渤海大学
本科毕业论文
题目非惯性系下力学问题的研究完成人姓名张亚楠
主修专业物理学教育
所在院（系）数理学院物理系入学年度2008年
完成日期2011年6月1日指导教师丁文波
非惯性系下力学问题的探讨
张亚楠渤海大学物理系
摘要：非惯性参照系就是能够对同一个被观测的单元施加作用力的观测参照框架和附加非线性的坐标系的统称。在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。了解非惯性系下的力学问题很重要。对于非惯性系的研究已经从传统的理论已经从传统的理论教学扩展到实际生活应用领域，从宏观研究深入到微观领域。随着生活领域的不断扩大，对非惯性系下的元器件动力学行为，特别是非线性动力学行为的研究还有很大的空间。在直升机转子等航空发动机转子的动力学研究中，应用的也主要是非惯性系动力学的理论知识。近年来通过研究发现，在非惯性系中两体问题、摩擦力、压强以及浮力问题等都得以解决。本文阐述了惯性系和非惯性系的区别，由惯性力着手，把牛顿第二地定律引入到非惯性系中，分析了牛顿第二定律的适用条件，并对非惯性系下的力学问题进行研究。第一部分对非惯性系和惯性系进行概述。第二部分对非惯性系下摩擦力的研究进行了讲述，摩擦力从动于包括惯性力在内的其它力作用。第三部分通过分析在非惯性系中液体内部浮力和压强的变化，阐述了在不同参考系下液体浮力和压强的变化规律。
关键词：非惯性系；摩擦力；压强；浮力
Mechanics Problems in the non-inertial frame
Zhang Ya-nan Department of Physics，Bohai University Abstract:Collectively referred to as the coordinate system of the observation frame of reference and additional non-linear non-inertial frame of reference is the ability to exert force on the same observation unit. In classical mechanics, no one makes the "failure of the principle of Galilean relativity" frame of reference is the so-called "non-inertial frame of reference. Mechanical problem is very important to understand the non-inertial frame. For non-inertial frames from the traditional theory has been expanded from the traditional teaching of the theory to real-life applications, from a macro research into micro areas. With the continuous expansion of areas of life, the dynamic behavior of non-inertial frame components, especially the study of nonlinear dynamic behavior there is a lot of space. The study of helicopter rotor aero-engine rotor dynamics, the application of theoretical knowledge of non-inertial frame dynamics. In recent years, the study found that two-body problem in the non-inertial, friction, pressure and buoyancy problems are all resolved. This paper describes the difference between inertial frames and non-inertial frames, to proceed by the inertia force, the introduction of Newton's second law of land to the non-inertial reference frame, Newton's Second Law applies to conditions, mechanical problems and non-inertial frame study. The first part an overview of the non-inertial frames and inertial frames. The
second part of the non-inertial friction about the friction follower force, including the inertia force. The third part through the analysis of liquid internal buoyancy and pressure change in the non-inertial reference frame on a different reference liquid buoyancy and pressure variation.
Key words: Non-inertial；Friction；Pressure；Buoyancy
目录
引言 (1)
一、非惯性系概述 (3)
（一）非惯性系和惯性系 (3)
（二）平动非惯性参考系 (5)
1.平动的非惯性系 (5)
2. 非惯性系中牛顿运动定律的应用 (7)
（三）转动非惯性参考系 (11)
1. 转动坐标系中的运动学问题 (11)
2. 转动非惯性系中的动力学问题 (13)
3. 落体偏东——地球自转的动力学效应 (13)
二、非惯性系中摩擦力的研究 (14)
（一）摩擦力的从动性 (14)
（二）非惯性系中的摩擦力 (15)
1.惯性力的具体形式 (15)
2.静摩擦力 (16)
3.滑动摩擦力 (16)
三、非惯性系中液体内部的浮力和压强的讨论 (17)
（一）惯性系中液体内部浮力和压强的表达式 (17)
（二）非惯性系中液体内部浮力和压强的表达式 (18)
结论 (25)
参考文献 (26)
非惯性系下的力学问题的研究
引言
经典理论认为凡是牛顿运动定律适用的参照系为惯性系，牛顿运动定律不成立的参照系为非惯性系[1]。所有相对于惯性系做匀速直线运动的参照系都是惯性系，相对于惯性系做非匀速直线运动的参照系就不是惯性系。在一般精度范围内，地球或静止在地面上的任一物体都可以近似看作惯性系。同样，在地面上做匀速直线运动的物体也可以近似地看作惯性系，但在地面上做变速运动的物体就不能看作惯性系[2,3]。可以看出，经典理论是把匀速直线运动的参照系作为惯性系，非匀速直线运动的参照系作为非惯性系[4,5]。
在研究地面上物体的运动时，为了研究问题的方便，人们通常取地球作为参照系，即惯性参照系，凡相对惯性系作变速运动的参照系就是非惯性参照系。两者惟一的差别就是在非惯性系中存在一个引力场。对参照系作了分类，并提出了参照系的选择原则[6]。从相对性和绝对性对参照系和惯性系及非惯性系作了论述。
研究在惯性参照系下机械运动所遵循的规律的力学被称之为“经典力学”，因此牛顿力学只有在惯性参照系中才能成立[7,8]。在不同参照系中观察同一物体的运动，所得的描述物体运动的结论并不相同。但是，可以通过在非惯性参照系中引进一个假设的力———惯性力，牛顿运动定律在非惯性参照系中便能成立了[9]。对非惯性系的理论研究，其关键点为引入牛顿力的概念，运用牛顿第二定律建立动力学运动微分方程，便可求出各个物理量。运用能量定理及守恒定律解决非
惯性系中的比较特殊的质点运动，尤其是指两质点的相对速度问题，比运用动力学方程简捷和方便得多[10]。对于非惯性系中理想流体的动力学方程问题，在近些年来也有研究。在非惯性系中引入惯性力和等效势能的概念，或是运用非惯性系中流体动力学方程，都可推导出非惯性系中伯努利方程的等效形式，用以解决流体动力学问题[11]。同样，通过研究发现，在惯性系中适用的阿基米德定律，在非惯性系中也可以用来解决流体动力学问题和流体流溢的边界条件问题[12]。
一、非惯性系的概述
(一)非惯性系和惯性系
凡是牛顿第二定律能够适用的参照系称为惯性参照系。
经典力学的相对性原理指出，一切力学规律在相互作匀速运动而无转动的参考系中都是相同的。在一个作匀速直线运动的密封座舱中的观察者，无法通过内部的力学实验来判断座舱相对于恒星是静止的还是在作匀速运动的，他只有朝窗外看才能知道，但仍然无法判断究竟是座舱还是恒星在运动。另一方面，参考系在力学上的这种等效，并非对任意运动的参考系都成立。在颠簸运行的火车里和在作匀速运动的火车里，力学运动并不服从同样的定律。在精确地写相对于地球的运动方程时，必须考虑地球的转动。一个参考系，如果自由质点在其中作非加速运动,就称为惯性参考系或伽利略参考系,所有相互作非加速运动而无转动的参考系都是惯性参考系。
判断一个特定参考系是不是惯性系，取决于能以多大的精确度去测出这个参考系的微小加速度效应。在地面上的一般工程动力学中，由于地球的自转角速度较小，地面上一点的向心加速度很小，可取与地球固连的坐标系作为惯性参考系。在一些必须把地球自转计算在内的问题中，例如研究陀螺仪表的漂移时，可采用地球中心坐标系作为近似的惯性参考系，其原点与地球中心重合，轴指向所认定的恒星。天文学中则采用黄道坐标系或银道坐标系作为惯性参考系。
牛顿第二定律不适用的参照系称为非惯性参照系。
非惯性参考系附加引力场，考虑在高空向地球坠落的小物体，
简化为不考虑空气和地球旋转的影响，那么分别选择地球和小物体为参照系情况有所不同，若以地球为参照系，由于地球近似为惯性系，所以小物体做自由落体运动，到达地面过程中动能不断增加，其动能是由势能转换而来的，能量守恒成立。若以小物体为参照系，小物体是非惯性系，按照广义相对论，其中有一个附加引力场，引力场指向上。地球在附加引力场作用下，沿着附加引力场方向加速运动，附加引力场对地球做功，地球的动能不断增加，直至落到作为参照系的小物体上。
通过动力学实验找到惯性系，从而确定任意一个对象的加速度。牛顿以“水桶实验”来证实其可行性。当一个盛水的水桶带着桶里的水转起来的时候，水面会由平坦变成凹形，如果水桶停止转动而水未停下，水面仍会呈凹形。如果建立一个与水相对静止的转动参照系，那么在这个参照系里水是静止的，但这个参照系里的实验者却会发现，似乎有一个向外的力维持着水面的形状，不让四周的水向中心回流，于是实验者便可以下结论：我所在的系是个非惯性系，其中有惯性力维持着水面的凹形。推而广之，只要在某个参照系里，水静止但水面不平坦，这就可作为非惯性系的判断依据，这个非惯性系中存在着惯性力。牛顿认为，参照系中若发生这种情况，则说明它是一个相对于“绝对空间”有加速运动的参照系，并且通过动力学实验可以测量出绝对的加速度。
然而这充其量只是一个判据，尚不足以说明惯性力究竟是从何而来的，曾经遭受过马赫的强烈批判。后来的狭义相对论虽然否定
了绝对空间，但也并没有解决这个问题。另一方面，爱因斯坦尝试将万有引力纳入狭义相对论框架时失败了，他后来在马赫原理的启发下提出了等效原理和广义相对性原理，取消了惯性系的优越地位，因此不再有必要区分惯性系与非惯性系，后来进一步建立了广义相对论。
一个物体在非惯性参照系中似乎在力作用下发生了加速运动，可是却找不到其施力物体。为了迎合牛顿第二定律，人们假设了物体受到一个力的作用，这个力由物体的质量及其加速度的乘积决定，但是由于找不到施力物体，人们认为这不是一个真实存在的力，而是一个虚构的力，把这个力称为“惯性力”。
惯性力是指当物体加速时，惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该物体为座标原点，看起来就彷佛有一股方向相反的力作用在该物体上，因此称之为惯性力。因为惯性力实际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因此惯性力又称为假想力。“惯性力”大小取决于物体的加速度大小，而物体的加速度大小实际又取决于非惯性参照系相对于惯性参照系的加速度。
(二)平动非惯性参考系
1.平动的非惯性系
在相对惯性系以加速度A 平动的非惯性系中，如果设想质量为m 的
质点除受到一般的力以外,还受到一个假想的等于)(A m 的力，称为惯
性力,那么在非惯性系中，质点受到的外力和惯性力的合力,等于质量
与加速度的乘积。这个命题叫做非惯性系牛顿第二定律。在惯性系中,以加速度a
运动的质点满足
a m F =∑
两边同加上)(A m -,则有 )()(A a m A m F -=-+∑
事实上,在惯性系中以加速度a
运动的质点，在相对惯性系以加速度A 平动的非惯性系中，运动的加速度A a a -='，所以上式可改写为 a m A m F '=-+∑
)( 此式表明,在非惯性系中，质点受到的一般的力和假想的等于)(A m -的
力的合力，等于质量乘以加速度。
惯性力的定义为，在相对惯性系以加速度A 平动的非惯性系中，
假想质量为m 的质点受到一个等于)(A m -的力(这个力没有施力物体，
叫做惯性力。在这种非惯性系中，引入了惯性力概念，就可以应用非惯性系牛顿第二定律。
比如装有水的桶，质量为M ，放在跟水平面成α角的斜面上，如图(1-1)所示，水桶和斜面之间的动摩擦因素等于μ。
图（1-1） 图（1-2）
要使水桶沿斜面向下平动时，水桶中的水面和斜面相平行，我们来计算沿斜面方向作用在水桶上的外力F 的大小。
地面可以认为是惯性系(后面有较为详细的阐述),设水桶沿斜面向下的加速度,大小为A ,水的质量为m , 那么在固定于水桶的坐标系中,水受到的惯性力是沿斜面向上的,大小为mA 。 在水桶坐标系中水处于静止状态, 水受到的重力和惯性力这两个主动力的合力应该垂直于水面,应该垂直于斜面向下,如图（1-2）所示，mA 应满足 αsin mg mA =，
αsin g A = 。
下面在地面坐标系对水桶(包括其中的水 )应用牛顿第二定律, MA Mg Mg F =-+αμαcos sin ，
于是αμcos Mg F =。
2.非惯性系中牛顿运动定律的应用
(1)非惯性系中牛顿定律的修正
设物体的质量为m ，作用在物体上的外力为F ，非惯性系（加速参考系）相对于惯性系的加速度为a ，物体相对于非惯性系的加速度为a '。
则)(a a m F '+=，
即a m a m F '=-+)(,
或a m f F '=+。
其中a m f '-=为惯性力。
此式就是非惯性系中得质点运动的动力学方程。它表明在非惯性参考系中，外力与惯性力的合力等于质点的质量与相对加速度的乘积。引入惯性力后就可在非惯性系中应用牛顿定律来解决力学问题了。
(2)非惯性系中牛顿定律的推广应用
在非惯性系中应用修正后的牛顿第二定律解题的基本步骤如下，①确定研究对象，分析它受到的作用力。②选取参考系，建立坐标系。③由惯性力公式计算出惯性力。④应用非惯性系中的牛顿第二定律公
式a m f F '=+进行计算。
在非惯性系中应用修正后的牛顿定律解决问题，可使某些动力学问题变成静力学问题，使问题得到简化，同时在非惯性参照系中能比较圆满的解决一些复杂的问题。新课程物理介绍了惯性系和非惯性系。区分惯性系和非惯性系就在于分清坐标系的加速度是否等于零。如果某个参考系的加速度为零，则该参考系就是惯性系，在惯性系内，对研究对象而言，牛顿定律成立；如果某个参考系的加速度不为零，则该参考系就是非惯性系，在非惯性系内，对研究对象而言，牛顿定律不成立；而如果我们假设研究对象除了受到其它的力以外，还受到一个惯性力的作用，则在该非惯性系内，对研究对象就可以用牛顿定律进行求解了。
下面探讨个问题，如图1-3，一个质量为m 的光滑小球，置于升降机内倾角为θ的斜面上。另一个垂直于斜面的挡板同小球接触，挡板和斜面对小球的弹力分别为1N 和2N 。
图1-3
起初，升降机静止，后来，升降机以a 向上加速运动。来求升降机静止和以a 加速运动这两种情况下，挡板和斜面对小球的弹力分别为多少。
在惯性系中运用牛顿第二定律，首先对小球进行受力分析。
建立平面直角坐标系，如图1-4。
图1-4
ma mg N N =-+θθcos sin 21
θθsin cos 21N N =
可得到，
θsin )(1a g m N +=
θcos )(2a g m N +=
有另一种分析方法，从另一种角度来说，本题中如果以电梯为参考系（非惯性参考系），则小球处于静止状态，其受力情况处于平衡状态。
图1-5
小球的受力情况如图1-5所示，则（其中，*f 为惯性力的大小） *21cos sin f mg N N +=+θθ，
θθsin cos 21N N =，
ma f =*。
可以得到
θsin )(1a g m N +=，
θcos )(2a g m N +=。
综上所述，可以发现不管是在惯性系中还是在非惯性系中求解物理问题，尽管各种方法的具体的步骤有所区别，但是最后必定要得到相同
的结果。
（三）转动非惯性参考系
为了描述地球表面或其附近质点的运动，选择与地球固连的坐标系是一个比较好的惯性系。然而，相对于与某一个不动的恒星固连的惯性系来看，地球则在做包含多种转动的复杂运动，因此而产生多种加速度。所以，地球也是一个非惯性系，尽管人们处理日常遇到的动力学问题时，常把它作为惯性系，而且仍能得到满意的结果。但是有一些现象，却是把地球作为惯性系所不能解释的，地球坐标系的非惯性本质可引起许多重要效应。
1.转动坐标系中的运动学问题
今设有两套坐标系，其一个坐标系xy O -是“固定”的，或者说是惯性的（简称为定系S ），另一个坐标系xy O -（简称为动系S '）相对于惯性系转动。质点相对于定系S 的运动叫做绝对运动，其速度、加速度叫做绝对速度v 和绝对加速度a ；质点在动系S '中的运动称为相对运动，其速度r ν、加速度r a 称为相对速度和相对加速度，动系相对
于定系的运动称为牵连运动。
设转动坐标系S '与静止坐标系S 有共同的坐标原点O ，转动坐标系S '旋转的基向量记为e ：),,(321e e e e =，则动点M 的位置矢量可表为 k k e x e x e x e x r =++=332211 )3,2,1(=k
（1-1） 考虑到
t d d k k e e ⨯=ω ，可得动点M 绝对速度为， t r k k k k k k k k v v r e x e x e x e x dt
d dt r d v +=⨯+=⨯+===ωω)( （1-2） 其中k k r
e x v =为相对速度，r v t ⨯=ω为牵连速度。
动点M 绝对加速度为
)()(t r r k k k k k k v v r v e x r dt
d e x e x dt v d a +⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯+==ωβωωω， 整理可得到
c t r a a a a ++=，
或)()(c t r a a a a -+-+= （1-3）
其中k k r e x a =为相对加速度，t t v r a ⨯+⨯=ωβ为牵连加速度，r c v a
⨯=ω2为科里奥利加速度，简称为“科氏加速度”。
如下情况下科氏加速度c a 均为零：当牵连运动为平动，即0=ω时；当质点相对静止、作圆周运动，即0=r v 时；当ω 与r v 平行时。
科氏加速度是法国工程师科里奥利研究水轮机时首先发现的，它产生的原因有二点：一是质点的相对运动使它相对于动参考系的位置发生改变，从而引起牵连速度大小的改变，于是对绝对速度贡献一个加速度r v ⨯ω；二是动参考系的转动（牵连运动）使质点相对速度的方
向发生变化，引起相对速度对绝对速度的贡献发生变化，又产生了一个加速度r v ⨯ω；这就是科氏加速度的物理意义。
2.转动非惯性系中的动力学问题
把加速度公式(1-3)代入F a m =，移项整理可得转动非惯性系中的动力学方程为
)()(c t r a m a m F a m -+-+= （1-4） 其中
*22)(F v m v m a m r r c =⨯=⨯-=-ωω （1-5)
称为科里奥利力，它垂直于相对运动速度v ' 和参考系转动角速度ω
两
个矢量，相似于磁场对运动电荷的洛伦兹力为
B v q F ⨯= (1-6) 在均匀磁场中，洛伦兹力的作用使得带电粒子作圆周运动；在科里奥利力的作用下，质点相对于S '系旋转运动。科氏力和洛伦兹力一样，是对物体不做功的“无功力”。
必须指出，在旋转非惯性系中引入的惯性离心力和科里奥利力，是由于旋转坐标系中的观察者的看法与平动坐标系中的不一样而产生的，都只是运动学效应，不存在效应的反作用力。因此，引入惯性力后，牛顿第一定律、第二定律在非惯性系中依然适用，而第三定律却不再适用。科里奥利力在微观现象中也有所表现，它使得转动分子的振动变得复杂了，使得分子的转动和振动能谱之间互相影响。
3.落体偏东——地球自转的动力学效应
取地面上一点O 作为坐标原点，铅直向上为z 轴，以x 轴指向南方，y 轴指向东方，这种坐标系称为地面坐标系。地面附近的质点P 在地面坐标系中的运动方程为
)()(0c t r a m a m mg F a m -+-++=
（1-7） 其中F 代表地球以外其它物体的作用，0mg 是地球的万有引力，)(c a m -为科氏力，在地球匀角速自转的情况下)(t a m
-就是垂直自转轴向外的惯性离心力。
通常把重力理解为地球对地面上物体的引力（惯性系中观测）。实际测量只能在有自转的地面上进行，总含有地面参考系（转动非惯性系）的惯性力。测量相对于地面静止的物体受到的引力，总无法避
免惯性离心力的作用。实际所观察到的重力如下，
k mg a m mg mg t -=-+=)(0 （1-8）
质量为m 的物体静止在纬度为λ处的地面上，物体受到地球引力大小20R
GM m mg =，受到惯性离心力大小为λωcos 2R m a m e = ，实际测得的重力是这两个力的合力，称为表观重力或视重大小为mg ，视重并不指向地心，而是垂直于地面，由此可以断定地球呈椭球形。
二、非惯性系中摩擦力的研究
(一)摩擦力的从动性
关于摩擦力问题要分两种情况来分析，一种是物体间无滑动，即只有相对运动的趋势，没有相对运动，此时的摩擦力为静摩擦力。静摩擦力可根据物体处于平衡状态判断出摩擦力等于引起相对运动趋势的外力，F f =静，另一种是物体间有滑动，即物体问有相对运动，
此时的摩擦力为滑动摩擦力，其大小为μN f = ，方向与相对运动方向
相反。
在研究静摩擦力时，摩擦力始终等于或小于最大静摩擦力，设被研究物体所受摩擦力为f ，则有max f f ≤。
在小于最大静摩擦力的范围内，静摩擦力具有随着引起相对运动趋势的外力的大小和方向的变化而变化的特点，设引起相对运动趋势的外力为F ，则有F f =。
因此，求解静摩擦力主要是求解物体引起相对运动趋势的外力的大小和方向。或者说静摩擦力f 在一对平衡力中是从动力，引起相对运动趋势的外力F 是主动力。从动力随着主动力大小的变化而变化，
方向始终与其相反。
滑动摩擦的大小是不从动于其它力的，但是其方向从动于其它力。
(二)非惯性系中摩擦力m f
物体在非惯性系中引起相对运动趋势的原因可能是受其它物体的作用力，也可能是由于非惯性系相对惯性系加速运动使物体受惯性力作用。受其它物体作用的情况很容易分析清楚，不再描述，只研究由于惯性力引起的摩擦力的大小和方向。
1. 惯性力的具体介绍
设一质点在惯性系中的位置为k z j y i x r ++=，
在非惯性系s '中的位置为k z j y i x r ''+''+''='，
非惯性系坐标原点在惯性系中的位置为k z j y i x r 0000++=。
即
r r r '+=0 （2-1） 由上式关系并考虑到非惯性系可能包括转动非惯性系, 在转动非惯性系中0≠dt
i d ，而是k dt i d '⨯='ω，则 )(20r v r a a a '⨯⨯+'⨯+'⨯+'+=ωωωα
（2-2） 式（2-2）中0a 为非惯性系相对惯性系运动的加速度，dt
d ωα =为非惯性系转到的角加速度。对应式（2-2），物体在非惯性系中受到的惯性力应包括如下几个力，
①01a m F -=,这是非惯性系相对惯性系平动引起的惯性力，方向与0a 方向相反。
非惯性系中的功能原理及应用 摘 要: 在理论力学中,关于非惯性参照系中动力学问题,从来未涉及到非惯性系中的功能原理。为此,本文先推证出质点系相对非惯性系的动能定理,再推出质点系相对非惯性系的功能原理及机械能守恒定理,然后再运用此原理解决实际问题。 关键词: 非惯性系；牵连惯性力；科氏惯性力；功能原理；机械能守恒定理 The function of the inertial system principle and application Abstract: In the theory of mechanics,about the dynamics inertia reference in question never involved in noninertial system function and principle.For this reason this paper first inferred, particle system to a relative non-inertial systems of kinetic energy theorem,and then launch the relative particle noninertial system of function and principle, the last to solve practical problems by using the principle. Key words: Noninertial system; Involved the inertial force; Division type inertia force; principle of work and energy; Mechanical energy conservation theorem 0 引言 处理非惯性参考系中的动力学问题有两种方法，一种是在惯性参考系中考虑问题，然后运用相对运动的关系进行两种坐标参考系之间坐标、速度和加速度诸量的转换，化成非惯性系中的结论。另一种方法是研究在非惯性系中适用的动力学基本方程，从而研究非惯性系中的动力学问题。关于关于非惯性系中的动力学问题，在理论力学中只是研究动力学方程。机械能是自然界普遍存在的，在非惯性系中也依然如此。在非惯性系动力学方程的基础上推导出非惯性系中的功能原理及机械能守恒定理。从而，从能量的观点出发去研究非惯性系中的动力学问题。 1 非惯性系的动能定理 平面转动参考系(例如平板)s '以角速度ω 绕垂 直与自身的轴转动,在这参考系上取坐标系xy O -它 的原点和静止坐标系s 的原点O 重合,并且绕着通过O 并垂直于平板的直线以角速度ω 转动（图1）。令单 位矢量i ，j 固着在平板上的x 轴及y 轴上，并一同 以角速度ω 和平板一起转动。ω 矢量在z 轴上，我们可以把它写成k ωω=。如果p 为在平板上运动着的一质点，则p 的位矢为 j y i x r += （1） s ' ω θ η ζ p r k j i y x 图 1
运用非惯性系的观点求解复杂的动力学竞赛题例析 湖北省监利县朱河中学黄尚鹏 摘要：牛顿运动定律只在惯性系中成立。但有时需要考察质点相对非惯性系的运动，如何处理这种问题呢？当然可以先在惯性系中用牛顿运动定律考察质点的运动，然后用相对运动的公式把它变换到非惯性系中，求得质点在非惯性系中的运动。但这样做有时很麻烦，其实只要引进适当的虚拟力即惯性力，就可以在非惯性系中用牛顿运动定律求解质点的运动。 关键词：惯性系非惯性系惯性力速度合成公式加速度合成公式 一、非惯性系与惯性力 牛顿运动定律成立的参照系叫做惯性系。实验表明：地球上的物体相对于地球的运动并不完全遵守牛顿运动定律，所以地球不是惯性系，不过这种偏差一般是比较微小的。因此，我们常常把地球看做近似程度相当好的惯性系。一般情况下，相对地面静止或做匀速运动的参照系都可作为惯性系。 牛顿运动定律不成立的参照系叫做非惯性系，非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动。为了使牛顿运动定律在非惯性系中也能使用，可以人为地引进一个虚拟的惯性力 。如果非惯性系相对惯性系有平动加速度，那么只要认为非惯性系中的所有物体都受 到一个大小为、方向与的方向相反的惯性力，牛顿运动定律即可照用，证明如下： 设非惯性系相对惯性系有平动加速度（牵连加速度），质点相对于系的加速度为（绝对加速度），质点相对于系的加速度为（相对加速度），根据加速度合成公式，有（1） 在惯性系中牛顿运动定律成立，即（2） 是作用在质点上的合外力，是质点的质量。 在非惯性系中，为使牛顿运动定律成立，引入虚拟的惯性力，使（3） 联立（1）（2）（3）知惯性力，证毕。 二、竞赛题例析 例题1．如图1所示，质量为的汽车在水平地面上向左做匀加速直线运动，其重心 离开前轮和后轮的水平距离分别为和（），重心离地面的高度为，假设车轮和地面之间不打滑，求：汽车以多大的加速度前进时其前、后轮对地面的压力相等？
非惯性系下质点的力学行为特征 在经典力学中，我们通常将物体的运动视为在惯性系中进行的。惯性系是一个特殊的参考系，其中物体的运动受到牛顿定律的简单描述。然而，在现实世界中，我们经常会遇到非惯性系，即参考系本身也在加速运动。在非惯性系下，质点的力学行为将会有一些特殊的特征。 首先，非惯性系下的质点会受到惯性力的作用。惯性力是由于参考系的加速度引起的一种虚拟力。它的大小和方向与质点的质量和参考系的加速度有关。当参考系加速度为零时，惯性力也为零，此时质点的力学行为与惯性系下相同。但当参考系加速度不为零时，惯性力的作用将会改变质点的运动轨迹。 其次，非惯性系下质点的受力分析需要考虑到离心力和科里奥利力的作用。离心力是由于质点在非惯性系中的加速度引起的一种力。它的大小与质点的质量、参考系的角速度以及质点与参考系的距离有关。离心力的作用使得质点在非惯性系中的运动轨迹发生偏离，呈现出离心的特征。 科里奥利力是由于质点在非惯性系中的角速度引起的一种力。它的大小和方向与质点的质量、参考系的加速度、角速度以及质点与参考系的速度有关。科里奥利力的作用使得质点在非惯性系中的运动轨迹发生旋转，呈现出旋转的特征。 除了惯性力、离心力和科里奥利力，非惯性系下质点的力学行为还受到其他外力的作用。这些外力可以是重力、摩擦力、弹力等。在非惯性系中，这些外力的大小和方向也会受到参考系的加速度和角速度的影响。因此，非惯性系下质点的受力分析需要综合考虑所有相关因素。 非惯性系下质点的力学行为特征不仅仅体现在受力分析上，还体现在质点的运动方程和动力学性质上。在非惯性系下，质点的运动方程将会包含加速度和角加速度的项。这些项反映了参考系的变化对质点运动的影响。此外，非惯性系下质点的动力学性质也会发生变化，例如质点的动量和角动量的守恒性质可能会受到影响。
第三章 非惯性参考系 不识庐山真面目，只缘身在此山中。地球的多姿多彩，宇宙的繁荣，也许在这里可以略见一斑。春光无限，请君且放千里目，别忘了矢量语言在此将大放益彩。 【要点分析与总结】 1 相对运动 t r r r '=+ t t dr dr dr dr dr r dt dt dt dt dt υω'''= =+=++? t r υυω''=++? ()t dv dv d v r a dt dt dt ω''+?==+ 222**22()t d r d r d dr r v r dt dt dt dt ωωωω'''''=++?+?+?+?()2t a a r r v ωωωω''''=++?+??+? t c a a a '=++ 〈析〉仅此三式便可以使“第心说”与“日心说”归于一家。 （1） 平动非惯性系 (0ω=) t a a a '=+ 即：()t ma F ma '=+- （2） 旋转非惯性系 (0t t a υ==) ()2a a r r ωωωωυ''''=+?+??+? 2 地球自转的效应（以地心为参考点） 2mr F mg m r ω=--?
写成分量形式为： 2sin 2(sin cos )2cos x y z mx F m y my F m x z mz F mg m y ωλωλλωλ ?=+? =-+?? =-+? 〈析〉坐标系选取物质在地面上一定点O 为坐标原点，x 轴指向南方，y 轴指向东方，铅直方向为 z 轴方向。 2mr F mg m r ω=--? 为旋转非惯性系 ()2F mg mr m r m r m r ωωωω-=+?+??+?在 ,r R ω ω 条件下忽略 m r ω?与 ()m r ωω??所得。正因如此，地球上的物体运动均受着地球自转而带来的科氏力 2m r ω-?的作用，也正是它导致了气旋，反气旋，热带风暴，信风，河岸右侧冲刷严重，自由落体，傅科摆等多姿多彩的自然现象。 〈注〉自由落体偏东的推导时，取 F =0，且须应用级数展开，对小 量ω作近似 21 cos 21(2),sin 222 t t t t ωωωω≈-≈ 【解题演示】 1 一船蓬高4米，在雨中航行时，它的雨篷遮着蓬的垂直投影后2m
包头师范学院 本科毕业论文 论文题目：非惯性系中动力学问题的讨论 院系：物理科学与技术学院 专业：物理学 姓名：王文隆 学号： 0809320007 指导教师：鲁毅 二〇一二年三月
摘要 综述了近几十年来国内外学者对非惯性系动力学方面的研究情况 ,以及对非惯性系动力学的实际应用情况。介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法 ,惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式 ,以及非惯性系中的能量定理和能量守恒定律的应用等研究成果。最后 ,概述了一些运用非惯性系动力学的方法来解决非惯性系中的理论和实际工程应用两方面的文献 ,并且对非惯性系的研究和应用进行了展望。 关键词：非惯性系；惯性力；动力学方程；拉格朗日方程；动量定理; 动能定律;守恒定律
Abstract And under classical mechanics frame, the conservation law, leads into the inertial force concept according to kinetic energy theorem , moment of momenum theorem , mechanical energy in inertia department, equation having infered out now that the sort having translation , having rotating is not that inertia is to be hit by dynamics, priority explains a few representative Mechanics phenomenon in being not an inertia department. Key words：Non- inertia Inertial force Kinetic energy theorem Mechanical energy conserves Apply
渤海大学 本科毕业论文 ￥ 题目非惯性系下力学问题的研究 完成人姓名张亚楠 主修专业物理学教育 所在院（系）数理学院物理系 入学年度' 2008年 完成日期2011年6月1日 指导教师丁文波
非惯性系下力学问题的探讨 张亚楠渤海大学物理系 摘要：非惯性参照系就是能够对同一个被观测的单元施加作用力的观测参照框架和附加非线性的坐标系的统称。在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。了解非惯性系下的力学问题很重要。对于非惯性系的研究已经从传统的理论已经从传统的理论教学扩展到实际生活应用领域，从宏观研究深入到微观领域。随着生活领域的不断扩大，对非惯性系下的元器件动力学行为，特别是非线性动力学行为的研究还有很大的空间。在直升机转子等航空发动机转子的动力学研究中，应用的也主要是非惯性系动力学的理论知识。近年来通过研究发现，在非惯性系中两体问题、摩擦力、压强以及浮力问题等都得以解决。本文阐述了惯性系和非惯性系的区别，由惯性力着手，把牛顿第二地定律引入到非惯性系中，分析了牛顿第二定律的适用条件，并对非惯性系下的力学问题进行研究。第一部分对非惯性系和惯性系进行概述。第二部分对非惯性系下摩擦力的研究进行了讲述，摩擦力从动于包括惯性力在内的其它力作用。第三部分通过分析在非惯性系中液体内部浮力和压强的变化，阐述了在不同参考系下液体浮力和压强的变化规律。 关键词：非惯性系；摩擦力；压强；浮力
Mechanics Problems in the non-inertial frame Zhang Ya-nan Department of Physics，Bohai University Abstract:Collectively referred to as the coordinate system of the observation frame of reference and additional non-linear non-inertial frame of reference is the ability to exert force on the same observation unit. In classical mechanics, no one makes the "failure of the principle of Galilean relativity" frame of reference is the so-called "non-inertial frame of reference. Mechanical problem is very important to understand the non-inertial frame. For non-inertial frames from the traditional theory has been expanded from the traditional teaching of the theory to real-life applications, from a macro research into micro areas. With the continuous expansion of areas of life, the dynamic behavior of non-inertial frame components, especially the study of nonlinear dynamic behavior there is a lot of space. The study of helicopter rotor aero-engine rotor dynamics, the application of theoretical knowledge of non-inertial frame dynamics. In recent years, the study found that two-body problem in the non-inertial, friction, pressure and buoyancy problems are all resolved. This paper describes the difference between inertial frames and non-inertial frames, to proceed by the inertia force, the introduction of Newton's second law of land to the non-inertial reference frame, Newton's Second Law applies to conditions, mechanical problems and non-inertial frame study. The first part an
渤海大学 本科毕业论文 题目非惯性系下力学问题的研究完成人姓名张亚楠 主修专业物理学教育 所在院（系）数理学院物理系入学年度2008年 完成日期2011年6月1日指导教师丁文波
非惯性系下力学问题的探讨 张亚楠渤海大学物理系 摘要：非惯性参照系就是能够对同一个被观测的单元施加作用力的观测参照框架和附加非线性的坐标系的统称。在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。了解非惯性系下的力学问题很重要。对于非惯性系的研究已经从传统的理论已经从传统的理论教学扩展到实际生活应用领域，从宏观研究深入到微观领域。随着生活领域的不断扩大，对非惯性系下的元器件动力学行为，特别是非线性动力学行为的研究还有很大的空间。在直升机转子等航空发动机转子的动力学研究中，应用的也主要是非惯性系动力学的理论知识。近年来通过研究发现，在非惯性系中两体问题、摩擦力、压强以及浮力问题等都得以解决。本文阐述了惯性系和非惯性系的区别，由惯性力着手，把牛顿第二地定律引入到非惯性系中，分析了牛顿第二定律的适用条件，并对非惯性系下的力学问题进行研究。第一部分对非惯性系和惯性系进行概述。第二部分对非惯性系下摩擦力的研究进行了讲述，摩擦力从动于包括惯性力在内的其它力作用。第三部分通过分析在非惯性系中液体内部浮力和压强的变化，阐述了在不同参考系下液体浮力和压强的变化规律。 关键词：非惯性系；摩擦力；压强；浮力
Mechanics Problems in the non-inertial frame Zhang Ya-nan Department of Physics，Bohai University Abstract:Collectively referred to as the coordinate system of the observation frame of reference and additional non-linear non-inertial frame of reference is the ability to exert force on the same observation unit. In classical mechanics, no one makes the "failure of the principle of Galilean relativity" frame of reference is the so-called "non-inertial frame of reference. Mechanical problem is very important to understand the non-inertial frame. For non-inertial frames from the traditional theory has been expanded from the traditional teaching of the theory to real-life applications, from a macro research into micro areas. With the continuous expansion of areas of life, the dynamic behavior of non-inertial frame components, especially the study of nonlinear dynamic behavior there is a lot of space. The study of helicopter rotor aero-engine rotor dynamics, the application of theoretical knowledge of non-inertial frame dynamics. In recent years, the study found that two-body problem in the non-inertial, friction, pressure and buoyancy problems are all resolved. This paper describes the difference between inertial frames and non-inertial frames, to proceed by the inertia force, the introduction of Newton's second law of land to the non-inertial reference frame, Newton's Second Law applies to conditions, mechanical problems and non-inertial frame study. The first part an overview of the non-inertial frames and inertial frames. The
惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理 摘 要 动能定理做为高中物理一条重要的规律，并没有提及在不同的参考系中使用的问题。本文对惯性参考系和非惯性参考系中动能定理的表达式进行了探讨。 关键词：动能定理 惯性参考系 非惯性参考系 表达式 质点动能定理的经典表述为：质点的动能的增量等于作用于质点的合力所做的功。即： 微分形式： ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=221mv d dW 积分形式： ⎰⎰⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=v v mv d W d 02021 或： W =k E ∆ 在高中物理中并没有提及运用动能定理的参考系的选取，而一般情况下也都是选取地面 为参考系，那么如果选取其他的参考系动能定理是否依然成立，下面对这个问题进行了探讨。 1． 惯性参考系中的动能定理 所谓惯性参考系，就是适用于牛顿运动定律的参考系。地球或静止在地面上的物体可以认为是惯性参考系，相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系也是惯性参考系。经典力学认为，牛顿第二定律的数学形式与惯性参考系选取无关，那么作为牛顿第二定律重要推导—动能定律是否也与惯性参考系选取无关呢? 在例1中求证，如图1两个参考系，地面为固定参考系O '，光滑木板以速度v 做匀 速直线运动，木板为一惯性参考系O 。一质量为m 的物体，在木板参考系O 中，0t 时刻初速度为1v ，在恒力F 的作用下，在运动方向上发生一段位移s ，1t 时刻速度增加到 2v 。 1．1惯性参考系中功的计算 功的定义为：r d F dW ⋅= a) 在木板参考系即惯性参考系O 中： s F W ⋅= ① b) 在地面参考系即惯性参考系O '中： 由伽利略变换可知，位移vt s s +='，两参考系中时间相同2 12v v s t += ()⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛++⋅=+⋅='⋅='212v v sv s F vt s F s F W ② 2v 1v 图 1
非惯性系中的力学 在经典力学中，我们通常将研究对象限定在惯性系中。惯性系是指 一个不受任何外力或惯性力作用的参考系。然而，在许多实际情况下，我们无法避免研究非惯性系中的力学。非惯性系中的力学研究相对复杂，但它在解释许多日常生活中的现象、工程设计以及航天飞行等方 面具有重要的意义。 一、引言 在力学研究中，我们常常使用牛顿定律来描述物体的运动，即 F=ma，其中F为物体所受合力，m为物体的质量，a为物体的加速度。然而，牛顿定律仅在惯性系中成立，当系统处于非惯性系中时，就需 要考虑惯性力的作用。 二、非惯性力的概念和作用 非惯性力是指在非惯性系中对物体产生的看似存在的力，实际上是 由于非惯性系的运动而产生的惯性效应。常见的非惯性力有离心力、 科里奥利力以及向心力等。 离心力是一个物体在非惯性系中沿着旋转轴的方向产生的力，它的 大小与物体的质量、距离旋转轴的距离以及角速度有关。离心力在许 多日常生活场景中起着重要作用，比如旋转游乐设施中的体验、地球 自转引起的地球形状畸变等。 科里奥利力是一个物体在非惯性系中由于角速度的改变所产生的力。科里奥利力的方向垂直于运动方向和旋转轴，在天文学、航天飞行等
领域有重要的应用。例如，地球上飞行的飞机或火箭就需要考虑科里 奥利力的影响。 向心力是一个物体在非惯性系中沿着旋转轴的方向产生的力，它与 物体的质量、旋转角速度以及距离旋转轴的距离有关。向心力在转弯 的机动车辆、垂直旋转的过山车等情况下起着重要作用。 三、非惯性系中的运动方程 在非惯性系中，我们需要修正牛顿定律，使其适用于非惯性系的情况。修正后的运动方程为F=m(a-a')，其中a'为非惯性系的加速度。非 惯性系中的运动方程相对复杂，因为我们需要考虑添加的惯性力对物 体运动所产生的影响。 四、实例分析 接下来，我们通过几个实例来说明非惯性系中的力学问题。 1. 旋转地球上的自由落体 在地球自转的惯性系中，物体的自由落体可以简单地由重力加速度 描述。然而，在地球自转的非惯性系中，我们需要考虑离心力和科里 奥利力的影响。这些额外的力将使自由落体轨迹不再是简单的抛物线，而是呈现出特殊的弯曲轨迹。 2. 旋转平台上的物体运动
百科名片 相对于惯性系（静止或匀速运动的参考系）加速运动的参考系称为非惯性系参考系。地球有自转和公转，我们在地球上所观察到的各种力学现象，实际上是非惯性系中的力学问题。 目录 基本概念 非惯性参照系与惯性力 转动的非惯性参照系与科里奥利惯性力 广义相对性原理 非惯性参照系附加引力场 编辑本段基本概念 非惯性参照系就是能够对同一个被观测的单元施加作用力的观测参照框架和附加非线性的座标系的统称。非惯性参照系的种类无穷多。在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。比如，一个加速转动的参照系；一个加速振动的参照系；……；一个随机任意加速运动的参照系等等。即任何一个使得牛顿第一定律和牛顿第二定律不再成立的参照系。在经典电动力学中，任何一个使得“爱因斯坦相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。比如，任何一个使得洛仑兹电磁作用力定律F=qE+qu×B，或者麦克斯韦方程组不再成立的参照系。编辑本段非惯性参照系与惯性力 经典力学对力定义相当简单明了——力是物体对物体的作用，不错，相当简单明了！于是，人们认为只有具备两个或两个以上的物体才资格谈力，凡是谈到力则一定有施力物体，也有受力物体，这似乎与人们的生活实践相一致。可是，当人们坐在车上，并以车为参照系时，我们发现车上的物体居然可以无缘无故地加速运动起来，似乎有一个力作用在物体之上，这是一个什么力呢？它具有什么性质呢？施力物体是什么？无论我们怎样努力寻找，始终无法把这个力的施力物体找出来。为了弄清楚原因，我们下了车，在地面上以地面为参照系再来观察一翻，这时，我们恍然大悟，原来当车一旦发生加速运动时，车上的物体就会在车相对于车厢加速运动起来，物体根本没有发生运动而是保持静止状态，物体并没有受到力的作用，当然我们找不到施力物体了。可见，在不同参照系上观察物体的运动，观察的结果会截然不同！于是，人们把参照系进行了分类，凡是牛顿第二定律能够适用的参照系称为惯性参照系，反之，牛顿第二定律不适用的参照系称为非惯性参照系。牛顿第二定律所谓是否适用，我们考虑的因素实际上是力的产生条件，如果具备力的产生条件，则必然符合牛顿第二定律。通过总结，人们发现，凡是相对地面静止或者做匀速直线运动的参照系都是惯性参照系，而相对于地面做变速运动的参照系是非惯性参照系；在众多的惯性参照系中，相对地面静止
非惯性参照系非惯性参考系例子 基本概念编辑非惯性参照系就是能够对同一个单元观测的被施加作用力的观测参照框架和附加非线性的坐标系的统称。非惯性参照系的一般来说无穷多。在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”出现异常的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。比如，一个加速转动的参照系；一个加速振动的参照系；……；一个随机任意加速运动的物理现象等等。即任何一个成立牛顿第一定律和牛顿第二定律不再使得的参照系。在经典电磁学中，任何一个使得“爱因斯坦相对性原理”出现异常的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。比如，任何一个使得洛仑兹电磁电磁场定律F=qE+qvXB,或者麦克斯韦泊松方程组不再成立的参照系。惯性力编辑 经典力学对力定义相当简单明了——力是物体对物体的积极作用，不错，相当简单明了！于是，人们认为只有具备资格证书两个或两个以上的物体才有资格谈力，凡是谈到力则一定有施力物体，也有受力物体，这似乎保持一致与人们的沃苏什卡相一致。 可是，当人们坐在车上，并以车为参照系时，我们发现车上的物体居然可以无缘无故这回地加速运动起来，似乎有一个似乎内力作用在物体之上，这是一个什么灵气呢？它具有什么性质呢？施力物体是什么？无论我们怎样努力寻找，始终无法把这个力的手部物体找出来。为了弄清楚原因，我们下了车，在地面上以地面为斜坡参照系索性来观察一番，这时，我们恍然大悟，原来当车一旦发生加速运动时，车上的物体就会在车上相对于车厢圆周运动起来，物体并没有运动而是保持静止状态，物体并没有受到力的作用，当然我们找不到施力物体了。可见，在不同参照系上观察物体的基本概念运动，观察的结果时会截然不同！ 于是，人们把参照系或进行了分类，凡是牛顿第二定律能够适用的参照系称为惯性参照系，反之，牛顿第二定律不适用的参照系称为惯性力非惯性参照系。牛顿第二牛顿所谓是否适用，我们考虑的因素 是力的产生条件，如果具备力的诱发条件，则必然符合牛顿第二定律。
解答非惯性参考系内动力学问题的三种思路作者：宋兴会 来源：《中学教学参考·理科版》2021年第11期
[摘要]解答非惯性参考系内的动力学问题，既可以重选惯性参考系，又可以根据等效原理把非惯性参考系转换为惯性参考系，还可以对物体添加平衡力使物体的不平衡状态转换为其他的不平衡状态，甚至平衡状态，再分别进行解答。
[关键詞]非惯性参考系;参考系转换法;运动状态转换法 [中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）32-0054-03 当我们站在电梯中随电梯匀速上升或者匀速下降时，感觉和人静止站立在地面上时一样，此时支持力等于重力，合外力等于零，人相对电梯的加速度也等于零，符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律，电梯是惯性参考系。当我们站在电梯中随电梯开始上升或者开始下降时，随电梯即将停止上升或者即将停止下降时，感觉和人静止站立在地面上时不一样，此时人“超重”或“失重”，支持力大于或小于重力，合外力不等于零，而人相对于电梯的加速度却等于零，不符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律，电梯是非惯性参考系。参考系是惯性参考系还是非惯性参考系，是用牛顿第二定律解答动力学问题之前需要弄清楚的问题，否则就可能会判断错误。下面结合例题进行分析探讨。 题目：（2015年高考物理海南卷第9题）如图1所示，升降机内有一固定斜面，斜面上放一物块，开始时升降机做匀速运动，物块相对斜面匀速下滑。当升降机加速上升时（）。 A.物块与斜面间的摩擦力减小 B.物块与斜面间的正压力增大 C.物块相对于斜面减速下滑 D.物块相对于斜面匀速下滑 分析：该题中升降机开始时做匀速向上的运动，升降机和斜面对在斜面上运动的物块来说是惯性参考系，物块的运动符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律。此时在斜面上匀速下滑的物块受重力、支持力、滑动摩擦力三个力作用而平衡，支持力与重力沿垂直于斜面斜向下方向的分力抵消，滑动摩擦力与重力沿平行于斜面斜向下方向的分力抵消。升降机加速上升时，升降机内物体“超重”，原先在斜面上匀速下滑的物块受到的支持力、滑动摩擦力都变大了，而重力大小没有变，滑动摩擦力大于原先与其平衡的重力沿平行于斜面斜向下方向的分力，所以有人就推测出物块沿斜面减速下滑的结论，误选了选项C;这是没有考虑到斜面随升降机加速上升时斜面相对在斜面上运动的物块来说是非惯性参考系，物块的运动不符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律而导致的。 解答思路一，重选参考系 （1）升降机做匀速运动时，物块相对斜面匀速下滑，此时物块受重力、支持力、滑动摩擦力三个力的作用，如图2所示，合外力为零。将重力沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，三力平衡的受力情形就转化为两个二力平衡的受力情形。设斜面的倾角为[θ]，物块
毕业论文 题目非惯性系中的力学定理 学生姓名陈杰学号1110014110所在学院物理与电信工程学院 专业班级物理学1103 指导教师王剑华 完成地点陕西理工学院 2015年6月5日
非惯性系中的力学定理 陈杰 （陕西理工学院物电学院物理学1103班，陕西汉中723001） 指导教师：王剑华 [摘要] 在非惯性系中，力学系统的相关定理对于处理非惯性系中的某些动力学问题具有简洁、方便和易于求解的特点。因此，从发现牛顿定律以来，人们就对非惯性系中力学定理的研究十分重视。而本文从惯性系的牛顿方程出发，考虑了其在非惯性系中的变化；利用加速度合成定理，给出了非惯性系的牛顿方程，由此推导出了非惯性系中的动量定理，角动量定理，动能定理等。 [关键词] 非惯性系；动量定理；角动量定理；动能定理 引言 对于牛顿定律，我们已经知道它适用于所有的惯性参照系。但是实际上，人们并没有找到真正惯性参照系。我们通常所使用的惯性系，例如地球坐标系、太阳坐标系等实际上都是非惯性参照系。因此，我们需要推导出适用于非惯性参照系中的牛顿方程。在国内外力学的相关教材中大多数对于惯性系中的相关力学定理进行了详细介绍和解释，然而对非惯性系中的力学定理讨论不深，或者说介绍的不够全面。而对于非惯性系，在实际生活中，很多领域我们都需要用到非惯性系，如航空航天、外星空探求等范围的许多转子系统；还有许多文献资料对非惯性系做了大量研究，例如潘营利研讨了非惯性系下基本形式拉格朗日方程及其运用[1]。王耘涛,冯立芹等研究了非惯性系弹簧谐振子振动周期的计算[2]。这些文献和应用都有对非惯性系的相关问题进行了深入研究，但是对于非惯性系中的力学定理却采取各自的方法去推导，这就导致非惯性系中的力学定理相关理论繁杂，让人们很难学习到系统的非惯性系中的力学定理，这显然违背了物理学中化繁为简的规律。所以，本文希望通过一种统一的方法来研究非惯性系中力学系统的相关定理。 人们在用经典力学来研究物体的机械运动时，为了描述物体的运动状态，首先要选择合适的坐标系。而人们知道了但凡牛顿第二定律可以运用的参照系称为惯性参照系，反之，牛顿第二定律不适用的参照系称为非惯性参照系。经过研讨，人们发现了但凡相对地面静止或做匀速直线运动的参照系都是惯性参照系，而相对某惯性参照系作非等速直线运动的参照系是非惯性参照系。事实上，人们通常所说的地面也是一个非惯性系。人们对惯性参照系进行了许多的讨论研究同时，也对非惯性参照系进行了讨论研究。为了能够在非惯性参照系中可以使用牛顿第二定律，假如物体受到一个力的作用，这个力是由加速度矢量及其物体的质量的乘积并冠以负号来决定。由于找不到施力物体，所以这个力不是一个实在的力，而是一个虚拟的力，把这个力称为“惯性力”。在很多情况下，惯性力的力矩和功可能为零。惯性力的存在使得我们可以将适用于惯性参照系的牛顿定律仍旧可以在非惯性参照系中可以使用，因此研究非惯性系的力学定理具有重要的意义。 第1页共8页
惯性力与非惯性参考系描述非惯性参考系下 物体运动的力学原理 惯性力是描述非惯性参考系下物体运动的力学原理。在非惯性参考系中观察物体的运动时，会出现额外的力，即惯性力。惯性力的出现是由于非惯性参考系的运动导致的，它并非真实存在的力。惯性力的概念是为了使物体在非惯性参考系中的运动符合牛顿第二定律而引入的。 非惯性参考系是指相对于一个惯性参考系有加速度的参考系。在非惯性参考系中观察物体的运动时，物体看似受到了额外的力，这些力就是惯性力。惯性力的大小与物体的质量和非惯性参考系的加速度有关。惯性力的方向则与非惯性参考系的加速度相反。根据牛顿第二定律，物体在非惯性参考系中的运动需要考虑惯性力的作用。 以一个例子来说明惯性力的概念。假设有一个物体在一辆加速的车厢中静止，如果我们在车厢外观察物体，它看起来就好像受到了一个向后的力。这个力就是惯性力，它是为了使物体在非惯性参考系中的运动与惯性参考系中的运动一致而引入的。在这个例子中，我们可以看到惯性力的方向与非惯性参考系的加速度相反。 在描述非惯性参考系下物体运动的力学原理时，需要考虑惯性力的作用。在非惯性参考系中，物体的运动是由受力情况决定的。根据牛顿第二定律，物体受到的合力等于质量乘以加速度。而在非惯性参考系中，要使得物体的运动符合牛顿第二定律的描述，需要考虑惯性力的作用。
惯性力的引入使得我们可以在非惯性参考系中应用力学定律，从而简化对物体运动的描述。通过考虑惯性力，我们可以用与在惯性参考系中相同的方式来分析非惯性参考系下的物体运动。这使得力学定律的应用更加普适和统一。 总结起来，惯性力是为了描述非惯性参考系下物体运动的力学原理而引入的。惯性力并非真实存在的力，而是由于非惯性参考系的运动导致的。惯性力的引入使得我们可以应用力学定律来描述非惯性参考系下物体的运动，使得力学定律的应用更加普适和统一。
[整理版]非惯性系中的机械能守恒定律非惯性系中的机械能守恒定律 专业,物理学姓名,魏清坤 指导老师,韩峰 【摘要】推导非惯性系中的机械能守恒定理。指出机械能守恒定律在某些非惯性系中仍然适应，在非惯性系中应用机械能守恒定律可以简便地解决一些力学问题。【关键词】非惯性系;惯性力;惯性力势能;机械能守恒定律引言机械能守恒定律是从牛顿运动定律中推导出来的。由于牛顿定律仅适应于惯性系，而在一些非惯性系中机械能守恒也适应，而且选取非惯性系可以使问题简单化。在非惯性系中引入惯性力，牛顿定律可以沿用，那么机械能守恒定律是否也可以沿用，用表达式又如何表示,本文将导出非惯性系中的机械能定理，引入惯性势能概念，给出非惯性系中机械能守恒定律的表达形式。 1材料与方法非惯性系中的机械能定理 1.1非惯性系中的单一质点的动能定理 牛顿定理是在惯性系中适应的,在非惯性系中不适应。为了方便解决一些力学问题,我们扩大了牛顿定律的适应范围,使之在非惯性系中也适应,这就引入了惯F性力的概念,我们认为在非惯性系中除了有真实的相互作用的力外,还受到惯性力的作用。一非惯性系相对于某一惯性系的加速度为,则惯性力为,Fa0惯=- m (1) Fa0惯 其中的m为物体的质量,符号表示方向,与的方向相反。这时牛顿第二定律a0 在非惯性系中就可以表示为, aF F+=- m ,2, 惯 aFF上式中的为质点所受的合力,为质点相对于非惯性系的加速度。设质点在
和的作用下,相对于惯性系有一位移元d=dt,其中是质点相对于非惯性vvrF惯系的速度,dt是产生这一位移所需的时间。用d点乘,2,式的两边得,r 1dv2,,,,,+,d = md = md = md = d(mv)avvrrrFF惯2dt 12v即 dA + dA= d(m) ,3, 惯2 ,,其中dA=d ,dA=d分别是合外力和惯性力对质点作的元功。rrFFFF惯惯惯对,3,式两边积分得, 1122 A + A= mV- mV= E- E ,4, kk0惯1222 ,4,式即为非惯性系中单一质点的动能定理,这表明在非惯性系中动能定理只是比惯性系多了一项惯性力所做的功。 1.2非惯性系中的质点组的动能定理质点组就是由相互作用的质点组成的系统。设质点组有n个质点组成,在某一运动过程中,作用在各个质点的合力的功和惯性力的功记为A和 A,i=1,2,3...n),ii惯根据,4,式,每个质点的动能定理, A + A = E - E,i=1,2,3...n) (5) iikiki0惯 (5)式求和得, nnnn EE +=-=E-E ,6, AA,,ik,,k0i惯i,1,i1i,1i,1kiki0 ,6,式为非惯性系中质点组的动能定理。与惯性系中质点组的动能定理相比仅多了惯性力的功。 1.3非惯性系中的机械能守恒 在惯性系中,质点组的机械能守恒定理为, AAE(E，E) +=(E+)- (7) ,,pkk0p0i外非保内 当和为零时,E和的和为恒量 AAE,,kpi外非保内 对于非惯性系,如果和为零,则可得, AA,,i外非保内 A,(E，E)(-E，E) ,8, ,pk0p0惯k
高中物理力学解题过程中平动非惯性系的应用 作者：马一瀛 来源：《祖国》2018年第23期 摘要：在我们高中所学习的物理知识当中，牛顿运动定律作为物理例题中较为常见的考察对象，其涉及的关键知识点就是对运动参考系的选择，一般情况下为惯性系，当然也存在非惯性系的情况。本文通过对惯性系与非惯性系之间的介绍，阐述了平动非惯性系的定义，对平动非惯性系的特征进行了分析，研究了高中物理力学解题过程对平动非惯性系的具体应用，希望能够给更多的同学提供可靠的参考意见，提高广大高中生的物理解题能力。 关键词：高中物理力学解题过程平动非惯性系应用 物理这门课程是我们在高中阶段中难度较高的一门学科。由于物理在实际生活中的应用非常广泛，因此，对于物理的学习多以生活中的实际案例分析为主，其中就包括我们最为熟悉的牛顿三大定律。由于牛顿三大定律的应用较为广泛，且题目类型众多，因此，在实际解题中所使用的方法也存在多样性的特点，具体选择何种解题方法要根据实际情况确定。 一、惯性系与非惯性系的认识 在我们所学的物理学知识点中，牛顿运动定律所适用的参考系常常被称为惯性参考系，相反牛顿运动定律所不适用的，就是非惯性参考系。由于在物体运动过程中选择的参照物不同，观察到的物体的运动状态也就存在一定的差异。所谓惯性系，就是相对于地面做匀速运动，或者是处于静止状态的参考系。而非惯性参考系，就是相对于地面做变速运动的参考系，这是两者之间的明显区别。 二、在物理力学中平动非惯性系的定义和基本特征 （一）平动非惯性系的定义 平动非惯性系的定义指在相对于惯性系的条件下，系统主要以一定的加速度运动，我们所认识的该参考系即为平动非惯性系。比如说我们在物理习题中经常会遇到沿着光滑斜面进行下滑的物体，就是平动非惯性系。 （二）平动非惯性系的力学特征分析 例如，根据图1所示，当我们观察到在路面上的汽车，它在以加速度a0向前行驶做加速运动的时候，在表面光滑的水平面对处于惯性系中的小球m来进行观察，可以发现该小球m 始终处于静止的状态。然而，对处于非惯性系中的小球m进行观察时却发现，小球m是向后
两个力学问题的非惯性系解法 【】Inertial frame and non-inertial frame are two basic concepts in college physics. Choosing the two reference frames flexibility can simplify problems and can also strengthen understanding of knowledge for students. According to teaching practice， another solution of non-inertial frame is given for two problems in textbook. 1 惯性系与非惯性系 运动的描述是相对的，对于不同的参考系，同一物体的运动形式可以不同。那么应用牛顿定律处理问题时，是否可以任意选择参考系呢？以图1为例，图中小车沿水平桌面匀加速运动，光滑桌面上弹簧伸长，因此小球受到水平向右的拉力。如果以地面为参考系，小球受力为，加速度为，这是符合牛顿定律的；如果以小车为参考系，小球受力仍为，但小球相对小车静止，即加速度为零，这违背了牛顿第二定律。因此对有些参考系牛顿定律适用，对另一些参考系牛顿定律不成立。牛顿定律成立的参考系就是惯性系，在惯性系中，一个不受力作用的物体将保持静止或做匀速直线运动。惯性系有一个重要的性质，即：如果我们确认了某一参考系为惯性系，则相对于此参考系做匀速直线运动的任何其他参考系也一定是惯性系。反过来我们也可以说，相对于一个已知惯性系做加速运动的参考系，一定不是惯性系，或者说是