§1.1.1任意角
1. 理解任意角、象限角的概念，会用集合语言表示终边相同的角；
2. 通过学习，培养学生的类比思维能力、形象思维能力；
3. 通过对任意角的概念的学习，体验角的概念扩展的必要性，促进学生对数学知识形成过程的认识.用数
.
重点：任意角的概念，用集合表示终边相同的角. 难点：角的概念的推广，终边相同的角之间的关系.
通过回忆已有知识和观察日常生活中的实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.
回忆初中所学的角的定义,任意角概念的学习为以后三角函数的建立做好了准备.
探究1：任意角的概念 1．初中时，我们已学习了0
360︒
︒~角的概念，它是如何定义的呢？
(1)角可以看成是由平面内的一点出发的两条 所组成的图形.
(2)角可以看成平面内的一条 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的 ，OB 叫做角的 ，射线的端点O 叫做叫做角的 . 以上两种定义方式哪一种更科学、合理?为什么?
2.在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒
”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒
的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒
的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫做 __,按顺时针方向旋转所形成的角叫做 __.如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个 __.这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括 __、 __和 __. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. 探究2：象限角
在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.
角的顶点与 ___重合，角的始边与_____轴的非负半轴重合.那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是________________.如教材图1.1-4中的30︒
角、210︒
-角分别是第______象限角和第______象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为__________.
探究3：终边相同的角
将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标
系中任意一条射线OB (如图 1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?
一般地,我们有:所有与角α
终边相同的角,连同角
α
在内,可构成一个集合
______________________________,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
探究4：自主完成课本P5练习.
例1. 在0360︒
︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，
并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0
360β︒
︒≤<）
分析：所有与角α终边相同的角构成的集合{|360,}S k k Z ββα︒==+⋅∈，这里关键是确定k 的
取值. 解答：
例2.写出终边在y 轴上的角的集合.
分析：在0360︒
︒~范围内，终边在y 轴上的角有两个，与这两个角终边相同的角的集合还是可以合并的.
解答：
拓展：你能写出终边在x 轴上，终边坐标轴上的角的集合吗？第一、二、三、四象限角的集合呢？ 例 3.写出终边在直线y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β
写出
来.
分析：关键是先写出集合S ，注意类比例2去做. 解答：
拓展：你能写出终边在在直线y=-x 上的角的集合吗？
例4.若角α是第一象限角，判断2α，2α，
3α各是第几象限角.
分析：由α的取值范围，来确定2α，
2
α
，3
α的取值范围，从而确定它们各是第几象限角.
解答：
1. 下列说法正确的有几个（
）.
（1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于 90°的角是锐角；（4）0°～90°的角是锐角. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D . 4 个
2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边在 x 轴的非负半轴上，则角0
885是第（ ）象限角.
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
3．若
{}{}{}.,90;,180;,360000Z k k a C Z k k a a B Z k k a a A ∈⋅=∈⋅==∈⋅==则下列关
系正确的是（ ）．
Ａ．
C B A ==
Ｂ．
C B A =
Ｃ．
C B A =
Ｄ．
C B A ⊂⊂
４．若α是第四象限角，则α-0
180是（
）．
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角 ５． 若 α 与 β 的终边互为反向延长线，则有（ ）. Ａ．0180+=βα
Ｂ．0180-=βα
Ｃ．βα
-= Ｄ．()Z
k k ∈⋅++=,180120βα
６．钟表经过 4 小时，时针与分针各转了_______，________. (填度数)
７．与
1840°终边相同的最小正角为_______，与－1840°终边相同的最小正角是 _ .
８．将下列各角表示为()0
003600,360〈≤∈⋅+αα
Z k k 的形式，并判断角在第几象限．
（１）42560
'； （２）42560
'-．
９．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式00
720720〈≤-β的元素β
写出来．
（１）0
210-； （２）1513420
'．
10.现在是8点5分,经过2小时15分钟后,钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少?此时它们所成的角为
多少?
本节课我们主要学习了：1.任意角包括正角、负角、零角；2. 象限角与轴线角；
3.终边相同的角.
1. 习题1.1 A 组第1,2,3,４题．
2. 结合导学案预习§1.1.2 弧度制．
§1.1.2弧度制
1．（1）理解弧度制的定义，熟练地进行角度制与弧度制的换算； （2）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；
（3）理解在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.
2.通过弧度制的学习,理解并认识到角度制和弧度制都是对角度量的方法, 二者是辨证统一的，不是孤立、
割裂的关系．经历用类比方法学习新知识的过程，认识类比方法的重要性． ３．通过对现实生活中一些量的不同单位制的度量，引发学生学习弧度制的兴趣．
重点：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点：理解弧度制定义，弧度制的运用
.
在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化
.
角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等
.
探究1：
(1)弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？请看课本
67P P ~，自行解决上述问题.
把长度等于_______的_____所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号_____表示. 读作弧度．今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或单位符号“rad ”可以省略不写， 如：3表示3rad ， sin π表示πrad 角的正弦．
(2) 如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆
交于点B .请完成表格.
角有______、______、______之分，它的弧度数也应该有正、负、零之分.一般地, 正角的弧度数是一个_______，负角的弧度数是一个_______，零角的弧度数是_______.
(3) 如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?
角α的弧度数的绝对值是：___________，其中，α的正负由角α的终边的旋转方向来决定. 探究2：弧度与角度的换算
360︒=_____ rad, 180︒=_____ rad, 1︒=rad rad
01745.0_____≈,
'1857__________1 =≈=rad
特殊角的角度数与弧度数的对应值表：
y x
A
αO
B
探究3：弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式
(1)l
R α=; (2)212S R α=; (3)1
2
S lR =.
其中R 是半径,l 是弧长,(02)αα
π<<为圆心角,S 是扇形的面积.你会推导吗？
探究4：角的集合与实数集R 的对应关系
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了_________关系：即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应．
探究５：自主完成课本P ９练习.
例1.按照下列要求,把'67
30︒
化成弧度:
（１）精确值；（２）精确到0.001的近似值. 分析：这里主要应用1︒=rad 180
π
，另外注意计算器计算非特殊角的方法.
解答：
例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001). 分析: 这里主要应用180rad π︒
=,同时注意计算器计算非特殊角的方法.
解答：
例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式: (1)l
R α=; (2)212S R α=; (3)1
2
S lR =.
其中R 是半径,l 是弧长,(02)αα
π<<为圆心角,S 是扇形的面积.
分析: 利用角度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 解答：
例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒
的大小. 分析:利用计算器计算非特殊角三角函数值. 解答：
1.下列各对角中终边相同的角是（ ）.
A ．
2
π
和)(22Z k k ∈+-ππ B.2π-和322 C.97π-和
9
11π
D.
3
20π和
9
122π
2. 时钟经过一小时，时针转过了（ ）. A.
rad 6
π
B.rad 6
π
-
C.
rad 12
π
D.rad 12
π
-
3. 两个圆心角相同的扇形的面积之比为 1∶2，则两个扇形周长的比为（ ）. A.2:1 B.4:1 C.2:1 D 8:1
4. 下列命题中正确的命题是（
）.
A. 若两扇形面积的比是 1∶4，则两扇形弧长的比是 1∶2.
B. 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值.
C. 若扇形的面积一定，则弧长存在最小值.
D. 任意角的集合可以与实数集 R 之间建立一种一一对应关系.
5. 一个半径为 R 的扇形，它的周长是 4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）. A.
()21cos 1sin 221
R ⋅- B.21cos 1sin 21R ⋅ C.22
1R D.()21cos 1sin 1R ⋅- 6. 若α ＝－216°， l = 7π ，则 r ＝ _______(其中扇形的圆心角为α ，弧长为l ，半径为 r ). 7. 圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 _____.
8. （1）把112 30 ' 化成弧度制； （2）把12
5π
-化成角度制.
9. (1);2cos 4tan
6
cos
6
tan
3
tan
3
sin ππ
π
π
π
π
-+ (2).0tan 4
cos 3sin c b a ++π
π
10. 已知扇形 A OB 的面积是 1 cm 2
，它的周长是 4 cm ，则弦 A B 的长等于多少 c m ？
本节课我们主要学习了：1. 弧度制的定义；2. 弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；
3. 角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.
1. 习题1.1 A 组第７,８,９,10题．
2. 结合导学案预习§1.2.1 任意角的三角函数(一)．
§1.2.1任意角的三角函数（一）
1．（1）借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；. 2. 能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．
3．让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，培养合情猜测能力．
重点：任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 难点：用角终边上的点刻画三角函数.
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数，正切函数，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.
借助直角三角形，回忆锐角三角函数的定义
.
探究1：锐角三角函数
思考：你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,
它与原点的距离0r
=>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M
,则线段OM 的
长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP b OP r α=
=;cos OM a OP r α==; tan MP b
OM a
α==. 思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α终边上的位置的改变而改变呢？ 我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标
表示锐角三角函数：
sin MP b OP α=
=; cos OM a OP α==; tan MP b
OM a
α==. 探究2：任意角的三角函数
锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？
定义方法1: 利用单位圆定义任意角的三角函数
如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那
么:
(1)
y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=；
（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；
（3）
y
x
叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠.
定义方法2:思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.
我们只需计算点
到原点的距离r
=,那么
sin α=
r y , cos α=
r x , tan y x
α=. 所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 探究3：三角函数的定义域，三角函数值在各象限的符号
请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：
三种函数的值在各个象限的符号记忆口诀：“一全二正弦，三切四余弦”。 探究4：自主完成课本P15练习.
例1.
求
53
π
的正弦、余弦和正切值.
分析：利用任意角的三角函数定义. 解答：
例2．已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值. 分析：利用任意角的三角函数定义. 解答：
例3．求证：当且仅当不等式组sin 0
{
tan 0
θθ<>成立时，角θ为第三象限角.反之也对.
分析：利用三角函数值在各象限的符号去证明. 解答：
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos 250︒
; (2)sin()4
π
-
; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π
分析：利用三角函数值在各象限的符号去完成. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 解答：
例5.求函数
x
x
x x x x y tan tan cos cos sin sin +
+=
的值域.
分析:对x 分象限进行讨论.
1. 设角α 是第一象限角,且2sin
2
sin
α
α
-=，则2
α
是（ ）
A. 第一象限角
B. 第二象限角 C . 第三象限角 D. 第四象限角 2. 若三角形的两内角βα,满足βαcos sin <0, 则此三角形必为（ ）.
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 以上三种情况都可能
3.若α是第二象限角,点P(x,5) 为其终边上一点，cos x 4
2
=
α,sin α=( ). A.
4
10 B.
4
6 C .
4
2 D.4
10-
4.若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是（ ）.
A.0cos sin <+αα
B.0sin tan <-αα
C.0tan cos <-αα
D.0tan sin <αα
5.设f(n)=),4
2tan(
π
π+n 则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2005)的值为（ ）. A.0 B.-1 C.1 D.2
6. 已知角α的终边经过点(2a -3,4-a ),且
,0sin ,0cos >≤αα则α
的取值范围________________. 7.使θθθ
cos )cos lg(sin -+⋅有意义的角θ在第_______象限.
8.确定下列各式的符号.
（1）sin100°∙cos240° ； （2）sin5+tan5.
9.已知角θ的终边上一点P 的坐标是(x,-2),且,3
cos x
=
θ求θsin 和θtan 的值.
10.已知θ
2sin 21⎪
⎭
⎫ ⎝⎛<1, 则θ为第几象限角?
本节课我们主要学习了：1. 任意角的三角函数的定义；
2. 三角函数的定义域、函数值的符号；
3. 诱导公式一.
1. 习题1.2 A 组．
2. 结合导学案预习§1.2.1 任意角的三角函数(二)．
§1.2.1任意角的三角函数（二）
1．（1）从任意角的三角函数的定义理解诱导公式一；
（2）理解单位圆中的三角函数线,会画某角的正弦线、余弦线、正切线. 2. 能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．
3．让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，培养合情猜测能力,体会数形结合的思想
在数学中的应用.
重点：诱导公式一. 难点：三角函数线.
角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数－－三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？这就是本节课我们要学习
的内容．
回忆任意角的三角函数的定义，三角函数的定义域、函数值的符号．
探究1：诱导公式一
思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然:___________的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
sin(2)sin k απα+=,cos(2)cos k απα+=,tan(2)tan k απα+= (其中k Z ∈)
公式一的作用：利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒
到360︒
)角的三角
函数值.
探究2：三角函数线
当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM
x ⊥轴交x 轴于点M ，则请你观察:
根据三角函数的定义：
|||||sin |
MP y α==；
|||||cos |OM x α==
随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、
OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？
（2）你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示
角α的正切值吗？
我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、
M 为终点，规定：
当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为_______，且有正值____；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为______，且有负值____；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==
同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：
当线段MP 与
y 轴同向时，MP 的方向为_______，
且有正值____；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为______，且有负值____；其中
y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==
像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做____________. 思考：如何用有向线段来表示角α的正切呢? 如上图,过点
(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T
,请根据正
切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有
tan y
AT x
α==
我们把这三条与单位圆有关的有向线段_____,_____,______,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为_____________.
探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？
（2）当α的终边与x 轴或
y 轴重合时，又是怎样的情形呢？
探究3：自主完成课本P17练习.
例1.求下列三角函数值: (1)'
sin148010︒
; (2)9cos 4
π
; (3)11tan()6
π
-
分析：利用公式一去完成. 解答：
例2.求值： s in ( -1320 ) c os1110 + cos ( -1020 ) s in 750 + tan 495 . 分析：公式一的综合应用. 解答:
例3.利用单位圆中的三角函数线,完成下列各题: (1) 求证:
1cos sin ≥+αα；
(2) 当∈α(0,2
π
)时,求证:αααtan sin <<.
（3）求使2
1
sin -
≤α成立的角α的取值范围.
1.无论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法中正确的是:( ) A.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线
B.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线,但有可能不只一条
C.正弦线、余弦线、正切线都可能不存在
D.正弦线、余弦线总存在,但正切线不一定存在
2.角α的正弦线与余弦线长度相等,且符号相同,那么α(0<α<2π)的值为( ) A.
4π B.π4
5 C.
4π或π4
5
D.以上答案都不对
3.(1)⎪⎭
⎫
⎝⎛-+ππ415tan 325cos
=_________； (2)0
420
sin 0750cos +)660cos()690sin(00--=___________.
4.在（0，π2）内，使ααcos sin >成立的α的取值范围是（ ）
A.)2,4(
π
π⎪⎭
⎫
⎝⎛⋃ππ45, B.(4π,π) C.(4π,π45) D. (
4
π
,π))23,45(ππ⋃
5.sin1,sin1.2,sin1.5三者的大小关系是:
A.sin1>sin1.2>sin1.5
B.sin1>sin1.5>sin1.2
C.sin1.5>sin1.2>sin1
D.sin1.2>sin1>sin1.5
6. sin 390
= _______；cos ( -315 ) = ______；tan
________3
8=π.
7.求值:()()
0000
405tan 750sin 660cos 1470
cos 1740sin ⋅-+⋅-.
8.求值:⎪⎭
⎫
⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+47cot 311tan 425sin 222
πππ.
9.设α，β是关于x 的二次方程()0cos 1cos 222
=++-θθx x 的两个实根，且22≤-βα，
求θ的取值范围.
本节课我们主要学习了：1. 诱导公式一； 2. 三角函数线.
1. 习题1.2 A 组．
2. 结合导学案预习§1.2.2 同角三角函数的基本关系．
§1.2.2同角三角函数的基本关系
1．（1）会推导并掌握同角三角函数的基本关系式；
（2）熟练应用基本关系式进行三角函数的求值、化简与证明.
2.掌握同角三角函数基本关系式，能灵活应用于解题，提高分析、解决三角问题的思维能力． 3．训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归的思想方法.
重点：同角三角函数的基本关系式的推导及应用. 难点：同角三角函数的基本关系式的几何推导；三角函数值符号的确定.
利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:
1cos sin 22=+αα及
αα
α
tan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式等．
回忆三角函数值的符号，三角函数线的定义．
探究1: 同角三角函数的基本关系
与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
问题：三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由2
21MP
OM +=,因此221x y +=,即___________________.根据三角函
数的定义,当()2a k k Z π
π≠+∈时,有=α
α
cos sin _______.
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于____，商等于角α的_______. 探究2：自主完成课本P20练习
.
例1.已知3
sin 5
α
=-
,求cos ,tan αα的值. 分析：这道题属于利用基本关系式，sin ,cos ,tan ααα三者知一求二的问题.要注意三角函数值的符号问题，该分类讨论要分类讨论. 解答:
例2.已知,2tan =α求下列各式的值:
(1)
ααcos sin 1 (2)
α
αsin 11
sin 11++
-
分析：将所求三角函数式通过恒等变形,用已知三角函数表示出来,是一种整体思想. (1)式可以利用“1”的代换式“1=αα22
cos sin
+ ”；（2）式可以先进行通分变形．但若由,
2tan =α分别求出αsin 和αcos 的值，则需讨论，这无疑会增加计算量． 解答：
例３.化简（1）)cos 1(sin cos
224
ααα+⋅+；
（２）
α
αα
αααcos sin 1cos sin 2cos sin 1+++++；
（３）
θθ
θθsin 1sin 1sin 1sin 1+-+
-+； （４）
α
α
ααααααsin 1sin )cos 11(sin tan sin tan tan +⋅
+⋅++.
分析:利用同角三角函数的基本关系式,通过合并、约分、抵消、代换等方式，一步步化简，并化为最简形
式. 解答:
例4. 求证:
cos 1sin 1sin cos x x
x x
+=
-. 分析:证明三角恒等式的基本思路很多,有①从左证到右；②从右证到左；③证明左右归一,选择哪一种的原则是化繁为简.另要证D
C
B A =,可证B
C A
D =.
例5.求证:
α
αααααααcos sin 1)
sin (cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=
+-+. 分析:可以考虑从左边入手,先通分,再利用基本关系式进行化简.思考有没有其他证明方法.
1.已知5
3
cos -=α
，α为第二象限角，那么αtan 的值等于( ). A.34 B. 34- C.43 D.4
3- 2.已知2
3
1cos sin -=
+αα
，且0<α<π,则αtan 的值为( ).
A.-
3
3 B.3- C.
3
3 D.
3
3.已知2tan =α,求
α
αααcos 3sin 2cos sin -+的值为( ).
A.2
B.3
C.1
D.-3 4.已知θ是三角形的内角,5
1
cos sin =
+θθ
,则θθcos sin -的值为( ). A.51- B.5
7
- C.57 D.51
5.已知3tan =α,求ααcos ,sin 的值.
6.求证:(1)1sin 2cos sin 244
-=-ααα ；
（2）αααα2
222sin tan sin tan =-.
7.已知关于x 的方程(
)
01322
=++-
m x x
的两根为θsin 和θcos ,()πθ2,0∈,求:
(1)
θθ
θ
θtan 1cos tan 11sin -+-
的值； （2）m 的值； （3）方程的两根及此时θ的值.
本节课我们主要学习了：1. 同角三角函数的基本关系式；2. 三角函数的求值、化简与证明.
1. 习题1.2 A 组．
2. 结合导学案预习§1.3三角函数的诱导公式(一)．
§1.3三角函数的诱导公式（一）
1．（1）理解并掌握诱导公式二、三、四；
（2）初步应用诱导公式二、三、四进行三角函数的求值、化简与证明. 2.通过诱导公式二、三、四的推导，培养观察、分析、归纳的能力； 3．通过本节课学习，培养探索、创新的科学精神.
重点：诱导公式二、三、四的推导及应用.
难点：如何从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中推导诱导公式二、三、四
.
由前面所学的诱导公式一，即终边相同的角的同一三角函数的值相等，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0︒
到360︒
)角的三角函数值，这节课我们来研究把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值的问题
.
回忆任意角三角函数的定义,对称问题,诱导公式一．
三角函数章节复习与小结 总第 16课时 学习目标：1、对本章知识系统化，网络化。 2、通过本章学习，感受三角函数与实际生活的紧密联系，感受数学的价值. 学习重点：三角函数的图象与性质. 学习难点：三角函数知识的综合运用. 学习过程： 一、问题背景 1、三角函数章节有关知识点： ⑴三角函数的定义，符号，任意角三角函数 ⑵三角函数线，弧长公式，弧度与角度的互化 ⑶同角三角函数关系式 ⑷诱导公式 ⑸三角函数的性质，定义域，值域，周期性，奇偶性，最值，对称轴，对称中心 （6） 本章内容结构图： 二、探究研究 1 .一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积是： A ． ))1sin(cos 2(21 2R - B ． )1sin(cos 2 12 R Ｃ． 22 1R Ｄ．2 21cos 1sin R R - 解析：D 。 ２.设θ是第二象限角，则必有： Ａ.2 cot 2tan θθ>；Ｂ. 2 cot 2 tan θθ<；Ｃ. 2 cos 2 sin θθ>；Ｄ. 2 cos 2 sin θθ< 解析：A 。 3. 已知Ｐ（-4k,3k ）(0≠k )是角α终边上一点，则ααcos sin 2+ 的值等于： 同角三角函数 基本关系式 诱导公式 任意角的三角函数 任意角的概念 )sin(?ω+=x A y 图象和性质 正弦、余弦、 正切函数的图象和性质 已知三角函 数值求角 三角函数式的计算与化 简，证明三角恒等式 角度制 弧度制 弧长及面积公式 应用应用应用
Ａ.52± Ｂ. 52 Ｃ. 52- Ｄ.5 1± 解析：A 。 ４.将函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移 6 π 个单位，再使图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的２倍，得到x y cos =的图象，则)(x f 可能是： Ａ.)6 2cos()(π + =x x f Ｂ. )6 2cos()(π - =x x f Ｃ. )3 2cos()(π +=x x f Ｄ. )3 2cos()(π - =x x f 解析：D 。 5 .在ABC ?中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则ABC ?形状是 A 、等腰? B 、?Rt C 、等腰?Rt D 、等腰或?Rt 解析：D 。 6 .比较大小：.4 7 cos ,101sin ,23cos -____________________. 解析：4 7cos 101sin 2 3cos -<<。 7 .已知 ,21cos sin 1-=+x x 则=-x x sin 1cos ____________. 解析：2 1-。 8 .已知 )(x f 为奇函数，且)()4(x f x f =+，则____________)2006(=f . 解析：0。 三、教学精讲 例1 已知,5 7 cos sin =+αα且1tan >α，求αcos 的值。 解析：5 3 cos = α。 例2 设ααcos ,sin 是方程012442=-+-m mx x 的两根，παπ 22 3<<，求m 和α 解析：231-= m πα3 5 = 例3 设 ) cos()(cos 223 )2sin()2(sin cos 2)(2 23θθπθπ θπθθ-+++-++-+= f ，求 )3 (π f 的值。 解析：2 1 )3 f( 1cos )(-=-=πθθf 例4 已知 )4 2sin(log )(5.0π- =x x f ，（1）求定义域，值域，单调增区间 （2）判断周期性和奇偶性
人教版高中数学必修精品教学资料 [学业水平训练] 1．下列说法中正确的是( ) A ．120°角与420°角的终边相同 B ．若α是锐角,则2α是第二象限的角 C ．－240°角与480°角都是第三象限的角 D ．60°角与－420°角有的终边关于x 轴对称 解析：选D.对于A,420°＝360°＋60°,所以60°角与420°角终边相同,所以A 不正确； 对于B,α＝30°角是锐角,而2α＝60°角也是锐角,所以B 不正确； 对于C,480°＝360°＋120°,所以480°角是第二象限角,所以C 不正确； 对于D,－420°＝－360°－60°,又60°角与－60°角终边关于x 轴对称,所以D 正确． 2．若角α满足α＝45°＋k ·180°,k ∈Z ,则角α的终边落在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限 解析：选A.当k 为奇数时,角α与225°角终边相同,在第三象限；当k 为偶数时,角α与45°角终边相同,在第一象限． 3．下列叙述正确的是( ) A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角 B ．始边相同而终边不同的角一定不相等 C ．第四象限角一定是负角 D ．钝角比第三象限角小 解析：选B.－330°角是第一象限角,但不能作为三角形的内角,故A 错；280°角是第四象限角,它是正角,故C 错；－100°角是第三象限角,它比钝角小,故D 错． 4．已知α是第三象限角,则－α是第________象限角．( ) A ．四 B ．三 C ．二 D ．一 解析：选C.∵α为第三象限角, ∴k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°,k ∈Z . 则－k ·360°－270°＜－α＜－k ·360°－180°,k ∈Z . ∴－α是第二象限角． 5．若角α与β的终边相同,则角α－β的终边( ) A ．在x 轴的非负半轴上 B ．在x 轴的非正半轴上 C ．在y 轴的非正半轴上 D ．在y 轴的非负半轴上 解析：选A.由已知可得α＝β＋k ·360°(k ∈Z ), ∴α－β＝k ·360°(k ∈Z ), ∴α－β的终边在x 轴的非负半轴上． 6．在－360°～720°之间,与－367°角终边相同的角是________． 解析：与－367°角终边相同的角可表示为α＝k ·360°－367°,k ∈Z .当k ＝1,2,3时,α＝－7°,353°,713°,这三个角都是符合条件的角． 答案：－7°,353°,713° 7．若时针走过2小时40分,则分针走过的角是________． 解析：2小时40分＝83小时,－360°×83 ＝－960°,故分针走过的角为－960°. 答案：－960°
高一数学复习教案通用5篇 高一数学复习教案通用5篇 高一数学教案怎么写。如果教师有一份明确的说课稿，将会大大提升教学效率，提升课堂活跃性，提升学生学习兴趣。下面小编给大家带来关于高一数学复习教案，希望会对大家的工作与学习有所帮助。高一数学复习教案（篇1） 高一第一学期是初中向高中的重要转折点，学生能否在短期内快速适应高中英语学习是摆在我们面前的重要任务，特制定高一英语教学计划如下： 一、指导思想 以学校工作计划为指导思想，全面贯彻落实新课程改革和素质教育的精神，落实学科教学常规，营造良好的教研氛围，不断改革课堂教学，探究科学有效的教学形式。针对高一新生普遍英语底子差，基础薄的实际，打算在高一起始阶段的英语教学中，本着低起点，爬坡走，抓习惯的原则，长期不懈地抓好学生的学习英语的的兴趣和习惯养成。 在本学期的英语教学中，要坚持以下理念的应用： 1、坚定不移地突出学生主体，让学生成为学习的主人。 2、面向全体学生，关注每个学生的情感，激发他们学习英语的兴趣，帮助他们建立学习的成就感和自信心。 3、尊重个体差异，让学生在老师的指导下构建知识，提高技能，磨练意志，活跃思维，展现个性，发展心智和拓展视野； 4、让学生在使用英语中学习英语，让他们在使用和学习英语的过程中，体味到轻松和成功的快乐。 二、工作重点 全面做好初高中衔接工作 初中和高中在教学对象、教学内容、教学要求、教学方式和学习方式方面均存在着一定的差异，因此，帮助高一新生了解这些差异，引导他们尽快适应高中的学习与生活，是摆在新学期高一教师面前的
迫在眉睫的任务。具体来说我们要做好以下工作： 知识衔接（词汇补充、语法回顾）。在开新课之前，拿出一周左右的时间搞好高初中之间的词汇衔接和语法衔接，为开新课做好准备。 1、培养习惯，打好基础。培养基础与指导学法是一致的，培养习惯的过程也是打下扎实基础的过程。高一起始教学阶段，除重视基础知识的落实巩固，基本技能的培养训练外，最主要的是培养良好的学习习惯和正确的学习方法。如：读背的习惯，听说的习惯等等。 2、减小坡度，平稳过渡。就教学内容和教学方法而言，初高中有很大差别。初中较简单浅显，高中较复杂深奥；初中教学注重的更多的是知识的传授，教学模式还主要是以“讲讲，读读，练练”的传统模式为主，而高中则要求在讲解基础知识的同时侧重于学生学习能力的培养，培养学生的自学能力。使学生经过三年的高中学习，基本技能得到发展，智力得到开发，形成有效的学习策略和方法，为他们的可持续发展奠定基础。因此，高一教学很重要的一点在于要使初高中的教学自然衔接和平稳过渡。教学中要适当降低起点，适当减小坡度，适当放慢速度，注意以旧带新，以新温旧。 3、激发兴趣，培养能力。充分利用高一学生刚入校的“新鲜劲”和外语教材自身的特点，采用灵活多样的教学方法，激发学生的兴趣，刺激学生的求知欲；在教学中坚持用英语授课，多给学生语言实践的机会，使学生产生使用英语交流的“自豪感”；重视情感因素，进行情感教学，不放弃一名学生，重视中差生的辅导关怀，及时捕捉学生的“闪光点”，鼓励学生，使其内化为学生学习的动力，防止出现严重的“两极分化”。 三、具体措施 1、切实落实好集体备课活动。把集体备课落实到实处。大体统一教学思路，教学重点，讲解模式。 2、从学生的具体实情出发，落实好分层教学的具体措施。快班要抓好基础知识落实的程度，要有培补（拓展延伸）的措施（内容，方法），平行班要抓好尖子生的能力提高基础知识的落实到位，后进生的兴趣培养和基础补差。比如：对好的学生多进行阅读训练，多进行
1。1 任意角和弧度制 第1课时任意角 [核心必知］ 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P2～P5的内容，回答下列问题． (1)阅读教材P2“思考”的内容，你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了 1.25个小时,你应当如何将它校准?在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？ 提示：当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了 1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反．（2）体操中有“转体720°”（即“转体2周”），“转体 1 080°"(即“转体3周”）这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同;又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转,而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA 绕O旋转所成的角与O′B绕O′旋转所成的角就会有不同的方向． 利用我们以前学过的0°～360°范围的角，还能描述以上现象吗？ 提示：要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向．故利用0°~360°范围的角，无法描述以上现象． （3）阅读教材P3“探究"的内容，请思考:对于直角坐标系内任一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系? 提示：不唯一．它们之间相差360°的整数倍，即相差k·360°(k∈Z）． 2．归纳总结，核心必记
(1）角的有关概念 有关概 念 描述 定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 图示其中O为顶点，OA为始边，OB为 终边 记法角α或∠α，或简记为α （2 ① ②按角的终边位置 (ⅰ)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角； (ⅱ）角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限． （3）终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [问题思考] （1)你能说出角的三要素吗？ 提示：角的三要素是顶点、终边、始边． (2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？ 提示：不一定，零角的终边与始边重合,但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等． （3)一条射线绕端点旋转,旋转的圈数越多，则这个角越大,这样说对吗? 提示：不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角,
1.2.1任意角的三角函数（1） 教学目的： 知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义； （2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； （3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与 比值（函数值）的一种联系方式； （2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。 教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他 们的集合形式表示出来. 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依 次为,,a b a sinA cosA tanA c c b = == ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。 二、讲解新课： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为(0)r r == >，那么 （1）比值 y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； （5）比值r x 叫做α的正割，记作sec α，即sec r x α=； （6）比值r y 叫做α的余割，记作csc α，即csc r y α=．
1.4三角函数的图象与性质 1.4.2正弦函数、余弦函数的图像与性质(一)（赵中玲） 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课的学习，能够很好的掌握正弦函数、余弦函数的周期性和单调性，在直观想象、数学抽象、逻辑推理过程中用这些性质能够对相关函数作出准确的分析进而解答相关问题. （二）学习目标 1.通过研究sin y x =（cos y x =）“周而复始”的特征，得出周期性的准确定义. 2.理解周期性的定义，并能够运用该定义求周期函数的周期. 3.能结合图象得出sin y x =（cos y x =）的单调性和单调区间，以及会运用单调性求最值和比较大小. 4.在渗透数形结合的数学思想过程中，同时培养学生类比和转化的思维习惯. （三）学习重点 正弦函数、余弦函数的周期性，周期性的定义及其运用. （四）学习难点 正弦函数、余弦函数的周期性. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材34——36页，填空： 正弦函数sin y x =的周期为)(2Z k k ∈π，最小正周期为 2л . 余弦函数cos y x =的周期为)(2Z k k ∈π，最小正周期为 π2 . 周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数就叫周期函数，周期为非零常数T 2.预习自测 （1）sin y x =（cos y x =）的最小正周期为 【答案】2π
（2）sin （)3 y x π =-的最小正周期为 【答案】2π （3）cos 2y x =的最小正周期为 【答案】π (二)课堂设计 1.知识回顾 回顾sin y x =（cos y x =）的图象. 2.问题探究 探究一 正弦函数、余弦函数的周期性，周期性定义★ ●活动①根据sin y x =的图象得出周期性的概念 由正弦函数的图象我们发现：它具有“周而复始”的变化规律.其实在由正切线向正弦函数转变的探究过程中也有感受到，而从式子上面也有准确的体现——正弦的诱导公式： sin （2)sin ()x k x k Z π+=∈，即当自变量x 增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学 上我们称这种规律为周期性，下面得出周期性的准确定义： 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 ()()f x T f x +=，则称函数()f x 为周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，如果在所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做()f x 的最小正周期. 【设计意图】通过数形结合得出周期性的准确定义，从而使三角函数的这种特征由感官的转变为数式的准确描述. ●活动② 利用周期性的定义判断cos y x =是否为周期函数，并确定其周期和最小正周期. 引导学生先根据cos y x =的图象直观的得出其周期性和周期以及最小正周期，再引导学生类比sin y x =发现cos （2)cos ()x k x k Z π+=∈，由k 取不同的整数得cos y x =的周期可以为2π、4π、6π……及2π-、4π-、6π-……，其中最小的一个正数为2π，因此最小正周期为2π. 如果有时间教师可以对最小正周期为2π进行严格证明，证明如下：
1.3三角函数的诱导公式 （第1课时） 一、教材分析 （一）教材的地位与作用： 1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。 2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。诱导公式是求三角函数值的基本方法。诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
五、教学过程 【环节一：明确目标，揭示意义】 （一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题 教师活动：用屏幕显示【1.3三角函数的诱导公式】 教师活动：重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。 1、提问：试叙述三角函数定义 2、提问：试写出诱导公式（一） 3、提问：试说出诱导公式的结构特征 4、板书诱导公式（一）及结构特征： 教师活动：质疑，导出课题 能不能把他们都转化为锐角进行求解 教师活动：板书标题 1.3三角函数的诱导公式 【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想 教师活动：请同学们思考这个问题。用屏幕显示 学生活动：回答，思考解法。 教师活动：第三组我们不会求怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化。 学生活动：思考作答。
教师活动：用屏幕显示【探究απ+的诱导公式】 教师活动：用屏幕显示的终边位置关系如何？ 的终边与角）角（ααπ+1 学生活动：观察图像，思考作答。 教师活动：系？的三角函数值有什么关的三角函数值与角角ααπ+)2( 学生活动：观察图像，思考作答 教师活动：教师做好引导 【环节三：形成概念，升华认知】 教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。 板书 诱导公式二 诱导公式二： 用弧度制可表示如下： 师生活动：公式（二）的结构特征和作用： 教师活动：类比公式二，我们来探究公式三 用屏幕显示 的终边有什么关系？ 的终边与角）（给定一个角ααα -1 系？的三角函数值有什么关三角函数值与角）（αα-2 学生活动：小组合作探究 学生活动：分组汇报探究方法和结论 教师活动：这是我们本节课的第三个知识点。板书（公式（三））。 板书 诱导公式三 诱导公式二： 用弧度制可表示如下： 师生活动：（公式三）的结构特征和作用： 教师活动：用屏幕显示 学生活动：独立探究 学生活动：汇报探究方法和结论 教师活动：点评、板书公式四 教师活动：用屏幕显示 系？的三角函数值有什么关的三角函数值与角角）（ααπ-2终边的关系 的终边的与角）角（ααπ-1
(第一课时)余弦函数的图象及性质 一、教学目标 1.知识目标 〔1〕学会利用平移变换的方法和五点作图法作出余弦函数的图象； 〔2〕根据余弦函数图象的特征，结合正弦函数的性质学习余弦函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。 2、能力目标 〔1〕让学生进一步学会作图； 〔2〕引导学生利用类比的思想分析同类函数的图象与性质； 〔3〕培养学生独立研究问题，提炼性质的能力。 3、情感目标 〔1〕渗透数形结合的数学思想； 〔2〕培养学生静与动的辨证思想； 〔3〕培养学生欣赏数学美的素质。 二、教学重、难点 重点：本节内容旨在利用正弦函数的特征来学习余弦函数的图象、性质，引导学生学会应用旧知解决新问题。 难点：从正弦函数到余弦函数的变换；学生自主探究余弦函数性质。 三、教学方法 结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识。适当借助多媒体等教学辅助手段。 四、教学过程
复习引入1、正弦函数的图象——解决的方法：用 单位圆中的正弦线〔几何画法〕。 2、“五点描图法〞作图。 3、 ) 2 sin( cos π + =x x 1、教师提问，学生 回答； 2、学生在草稿纸上 推理。 1、引导学生复 习巩固“五点 描图法〞作图； 2、回顾诱导公 式； 3、回顾平移。 概念形成1、利用五点描图法画出 ] 2,0[ ), 2 sin(π π ∈ + =x x y 的图 象。 2、图象向两边延伸 于是得到余弦函数的图象。余弦函 数 x y cos =的图象叫做余弦曲线。 通过观察图象，我们不难发现，起 着关键作用的点是五个点：(0，1)，(2 π ， 0)、(π，－1)，(2 3π ，0)，(2π，1). 3、类比正弦函数的性质及余弦函数的图 象，得余弦函数图象的性质： 1、学生自己动手描 点作图，请1到两个 学生到黑板上演 排； 2、引导学生观察图 形的特征，并提炼 出特征； 3、教师给出启发， 诱导学生类比正弦 函数的性质，得到 1、培养学生动 手作图的能力； 2、培养学生观 察能力和总结 问题的能力； 3、培养学生类 比得结论的能 力；
第一章 §1.4.2.1 正余弦函数的性质 【学习目标】1.了解周期函数及最小正周期的概念. 2.会求一些简单三角函数的周期. 【学习重点】理解周期函数的意义会求周期函数的周期 【基础知识】 函数 x x k y sin )2sin(=+=π，说明当自变量x 的值增加π2的整数倍时，函数的值重复出现，数学上用周期来刻画这一变化规律. 1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. 问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠） （3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+） 2．一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2|| T πω= 说明：①周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； ②“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） ③T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期） 从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π； 判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期） 3.求周期的方法：
第一章三角函数 本章复习 整体设计 知识网络 1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得来了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．2．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂． 《三角函数》一章知识网络图 三维目标 1．通过全章复习，让学生切实掌握三角函数的基本性质，会判定三角函数的奇偶性，确定单调区间及求周期的方法．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及六组诱导公式，弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．
1.1.2弧度制 学习目标核心素养1.体会引入弧度制的必要性，了解弧度制 下，角的集合与实数集之间的一一对应 关系． 2．能进行弧度与角度的换算、掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，提升学生数学抽象素养．2．在类比和数学运用过程中，培养学生数学建模和数学运算素养. 1．度量角的两种单位制 角度制 定义用度作为单位来度量角的单位制1度的 角 周角的 1 360为1度的角，记作1° 弧度制 定义以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度 的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角.1弧度记作1 rad 2．弧度数的计算 思考：比值l r 与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 3．角度制与弧度制的换算
4．一些特殊角与弧度数的对应关系 度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧 度 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π5.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则： (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝ 1 2lR＝ 1 2αR 2. 1．下列说法中错误的是() A．1弧度的角是周角的 1 360 B．弧度制是十进制，而角度制是六十进制 C．1弧度的角大于1度的角 D．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 A[A错误，1弧度的角是周角的 1 2π.B、C、D都正确．] 2．(1) 7π 5化为角度是________． (2)105°的弧度数是________． (1)252°(2) 7π 12[(1) 7π 5＝⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ 7π 5× 180 π°＝252°； (2)105°＝105× π 180rad＝ 7π 12rad.] 3．半径为2，圆心角为 π 6的扇形的面积是________． π 3[由已知得S扇＝ 1 2× π 6×2 2＝ π 3.]
2019-2020年人教版高中数学必修四第一章 1-4-2 正弦函数、余弦函数的性质（二） 《教 案》 教学目的： 知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性； 能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。 德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性； 教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 教学过程： 复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？ 二、讲解新课： 奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？ (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。 例如：f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3π )；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。 (2)正弦函数的图形 观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。 也就是说，如果点（x ,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。 2.单调性 从y ＝sinx ，x ∈［－23,2π π］的图象上可看出： 当x ∈［－2π，2π ］时，曲线逐渐上升，s inx 的值由－1增大到1. 当x ∈［2π，23π ］时，曲线逐渐下降，sinx 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π ＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大 到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π ＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－
1.4.3正切函数的性质与图象 一、教材分析 《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展、对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫． 一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教材采用了先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面． 二、教学目标 （一）知识与技能 1．理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域等性质； 2．能利用正切线画出正切函数的准确图象，利用“三点两线”画出正切函数的简图，掌握正切函数图象结构、特征； 3．能根据正切函数图象观察性质，根据性质理解图象，用数形结合的思想理解和解决一些简单的三角问题． （二）过程与方法 1．通过复习回顾正、余弦函数图象与性质的探究过程，引导学生将本节课要学习的内容与之建立起联系，培养学生的“类比”思维能力； 2．利用诱导公式、正切线等探究正切函数的性质； 3．经历由正切函数的性质推测图象，再由图象理解性质的过程，渗透了“由数到形和由形到数”的“数形结合”的思想，从而培养学生自觉运用“数形结合”的思想从不同角度解决问题的能力； 4．在正切函数的图象分析中，让学生体会、感知无限逼近(极限)的思想； 5．通过讲解例题，总结方法，巩固练习等，学会用数形结合的思想理解和处理问题． （三）情感态度与价值观 在得到正切函数图象的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图象让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣．通过数形结合，培养学生勇于探索、勤于思考的习惯，渗透由抽象到具体的思想方法，让学生理解动与静的唯物辨证观，进一步培养学生合作学习和数学交流的能力，增强对数学的应用意识，同时，正切曲线的中心对称性让学生感受到数学的美学魅力，增强学生的学习兴趣．
1.5.1 函数 )sin(ϕω+=x A y 的图象与性质（1） 【学习目标】 1. 了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义，会用五点法画出函数)sin(ϕω+=x A y 的简图. 2.会对函数x y sin =进行振幅变换，周期变换，相位变换，领会“由简单到复杂，从特殊到一般”的化归思想. （预习教材P 49~ P 53，完成下列问题） 【新知自学】 知识回顾： 1、函数y=sinx ，y=cosx 的图象、性质 2、“五点法”作图 新知梳理： 1、情景引入：物体作简谐运动时，位移s 与时间t 的关系为 )sin(ϕω+=x A s )0,0(>>ωA ，请你思考一下，能说出简谐运动的振幅，周期，频率， 相位，初相是什么吗？它的图象与x y sin =有何关系？ 2、新知探索 问题1，在同一坐标系中，画出x y sin =,)4sin(π+ =x y ,)4 sin(π -=x y 的简图，思考)4 sin(π ± =x y 与 x y sin =的图象有什么关系? )sin(ϕ+=x y 的图象可以看做将函数 结论：一般地,函数 x y sin =的图象上所有的点
(当0>ϕ)或 (当0<ϕ)平移ϕ个单位长度而得到的. 1 sin 3 y x =与x y sin =的图象有什么关 问题2，3sin y x =， 系? 数)1,0(sin ≠>=A A x A y 的图象可以 结论： 一般地,函 看做将函数x y sin =的图象上所有的点的纵坐标变为原来的 倍 (横坐标不变) 而得到的. 问题3. x y x y 2 1 sin ,2sin ==与x y sin =的图象有什么关系? 数)1,0(sin ≠>=ωωωx y 的图象可以结论：一般地,函看做将函数x y sin =的图象上所有的点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) 而得 到. 对点练习： 1、函数sinx y =的图象经过 、 、 即得到函数 )3 x 2sin(3y π + =的图象。 2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）x y sin 2 1 = ； （2）x y 3sin =；
平面向量习题课 一、课前自主导学 【学习目标】会利用向量基本定理解决简单问题；掌握线段中点的向量表达式． 【重点、难点】平面向量基本定理及其应用．平面向量基底的理解和定理的应用 【温故而知新】平面向量基本定理 如果e 1和e 2(如图2－3－7①)是同一平面内的的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，存在一对实数λ1，λ2，使 (如图2－3－7②)，其中的向量e 1和e 2叫作表示这个平面内 所有向量的一组． 答案：2.两个不共线唯一a ＝λe 1＋λ2e 2不共线基底 【预习自测】1．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB → .可作为该平面其他向量基底的是( B ) A ．①② B ．①③C ．①④ D ．③④ 2．如果e 1、e 2是平面内所有向量的一组基底，那么(A ) A ．若实数m 、n 使得m e 1＋n e 2＝0，则m ＝n ＝0 B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2为实数 C ．对于实数m 、n ，m e 1＋n e 2不一定在此平面上 D ．对于平面内的某一向量a ，存在两对以上的实数，m 、n ，使a ＝m e 1＋n e 2 【我的疑惑】 二、课堂互动探究 【例1】向量共线的性质定理的应用 已知△OAB ,若=x +y ,且点P 在直线AB 上,则x ,y 应满足什么 条件?
【解析】由=x +y ,且点P 在直线AB 上,知存在实数λ使得=λ=λ(-),而 =-,故 =(1-λ)+λ. 在△OAB 中,, 不共线,所以x=1-λ,y=λ,故有x+y=(1-λ)+λ=1. 变式：BO 是△ABC 中AC 边上的中线,=a ,=b ,试用a 、b 表示 . = -=b -a .∵BO 是△ABC 边AC 上的中线,∴= , 又 = + =2 ,∴ ==(b -a ).=+=a +(b -a )=a +b -a =(a +b ) 【例2】；设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝mPB →(m ≠－1)，O 是直线所在平面内一点，则OP → 用OA →，OB → 表示为 【解析】 由AP →＝mPB →得OP →－OA →＝m (OB →－OP → )， ∴OP →＋mOP →＝OA →＋mOB →，∴OP →＝OA →＋mOB → 1＋m . 变式：在ABC ∆中, 2,,,,AD DC BA a BD b BC c ====,则下列等式成立的是（ ） A ． 2c b a =- B ． 2c a b =- C ． 322a b c =- D ． 322 b a c =- 【例3】如图,在△ABC 中, =,P 是BN 上的一点,若 =m +,某某数m 的值. 由图可知=m +μ=m +,所以=,所以μ=. 又B ,P ,N 三点共线,所以m+μ=m+=1,即m= 【例4】如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．若用基底AB ，AC 表示AD ，则AD ＝ ________________.【答案】34AB ＋1 4AC 【解析】∵D 是BC 边的四等分点， ∴BD ＝14BC ＝1 4(AC －AB ) ∴AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋1 4(AC －AB ) ＝34AB ＋1 4AC .
人教版高中数学必修四第一章单元测试 (一)及参考答案 2018-201年必修四第一章训练卷 三角函数(一) 注意事项： 1.答题前请填写姓名和准考证号，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上。 2.选择题请用2B铅笔将答案标号涂黑，非选择题请用签字笔直接答在答题卡上。 3.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题 1.sin²120°等于( ) A。±33 B。2 C。±3/2 D。1/2
2.已知点P的坐标为(sin(3π/4)。cos(3π/4))，则点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A。π/4 B。3π/4 C。5π/4 D。7π/4 3.已知tanα=3/4，α∈(3π/2.2π)，则cosα的值是( ) A。±4/5 B。±3/5 C。±5/4 D。±5/3 4.已知sin(2π-α)=4/5，α∈(2π/3.π)，则sinα+cosα的值等于( ) A。1/7 B。-1/7 C。-7 D。7 5.已知函数f(x)=sin(2x+θ)的图象关于直线x=π/8对称，则θ可能取值是( ) A。π/2.3π/2
B。-π/4 C。4π D。4π/3 6.若点P(sinα-cosα。tanα)在第一象限，则在[0,2π)内α的 取值范围是( ) A。(π/2.π) B。(0.π/2) C。(π/3.π/2) D。(π/4.π/3) 7.已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是( ) A。一条直线 B。一段正弦曲线 C。一段余弦曲线 D。一段正切曲线 8.为了得到函数y=sin(2x+π/3)的图象向左平移π/12个单位，应该将x改为( ) A。2x+π/12 B。2x-π/12 C。2(x+π/12) D。2(x-π/12)