《平面向量的坐标运算》说课稿
一、教学背景
《平面向量的坐标运算》是人教版高中数学必修第四册第二章第三节中的内容。本节课的内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后学习的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。
高中学生已经具备了初等代数、初等几何的相关知识，以及一定的抽象思维能力和空间想象能力，在这个基础上，学生通过学习平面向量的坐标运算，可以领会归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、思维能力、探究能力及创新意识。
根据新课标的要求，以及对教材和学情的分析，我确立了如下三维教学目标：
1、知识与技能目标：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。
2、过程与方法目标：通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导，培养学生演绎、归纳、猜想的能力；借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力。
3、情感与态度目标：设置问题情境，学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活的理念；在思考和探究的过程中培养学习数学的兴趣。
根据本节课的地位和作用以及新课程标准的具体要求，确定本节课的重点为：平面向量的坐标运算。根据本节课的内容，以及学生的心理特点和认知水平，确定本节课的教学难点为：理解平面向量坐标化的意义。
二、活动评价
在课堂教学过程中，我将对学生的学习情况进行及时而有效的评价。注重课程中的过程性评价，无论是在学生开始遇到问题、产生疑惑、给出猜想的时候，还是在逐步思考、交流、探索的教学过程中，我都会注重对于学生学习成果的评价。比如，在课堂讨论较难理解的问
题时，我将先请一位平时善于解决数学问题的学生来回答，并请其他同学对其进行评价，然后再请大家给出不同的意见，从而形成良性的互动，在学生们的思维碰撞之中，正确、完善的结论将自然形成。从始至终，我都将贯彻以学生为主体、教师为主导的教学思想。
三、课程设计
在新课改理念的指导下，针对本课的教学目标和重难点，我将采用情境法、探究法、自主学习和合作探究等教学法，先从一个情境问题出发，然后引导学生循序渐进地对一组问题进行思考和探究，逐步归纳总结出平面向量的坐标表示的概念和性质，并在期间采用学生自评、小组互评、教师评价等多种方式，培养学生积极主动参与学习的兴趣。下面我将详细阐述本节课的教学过程。
1、复习与导入
问题1：判断题：单位向量都相等。
答案：错误。
复习目的：复习向量定义，引出x 轴y轴正方向上的单位向量i和j。
问题1：判断题：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数x,y，使a = x e1 + y e2。
答案：正确。
复习目的：复习平面向量基本定理, 为下一步将基底特殊化引出新课做准备。
接着，我通过学生熟知的足球运动来创设问题情境，引入新课，并建立数学与其它学科的联系。学生在体会数学与现实生活的联系中，通过教师引导，体会转化的数学思想。同时，学生的学习兴趣得到激发，有利于提高学习效率，在知识迁移的过程中开展创造性的学习，从而实现传授知识与培养学生能力融为一体的目的。
2、探索与应用
探究1：平面直角坐标系内，每个点可以用一对实数来表示，向量可以吗？
解决途径：以向量i、j为基底，利用平面向量基本定理构造平行四边形。
结论：若a = xi+ yj，则a =(x,y)叫做向量的坐标表示。
探究2：相等向量的坐标有关系吗？
结论：相等向量的坐标也相等，体现向量与其坐标的对应关系。
接着，我进一步引导思考：向量在坐标平面内任意平移而坐标不变，那么将其起点放在什么位置更有利于研究呢？
探究3：将表示向量的有向线段的起点放在坐标原点后有何结论呢？
结论：此时向量坐标就由这条有向线段的终点坐标唯一确定了。
这时，我将利用多媒体课件进行动画演示，学生直接参与探究的过程，从亲身体验中获得深刻的认识。
探究4：向量的坐标与它对应的有向线段的起点、终点坐标有何关系？（从具体例子寻找规律）。
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。3、归纳总结
经过前面的师生共同参与的探究讨论，就逐步归纳总结出了平面向量的坐标表示的概念和运算性质。在这个过程中，我会根据不同学生的特点，分别请他们发言，并请其他同学进行补充，在师生互动中，共同推导出结论，这种方法既可以有效地突出本课的重点，又自然而然地突破了本课的难点。
4、实践应用
为巩固所学知识，我会从教材中分梯度选取习题，给学生进行课堂练习，并请2-3位同学在黑板上完成，在练习后我会进行及时讲解。
在布置作业时，为了使所有学生都能够根据自身情况巩固所学知识，我将布置一类“必做题”和一类“探究题”，其中“探究题”是提供给那些学有余力的学生在课余时间完成的，帮助其拓展思维，培养兴趣。
6、课程总结
本节课的内容是极富探索性，我通过提问式复习和情境问题导入，学生产生好奇心和探索热情。接着，以学生为主体，我来引导学生根据已学的知识和方法，循序渐进地进行探究，逐步归纳总结出平面向量的坐标表示相关的概念和运算性质，从而自然地完成本课的教学过程，同时帮助学生体会数形结合的思想方法。
在板书设计方面，我会用简洁、工整的方式给出相关探究问题，同时以多媒体辅助展示平移动画，便于学生进行观察和探究。
四、教学体会
本节课我主要采用的是“引导发现、合作探究”的教学方法，以学生熟知的足球运动为情境引入新课，以问题为载体，以师生合作探究为主线，以思维训练为核心，以能力发展为目标，充分调动一切可利用的因素，激发学生的参与意识，使学生经历知识的形成、发展和
应用的过程，在和谐、愉悦的氛围中获取知识，掌握方法。整个教学中既突出了学生的主体地位，又发挥了教师的指导作用。在课堂随机提问以及讨论结果的过程中，我采用多层次多角度的评价方式，不仅能促使学生思考问题，掌握学习知识的技巧和方法，还能调动学生积极性，激发课堂气氛。
《平面向量的坐标运算》说课稿 一、教学背景 《平面向量的坐标运算》是人教版高中数学必修第四册第二章第三节中的内容。本节课的内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后学习的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。 高中学生已经具备了初等代数、初等几何的相关知识，以及一定的抽象思维能力和空间想象能力，在这个基础上，学生通过学习平面向量的坐标运算，可以领会归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、思维能力、探究能力及创新意识。 根据新课标的要求，以及对教材和学情的分析，我确立了如下三维教学目标： 1、知识与技能目标：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。 2、过程与方法目标：通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导，培养学生演绎、归纳、猜想的能力；借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力。 3、情感与态度目标：设置问题情境，学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活的理念；在思考和探究的过程中培养学习数学的兴趣。 根据本节课的地位和作用以及新课程标准的具体要求，确定本节课的重点为：平面向量的坐标运算。根据本节课的内容，以及学生的心理特点和认知水平，确定本节课的教学难点为：理解平面向量坐标化的意义。 二、活动评价 在课堂教学过程中，我将对学生的学习情况进行及时而有效的评价。注重课程中的过程性评价，无论是在学生开始遇到问题、产生疑惑、给出猜想的时候，还是在逐步思考、交流、探索的教学过程中，我都会注重对于学生学习成果的评价。比如，在课堂讨论较难理解的问
《平面向量的坐标运算》的教学设计 一、 复习： 1.平面向量基本定理: 2.不共线的两向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底. 3.平面内所有向量的基底有多少组? 二、引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A 可以用什么来表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢? 思考1:以坐标原点O 为起点，P 为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？ 思考2:在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点0的向量如何用坐标来表示? 三、 新课讲解： （一）平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，对 于平面上的向量a ，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数x ，y 使得 a xi y j =+ ，则有序实数对(,x y )称为向量a 的坐标，记作(,)a x y =r . 注：每个向量都有唯一的坐标. 例1．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA uu r |＝060xOA ∠=，求向量OA uu r 的 坐标. （二）平面向量的坐标运算 1.若11(,)a x y =r , 22(,)b x y =r , 则a b +=r r , a b -=r r 即两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差. 2.若(,)a x y =r ，R λ∈,则 a λr = 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3.1122(,),(,),A x y B x y AB =已知点则向量uu u r 即一个向量的坐标等于表示该向量的终点的坐标减去起点的坐标.
练习：已知a =(2 ,1)，b =(-3 ,4)，求a +b ，a -b ，3a +4b . 例题讲解： 例2.如图：已知A(-1，3),B(1，-3),C(4，1),D(3，4)，求向量OA uu r ,OB uu u r ,AO uuu r ,CD uu u r 的坐 标. 例3 .已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，-4），且3CM CA =u u u r u u r ,2CN CB =uu u r uu r ，求MN uuu r 的坐标. 练习:已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)， 求: (1)AB AC -u u u r u u u r (2) 2AB BC +uu u r uu u r (3)12 BC AC -uu u r uuu r 四、 课堂练习 1.已知A (x,2)，B (5，y －2)，若AB uu u r ＝(4,6)，则x ，y 值分别为____ ___ 2.已知M (3，－2)，N (－5，－2)，且MP uuu r ＝12 MN uuu r ，则P 点坐标为____ ____ 3.已知a =(2 ,4)，b =(-1 ,2)，求a +b ，a -b ，2a -3b . 4．已知平面上的三点：A (－2,1)，B (3，－4)，C (5，－2)，求： (1)2AB AC +uu u r uu u r ； (2)12 BC CA -uu u r uu r . 五、课堂总结： 1.向量的坐标的概念. 2.对向量坐标表示的理解. (1)任一平面向量都有唯一的坐标； (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系； (3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算. 六、作业
平面向量的坐标运算教学设计 一.教材依据： 普通高中课程标准试验教科书人民教育出版社（A版）数学必修 4. 二.设计思想： 1.教材分析： 本节内容是在学生学习了平面向量的加法、减法、数乘运算以及向量的坐标表示之后的一节新授课，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.学情分析： 高一学生已具备一定的分析和概括能力以及自主探究的能力，且对向量的知识有了比较深入的接触和认识，已经熟悉由具体到抽象的数学思维过程，能用向量语言和方法表述和解决数学中的一些问题. 3.设计理念： 设计本节课时，力求强调过程，注重学生自主探究新知识的经历和获得新知识的体验.教学时不是简单的告诉学生平面向量的坐
标运算,而是让学生自己去探究、去发现,充分体现学生的主体地位,激发学生的学习兴趣,提高学生解决问题的能力,培养学生的自主 学习的能力. 4.教学指导思想： 结合学生的实际情况及本节课的内容特点，采用的是以学生自主探究为主，提出一系列精心设计的问题，在教师的启发、引导下，让学生自己去分析、探究，在探究过程中得出结论，从而使学生在获得新知识的同时又提高了能力. 三.教学目标： 1.知识与技能：会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 2.过程与方法：利用向量的坐标可以使向量运算完全代数化，实现了形向数的转化. 3.情感、态度与价值观：了解向量与其他知识之间的紧密关系， 培养学生的学习兴趣及探索精神． 四.教学准备： 根据本节课的特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学知识，利用多媒体辅助教学. 五．教学过程: (一).复习回顾:
平面向量基本定理与坐标运算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算. 3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题. 4.了解平面向量的基本定理及其意义. 一、平面向量基本定理： 1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量a ，有且只有_一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 特别提醒： (1)我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、平面向量的坐标表示： 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个__单位向量_ i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有 且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………○ 1， 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 (,)a x y =…………○ 2
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○ 2式叫做向量的坐标表示 与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x 特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)= 特别提醒：设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也 就是向量OA 的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示 三、平面向量的坐标运算： （1） 若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +=1212(,)x x y y ++， a b -= 1212(,)x x y y -- 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =()2121,x x y y -- 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 （3）若(,)a x y =和实数λ，则a λ=(,)x y λλ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 （4）向量平行的充要条件的坐标表示：设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中b ≠a a ∥ b (b ≠0)的充要条件是12210x y x y -= 类型一 平面向量基本定理的应用 【1】 如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若 AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________. [审题视点] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →. 解析 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM → ＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12. 答案 1 2
北京市大兴区黄村第五中学高中数学 2.3.2 平面向量的直角坐 标运算教案新人教A版必修4 ●教学目标 ●教学重点 平面向量的坐标运算. ●教学难点 理解向量坐标化的意义及坐标运算的运用 ●教学方法 分析、讲授、练习 ●教学过程 一、明确目标 1. 了解平面向量的坐标表示 2. 理解平面向量的坐标运算 3. 掌握已知平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法 二、自主探究： 1设向量a=(a1 ,a2), b=(b1 ,b2)，λ为实数，则 a+b=(a1 ,a2)+(b1 ,b2)=(a1+b1 ,a2+b2) a+b=(a1 ,a2)-( b1,b2)=(a1-b1 ,a2-b2) λa=λ(a1 ,a2)= (λa1 , λa2) ①教师可引导学生自证； ②上述向量的坐标运算公式，可用语言分别表述为： 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差； 数乘向量的坐标等于数乘上向量相应坐标的积. 三、答疑解惑 例1：已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求a+b，a+b，3a+4b. 例2：在平面直角坐标系Oxy中，已知两点M（x1 ,y1）,N（x2 ,y2）,求向量MN的坐标. 结论：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标. 例3：已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A（-2，1），B（-1，3），C（3，4），求顶点D的坐标. （教师引导学生用两种方法求解） 四、课堂检测 学生练习：已知a=(-2,4)，b=(1,2)，求a+b，-3a-2b. 学生练习：已知点A（-3，4），B（2，5），求AB,BA. 注意：在平面直角坐标系Oxy中，一条有向线段所表示的一个向量的坐标在一般的情
《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》说课稿尊敬的各位评委大家好： 我说课的题目是《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》，下面我从教材分析、学情分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的教学进行说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第二课时---平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。本节课是是在学生已经掌握了平面向量数量积的含义及运算律的基础上进行教学的，因此难度不大。 根据新课标的要求和学生的实际我确定本节课的重难点如下： 2．教学重点、难点 （1）教学重点 1.掌握平面向量数量积的坐标表示方法； 2.掌握向量垂直的坐标表示的条件及平面内两点间的距离公式； 3.能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. （２）教学难点 用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. 二、学情分析 此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。 三、教学目标分析 根据本节课的特点,结合新课程标准对本节课的教学要求和学生的认知规律,我从以下三个方面确定了以下教学目标: (1)知识与技能目标: ⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式； ⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式； ⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系； (2) 过程与方法目标：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。 (3)情感态度与价值观目标：引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣。注重培养学生的动手能力和探索能力；同时通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想。
人教版高中必修4《平面向量》教学设计 《人教版高中必修4《平面向量》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！ 一、单元教学内容分析 本章节内容教学安排在人教版必修四三角函数章节后，和差公式前，这为后面的和差公式的学习做好铺垫，又为解三角形问题和平面几何中的许多计算问题提供便利工具。 向量既有代数特征，又有几何特征，是沟通代数与几何的桥梁。向量具有代数特征，运算及其规律是代数学研究的基本问题，向量可以进行多种运算，如向量加、减、数乘和数量积等。向量运算具有一系列运算性质。向量具有几何特征，它不仅可以描述，刻画几何中的点、线、面及其位置关系，数量关系，还可以表示空间中的曲线与曲面，是研究几何问题的基本工具。本教材从学生熟悉的实例出发，经过观察、分析、归纳等方法概括出向量的相关概念，比以往的教材更能使学生产生自然而亲切的感觉，有助于激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，使他们真正认识到数学的应用价值，从而提高学生应用数学的意识。 教材结合向量的几何背景——有向线段，引入向量的表示法，规定了向量的长度的概念。定义了零向量，单位向量、平行向量、相等向量、相反向量、共线向量等概念。对于许多旧有的知识利用向量方法去处理，就会变得简单易懂，从而有助于学生对这些知识有更深刻的理解，更牢固的记忆，更自如的应用。 二、单元学生情况分析 1、学生在初中阶段接触过物理学中的矢量，已具备基本的认知水平和运算能力。 2、学生已基本掌握函数和三角函数的基础知识，会运用数形结合法、整体代换法、分类讨论法等解决实际问题。 3、学生已具备基本的分析为和解决问题的勇气和智慧。 三、教学目标
高一数学 5.4平面向量的坐标运算（第一课时）大纲人教 版必修 ●教学目标 (一)知识目标 1.平面向量的坐标表示； 2.平面向量的坐标运算. (二)能力目标 1.理解平面向量的坐标概念； 2.掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法. ●教学重点 平面向量的坐标运算. ●教学难点 理解向量坐标化的意义. ●教学方法 启发引导式 启发学生在学习平面向量坐标表示的推导过程中理解平面向量基本定理中基底的特殊化. ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师］上一节，我们学习了平面向量的基本定理，这一节，我们将利用此定理推得平面向量的坐标表示. 我们知道，在直角坐标系内，第一个点都可以用一个有序实数对(x，y)来表示，本节我们将把向量放入直角坐标平面内，同样用有序数对(x，y)来表示. Ⅱ.讲授新课 1.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，i、j为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j成立. 2.平面向量的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2). 即：平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的终点坐标减去始点坐标. 3.实数与向量积的坐标表示 若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy) 4.向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，由a∥b⇔存在实数λ，使a＝λb. ∴(x1，y1)＝λ (x2，y2)＝(λx2，λy2)， ∴x1＝λx2，y1＝λy2. 消去λ得：x1y2－x2y1＝0， ∴a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(b≠0) ［师］下面我们通过例题分析来熟悉平面向量的坐标运算. ［例1］已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
2.2向量的坐标表示 【知识要点】 1. 平面向量的基本定理：如果12e e 、是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数121122=a e e λλλλ+、，使成立，这时我们称不共线向量12e e 、为这一平面内所有向量的一组基底。 2. 平面向量的坐标表示及坐标运算： a. 平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i j 、作为基底，认作一个向量a ，由平面向量的基本定理可知，有且仅有一对实数x ，y ，使得a =x i +y j 叫做向量a 的坐标，记作a =（x ，y ），x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。 b. 设a = 11,)x y （,b =22(,)x y ，向量加减法运算： a+b =1212(,)x x y y ++ a-b =1212(,)x x y y -- 3. 向量平行的坐标表示 设向量a = 11,)x y （，b =22(,)x y （a ≠0）如果a//b ，那么12210x y x y -= 设向量a = 11,)x y （，b =22(,)x y 如果12210x y x y -=，那么a//b 。 4. 向量坐标表示的综合问题 【知识应用】 1. 平面向量实质上告诉我们两个事实： a. 平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式。 b. 上面的分解是唯一的 【J 】例1 已知A 、B 、C 三点不共线，O 为平面上任意一点，证明：若存在实数p 、q 、r 使得p ∙OA qOB r OC →→→ ++=0,且p+q+r=0，则必有p=q=r=0 【L 】例2 已知a =（-1,2），b =（1，-1）c =（3,-2），且有c =p a +q b ，求p 、q
平面向量的坐标运算 教学设计： Ⅰ.复习回顾: 上一节，我们学习了平面向量的基本定理，这一节，我们将利用此定理推得平面向量 的坐标表示. 我们知道，在直角坐标系内，第一个点都可以用一个有序实数对(x ，y )来表示，本节 我们将把向量放入直角坐标平面内，同样用有序数对(x ，y )来表示. 在平面直角坐标系中，i 、j 为x 轴、y 轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使→→→+=j y i x a 成立. 2.探索新知: 知识点1：平面向量的坐标加减法运算 问题一：已知)3,1(=→a ，)1,5(=→b ，如何求→→+b a ，→→-b a 的坐标呢？ 猜想：若),(),,(2211y x b y x a ==→→ 则),(2121y y x x b a ++=+→→， ),(2121y y x x b a --=-→ → 平面向量的坐标运算法则证明 若→→→ →→→ +==+==j y i x y x b j y i x y x a 22221111),(,),( 则 ),()()(21212121y y x x j y y i x x b a ++=+++=+→→ →→ ) ,()()(21212121y y x x j y y i x x b a --=-+-=-→→→→ 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 问题二：探究：若已知 点A 、B 的坐标分别为 (1,3)，(4,2)，如何求 AB 的坐标 呢？ O x y B A
→AB =→OB -→ OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1) 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=→ 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 思考：坐标为()1 212,y y x x --的点P 在哪里？ 设计目的 ：此环节教师充当引导者，以学生为主体，让学生在讨论思考中享受成功 的快乐。 → -BA B A ，求，）已知（例)5,3()3,2(1.1 ()(1,2),(2,1),AB A B =-2已知求的坐标. 设计目的：根据刚才的讲解学生对知识进行应用。 知识点2：数乘向量的坐标运算 已知a=(x,y)和实数λ，那么λa= λ(x, y)=？ ),(1111y x j y i x a λλλλλ=+=→→→ 结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 例2.已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标. 例3:已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (－2，1)、B (－1，3)、 C(3， 4)，求顶点D 的坐标。 解：方法一： 设点D 的坐标为（x,y ） 所以顶点D 的坐标为（2，2） (1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4) AB DC x y x y AB DC =---==-=--= 且(1,2)(3,4) x y ∴=--
高中数学《平面向量的坐标运算》教学设计与反思 一、教学目标 1、知识与能力目标 ① 掌握平面上两个向量和、差以及实数乘以向量的坐标表示 ② 掌握平面上任意向量的坐标求法 2、过程与方法 通过相应知识点后安排的例题练习，体会两个向量和、差以及实数乘以向量的坐标表示；同时对比平面上任意向量的坐标求法与始点在原点的向量坐标表示 3、情感态度与价值观 初步建立学生的逻辑思维能力以及学生学习过程中总结习惯的培养 二、教学重点 教学重点：平面上两个向量和、差以及实数乘以向量的坐标表示以及平面上任意向量的坐标求法 教学难点：平面上两个向量和、差以及实数乘以向量的坐标表示以及平面上任意向量的坐标求法应用 三、教学分析 本节课选自高中数学必修4中第二章平面向量中第二部分平面向量的坐标表示及运算，本节课是建立在上节课学完平面向量的坐标表示的基础上来学习的，给出了平面上两个向量和、差以及实数乘以向量的坐标表示以及平面上任意向量的坐标求法，其中平面上任意向量的坐标求法这一结论是放在一道练习题后得出的结论，但这一结论给上一节课的知识作了补充，同时也是整个向量这一章的一个重点，本节课的习题充分体现了这一点。 四，教学过程 1、复习引入 若j y i x a 11+=则11(,)a x y =；若j y i x b 22+=则22(,)b x y =有了11(,)a x y =，22(,)b x y =能否求出a b +、a b -以及λ的坐标呢？
2、新课讲解平面向量的坐标运算 （1）若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +),(2121y y x x ++=， 则a b -),(2121y y x x --= 小结：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 （2）若(,)a x y =和实数λ，则(,)a x y λλλ=。 小结：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ= （3） 若),(11y x A ，设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ= ，则()1212,y y x x --= 小结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1) 三、讲解范例： 例1 已知a +b =(2,-8),a -b =(-8,16),求a 和b . 例2已知三个力1F (3, 4), 2F (2, -5), 3F (x, y)的合力1F +2F +3F = 求3F 的坐标。 例3若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2=( ) 例4已知四边形ABCD 为平行四边形，A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求点D 的坐标。 四、课堂练习： 1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 2 1=MN , 求P 点的坐标； 3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD 是梯形。 五、小结 六、作业P101 1、3、4题 反思：教学过程中的困难与挑战：主要就是在上一节课的基础上，熟练掌握平面向量的坐标运算。向量的坐标表示比较好理解，所以课上没有太多问题。很多时间再用于给学生练习。
《平面向量的坐标运算》教学设计 本节内容包括“平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算、平面向量共线的坐标表示”，这些内容是上一节所讨论问题的深入，为平面向量的坐标表示奠定理论基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算． （1）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示；会用坐标表示平面向量的线性运算；能用坐标表示向量共线的条件． （2）体会平面向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解；引入向量的坐标表示可使向量运算代数化；不仅向量的线性运算可以通过坐标来实现，向量的位置关系也可以通过坐标研究． （3）建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题；理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果. 【问题1】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行 于斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力2F ．问重力G 与力1F 和2F 有什么关系？ 【设计意图】通过学生 熟悉的力的分解问题，引出本节的主题，由此可以使 学生感受到向量的正交分解与现实的联系．任意一个 向量可以分解为两个不共线的向量，实际上是平面向量基本定理的一个应用． 【师生活动】 （1）学生：12G F F =+． （2）老师：由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a 均可以分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+. （3）老师：在不共线的向量中，垂直是一种重要的特殊情形.把一个向量分解为两个互相垂 ◆ 教学过程 ◆ 教学目标 ◆ 教材分析 G F 1 F 2
§2.3.4平面向量共线的坐标表示 教学目的： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别 地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 2．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =， 则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课： a ∥ b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a . 由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2 121y y x x λλ消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0，∵b ≠∴x 2， y 2 中至少有一个不为0 （2）充要条件不能写成2 211x y x y =∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠)0 1221=-=⇔ y x y x λ 三、讲解范例： 例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y. 例2已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). (1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标. 例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x 解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线∴(-1)×2- x •(-x )=0 ∴x=±2∵a 与b 方向相同∴x=2 例5已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？ 直线AB 与平行于直线CD 吗？ 解：∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ，=(2-1，7-5)=(1，2) 又∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥ 又∵AC =(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB =(2， 4)，2×4-2×6≠0 ∴AC 与AB 不平 行 ∴A ，B ，C 不共线∴AB 与CD 不重合∴AB ∥CD 四、课堂练习： 1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ）
《平面向量》说课稿1 一、说教材 平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。本节内容也是全章重要内容之一。 二、说学习目标和要求 通过本节的学习，要让学生掌握 （1）、平面向量数量积的坐标表示。 （2）、平面两点间的距离公式。 （3）、向量垂直的坐标表示的充要条件。 以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。 三、说教法 在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法、 （1）启发式教学法 因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论、如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。 （2）讲解式教学法 主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！ 主要辅助教学的手段（powerpoint）。 （3）讨论式教学法 主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。
四、说学法 学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！ 五、说教学过程 这节课我准备这样进行、 首先提出问题、要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？ 继续提出问题、假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？ 引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论。 （1）模的计算公式 （2）平面两点间的距离公式。 （3）两向量夹角的余弦的坐标表示 （4）两个向量垂直的标表示的充要条件 第二部分是例题讲解，通过例题讲解，使学生更加熟悉公式并会加以应用。 例题1是书上122页例1，此题是直接用平面向量数量积的坐标公式的题，目的是让学生熟悉这个公式，并在此题基础上，求这两个向量的夹角？目的是让学生熟悉两向量夹角的余弦的坐标表示公式例题2是直接证明直线垂直的题，虽然比较简单，但体现了一种重要的证明方法，这种方法要让学生掌握，其实这一例题也是两个向量垂直坐标表示的充要条件的一个应用、即两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。 例题3是在例2的基础上稍微作了一下改变，目的是让学生会应用公式来解决问题，并让学生在这要有建立方程的思想。
文件编号：0A-47-22-22-DB 平面向量数量 积的物理背景整理人尼克
平面向量数量积的物理背景及其含义 湖北省仙桃市第八中学彭会琴 一、教学设计 1. 教学内容解析 本节课内容选自人教版高中数学必修4第二章《平面向量》2.4《平而向量的数量积》的第一课时 内容包括:（1）平面向量数量积的物理背景及其含义： （2）平而向量数量积的几何意义及性质。 内容解析： （1）作为一种运算，平而向量数量积是继研究了向量的线性运算之后，这些知识的自然延伸：而平而向量的数量积又是高中数学的重要概念之一，掌握好这一内容，不仅能够巩固前面所学知识，而且还能为下一课时学习数量积运算以及进一步研究向量的坐标表示提供必要的知识准备。因此，本课时内容为平面向量的一个核心，起着承上启下的作用。 （2）向量的平行、垂直关系是向量之间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决这些问题的一个重要工具，因此，平面向量数量积在涉及垂直、夹角与长度的几何问题中有着十分广泛的应用。 （3）教材通过物理中"功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，从定义出发推导出向量的数量积与向量的长度和夹角的关系，进一步探究了两个向量的夹角对数量积符号的影响，得出有关性质、几何意义，这样做是为了让学生从已有的知识出发认识新知识，因此，本课时内容便于开放课堂，开展探究活动。 （4）教材中知识发展的两条主线非常清晰。其一是向量的数量积（2. 4.1）,从物理背景出发到数量积的定义，再根据定义研究性质，然后再研究运算律；其二是（2.4.2）,在第一课时的基础上先研究平面向量的坐标表示，再研究夹角的计算和垂直的判定方法，第一课时偏重概念 “形”的特征，第二课时偏重概念“数”的特点，两条线正好把平而向量数量积的几何与代数特征有机地联系在一起，体现了数形结合的本质。本课时完成概念“形”的特征的教学，做好与下一节中概念''数”的特点结合的准备。另外在性质的推导与证明过程中也很好地体现了特殊与一般的数学思想。因此，本课时内容看似简单，数学思维却很有高度。 根据以上分析：确定本节课的教学重点为 教学重点：平面向量数量积的概念及性质。 2. 学生学情诊断 本廿.课之前，学生已经熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算。具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：先由物理模型抽象出概念，然后再从概念出发研究性质和运算律。这些都为学生学习数量积做了很好的铺垫。但也正是这些干扰
2019-2020年高一数学 5.4平面向量的坐标运算（备课资料）大纲人教 版必修 1.线段共线与向量共线的判断 我们知道，若∥，则与共线，而∥时，线段AB与线段CD是否共线呢?一般来说，应区别情况而定，其判断方法如下： ①若∥，且直线AB与直线CD有公共点时，则线段AB与线段CD共线(即线段AB与线段CD在同一条直线上). ②若∥，但直线AB与直线CD无公共点(即直线AB∥直线CD)时，则线段AB与线段CD不共线(此时线段AB∥线段CD). ［例1］已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，那么与是否共线?线段AB与线段AC 是否共线? 解：∵＝(1－(－1)，3－(－1))=(2，4)， ＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 又2×6－3×4＝0， ∴∥， ∴与共线. 又直线AB与直线AC显然有公共点A， ∴A、B、C三点共线，即线段AB与线段AC共线. 综上，与共线，线段AB与线段AC也共线. 2.一题多解 ［例2］已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. 对此题，课本是利用向量相等(即＝)来求解的(详见课本)，较为简便.另外，此题若利用同学们刚学过且也较为熟悉的向量加法或减法都是可以顺利求解的，为开拓同学们的解题思路，下面就介绍这下面六种解法. 解法一：(利用向量加法)
先依题意在坐标系内作出ABCD(如图)，设顶点D的坐标为(x，y)，并连结OA、OD，则＝＋. ∵＝，∴＝＋ ∴(x，y)＝(－2，1)＋(3－(－1)，4－3) ＝(－2，1)＋(4，1)＝(2，2) ∴顶点D的坐标为(2，2). 解法二：(利用向量减法) 先依题意在坐标系内作出ABCD(如图)，设顶点D的坐标为(x，y)，并连结OA、OD，则＝－ ∵＝，∴＝－， ∴(x，y)＝(3－(－1)，4－3)－(0－(－2)，0－1)＝(4，1)－(2，－1)＝(2，2) ∴顶点D的坐标为(2，2). 解法三：(利用中点的向量表达式) 如图，在ABCD中，AC的中点M即是BD的中点. ∵=(+)=(+)，+ = +， = + －=(－2，1)+(3，4)－(－1，3)=(2，2). ∴顶点D的坐标为(2，2). 解法四：(利用中点坐标公式) 如图，在ABCD中，AC的中点即为BD的中点，设点D的坐标为(x，y)，则
平面向量的坐标运算 [学习目标] 1。了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来． 知识点一 平面向量的坐标表示 （1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底,对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ,y ）叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y ）叫做向量的坐标表示． (3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中,若A (x ,y ）,则错误!＝（x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2），则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1）． 思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1。 答案 a ＝（2，3）,b ＝（－2,3）,c ＝（－3,－2）， d ＝（3,－3）． 知识点二 平面向量的坐标运算 （1)若a ＝(x 1，y 1），b ＝(x 2，y 2）,则a ＋b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
（2)若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝(x1－x2,y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． (3）若a＝(x,y),λ∈R，则λa＝(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． （4)已知向量错误!的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2），则错误!＝(x2－x1，y2－y1)． 思考已知a＝错误!，b＝错误!,c＝错误!,如下图所示，写出a，b，c的坐标,并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标． 答案 易知:a＝（4，1)，b＝(－5，3），c＝（1，1）， 错误!＝a＋b＝（－1,4),错误!＝a－b＝（9,－2），错误!＝a－3c＝（1，－2）． 题型一平面向量的坐标表示 例1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点,AB边在x轴上，C在第一象限，D 为AC的中点,分别求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标．