第一章非惯性系中的质点动力学
牛顿一、二定律只适用于惯性参考系
前面我们已讲了静力学(研究物体的平衡，而不涉及不平衡物体的运动);运动学(研究物体运动的几何性质，而不追究引起物体运动的原因);
动力学(将力与运动联系起来，研究作用于物体上的力与物体机械运动之间的关系)
动力学：研究作用于物体上的力与物体机械运动之间的关系，即研究物体机械运动的普遍规律
首先要抽象力学模型。如研究人造地球卫星的轨道时，卫星的形状和大小对所研究的问题没有什么影响，可以忽略不计，因此，可将卫星抽象为一个质量集中在重心的质点。刚体作平动时，因刚体内各点的运动情况完全相同，也可以不考虑这个刚体的形状和大小，而将它抽象为一个质点来研究。
如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应抽象为质点系或刚体。刚体是质点系的一种特殊情形。
研究对象：质点：具有一定质量而无大小的几何点。
质点系：几个或无限个相互有联系的质点组成的系统。
刚体：不变的质点系。
质点→质点系：
第10章质点动力学的基本方程
10—1 动力学的基本方程
动力学共有三个基本定律（牛顿三定律），是牛顿在总结前人研究成果基础上归纳总结出来的。在《自然哲学的数学原理》中提出的。牛顿三定律是整个动力学的基础。可以好不夸张的说动力学中所有方程、定理都可由牛顿三定律推导出来。其实牛顿三定律我们并不陌生，我们只是复习。
惯性的概念是伽利略在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》一书中明确提出的。牛顿把这个概念总结成惯性定律是四十年以后的事。
牛顿二定律伽利略也曾非正式提到。牛顿二定律的内容则是牛顿在总结C.雷恩、J.沃利斯和J.惠更斯等人的结果之后提出的。
必须有力才能保持运动状态的错误观点。
牛顿是万有引力定律的发现者。他在1665~1666年开始考虑这个问题。1679年，R.胡克在写给他的信中提出，引力应与距离的平方成反比，地球高处抛体的轨道为椭圆，假设地球有缝，抛体将回到原处，而不是象牛顿所设想的轨道是趋向地心的螺旋线。牛顿没有回信，但采用了胡克的见解。在开普勒行星运动定律以及其他人的研究成果上，他用数学方法导出了万有引力定律。
牛顿三定律是整个动力学的基础。
第一定律（刚性定律）：任何质点如不受力作用，则将保持原来静止或等速直线运动状态。定性地给出了力与运动之间的关系。
1、不受力？
2、惯性：质点具有的保持原有的运动状态不变的特性。
3、要运动状态改变，必须有力作用。
第二定律(定量地给出了力与加速度之间的关系)：质点在力的作用下所获得的加速度的大
小与力的大小成正比，与质点的质量成反比，方向与力的方向相同。即
1n
i i ma F ==∑
①F 与a 方向相同是矢量;
②加速度与力的关系是瞬时关系;
③F =0，a =0，v =C ，此时物体做惯性运动，与第一定律相符;
④质量是物体惯性的度量。
对于质量相同的质点，作用力愈大，获得的加速度愈大; 同样大的力作用于不同的质量的物体上，质量大的加速度小，质量小的加速度大。即，质量越大，物体的运动状态越不易改变，也即物体的惯性越大。所以，质量是物体惯性的度量。 第三定律(作用与反作用定律)：两物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，
沿同一条直线分别作用在两个物体上。
静力学公理四。适用与运动的物体
是研究质点系的基础
牛顿定律适用范围：惯性参考系
惯性参考系：适用于牛顿定律的参考系称做惯性参考系。
古典力学中，认为地球不动（地心学）而将其作为牛顿定律的参考系，也称作为惯性参考系。当天体力学发展起来以后，又不能以地球作为惯性参考系，而以太阳或其它恒星作为惯性参考系，但在地球表面附近，牛顿定律仍然适用。因此，得出一个抽象的结论：适用于牛顿定律的参考系称做惯性参考系。 用起来又太抽象，以后，若无特别声明，则以地球为惯性参考系。
国际单位制中：长度、质量、时间为基本单位，力的单位是导出单位。
力(N ，kN) 质量( kg) 长度
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10—2 质点运动的微分方程
利用牛顿定律和质点运动方程建立质点运动的微分方程并运用解决实际问题。
1．矢量形式：F r a ∑==22dt
d m m 2．直角坐标形式：x x F dt
x d m ma ∑==22 y y F dt
y d m ma ∑==22 z z F dt
z d m ma ∑==22 3．自然坐标形式：t t F dt
dv m ma ∑== 2Σn n
v ma m F ρ== b b F ma ∑==0
4、质点动力学的两类基本问题 第一类问题：已知运动求力——微分问题 第二类问题：已知质点所受到的力，求质点的运动——积分问题 混合问题：第一类与第二类问题的混合。
求解步骤与方法：
1、明确研究对象
2、选坐标
3、将质点置于一般位置，受力分析
4、运动分析：v ，a 方向
5、列运动微分方程求解
()()
2,,,,/11cos cos 244:0,?2
AB l OA r C m r l
x l r t t AB F ωλλλωωπϕϕ=====-++===已知：求,杆受力解: 研究滑块
cos x ma F β=-
其中 ()2cos cos2x a x r t t ωωλω==-+
()20,
1,0,x a r ϕωλβ==-+=且
()21F mr ωλ=+得
222,cos 2
x a r l r l πϕωλβ===-且 2222F mr l r ω=--得
例10-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg 的小
球系于长l=0.3m 的绳上，绳的另一端系在固定点O ，
并与铅直线成θ=60◦角。如小球在水平面内作匀
速圆周运动，求小球的速度v 与绳的张力。
已知：m=0.1kg ，l=0.3m ，θ=60◦，匀速圆周运动，
求小球的速度v 与绳的张力。
解: 研究滑块，由运动微分方程
2sin v m F l
θ= 0cos F mg θ=-
可解得：
1.96cos mg F θ
==N 2sin 2.1Fl v m
θ==m s
例 一小球M 从地面以初速度v 0铅直上抛，空气阻力为F R ＝k m v 2。试求小球返回初始位置的速度和小球铅直上升的最大高度。 属于第二类问题。上升和下降的过程受力状态不同因此要分开研究 答：1. 上升阶段 质点受力如图，建立运动微分方程 2d d v
m mg kmv t =--；
即
2d ()d v g kv t =-+ d d d d d d d d y
v v v v
t t y y ==
2d d v v
y g kv =-+
两边同时积分
0020
d d H v v v
y g kv =-+⎰⎰ 0201
ln[]2v g kv H k +=-
20201
1ln[]ln[]
22g
g kv H k g kv k g +=-=+
2. 下降阶段
质点受力如图，建立运动微分方程
2d d v
m mg kmv t =-+；
即
2d (-)d v kv g t = d d d d d d d d y v v v v
t t y y ==
2d d v v
y kv g =-
两边同时积分
20d d v H v v y g kv --=-⎰⎰末
201
ln[]2v g kv H k -=-末
2211
ln[]ln[]22g kv g
H k g k g kv -=-=-末末
20
211
ln[]ln[]
22g kv g
k g k g kv +=-末
2201kv g
g kv g =-+末
2
201kv g
g g kv =-+末
2
020gv v g kv =+末
简答题答案 1、说明科里奥利加速度产生的原因。 答：（1）质点具有相对速度v '时，致使质点在活动参考系中的位置发生变化， 从而改变了速度的大小； （2）质点跟随活动参考系转动时，相对速度方向的变化。 2、试推导出质点在非惯性系中的动力学方程，并说明方程中各项的含义。 答：在非惯性系中v r r a a '⨯-'⨯⨯-'⨯-=' ωωωω2)( 动力学方程为v m r m r m a m a m '⨯-'⨯⨯-'⨯-=' ωωωω2)( a m 表示外力； r m '⨯ ω 是由非惯性系的加速转动引起的，与非惯性系的角加速度有关； )(r m '⨯⨯ ωω成为惯性离心力；v m '⨯ ω2科里奥利惯性力。 3.试举两例说明由于地球自转而产生的力学效应,并简述其原因. 答：①如物体的重力随地理纬度的增大而增大，这是地球自转产生惯性离心力 的影响。 ②自由落体的偏东。地球上物体的运动方程为： x 的正方向向南，y 的正方向向东，z 的正方向竖直向上。自由落体的运动方向 向着z 轴的负方向， z 小于零，从运动方程知，物体向东方向受到附加的科里奥利力的作用，即自由落体的偏东。 4.为什么落体会偏东？ 答：地球上物体的运动方程为： ⎪⎩⎪ ⎨⎧+-=+-=+=λωλλωλωcos 2)cos sin (2sin 2y m mg F z m z x m F y m y m F x m z y x
x 的正方向向南，y 的正方向向东，z 的正方向竖直向上。自由落体的运动方向向着z 轴的负方向， z 小于零，从运动方程知，物体向东方向受到附加的科里奥利力的作用，即自由落体的偏东。 5、应用非惯性系动力学方程导出质点组对质心的角动量定理． 答：在非惯性系中 对质心的角动量定理:dt L d M '=' 6、分别说明质点组动量守恒定律、动量矩守恒定律、机械能守恒定律成立条件。 答：动量守恒定律成立的条件：合外力为零； 动量矩守恒定律成立的条件；合外力矩为零； 机械能守恒定律成立的条件：外力和非保守内力作功为零。 7.写出在惯量主轴坐标系中，刚体对定点的惯量张量、动量矩以及动能的表达式。 ⎪⎩⎪ ⎨⎧+-=+-=+=λωλλωλωcos 2)cos sin (2sin 2y m mg F z m z x m F y m y m F x m z y x )(d 'd ) ()(22 C i i i e i i i r m F F t r m -++=∑∑∑===⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯∴n i i i C e i n i i n i i i i r m r F r t r m r t 1 )(11''d 'd 'd d '1 =∑=n i i i r m )(1 1'd 'd 'd d e i n i i n i i i i F r t r m r t ∑∑==⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯∴
非惯性系下质点的力学行为特征 在经典力学中，我们通常将物体的运动视为在惯性系中进行的。惯性系是一个特殊的参考系，其中物体的运动受到牛顿定律的简单描述。然而，在现实世界中，我们经常会遇到非惯性系，即参考系本身也在加速运动。在非惯性系下，质点的力学行为将会有一些特殊的特征。 首先，非惯性系下的质点会受到惯性力的作用。惯性力是由于参考系的加速度引起的一种虚拟力。它的大小和方向与质点的质量和参考系的加速度有关。当参考系加速度为零时，惯性力也为零，此时质点的力学行为与惯性系下相同。但当参考系加速度不为零时，惯性力的作用将会改变质点的运动轨迹。 其次，非惯性系下质点的受力分析需要考虑到离心力和科里奥利力的作用。离心力是由于质点在非惯性系中的加速度引起的一种力。它的大小与质点的质量、参考系的角速度以及质点与参考系的距离有关。离心力的作用使得质点在非惯性系中的运动轨迹发生偏离，呈现出离心的特征。 科里奥利力是由于质点在非惯性系中的角速度引起的一种力。它的大小和方向与质点的质量、参考系的加速度、角速度以及质点与参考系的速度有关。科里奥利力的作用使得质点在非惯性系中的运动轨迹发生旋转，呈现出旋转的特征。 除了惯性力、离心力和科里奥利力，非惯性系下质点的力学行为还受到其他外力的作用。这些外力可以是重力、摩擦力、弹力等。在非惯性系中，这些外力的大小和方向也会受到参考系的加速度和角速度的影响。因此，非惯性系下质点的受力分析需要综合考虑所有相关因素。 非惯性系下质点的力学行为特征不仅仅体现在受力分析上，还体现在质点的运动方程和动力学性质上。在非惯性系下，质点的运动方程将会包含加速度和角加速度的项。这些项反映了参考系的变化对质点运动的影响。此外，非惯性系下质点的动力学性质也会发生变化，例如质点的动量和角动量的守恒性质可能会受到影响。
第一章非惯性系中的质点动力学 牛顿一、二定律只适用于惯性参考系 前面我们已讲了静力学(研究物体的平衡，而不涉及不平衡物体的运动);运动学(研究物体运动的几何性质，而不追究引起物体运动的原因); 动力学(将力与运动联系起来，研究作用于物体上的力与物体机械运动之间的关系) 动力学：研究作用于物体上的力与物体机械运动之间的关系，即研究物体机械运动的普遍规律 首先要抽象力学模型。如研究人造地球卫星的轨道时，卫星的形状和大小对所研究的问题没有什么影响，可以忽略不计，因此，可将卫星抽象为一个质量集中在重心的质点。刚体作平动时，因刚体内各点的运动情况完全相同，也可以不考虑这个刚体的形状和大小，而将它抽象为一个质点来研究。 如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应抽象为质点系或刚体。刚体是质点系的一种特殊情形。 研究对象：质点：具有一定质量而无大小的几何点。 质点系：几个或无限个相互有联系的质点组成的系统。 刚体：不变的质点系。 质点→质点系： 第10章质点动力学的基本方程 10—1 动力学的基本方程 动力学共有三个基本定律（牛顿三定律），是牛顿在总结前人研究成果基础上归纳总结出来的。在《自然哲学的数学原理》中提出的。牛顿三定律是整个动力学的基础。可以好不夸张的说动力学中所有方程、定理都可由牛顿三定律推导出来。其实牛顿三定律我们并不陌生，我们只是复习。 惯性的概念是伽利略在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》一书中明确提出的。牛顿把这个概念总结成惯性定律是四十年以后的事。 牛顿二定律伽利略也曾非正式提到。牛顿二定律的内容则是牛顿在总结C.雷恩、J.沃利斯和J.惠更斯等人的结果之后提出的。 必须有力才能保持运动状态的错误观点。 牛顿是万有引力定律的发现者。他在1665~1666年开始考虑这个问题。1679年，R.胡克在写给他的信中提出，引力应与距离的平方成反比，地球高处抛体的轨道为椭圆，假设地球有缝，抛体将回到原处，而不是象牛顿所设想的轨道是趋向地心的螺旋线。牛顿没有回信，但采用了胡克的见解。在开普勒行星运动定律以及其他人的研究成果上，他用数学方法导出了万有引力定律。 牛顿三定律是整个动力学的基础。 第一定律（刚性定律）：任何质点如不受力作用，则将保持原来静止或等速直线运动状态。定性地给出了力与运动之间的关系。 1、不受力？ 2、惯性：质点具有的保持原有的运动状态不变的特性。 3、要运动状态改变，必须有力作用。
第一章 质点运动学 1．下列物理量是标量的为（ ） A ．速度 B ．加速度 C ．位移 D ．路程 2．下列物理量中是矢量的有 （ ） A . 内能 B . 动量 C . 动能 D . 功 答案：1.D 2.B 一、位矢、位移、速度、加速度等概念 1.一质点作定向直线运动，，下列说法中，正确的是 （ ） A.质点位置矢量的方向一定恒定，位移方向一定恒定 B.质点位置矢量的方向不一定恒定，位移方向一定恒定 C.质点位置矢量的方向一定恒定，位移方向不一定恒定 D.质点位置矢量的方向不一定恒定，位移方向不一定恒定 2．质点的运动方程是cos sin r R ti R tj ωω=+，,R ω为正的常数，从/t πω=到 2/t πω=时间内，该质点的位移是 （ ） A ．2Rj - B ．2Ri C ．2j - D ．0 3．一质点以半径为R 作匀速圆周运动，以圆心为坐标原点，质点运动半个周期内, 其位移大小r ?=_ _______，其位矢大小的增量r ?=_________． 4．质点在平面内运动，矢径 ()r r t =，速度()v v t =，试指出下列四种情况中哪种质点一 定相对于参考点静止： （ ） A. 0dr dt = B ．0dr dt = C ．0dv dt = D ．0dv dt = 5.质点作曲线运动，某时刻的位置矢量为r ，速度为v ，则瞬时速度的大小是（ ），切向加速度的大小是（ ），总加速度大小是（ ） A.dt r d B. dt r d C. dt dr D. dt v d E. dt v d F. dt dv 6. 在平面上运动的物体，若0=dt dr ，则物体的速度一定等于零。 （ ）7. 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v ，瞬时速率为v ，某一段时间内的平均速度为v ，平均速率为v ,它们之间的关系应该是： （ ） A ．v = v ，v ≠v B ．v ≠v , v =v
质点系统动力学知识点总结质点系统动力学（Particle System Dynamics）是研究多个质点之间相互作用和受力导致的运动规律的学科。它在物理学、机械工程、天体物理学等领域有广泛的应用。本文将对质点系统动力学中的主要知识点进行总结。 一、质点系统的质心 质点系统是由多个质点组成的结构系统。其中，质心是质点系统的一个重要概念。质心是指质点系统中所有质点的质量加权平均位置，用于描述整个系统的运动状态。质心的位置可以通过质点的质量和位置来计算。 二、牛顿第二定律 质点系统动力学中的牛顿第二定律适用于质点系统中的每个质点。牛顿第二定律表明，质点所受的合力与质点的加速度成正比，且方向相同。这个定律可以用以下公式表示： F = ma 其中，F表示合力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。 三、质点系统的相互作用力 质点系统中的质点之间存在相互作用力。常见的相互作用力有万有引力、电磁力、弹簧力等。这些相互作用力决定了质点系统的整体运动规律。
四、动量守恒定律 在不受外力作用的封闭系统中，质点系统的总动量保持不变。这就 是动量守恒定律。动量是质点的质量乘以其速度，用于描述质点运动 的惯性特性。 五、动能守恒定律 在没有非弹性碰撞和外力作用的封闭系统中，质点系统的总动能保 持不变。动能是质点的质量乘以其速度的平方的一半，用于描述质点 的运动能量。 六、弹性碰撞和非弹性碰撞 在质点系统中，碰撞可以分为弹性碰撞和非弹性碰撞。弹性碰撞指 碰撞后，质点的总动能保持不变；非弹性碰撞指碰撞后，质点的总动 能发生改变。了解碰撞类型对于研究质点系统的运动轨迹非常重要。 七、两质点系统的行星运动 行星运动是质点系统动力学中的一个重要研究领域。根据引力定律，行星对太阳有万有引力作用，同时太阳对行星也有引力的反作用。利 用牛顿运动定律，可以研究行星围绕太阳的椭圆轨道运动。 八、多质点系统的卫星运动 多质点系统的卫星运动也是质点系统动力学的一个重要研究内容。 卫星绕地球（或其他星球）运动时，既受到地球的引力作用，也受到
包头师范学院 本科毕业论文 论文题目：非惯性系中动力学问题的讨论 院系：物理科学与技术学院 专业：物理学 姓名：王文隆 学号： 0809320007 指导教师：鲁毅 二〇一二年三月
摘要 综述了近几十年来国内外学者对非惯性系动力学方面的研究情况 ,以及对非惯性系动力学的实际应用情况。介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法 ,惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式 ,以及非惯性系中的能量定理和能量守恒定律的应用等研究成果。最后 ,概述了一些运用非惯性系动力学的方法来解决非惯性系中的理论和实际工程应用两方面的文献 ,并且对非惯性系的研究和应用进行了展望。 关键词：非惯性系；惯性力；动力学方程；拉格朗日方程；动量定理; 动能定律;守恒定律
Abstract And under classical mechanics frame, the conservation law, leads into the inertial force concept according to kinetic energy theorem , moment of momenum theorem , mechanical energy in inertia department, equation having infered out now that the sort having translation , having rotating is not that inertia is to be hit by dynamics, priority explains a few representative Mechanics phenomenon in being not an inertia department. Key words：Non- inertia Inertial force Kinetic energy theorem Mechanical energy conserves Apply
非惯性系中的力学 牛顿运动定律只适用于惯性系,在非惯性系中,为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方程,就需要引入惯性力的概念. 一.直线加速系中的惯性力 设非惯性参考系的加速度为a 参,物体相对于参考系的加速度为a 相 ,物体实际的加速度为a 绝, 则有: a绝= a参+a相.那么,物体”受到”的惯性力F惯=－m a参,其方向与a参的方向相反. 惯性力是虚构的力,不是真实力,因此,惯性力不是自然界中物体间的相互作用,因此不属于牛顿第 三定律涉及的范围之内,它没有施力物体,不存在与之对应的反作用力. 在非惯性系中,考虑到惯性力后的动力学方程为: 式中, F 合 为物体实际受到的合力. 二,匀速转动系中的惯性力 圆盘以角速度ω绕铅直轴转动,在圆盘上用长为r的轻线将质量为m的小球系于盘心且小不球相对于圆盘静止,即随盘一起作匀速圆周运动.从惯性系观察,小球在线拉力T的作用一下作圆周运动,符合牛顿第二定律.以圆盘为参考系,小球受到拉力T的作用,却保持静止,没有加速度,不符合牛顿第二定律.所以,相对于惯性系作匀速转动的参考系也是非惯性系,要在这种参考系中保持牛顿第二定律 形式不变,在质点静止于此参考系的情况下,应引入惯性力:F 惯 =mω2r.这个力叫做惯性离心力.若质点静止于匀速转动的参考系中,则作用于此物体所有相互作用力与惯性离心力的合力等于零,即: 例1.在火车车厢内有一长l，倾角为的斜面，当车厢以恒定加速度a0从静止开始运动时，物体自倾角为θ的斜面顶部A点由静止开始下滑，已知斜面的静摩因数为μ，求物体滑至斜面底部B点时，物体相对于车厢的速度，并讨论当a0与μ一定时，倾角θ为多大时，物体可静止于A点？ 例2.如图所示，定滑轮A的一侧持有m1=5kg的物体，另一侧挂有轻滑轮B，滑轮B两侧挂着民m2=3kg，m3=2kg的物体，求每个物体的加速度。
《理论力学》内容小结 第一章 质点运动学 一、运动的描述方法 1．参考系——描述物体运动时被选作参考的另一物体叫参考系。 2．运动与静止——相对于参照坐标系而言，运动质点的坐标是时间t 的函数，如质点坐标为常数，则为静止。 3．运动学方程 （a ）矢量形式)(t r r = (b)坐标形式 Ⅰ直角坐标)(1t f x =，)(2t f y =，)(3t f z = Ⅱ平面极坐标)(t r r =，)(t θθ= 4．轨道——运动质点在空间一连串所占据的点形成的连续曲线，其方程可由上述运动学方程消去t 而得。 二、速度与加速度 1．矢量形式dt r d v =，22d d d d t r a == t v 2．分量形式（平面） Ⅰ直角坐标 速度x ，y ；加速度x ，y Ⅱ平面极坐标 径向速度r ，横向速度θ r ；径向加速度2 θ r r -，横向加速度θθ r r 2+ Ⅲ自然坐标 切向速度s ，法向速度0；切向加速度s ，t d d v 或s d d v v ，法向加速度ρ2v 三、平动参考系 1．匀速直线运动参考系 v v v '+= 0（绝对速度＝牵连速度＋相对速度） a a '= （绝对加速度＝相对加速度） 2．加速直线运动参考系 v v v '+= 0 a a a '+= 0（绝对加速度＝牵连加速度＋相对加速度） 第二章 质点动力学 一、质点运动微分方程 1． 自由质点 （a ）矢量形式 ),,(t r r F r m = （b ）分量形式 Ⅰ直角坐标 x F x m = ，y F y m = ，z F z m =
Ⅱ平面极坐标 r F r r m =-)(2θ ，θθθF r r m =+)2( Ⅲ自然坐标 τF t m d d v ，n F m =ρ2v ，b F =0 2． 非自由质点——取消约束，代以约束范作用力，就可把非自由质点视为自由质点，再和 约束方程联立求解。 3． 理想线约束 τF t m =d d v ，n n R F m +=ρ2v 二、功与能 1． 功 z F y F x F r F W z y B A x B A d d d d ++=⋅= ⎰⎰ 是一个线积分，一般随路径而异 2． 能——物体作功的本领，功是能量变化的量度 3． 动能22 1 v m E k =，m 是质点的质量，v 是质点的速度 4． 势能 如V F -∇= ，则力所作的功与路径无关，只与两端点的位置有关，这种力叫保守力， 在保守力场中，函数),,(z y x V 就是质点在),,(z y x 点上相对于某一规定零点的势能。 三、质点动力学的几个基本定理与守恒定律 1． 动量定理与动量守恒定律 动量v m p = 动量定理F t m t p ==d )(d d d v 动量守恒定律0=F ，=p 恒矢量，或1C x = ，2C y = ，3C z = 2． 角动量定理与角动量守恒定律 对一点的角动量p r J ⨯= 力矩F r M ⨯= 角动量定理 t J M d d = 或 [][][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=--=-x y z x y z yF xF x y y x m t xF zF z x x z m t zF yF y z z y m t )(d d )(d d )(d d 角动量守恒定律0=M ，=J 恒矢量，或 4C y z z y =- ，5C z x x z =- ，6C x y y x =-
渤海大学 本科毕业论文 ￥ 题目非惯性系下力学问题的研究 完成人姓名张亚楠 主修专业物理学教育 所在院（系）数理学院物理系 入学年度' 2008年 完成日期2011年6月1日 指导教师丁文波
非惯性系下力学问题的探讨 张亚楠渤海大学物理系 摘要：非惯性参照系就是能够对同一个被观测的单元施加作用力的观测参照框架和附加非线性的坐标系的统称。在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。了解非惯性系下的力学问题很重要。对于非惯性系的研究已经从传统的理论已经从传统的理论教学扩展到实际生活应用领域，从宏观研究深入到微观领域。随着生活领域的不断扩大，对非惯性系下的元器件动力学行为，特别是非线性动力学行为的研究还有很大的空间。在直升机转子等航空发动机转子的动力学研究中，应用的也主要是非惯性系动力学的理论知识。近年来通过研究发现，在非惯性系中两体问题、摩擦力、压强以及浮力问题等都得以解决。本文阐述了惯性系和非惯性系的区别，由惯性力着手，把牛顿第二地定律引入到非惯性系中，分析了牛顿第二定律的适用条件，并对非惯性系下的力学问题进行研究。第一部分对非惯性系和惯性系进行概述。第二部分对非惯性系下摩擦力的研究进行了讲述，摩擦力从动于包括惯性力在内的其它力作用。第三部分通过分析在非惯性系中液体内部浮力和压强的变化，阐述了在不同参考系下液体浮力和压强的变化规律。 关键词：非惯性系；摩擦力；压强；浮力
Mechanics Problems in the non-inertial frame Zhang Ya-nan Department of Physics，Bohai University Abstract:Collectively referred to as the coordinate system of the observation frame of reference and additional non-linear non-inertial frame of reference is the ability to exert force on the same observation unit. In classical mechanics, no one makes the "failure of the principle of Galilean relativity" frame of reference is the so-called "non-inertial frame of reference. Mechanical problem is very important to understand the non-inertial frame. For non-inertial frames from the traditional theory has been expanded from the traditional teaching of the theory to real-life applications, from a macro research into micro areas. With the continuous expansion of areas of life, the dynamic behavior of non-inertial frame components, especially the study of nonlinear dynamic behavior there is a lot of space. The study of helicopter rotor aero-engine rotor dynamics, the application of theoretical knowledge of non-inertial frame dynamics. In recent years, the study found that two-body problem in the non-inertial, friction, pressure and buoyancy problems are all resolved. This paper describes the difference between inertial frames and non-inertial frames, to proceed by the inertia force, the introduction of Newton's second law of land to the non-inertial reference frame, Newton's Second Law applies to conditions, mechanical problems and non-inertial frame study. The first part an
惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理 摘 要 动能定理做为高中物理一条重要的规律，并没有提及在不同的参考系中使用的问题。本文对惯性参考系和非惯性参考系中动能定理的表达式进行了探讨。 关键词：动能定理 惯性参考系 非惯性参考系 表达式 质点动能定理的经典表述为：质点的动能的增量等于作用于质点的合力所做的功。即： 微分形式： ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=221mv d dW 积分形式： ⎰⎰⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=v v mv d W d 02021 或： W =k E ∆ 在高中物理中并没有提及运用动能定理的参考系的选取，而一般情况下也都是选取地面 为参考系，那么如果选取其他的参考系动能定理是否依然成立，下面对这个问题进行了探讨。 1． 惯性参考系中的动能定理 所谓惯性参考系，就是适用于牛顿运动定律的参考系。地球或静止在地面上的物体可以认为是惯性参考系，相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系也是惯性参考系。经典力学认为，牛顿第二定律的数学形式与惯性参考系选取无关，那么作为牛顿第二定律重要推导—动能定律是否也与惯性参考系选取无关呢? 在例1中求证，如图1两个参考系，地面为固定参考系O '，光滑木板以速度v 做匀 速直线运动，木板为一惯性参考系O 。一质量为m 的物体，在木板参考系O 中，0t 时刻初速度为1v ，在恒力F 的作用下，在运动方向上发生一段位移s ，1t 时刻速度增加到 2v 。 1．1惯性参考系中功的计算 功的定义为：r d F dW ⋅= a) 在木板参考系即惯性参考系O 中： s F W ⋅= ① b) 在地面参考系即惯性参考系O '中： 由伽利略变换可知，位移vt s s +='，两参考系中时间相同2 12v v s t += ()⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛++⋅=+⋅='⋅='212v v sv s F vt s F s F W ② 2v 1v 图 1
非惯性系中的功能原理及应用 摘要: 在理论力学中,关于非惯性参照系中动力学问题,从来未涉及到非惯性系中的功能原理。为此,本文先推证出质点系相对非惯性系的动能定理,再推出质点系相对非惯性系的功能原理及机械能守恒定理,然后再运用此原理解决实际问题。 关键词: 非惯性系；牵连惯性力；科氏惯性力；功能原理；机械能守恒定理 The function of the inertial system principle and application Abstract: In the theory of mechanics,about the dynamics inertia reference in question never involved in noninertial system function and principle.For this reason this paper first inferred, particle system to a relative non-inertial systems of kinetic energy theorem,and then launch the relative particle noninertial system of function and principle, the last to solve practical problems by using the principle. Key words: Noninertial system; Involved the inertial force; Division type inertia force; principle of work and energy; Mechanical energy conservation theorem 0 引言 处理非惯性参考系中的动力学问题有两种方法，一种是在惯性参考系中考虑问题，然后运用相对运动的关系进行两种坐标参考系之间坐标、速度和加速度诸量的转换，化成非惯性系中的结论。另一种方法是研究在非惯性系中适用的动力学基本方程，从而研究非惯性系中的动力学问题。关于关于非惯性系中的动力学问题，在理论力学中只是研究动力学方程。机械能是自然界普遍存在的，在非惯性系中也
3.2非惯性系中的动力学 【基本知识】 一、联接体问题 在力的作用下一起运动的两个或两个以上的物体，叫做联结体。解有关联结体的问题一般要用到隔离法，适当辅以整体法。联结体总是相联系的两个或多个物体，这种联系既表现在力上，也表现在运动上。力的联系往往会与一些临界情况相结合，运动的联系同样视具体的情况有所不同，可能表现为位移、速度或加速度的某种关系等，这种联系也可以称之为约束。因此，解联结体问题就是寻找约束，然后建立方程。 例如，如果两物以绳、杆相连接，那么沿绳或杆方向的速度相同。如果两个物体直接接触，那么它们在垂直接触面（或切面）方向的速度相同。有些联结体中各物体具有不同的加速度，可以通过它们的受力或运动关系来确定它们的加速度的关系。 例题1：如图所示,两个木块A和B,质量分别为mA和mB,质量分别为mA和mB （只要求帮做一下受力分析） 紧挨着并排放在水平桌面上,A、B间的接触面垂直于图中纸面且与水平成θ 角.A、B间的接触面是光滑的,但它们与水平桌面间有摩擦,静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ.开始时A、B都静止,现施一水平推力F于A,要使A、B向右加速运动且A、B间之间不发生相对滑动,则： 1．μ的数值应满足什么条件? 2．推力F的最大值不能超过多少?（只考虑平动,不考虑转动问题）
二、质点系牛顿第二定律及质心运动问题 （1）质点系的牛顿第二定律 如果质点系在任意的x方向上所受的合力为Fx，质点系中n各物体在x方向的加速度分别是a1x、a2x、…、anx，那么有： Fx=m1·a1x+m2·a2x+…+mn·anx 质点系动力学方程不涉及内力，所以在处理一些联结体问题时利用这个方程往往能带来很大的方便。 （2）质心和质心的运动 1 求质心：在某方向上有n个质点m1、m2、…、mn，在此方向上建立坐标系的x轴，各质点在x轴上的坐标分别为x1、x2、…、xn,则质心在x坐标上的位置： = 同理可以求得质心的速度：
动力学引言 1. 动力学研究内容 （1）动力学研究内容 动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 在静力学中，分析了作用于物体的力，并研究了物体在力系作用下的平衡问题。在运动学中，仅从几何方面分析了物体的运动，而不涉及作用力。 动力学则对物体的机械运动进行全面的分析，研究作用于物体的力与物体运动之间的关系，建立物体运动的普遍规律。 （2）物体的抽象模型 动力学中物体的抽象模型有质点和质点系。 质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。 如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应该抽象为质点系。 所谓质点系是由几个或无限个相互联系的质点所组成的系统。 刚体是质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保持不变，也称为不变的质点系。 （3）质点动力学 认为构成复杂物体系统的基础是质点，质点是物体最简单、最基本的模型。 质点动力学基本方程描述了质点受力与其运动之间的联系。
质点动力学的基础是牛顿（Isaac Newton）总结的牛顿三定律，即惯性定律、力与加速度之间的关系的定律和作用与反作用定律。 （4）刚体动力学 认为构成复杂物体系统的质点系是刚体。 刚体动力学基本方程描述了刚体受力与其运动之间的联系。 刚体动力学的基础也是惯性定律、力与加速度之间的关系的定律和作用与反作用定律等力学定律。 （5）变形体动力学（质点系动力学） 认为构成复杂物体系统的质点系，其质点之间的距离是可以变化的。 变形体动力学基本方程描述了质点受力与其运动之间的联系，其基础也是惯性定律、力与加速度之间的关系的定律和作用与反作用定律等力学定律。 （6）连续质量力学 在连续介质假定下，质点动力学、质点系动力学和刚体动力学都是连续介质力学。 工科理论力学只研究质点动力学和刚体动力学，变形体力学已超出其关注的范围。 连续介质力学属于牛顿力学范畴。 2. 动力学的形成和发展 （1）经典力学（古典力学）
质点动力学 内容：牛顿运动三定律及应用。 常见力 动量和动量守恒定律及应用 功和功率 动能定理 势能 机械能守恒定律与能量守恒定律。 2.1 牛顿运动定律 任何物体都要保持其静止状态或匀速直线运动状态, 直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。 当F=0时，v=常量 三个重要概念： 1.惯性 第一定律表明任何物体都具有保持其原有运动状态不变的性质，我们把这个性质称为物体的惯性。因而，第一定律又被称为惯性定律。惯性是物体本身所固有的属性，任何物体在任何状态下都具有惯性。在质点力学范畴，物体的惯性大小与物体的质量有关，因而物体的质量有时也被称为惯性质量。 2.力 第一定律指出力的作用是改变物体的运动状态。力是物体间的相互作用，是使物体产生加速度的原因，而不是使物体运动的原因。第一定律定性地给出了力和加速度之间的关系。 3.惯性系 第一定律定义了特殊的参考系，即惯性系。正如第一章所说，运动只有相对于特定的参照系才有意义。我们把牛顿第一定律在其中成立的的参照系称为惯性系；第一定律在其中不成立的参考系称为非惯性系。所以，可以把牛顿第一定律作为判断一个参考系是惯性系还是非惯性系的理论依据。 2.1.2牛顿第二定律 牛顿第二定律表述如下：物体受外力作用时，所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，并与物体的质量m成反比，加速度方向与合外力 F的方向相同，其数学表达式为
a v F m dt d m ==∑ 取比例系数为1, 这与力、质量和加速度采用国际单位制有关。上式是质点动 力学的基本方程式。 1、应用牛顿第二定律时的注意事项： 1）第二定律只能直接应用于质点的运动。 2）a F m =中的F 是指合外力。 3）加速度a 与F 方向一致，说明只有沿力的作用方向物体才能产生加速度。在直角坐标系中a F m =的分量形式为 x x m a F =，y y m a F =，z z m a F = 沿切向和法向分解为： t t m a F =，n n m a F = t F 和n F 分别称为切向分力和法向分力。 他们也只能分别使物体产生自己方向的加速度。 4）a F m =所反映的力与加速度之间的关系是瞬时关系。 2、第二定律提供了度量力和惯性的方法： 1）力的度量 使同一物体先后在两个不同的力 -和的作用下分别获得加速度和，因为质量m 一定可得： 2 121a a F F = 实验证明，力既有大小，又有方向，而且多个力相加时遵从平行四边形法则，所以力是矢量。力的单位是牛顿，简称牛（N ）。 2）质量的度量 在物理学中，用来量度物体惯性的物理量，叫做惯性质量，惯性质量是物体阻碍其自身运动状态变化的固有特性。各物体的惯性质量与它们在相同力的作用下获得的加速度数值成反比。若用1m 和2m 表示物体1和2的惯性质量，则有 2 121a a =m m 牛顿第二定律中的质量称为惯性质量，它与万有引力定律中的引力质量概念不同。前者表征物体惯性的大小，后者体现物体产生和感受引力的能力。近代精确实验表明，如果选用适当单位，同一物体惯性质量和引力质量数值相等。 2.1.3牛顿第三定律 两个质点之间的相互作用力，即作用力与反作用力，总是大小相等，方向相反，
第三章 非惯性系质点动力学 课后作业题 3-1. 如习题3-1图所示，一小车沿倾角为θ的光滑斜面滑下。小车上悬挂一摆锤。当摆锤相对小车静止时，摆线与铅垂线的夹角为多大？ 解：以斜面为参考系（惯性系），以小车与摆锥整体为研究对象，应用牛顿第二定律有：sin Mg Ma θ= 以小车为参考系（加速直线运动的非惯性系），以水平向右和向上为,x y 的正方向，如习题3-1图所示，以摆球为研究对象，加上沿斜面向上的惯性力 ma 后，对摆球应用牛顿第二定律： x 方向：sin cos T ma αθ= y 方向：cos sin T ma mg αθ+= 两式联立得：tg tg αθ=，即αθ=。 3-2. 在卡车的尾部通过一根绳子拖着一根粗细均匀的圆木。绳长为d ，圆木长为l ，绳与卡车的连接点距地高h 。问卡车必须以多大的加速度a 行驶，才能使圆木与地面脱离？ 解：以车为参考系（加速直线运动的非惯性系），以圆木为研究对象。设圆木与地面间夹角为θ，加上惯性力ma -后，圆木处于平衡状态，圆木脱离
地面条件是圆木与地面相互作用力为零。 水平方向：cos T ma θ= 竖直方向：sin T mg θ= 由习题3-2图所示的几何关系得：sin h l d θ=+ 联立得：a = 3-3. 在一体积为V ，质量为0m 的铁盒内置有一阿特伍德机，已知两物体的质量分别为1m 和2m 。现将此铁盒放入密度为ρ的液体中，如习题3-3图所示，试求铁盒在下沉过程中的加速度。忽略液体对铁盒的阻力作用。 解：习题3-3图所示， 以液体为参考系（惯 性系），向下为正方向，设12,m m 之间的绳中张力为T 。 以0m 为研究对象有：002m g T Vg m a ρ+-= 以铁盒为参考系（加速直线运动的非惯性系），设向下为正方向，分别以1m ， 2m 为研究对象，分别加上1m a -，2m a -的惯性力，1m 、2m 相对于铁盒 具有等值的加速度a 相，应用牛顿第二定律：
第一章 质点动力学 1－3 解： 运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。 将运动方程对时间求导并将030=θ代入得 34cos cos 2 2lk lk l y v ====θ θθ 9 38cos sin 22 32 lk lk y a = -==θ θ 1－6 证明：质点做曲线运动， 所以质点的加速度为：n t a a a +=, 设质点的速度为v ，由图可知: a a v v y n cos == θ，所以: y v v a a n = 将c v y =，ρ 2 n v a = 代入上式可得 ρ c v a 3 = 证毕 1－7 证明：因为n 2 a v =ρ，v a a v a ⨯==θsin n 所以：v a ⨯= 3 v ρ 证毕 1－10 解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式： t v L s 0-=，并且 2 22x l s += 将上面两式对时间求导得： 0v s -= ，x x s s 22= 由此解得：x sv x 0 - = （a ） (a)式可写成：s v x x 0-= ，将该式对时间求导得： 2 002v v s x x x =-=+ (b) x o o v o v F N F g m y θ
将(a)式代入(b)式可得：3 2 2022 0x l v x x v x a x - =-== （负号说明滑块A 的加速度向上） 取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有： g F F a m m N ++= 将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程： N F F y m F mg x m +-=-=θθsin cos 其中： 2 2 2 2 sin ,cos l x l l x x += += θθ0,3 2 20=-=y x l v x 将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得： 2 32 2 0) (1)(x l x l v g m F ++ = 1－11 解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即： θcos A B v v = （a ） 因为 x R x 2 2cos -= θ （b ） 将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为： 2 2 R x x R v A -=ω （c ） 由于x v A -=，（c ）式可写成：Rx R x x ω=--22 ，将该式两边平方可得： 222222)(x R R x x ω=- 将上式两边对时间求导可得： x x R x x R x x x 2232222)(2ω=-- 将上式消去x 2后，可求得： 2 2 2 4 2)(R x x R x --=ω (d)