非惯性系动力学 1.问题的提出
a a a e r =+
在惯性系S 中
F ma =成立，在动系S ’中
F ma r =是否成立？
F ma ma ma ma e r r ==+≠∴作加速平动的参照系为非惯性系。
2.改进的牛顿定律
F ma ma F ma ma F ma F F ma e r e r g e g r
=+⇒+-==-⇒+=() 引入惯性力后牛顿定律仍成立。 3.讨论
？为什么选择非惯性系：方便 ？惯性力与普通力的差别
惯性力只是一种记号，它无施力物体，也无反作用力
功和能
1.第一积分
直接求解运动微分方程是研究动力学问题的基本方法，但对具体问题解出微分方程有时比较困难。实际上许多问题并不需要把微分方程完全解出。如可建立力与速度之间的关系，则二阶微分方程可简化为一阶微分方程，相当于对加速度作了一次积分，因此将此类解法称为第一积分。
2.问题的引出
考察力对空间的累积效果，有
F ma F dr m dv dt
dr mv dv mvdv
F dr mv mv =⇒⋅=⋅=⋅=⋅⎰=-12221
2
1212 2.功与功率
1)功
力对空间的累积效果
dW F dr W F dr Fds =⋅⇒=⋅⎰=⎰ 12
12
cos θ
2)功的解析式 W F dx F dy F dz x y z =++⎰12
3)合功为分力功之和 W F F F dr F dr F dr F dr n n =+++⋅⎰=⋅⎰+⋅++⋅⎰⎰(...) (121211221212)
4)功率
P dW dt
F v =
=⋅
3.功的计算
W F t r v dr =⋅⎰ (,,)12
若力只是位置的函数(力场):
F F r F x y z ==()(,,)，问题可加以简化。
当
F r ()满足一定条件时，W 只与两端点位置有关而与路径无关，如 1)万有引力 W GMm r GMm r =--
--⎡
⎣⎢⎤
⎦
⎥()()21 2)重力 W mgy mgy =--()21
3)弹性力 W kx kx =--()1212
2
2
12
保守力：做功只与两端点位置有关而与路径无关的力。
力为保守力的条件：存在一单值有限可微的势能函数V(x,y,z) dW dV V x dx V y dy V
z
dz F V V x i V y j V z
k F =-=-++=-∇=-++∇⨯=()()∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
可见，只要力所做的元功
可表为全微分（或力的旋度为0），则该力为保守力。 保守力做功：W dW dV V V =⎰=-⎰=--121221()
非保守力、耗散力。
4.动能与势能
5.动能定理与功能原理
6.机械能守恒原理
质点动力学的基本定理与基本守恒量 1.动量守恒定律 考察力对时间的累积效果
1)动量与冲量 2)动量定理(矢量式与解析式) 3)动量守恒定律
2.力矩与动量矩
F d mv dt r F r d mv dt d r mv dt dr
dt mv r d mv dt r d mv dt
r F d r mv dt M dJ dt J J Mdt
=
⇒⨯=⨯⨯=⨯+⨯=⨯
∴⨯=⨯=-=⎰()
()()()()(),,2112
3.动量矩守恒定律
考察力矩对时间的累积效果
1)动量矩定理 2)动量矩守恒定律
有心力
1.有心力的基本性质 1)有心力 质点受力的作用线始终通过定点（力心），一般为矢径（以力心为原点）的函数，分引力和斥力两种。
2)运动
受有心力作用的质点作平面运动
r F J r mv const ⨯=⇒=⨯=0
质点在垂直于动量矩的平面内运动
3)作用方程
F F r F r r mx F r x r my F r y r
m r r F r m r d dt r ==⇒==⎧
⎨
⎪⎪⎩
⎪⎪⇒-==⎧⎨⎪⎩⎪()() () ()
( )()
[
( )]()
022
10θθ 显然r h mr mh v r mr r mv const 222 ( ) ()θθθθθθ
===∴=⨯= 有心力问题的基本方程：m r
r F r r h
( )() -==⎧⎨⎪⎩⎪θθ22
4)功与能
W F dr F dr F rd F dr
r r F F V F dr r r V V r r r =⋅⎰=⎰+⎰=⎰∇⨯=∴=-∇⎰=-- 1212
12
1
21
2210θθ,()
有心力为保守力，且机械能守恒：
12
222m r r V r E ( )()++=θ 基本方程也可写为：122222m r
r V r E r h ( )() ++==⎧⎨⎪⎩
⎪θθ
2.轨道微分方程
r h u r hu r d d u u du d h du d r h u d u d h u d u d u F m u u 2222222
222
21
11 () , ()()θθθθθθθθθ
θ=⇒=
===-=-=-⇒+=-⇒= （比耐公式）
3.行星的运动轨迹
已知万有引力F G
Mm r
mk u ==-2
22，求行星的运动轨道。
h u d u d u k u d u d u k h
A u A k h r k h A h k u k h 22
22
22
22
22
2
2
022
2
2
022
01(
) cos()cos(),cos()
θ
θ
ξξξθθθθθθξ+=⇒
+=
⇒+=⇒=-⇒=-+
=
+-=+
合适选取坐标系使θ0
0=，有r p e p k h e A h k
=+==1222
2cos ,,θ
轨迹为原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点。
也可采用第二个基本方程推导：
121222*********
2222422242
232
22224
0m r r V r E V k m r r dr d h r dr d r h m h r dr d h r k r E dr d Er mh
k r h
r r h k h E mk r p
e ( )(),, ( )[()]cos()
cos ++==-===⇒+-=⇒=+
-⇒=
++
-⇒=
+θθθθθθθθθθ
4.从开普勒到万有引力 I ：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。
II ：行星与太阳的连线在相同时间内扫过相同面积。 III ：行星公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。 可由开普勒定律推出万有引力定律。
II ⇒
=≈∴=dA dt const A r r dA dt r ∆∆1212
2() θθ ⇒=⇒⨯=⇒⨯=r const r mv const r F 20 ()θθ
即：行星受有心力作用且力心为太阳（满足有心力基本方程）
I ⇒=+=+r p e u p e
p
11cos ,cos θθ 代入比耐公式
⇒=-+=-
=-F mh u d u
d u mh u p h m
pr
22
222222()θ 行星受力且与距离平方成反比(其中h 、p 是与行星有关的常量)
III ⇒===-2220
,()A r h A h t t θ 扫过全部椭圆时 222A ab hT T ab h
==⇒=ππ T a b h a b a a a c a e p 232222222411==-=-=π,()() ∴
==⇒
T a
p h const p h
23
22
2
4π与行星无关，
令
p h k F k m r 2
2
22
1=
⇒=-
5.宇宙速度
1212222222
222m r r k m r E r h m r h r
k m r E ( ) ( )+-==∴+-=θθ 在椭圆近日点，r a c a e p
e
r =-=-=
+=(), 110，有 E mh r k m r mk p r k m r mk a
p a e p h
k =-⇒-=-
=-=121222
22
12222
22
2() 对椭圆轨道星体，122222mv k m r k m a
-=-
1)第一宇宙速度
令a=r=地球半径，F mg G
Mm r k m r k gr ===
⇒=2
22
22
有v gr m s 133986*********==⨯⨯=⨯../ 2)第二宇宙速度
令a 为无穷远点，有v gr v m s 2122112
===./ 3)第三宇宙速度
脱离地球与太阳，v G
M
r v G M r s s
22
22==, 有v v M r
Mr m s s s
==⨯2
34210/ 考虑地球公转速度为30km/s ，因此在地球公转轨道上发射只需达 到12km/s 。为克服地球阻力达到该速度，需要 1212
1200016510322233mv k m r m v m s -=⇒=⨯()./ 考虑到其他行星的阻力，v km s 3167=./
非惯性系中的功能原理及应用 摘 要: 在理论力学中,关于非惯性参照系中动力学问题,从来未涉及到非惯性系中的功能原理。为此,本文先推证出质点系相对非惯性系的动能定理,再推出质点系相对非惯性系的功能原理及机械能守恒定理,然后再运用此原理解决实际问题。 关键词: 非惯性系；牵连惯性力；科氏惯性力；功能原理；机械能守恒定理 The function of the inertial system principle and application Abstract: In the theory of mechanics,about the dynamics inertia reference in question never involved in noninertial system function and principle.For this reason this paper first inferred, particle system to a relative non-inertial systems of kinetic energy theorem,and then launch the relative particle noninertial system of function and principle, the last to solve practical problems by using the principle. Key words: Noninertial system; Involved the inertial force; Division type inertia force; principle of work and energy; Mechanical energy conservation theorem 0 引言 处理非惯性参考系中的动力学问题有两种方法，一种是在惯性参考系中考虑问题，然后运用相对运动的关系进行两种坐标参考系之间坐标、速度和加速度诸量的转换，化成非惯性系中的结论。另一种方法是研究在非惯性系中适用的动力学基本方程，从而研究非惯性系中的动力学问题。关于关于非惯性系中的动力学问题，在理论力学中只是研究动力学方程。机械能是自然界普遍存在的，在非惯性系中也依然如此。在非惯性系动力学方程的基础上推导出非惯性系中的功能原理及机械能守恒定理。从而，从能量的观点出发去研究非惯性系中的动力学问题。 1 非惯性系的动能定理 平面转动参考系(例如平板)s '以角速度ω 绕垂 直与自身的轴转动,在这参考系上取坐标系xy O -它 的原点和静止坐标系s 的原点O 重合,并且绕着通过O 并垂直于平板的直线以角速度ω 转动（图1）。令单 位矢量i ，j 固着在平板上的x 轴及y 轴上，并一同 以角速度ω 和平板一起转动。ω 矢量在z 轴上，我们可以把它写成k ωω=。如果p 为在平板上运动着的一质点，则p 的位矢为 j y i x r += （1） s ' ω θ η ζ p r k j i y x 图 1
大学物理（2.2.2）--常见力非惯性系惯性力 一、几种常见的力 1．万有引力（Law of Gravitation ） 1）文字叙述：在两个相距为r ，质量分别为m 1，m 2的质点间有万有引力，其方向沿着它们的连线，其大小与它们的质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，即2）数学表示 0221 r r m m G F = ——引力质量Gravitational Mass 其中 211..1067.6--?=kg m N G ——引力常量。 2．重力（Gravity ）——本质上归结于万有引力。 1）文字叙述：物体重力就是指忽略地球的自转效 应时，地球表明附近物体所受的地球的引力，即物体与 地球之间的万有引力。其方向指向地心。 2）数学表示 G=mg g=9.8m.s -2——重力加速度。 3）思考题： 赤道的重力加速度大还是两极的重力加速度大？为什么？ 3．弹性力（Elastic Force ） 大家知道，两个物体相互接触，彼此将产生形变，使其内部产生反抗力——形变恢复力（弹性力）。形变是产生弹性力的条件之一。例如：板擦和桌子相互接触，彼此有了一定的形变，在各自的接触部分产生弹性力。所以，弹性力是一种与物体的形变有关的接触力。即发生形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体会产生力的作用，这种物体因形变而产生欲使其恢复原来形状的力叫做弹性力。常见的弹性力有：1）弹簧中的弹性力：弹簧被拉伸或压缩时产生的弹性
力。 胡克定律（Hooke Law ）：在弹性限度内，弹性力的大小与弹簧的伸长量成正比，方向指向平 衡位置。 数学表示 f=-kx—— k 为弹簧的劲度系数（Stiffness ）。 k 的值决定于弹簧本身的性质。而弹簧弹性力的方向总是指向平衡位置。 2）绳子被拉紧时所产生的张力 绳的张力：即绳内部各段之间的弹 性作用力。下面以AB 段为研究对象，设 其质量为m A 点和B 点的张力：'A A T T -=、'B B T T -=由牛顿第二定律：a m T T B A =+（1）当a =0或者m →0时，F T T B A =-='，绳子上各点张力相同而且拉力相等。 （2）当a ≠0，而且m ≠0 （绳子质量不能忽略时），绳子上各点的张力不F 图2-2 弹簧的弹力 m 同。 （3）张力的大小取决于绳被拉紧的程度，它的方向总是沿着绳而指向绳要收缩的方向。 3）正压力（作用在支承面上）和支持力（作用在物体上）
惯性力 惯性系:相对于地球静止或作匀速直线运动的物体 非惯性系:相对地面惯性系做加速运动的物体 平动加速系:相对于惯性系作变速直线运动,但是本身没有转动的物体.例如:在平直轨道上加速运动的火车 转动参考系:相对惯性系转动的物体.例如:转盘在水平面匀速转动 惯性力：指当物体加速时，惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该物体为坐标原点，看起来就彷佛有一股方向相反的力作用在该物体上，因此称之为惯性力。因为惯性力实际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因此惯性力又称为假想力。当系统存在一加速度a时，则惯性力的大小遵从公式：F=-ma 例如，当公车煞车时，车上的人因为惯性而向前倾，在车上的人看来彷佛有一股力量将他们向前推，即为惯性力。然而只有作用在公车的煞车以及轮胎上的摩擦力使公车减速，实际上并不存在将乘客往前推的力，这只是惯性在不同坐标系统下的现象 注意：惯性力和离心力一样，是没有施力物体的，所以从力的要素来看，是不存在这样的力的。那么为什么要有这样一个概念呢？简单一点讲是为了满足牛顿运动定律在非惯性系中的数学表达形式不变而引入的。所谓非惯性系，简单一点将就是做变速运动的参考系。所以说到底，所谓惯性力和离心力就是在一个加速运动的参考系中观察到的物体惯性的表达形式，是为了计算方便而人为引入的一个概念。 ANSYS中的动力学分析 1动力学分析是用来确定惯性（质量效应）和阻尼起重要作用时的结构或构件动力学特性的技术。 2“动力学特性”可能指的是下面的一种或几种类型 -振动特性：结构振动方式和振动频率 -随时间变化载荷的效应（例如：对结构位移和应力的效应） -周期（振动）或随机载荷的效应 3动力学分析类型 -模态分析：确定结构的振动特性 -瞬态动力学分析：计算结构对时间变化载荷的响应 -谐响应分析：确定结构对稳态简谐载荷的响应 -谱分析：确定结构对地震载荷的响应 -随机振动分析：确定结构对随机震动的影响
非惯性系下质点的力学行为特征 在经典力学中，我们通常将物体的运动视为在惯性系中进行的。惯性系是一个特殊的参考系，其中物体的运动受到牛顿定律的简单描述。然而，在现实世界中，我们经常会遇到非惯性系，即参考系本身也在加速运动。在非惯性系下，质点的力学行为将会有一些特殊的特征。 首先，非惯性系下的质点会受到惯性力的作用。惯性力是由于参考系的加速度引起的一种虚拟力。它的大小和方向与质点的质量和参考系的加速度有关。当参考系加速度为零时，惯性力也为零，此时质点的力学行为与惯性系下相同。但当参考系加速度不为零时，惯性力的作用将会改变质点的运动轨迹。 其次，非惯性系下质点的受力分析需要考虑到离心力和科里奥利力的作用。离心力是由于质点在非惯性系中的加速度引起的一种力。它的大小与质点的质量、参考系的角速度以及质点与参考系的距离有关。离心力的作用使得质点在非惯性系中的运动轨迹发生偏离，呈现出离心的特征。 科里奥利力是由于质点在非惯性系中的角速度引起的一种力。它的大小和方向与质点的质量、参考系的加速度、角速度以及质点与参考系的速度有关。科里奥利力的作用使得质点在非惯性系中的运动轨迹发生旋转，呈现出旋转的特征。 除了惯性力、离心力和科里奥利力，非惯性系下质点的力学行为还受到其他外力的作用。这些外力可以是重力、摩擦力、弹力等。在非惯性系中，这些外力的大小和方向也会受到参考系的加速度和角速度的影响。因此，非惯性系下质点的受力分析需要综合考虑所有相关因素。 非惯性系下质点的力学行为特征不仅仅体现在受力分析上，还体现在质点的运动方程和动力学性质上。在非惯性系下，质点的运动方程将会包含加速度和角加速度的项。这些项反映了参考系的变化对质点运动的影响。此外，非惯性系下质点的动力学性质也会发生变化，例如质点的动量和角动量的守恒性质可能会受到影响。
第一章非惯性系中的质点动力学 牛顿一、二定律只适用于惯性参考系 前面我们已讲了静力学(研究物体的平衡，而不涉及不平衡物体的运动);运动学(研究物体运动的几何性质，而不追究引起物体运动的原因); 动力学(将力与运动联系起来，研究作用于物体上的力与物体机械运动之间的关系) 动力学：研究作用于物体上的力与物体机械运动之间的关系，即研究物体机械运动的普遍规律 首先要抽象力学模型。如研究人造地球卫星的轨道时，卫星的形状和大小对所研究的问题没有什么影响，可以忽略不计，因此，可将卫星抽象为一个质量集中在重心的质点。刚体作平动时，因刚体内各点的运动情况完全相同，也可以不考虑这个刚体的形状和大小，而将它抽象为一个质点来研究。 如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应抽象为质点系或刚体。刚体是质点系的一种特殊情形。 研究对象：质点：具有一定质量而无大小的几何点。 质点系：几个或无限个相互有联系的质点组成的系统。 刚体：不变的质点系。 质点→质点系： 第10章质点动力学的基本方程 10—1 动力学的基本方程 动力学共有三个基本定律（牛顿三定律），是牛顿在总结前人研究成果基础上归纳总结出来的。在《自然哲学的数学原理》中提出的。牛顿三定律是整个动力学的基础。可以好不夸张的说动力学中所有方程、定理都可由牛顿三定律推导出来。其实牛顿三定律我们并不陌生，我们只是复习。 惯性的概念是伽利略在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》一书中明确提出的。牛顿把这个概念总结成惯性定律是四十年以后的事。 牛顿二定律伽利略也曾非正式提到。牛顿二定律的内容则是牛顿在总结C.雷恩、J.沃利斯和J.惠更斯等人的结果之后提出的。 必须有力才能保持运动状态的错误观点。 牛顿是万有引力定律的发现者。他在1665~1666年开始考虑这个问题。1679年，R.胡克在写给他的信中提出，引力应与距离的平方成反比，地球高处抛体的轨道为椭圆，假设地球有缝，抛体将回到原处，而不是象牛顿所设想的轨道是趋向地心的螺旋线。牛顿没有回信，但采用了胡克的见解。在开普勒行星运动定律以及其他人的研究成果上，他用数学方法导出了万有引力定律。 牛顿三定律是整个动力学的基础。 第一定律（刚性定律）：任何质点如不受力作用，则将保持原来静止或等速直线运动状态。定性地给出了力与运动之间的关系。 1、不受力？ 2、惯性：质点具有的保持原有的运动状态不变的特性。 3、要运动状态改变，必须有力作用。
包头师范学院 本科毕业论文 论文题目：非惯性系中动力学问题的讨论 院系：物理科学与技术学院 专业：物理学 姓名：王文隆 学号： 0809320007 指导教师：鲁毅 二〇一二年三月
摘要 综述了近几十年来国内外学者对非惯性系动力学方面的研究情况 ,以及对非惯性系动力学的实际应用情况。介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法 ,惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式 ,以及非惯性系中的能量定理和能量守恒定律的应用等研究成果。最后 ,概述了一些运用非惯性系动力学的方法来解决非惯性系中的理论和实际工程应用两方面的文献 ,并且对非惯性系的研究和应用进行了展望。 关键词：非惯性系；惯性力；动力学方程；拉格朗日方程；动量定理; 动能定律;守恒定律
Abstract And under classical mechanics frame, the conservation law, leads into the inertial force concept according to kinetic energy theorem , moment of momenum theorem , mechanical energy in inertia department, equation having infered out now that the sort having translation , having rotating is not that inertia is to be hit by dynamics, priority explains a few representative Mechanics phenomenon in being not an inertia department. Key words：Non- inertia Inertial force Kinetic energy theorem Mechanical energy conserves Apply
非惯性系中的力学 牛顿运动定律只适用于惯性系,在非惯性系中,为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方程,就需要引入惯性力的概念. 一.直线加速系中的惯性力 设非惯性参考系的加速度为a 参,物体相对于参考系的加速度为a 相 ,物体实际的加速度为a 绝, 则有: a绝= a参+a相.那么,物体”受到”的惯性力F惯=－m a参,其方向与a参的方向相反. 惯性力是虚构的力,不是真实力,因此,惯性力不是自然界中物体间的相互作用,因此不属于牛顿第 三定律涉及的范围之内,它没有施力物体,不存在与之对应的反作用力. 在非惯性系中,考虑到惯性力后的动力学方程为: 式中, F 合 为物体实际受到的合力. 二,匀速转动系中的惯性力 圆盘以角速度ω绕铅直轴转动,在圆盘上用长为r的轻线将质量为m的小球系于盘心且小不球相对于圆盘静止,即随盘一起作匀速圆周运动.从惯性系观察,小球在线拉力T的作用一下作圆周运动,符合牛顿第二定律.以圆盘为参考系,小球受到拉力T的作用,却保持静止,没有加速度,不符合牛顿第二定律.所以,相对于惯性系作匀速转动的参考系也是非惯性系,要在这种参考系中保持牛顿第二定律 形式不变,在质点静止于此参考系的情况下,应引入惯性力:F 惯 =mω2r.这个力叫做惯性离心力.若质点静止于匀速转动的参考系中,则作用于此物体所有相互作用力与惯性离心力的合力等于零,即: 例1.在火车车厢内有一长l，倾角为的斜面，当车厢以恒定加速度a0从静止开始运动时，物体自倾角为θ的斜面顶部A点由静止开始下滑，已知斜面的静摩因数为μ，求物体滑至斜面底部B点时，物体相对于车厢的速度，并讨论当a0与μ一定时，倾角θ为多大时，物体可静止于A点？ 例2.如图所示，定滑轮A的一侧持有m1=5kg的物体，另一侧挂有轻滑轮B，滑轮B两侧挂着民m2=3kg，m3=2kg的物体，求每个物体的加速度。
渤海大学 本科毕业论文 题目非惯性系下力学问题的研究完成人姓名张亚楠 主修专业物理学教育 所在院（系）数理学院物理系入学年度2008年 完成日期2011年6月1日指导教师丁文波
非惯性系下力学问题的探讨 张亚楠渤海大学物理系 摘要：非惯性参照系就是能够对同一个被观测的单元施加作用力的观测参照框架和附加非线性的坐标系的统称。在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。了解非惯性系下的力学问题很重要。对于非惯性系的研究已经从传统的理论已经从传统的理论教学扩展到实际生活应用领域，从宏观研究深入到微观领域。随着生活领域的不断扩大，对非惯性系下的元器件动力学行为，特别是非线性动力学行为的研究还有很大的空间。在直升机转子等航空发动机转子的动力学研究中，应用的也主要是非惯性系动力学的理论知识。近年来通过研究发现，在非惯性系中两体问题、摩擦力、压强以及浮力问题等都得以解决。本文阐述了惯性系和非惯性系的区别，由惯性力着手，把牛顿第二地定律引入到非惯性系中，分析了牛顿第二定律的适用条件，并对非惯性系下的力学问题进行研究。第一部分对非惯性系和惯性系进行概述。第二部分对非惯性系下摩擦力的研究进行了讲述，摩擦力从动于包括惯性力在内的其它力作用。第三部分通过分析在非惯性系中液体内部浮力和压强的变化，阐述了在不同参考系下液体浮力和压强的变化规律。 关键词：非惯性系；摩擦力；压强；浮力
Mechanics Problems in the non-inertial frame Zhang Ya-nan Department of Physics，Bohai University Abstract:Collectively referred to as the coordinate system of the observation frame of reference and additional non-linear non-inertial frame of reference is the ability to exert force on the same observation unit. In classical mechanics, no one makes the "failure of the principle of Galilean relativity" frame of reference is the so-called "non-inertial frame of reference. Mechanical problem is very important to understand the non-inertial frame. For non-inertial frames from the traditional theory has been expanded from the traditional teaching of the theory to real-life applications, from a macro research into micro areas. With the continuous expansion of areas of life, the dynamic behavior of non-inertial frame components, especially the study of nonlinear dynamic behavior there is a lot of space. The study of helicopter rotor aero-engine rotor dynamics, the application of theoretical knowledge of non-inertial frame dynamics. In recent years, the study found that two-body problem in the non-inertial, friction, pressure and buoyancy problems are all resolved. This paper describes the difference between inertial frames and non-inertial frames, to proceed by the inertia force, the introduction of Newton's second law of land to the non-inertial reference frame, Newton's Second Law applies to conditions, mechanical problems and non-inertial frame study. The first part an overview of the non-inertial frames and inertial frames. The
百科名片 相对于惯性系（静止或匀速运动的参考系）加速运动的参考系称为非惯性系参考系。地球有自转和公转，我们在地球上所观察到的各种力学现象，实际上是非惯性系中的力学问题。 目录 基本概念 非惯性参照系与惯性力 转动的非惯性参照系与科里奥利惯性力 广义相对性原理 非惯性参照系附加引力场 编辑本段基本概念 非惯性参照系就是能够对同一个被观测的单元施加作用力的观测参照框架和附加非线性的座标系的统称。非惯性参照系的种类无穷多。在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。比如，一个加速转动的参照系；一个加速振动的参照系；……；一个随机任意加速运动的参照系等等。即任何一个使得牛顿第一定律和牛顿第二定律不再成立的参照系。在经典电动力学中，任何一个使得“爱因斯坦相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。比如，任何一个使得洛仑兹电磁作用力定律F=qE+qu×B，或者麦克斯韦方程组不再成立的参照系。编辑本段非惯性参照系与惯性力 经典力学对力定义相当简单明了——力是物体对物体的作用，不错，相当简单明了！于是，人们认为只有具备两个或两个以上的物体才资格谈力，凡是谈到力则一定有施力物体，也有受力物体，这似乎与人们的生活实践相一致。可是，当人们坐在车上，并以车为参照系时，我们发现车上的物体居然可以无缘无故地加速运动起来，似乎有一个力作用在物体之上，这是一个什么力呢？它具有什么性质呢？施力物体是什么？无论我们怎样努力寻找，始终无法把这个力的施力物体找出来。为了弄清楚原因，我们下了车，在地面上以地面为参照系再来观察一翻，这时，我们恍然大悟，原来当车一旦发生加速运动时，车上的物体就会在车相对于车厢加速运动起来，物体根本没有发生运动而是保持静止状态，物体并没有受到力的作用，当然我们找不到施力物体了。可见，在不同参照系上观察物体的运动，观察的结果会截然不同！于是，人们把参照系进行了分类，凡是牛顿第二定律能够适用的参照系称为惯性参照系，反之，牛顿第二定律不适用的参照系称为非惯性参照系。牛顿第二定律所谓是否适用，我们考虑的因素实际上是力的产生条件，如果具备力的产生条件，则必然符合牛顿第二定律。通过总结，人们发现，凡是相对地面静止或者做匀速直线运动的参照系都是惯性参照系，而相对于地面做变速运动的参照系是非惯性参照系；在众多的惯性参照系中，相对地面静止
非惯性系中的力学 在经典力学中，我们通常将研究对象限定在惯性系中。惯性系是指 一个不受任何外力或惯性力作用的参考系。然而，在许多实际情况下，我们无法避免研究非惯性系中的力学。非惯性系中的力学研究相对复杂，但它在解释许多日常生活中的现象、工程设计以及航天飞行等方 面具有重要的意义。 一、引言 在力学研究中，我们常常使用牛顿定律来描述物体的运动，即 F=ma，其中F为物体所受合力，m为物体的质量，a为物体的加速度。然而，牛顿定律仅在惯性系中成立，当系统处于非惯性系中时，就需 要考虑惯性力的作用。 二、非惯性力的概念和作用 非惯性力是指在非惯性系中对物体产生的看似存在的力，实际上是 由于非惯性系的运动而产生的惯性效应。常见的非惯性力有离心力、 科里奥利力以及向心力等。 离心力是一个物体在非惯性系中沿着旋转轴的方向产生的力，它的 大小与物体的质量、距离旋转轴的距离以及角速度有关。离心力在许 多日常生活场景中起着重要作用，比如旋转游乐设施中的体验、地球 自转引起的地球形状畸变等。 科里奥利力是一个物体在非惯性系中由于角速度的改变所产生的力。科里奥利力的方向垂直于运动方向和旋转轴，在天文学、航天飞行等
领域有重要的应用。例如，地球上飞行的飞机或火箭就需要考虑科里 奥利力的影响。 向心力是一个物体在非惯性系中沿着旋转轴的方向产生的力，它与 物体的质量、旋转角速度以及距离旋转轴的距离有关。向心力在转弯 的机动车辆、垂直旋转的过山车等情况下起着重要作用。 三、非惯性系中的运动方程 在非惯性系中，我们需要修正牛顿定律，使其适用于非惯性系的情况。修正后的运动方程为F=m(a-a')，其中a'为非惯性系的加速度。非 惯性系中的运动方程相对复杂，因为我们需要考虑添加的惯性力对物 体运动所产生的影响。 四、实例分析 接下来，我们通过几个实例来说明非惯性系中的力学问题。 1. 旋转地球上的自由落体 在地球自转的惯性系中，物体的自由落体可以简单地由重力加速度 描述。然而，在地球自转的非惯性系中，我们需要考虑离心力和科里 奥利力的影响。这些额外的力将使自由落体轨迹不再是简单的抛物线，而是呈现出特殊的弯曲轨迹。 2. 旋转平台上的物体运动
惯性系和非惯性系 在物理学中，我们经常会听到惯性系和非惯性系这两个概念。它们是研究物体运动的基本框架。在本文中，我们将详细介绍这两个概念以及它们在物理学中的重要性。 惯性系 惯性系可以理解为一个相对静止的观察者的参照系，它是一个特殊的参照系。在这个参照系下，物体遵循牛顿第一定律，即物体会沿其原来的运动状态保持匀速直线运动，或者保持静止。也就是说，物体只有在有外力作用的情况下才会改变它的运动状态。比如，我们坐在在公交车上，如果不受到摩擦力的作用，我们会感觉到自己像是在静止的房间里，而不是在加速的车厢里。这种感觉的原因就在于我们是在一个惯性系内观察了运动状态。 另外值得一提的是，一个不受到任何力的自由物体的行为也可以看做是其被置于一个惯性系内。 非惯性系 相比之下，非惯性系则是一个正在运动或者加速的参照系。在这个参照系下，物体不再遵循牛顿第一定律。我们需要引入“惯性力”来描述物体被非惯性系所影响的行为。所谓的惯性力就是物体在非惯性系下所受到的虚拟力，它的作用方向与物体的加速度相反，大小与物体的质量成正比。这个虚拟的力被引入我们是为了让物体在非惯性系内也能够遵循牛顿三定律。
非惯性系是物理学中一个有极大重要性的概念，因为它涉及到了质量、加速度以及惯性力等许多基本物理量的计算。而随着科技的不断发展，我们对于非惯性系的研究也愈加深入和广泛。相信随着时间的推移，非惯性系在物理学中的重要性会愈加突显。 惯性系和非惯性系的应用 惯性系和非惯性系的概念在物理学中有着广泛的应用。在机械领域中，我们经常需要研究物体在不同的惯性系中的运动规律，以便于更好的设计和制造机械设备。在天体物理领域，我们需要研究由于地球自转而造成的非惯性系对于行星运动的影响。在计算机图形学中，我们需要决定在哪个坐标系中进行渲染。因此，惯性系和非惯性系的概念是研究物体运动规律以及物理学应用的基础。 总结 惯性系和非惯性系是物理学中非常重要的概念。惯性系是一个相对静止的参照系，它遵循牛顿第一定律。而非惯性系则是一个正在运动或者加速的参照系，在这个参照系下，物体不再遵循牛顿第一定律。我们需要引入惯性力来描述物体在非惯性系内的运动行为。这两个概念对于研究物体运动规律以及许多物理学应用都有着很大的意义和作用。
3.2非惯性系中的动力学 【基本知识】 一、联接体问题 在力的作用下一起运动的两个或两个以上的物体，叫做联结体。解有关联结体的问题一般要用到隔离法，适当辅以整体法。联结体总是相联系的两个或多个物体，这种联系既表现在力上，也表现在运动上。力的联系往往会与一些临界情况相结合，运动的联系同样视具体的情况有所不同，可能表现为位移、速度或加速度的某种关系等，这种联系也可以称之为约束。因此，解联结体问题就是寻找约束，然后建立方程。 例如，如果两物以绳、杆相连接，那么沿绳或杆方向的速度相同。如果两个物体直接接触，那么它们在垂直接触面（或切面）方向的速度相同。有些联结体中各物体具有不同的加速度，可以通过它们的受力或运动关系来确定它们的加速度的关系。 例题1：如图所示,两个木块A和B,质量分别为mA和mB,质量分别为mA和mB （只要求帮做一下受力分析） 紧挨着并排放在水平桌面上,A、B间的接触面垂直于图中纸面且与水平成θ 角.A、B间的接触面是光滑的,但它们与水平桌面间有摩擦,静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ.开始时A、B都静止,现施一水平推力F于A,要使A、B向右加速运动且A、B间之间不发生相对滑动,则： 1．μ的数值应满足什么条件? 2．推力F的最大值不能超过多少?（只考虑平动,不考虑转动问题）
二、质点系牛顿第二定律及质心运动问题 （1）质点系的牛顿第二定律 如果质点系在任意的x方向上所受的合力为Fx，质点系中n各物体在x方向的加速度分别是a1x、a2x、…、anx，那么有： Fx=m1·a1x+m2·a2x+…+mn·anx 质点系动力学方程不涉及内力，所以在处理一些联结体问题时利用这个方程往往能带来很大的方便。 （2）质心和质心的运动 1 求质心：在某方向上有n个质点m1、m2、…、mn，在此方向上建立坐标系的x轴，各质点在x轴上的坐标分别为x1、x2、…、xn,则质心在x坐标上的位置： = 同理可以求得质心的速度：
解答非惯性参考系内动力学问题的三种思路作者：宋兴会 来源：《中学教学参考·理科版》2021年第11期
[摘要]解答非惯性参考系内的动力学问题，既可以重选惯性参考系，又可以根据等效原理把非惯性参考系转换为惯性参考系，还可以对物体添加平衡力使物体的不平衡状态转换为其他的不平衡状态，甚至平衡状态，再分别进行解答。
[关键詞]非惯性参考系;参考系转换法;运动状态转换法 [中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）32-0054-03 当我们站在电梯中随电梯匀速上升或者匀速下降时，感觉和人静止站立在地面上时一样，此时支持力等于重力，合外力等于零，人相对电梯的加速度也等于零，符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律，电梯是惯性参考系。当我们站在电梯中随电梯开始上升或者开始下降时，随电梯即将停止上升或者即将停止下降时，感觉和人静止站立在地面上时不一样，此时人“超重”或“失重”，支持力大于或小于重力，合外力不等于零，而人相对于电梯的加速度却等于零，不符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律，电梯是非惯性参考系。参考系是惯性参考系还是非惯性参考系，是用牛顿第二定律解答动力学问题之前需要弄清楚的问题，否则就可能会判断错误。下面结合例题进行分析探讨。 题目：（2015年高考物理海南卷第9题）如图1所示，升降机内有一固定斜面，斜面上放一物块，开始时升降机做匀速运动，物块相对斜面匀速下滑。当升降机加速上升时（）。 A.物块与斜面间的摩擦力减小 B.物块与斜面间的正压力增大 C.物块相对于斜面减速下滑 D.物块相对于斜面匀速下滑 分析：该题中升降机开始时做匀速向上的运动，升降机和斜面对在斜面上运动的物块来说是惯性参考系，物块的运动符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律。此时在斜面上匀速下滑的物块受重力、支持力、滑动摩擦力三个力作用而平衡，支持力与重力沿垂直于斜面斜向下方向的分力抵消，滑动摩擦力与重力沿平行于斜面斜向下方向的分力抵消。升降机加速上升时，升降机内物体“超重”，原先在斜面上匀速下滑的物块受到的支持力、滑动摩擦力都变大了，而重力大小没有变，滑动摩擦力大于原先与其平衡的重力沿平行于斜面斜向下方向的分力，所以有人就推测出物块沿斜面减速下滑的结论，误选了选项C;这是没有考虑到斜面随升降机加速上升时斜面相对在斜面上运动的物块来说是非惯性参考系，物块的运动不符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律而导致的。 解答思路一，重选参考系 （1）升降机做匀速运动时，物块相对斜面匀速下滑，此时物块受重力、支持力、滑动摩擦力三个力的作用，如图2所示，合外力为零。将重力沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，三力平衡的受力情形就转化为两个二力平衡的受力情形。设斜面的倾角为[θ]，物块
毕业论文 题目非惯性系中的力学定理 学生姓名陈杰学号1110014110所在学院物理与电信工程学院 专业班级物理学1103 指导教师王剑华 完成地点陕西理工学院 2015年6月5日
非惯性系中的力学定理 陈杰 （陕西理工学院物电学院物理学1103班，陕西汉中723001） 指导教师：王剑华 [摘要] 在非惯性系中，力学系统的相关定理对于处理非惯性系中的某些动力学问题具有简洁、方便和易于求解的特点。因此，从发现牛顿定律以来，人们就对非惯性系中力学定理的研究十分重视。而本文从惯性系的牛顿方程出发，考虑了其在非惯性系中的变化；利用加速度合成定理，给出了非惯性系的牛顿方程，由此推导出了非惯性系中的动量定理，角动量定理，动能定理等。 [关键词] 非惯性系；动量定理；角动量定理；动能定理 引言 对于牛顿定律，我们已经知道它适用于所有的惯性参照系。但是实际上，人们并没有找到真正惯性参照系。我们通常所使用的惯性系，例如地球坐标系、太阳坐标系等实际上都是非惯性参照系。因此，我们需要推导出适用于非惯性参照系中的牛顿方程。在国内外力学的相关教材中大多数对于惯性系中的相关力学定理进行了详细介绍和解释，然而对非惯性系中的力学定理讨论不深，或者说介绍的不够全面。而对于非惯性系，在实际生活中，很多领域我们都需要用到非惯性系，如航空航天、外星空探求等范围的许多转子系统；还有许多文献资料对非惯性系做了大量研究，例如潘营利研讨了非惯性系下基本形式拉格朗日方程及其运用[1]。王耘涛,冯立芹等研究了非惯性系弹簧谐振子振动周期的计算[2]。这些文献和应用都有对非惯性系的相关问题进行了深入研究，但是对于非惯性系中的力学定理却采取各自的方法去推导，这就导致非惯性系中的力学定理相关理论繁杂，让人们很难学习到系统的非惯性系中的力学定理，这显然违背了物理学中化繁为简的规律。所以，本文希望通过一种统一的方法来研究非惯性系中力学系统的相关定理。 人们在用经典力学来研究物体的机械运动时，为了描述物体的运动状态，首先要选择合适的坐标系。而人们知道了但凡牛顿第二定律可以运用的参照系称为惯性参照系，反之，牛顿第二定律不适用的参照系称为非惯性参照系。经过研讨，人们发现了但凡相对地面静止或做匀速直线运动的参照系都是惯性参照系，而相对某惯性参照系作非等速直线运动的参照系是非惯性参照系。事实上，人们通常所说的地面也是一个非惯性系。人们对惯性参照系进行了许多的讨论研究同时，也对非惯性参照系进行了讨论研究。为了能够在非惯性参照系中可以使用牛顿第二定律，假如物体受到一个力的作用，这个力是由加速度矢量及其物体的质量的乘积并冠以负号来决定。由于找不到施力物体，所以这个力不是一个实在的力，而是一个虚拟的力，把这个力称为“惯性力”。在很多情况下，惯性力的力矩和功可能为零。惯性力的存在使得我们可以将适用于惯性参照系的牛顿定律仍旧可以在非惯性参照系中可以使用，因此研究非惯性系的力学定理具有重要的意义。 第1页共8页
非惯性系下的拉格朗日方程及其应用 摘要本文介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法，惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式，以及非惯性系中的应用等研究成果。 关键词非惯性；拉格朗日方程；应用 在运用拉格朗日方程的计算中，多是在惯性系中进行的。诚然在惯性系中运用拉格朗日方程有很多方便之处。但是有时会遇到在惯性系中考察则不易求出物体的动能。 例：如图，物体绕Z轴转动，不易求出转动惯量IZ，则转动动能不易求出，进而质点P的总的动能不易求出。在惯性系下运用拉格朗日方程有困难。此时，如果考虑在非惯性系中，采用非惯性系下的拉格朗日方程，可能使得问题容易解决，从而得到解决问题的另一条途径。 1）在非惯性系下拉格朗日方程的形式 在非惯性系中，牛顿定律形式上成立，则由几个质点所形成的力学体系的动力学方程可写为 或 其中，为作用在第i个质点的约束反力的合力，为作用在第i个质点上的惯性力的合力，为主动力的合力。在理想约束的条件下，则得： 把不独立的等改为用广义坐标等来表示，则上式变为： （1.1式） 以下的推导过程可采用《理论力学教程》第二版（作者：周衍柏）中的推导方法。只是在末尾增添上此项：
令进而推导可得： 将（A）中的三个式子代入（1.1式）可得： 由于相互独立，故得： （1.2式） 这就是在非惯性系下的拉格朗日方程的基本形式。 2）存在属于保守力的惯性力 （1）根据保守力的定义或斯巴克斯公式易证牵连惯性力是保守力； （2）由于惯性离心力是有心力，易证有心力属于保守力。 3）在非惯性系下的保守系的拉格朗日方程的形式对保守力系而言存在势能V，且： （B）式对也成立。 把（B）式代入（A）式，则： 同理也可求得。 其中V1属于保守力的主动力作用于力系而具有的势能；V2为属于保守力的惯性力的作用而具有的势能。 令，即V为总的势能，则（1.2）可改写为: 令，即L为非惯性系下的拉格朗日函数，则可得： （1.3） 4）非惯性系下的拉格朗日方程的运用 例1：一个光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动。管中有一质量为m的质点。开始时，细管取水平方向，质点距转动轴的距离为a，质点相对于管的速度为v0，试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。 解；首先分析力。因科氏力在物体运动方向上不做功，由于求质点相对于管的运动规律，故可用（1.3）。
第三章 非惯性系质点动力学 课后作业题 3-1. 如习题3-1图所示，一小车沿倾角为θ的光滑斜面滑下。小车上悬挂一摆锤。当摆锤相对小车静止时，摆线与铅垂线的夹角为多大？ 解：以斜面为参考系（惯性系），以小车与摆锥整体为研究对象，应用牛顿第二定律有：sin Mg Ma θ= 以小车为参考系（加速直线运动的非惯性系），以水平向右和向上为,x y 的正方向，如习题3-1图所示，以摆球为研究对象，加上沿斜面向上的惯性力 ma 后，对摆球应用牛顿第二定律： x 方向：sin cos T ma αθ= y 方向：cos sin T ma mg αθ+= 两式联立得：tg tg αθ=，即αθ=。 3-2. 在卡车的尾部通过一根绳子拖着一根粗细均匀的圆木。绳长为d ，圆木长为l ，绳与卡车的连接点距地高h 。问卡车必须以多大的加速度a 行驶，才能使圆木与地面脱离？ 解：以车为参考系（加速直线运动的非惯性系），以圆木为研究对象。设圆木与地面间夹角为θ，加上惯性力ma -后，圆木处于平衡状态，圆木脱离
地面条件是圆木与地面相互作用力为零。 水平方向：cos T ma θ= 竖直方向：sin T mg θ= 由习题3-2图所示的几何关系得：sin h l d θ=+ 联立得：a = 3-3. 在一体积为V ，质量为0m 的铁盒内置有一阿特伍德机，已知两物体的质量分别为1m 和2m 。现将此铁盒放入密度为ρ的液体中，如习题3-3图所示，试求铁盒在下沉过程中的加速度。忽略液体对铁盒的阻力作用。 解：习题3-3图所示， 以液体为参考系（惯 性系），向下为正方向，设12,m m 之间的绳中张力为T 。 以0m 为研究对象有：002m g T Vg m a ρ+-= 以铁盒为参考系（加速直线运动的非惯性系），设向下为正方向，分别以1m ， 2m 为研究对象，分别加上1m a -，2m a -的惯性力，1m 、2m 相对于铁盒 具有等值的加速度a 相，应用牛顿第二定律：
电 磁 诠 释 78 惯性系与非惯性系 一、经典理论中惯性系与非惯性系的概念 经典理论认为凡是牛顿运动定律适用的参照系为惯性系，牛顿运动定律不成立的参照系为非惯性系。 所有相对于惯性系做匀速直线运动的参照系都是惯性系，相对于惯性系做非匀速直线运动的参照系就不是惯性系。 在一般精度范围内，地球或静止在地面上的任一物体都可以近似看作惯性系。同样，在地面上做匀速直线运动的物体也可以近似地看作惯性系，但在地面上做变速运动的物体就不能看作惯性系。 可以看出，经典理论是把匀速直线运动的参照系作为惯性系，非匀速直线运动的参照系作为非惯性系。 二、匀速直线运动和非匀速直线运动的统一 通过以前的论述，我们知道不管是匀速直线运动，还是非匀速直线运动，都存在实际加速度0αA 或αA 。并且实际加速度的量值不随参照系的改变而改变。这样，我们就可以用实际加速度把匀速直线运动和非匀速直线运动统一起来。下面我们用实际加速度曲线说明之。
惯性系与非惯性系 79 图1 实际加速度曲线（惯性系曲线） 物体m 在极地作匀速直线运动，其实际加速度 0tan 00ααα⋅=g A 0200tan )(α⋅-=r v g 00220tan )sin (αα⋅-=r c g 取极地g 0=9.8322 m/s 2，极地半径r =6.3568×106m ，光速c =3×108m/s 时，根据上式可画出极地实际加速度0αA 与速度斜角0α的关系曲线，如上图所示。 1. 当0α=0或v 0=0时，表现为相对静止。 2. 当0α=1.5215×105-或v 0=4.5644×103 m/s 时，极 地、匀速直线运动的实际加速度有最大值m ax 0αA =9.9731×