包头师范学院
本科毕业论文
论文题目：非惯性系中动力学问题的讨论
院系：物理科学与技术学院
专业：物理学
姓名：王文隆
学号： 0809320007
指导教师：鲁毅
二〇一二年三月
摘要
综述了近几十年来国内外学者对非惯性系动力学方面的研究情况 ,以及对非惯性系动力学的实际应用情况。介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法 ,惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式 ,以及非惯性系中的能量定理和能量守恒定律的应用等研究成果。最后 ,概述了一些运用非惯性系动力学的方法来解决非惯性系中的理论和实际工程应用两方面的文献 ,并且对非惯性系的研究和应用进行了展望。
关键词：非惯性系；惯性力；动力学方程；拉格朗日方程；动量定理; 动能定律;守恒定律
Abstract
And under classical mechanics frame, the conservation law, leads into the inertial force concept according to kinetic energy theorem , moment of momenum theorem , mechanical energy in inertia department, equation having infered out now that the sort having translation , having rotating is not that inertia is to be hit by dynamics, priority explains a few representative Mechanics phenomenon in being not an inertia department.
Key words：Non- inertia Inertial force Kinetic energy theorem Mechanical energy conserves Apply
目录
引言 (5)
1非惯性系概述 (6)
1.1非惯性系 (6)
1.2 惯性力 (6)
2 动力学方程 (7)
2.1 质点动力学方程 (7)
2.2 拉格朗日方程 (8)
3 能量问题 (9)
4 应用研究举例 (9)
5 研究展望 (10)
参考文献 (11)
致谢 (12)
非惯性系中动力学问题的讨论
引言
实际工程中有许多系统处于非惯性系内工作 ,如航空航天、天文和外星空探索等领域的许多转子系统。许多文献对非惯性系内的动力学问题进行了深入的研究 ,笔者将对此进行综述 ,内容包括在非惯性系中非惯性力的引入,牛顿运动定律及拉格朗日方程的应用 ,非惯性系运动学方程的建立 ,以及在非惯性系中的能量定理、能量守恒定律等的应用问题。
1非惯性系概述
1.1非惯性系
为了研究宏观物体的机械运动，首先应确定该物体在空间的位置。但因物体的位置只能相对的确定，因此有因该首先找出另外一个物体作为参考，这种作为参考的物体叫做惯性参考系或惯性参照系。在研究地面上物体的运动时，为了研究问题的方便 ,人们通常取地球作为惯性参照系。凡相对惯性系作变速运动的参照系就是非惯性参照系。两者惟一的差别就是在非惯性系中存在一个引力场。 研究在惯性参照系下机械运动所遵循的规律的力学被称之为“经典力学”,因此牛顿力学只有在惯性参照系中才能成立，即 a m F = 式（1-1） 式中F 是作用在质点上的合外力，m 是质点的质量，而a 则为在惯性参照系中所观察到的质点的加速度即绝对加速度。绝对加速度a ，牵连加速度0a 和相对加速度a ' 的关系为： a a a '+= 0 式（1-2）
在不同参照系中观察同一物体的运动,所得的描述物体运动的结论并不相同。但是，可以通过在非惯性参照系中引进一个假设的力——惯性力，牛顿运动定律在非惯性参照系中便能成立了。[1]
1.2 惯性力
在上文中提到了将惯性力引入非惯性系中 ,惯性力和以前所讲的外力有很大的区别，这一点我们应当清晰地了解。第一，当我们以前提到力时，都必须明确指明是哪一个物体作用于哪一个物体的力，因为力是物体间相互作用所产生的。至于说到质点所受到的惯性力，却无从指出是哪一个物体作用于这个质点的，他没有施力者，只不过反映参照系并非惯性参照系而已。质点之所以具有牵连加
速度0a 也只不过表示质点是被参照系“牵带”着运动这一事实。第二，物体作用
都是相互的，每一个力都有他的反作用力，惯性力并不是物体之间的相互作用，它没有施力者，因而也就不存在惯性力的反作用力。但对于惯性力 ,在许多研究著作中还存在争议 ,即惯性力到底是真实力还是虚拟的力。从力的效应以及大量各种非惯性系中惯性力的效应实例出发 ,可以论证惯性力是实力[2]。也有认为惯性力是不符合牛顿力的定义的 ,只有将牛顿力的概念加以推广后 ,惯性力才属于力的范畴[3]。因此 ,在惯性力的研究中,既不宜将惯性力简单说成是“假想的力” ,也不应片面说成是“真实的力” ,需进行全面的讨论和分析。
当在非惯性系中引入惯性力后 ,还必须考虑在非惯性系中动量定律、 动能定理以及各守恒定律的情况 ,即惯性系中的动力学方程与守恒定律是否还可以适用于非惯性系的情形[4]。
2 动力学方程
2.1 质点动力学方程
在非惯性系中解决质点的运动问题与在惯性系中一样是根据牛顿运动定律,只是用非惯性系中测得的质点的坐标、速度和加速度来表述。从惯性系到非惯性系的坐标变换来考虑,建立一般性的非惯性系中质点的动力学方程,它对特定的非惯性系就能给出该系中质点的动力学方程。
用直角坐标系oxyz 代表一个惯性系。质点的质量为m ，它的坐标和所受合力的分量用单列矩阵表示为：
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x F F F F z y x x ,
在惯性系中，质点的动力学方程为：
F x m = 式（2-1）
式中坐标对时间t 的微商表示为dt x d x dt dx x
==,。x 为质点的加速度分量。质点所受的力和合力及它的加速度对所有的惯性系都相同，它们的分量取决于坐标系的选取。
用直角坐标系z y x o ''''代表一个非惯性系。质点的坐标和所受合力的分量表示为：
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''=z y x F F F F z y x x ,
在非惯性系中，质点所受的力和合力与惯性系中的相同（分量F '和F 一般不相等）。根据方程（2-2），通过坐标变换,可建立非惯性系中质点的动力学方程（分量形式）。O 系到O '系的坐标变换取为
0x x A x '+'= 式（2-2）
式中)(t A A =为33⨯矩阵，表示O '系相对于O 系的转动。A 的逆矩阵1-A 等于A
的转置矩阵A ~，A A ~1=-且行列式1=A 。)(00
t x x '='为O '系的坐标原点O '在O 系中的坐标。力的分量变换为：
F A F '=
式（2-3） 求式（2-2）对时间的微商得： 0x x A x A x '+'+'=
式（2-4） 02x x A x A x A x '+'+'+'=
式（2-5） 将式（2-5）和(2-3)的x
和F 代入方程（2-1）得： F A x m x A m x A m x
mA '='+'+'+'02 以1-A 左乘上式两边得
F x mA x A mA x A mA x m '='+'+'+'---01112 式（2-6）
方程（2-6）就是非惯性系中质点的动力学方程。在非惯性系中引用惯性力：
0111惯
-2x mA x A mA x A mA F '-'-'='--- 式（2-7） 则方程（2-6）可写为
惯F F x m '+'=' 式（2-8）
利用拉格朗日方程也可推导出非惯性系运动方程 ,且拉格朗日方程在解决力学问题上优于牛顿运动定律。另外，对在平动 /转动非惯性系及两者合成下的任意惯性系中的动力学方程的推导，以及非惯性系中两体问题的动力学方程的推导也有不少研究。[1][5]
2.2 拉格朗日方程
利用基本形式的拉氏方程 ,既可以解决惯性系动力学问题 ,也可以解决非惯性系动力学问题 ,但在采用基本形式的拉氏方程解决非惯性系动力学问题时 ,动能必须是相对于惯性系的。而非惯性系的动能表达式比较复杂、 计算困难 ,为此可通过建立非惯性系中的拉氏方程以寻找解决非惯性系动力学问题的另一种方法[6]。
从第二类拉格朗日方程出发 ,通过引入惯性力、广义势的概念 ,可以推导出受理想完整约束的有势力学系统相对于非惯性系的Lagrange 函数和Lagrange 方程 ,并且还可发现 ,非惯性系受理想完整约束有势 (包括有势惯性力 )力学系统的动力学方程与惯性系中的动力学方程是等价的[7]。而对于非完整力学的研究 ,文献[8]直接从非惯性系运动微分方程出发 ,利用广义势的概念导出相对于
非惯性系的拉格朗日函数和第二类拉格朗日方程 ,从而推导出在非惯性系中指定系统受一阶非线性非完整约束时的拉格朗日方程式 ,并指出其与受理想完整约束时的拉格朗日方程式相似。文献[9]则从非惯性系动力学方程出发 ,不仅导出非惯性系中的 Lagrange 方程 ,还导出Nielsen 方程和 Appell 方程 ,而且还可以由非惯性系拉格朗日方程导出完整、 保守和稳定的力学体系中能量积分的条件和表达式。这种方法物理意义明确 ,且处理某些非惯性系动力学也较简便。 3 能量问题
在经典力学中运用牛顿运动定律可以导出动力学的基本守恒定律。在非惯性系中 ,牛顿第二定律写成如下形式:
1F F r
m B += 该作者认为 ,在原则上可利用此式解决非惯性系中的问题 ,但在解决一些复杂问题时 ,此种方法显得较为繁琐 ,故此文中探讨了动量守恒定律、动量矩守恒定律和机械能守恒定律在非惯性系中的推广表达式。对此进行了推论 ,导出非惯性系中动量定理、 角动量定理、 动量矩定理 ,以及动能定理和机械能守恒定律。另外 ,也可从各自的角度——质点组、 定轴匀角速度转动体和两体问题论述了机械能的守恒。
许多文献中都论述了非惯性系中机械能的守恒 ,但对于是不是在任何情况
下 ,非惯性系中机械能都是守恒的问题 ,文献 [10]在引入惯性力等效势能概念后 ,讨论了在惯性系中机械能守恒的条件。而文献[11]则认为:非惯性系的坐标原
点在不变加速度平动或作有心加速度平动 ,同时又以不变加速度矢量转动的情况下 ,如果只有牛顿有势力和惯性有势力对力学系做功 ,而无牛顿耗散力和惯性耗散力做功 ,则非惯性系的机械能是守恒的。文献[12]从非惯性质心系出发 ,推导了非惯性质心系中质点组动能定理、 功能原理和机械能守恒定律 ,从而为上述机械能守恒条件提供了例证。
对于非完整系统相对于非惯性系的研究 ,近些年来 ,许多文献给出了各自的论述。而对于单面完整、非完整系统 ,也给出了相对于非惯性系的 Noether 定理及逆定理。对于单面非 Chetaev 型非完整系统相对于非惯性系的Lie 对称性与守恒量的研究 ,可首先利用微分方程在无限小变换下的不变性建立 Lie 对称性所满足的确定方程和限制方程 ,给出结构方程和守恒量 ,再来讨论系统的 Lie 对称逆问题。[13][14]
4 应用研究举例
对非惯性系的理论研究应用最为典型的就是非惯性系中单摆周期的研究,其关键点为引入牛顿力的概念 ,运用牛顿第二定律建立动力学运动微分方程 ,
便可求出各个物理量。运用能量定理及守恒定律解决非惯性系中的比较特殊的质点运动 ,尤其是指两质点的相对速度问题 ,比运用动力学方程简捷和方便得多。对于非惯性系中理想流体的动力学方程问题,在近些年来也有研究。在非惯性系中引入惯性力和等效势能的概念 ,或是运用非惯性系中流体动力学方程,都可推导出非惯性系中伯努利方程的等效形式 ,用以解决流体动力学问题。[15]同样 ,通过研究发现 ,在惯性系中适用的阿基米德定律 ,在非惯性系中也可以用来解决流体动力学问题和流体流溢的边界条件问题。
另外,对于非惯性系下的旋转叶片系统、平面机构力学问题、柔性体系统动力学问题、弹性梁动力学问题以及弹性薄 /厚板动力学问题的研究,到目前为止也有较大成就,且在非惯性系下的电磁力学和量子力学等领域,国内外一些学者也有不少发现。
近几年国外学者在直升机转子等航空发动机转子的动力学研究中 ,应用的仍主要是非惯性系动力学的理论知识。国内也有一些学者在研究飞行器机动飞行时转子系统的动力学特性 ,所建数学模型也大多根据第二类拉格朗日方程。
5 研究展望
对于非惯性系的研究已经从传统的理论教学扩展到实际生活应用领域 ,从宏观研究深入到微观领域。笔者相信 ,随着生活领域的不断扩大 ,对非惯性系动力学问题的研究会越来越深入 ,尤其是在军事、航空航天、外星空探索和量子力学等领域 ,对非惯性系下的元器件动力学行为 ,特别是非线性动力学行为的研究还有很大的空间。当考虑航空和航天飞行器的复杂机动飞行时 ,转子系统的建模应顾及体和柔性转子的特点。殷切希望此文能给致力于此方面研究的专家学者一些帮助或启发。
参考文献
[1] 周衍柏.理论力学教程.高等教育出版社,1986,3
[2] 郑晓光.对惯性力的认识.吉林师范大学学报:自然科学版,2003
[3] 李天珍.关于惯性力的讨论. 彭城大学学报,1995,10
[4] 苏华,孔令宜.对惯性力和非惯性系中守恒定律的认识[J].承德民族师专学报,1999
[5] 王振陆.非惯性系中质点的动力学方程.镇江师专学报.1987
[6] 范宝同.用拉格朗日方法处理非惯性系动力学问题探讨.太原教育学院学报,2001,19
[7] 王世来.拉格朗日方程在非惯性系中的推广及应用[J].浙江海洋学院学报,1996(3):57 - 59 .
[8] 杨俊生.非惯性系中受一阶非线性非完整约束的拉氏方程.成都师专学
报,1996(1):47-50 .
[9] 李海东,梁景辉.分析力学中相对运动微分方程.山西师范大学学报:自然科学
版,1995,9(4)
[10]尹析明.非惯性系中质点的动能定理及机械能守恒条件[J].电子科技大学学报,1997
[11]刘树信.某些非惯性系中机械能守恒定律.烟台师范学院学报:自然科学版,1996,12(3)
[12]许钟城.在非惯性质心参考系中的能量规律[J].河池师专学报:自然科学版,1999,19(4)
[13]梁景辉,李元成.单面完整系统相对于非惯性系的Lie对称性与守恒量[J].青岛大学学
报,2000,15(1):72-75.
[14]李元成.单面非Chetaev型非完整系统相对于非惯性系的Lie对称性与守恒量[J].兵工
学报 , 2001,22(1):95-98.
[15]顾书龙.非惯性参照系中的伯努利方程[J].物理与工程,2003,13(1):1-3.
致谢
本课题在选题及研究过程中得到鲁毅老师的悉心指导。鲁老师多次询问研究进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。鲁老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人，虽历时三载，却给以终生受益无穷之道。对鲁老师的感激之情是无法用言语表达的。
惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理 摘 要 动能定理做为高中物理一条重要的规律，并没有提及在不同的参考系中使用的问题。本文对惯性参考系和非惯性参考系中动能定理的表达式进行了探讨。 关键词：动能定理 惯性参考系 非惯性参考系 表达式 质点动能定理的经典表述为：质点的动能的增量等于作用于质点的合力所做的功。即： 微分形式： ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=221mv d dW 积分形式： ⎰⎰⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=v v mv d W d 02021 或： W =k E ∆ 在高中物理中并没有提及运用动能定理的参考系的选取，而一般情况下也都是选取地面 为参考系，那么如果选取其他的参考系动能定理是否依然成立，下面对这个问题进行了探讨。 1． 惯性参考系中的动能定理 所谓惯性参考系，就是适用于牛顿运动定律的参考系。地球或静止在地面上的物体可以认为是惯性参考系，相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系也是惯性参考系。经典力学认为，牛顿第二定律的数学形式与惯性参考系选取无关，那么作为牛顿第二定律重要推导—动能定律是否也与惯性参考系选取无关呢? 在例1中求证，如图1两个参考系，地面为固定参考系O '，光滑木板以速度v 做匀 速直线运动，木板为一惯性参考系O 。一质量为m 的物体，在木板参考系O 中，0t 时刻初速度为1v ，在恒力F 的作用下，在运动方向上发生一段位移s ，1t 时刻速度增加到 2v 。 1．1惯性参考系中功的计算 功的定义为：r d F dW ⋅= a) 在木板参考系即惯性参考系O 中： s F W ⋅= ① b) 在地面参考系即惯性参考系O '中： 由伽利略变换可知，位移vt s s +='，两参考系中时间相同2 12v v s t += ()⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛++⋅=+⋅='⋅='212v v sv s F vt s F s F W ② 2v 1v 图 1
非惯性系中的功能原理及应用 摘 要: 在理论力学中,关于非惯性参照系中动力学问题,从来未涉及到非惯性系中的功能原理。为此,本文先推证出质点系相对非惯性系的动能定理,再推出质点系相对非惯性系的功能原理及机械能守恒定理,然后再运用此原理解决实际问题。 关键词: 非惯性系；牵连惯性力；科氏惯性力；功能原理；机械能守恒定理 The function of the inertial system principle and application Abstract: In the theory of mechanics,about the dynamics inertia reference in question never involved in noninertial system function and principle.For this reason this paper first inferred, particle system to a relative non-inertial systems of kinetic energy theorem,and then launch the relative particle noninertial system of function and principle, the last to solve practical problems by using the principle. Key words: Noninertial system; Involved the inertial force; Division type inertia force; principle of work and energy; Mechanical energy conservation theorem 0 引言 处理非惯性参考系中的动力学问题有两种方法，一种是在惯性参考系中考虑问题，然后运用相对运动的关系进行两种坐标参考系之间坐标、速度和加速度诸量的转换，化成非惯性系中的结论。另一种方法是研究在非惯性系中适用的动力学基本方程，从而研究非惯性系中的动力学问题。关于关于非惯性系中的动力学问题，在理论力学中只是研究动力学方程。机械能是自然界普遍存在的，在非惯性系中也依然如此。在非惯性系动力学方程的基础上推导出非惯性系中的功能原理及机械能守恒定理。从而，从能量的观点出发去研究非惯性系中的动力学问题。 1 非惯性系的动能定理 平面转动参考系(例如平板)s '以角速度ω 绕垂 直与自身的轴转动,在这参考系上取坐标系xy O -它 的原点和静止坐标系s 的原点O 重合,并且绕着通过O 并垂直于平板的直线以角速度ω 转动（图1）。令单 位矢量i ，j 固着在平板上的x 轴及y 轴上，并一同 以角速度ω 和平板一起转动。ω 矢量在z 轴上，我们可以把它写成k ωω=。如果p 为在平板上运动着的一质点，则p 的位矢为 j y i x r += （1） s ' ω θ η ζ p r k j i y x 图 1
目录 摘要 (1) Abstract........................................... 错误！未定义书签。 1 引言 (1) 2 参考系的基本概念透析 (2) 2.1 参考系 (2) 2.2 惯性系和非惯性系 (2) 2.3 非惯性参考系的应用范围 (2) 3 非惯性参考系中的力学研究 (2) 3.1 非惯性参照系与惯性力 (2) 3.2 牛顿水桶实验 (3) 3.3 非惯性参照系与科里奥利惯性力 (4) 3.4 科里奥利加速度的实质 (4) 4 广义相对性原理 (4) 5 非惯性参照系附加引力场 (5) 6 总结 (5) 参考文献 (5)
惯性系与非惯性系之间的物理规律的有关讨论 摘要：汽车开动，人向后仰，刹车时人向前倾，与平稳前进时完全两样，类似的情况还很多。这些现象使人们在动力学中把参照系分为两类：惯性系与非惯性系。在一般问题中，地球可看成是惯性系，匀速直线运动的汽车也是惯性系，正在开动或刹车的汽车是非惯性系。从地球上考察，刹车时人向前倾正符合惯性定律；从汽车上考察，人在水平方向未受力而向前倾，这不符合牛顿定律。为什么牛顿定律不适用于非惯性系？非惯性系中的运动定律是怎样的?本文拟就这些问题做一简单讨论。 关键词：参考系；惯性系；非惯性系；广义相对论 Inertial and non-inertial reference system between the physical laws about discuss Abstract:The car started, people leaned back, when the brake is person to lean forward, and smooth progress completely different, similar case has a lot of. These phenomena so that people in the dynamics in the reference frame is divided into two categories: inertial and non-inertial reference system. In general, the earth can be thought of as the inertial system, uniform linear motion of the car is inertial system, moving or brakes is non inertial system. From the earth expedition, when the brake is in line with the law of inertia people forward; from the car inspection, people in the horizontal direction without force and forward, this does not accord with Newton's laws. Why Newton's law is not applicable to non inertial system? In non-inertial motion law is how? This paper tries to make a simple discussion of these issues. Key words:Reference system; Inertial system; Non inertia system; General relativity 1 引言 对一切运动的描述，都是相对于某个参考系的。参考系选取的不同，对运动的描述，或者说运动方程的形式，也随之不同。人类从经验中发现，总可以找到这样的参考系：其时间是均匀流逝的，空间是均匀和各向同性的；在这样的参考系内，描述运动的方程有着最简单的形式。这样的参考系就是惯性系。而相反的，相对于惯性系（静止或匀速运动的参考系）加速运动的参考系称为非惯性系参考系。地球有自转和公转，我们在地球上所观察到的各种力学现象，实际上是非惯性系中的力学问题，因此，研究惯性系与非惯性系中的各种物理现象、总结其规律对于我们认识世界、改造世界有其重大意义。 2 参考系的基本概念透析
运用非惯性系的观点求解复杂的动力学竞赛题例析 湖北省监利县朱河中学黄尚鹏 摘要：牛顿运动定律只在惯性系中成立。但有时需要考察质点相对非惯性系的运动，如何处理这种问题呢？当然可以先在惯性系中用牛顿运动定律考察质点的运动，然后用相对运动的公式把它变换到非惯性系中，求得质点在非惯性系中的运动。但这样做有时很麻烦，其实只要引进适当的虚拟力即惯性力，就可以在非惯性系中用牛顿运动定律求解质点的运动。 关键词：惯性系非惯性系惯性力速度合成公式加速度合成公式 一、非惯性系与惯性力 牛顿运动定律成立的参照系叫做惯性系。实验表明：地球上的物体相对于地球的运动并不完全遵守牛顿运动定律，所以地球不是惯性系，不过这种偏差一般是比较微小的。因此，我们常常把地球看做近似程度相当好的惯性系。一般情况下，相对地面静止或做匀速运动的参照系都可作为惯性系。 牛顿运动定律不成立的参照系叫做非惯性系，非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动。为了使牛顿运动定律在非惯性系中也能使用，可以人为地引进一个虚拟的惯性力 。如果非惯性系相对惯性系有平动加速度，那么只要认为非惯性系中的所有物体都受 到一个大小为、方向与的方向相反的惯性力，牛顿运动定律即可照用，证明如下： 设非惯性系相对惯性系有平动加速度（牵连加速度），质点相对于系的加速度为（绝对加速度），质点相对于系的加速度为（相对加速度），根据加速度合成公式，有（1） 在惯性系中牛顿运动定律成立，即（2） 是作用在质点上的合外力，是质点的质量。 在非惯性系中，为使牛顿运动定律成立，引入虚拟的惯性力，使（3） 联立（1）（2）（3）知惯性力，证毕。 二、竞赛题例析 例题1．如图1所示，质量为的汽车在水平地面上向左做匀加速直线运动，其重心 离开前轮和后轮的水平距离分别为和（），重心离地面的高度为，假设车轮和地面之间不打滑，求：汽车以多大的加速度前进时其前、后轮对地面的压力相等？
非惯性系下质点的力学行为特征 在经典力学中，我们通常将物体的运动视为在惯性系中进行的。惯性系是一个特殊的参考系，其中物体的运动受到牛顿定律的简单描述。然而，在现实世界中，我们经常会遇到非惯性系，即参考系本身也在加速运动。在非惯性系下，质点的力学行为将会有一些特殊的特征。 首先，非惯性系下的质点会受到惯性力的作用。惯性力是由于参考系的加速度引起的一种虚拟力。它的大小和方向与质点的质量和参考系的加速度有关。当参考系加速度为零时，惯性力也为零，此时质点的力学行为与惯性系下相同。但当参考系加速度不为零时，惯性力的作用将会改变质点的运动轨迹。 其次，非惯性系下质点的受力分析需要考虑到离心力和科里奥利力的作用。离心力是由于质点在非惯性系中的加速度引起的一种力。它的大小与质点的质量、参考系的角速度以及质点与参考系的距离有关。离心力的作用使得质点在非惯性系中的运动轨迹发生偏离，呈现出离心的特征。 科里奥利力是由于质点在非惯性系中的角速度引起的一种力。它的大小和方向与质点的质量、参考系的加速度、角速度以及质点与参考系的速度有关。科里奥利力的作用使得质点在非惯性系中的运动轨迹发生旋转，呈现出旋转的特征。 除了惯性力、离心力和科里奥利力，非惯性系下质点的力学行为还受到其他外力的作用。这些外力可以是重力、摩擦力、弹力等。在非惯性系中，这些外力的大小和方向也会受到参考系的加速度和角速度的影响。因此，非惯性系下质点的受力分析需要综合考虑所有相关因素。 非惯性系下质点的力学行为特征不仅仅体现在受力分析上，还体现在质点的运动方程和动力学性质上。在非惯性系下，质点的运动方程将会包含加速度和角加速度的项。这些项反映了参考系的变化对质点运动的影响。此外，非惯性系下质点的动力学性质也会发生变化，例如质点的动量和角动量的守恒性质可能会受到影响。
包头师范学院 本科毕业论文 论文题目：非惯性系中动力学问题的讨论 院系：物理科学与技术学院 专业：物理学 姓名：王文隆 学号： 0809320007 指导教师：鲁毅 二〇一二年三月
摘要 综述了近几十年来国内外学者对非惯性系动力学方面的研究情况 ,以及对非惯性系动力学的实际应用情况。介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法 ,惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式 ,以及非惯性系中的能量定理和能量守恒定律的应用等研究成果。最后 ,概述了一些运用非惯性系动力学的方法来解决非惯性系中的理论和实际工程应用两方面的文献 ,并且对非惯性系的研究和应用进行了展望。 关键词：非惯性系；惯性力；动力学方程；拉格朗日方程；动量定理; 动能定律;守恒定律
Abstract And under classical mechanics frame, the conservation law, leads into the inertial force concept according to kinetic energy theorem , moment of momenum theorem , mechanical energy in inertia department, equation having infered out now that the sort having translation , having rotating is not that inertia is to be hit by dynamics, priority explains a few representative Mechanics phenomenon in being not an inertia department. Key words：Non- inertia Inertial force Kinetic energy theorem Mechanical energy conserves Apply
渤海大学 本科毕业论文 题目非惯性系下力学问题的研究完成人姓名张亚楠 主修专业物理学教育 所在院（系）数理学院物理系入学年度2008年 完成日期2011年6月1日指导教师丁文波
非惯性系下力学问题的探讨 张亚楠渤海大学物理系 摘要：非惯性参照系就是能够对同一个被观测的单元施加作用力的观测参照框架和附加非线性的坐标系的统称。在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。了解非惯性系下的力学问题很重要。对于非惯性系的研究已经从传统的理论已经从传统的理论教学扩展到实际生活应用领域，从宏观研究深入到微观领域。随着生活领域的不断扩大，对非惯性系下的元器件动力学行为，特别是非线性动力学行为的研究还有很大的空间。在直升机转子等航空发动机转子的动力学研究中，应用的也主要是非惯性系动力学的理论知识。近年来通过研究发现，在非惯性系中两体问题、摩擦力、压强以及浮力问题等都得以解决。本文阐述了惯性系和非惯性系的区别，由惯性力着手，把牛顿第二地定律引入到非惯性系中，分析了牛顿第二定律的适用条件，并对非惯性系下的力学问题进行研究。第一部分对非惯性系和惯性系进行概述。第二部分对非惯性系下摩擦力的研究进行了讲述，摩擦力从动于包括惯性力在内的其它力作用。第三部分通过分析在非惯性系中液体内部浮力和压强的变化，阐述了在不同参考系下液体浮力和压强的变化规律。 关键词：非惯性系；摩擦力；压强；浮力
Mechanics Problems in the non-inertial frame Zhang Ya-nan Department of Physics，Bohai University Abstract:Collectively referred to as the coordinate system of the observation frame of reference and additional non-linear non-inertial frame of reference is the ability to exert force on the same observation unit. In classical mechanics, no one makes the "failure of the principle of Galilean relativity" frame of reference is the so-called "non-inertial frame of reference. Mechanical problem is very important to understand the non-inertial frame. For non-inertial frames from the traditional theory has been expanded from the traditional teaching of the theory to real-life applications, from a macro research into micro areas. With the continuous expansion of areas of life, the dynamic behavior of non-inertial frame components, especially the study of nonlinear dynamic behavior there is a lot of space. The study of helicopter rotor aero-engine rotor dynamics, the application of theoretical knowledge of non-inertial frame dynamics. In recent years, the study found that two-body problem in the non-inertial, friction, pressure and buoyancy problems are all resolved. This paper describes the difference between inertial frames and non-inertial frames, to proceed by the inertia force, the introduction of Newton's second law of land to the non-inertial reference frame, Newton's Second Law applies to conditions, mechanical problems and non-inertial frame study. The first part an overview of the non-inertial frames and inertial frames. The
非惯性系中的力学 在经典力学中，我们通常将研究对象限定在惯性系中。惯性系是指 一个不受任何外力或惯性力作用的参考系。然而，在许多实际情况下，我们无法避免研究非惯性系中的力学。非惯性系中的力学研究相对复杂，但它在解释许多日常生活中的现象、工程设计以及航天飞行等方 面具有重要的意义。 一、引言 在力学研究中，我们常常使用牛顿定律来描述物体的运动，即 F=ma，其中F为物体所受合力，m为物体的质量，a为物体的加速度。然而，牛顿定律仅在惯性系中成立，当系统处于非惯性系中时，就需 要考虑惯性力的作用。 二、非惯性力的概念和作用 非惯性力是指在非惯性系中对物体产生的看似存在的力，实际上是 由于非惯性系的运动而产生的惯性效应。常见的非惯性力有离心力、 科里奥利力以及向心力等。 离心力是一个物体在非惯性系中沿着旋转轴的方向产生的力，它的 大小与物体的质量、距离旋转轴的距离以及角速度有关。离心力在许 多日常生活场景中起着重要作用，比如旋转游乐设施中的体验、地球 自转引起的地球形状畸变等。 科里奥利力是一个物体在非惯性系中由于角速度的改变所产生的力。科里奥利力的方向垂直于运动方向和旋转轴，在天文学、航天飞行等
领域有重要的应用。例如，地球上飞行的飞机或火箭就需要考虑科里 奥利力的影响。 向心力是一个物体在非惯性系中沿着旋转轴的方向产生的力，它与 物体的质量、旋转角速度以及距离旋转轴的距离有关。向心力在转弯 的机动车辆、垂直旋转的过山车等情况下起着重要作用。 三、非惯性系中的运动方程 在非惯性系中，我们需要修正牛顿定律，使其适用于非惯性系的情况。修正后的运动方程为F=m(a-a')，其中a'为非惯性系的加速度。非 惯性系中的运动方程相对复杂，因为我们需要考虑添加的惯性力对物 体运动所产生的影响。 四、实例分析 接下来，我们通过几个实例来说明非惯性系中的力学问题。 1. 旋转地球上的自由落体 在地球自转的惯性系中，物体的自由落体可以简单地由重力加速度 描述。然而，在地球自转的非惯性系中，我们需要考虑离心力和科里 奥利力的影响。这些额外的力将使自由落体轨迹不再是简单的抛物线，而是呈现出特殊的弯曲轨迹。 2. 旋转平台上的物体运动
解答非惯性参考系内动力学问题的三种思路作者：宋兴会 来源：《中学教学参考·理科版》2021年第11期
[摘要]解答非惯性参考系内的动力学问题，既可以重选惯性参考系，又可以根据等效原理把非惯性参考系转换为惯性参考系，还可以对物体添加平衡力使物体的不平衡状态转换为其他的不平衡状态，甚至平衡状态，再分别进行解答。
[关键詞]非惯性参考系;参考系转换法;运动状态转换法 [中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）32-0054-03 当我们站在电梯中随电梯匀速上升或者匀速下降时，感觉和人静止站立在地面上时一样，此时支持力等于重力，合外力等于零，人相对电梯的加速度也等于零，符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律，电梯是惯性参考系。当我们站在电梯中随电梯开始上升或者开始下降时，随电梯即将停止上升或者即将停止下降时，感觉和人静止站立在地面上时不一样，此时人“超重”或“失重”，支持力大于或小于重力，合外力不等于零，而人相对于电梯的加速度却等于零，不符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律，电梯是非惯性参考系。参考系是惯性参考系还是非惯性参考系，是用牛顿第二定律解答动力学问题之前需要弄清楚的问题，否则就可能会判断错误。下面结合例题进行分析探讨。 题目：（2015年高考物理海南卷第9题）如图1所示，升降机内有一固定斜面，斜面上放一物块，开始时升降机做匀速运动，物块相对斜面匀速下滑。当升降机加速上升时（）。 A.物块与斜面间的摩擦力减小 B.物块与斜面间的正压力增大 C.物块相对于斜面减速下滑 D.物块相对于斜面匀速下滑 分析：该题中升降机开始时做匀速向上的运动，升降机和斜面对在斜面上运动的物块来说是惯性参考系，物块的运动符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律。此时在斜面上匀速下滑的物块受重力、支持力、滑动摩擦力三个力作用而平衡，支持力与重力沿垂直于斜面斜向下方向的分力抵消，滑动摩擦力与重力沿平行于斜面斜向下方向的分力抵消。升降机加速上升时，升降机内物体“超重”，原先在斜面上匀速下滑的物块受到的支持力、滑动摩擦力都变大了，而重力大小没有变，滑动摩擦力大于原先与其平衡的重力沿平行于斜面斜向下方向的分力，所以有人就推测出物块沿斜面减速下滑的结论，误选了选项C;这是没有考虑到斜面随升降机加速上升时斜面相对在斜面上运动的物块来说是非惯性参考系，物块的运动不符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律而导致的。 解答思路一，重选参考系 （1）升降机做匀速运动时，物块相对斜面匀速下滑，此时物块受重力、支持力、滑动摩擦力三个力的作用，如图2所示，合外力为零。将重力沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，三力平衡的受力情形就转化为两个二力平衡的受力情形。设斜面的倾角为[θ]，物块
3.2非惯性系中的动力学 【基本知识】 一、联接体问题 在力的作用下一起运动的两个或两个以上的物体，叫做联结体。解有关联结体的问题一般要用到隔离法，适当辅以整体法。联结体总是相联系的两个或多个物体，这种联系既表现在力上，也表现在运动上。力的联系往往会与一些临界情况相结合，运动的联系同样视具体的情况有所不同，可能表现为位移、速度或加速度的某种关系等，这种联系也可以称之为约束。因此，解联结体问题就是寻找约束，然后建立方程。 例如，如果两物以绳、杆相连接，那么沿绳或杆方向的速度相同。如果两个物体直接接触，那么它们在垂直接触面（或切面）方向的速度相同。有些联结体中各物体具有不同的加速度，可以通过它们的受力或运动关系来确定它们的加速度的关系。 例题1：如图所示,两个木块A和B,质量分别为mA和mB,质量分别为mA和mB （只要求帮做一下受力分析） 紧挨着并排放在水平桌面上,A、B间的接触面垂直于图中纸面且与水平成θ 角.A、B间的接触面是光滑的,但它们与水平桌面间有摩擦,静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ.开始时A、B都静止,现施一水平推力F于A,要使A、B向右加速运动且A、B间之间不发生相对滑动,则： 1．μ的数值应满足什么条件? 2．推力F的最大值不能超过多少?（只考虑平动,不考虑转动问题）
二、质点系牛顿第二定律及质心运动问题 （1）质点系的牛顿第二定律 如果质点系在任意的x方向上所受的合力为Fx，质点系中n各物体在x方向的加速度分别是a1x、a2x、…、anx，那么有： Fx=m1·a1x+m2·a2x+…+mn·anx 质点系动力学方程不涉及内力，所以在处理一些联结体问题时利用这个方程往往能带来很大的方便。 （2）质心和质心的运动 1 求质心：在某方向上有n个质点m1、m2、…、mn，在此方向上建立坐标系的x轴，各质点在x轴上的坐标分别为x1、x2、…、xn,则质心在x坐标上的位置： = 同理可以求得质心的速度：
惯性力与非惯性系 惯性力和非惯性系是物理学中重要的概念，它们与物体在几何空间中运动的关系密切。本文将对惯性力和非惯性系展开讨论，分析它们的作用和相互关系。 一、惯性力的概念和作用 1.1 惯性力的定义 惯性力，顾名思义，是指当物体相对于参考系发生非匀速运动时，在物体上所作用的力。它是为了保持牛顿第一定律，即“物体仅在有力作用或者无力作用下运动状态才改变”的定律而引入的。 1.2 惯性力的种类 惯性力主要有离心力和科里奥利力两种。 1.2.1 离心力 当物体在向心力作用下做圆周运动时，由于保持直线运动的惯性，所以物体会产生向圆心的离心力。这个离心力的方向与向心力相反，大小与物体的质量、角速度以及距离圆心的距离有关。 1.2.2 科里奥利力 科里奥利力是指当物体在旋转参考系中运动时，由于受到角速度改变的影响，而出现的一种看似向心力的力。它的方向垂直于物体的速度方向和旋转轴的方向，大小与物体的质量、角速度以及速度的大小有关。
1.3 惯性力的作用 惯性力的作用是使物体在非惯性参考系中具有与惯性参考系完全相 同的运动状态。通过引入惯性力的概念，我们可以在非惯性参考系中 应用牛顿定律，从而实现对物体的运动进行准确描述。 二、非惯性参考系的概念与特点 2.1 非惯性参考系的定义 非惯性参考系是指相对于一个惯性参考系而言，由于参考系本身具 有加速度或者旋转，导致牛顿运动定律不再成立的参考系。 2.2 非惯性参考系的特点 非惯性参考系的特点主要有以下几个方面： 2.2.1 加速度 非惯性参考系中，参考系本身具有加速度，因此参考系中的物体会 受到额外的惯性力作用。 2.2.2 非惯性力的产生 为了确保牛顿定律在非惯性参考系中成立，我们需要引入非惯性力。这些非惯性力会对物体产生额外的作用，使物体在非惯性参考系中具 有与在惯性参考系中相同的运动状态。 2.2.3 非惯性参考系的相对性
非惯性系下的拉格朗日方程及其应用 摘要本文介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法，惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式，以及非惯性系中的应用等研究成果。 关键词非惯性；拉格朗日方程；应用 在运用拉格朗日方程的计算中，多是在惯性系中进行的。诚然在惯性系中运用拉格朗日方程有很多方便之处。但是有时会遇到在惯性系中考察则不易求出物体的动能。 例：如图，物体绕Z轴转动，不易求出转动惯量IZ，则转动动能不易求出，进而质点P的总的动能不易求出。在惯性系下运用拉格朗日方程有困难。此时，如果考虑在非惯性系中，采用非惯性系下的拉格朗日方程，可能使得问题容易解决，从而得到解决问题的另一条途径。 1）在非惯性系下拉格朗日方程的形式 在非惯性系中，牛顿定律形式上成立，则由几个质点所形成的力学体系的动力学方程可写为 或 其中，为作用在第i个质点的约束反力的合力，为作用在第i个质点上的惯性力的合力，为主动力的合力。在理想约束的条件下，则得： 把不独立的等改为用广义坐标等来表示，则上式变为： （1.1式） 以下的推导过程可采用《理论力学教程》第二版（作者：周衍柏）中的推导方法。只是在末尾增添上此项：
令进而推导可得： 将（A）中的三个式子代入（1.1式）可得： 由于相互独立，故得： （1.2式） 这就是在非惯性系下的拉格朗日方程的基本形式。 2）存在属于保守力的惯性力 （1）根据保守力的定义或斯巴克斯公式易证牵连惯性力是保守力； （2）由于惯性离心力是有心力，易证有心力属于保守力。 3）在非惯性系下的保守系的拉格朗日方程的形式对保守力系而言存在势能V，且： （B）式对也成立。 把（B）式代入（A）式，则： 同理也可求得。 其中V1属于保守力的主动力作用于力系而具有的势能；V2为属于保守力的惯性力的作用而具有的势能。 令，即V为总的势能，则（1.2）可改写为: 令，即L为非惯性系下的拉格朗日函数，则可得： （1.3） 4）非惯性系下的拉格朗日方程的运用 例1：一个光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动。管中有一质量为m的质点。开始时，细管取水平方向，质点距转动轴的距离为a，质点相对于管的速度为v0，试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。 解；首先分析力。因科氏力在物体运动方向上不做功，由于求质点相对于管的运动规律，故可用（1.3）。
百科名片 相对于惯性系（静止或匀速运动的参考系）加速运动的参考系称为非惯性系参考系。地球有自转和公转，我们在地球上所观察到的各种力学现象，实际上是非惯性系中的力学问题。 目录 基本概念 非惯性参照系与惯性力 转动的非惯性参照系与科里奥利惯性力 广义相对性原理 非惯性参照系附加引力场 编辑本段基本概念 非惯性参照系就是能够对同一个被观测的单元施加作用力的观测参照框架和附加非线性的座标系的统称。非惯性参照系的种类无穷多。在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。比如，一个加速转动的参照系；一个加速振动的参照系；……；一个随机任意加速运动的参照系等等。即任何一个使得牛顿第一定律和牛顿第二定律不再成立的参照系。在经典电动力学中，任何一个使得“爱因斯坦相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。比如，任何一个使得洛仑兹电磁作用力定律F=qE+qu×B，或者麦克斯韦方程组不再成立的参照系。编辑本段非惯性参照系与惯性力 经典力学对力定义相当简单明了——力是物体对物体的作用，不错，相当简单明了！于是，人们认为只有具备两个或两个以上的物体才资格谈力，凡是谈到力则一定有施力物体，也有受力物体，这似乎与人们的生活实践相一致。可是，当人们坐在车上，并以车为参照系时，我们发现车上的物体居然可以无缘无故地加速运动起来，似乎有一个力作用在物体之上，这是一个什么力呢？它具有什么性质呢？施力物体是什么？无论我们怎样努力寻找，始终无法把这个力的施力物体找出来。为了弄清楚原因，我们下了车，在地面上以地面为参照系再来观察一翻，这时，我们恍然大悟，原来当车一旦发生加速运动时，车上的物体就会在车相对于车厢加速运动起来，物体根本没有发生运动而是保持静止状态，物体并没有受到力的作用，当然我们找不到施力物体了。可见，在不同参照系上观察物体的运动，观察的结果会截然不同！于是，人们把参照系进行了分类，凡是牛顿第二定律能够适用的参照系称为惯性参照系，反之，牛顿第二定律不适用的参照系称为非惯性参照系。牛顿第二定律所谓是否适用，我们考虑的因素实际上是力的产生条件，如果具备力的产生条件，则必然符合牛顿第二定律。通过总结，人们发现，凡是相对地面静止或者做匀速直线运动的参照系都是惯性参照系，而相对于地面做变速运动的参照系是非惯性参照系；在众多的惯性参照系中，相对地面静止
有关非惯性系中的单摆运动问题归类解析 非惯性系中的单摆运动问题非惯性系中的单摆运动是一个比较经典的物理问题，它是物理力学中许多有趣的问题的基础，可以用来描述多种实际情况，如横摆、旋转系统等。 一、运动的基本特征单摆运动是指一支摆锤绕它的旋转轴旋转而产生的运动，它具有一定的特征： 1.单摆运动是一种持续的周期性运动，它的旋转角度随时 间变化，但总是在一定的时间周期内循环，即它的运动轨迹是一个椭圆形。 2.单摆运动的最大旋转角度称为摆动角度，它表示摆锤离 开平衡位置的最大角度，这个角度是由摆锤的质量、长度和旋转轴的质量决定的。 3.单摆运动的速度变化不均匀，在摆动角度的最大和最小 值处，速度最小，而在摆动角度的中间值处，速度最大。 4.单摆运动的周期与摆动角度有关，摆动角度越大，周期 越长，反之摆动角度越小，周期越短。 二、基本方程单摆运动的基本方程是描述单摆运动规律的基础，它可以用来计算单摆运动的周期、最大摆动角度等，它的形式如下：$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\theta=0$其中 θ表示摆锤的摆动角度，l表示摆锤的长度，g表示重力加速度。
三、运动的动力学单摆运动的动力学分析可以帮助我们更好地理解单摆运动的机理，主要包括以下几个方面： 1.在单摆运动中，重力势能和弹性势能是摆锤运动的两个 主要力量，它们相互作用，使摆锤在持续的周期内循环运动。 2.单摆运动中，摆锤的质量及长度和旋转轴的质量是决定 摆动角度和周期的重要因素。 3.重力加速度的大小决定了摆锤的运动轨迹，在地球表面 的重力加速度都是相等的，因此摆锤的运动轨迹都是椭圆形的，但在空间环境中，重力加速度分布不均匀，摆锤的运动轨迹就不再是椭圆形了。 4.在单摆运动中，摆锤的摆动角度和周期会随时间变化， 但摆动角度的变化不会超过摆锤的最大摆动角度，而周期也会在一定的范围内变化。 综上所述，非惯性系中的单摆运动是一个比较经典的物理问题，它具有一定的特征，可以用基本方程和动力学来描述它的运动规律，为多种实际情况的研究提供了基础。
两个力学问题的非惯性系解法 【】Inertial frame and non-inertial frame are two basic concepts in college physics. Choosing the two reference frames flexibility can simplify problems and can also strengthen understanding of knowledge for students. According to teaching practice， another solution of non-inertial frame is given for two problems in textbook. 1 惯性系与非惯性系 运动的描述是相对的，对于不同的参考系，同一物体的运动形式可以不同。那么应用牛顿定律处理问题时，是否可以任意选择参考系呢？以图1为例，图中小车沿水平桌面匀加速运动，光滑桌面上弹簧伸长，因此小球受到水平向右的拉力。如果以地面为参考系，小球受力为，加速度为，这是符合牛顿定律的；如果以小车为参考系，小球受力仍为，但小球相对小车静止，即加速度为零，这违背了牛顿第二定律。因此对有些参考系牛顿定律适用，对另一些参考系牛顿定律不成立。牛顿定律成立的参考系就是惯性系，在惯性系中，一个不受力作用的物体将保持静止或做匀速直线运动。惯性系有一个重要的性质，即：如果我们确认了某一参考系为惯性系，则相对于此参考系做匀速直线运动的任何其他参考系也一定是惯性系。反过来我们也可以说，相对于一个已知惯性系做加速运动的参考系，一定不是惯性系，或者说是