《弧度制》教学设计
一、教学目标：
（一）核心素养
通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系.
（二）教学目标
1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；
2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义；
3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化；
4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题
（三）学习重点
1．理解弧度“是什么”；
2．熟练弧度和角度之间“如何化”；
3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”；
（四）学习难点
1．理解弧度“是什么”；
2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系
二、教学过程
（一）课前设计
1．预习任务
（1）读一读：阅读教材第6页至第11页．
（2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？
2．预习自测
=____________
（1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则AOB
【答案】1rad．
（2）2π rad =（）A．180°
B．200°
C．270°
D．360°
【答案】D．
（3）把50°化为弧度制（）A．50
B．5 18π
C．18 5π
D．9000π
【答案】B．
（4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________ 【答案】2π；5π
(二)课堂设计
1．知识回顾
（1）角的概念的推广；
（2）终边相同的角的表示
2．问题探究
探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；
●活动结合实例，引入弧度制
有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）
显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.
【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．
探究二 弧度是什么，理解弧度的定义 ●活动① 回顾角度制的定义
1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 【设计意图】从1角度过度到1弧度，更加的自然. ●活动② 探究弧度制的定义
弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角， 记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
A
【设计意图】让学生掌握弧度制的定义 探究三 探究如何进行弧度与角度的转化
●活动① 通过具体的数据，探究弧度制和角度制之间的关系
如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请完成表格.
x
y
αB
O
A
【答案】
我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定.
【设计意图】一方面可以让学生加深对弧度制的理解，也为接下来推导弧度制和角度制的转化公式做准备.
●活动② 在掌握了弧度制定义的基础上推导弧长，半径，和圆心角（弧度制）之间的关系
思考：如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么α的弧度数是多少? 角α的弧度数的绝对值是：r
l
=
α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【设计意图】既是对弧度制定义的巩固强化，加深学生对于弧长，半径以及圆心角（弧度数）三者关系的理解.
●活动③ 通过活动①中表格的数据，推导出弧度制和角度制的转化公式.
'
360=2rad 180rad 1801rad 1rad=57.3=5718180πππ
π︒∴︒=⎛⎫∴︒=
︒≈︒︒ ⎪⎝⎭
反过来 Q
【设计意图】通过已有的数据推出角度制和弧度制相互转化的公式更容易被学生理解和接受. ●活动④ 快速抢答
抢答特殊角的度数与弧度数的对应表:
【答案】
【设计意图】通过抢答环节，让学生迅速掌握弧度制和角度制的相互转换，也让学生熟悉特殊角对应的角度制和弧度制.
探究四 探究弧度制下的弧长与扇形面积公式求解有关问题.
●活动① 回顾初中已学的用角度制表示的弧长公式和扇形的面积公式.
已知扇形的圆心角为n °，半径为R
则弧长180
n R
l π=，扇形的面积公式为2360n R S π=
【设计意图】通过对已有知识的回顾，对接下来推出弧度制下的弧长与扇形面积公式做准备.
●活动② 利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)1
2
S lR =.
其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积.
l
R
l R αα==
立即可得：证明：由公式 2ππ
=360180
n R n S α=又，Q
221121802
n S R R πα∴=
⋅⋅= 1122
l R S R R lR
αα=∴=⋅⋅=又Q 【设计意图】以证明题的形式将弧度制应用于弧长和扇形的面积公式，有了推导过程，学生更容易理解和记忆.
●活动③ 利用计算器比较sin1.5和sin85°的大小.
【设计意图】弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别. ●活动④ 巩固基础，检查反馈 例1 下列说法不正确的是（ ）
A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B ．1度的角是圆周角的
1360，1弧度的角是圆周角的1
2π
C ． 根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
【知识点】考察了弧度制和角度制的相互转换，弧度制的定义，以及弧度制和角度制都是度量角的两种方式 【数学思想】转换的思想
【解题过程】当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所取圆的半径大小无关
【思路点拨】通过弧度制的定义去判断 【答案】D
同类训练 若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也扩大到原来的2倍，则（ ） A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变
C ． 扇形的面积扩大到原来的2倍
D ．扇形的圆心角扩大到原来的2倍
【知识点】扇形的圆心角，弧长，半径三者之间的关系 【数学思想】
【解题过程】由公式l
R
α=
，因此圆心角应该不变 【思路点拨】所对的弧长与半径的比值是一定值，则圆心角就不变 【答案】B
例2：（1）将下列各角化为弧度：①'11230︒；②315-︒
（2）将下列各弧度化为角度：①512rad π-
；②193
rad π
【知识点】弧度制和角度制换算公式的应用 【数学思想】
【解题过程】'5
11230112.5112.51808
rad rad π
π︒=︒=⨯
= 7
315(315)1804
551807512121919180114033rad rad
rad rad ππππππππ-︒=-⨯=-⎛⎫
-=-⨯︒=-︒
⎪⎝⎭⎛⎫
=⨯︒=︒ ⎪⎝⎭
【思路点拨】公式 1801 1=180rad rad π
π⎛⎫
︒=
︒ ⎪⎝⎭
的应用 【答案】58rad π，7
4
rad π-，75-︒，1140︒
同类训练 将下列各角度与弧度互化
'9(1)67.5; (2)15730; (3)
; (4)34
π
︒-︒ 【知识点】弧度制和角度制换算公式的应用 【数学思想】
【解题过程】3
67.567.51808
rad rad π
π︒=⨯
= '7
15730157.5(157.5)1808
9918040544
18054033()rad rad rad π
πππ
πππ-︒=-︒=-⨯=-⎛⎫=⨯︒=︒ ⎪⎝⎭⎛⎫
=⨯︒=︒ ⎪
⎝⎭
【思路点拨】公式 1801 1=180rad rad π
π⎛⎫
︒=
︒ ⎪⎝⎭
的应用 【答案】38rad π；78rad π-；405︒；540
()π
︒
例3 半径为1cm ，圆心角为56
π
的弧长为（ ）
A ．23cm
B ．23cm π
C ．56cm
D ．5
6
cm π
【知识点】弧度制在弧长公式的应用 【数学思想】
【解题过程】55166
l aR cm ππ
==⨯
= 【思路点拨】公式l R α=的应用 【答案】D
同类训练 若2rad 的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是（ ）
A ．tan 2
B ．
1sin1 C ．21sin 1 D ．2cos1
【知识点】圆中垂径定理的应用和三角函数以及弧度在扇形面积公式中的应用 【数学思想】
【解题过程】半径1sin1R =，2
2112221sin1S R α⎛⎫
==⨯⨯ ⎪⎝⎭
【思路点拨】公式21
2
S R α=的应用
●活动5 强化提升、灵活应用
例4 与1°角终边相同的角的集合为（ ）
A ．360,180k k Z παα⎧⎫=⋅︒+∈⎨⎬⎩⎭
B ．360,180k k Z παα⎧⎫=⋅︒+∈⎨⎬︒⎩⎭
C ．2,180k k Z πααπ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭
D ．
2,180k k Z πααπ⎧⎫
=+∈⎨⎬︒⎩⎭
【知识点】终边相同角的表示，同一个式子中角度制和弧度制不能混用 【数学思想】 【解题过程】1180
π
︒=
Q ，3602π︒=，13602180
k k π
π∴︒+︒=
+
【思路点拨】将角度制转换为弧度制:1180
π
︒=
【答案】C
同类训练 第四象限角的集合可写为（ ）
A ．360360,2k k k Z πααα⎧⎫
=⋅︒-<<⋅︒∈⎨⎬⎩⎭
B ．{}2902,k k k Z ααπαπ=-︒<<∈
C ．,2k k k Z πααπαπ⎧⎫
=-<<∈⎨⎬⎩⎭
D ．22,2k k k Z πααπαπ⎧⎫
=-<<∈⎨⎬⎩⎭
【知识点】第四象限角的表示，同一个式子中角度制和弧度制不能混用 【数学思想】
【解题过程】{}36090360,k k k Z ααα=⋅︒-︒<<⋅︒∈Q 3602,π︒=902
π
︒=
22,2k k k Z πααπαπ⎧⎫
∴=-<<∈⎨⎬⎩⎭
【思路点拨】将角度制转换为弧度制:1180
π
︒=
【答案】D 3.课堂总结
（1）长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
（2）弧度制和角度制之间的转换公式为：1801rad 1rad=180π
π⎛⎫
︒=
︒ ⎪⎝⎭
（3）弧度制在扇形相关公式中的应用为：l R α= ；212S R α=； 1
2
S lR =.
重难点归纳
（1）生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程． （2）当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所取圆的半径大小无关.
（3）同一个式子中角度制和弧度制不能混用.
（4）在选择弧长和扇形的面积公式时，一定要理清楚题目所给圆心角是弧度制还是角度制. （三）课后作业 基础型 自主突破
1．在半径不相等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ） A ．所对的弧长相等 B ．所对的弦长相等
C ．所对的弦长等于各自的半径
D ．所对的弧长等于各自的半径 【知识点】弧长的定义
【解题过程】长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角 【思路点拨】1弧度的圆心角所对的弧长始终等于半径 【答案】D
2．把'5615︒化为弧度是（ ）
A ．
58π
B ．54π
C ．56
π
D ．516
π 【知识点】角度制和弧度制的相互换算 【解题过程】'5561556.2556.2518016
rad rad π
π︒=︒=⨯= 【思路点拨】先将角度的单位化为“°”
【答案】D
3．若=4α-，则α是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
【知识点】了解每个象限角对应的范围
【数学思想】数形结合 【解题过程】342
ππ-
<-<- 【思路点拨】342ππ-<-<- 【答案】B
4．若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是（ ）
A ．2πβα=+
B ．2πβα=±
C ．2()2k k Z πβαπ=+
+∈ D ．2()2
k k Z π
βαπ=±+∈ 【知识点】对于角的表示
【数学思想】
【解题过程】B 选项忽略了终边相同应该加上圆周角2π的整数倍
【思路点拨】角α与β的终边互相垂直的本质是将角α的终边绕着原点顺时针或者逆时针旋转90°，即2π±
，但要注意终于边相同要加圆周角2π的整数倍
【答案】D
5．已知一扇形的圆心角3π
α=，扇形所在圆的半径10R =，则这个扇形的弧长为
____________，该扇形对应的弓形的面积为_________．
【知识点】弧度制在弧长公式中的应用
【数学思想】转化的思想，将弓形的面积转化为扇形的面积—三角形的面积 【解题过程】1010,33
l R ππα==⨯= 110150
==10102323S S S ππ-⨯⨯-⨯⨯=-弓扇三角形 【思路点拨】弓形的面积=扇形的面积—三角形的面积
【答案】
103π；503π- 6．在单位圆上有两个动点P Q ，，它们同时从(10)A ，出发沿圆周运动，已知点P 按逆时针方向每秒转3π
，点Q 按顺时针方向每秒转6π
，试求它们从出发后到第
五次相遇时各自走过的弧长．
【知识点】行程问题中的相遇问题
【数学思想】数形结合 【解题过程】102036t t t π
π
π+=∴=Q 201020203363
P Q l l π
πππ∴=⨯==⨯=， 【思路点拨】第五次相遇即两点的路程和恰好是圆周2π的5倍 【答案】201033
P Q l l ππ==， 能力型 师生共研
7．已知扇形的周长为6cm ，面积为22cm 则扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A ．1
B ．4
C ．1或4
D ．2或4 【知识点】12,2
C l R S lR =+= 【数学思想】
【解题过程】
12,2C l R S lR =+=Q 26121(62)2142222
l R R R R R l l lR +=⎧==⎧⎧⎪∴∴⋅-⋅=∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎩或 =4(=1απα∴>舍）或
【思路点拨】一定要考虑最终求出的圆心角的弧度数不能超过π
【答案】A
8．集合{}{}2(21),,44P k k k Z Q απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则P Q =I （ ）
A ．∅
B ．{}40ααπαπ-≤≤-≤≤或
C ．{}44αα-≤≤
D ．{}0ααπ≤≤
【知识点】交集的定义
【数学思想】
【解题过程】P 集合中的k 分别取0或1-，0απ≤≤或2παπ-≤≤-分别和Q 取公共部分
【思路点拨】要找出P Q ，P 集合中的k 只能取0和1-
【答案】B
探究型 多维突破
9．圆弧长等于其圆内接正方形的边长，则其所对的圆心角的弧度数为______ 【知识点】r
l =α的应用 【数学思想】数形结合
【解题过程】α==【思路点拨】有图有真相
自助餐
1．35
π弧度化为角度是（ ） A ．110°
B ．160°
C ．108°
D ．218°
【知识点】弧度制化为角度制的应用
【数学思想】 【解题过程】33180()10855πππ
=⨯︒=︒ 【思路点拨】1801=rad π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭
【答案】C
2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为（ ）
A ．
143
π B ．143
π- C ．718
π D ．718π- 【知识点】分针每走一分钟，走过的弧度数为
30π 【解题过程】14140303
π
π⨯= 【思路点拨】分针走60分钟走过的弧度数为2π
【答案】B
3．角的集合2A x x k k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，与集合22B x x k k Z ππ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭
，之间的关系为_____________
【知识点】根据集合看角的终边所处的位置
【解题过程】A ，B 集合表示的都是终边在y 轴上的角
【思路点拨】注意“k π+”和“2k π+”的区别
【答案】A B =
4．若角α的终边与角6π
的终边关于直线y x =对称，且(44)αππ∈-，，则
α=_______
【知识点】轴对称的特征以及终边相等的角的特征
【数学思想】数形结合
【解题过程】在0~2π中与角
6π的终边关于直线y x =对称的是3π 在2~4ππ中与角3π终边相同的角是7233
πππ+=
在2~0π-中与角3π终边相同的角是5233
πππ-=- 在4~2ππ--中与角3π终边相同的角是11433πππ-=- 【思路点拨】(44)αππ∈-，有4个圆周
【答案】7511,,,3333
ππ
ππ-- 5．如图，圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角
(0)θπ<≤，
经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小． x
y
O A
【知识点】象限角的范围
【数学思想】
【解题过程】14=2,,7
k k k Z k Z πθπθ∈∴=∈Q
3332224274
721,24
454577
k k k Z k πππππππθθππθθ<<∴<<<<∴<<∈∴=∴==Q 又即或或 【思路点拨】回到原位，即所走的角度是圆周2π的整数倍 【答案】4577
ππθθ==或 6．在扇形AOB 中，90AOB ∠=°，弧AB 的长为l ，求此扇形内切圆的面积．
【知识点】勾股定理，弧长公式l R α=以及圆的面积公式2S R π=
【数学思想】数形结合
【解题过程】设扇形AOB 所在圆半径为R ，此扇形内切圆的半径为r ，
则有R r =，π2
AB l R ==·．
由此可得r =
．则内切圆的面积22πS r ==． 【思路点拨】将内切圆的半径r 用弧长l 表示
2
1.1.2 弧度制 一、教学目标 ①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. ②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深. ③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 二、教学重点、难点 重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 三、学习方法：自学完成学案 四、学习过程 （1）复习引入. 1、复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 . 提出问题： ①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？ ② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？ ③角的范围是什么？如何分类的？ 二）概念形成 (1)初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？ 1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题： ①角的弧度制是如何引入的？ ②为什么要引入弧度制？好处是什么？ ③弧度是如何定义的？④角度制与弧度制的区别与联系? 2．学生动手画图来探究： ①平角、周角的弧度数 ②角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？ ③角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？ 3．角度制与弧度制如何换算？ 4．初中学过用角度制计算弧长及扇形面积，现在用角的弧度制如何计算弧长及扇形面积呢？ 5．角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，虽然单位、进制不同，但反映了事物的本质属性不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同. 角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 三、应用举例 例1：（1）把' 30 67 化成弧度（精确到0.001） （2）把' 30 67 化成弧度（用π表示） 例2：把rad 5 3 化成度 例3：填写下表：
《弧度制》教学设计 一、教学目标： （一）核心素养 通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系. （二）教学目标 1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性； 2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义； 3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化； 4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题 （三）学习重点 1．理解弧度“是什么”； 2．熟练弧度和角度之间“如何化”； 3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”； （四）学习难点 1．理解弧度“是什么”； 2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系 二、教学过程 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第6页至第11页． （2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？ 2．预习自测 =____________ （1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则AOB 【答案】1rad．
（2）2π rad =（）A．180° B．200° C．270° D．360° 【答案】D． （3）把50°化为弧度制（）A．50 B．5 18π C．18 5π D．9000π 【答案】B． （4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________ 【答案】2π；5π (二)课堂设计 1．知识回顾 （1）角的概念的推广； （2）终边相同的角的表示 2．问题探究 探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性； ●活动结合实例，引入弧度制 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里） 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.
示范教案 整体设计 教学分析 在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度 为单位进行度量，并且一度的角等于周角的 1 360，记作1°. 通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式，使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的．进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点．有条件的学校可进行计算机练习，学习电子表格和Scilab中的公式计算功能．以后学生可使用这一功能检查自己的计算结果. 三维目标 1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．通过弧度制的学习，培养学生理性思维的良好习惯． 2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣． 重点难点 教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算． 教学难点：弧度的概念及其与角度的关系． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？ 思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．推进新课 新知探究 提出问题 (1)在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？ (2)我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带来方便，那么角的度量是否也能用不同单位制呢？
2019-2020年高中数学必修四 1.1《任意角和弧度制》教案 【教学目标】 1.理解任意角的概念. 2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写. 3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. 4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深. 5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 【导入新课】 复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题： 1．初中所学角的概念. 2．实际生活中出现一系列关于角的问题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？ 4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？ 5.角的范围是什么？如何分类的？ 新授课阶段 一、角的定义与范围的扩大 1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成 OA OB分别是角α的终边、始边. 一个角α，点O是角的顶点，射线, ∠”可以简记为α． 说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α 2．角的分类： 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：
在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角. （2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90,180,270等等. 说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为 x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的 射线. 4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30360 k +?() k Z ∈的形式；反之，所有形如 30360k +?()k Z ∈的角都与30角的终边相同.从而得出一般规律： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 {}|360,S k k Z ββα==+?∈， 即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同. 例1 在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）120-；（2）640；（3）95012'-. 解：（1）120240360-=-， 所以，与120-角终边相同的角是240，它是第三象限角； （2）640280360=+， 所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角； （3）95012129483360''-=-?，
1.1.2 弧度制 一、教材分析 1、本节内容在教材中的地位和作用： 教材地位与作用：本节课是普通高中实验教科书人教A版必修4第一章第一单元 第二节。本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体 会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识 还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着启下的作用。通 过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇 形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。 2、教学目标 3、教学中的重点和难点 教学重点：理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制的换算。 教学难点：弧度制的概念与角度的换算。 二、教学设计思想 教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生熟悉的基本单位转换入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便，引导学习去思考寻找另一种的单位制度量角。
通过类比引出弧度制，关键弄清1弧度的定义，然后通过探索得到弧度数绝对值公式并得出角度和弧度的换算方法。在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性。这样可以尽量自然的引入弧度制，并让学生在探索的过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础。 三、教法分析 本节课我采用引导发现式的教学方法。通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和接受。 四、教学过程
五、教学流程 六、教学反思 本节课，学生能够在老师的引导下主动学习，基本掌握了弧度制与角度制之间的转换，完成了课堂教学。课堂气氛比较活跃。
1.1.2 弧度制教学设计 一、教学目标 （一）知识与技能目标 （1）理解并掌握弧度制的定义；能正确地进行角度制与弧度制的换算； （2）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系； （3）熟记特殊角的弧度数； （4）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式. （二）过程与方法目标 培养学生通过探究已学知识，发现新知识的能力. （三）情感、态度与价值观目标 通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，让学生感受数学表示的多样性；培养学生求异创新的精神，增强学习数学的兴趣；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美． 二、教学重点难点 教学重点：理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制度的换算；弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点：理解弧度制的定义，“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 三、教学方法与教学用具 教学方法：让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，理解弧度的意义. 教学用具：多媒体. 四、教学过程 （一）问题情境 1.最近有人在网上这样调侃通货膨胀 求：1元=1分解：1元=100分=10分10分=0.1元0.1元=0.01元=1分 这样的解法你觉得正确吗？ 2.我们从度量长度和重量等等上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢? 设计意图 创设问题1来源于网络，跟生活密切相关，更能激起学生参与的兴趣，此巧妙的让学生看到同样多的钱可以用不同的单位表示，也让学生看到不同的单位做运算导致这样的笑话，进而明白在同一个等式里有不同的单位运算是容易出问题的。问题2通过类比导入本节课的课题，激起学生学习的欲望． （二）研讨新知
《弧度制》说课稿 说教材 （一）教材地位和作用 “弧度制”是普通高中实验教科书苏教版必修4第一章第一单元第二节内容。一般在高一函数学完以后上。前面所学的任意角为本节课的学习起到铺垫作用。应用弧度制，能使三角的有关计算大大简化；弧度的扇形模型体现了把线段和弧的度量单位统一的思想，为今后学习三角函数带来很大的方便。通过本节课的学习学生可以认识到角度制的产生和弧度制的产生过程十分相似，都是利用等分圆周得到单位弧长，从而定义单位角的大小。不同点在于把圆周按不同方式进行等分。 （二）教学目标 1．理解弧度的意义,能够正确进行角度与弧度的换算． 2．能熟记特殊角的弧度． 3．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并且能够解决一些简单实际问题． （三）教学重点和难点 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算. 由于之前学生对于用角度制来度量角的大小的方法已经根深蒂固，学生很难接受一个新的度量方法，所以我认为对弧度制定义的理解和弧度制的运用是教学的难点 教学方法 二说教法 学生更主动地参加到课堂教学中，激发学生主动学习弧度制的内容，充分调动学生学习的主动性、积极性，这是本节课的教学原则，为了实现这一原则，我采用了以下教学方法 （1）设置问题串，通过一系列的问题启发和引导学生思考。 （2）介绍数学史，让学生明白弧度制是如何产生以及出现的原因，激发学生学习的兴趣。提升学生发现和提出问题的能力。 （3）从角度制下的弧长与扇形面积公式推演出弧度制下的弧长与扇形面积公式，体现弧度制所带来的简单和谐美。（4）通过课件和几何画板使学生直观感受弧度制的形成和1弧度角的大小。 三说学情学法 同学们在初中已经学过角度制并在上一节课学过任意角，也已经掌握了一些基本单位的转化方式，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便。但对用实数度量角还很不习惯，比较难转变固有思维。对1弧度的理解比较困难。通过类比角度制得到弧度制，由已知到未知，实现数学知识的转化过程。 四说教学程序
长来定义角度，而产生新的角度单位呢？那么我们就先通过简单的计算来看看能不能发现什么规律？ 【学生活动】分组讨论，探索研究 探究1：角度为30，60的圆心角，当半径1,2,3,4r =时，分别计算对应的弧长l ，计算后你们能发现什么规律？有没有什么比值或者量是不变的？ 30θ=， 1r =时，3011801806n r l πππ⨯⨯= ==，6π =r l 2r =时，3021801803n r l πππ⨯⨯===，6π =r l 3r =时，3031801802n r l πππ⨯⨯===，6π =r l 4r =时，30421801803 n r l πππ⨯⨯=== ，6π =r l 60θ=，1r =时，6011801803n r l πππ⨯⨯===，3π =r l 2r =时，60221801803 n r l πππ⨯⨯=== ，3π =r l 3r =时，603180180 n r l πππ⨯⨯===，3π =r l 4r =时，60441801803 n r l πππ⨯⨯=== ，3π =r l 发现结论：圆心角不变则比值不变，这个比值与弧长和半径的大小无关，只和角度大小有关。（抽取两个小组分享他们的发现） 因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是度量角的另外一种单位制——弧度制（客观性，有理可循）。 环节三：归纳概括（新概念和新公式），初步巩固及总结（一收） 【教师活动】弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号1 rad 表示，读作1弧度。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。 如图， 角在形成过程中，射线上的任意一点在旋转过程中，走过的弧长以及圆弧所在圆的半径虽然不同，但是走过的角度是相同的（几何画板展示） 【学生活动】即时回答：弧长分别为r,2r,半圆，一个圆所对的圆 心角的弧度数，可以发现圆心角弧度数等于弧长和半径的比值，得出结论r l = α 【教师活动】几何画板展示问题，并顺便说明正角的弧度数为正，负角弧度数为负，零角的弧度数为0. 【教师活动】提问：弧度制与角度制相比，不同之处在哪里？ （教师引导学生进行小结） 【学生活动】在教师的引导下，整理得： 1.定义方式不同：弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度” 教师提供的 素材，通过小组探究讨论，让学生有充足的时间空间自主完成知识建构 让学生体会数学中下定义本质上是抓住事物的本质，而事物的本质则是变化过程中的不变性. 通过具体图象，以形助数，直观定义新概念。
1.1.1 弧度制 【学情分析】：（适用于特色班） 教学对象是高一的学生，在前面已经系统学习了任意角的概念，学生对用角度来表示角已经相当熟练，在此基础上引进角的另一种度量方式——弧度制。由于这种度量方式的定义较抽象，是以比值来定义角的大小，不像角度制那样可以看得见，能体会得到，而高一学生的抽象思维水平发展有限，因此应多结合具体实例来说明弧度制的合理性和必要性，从具体实例出发，慢慢抽象概括，最后得角的弧度制定义，这符合学生的认知规律。 【教学三维目标】： 一、知识与技能 1、1弧度的角的定义； 2、弧度制的定义； 3、角度与弧度的换算； 4、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式； 5、角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系； 二、过程与方法 1、理解1弧度的角、弧度制的定义； 2、掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算； 3、熟记特殊角的弧度数； 4、理解角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系； 5、掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会运用弧长公式、扇形面积公式解决一类问题； 三、情感态度与价值观 使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质. 【教学重点】：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 【教学难点】：理解弧度制定义，弧度制的运用. 【课前准备】：计算器、投影机、三角板 【教学过程设计】： 教学环节教学活动设计意图 一、复习引入【创设情境】 1、度量角的大小第一种单位制—角度制的定义 初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角 是如何定义的？ 规定周角的 360 1 作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫 做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为 180 r n l π = 2、探究 30°、60°的圆心角，半径r为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l， 再计算弧长与半径的比 结论：圆心角不变，则比值不变， 直接抛出弧度制的 定义。
弧度制（一） 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊 角的弧度数． （二） 过程与能力目标 能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式， 并能运用公式解决一些实际问题 （三） 情感与态度目标 通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与 角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简 洁美． 教学重点 弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点 “角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程 一、复习角度制： 初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的 360 1作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引 入： —弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫
做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考： （1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关 吗？ （2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=r r ②整圆所对的圆心角为.22ππ=r r ③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r l 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度： π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈= ︒π；rad n n 180 π=︒． ②将弧度化为角度： ︒=3602π；︒=180π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；︒=) 180 (π n n ． 5．常规写法： ① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度
第一章三角函数 第一节弧度制 （第2课时） 一、学习目标 1.理解认识弧度制的概念。 2.掌握弧度制与角度制的互化。 3.学会解决弧度制相关应用题。 【重点、难点】 弧度制与角度制的互化以及相关应用。 二、学习过程 【情景创设】 1. 在角度制中，把圆周等分成360份，其中的一份是多少度？ 2. 半径为1的圆的周长是2π，即周长为2π时，对应的圆心角为360°，那么弧长为π时，对应的圆心角是多少？ 3.周角是多少度？是多少弧度？ 4.半圆所对圆心角是多少度？是多少弧度？ 【导入新课】 1、弧度制：(1)1弧度的角：_______________________________；(2)记作：_____或 ______；(3)定义：________________________________. 2、互化： 3、弧度数的计算公式：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧 度数的绝对值是：|α|=______. 【典型例题】 例1：已知圆的半径为2，则弧长为5的弧所对的圆心角α的弧度数为（）。 例2：将下列角度化为弧度，弧度化为角度. (1)75°=（），120°=（），3 5 π =（）， 7 4 π =（）. 【变式拓展】 1. 已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为( ) A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 2.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C（C>0），该扇形的最大面积为（）。
222 C C C C A. B. C. D. 44162 三、总结反思 1.对弧度制定义及角度制与弧度制互化的四点说明 (1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的值. (2)用弧度与度去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的. (3)任意角的弧度数与实数的对应关系 ①正角：正角的弧度数是一个正数. ②负角：负角的弧度数是一个负数. ③零角：零角的弧度数是0. 2.扇形周长及面积的最值问题的求解技巧 (1)当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值.其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围.特别注意一个扇形的弧长必须满足0 弧度制教学设计【优秀4篇】 高一数学必修四教案篇一 一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式。通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础。 二、教学重、难点 1.教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式； 2.教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等。 三、学法与教学用具 1.学法：启发式教学 2.教学用具：多媒体 四、教学设想： （一）导入：我们在初中时就知道？，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？ 根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式 （二）探讨过程： 在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来。） 展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索与xx之间的关系，由此得到，认识两角差余弦公式的结构。 思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的'知识来证明？ 提示： 1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ 2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 展示多媒体课件 比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处。 思考：再利用两角差的余弦公式得出 （三）例题讲解 例1、利用和、差角余弦公式求、的值。 解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差。 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用。 例2、已知，是第三象限角，求的值。 解：因为，由此得 又因为是第三象限角，所以 所以 点评：注意角、的象限，也就是符号问题。 （四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式。在解题过程中注意角、的象限，也就是 课题：1.1.2 弧度制 一、教材分析： 1、教材地位与作用： 本节课是普通高中实验教科书人教A 版必修4第一章第一节第二课时.本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度” ，并且上节课学了任意角的概念，将角的概念推广到了任意角；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着启下的作用.通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式.另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便. 2、教材内容分析： 新的教育理念认为：数学教学过程就是学生对有关的数学内容进行探索，实践与思考的过程，所以学生应当成为学习活动的主体，教师应成为学习活动的组织者、引导者与合作者.在教学中教师首先应考虑的是要充分调动学生的主动性与积极性，引导学生开展观察、比较、概括、推理、交流等多种形式的活动，使学生通过这些活动，掌握基本的数学知识与技能.教师在发挥组织、引导作用的同时，又是学生的合作者. 教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生熟悉的基本单位转换入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便，引导学习去思考寻找另一种的单位制度量角，接下来用四点来分析教材的内容： （1） 要弄清1弧度的意义.弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难，首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关.其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单. （2） 通过实例和几何画板演示，来讲述1弧度的含义，这样便于学生概念的理解，通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法在运算中具有优越性； （3） 关于弧度与角度二者的换算，教学时应抓住： 180 1π = ︒弧度；1弧度︒=)180 ( π （4） 由例2应让学生知道，无论是利用角度制还是弧度制，都能在已知弧长和半径 的情况下推出扇形面积公式，但利用弧度制来推导要简单中些． 教学设计 §1.1 任意角和弧度制 一、内容及其解析 （一）内容：任意角，弧度制 （二）解析: 本节内容是必修4第一章《三角函数》的第一节，本章在锐角三角函数的基础上，利用单位圆进一步研究任意角的三角函数，并用集合与对应的语言来刻画。这样，在研究三角函数之前，就由必要先将角的概念推广，并引入弧度制，从而建立角的集合与实数集之间的对应关系。 利用集合直观有利于抽象概念的理解，教科书充分结合角和单位圆来引导学生了解任意角及弧度制概念，同时，还利用直角坐标系建立象限角的概念，使得任意角的讨论有了一个统一的载体，教学中，要特别注意利用单位圆，直角坐标系等工具，引导学生用数形结合的思想方法来认识问题。 《弧度制》是选自人民教育出版社,普通高中课程标准实验教科书数学版必修4,第一章,第一小节第二课时内容，通过本节课的学习，学生将掌握角度的的另一种度量方式，为以后三角函数的引入做准备，因此本节概念课起着承上启下的作用。 二、目标及其解析 1．结合实例体验角的概念推广的必要性；从运动的观点出发，进行角的概念推广，理解并掌握正角、负角、零角的定义； 2．能用集合和数学符号表示终边相同的角，即掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法； 3．能建立适当的坐标系来讨论任意角，理解象限角、坐标轴上的角的概念，并能用集合和数学符号表示； 4．在角的概念的推广的过程中，树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物； 5．通过正角、负角、零角与正数、负数、零的类比，培养学生的类比思维能力； 6．通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法； 7.理解1弧度的角、弧度制的定义.能进行角度与弧度的换算. 8.掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力 三、问题诊断分析 1．学生在理解终边相同的角的表示方法上，会出现障碍，其原因是：刚刚将角的概念推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质； 2．学生在学习了教材例1后，做P6第4题，仍然感到困难，其原因是：当角为负角时，在00～3600范围内找出终边相同的角，不知怎样计算，教学时应给学生介绍计算方法； 3．学生在学习了象限角的概念后，怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角（如：第一象限角），会出现障碍，其原因是：对第一象限角是有无数个区间构成，它们的终边是“周而复始”的现象的刻画还不了解，教师要进一步的解释k·3600的运用特点。 4.本班级学生数学基础中等，学生平时学习需要在老师引导下才能较好的吸收新的知识 5．学生在学习本课以前，已经学习了角度的一种度量方式算，对角度有一定的认识 四、教学支持条件分析 •借助信息技术工具（如：几何画板），制作课件。【可参考人民教育出版社配套《教师用书》后的光盘中数学4的资源】 1．角的推广在角的旋转量、旋转方向上给学生以动态的体会； 《弧度制》教学设计 1．根据函数概念中强调函数必须是实数集到实数集的对应，体会弧度制引入的背景及必要性，明白同一个量可以用不同的单位制来度量． 2．在半径不同但圆心角相同的的扇形中，利用初中所学的扇形的弧长公式能够发现弧长与半径之比不变，从而体会用该比值作为弧度制定义的合理性，加深弧度制概念的理解．在此过程中，学生可以感悟数学抽象的层次性及逻辑推理的严谨性． 3．体会弧度制是度量角的一种方式，并能利用180°＝π rad进行弧度制与角度制的互化，利用单位圆中弧长等于半径的圆心角，直观感受用长度度量1弧度的大小，能证明并灵活运用一些关于扇形的公式，同时能理解角与实数之间的一一对应关系． 教学重点：在了解弧度制引入的背景下，理解弧度制的概念，能进行角度制与弧度制的互化． 教学难点：弧度制概念的理解． Geogebra、计算器、PPT课件．用Geogebra作动画来反映扇形的弧长、半径、圆心角之间的关系；在角度制与弧度制换算时，计算器可以解决近似值问题． （一）创设情境 问题1：我们知道：篮球明星姚明的身高是2.26米，但在NBA官方数据中却是7.5英尺，为什么？你还知道哪些量有不同的度量制？举例说明． 预设的师生活动：学生针对老师提出的问题进行思考与回答． 预设答案：因为用了不同的单位．再如，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的单位制，度量体积可以用立方米、升等不同的单位制． 设计意图：通过生活中的发现，度量长度可以用米、尺、码等不同的单位制，让学生体会度量一样东西可以有多种度量制． （二）新知探究 1．弧度制 问题2：度量角除了角度制，还有什么单位制呢？ 追问1：如图1，射线OA 绕端点O 旋转到OB 形成角α．在旋转过程中，射线OA 上的点P （不同于点O ）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．设α=n °，OP =r ，点P 所形成的圆弧1PP 的长为l ．回忆初中所学知识，弧长l 如何用圆心角α来表示？ 预设的师生活动：学生经过观察、讨论得出结论． 预设答案：180 πr n l = ． 追问2：如图2，在射线OA 上任取一点Q （不同于点O 和P ），OQ =r 1．在旋转过程中，点Q 所形成的的圆弧1QQ 的长为l 1，那么l 1与r 1的比值是多少？你能得出什么结论？ 预设的师生活动：学生经过观察、讨论得出结论． 预设答案： 180 π 11n r l =；圆心角α所对的弧长与半径的比值，与半径的大小无关，只与α的大小有关，也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．因此可以用弧长和半径的比值表示圆心角． 设计意图：通过复习初中所学知识可知，使学生得到弧长与半径的比只与角的大小有关，推广到一般也成立，因此我们可以利用这个比值来度量角，引出新概念，使学生明白新概念的由来和定义的合理性． 追问3：结合上面的探索过程，你能试着说一说什么是1弧度角吗？ 预设的师生活动：学生用自己的语言表述清楚即可，教师在学生表述的基础上进行完善． 预设答案：我们规定： 长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度． 设计意图：引导学生得出定义，体会定义产生的背景、原由及过程． 追问4：（1）我们把半径为1的圆叫做单位圆．既然角的大小与半径无关，那么在单位圆中如何确定1 rad 的角呢？ （2）在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角α的弧度数是多少？ （3）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？ 图1 图2 《弧度制》教学设计 深入挖掘数学学科的核心价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程——这是我教学设计的根本宗旨。本节课我教学的重点就是弧度制概念，设计的一大亮点就是由一道探究题目，展开本节课的全部教学内容。 一．教学内容解析 弧度制在本章的位置： 本节知识结构： 《弧度制》是人教A版必修4第一章第一节第二课时的知识内容，教学重点是弧度制的概念。本节内容起着承上启下的作用，在弧度制下，任意角的集合和实数集建立起一一对应的关系，为三角函数奠定基础。 二．教学目标设置 首先，理解1弧度的角及弧度制的定义；掌握角度和弧度的换算公式；理解任意角的集合和实数集之间一一对应的关系；理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用。 其次，以本节数学知识作为载体，为渗透类比的思想、转化化归的思想、归纳推理的思想、以及数形结合的思想，还有提高数学推理论证能力、几何直观能力、数据处理与数值计算能力都提供了很好的契机。 另外，探究新概念时，树立敢于质疑，善于思考，严谨求实的科学精神；系统的去思考概念产生的必要性，合理性，优越性，概念的内涵和外延；同时，培养学生自主学习习惯，增强同学间相互交流，取长补短，形成良好课堂学习氛围，达到学生主动、全面、健康发展。 三．学生学情分析 其一学生熟知角度制，其二学生能体会不同的单位制会给解决问题带来方便，其三学生已经学习了任意角的概念，这是本节课的知识基础。 能力上，学生经过高中半个多学期的数学思维训练，已经具有一定的学习能力和探索意识，本节课要学习和探究的内容都在学生的最近发展区内。 弧度制的概念教学是重点也是难点，力求讲清概念的内涵和外延，分析概念生成的必要性、合理性、优越性。 四．教学策略分析 本节课采用问题驱动式教学，学生探究与教师讲授相结合，结合多媒体辅助教学，围绕这样的问题链展开： 引发学生探究性思维活动，使学生在思考、讨论、 交流中经历每个知识点的产生和发展过程。 五．教学过程设计 弧度制 【学习目标】 理解并掌握弧度制界说.娴熟进行角度制与弧度制地互化换算. 2．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用. 【新知自学】 知识回首： 1．角的看法 一条射线OA由本来的地点，绕着它的________按必定目标旋转到另一个置OB，就产生 了角。 按__________目标旋转所产生的角叫正角；按_______目标旋转所产生的角叫负角； 假如一条射线_______________，我们称它产生了一个零角. 2．象限角 角的极点与原点重合，角的始边与x轴的________________重合,那么，角的终边〔除端点 外〕在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 3．终边同样的角 全部与角终边同样的角,连同角在内,可产生一个靠拢________________________, 新知梳理： 角度制规定 将一个圆周分红360份，每一份叫做_____度，故周角等于_____度，平角等于______度，直角等于90度. 弧度制的界说 长度等于__________的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单 位能够省略不写). 思虑：在大小不一样的圆中，等长的弧所对的圆心角相当吗？ 3．弧度数的求法 一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是l,那么角的弧度数的绝对值是： ________. 的正负由__选择. 正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数 是. 4．角度与弧度的换算 1〕3600=________rad； 2〕________=rad； 度数=弧度数； 1800 弧度数1800=度数. 【感悟】在弧度制下,角的靠拢与实数集R之间成立了一一对应关系:即每一个角都有独一 的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有独一的一个角〔即弧度数等于这个实数的角〕与它对应. 对点练习1： 填写下表 度0°1°30°45°60°90° 弧度 120 度135°150°180°270°360° ° 弧度 扇形的公式: (1 )l R;(2)S1R2; 2 (3 )S 1 lR. 2 对点练习2：弧度制教学设计【优秀4篇】
弧度制教学设计_高中数学人教课标A版必修4
高中数学优质教案-1.1 任意角和弧度制.doc
《弧度制》示范课教学设计【高中数学】
高中数学《弧度制》教案
人教版高中数学必修四1.1.2弧度制教案
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