，则11cos cos )(2--+---x x
a a
x x a x x a
的值是（ ）
A ．1
B ．1-
C ．3
D ．3-
3．若⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈3,0πα，则α
sin log 33等于（ ）
A ．αsin
B ．
αsin 1 C ．αsin - D ．α
cos 1
- 4．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，
那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A ．5
.0sin 1 B ．sin0.5
C ．2sin0.5
D ．tan0.5
5．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是（ ）
A .若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ>
B .若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ>
C .若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ>
D .若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>
6．若θ为锐角且2cos cos 1
-=--θθ，
则θθ1
cos cos -+的值为（ ）
A ．22
B ．6
C ．6
D ．4
二、填空题
1．已知角α的终边与函数)
0(,0125≤=+x y x 决定的函数图象重合，αααsin 1
tan 1cos -
+的值为_____________．
2．若α是第三象限的角，β是第二象限的角，则
2
β
α-是第 象限的角.
3．在半径为30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源， 射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为0
120，若要光源 恰好照亮整个广场，则其高应为_______m (精确到0.1m )
4．如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第 象限。
5．若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫
=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
，{}|22B x x =-≤≤，
则B A =_______________________________________。 三、解答题
1．角α的终边上的点P 与),(b a A 关于x 轴对称)0,0(≠≠b a ，角β的终边上的点Q 与A 关于直线
x y =对称，求
βαβαβαsin cos 1
tan tan cos sin ++之值．
2．一个扇形OAB 的周长为20，求扇形的半径，圆心角各取何值时， 此扇形的面积最大？
3．求66441sin cos 1sin cos αααα----的值。
子曰：温故而知新，可以为师矣。
4．已知,tan tan ,sin sin ϕθϕθb a ==其中θ为锐角，
求证：1
1
cos 2
2--=b a θ
新课程高中数学训练题组
（数学4必修）第一章 三角函数（下）
[基础训练A 组]
一、选择题
1．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（ ）
A ．0
B ．4π
C .2
π
D .π
2．将函数sin()3
y x π
=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
再将所得的图象向左平移3
π
个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ）
A ．1sin 2y x =
B ．1sin()22y x π
=-
C .1sin()26y x π=-
D .sin(2)6
y x π
=-
3．若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）
A ．35(,)(,)244ππππ
B .5(,)(,)424ππππ
C .353(,)(,)2442ππππ
D .33(,)(,)244
πππ
π
4．若
,2
4π
απ
<
<则（ ）
A ．αααtan cos sin >>
B ．αααsin tan cos >>
C ．αααcos tan sin >>
D ．αααcos sin tan >>
5．函数)6
52cos(3π
-=x y 的最小正周期是（ ）
A ．52π
B ．2
5π C ．π2 D ．π5
6．在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)3
22cos(π
+=x y 中，
最小正周期为π的函数的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
二、填空题
1．关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数；
②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是 ，因为当α= 时，该命题的结论不成立.
2．函数x
x
y cos 2cos 2-+=的最大值为________.
3．若函数)3
tan(2)(π
+=kx x f 的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.
4．满足2
3
sin =
x 的x 的集合为_________________________________。 5．若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3
π
上的最大值是2，则ϖ=________。
三、解答题
1．画出函数[]π2,0,sin 1∈-=x x y 的图象。
2．比较大小（1）00150sin ,110sin ；（2）00200tan ,220tan
3．（1）求函数1sin 1
log 2
-=x
y 的定义域。
（2）设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值。
4．若2cos 2sin y x p x q =++有最大值9和最小值6，求实数,p q 的值。
新课程高中数学训练题组
（数学4必修）第一章 三角函数（下） [综合训练B 组] 一、选择题
1．方程1
sin 4
x x π=
的解的个数是（ ） A .5 B .6 C .7 D .8
2．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ）
A ．)45,()2,4(ππππ
B ．),4
(ππ
C ．)45,4(ππ
D ．)2
3,45(),4(ππππ
3．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8
x π
=
对称，
则ϕ可能是（ ）
A .2π
B .4π-
C .4
π
D .34π
4．已知ABC ∆是锐角三角形，sin sin ,cos cos ,P A B Q A B =+=+
则（ ）
A .P Q <
B .P Q >
C .P Q =
D .P 与Q 的大小不能确定 5．如果函数()sin()(02)f x x πθθπ=+<<的最小正周期是T , 且当2x =时取得最大值,那么（ ）
A .2,2
T π
θ==
B .1,T θπ==
C .2,T θπ==
D .1,2
T π
θ==
6．x x y sin sin -=的值域是（ ）
A ．]0,1[-
B ．]1,0[
C ．]1,1[-
D ．]0,2[-
二、填空题
1．已知x a
a x ,43
2cos --=是第二、三象限的角，则a 的取值范围
___________。
2．函数)(cos x f y =的定义域为)(322,62Z k k k ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+-ππππ， 则函数)(x f y =的定义域为__________________________.
3．函数)3
2cos(π
--=x y 的单调递增区间是___________________________.
4．设0ϖ>，若函数()2sin f x x ϖ=在[,]34
ππ
-
上单调递增，则ϖ的取值范围是________。 5．函数)sin(cos lg x y =的定义域为______________________________。 三、解答题
1．（1）求函数x x y tan log 22
1++=的定义域。
（2）设()cos(sin ),(0)g x x x π=≤≤，求()g x 的最大值与最小值。
2．比较大小（1）3
2tan
3
tan
2
,2
ππ；（2）1cos ,1sin 。
3．判断函数x
x x
x x f cos sin 1cos sin 1)(++-+=
的奇偶性。
不如乐之者。
4．设关于x 的函数2
2cos 2cos (21)y x a x a =--+的最小值为()f a ，
试确定满足1
()2
f a =
的a 的值，并对此时的a 值求y 的最大值。
新课程高中数学训练题组
（数学4必修）第一章 三角函数（下） [提高训练C 组]
一、选择题
1．函数22()lg(sin cos )f x x x =-的定义城是（ ）
A .322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭
B .522,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭
C .,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭
D .3,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭
2．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+对任意x 都有()(),66f x f x ππ+=-则()6
f π
等于（ ）
A . 2或0
B . 2-或2
C . 0
D . 2-或0
3．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)
(),2
sin ,(0)
x x f x x x ππ⎧
-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4
f π-等于（ ）
A . 1 B
.2
C. 0
D.2-
4．已知1A ，2A ，…n A 为凸多边形的内角，且0sin lg .....sin lg sin lg 21=+++n A A A ，则这个多边形
是（ ）
A ．正六边形
B ．梯形
C ．矩形
D ．含锐角菱形 5．函数2cos 3cos 2++=x x y 的最小值为（ ）
A ．2
B ．0
C ．1
D ．6
6．曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>>在区间2[0,
]π
ω
上截直线2y =及1y =-
所得的弦长相等且不为0，则下列对,A a 的描述正确的是（ ）
A .13,22a A =>
B .13
,22a A =≤
C .1,1a A =≥
D .1,1a A =≤
二、填空题
1．已知函数x b a y sin 2+=的最大值为3，最小值为1，则函数x b
a y 2
sin
4-=的 最小正周期为_____________,值域为_________________.
2．当7,66x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，函数23sin 2cos y x x =--的最小值是_______，最大值是________。
3．函数cos 1()()3
x
f x =在[],ππ-上的单调减区间为_________。
4．若函数()sin 2tan 1f x a x b x =++，且(3)5,f -=则(3)f π+=___________。
5．已知函数)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然
后把所得的图象沿x 轴向左平移2
π
，这样得到的曲线和x y sin 2=的图象相同，则已知函数
)(x f y =的解析式为_______________________________. 三、解答题
1．求ϕ
使函数)sin(3)y x x ϕϕ=---是奇函数。
2．已知函数52sin cos 22++-+=a a x a x y 有最大值2，试求实数a 的值。
3．求函数[]π,0,cos sin cos sin ∈+-=x x x x x y 的最大值和最小值。
4．已知定义在区间2[,]3
ππ-上的函数()y f x =的图象关于直线6
π
-=x 对称，
当2
[,]63
x ππ∈-
时，函数)22,0,0()sin()(π
ϕπωϕω<<->>+=A x A x f ，
其图象如图所示.
(1)求函数)(x f y =在]3
2,[ππ-
(2)
求方程2
2
)(=x f 的解.
新课程高中数学训练题组
根据最新课程标准，参考独家内部资料，
精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。欢迎使用本资料！
（数学4必修）第二章 平面向量
x
[基础训练A 组] 一、选择题
1．化简AC -BD +CD -AB 得（ ）
A ．A
B B ．
C ．BC
D ．
2．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A ．00a b =
B ．00
1a b ⋅=
C ．00||||2a b +=
D ．00||2a b +=
3．已知下列命题中：
（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =， （2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =
（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a （4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 4．下列命题中正确的是（ ）
A ．若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0
B ．若a ⋅b ＝0，则a ∥b
C ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|
D ．若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)2
5．已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（ ）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3 6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，
最小值分别是（ ）
A ．0,24 B
．24,4 C ．16,0 D ．4,0
二、填空题
1．若OA =)8,2(，OB =)2,7(-，则
1
AB =_________ 2．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-=1，且5a b ⋅=，则向量=____。 3．若3a =,2b =，且a 与b 的夹角为060，则a b -= 。
4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。
5．已知)1,2(=a
与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。 三、解答题
1．如图，ABCD
中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，=b ，试以a ，b 为基
底表示DE 、BF 、CG ．
2．已知向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,求向量a 的模。
3．已知点(2,1)B -，且原点O 分→
AB 的比为3-，又(1,3)b →
=，求→
b 在→
AB 上的投影。
4．已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时， （1）ka b +与3a b -垂直？
（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？
新课程高中数学训练题组
（数学4必修）第二章 平面向量 [综合训练B 组] 一、选择题
1．下列命题中正确的是（ ）
A ．OA O
B AB -= B ．0AB BA +=
C ．00AB ⋅=
D ．AB BC CD AD ++=
2．设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB =2AP ，
则点P 的坐标为（ ） A ．(3,1) B ．(1,1)- C ．(3,1)或(1,1)- D ．无数多个
3．若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是o 180，且53||=，则=( )
A ．)6,3(-
B ．)6,3(-
C ．)3,6(-
D ．)3,6(- 4．向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于
A ．2-
B ．2
C ．21
D ．12
-
5．若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（ ）
A ．6π
B ．3π
C ．32π
D ．6
5π
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6．设3(,sin )2a α=，1
(cos ,)3
b α=，且//a b ，则锐角α为（ ）
A ．030
B ．060
C ．075
D ．045
二、填空题
1．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ． 2．已知向量(1,2)a →
=，(2,3)b →
=-，(4,1)c →
=，若用→a 和→b 表示→c ，则→
c =____。
3．若1a =,2b =，a 与b 的夹角为060，若(35)a b +⊥()ma b -，则m 的值为 ．
4．若菱形ABCD 的边长为2，则AB CB CD -+=__________。
5．若→a =)3,2(，→b =)7,4(-，则→a 在→
b 上的投影为________________。
三、解答题
1．求与向量(1,2)a =，(2,1)b =夹角相等的单位向量c 的坐标．
2．试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和．
3．设非零向量,,,a b c d ，满足()()d a c b a b c =-，求证：a d ⊥
4．已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<． (1)求证：a b + 与a b -互相垂直；
(2)若ka →
+→
b 与a k →
-→
b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．
新课程高中数学训练题组
（数学4必修）第二章 平面向量 [提高训练C 组]
一、选择题
1．若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（ ）
A ．3,5a b ==-
B ．10a b -+=
C ．23a b -=
D ．20a b -= 2．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，
()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ） A .2 B .3 C .23 D .32 3．下列命题正确的是（ ）
A ．单位向量都相等
B ．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量（ ）
C ．||||b a b a -=+，则0a b ⋅=
D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=
4．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=（ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．4
5．已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为
A ．
6π B ．4π C ．3π D ．2
π 6．若平面向量与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=( )
A ．)2,4(
B ．)2,4(--
C ．)3,6(-
D ．)2,4(或)2,4(-- 二、填空题
1．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值是 ． 2．若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，试判断则△ABC 的形状_________． 3．若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________。 4．若向量||1,||2,||2,a b a b ==-=则||a b += 。
5．平面向量b a ,中，已知(4,3)a =-，1b =，且5a b =，则向量=______。 三、解答题
1．已知,,a b c 是三个向量，试判断下列各命题的真假． （1）若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c =
（2）向量a 在b 的方向上的投影是一模等于cos a θ（θ是a 与b 的夹角），方向与a 在b 相同或相
反的一个向量．
2．证明：对于任意的,,,a b c d R ∈，恒有不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++
3．平面向量13
(3,1),(,)2a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使
2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =。
4．如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与 的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值。
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4系列。欢迎使用本资料！
（数学4必修）第三章 三角恒等变换 [基础训练A 组]
一、选择题
1．已知(,0)2
x π
∈-，4
cos 5
x =
，则=x 2tan （ ） A ．
24
7
B ．247
- C ．7
24 D ．7
24
-
2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ）
A .5π
B .2
π
C .π
D .2π
3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法判定
子曰：知之者
不如好之者，
好之者
不如乐之者。
则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b <<
5．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）
A .周期为4π的奇函数
B .周期为4π
的偶函数
C .周期为2π的奇函数
D .周期为2π
的偶函数
6．已知cos 23
θ=，则44sin cos θθ+的值为（ ）
A ．
1813 B ．1811 C ．9
7
D ．1- 二、填空题
1．求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________。 2．若
1tan 2008,1tan αα+=-则1
tan 2cos 2αα
+= 。
3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。
4．已知sin
cos
223
θ
θ
+=
那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。
5．ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2
B C
A ++取得最大值，且这个
最大值为 。
三、解答题
1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.
2．若,2
2
sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。
3．求值：0
01000
1cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20
-+--
4．已知函数.,2
cos 32sin R x x
x y ∈+=
（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象.
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根据最新课程标准，参考独家内部资料，
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（数学4必修）第三章 三角恒等变换 [综合训练B 组] 一、选择题
1．设2132tan131cos50
cos6sin 6,,,221tan 13a b c -=-==+则有（ ）
A .a b c >>
B .a b c <<
C .a c b <<
D .b c a <<
2．函数22
1tan 21tan 2x
y x
-=+的最小正周期是( ) A ．
4π B ．2
π
C ．π
D ．2π 3．sin163sin 223
sin 253sin313+=（ ）
A
．12- B ．1
2
C ．4．已知3
sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ）
A .1925
B .1625
C .1425
D .725
5．若(0,)απ∈，且1
cos sin 3
αα+=-，则cos2α=
( )
A ．9
17 B ．
C ．
D ．317
6．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）
A ．4π
B ．2
π
C ．π
D ．2π
二、填空题
1．已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C 的大小为 ．
2．计算：o
o o o
o o 80
cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋的值为_______． 3．函数22sin
cos()336
x x y π
=++的图象中相邻两对称轴的距离是 ．
4．函数)(2cos 2
1
cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ．
5．已知)sin()(ϕω+=x A x f 在同一个周期内，当3
π
=
x 时，)(x f 取得最大值为2，当 0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为______________． 三、解答题
1. 求值：（1）000078sin 66sin 42sin 6sin ；
（2）00020250cos 20sin 50cos 20sin ++。
2．已知4
A B π
+=，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=
3．求值：9
4cos
log 92cos
log 9
cos
log 222π
ππ
++。
4．已知函数2()(cos sin cos )f x a x x x b =++
（1）当0a >时，求()f x 的单调递增区间；
（2）当0a <且[0,]2x π
∈时，()f x 的值域是[3,4],求,a b 的值.
新课程高中数学训练题组
（数学4必修）第三章 三角恒等变换 [提高训练C 组] 一、选择题
10
=（ ）
A ．1
B ．2
C D ．2．函数))(6
cos()3sin(2R x x x y ∈+--=π
π的最小值等于（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．1-
D ．
3．函数2sin cos y x x x =-的图象的一个对称中心是（ ）
A .2(
,3π B .5(,6π
4．△ABC 中，090C ∠=，则函数2sin 2sin y A B =+的值的情况（ ）
A ．有最大值，无最小值
B ．无最大值，有最小值
C ．有最大值且有最小值
D ．无最大值且无最小值
5．0000
(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是( )
A . 16
B . 8
C . 4
D . 2
6．当04
x π
<<时,函数22
cos ()cos sin sin x f x x x x =-的最小值是（ ） A ．4 B ．1
2
C ．2
D ．1
4
二、填空题
1．给出下列命题：①存在实数x ，使3sin cos 2
x x +=
； ②若,αβ是第一象限角，且αβ>，则cos cos αβ<；
③函数2sin()32
y x π
=+是偶函数；
④函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位，得到函数sin(2)4y x π=+的图象．
其中正确命题的序号是____________．（把正确命题的序号都填上）
2．函数x
x y sin 1
2tan -=的最小正周期是___________________。
3．已知sin cos αβ+13=，sin cos βα-1
2
=，则sin()αβ-=__________。
4．函数x x y cos 3sin +=在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最小值为 ．
5．函数(cos sin )cos y a x b x x =+有最大值2，最小值1-，则实数a =____，b =___。
三、解答题 1．已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，
（1）当0θ=时，求()f x 的单调区间；
（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数．
2．已知△ABC 的内角B 满足2cos 28cos 50,B B -+=，若BC a =，CA b =且,a b 满足：9a b =-，
3,5a b ==，θ为,a b 的夹角.求sin()B θ+。
人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_正弦函数、余弦函数的性质_基础
人教版高中数学必修四 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 正弦函数、余弦函数的性质 【学习目标】 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义； 2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)． 【要点梳理】 要点一：周期函数的定义 函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期. 要点诠释： 1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足 )()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期. 2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
要点诠释： （1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()y x =-的单调递增区间时， 应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相当于求sin y x =的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先 求定义域． 要点三：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的性质． 函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R （2）值域：[],A A - （3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由 )(222 2Z k k x k ∈+ ≤+≤- π πϕωπ π解出x 的范围所得区间即为增区间，由 )(2 3222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2 k k z π ϕπ=±∈时为偶函数； 对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2 k k z π ϕπ=±∈时为奇函数． 要点诠释： 判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． （5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T π ω = ． （6）对称轴和对称中心
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】
任意角的三角函数 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法||。 3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式||，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r += 1.三角函数定义： 在直角坐标系中||，设α是一个任意角||，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ||，它与 原点的距离为(0)r r ==>||，那么 （1）比值 y r 叫做α的正弦||，记作sin α||，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦||，记作cos α||，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切||，记作tan α||，即tan y x α=； （4）比值 x y 叫做α的余切||，记作cot α||，即cot x y α=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合||，α的终边没有表明α一定是正角或负角||，以及α的大小 ||，只表明与α的终边相同的角所在的位置； （2）根据相似三角形的知识||，对于确定的角α||，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2 k k Z π απ=+∈时||，α的终边在y 轴上||，终边上任意一点的横坐标x 都等于0||， 所以tan y x α= 无意义；同理当()k k Z απ=∈时||，y x =αcot 无意义； （4）除以上两种情况外||，对于确定的值α||，比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数||。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量||，比值为函数值的函数||，以上四种函数统称为三角函数||。
高中数学人教B版必修四讲义：第一章 1.3 1.3.1 第二课时 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) Word版含答案
1．3.1正弦函数的图象与性质 第二课时正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ) (1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？ (2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？
(3)函数y ＝A sin x ，x ∈R(A ＞0且A ≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？ (4)函数y ＝sin ωx ，x ∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？ [新知初探] 1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义 [点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π 4 . 2．φ，ω，A 对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响 (2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响 (3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响 [点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( ) (3)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭ ⎫x ＋π 3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (4)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．函数y ＝1 3sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π 6 B ．6π，13，π 6 C ．3π，3，－π 6 D ．6π，3，π 6 答案：B 3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 答案：A 4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 4倍(纵坐标不变)得________ 的图象． 答案：y ＝sin 4x [典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π 6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一 先伸缩后平移]
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(4)
1.6 三角形函数模型的简单应用 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标 1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤． 2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法． 3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点 1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题. 2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点 分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测 （1）函数y =sin （2x - 3 π ）的最小正周期为 π . （2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8 π x - 4 5π ）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.
(二)课堂设计 1.知识回顾 （1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象. （3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究 例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b . (1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】 解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃. (2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象, ∴A =21(30-10)=10,b =21 (30+10)=20. ∵21·ω π 2=14-6, ∴ω= 8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=4 3π. 综上,所求解析式为y =10sin(8 π x + 4 3π )+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.
人教版高中数学必修四第二章平面向量2.3平面向量基本定理及坐标运算(教师版)【个性化辅导含答案】
平面向量基本定理与坐标运算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算. 3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题. 4.了解平面向量的基本定理及其意义. 一、平面向量基本定理： 1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量a ，有且只有_一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 特别提醒： (1)我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、平面向量的坐标表示： 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个__单位向量_ i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有 且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………○ 1， 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 (,)a x y =…………○ 2
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○ 2式叫做向量的坐标表示 与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x 特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)= 特别提醒：设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也 就是向量OA 的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示 三、平面向量的坐标运算： （1） 若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +=1212(,)x x y y ++， a b -= 1212(,)x x y y -- 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =()2121,x x y y -- 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 （3）若(,)a x y =和实数λ，则a λ=(,)x y λλ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 （4）向量平行的充要条件的坐标表示：设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中b ≠a a ∥ b (b ≠0)的充要条件是12210x y x y -= 类型一 平面向量基本定理的应用 【1】 如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若 AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________. [审题视点] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →. 解析 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM → ＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12. 答案 1 2
【精品】人教版高中数学必修4
人教版高中数学 必修4 ------------------------------------------作者 ------------------------------------------日期
目录：数学4（必修） 数学4（必修）第一章：三角函数（上、下）[基础训练A 组] 数学4（必修）第一章：三角函数（上、下）[综合训练B 组] 数学4（必修）第一章：三角函数（上、下）[提高训练C 组] 数学4（必修）第二章：平面向量 [基础训练A 组] 数学4（必修）第二章：平面向量 [综合训练B 组] 数学4（必修）第二章：平面向量 [提高训练C 组] 数学4（必修）第三章：三角恒等变换 [基础训练A 组] 数学4（必修）第三章：三角恒等变换 [综合训练B 组] 数学4（必修）第三章：三角恒等变换 [提高训练C 组] （数学4必修）第一章 三角函数（上） [基础训练A 组] 一、选择题 1．设α角属于第二象限，且2 cos 2 cos α α -=，则 2 α 角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-； ③)10tan(-；④ 9 17tan cos 107sin πππ .其中符号为负的有（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 3．02120sin 等于（ ） A ．23± B ．23 C ．23- D ．2 1 4．已知4 sin 5 α= ，并且α是第二象限的角，那么 tan α的值等于（ ） A .43- B .34 - C .43 D .34 5．若α是第四象限的角，则πα-是（ ） A .第一象限的角 B.第二象限的角
人教版高中数学必修4-1.1《_弧度制》教学设计
《弧度制》教学设计 一、教学目标： （一）核心素养 通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系. （二）教学目标 1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性； 2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义； 3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化； 4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题 （三）学习重点 1．理解弧度“是什么”； 2．熟练弧度和角度之间“如何化”； 3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”； （四）学习难点 1．理解弧度“是什么”； 2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系 二、教学过程 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第6页至第11页． （2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？ 2．预习自测 =____________ （1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则AOB 【答案】1rad．
（2）2π rad =（）A．180° B．200° C．270° D．360° 【答案】D． （3）把50°化为弧度制（）A．50 B．5 18π C．18 5π D．9000π 【答案】B． （4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________ 【答案】2π；5π (二)课堂设计 1．知识回顾 （1）角的概念的推广； （2）终边相同的角的表示 2．问题探究 探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性； ●活动结合实例，引入弧度制 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里） 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.
最新人教版高中数学必修四试题及答案
必修四·数学试卷Ⅲ Ⅰ、选择题 一、选择题 1、若cos 2sin 5αα+=-，则tan α等于 （ ） A 、12 B 、2 C 、1 2 - D 、-2 2、已知函数2sin()(0)y x ωϕω=+>在区间[]0,2π上的图像如图所示，那么ω的值为 （ ） A 、1 B 、2 C 、 12 D 、13 3、函数sin y x =的值域为 （ ） A 、[]1,1- B 、3,3⎡⎤-⎣⎦ C 、3,1⎡⎤-⎣⎦ D 、1,3⎡⎤-⎣⎦ 4、已知函数sin()y A x ωϕ=+，把它的图像向左平移 3 π 个单位，再使其图像上每点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的13倍，所得的图像对应的函数解析式为2sin 23y x π⎛ ⎫=- ⎪⎝⎭ ，则原函数的解析式为 （ ） A 、22sin 39y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B 、2 22sin 3 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C 、252sin 39y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D 、72sin 63y x π⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭ 5、设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=，则(2)a b c +等于 （ ） A 、（-15，12） B 、0 C 、-3 D 、2 5 - 6、若两个非零向量,a b 使得a b a b -=+成立，则下列各式成立的是 （ ） A 、1a b = B 、a b a b = C 、a b a b =- D 、a b a b a b -<< 7、设1,2a b ==，且,a b 的夹角为120︒，则2a b +等于 （ ） A 、2 B 、4 C 、12 D 、23 8、已知(2cos ,2sin ),,,(0,1)2a b πθθθπ⎛⎫ =∈=- ⎪⎝⎭ ，则向量a 与b 的夹角α为 （ ） A 、3 2 πθ- B 、 2 π θ+ C 、2 π θ- D 、θ 9、已知4cos sin 365παα⎛ ⎫ - += ⎪⎝ ⎭，则7sin 6πα⎛ ⎫ + ⎪⎝ ⎭ 等于 （ ） A 、235- B 、235 C 、4 5 - D 、45 10、函数sin 1()(02)32cos 2sin x f x x x x π-= ≤≤--的值域为 （ ） A 、2,02⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦ B 、[]1,0- C 、2,0⎡⎤-⎣⎦ D 、3,0⎡⎤-⎣⎦ 11、若0,sin cos ,sin cos 4 a b π αβααββ<<< +=+=，则 （ ） A 、a b < B 、a b > C 、1ab < D 、2ab > 12、函数24cos cos y x x =-的最小正周期是 （ ） A 、 2π B 、π C 、3 2 π D 、2π Ⅱ、非选择题 二、填空题 13、已知tan 3,α=则 2 22sin 4cos 3 αα+= . 14、函数2 1sin 2cos y x x =-+的最大值是 .最小值是 . 15、已知(3,2),(1,1)a b ==-，则,a b 的夹角的余弦值为 . 16、已知44 cos(),cos(),90180,27036055 αβαβαβαβ-=- +=︒<-<︒︒<+<︒，则sin2α= . 1 1 y x O 第2题
高中数学(平面向量习题课)教学案 新人教版必修4 教学案
平面向量习题课 一、课前自主导学 【学习目标】会利用向量基本定理解决简单问题；掌握线段中点的向量表达式． 【重点、难点】平面向量基本定理及其应用．平面向量基底的理解和定理的应用 【温故而知新】平面向量基本定理 如果e 1和e 2(如图2－3－7①)是同一平面内的的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，存在一对实数λ1，λ2，使 (如图2－3－7②)，其中的向量e 1和e 2叫作表示这个平面内 所有向量的一组． 答案：2.两个不共线唯一a ＝λe 1＋λ2e 2不共线基底 【预习自测】1．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB → .可作为该平面其他向量基底的是( B ) A ．①② B ．①③C ．①④ D ．③④ 2．如果e 1、e 2是平面内所有向量的一组基底，那么(A ) A ．若实数m 、n 使得m e 1＋n e 2＝0，则m ＝n ＝0 B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2为实数 C ．对于实数m 、n ，m e 1＋n e 2不一定在此平面上 D ．对于平面内的某一向量a ，存在两对以上的实数，m 、n ，使a ＝m e 1＋n e 2 【我的疑惑】 二、课堂互动探究 【例1】向量共线的性质定理的应用 已知△OAB ,若=x +y ,且点P 在直线AB 上,则x ,y 应满足什么 条件?
【解析】由=x +y ,且点P 在直线AB 上,知存在实数λ使得=λ=λ(-),而 =-,故 =(1-λ)+λ. 在△OAB 中,, 不共线,所以x=1-λ,y=λ,故有x+y=(1-λ)+λ=1. 变式：BO 是△ABC 中AC 边上的中线,=a ,=b ,试用a 、b 表示 . = -=b -a .∵BO 是△ABC 边AC 上的中线,∴= , 又 = + =2 ,∴ ==(b -a ).=+=a +(b -a )=a +b -a =(a +b ) 【例2】；设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝mPB →(m ≠－1)，O 是直线所在平面内一点，则OP → 用OA →，OB → 表示为 【解析】 由AP →＝mPB →得OP →－OA →＝m (OB →－OP → )， ∴OP →＋mOP →＝OA →＋mOB →，∴OP →＝OA →＋mOB → 1＋m . 变式：在ABC ∆中, 2,,,,AD DC BA a BD b BC c ====,则下列等式成立的是（ ） A ． 2c b a =- B ． 2c a b =- C ． 322a b c =- D ． 322 b a c =- 【例3】如图,在△ABC 中, =,P 是BN 上的一点,若 =m +,某某数m 的值. 由图可知=m +μ=m +,所以=,所以μ=. 又B ,P ,N 三点共线,所以m+μ=m+=1,即m= 【例4】如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．若用基底AB ，AC 表示AD ，则AD ＝ ________________.【答案】34AB ＋1 4AC 【解析】∵D 是BC 边的四等分点， ∴BD ＝14BC ＝1 4(AC －AB ) ∴AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋1 4(AC －AB ) ＝34AB ＋1 4AC .
2019-2020年高中数学《2.2.1向量的加法》教学案新人教版必修4
2019-2020年高中数学《2.2.1向量的加法》教学案新人教版必修4 【学习目标】 1. 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 【学习重点】会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 【学习难点】理解向量加法的定义 【教材助读】 情景引入：（预习教材P74—P76） （1）某人从A 到B ，再按原方向从B 到C ， 则两次的位移和： AC → （2）若上题改为从A 到B ，再按反方向从B 到C ， 则两次的位移和： AC → （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和： AC → （4）船速为，水速为，则两速度和： AC → 合作探究 探究一：向量加法——三角形法则和平行四边形法则 问题1：在情景引入（3）中两次位移的和向量与向量,的关系如何？ 1、向量加法的三角形法则(“首尾相接”)：已知非零向量，在平面内任取一点A ，作，则向量___AC →_______叫做与的和，记作_________ ，即=__ __ __=_AC → _____ ，这种求向量和的方法称为向量加法的 三角形 法则. 2、向量加法的平行四边形法则：已知向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，再作平行AD →的BC → ＝b ，连接DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，向量AC →叫作向量a 与b 的和，表示为AC → ＝a ＋b 3、对于零向量与任一向量，我们规定=_________=____. 探究二：向量加法的交换律和结合律 A B C A B C A B C
问题2：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？ 4、对于任意向量，，向量加法的交换律是：___ a ＋b ＝b ＋a ____ 结合律是：_(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )________ ____. 小结：在三角形法则中 “首尾相接”，是第二个向量的 始点 与第一个向量的 终点 重合. 拓展提升 一般地|+|≤ || + || 当与不共线时，|+||| + || 当与共线且同向时，|+|=|| + || 当与共线且反向时，|+|=||| —||| 【预习自测】 1．化简 2．在平行四边形ABCD 中，下列各式中不成立的是 (1)(2)(4) （1） （2） （3） （4） 3．已知正方形ABCD 的边长为1，===,, AB a AC c BC b ，则为（ ） A ．0 B ．3 C ． D ． 【答案】D 二、课堂互动探究 【例1】化简下列各式： (1)PB →＋OP →＋OB →；(2)AB →＋MB →＋BO →＋OM → 解：(1)PB →＋OP →＋OB →＝(OP →＋P B →)＋OB →＝OB →＋OB →＝2OB → ； (2)AB →＋M B →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋M B →)＝AO →＋OB →＝AB →. 【巩固训练】 化简: (1)CD →＋BC →＋AB → ； (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →； (3)AO →＋OB →＋OC →＋CA →＋BO →． 解：(1)原式＝AB →＋BC →＋CD →＝AD → ； (2)原式＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝0； (3)原式＝(AO →＋OC →)＋CA →＋(OB →＋BO →)＝AC →＋CA → ＋0＝0. 【例2】如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →；
[精品]新人教版高中数学必修41.4.2正弦、余弦函数的性质优质课教案
142正弦、余弦函数的性质 教目标： 1、知识与技能 掌握正弦函数和余弦函数的性质． 2、过程与能力目标 通过引导生观察正、余弦函数的图像，从而发现正、余弦函数的性质，加深对性质的理解．并会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间． 3、情感与态度目标 渗透数形结合思想，培养生辩证唯物主义观点． 教重点：正、余弦函数的周期性；正、余弦函数的奇、偶性和单调性。教难点：正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用。 正弦、余弦函数的性质(一) 教过程： 一、复习引入： 1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2．观察正（余）弦函数的图象总结规律： 自变2π - 3 2 π -π- 2 π -0 2 ππ3 2 π 2π
量x [] 函数值 sin x 1 0 1- 0 1 0 1- 0 [] 正弦函数()sin f x x =性质如下： （观察图象） 1︒ 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； 2︒ 规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2π∈ 重复出现） 3︒ 这个规律由诱导公式sin(2π+)=sin 可以说明[] 结论：象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言： 当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有 (2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． – – π 2 π 2 π - 2π 5π π- 2π- 5π - O x y 1 1-
也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课： 1．周期函数定义：对于函数f ()，如果存在一个非零常数T ，使得当取定义域内的每一个值时，都有：f (+T)=f ()那么函数f ()就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 6 36π ππ+ =，能否说23 π 是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期 是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠） （3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ， *k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+ ） 2、说明：1︒周期函数∈定义域M ，则必有+T ∈M 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； 2︒“每一个值”只要有一个反例，则f ()就不为周期函数（如f (0+t)≠f (0)） 3︒T 往往是多值的（如y=sin 2π4π…-2π-4π…都是周期） 周期T 中最小的正数叫做f ()的最小正周期（有些周期函数
新教材 人教B版高中数学必修第四册全册各章知识点汇总及配套习题
人教B高中数学必修第四册全册各章知识点汇总 第九章解三角形.................................................................................................................... - 1 - 第十章复数 ......................................................................................................................... - 12 - 第十一章立体几何初步...................................................................................................... - 19 - 第九章解三角形 知识体系 题型探究 利用正弦、余弦定理解三角形 【例1】如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BD＝5，AB⊥BC，∠BCD
＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2. (1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积． [思路探究] (1)由面积公式求出sin ∠ABD ，进而得cos ∠ABD 的值，利用余弦定理可解； (2)由AB ⊥BC 可以求出sin ∠CBD 的大小，再由二倍角公式求出sin ∠BCD ，可判断△CBD 为等腰三角形，利用正弦定理求出CD 的大小，最后利用面积公式求解． [解] (1)由S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝1 2×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝2 55， 又∠ABD ∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ， 可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5. (2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π 2， 所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝5 5. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝4 5，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD . 在△CBD 中，由正弦定理知， BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ， 得CD ＝BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD ＝5×55 45 ＝5 4，
高中人教版数学必修4学案：第1章-1.1.2-弧度制-【含答案】
1.1.2弧度制 学习目标核心素养1.体会引入弧度制的必要性，了解弧度制 下，角的集合与实数集之间的一一对应 关系． 2．能进行弧度与角度的换算、掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，提升学生数学抽象素养．2．在类比和数学运用过程中，培养学生数学建模和数学运算素养. 1．度量角的两种单位制 角度制 定义用度作为单位来度量角的单位制1度的 角 周角的 1 360为1度的角，记作1° 弧度制 定义以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度 的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角.1弧度记作1 rad 2．弧度数的计算 思考：比值l r 与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 3．角度制与弧度制的换算
4．一些特殊角与弧度数的对应关系 度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧 度 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π5.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则： (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝ 1 2lR＝ 1 2αR 2. 1．下列说法中错误的是() A．1弧度的角是周角的 1 360 B．弧度制是十进制，而角度制是六十进制 C．1弧度的角大于1度的角 D．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 A[A错误，1弧度的角是周角的 1 2π.B、C、D都正确．] 2．(1) 7π 5化为角度是________． (2)105°的弧度数是________． (1)252°(2) 7π 12[(1) 7π 5＝⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ 7π 5× 180 π°＝252°； (2)105°＝105× π 180rad＝ 7π 12rad.] 3．半径为2，圆心角为 π 6的扇形的面积是________． π 3[由已知得S扇＝ 1 2× π 6×2 2＝ π 3.]
【高中数学】旧人教版高中数学必修4全册教案80页
1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B
高中数学必修四习题答案
高中数学必修四习题答案 高中数学必修四习题答案 高中数学必修四是学生们在学习数学过程中必须掌握的一门课程。而在学习过程中，习题是检验学生掌握程度的重要手段。本文将为大家提供一些高中数学必修四习题的答案，帮助学生们更好地复习和巩固知识。 一、函数与导数 1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(x)的导函数f'(x)。 答案：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4 2. 函数y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1在点(1, 1)处的切线方程是什么？ 答案：切线方程为y = -2x + 3 3. 已知函数y = e^x + ln(x)，求y的导函数。 答案：y' = e^x + 1/x 二、三角函数 1. 已知sinθ = 3/5，且θ是第二象限角，求cosθ的值。 答案：cosθ = -4/5 2. 已知tanα = 2/3，且α是第四象限角，求sinα的值。 答案：sinα = -2/√13 3. 已知cosβ = -1/2，且β是第三象限角，求tanβ的值。 答案：tanβ = √3 三、概率与统计 1. 有一袋中有4个红球和6个蓝球，从中不放回地抽取2个球，求抽到两个红球的概率。
答案：抽到两个红球的概率为4/9 2. 一批产品中有10%的次品，现从中随机抽取5个进行检验，求恰好有2个次品的概率。 答案：恰好有2个次品的概率为0.3024 3. 一组数据为5, 7, 9, 11, 13，求其平均数。 答案：平均数为9 四、平面向量 1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (4, 1)，求向量a与向量b的数量积。 答案：a·b = 11 2. 已知向量a = (3, -1)和向量b = (2, 4)，求向量a与向量b的叉积。 答案：a×b = 14 3. 已知向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，求向量a与向量b的夹角。 答案：夹角θ = arccos(11/√30) 五、立体几何 1. 已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，求其对角线AC的长度。 答案：对角线AC的长度为a√3 2. 已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，求其表面积。 答案：表面积为6a^2 3. 已知棱长为a的正方体内切于一个半径为R的球，求R与a的关系。 答案：R = a/√2 通过以上习题的答案，希望能够帮助到学生们更好地理解和掌握高中数学必修四的知识。在学习过程中，不仅要会做题，更要理解其中的原理和方法。只有
高中数学(人教A版)必修4：2-2-3同步试题(含详解)
高中数学(人教A 版)必修4同步试题 1．给出下列四个结论 ①AB →－AC →＝BC →； ②0(a )＝0； ③0(0)＝0； ④若两个非零向量a ，b 满足a ＝k b (k ≠0)，则a ，b 方向相同． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①AB →－AC →＝CB → ，∴①错．②0(a )＝0，∴②错． ③0(0)＝0正确．④a 与b 共线，方向可能相同，也可能相反，∴④错．因此正确的只有③，应选B. 答案 B 2．下列叙述不正确的是( ) A ．若a ，b 共线，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . B. b ＝3a (a 为非零向量)，则a ，b 共线 C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝3 2a ＋2b ，则m ∥n D ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c 解析 判断a 与b 共线的方法是：存在实数λ，使a ＝λb .在A 中，若b ＝0时不成立．B 正确．在C 中，m ＝2n ，∴m ∥n ，∴C 正确．D 也正确，所以应选A. 答案 A 3．下列说法不正确的是( ) A ．若AO →＝3 4OB → ，则A ，O ，B 三点共线 B ．若AO →＝3 4 OB →，则AO →∥OB → C ．若|λa |＝|λ||a |(λ∈R )，则λa 与a 方向相同 D ．若a ＝4m ＋n ，b ＝m ＋n 则a －b ＝3m 解析 A 、B 、D 正确，C 错．应选C. 答案 C
4．若AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，则BC → 为( ) A.43a ＋2 3b B.23a ＋4 3b C.23a －23 b D ．－23a ＋23 b 解析 如右图所示，设AD 与BE 相交于O ，则AO →＝23AD →，OD →＝13AD →，BO →＝23BE →，OE →＝1 3BE → . ∴BC →＝2BD →＝2(BO →＋OD → ) ＝2(23BE →＋13AD →)＝43b ＋2 3a ，应选B. 答案 B 5．已知O 是直线AB 外一点，C ，D 是线段AB 的三等分点，且AC ＝CD ＝DB .如果OA →＝3e 1，OB →＝3e 2，那么OD → 等于( ) A ．e 1＋2e 2 B. 2e 1＋e 2 C.23e 1＋1 3 e 2 D.13e 1＋2 3 e 2 解析 如图所示，OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋2 3AB → ＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13OA →＋2 3 OB → ＝e 1＋2e 2，应选A.
