弧度制概念的建立
一方面，学生已经熟悉并掌握了角度制，因此，在学习弧度制时，会对学习弧度制的必要性产生怀疑，因而缺乏积极性;另一方面，由于弧度制的定义方法比较特殊，表面上看不出这种定义的优越性，因而对这种更加抽象、更加不易理解的新的度量制容易产生畏难心理。在教学中应注意解决学生学习心理上的障碍。
3.正弦型函数的图像变换
由于变换过程较长，变化较多，所以学生不易掌握。在教学时可以采取先分解，再综合，化整为零，逐个突破，然后再统一归纳的方法。最终，使学生能对变换的根据有全面而深刻的了解。
3.借助单位圆和函数图像学习三角函数
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数的学习集中地体现了数形结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系。任意角、任意角的三角函数、三角函数
的周期性、诱导公式、同角三角函数关系以及三角函数的图像等都可以通过单位圆进行直观的理解。
4.综合运用公式进行求值、化简、证明
培养学生根据题目的不同特点，选择适当的公式，设计简捷合理的解题方法;初中代数中学习过的算术根、绝对值等基本概念和三角式结合起来，使学生适应这种新的变化，顺利地把二者结合起来，并熟练地掌握和应用。
四、课时安排
本章教学时间约需17课时，具体分配如下，
§1周期现象约1课时
§2角的概念的推广约1课时
§3弧度制约1课时
§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式约4课时
§5正弦函数的性质与图像约2课时
§6余弦函数的图像与性质约1课时
§7正切函数约1课时
§8函数的图像约3课时
§9三角函数的简单应用约1课时
本章小结约2课时
五、教学建议与学法指导
1.教学建议
(1)充分挖掘教材潜力和身边的数学
充分运用教材中所提供的钱塘江潮的潮汐现象、地球围着太阳转、钟摆、水车、摩天轮等自然界、日常生活、生产实践中的实例，使学生感受到自然界中存在着大量遵循周期性运动变化的现象，同时也让学生逐渐认识到三角函数是刻画周期现象的重要模型。
(2)教学中要重视数学思想方法的渗透
无论是概念教学、性质教学还是习题讲解，本单元教学应始终渗透着旋转、对称变换及数形结合的思想方法，使学生初步形成用运动变化的观点以及借助图形的直观性来分析、解决问题。
(3)恰当地使用信息技术
信息技术应为数学的教学服务，教学中不应为用信息技术而用，关键要看其能否为教学目标服务，达到传统方法难以达到的效果。在本单元，有相当多的章节适合使用信息技术，如周期性、函数的图像及其变换等等，要尽力用多媒体进行直观展示，提高教学效果。
2.学法指导
(1)经历数学建模的过程;
(2)利用单位圆和正弦函数图像两种方式学习三角函数的有关知识;
(3)借助多媒体信息技术，深化对知识的理解。
六、评价建议
1、新课程更加注重学生的全面发展，个性发展和终身发展的基本规律,体现了时代对基础性学习能力、发展性学习能力和创新性学习能力培养的整体要求。在教材中依据教学内容，设计教学目标，注意挖掘教学中的一些知识，制定出灵活而富有弹性的、适合学生特点，符合学情的教学目标，点到才能面到。要充分的运用多媒体的展示功能让学生真切感受到数学直观，达到直观与量化的和谐统一，克服学习数学的畏惧情绪。对课程的评价这应当是一个重要方面。
2、近段时间学生一直在学习三角函数的内容，涉及到角度的运算，三角函数的性质及其运用等，在教学过程中，教师应当力求从基本知识入手，尽可能地使计算简单化，同时不断钻研教材教法，力争讲得通俗易懂。这应当是衡量课堂教学设计与实施的最重要方面。
3、对教学设计与实施的评价要兼顾学习生成的过程和终结性评价，不可偏废任何一方。
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人教版数学高中必修4《三角函数》单元教学设计 《人教版数学高中必修4《三角函数》单元教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！ 一、教学分析 三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在必修Ⅰ中建立的函数概念以及指数函数、对数函数的研究方法。主要的学习内容是三角函数是概念、图像和性质，以及三角函数模型的简单应用;研究方法主要是代数变形和图像分析。因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科联系紧密。 二、目标要求 1.总体要求 三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域有着重要作用。在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。 2.具体要求 (1)任意角、弧度制：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。 (2)三角函数
①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。 ②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(的正弦、余弦、正切)，能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图像，了解三角函数的周期性。 ③借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2]，正切函数在上的性质(如单调性、最大和最小值、图像与x轴的交点等)。 ④理解同角三角函数的基本关系式： ⑤结合具体实例，了解的实际意义;能借助计算器或计算机画出的图像，观察参数对函数图像变化的影响。 ⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 三、重点和难点分析 1.理解三角函数是刻画周期现象的重要模型 三角函数拓展了函数模型，三角函数模型是刻画周期现象变化规律的最重要、最基本的数学模型，可以直接表述实际问题，更重要的是用它来解决实际问题。 2.弧度制概念的建立 一方面，学生已经熟悉并掌握了角度制，因此，在学习弧度制时，会对学习弧度制的必要性产生怀疑，因而缺乏积极性;另一方面，由于弧度制的定义方法比较特殊，表面上看不出这种定义的优越性，因而对这种更加抽象、更加不易理解的新的度量制容易产生畏难心理。在教学中应注意解决学生学习心理上的障碍。 3.正弦型函数的图像变换 由于变换过程较长，变化较多，所以学生不易掌握。在教学时可以采取先分解，再综合，化整为零，逐个突破，然后再统一归纳的方法。最终，使学生能对变换的根据有全面而深刻的了解。 3.借助单位圆和函数图像学习三角函数 三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数的学习集中地体现了数形结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系。任意角、任意角的三角函数、三角函数
高中数学三角函数教案 【篇一：高中数学必修4第一章三角函数完整教案】 第一章三角函数 4-1.1.1任意角（1） 教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立 适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相 同的角”的含义。 教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 教学难点：“旋转”定义角 课标要求：了解任意角的概念 教学过程： 一、引入 同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算 一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三 角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现 三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在 中学数学中有着非常广泛的应用。 二、新课 1．回忆：初中是任何定义角的？ （从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点 是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形。师：如图1，一条射线由原来的位置oa，绕着它 的端点o按逆 o师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720” （即 转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校 正？生：逆时针旋转300；顺时针旋转300. 师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第 二周、第三周??，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我 们已有的认识范围。本节课将在已掌握角的范围基础上，重新给出 角的定义，并研究这些角的分类及记法．
第二十五教时 教材：综合练习课 目的：复习和角、差角、二倍角及半角，积化和差、和差化积、万能公式，逐渐培养熟练 技巧。 过程： 一、小结本单元内容——俗称“加法定理” 1．各公式罗列，其中和、差、倍角公式必须记忆，要熟知其结构、特点 2．了解推导过程（回顾） 3．常用技巧： 1?化弦 2?化“1” 3?正切的和、积 4?角变换 5?“升幂”与“降次” 6?辅助角 二、例题： 例一、《教学与测试》 基础训练题 1．函数x x y 2cos )23 sin(3--π=的最小值。 （辅助角） 解：x x x x x y 2sin 2 32cos 212cos )2sin 212cos 23(3-=--= 1)26 s i n (-≥-π=x 2．已知的值。，求x x 2sin 13 5)4sin(-=π- （角变换）
解：169 119)135(21)4(sin 21)]4(2cos[)22cos(2sin 22=--=π--=π-=-π =x x x x 3．计算：(1 +3)tan15?-3 （公式逆用） 解：原式= (tan45?+ tan60?)tan15?-3=tan105?(1-tan45?tan60?)tan15? -3 = (1 -3) tan105? tan15? -3= (1 -3)×(- 1)-3 = - 1 4．已知sin(45? - α) = 3 2-，且45? < α < 90?，求sin α （角变换） 解：∵45? < α < 90? ∴-45? < 45?-α < 0? ∴cos(45?-α) = 35 cos2α = sin(90?-2α) = sin[2(45?-α)] = 2sin(45?-α)cos(45?-α) =9 54- 即 1 - sin 2α = 9 54-， 解之得：sin α = 61022+ 例二、已知θ是三角形中的一个最小的内角， 且12 sin 2cos 2sin 2cos 2222+=θ-θ-θ+θa a a ，求a 的取值范围 解：原式变形：1)2 sin 2(cos )2sin 2(cos 2222+=θ-θ-θ-θa a 即1cos )1(+=θ-a a ，显然1≠a （若1=a ，则 0 = 2） ∴11cos -+= θa a 又∵30π≤θ<，∴1cos 2 1<θ≤ 即：11121<-+≤a a 解之得：3-≤a 例三、试求函数2cos sin 2cos sin +++=x x x x y 的最大值和最小值。 若]2 ,0[π∈x 呢？ 解：1．设]2,2[)4 sin(2cos sin -∈π+=+=x x x t 则x x t cos sin 212+= ∴1cos sin 22-=t x x ∴]23,4 3[41)21(122+∈++=++=t t t y
任意角的三角函数(一) 一、教学目标： 1、知识与技能 〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系. 另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内 容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时任意角的三角函数〔一〕 提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾. 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,
1.6 三角形函数模型的简单应用 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标 1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤． 2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法． 3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点 1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题. 2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点 分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测 （1）函数y =sin （2x - 3 π ）的最小正周期为 π . （2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8 π x - 4 5π ）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.
(二)课堂设计 1.知识回顾 （1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象. （3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究 例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b . (1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】 解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃. (2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象, ∴A =21(30-10)=10,b =21 (30+10)=20. ∵21·ω π 2=14-6, ∴ω= 8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=4 3π. 综上,所求解析式为y =10sin(8 π x + 4 3π )+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.
示范教案 整体设计 教学分析 本节主要包括利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识． 科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式． 在推导了公式sinα＋sinβ＝2sin α＋β 2cos α－β 2以后，可以让学生推导其余的和差化积及积 化和差公式．和差化积、积化和差不要求记忆，都在试卷上告诉我们，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度是一降再降．三维目标 1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力． 2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生学好数学的欲望和信心． 重点难点 教学重点：推导积化和差、和差化积公式． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinα＋sinβ，sinα－sinβ，cosα＋cosβ，cosα－cosβ的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题． 思路2.(类比导入)我们知道log a m＋log a n＝log a(mn)，那么sinα＋sinβ等于什么呢？ 推进新课 新知探究 提出问题 (1)你能从两角和与差的正、余弦公式中发现些什么？ (2)积化和差与和差化积公式的特点是什么？ 活动：考察公式
第一章 三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 2、过程与方法 通过创设情境： “转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值 通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到 一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒ ~之间，这正是我们这节课要研 究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1．初中时，我们已学习了0360︒︒ ~角的概念，它是如何定义的呢？ [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的
正弦、余弦函数的周期性教案 一、教材分析： 《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用． 二、教学目标： 学情分析： 学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想． 本课的教学目标： (一)知识与技能 1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性． 2．会求一些简单三角函数的周期. (二)过程与方法 从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与 y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x 的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性． (三)情感、态度与价值观 让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力． 三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性. 四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期. 五、教学准备：三角板、多媒体课件 六、教学流程：
人教版高中数学必修4第一章《三角函数》教材分析和教学建议 函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画.三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数.本章中，学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数I 的基础上，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．通过本章的学习，学生将进一步加深对函数概念的理解，提高用函数概念解决问题的能力. 一、课程标准内容 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 2. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 3. 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2π±α, π±α的正弦、余弦、正切)，能画出y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性. 4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-2π，2 π）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）. 5. 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x =1，x x x tan cos sin =. 6. 结合具体实例，了解y =Asin （ωx +ϕ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y =Asin （ωx + ϕ）的图象，观察A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.
7. 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 二、知识框图 三、教学要求 1．1任意角、弧度
四、教学建议 1．课时分配：(共16个课时)
1。1 任意角和弧度制 第1课时任意角 [核心必知］ 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P2～P5的内容，回答下列问题． (1)阅读教材P2“思考”的内容，你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了 1.25个小时,你应当如何将它校准?在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？ 提示：当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了 1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反．（2）体操中有“转体720°”（即“转体2周”），“转体 1 080°"(即“转体3周”）这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同;又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转,而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA 绕O旋转所成的角与O′B绕O′旋转所成的角就会有不同的方向． 利用我们以前学过的0°～360°范围的角，还能描述以上现象吗？ 提示：要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向．故利用0°~360°范围的角，无法描述以上现象． （3）阅读教材P3“探究"的内容，请思考:对于直角坐标系内任一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系? 提示：不唯一．它们之间相差360°的整数倍，即相差k·360°(k∈Z）． 2．归纳总结，核心必记
(1）角的有关概念 有关概 念 描述 定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 图示其中O为顶点，OA为始边，OB为 终边 记法角α或∠α，或简记为α （2 ① ②按角的终边位置 (ⅰ)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角； (ⅱ）角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限． （3）终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [问题思考] （1)你能说出角的三要素吗？ 提示：角的三要素是顶点、终边、始边． (2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？ 提示：不一定，零角的终边与始边重合,但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等． （3)一条射线绕端点旋转,旋转的圈数越多，则这个角越大,这样说对吗? 提示：不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角,
三角函数的定义 [考点透视] 一、考纲指要 1．理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算. 2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义. 二、命题落点 1．考查象限角的概念.如例1. 2．考查三角函数化简，求值等知识.如例2. 3．考查三角函数在各个象限的符号.如例3. [典例精析] 例1：α为第三象限角，那么2α 所在的象限是〔 〕 A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 解析：α第三象限，即3222 k k k Z π ππαπ+<<+∈, ∴3224k k k Z πα π ππ+<<+∈, 可知2α 在第二象限或第四象限． 答案：D ． 例2： tan600°的值是〔 〕 A ．33- B ．33 C ．3- D ．3 解析:360tan 240tan 600tan 000===． 答案：D ． 例3：假设sinθcosθ＞0，那么θ在〔 〕 A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 解析：∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同号.
当sinθ＞0，cosθ＞0时，θ在第一象限，当sinθ＜0，cosθ＜0时，θ在第三象限，因此，选B ． 答案：B ． [常见误区] 1．在角的表示中注意角度值和弧度值不能在同一角的表示中使用. 2．三角函数值的符号是学生解题中的易错点、易漏点. [基础演练] 1．R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，那么a ＝〔 〕 A ．0 B ．1 C ．－1 D ． ±1 2．设M 和m 分别表示函数y=31 cosx －1的最大值和最小值，那么M+m 等于〔 〕 A ．32B ．－32C ．－34 D ．－2 3．假设A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且A 高中数学人教A版必修4第一章《三角函数》单元教学设计 ［教材地位分析］ 三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。三角函数是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。三角函数是高中数学课程的传统内容，本模块的内容属于“传统内容”。“三角函数”一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。通过发现生活中的周期现象，使学生感受引入三角函数的必要性，从而引出三角函数。在研究三角函数的基本性质过程中，除了研究函数问题的常规方法外，教材也体现了研究周期性问题的方法，突出了数形结合的数学思想，最终目标是用三角函数的知识解决一大类生活中的问题，来服务生活。 ［本单元教学内容］ ［教学内容分析］ 本单元教学 课堂主线：1、坐标系、单位圆几乎贯穿每节课 2、数学思想：数形结合思想 3、计算能力：代数变形与三角变换 教学要素分析： 1、任意角讲课时需说明，锐角、直角、钝角已不能解决问题，需要对角的概念推广，角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，且这种推广是符合逻辑推理的。如何刻画圆周上一点周而复始的的运动？从生活中事例出发，如：体操中有“转体2周”，手表慢了5分钟，手表快了5分钟等，然后把课堂交给学生，学习小组讨论之后，小组代表发言，①用什么方法研究任意角？如何写出终边相同的角的集合，并介绍自己是如何思考的，为什么这样写？②如何判断两个角终边相同？弄清楚这两个问题，本节课目标完成。建议充分利用教材中所提供的问题情境，如教材上所附的“思考”、“探究”中的问题等等都能够使学生参与到教学中来，建构他们的数学知识。 2、引入弧度制，建立角的集合与实数集之间的对应关系，为以后研究角的问题提供方便。讲弧度制时，角度与弧度如何对应起来，就是说实数与度数如何来对应，先提出问题，让学生分小组合作探究，各小组说出想法，最后统一。这样的课堂比较轻松，学生会主动学习知识，接受知识。事实上，圆的周长是实数统 人教 A （必修 4） 1.6 三角函数模型的简单应用（第一课时教学设计案例） 一、教材分析 （1）地位与作用 本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简 单应用，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。 （ 2）学情分析 学生学习了三角函数的图像及其性质，已经初步具有用数学知识解决这类实际问题的能力；已经初步形成对数学问题进行合作探究的意识与能力。 （ 3）教学重点与难点分析 教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质 教学难点：①由图象求解析式时的确定。 ②分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立 数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题． 二、教学目标分析 1、知识目标：①使学生初步学会由图象求解析式的方法；②根据解析式作 出图象并研究性质；③体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；④体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学 “建模”思想 , 从而培养学生的创新精神和实践能力。 3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题 中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。 三、教法及学法分析 教学方法——启发式、讲练相结合式 学习方法——小组自主探究、合作交流式 教学手段——使用多媒体辅助教学 四、教学过程分析 情合变深归布 境作式入纳置 引探练探小作 入究习究结业 ，，，，，， 点实加学形巩 明践深以成固 主新理致体新 旨知解用系知 教学设计 教学活动设计意图 三角函数的定义教学设计 一、内容分析： 1、教材的地位与作用 三角函数的定义》是高中数学必修四1.2.1，其主要内容是任意角的三角函数的定义。 三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。 三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。 2、教学重点和难点 教学重点：任意角的三角函数的定义，三角函数符号的判断 教学难点：任意角三角函数定义的形成过程 二、目标分析 根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下： 1、知识目标： （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域，正负符号的判断）； （2）了解任意角的余切、正割、余割函数的定义. 2、能力目标： （1）培养学生的推理能力； （2）培养数形结合的数学思想方法。 3、情感目标： （1）渗透数形结合、类比的数学思想，培养学生良好思维习惯； （2）培养学生合作学习和数学交流的能力； 三、教法分析 根据上述教材分析和目标分析，贯彻诱思探究教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要的教法为： 1、计算机辅助教学 借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，使问题变得直观，易理解；利用多媒体向学生展示优美的函数图象，使学生有直观认识。 江苏省常州市西夏墅中学高中数学第1章三角函数教案新人教版必 修4 数学（必修4）共有三章内容，第1章《三角函数》，第2章《平面向量》，第3章《三角恒等变换》．各章内容均围绕着对同一个背景进行数学研究的过程而逐层展开，全书的整体结构如下： 目标定位 1．第1章《三角函数》，首先从自然界广泛的周期性现象中聚焦到圆周上一点的运动，这是一个简单又基本的例子，是一个待解剖的“小麻雀”．于是问题自然地提出：用什么样的数学模型来刻画周期性运动？这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对周期性现象的数学（分析）研究；即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程．本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的数学（思维）过程”． 2．本章具体的教学目标是： （1）通过“问题链”中问题的不断提出和不断解决，经历和认识“数学发生与发展”的生长过程，感受和体验“人类研究和发现数学”的思维过程．在一系列化问题的指引下，师生可以真正主动地参与建构数学的活动，进而发展学生的数学思维． （2）以“数学地研究”的主线，展示数学研究的一般程序．侧重“模型化”数学思想的运用，使学生在逐步学会研究数学的同时逐步学会学习数学． （3）充分发挥第1章“函数”的作用，在学习过程中尽可能地与“函数”一章密切联系， 突出“特殊与一般”的思想方法在学习过程中的重要作用． 教材解读 1．教材采用了以问题链展开的呈现方式． 在提出问题的环节，问题间的逻辑递进，以及问题对强化目标（建构刻画周期性现象的数学模型）的指向作用等方面进行了精心设计．例如，教材在提出：“怎样将锐角三角函数推广到任意角？”的问题之前，还安排了另一个问题：“用怎样的数学模型建立（x,y）与（r,α）之间的关系？”这就是考察锐角三角函数的“理由”．那么，为什么要研究（x,y）与（r,α）间的关系呢？这是因为用（r,α）,（x,y）都可以表示圆周上的点．那么，为什么要表示圆周上的点呢？这是为了刻画圆周上点的运动．那么为什么要刻画圆周上点的运动呢？这是因为它是周期现象的“一个简单又基本的例子”．为什么要研究周期现象呢？这就追到了最根本之处：因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现象的数学模型．”这里的问题串，揭示了建构数学模型的思维过程，揭示了数学知识间的联系． 2．教材按照数学研究的一般程序展开． 数学研究的一般程序即：“问题——建立模型——研究模型——解释、应用与拓展”．特别地，建立“三角函数”的数学模型是本章的难点与重点，而研究“三角函数”则是置于“函数”的大背景之下进行，更进一步的研究将在后续各章节中（特别在第十章）逐步展开．3．教材突出了三角函数的周期性． 本章的研究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，教材突出了周期性，它是教材的出发点和归属．首先研究“三角函数的周期性”，为此专门列了一节．三角函数的周期性，不是由图象得到的，而是从三角函数的定义，从终边位置周而复始的出现，从诱导公式，即从以前的研究过程中得到的．相反，三角函数周期性的研究为后续图象与性质的研究起了铺垫作用．在正式研究三角函数的性质之前，教科书就从总体上作出了判断：“周而复始的基本性质必然蕴含在三角函数的性质之中”，因为三角函数就是我们为刻划周期运动而建构的数学模型．这样的判断对不对呢？这就促使我们来研究三角函数具有哪些性质？首先什么是“周而复始的基本性质？“这样就提出了本小节的问题：如何用数学语言刻划函数的周期性？这样的设计，不仅为三角函数性质的学习提供了问题背景，突出了本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题，而且充分地发挥了理性思维的作用．周期函数的定义是学习中的一个难点．同学们可以从“周而复始的重复出现”出发，如“白天黑夜、白天黑夜”，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”、“自变量每增加或减少一个值函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义． 1.4三角函数的图象与性质 1.4.2正弦函数、余弦函数的图像与性质(一)（赵中玲） 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课的学习，能够很好的掌握正弦函数、余弦函数的周期性和单调性，在直观想象、数学抽象、逻辑推理过程中用这些性质能够对相关函数作出准确的分析进而解答相关问题. （二）学习目标 1.通过研究sin y x =（cos y x =）“周而复始”的特征，得出周期性的准确定义. 2.理解周期性的定义，并能够运用该定义求周期函数的周期. 3.能结合图象得出sin y x =（cos y x =）的单调性和单调区间，以及会运用单调性求最值和比较大小. 4.在渗透数形结合的数学思想过程中，同时培养学生类比和转化的思维习惯. （三）学习重点 正弦函数、余弦函数的周期性，周期性的定义及其运用. （四）学习难点 正弦函数、余弦函数的周期性. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材34——36页，填空： 正弦函数sin y x =的周期为)(2Z k k ∈π，最小正周期为 2л . 余弦函数cos y x =的周期为)(2Z k k ∈π，最小正周期为 π2 . 周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数就叫周期函数，周期为非零常数T 2.预习自测 （1）sin y x =（cos y x =）的最小正周期为 【答案】2π （2）sin （)3 y x π =-的最小正周期为 【答案】2π （3）cos 2y x =的最小正周期为 【答案】π (二)课堂设计 1.知识回顾 回顾sin y x =（cos y x =）的图象. 2.问题探究 探究一 正弦函数、余弦函数的周期性，周期性定义★ ●活动①根据sin y x =的图象得出周期性的概念 由正弦函数的图象我们发现：它具有“周而复始”的变化规律.其实在由正切线向正弦函数转变的探究过程中也有感受到，而从式子上面也有准确的体现——正弦的诱导公式： sin （2)sin ()x k x k Z π+=∈，即当自变量x 增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学 上我们称这种规律为周期性，下面得出周期性的准确定义： 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 ()()f x T f x +=，则称函数()f x 为周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，如果在所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做()f x 的最小正周期. 【设计意图】通过数形结合得出周期性的准确定义，从而使三角函数的这种特征由感官的转变为数式的准确描述. ●活动② 利用周期性的定义判断cos y x =是否为周期函数，并确定其周期和最小正周期. 引导学生先根据cos y x =的图象直观的得出其周期性和周期以及最小正周期，再引导学生类比sin y x =发现cos （2)cos ()x k x k Z π+=∈，由k 取不同的整数得cos y x =的周期可以为2π、4π、6π……及2π-、4π-、6π-……，其中最小的一个正数为2π，因此最小正周期为2π. 如果有时间教师可以对最小正周期为2π进行严格证明，证明如下： 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 一、学习目标：1、由函数的图像能推出函数的性质 2、对三角函数的特殊性质的理解——周期性 3、熟练运用三角函数性质解决问题 二、重点：由函数的图像能推出函数的性质 难点：三角函数性质的应用与理解 三、知识链接： 1、画出正弦曲线 2、画出余弦曲线 3、正弦曲线的五个关键点是 4、余弦曲线的五个关键点是 四、新课学习： 阅读课本34——36页解答下列问题 1、观察正、余弦函数的图像，能说出他们具有哪些性质？其中有没有以往函数不具备的？ 2、周期函数、最小正周期是如何定义的？ 3、正弦函数是周期函数，（）都是它的周期，最小正周期是（） 余弦函数是周期函数，（）都是它的周期，最小正周期是（） 4、例2 求下列函数的周期 （1）y=3cosx (2) y=sin2x (3) y=2sin(0.5x—π/6) 归纳函数的周期与解析式的哪些量有关？ 阅读课本37——38页解答下列问题 5、观察正、余弦函数图像的对称性能得出什么结论？ 上面的递增区间是： 递减区间是： 根据函数的周期性能得出什么结论？ 7、观察正弦函数的图像，完成以下表格 上面的递增区间是： 递减区间是： 根据函数的周期性能得出什么结论？ （1）y=cosx+1 (2) y=3sin2x 10、例4 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： （1）sin(—π/18)与sin(—π/10) （2）cos(—23π/5)与cos(—17π/4) 11、例5 求函数y=sin(0.5x+π/3) 定义域为[—2π , 2π]的单调递增区间。 五、当堂检测： 1、口答下列函数的周期 （1）y=0.75x (2) y=cos4x (3) y=0.5cosx (4) y=sin(x/3+π/4) 2、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)sin2500与sin2600 (2)cos(15π/8)与cos(14π/9) (3)cos5150与cos5300 (4)sin(—54π/7)与sin（—63π/8) 3、求函数y=sin(2x+π/4) 定义域为 [0 , π] 的单调递减区间 4、求下列函数的单调区间： （1）y=1+sinx (2)y= —cosx 六、课堂小结： 七、布置作业：人教A版数学必修四第一章《三角函数》单元教学设计
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