高三数学《等差数列》知识点汇总
高三数学《等差数列》知识点汇总
1.定义：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。同样为数列的等比数列的性质与等差数列也有相通之处。
2.数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S可以写成S=an^2+bn的形式(其中a、b为常数)。
3.性质1：公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd。
4.性质2：公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。
5.性质3：当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大;当d【同步练习题】
1.在等差数列{an}中，a1=21，a7=18，则公差d=()
A.12
B.13
C.-12
D.-13
解析：选C.∵a7=a1+(7-1)d=21+6d=18，∴d=-12.
2.在等差数列{an}中，a2=5，a6=17，则a14=()
A.45
B.41
C.39
D.37
解析：选 B.a6=a2+(6-2)d=5+4d=17，解得d=3.所以a14=a2+(14-2)d=5+12×3=41.
3.已知数列{an}对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y=2x+1上，则{an}为()
A.公差为2的等差数列
B.公差为1的等差数列
C.公差为-2的等差数列
D.非等差数列
解析：选A.an=2n+1，∴an+1-an=2，应选A.
4.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()
A.2
B.3
C.6
D.9
解析：选B.由题意得m+2n=82m+n=10，∴m+n=6，
∴m、n的等差中项为3.
5.下面数列中，是等差数列的有()
①4,5,6,7,8，…②3,0，-3,0，-6，…③0,0,0,0，…
④110，210，310，410，…
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：选C.利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列.
6.数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为-2，公差为4的等差数列.若an=bn，则n的值为()
A.4
B.5
C.6
D.7
解析：选B.an=2+(n-1)×3=3n-1，
bn=-2+(n-1)×4=4n-6，令an=bn得3n-1=4n-6，∴n=5.
1.等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即 d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；. 2.等差中项： （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 3.等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为： ()d n a a n 11-+= 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．
等差等比数列知识点总结 1. 等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，即 a n a n 1 d (d 为常数)(n 2)； 2. 等差中项: (1)如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即: 或2A a b 3. 等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列a n的首项是a1，公差是d，可以得到等差数列的通项公式为： a n 4 n 1 d 推广：a n a m(n m)d. a n a m 从而d n m 4. 等差数列的前n项和公式： n(a1 a n) n(n 1) , d 2 , 1 2 S n na1 d n 佝d)n An Bn 2 2 2 2 (其中A、B是常数，所以当d M 0时，S是关于n的二次式且常数项为0) 5. 等差数列的判定方法 (1)定义法：若a n a n 1 d或a n 1 a n d (常数n N ) a n是等差数列. (2)等差中项：数列a n是等差数列 2a n a n-1 a n 1 (n 2)2a n 1a n a n 2 . (3)数列a n是等差数列a n kn b (其屮k, b是常数)。 (4)数列a n是等差数列S n An2Bn,(其中A、B是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法：若a n a n 1d或a n 1 a n d(常数n N) a n是等差数列. (2 ) 等差中项数列a n 2a n a n-1 a n i(n 2) 2a n 1 a n a n 2
7.等差数列的性质: （1）当m n p q 时,则有a m a n a p a q ，特别地，当m n 2p 时，则有 ⑵ 若｛a n ｝是等差数列，则S n ,S 2n 5,务 S ?n ，…也成等差数列 和，S n 是前n 项的和 1.当项数为偶数2n 时, a n a n 1 2、当项数为奇数2n 1时，则 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项） 1、 等比数列的定义：旦q q 0 n 2,且 * n N ， q 称为公比 a n 1 2 、 通项公式： n 1 a n ag a 〔 n n 1 q A B a-i q 0,A B 0，首项: a 1 ；公比：q q 推广：a n n m n m a m q q a n q n m a m V a m 3、 等比中项： （1）如果a,A,b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2 ab 或 A ab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个（两个 等比中项互为相反数） a m a n 2a p . （3）设数列a n 是等差数列, d 为公差，S 奇是奇数项的和, S 偶是偶数项项的 n a i a 2n 1 a 2n 1 — na n a 2n n a 2 a 2n 2 na n 1 na n 1 na n n a n 1 a n =nd S 2n 1 S 奇 S 偶 （ 2n 1） a n+1 S 奇 S 偶 a n+1 S 奇 （n 1応+1 S 偶 n a n+1 a i a 3 a 5 a 2 a 4 a 6 na n na n 1 S 奇
等差数列 1. 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 用递推公式表示为d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： （1）* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈（首项:1a ，公差:d ，末项:n a ） （2）d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （ 2 ） 等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1() 2 n n n a a s += 1(1) 2 n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n = +- 2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的证明方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （ 2 ） 等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 注：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，
等差数列知识点总结 1、等差数列的定义： （d为常数）（）；an12n2等差数列通项公式： ，首项: ，公差:d，末项:*11()()nadN1ana 推广： 从而；mn)mnd3等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即： 或aAbAab2baAb （2）等差中项：数列是等差数列n )2(21-nn21nn4等差数列的前 n 项和公式：1()naS1()2d 特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1 的等差数列的中间项n1na5等差数列的判定方法（1）定义法：若或 (常数 ) 是等差数列 dan1dn1Nna （2）等差中项：数列是等差数列2(21-an21na （3）数列是等差数列（其中是常数）。(K=d，b=a1-d)nbknk, （4）数列是等差数列 ,（其中 A、B是常数）。S6等差数列的证明方法定义法：若或 (常数 ) 是等差数列dan1dan1Nna 7、提醒：等差数列的通项公式及前 n 项和公式中，涉及到5 个元素： ，其中nS nSad及、、、1 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3 求 2、da、1
8、等差数列的性质： （1）当公差时，0d 等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11()nadand 前和是关于的二次函数且常数项为 0、n21())S （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。0d00 （3）当时,则有，特别地，当时，则有、mpqqpnmaa2mnp2mnpa 注：，12132nna （4）若、为等差数列，则都为等差数列 b12nnb， (5) 若是等差数列，则，也成等差数列 n23,,nSS （6）数列 为等差数列,每隔 k(k )项取出一项( )仍为等差数列 *N23,,mkmkaa （7）设数列是等差数列，d 为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前 n 项的和na奇偶 S 1、当项数为偶数时，2121352nnnaS a奇224621nnaSa 偶11=n d偶奇奇偶 2、当项数为奇数时，则21(1)(1)1nSnaSnaSn++奇偶奇奇奇偶偶偶等差数列练习： 一、选择题 1、已知为等差数列，1352460,9aa，则20a等于（） A、2 D、3 4、已知 n为等差数列，且7a241,30,则公差 d( ) A、2
高中数学：等差数列、等比数列知识点总结 数列基础知识归纳 等差数列定义与性质 定义： an+1-an=d (d为常数)， an= a1+（n-1）d 等差中项： x , A , y成等差数列: 2A=x+y 前n项和: 性质：{an}是等差数列 （1）若m+n=p+q,则am+an=ap+aq ;
（2）数列{a2n-1},{a2n},{a2n+1}仍为等差数列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,等仍为等差数列，公差为 n2d ; （3）若三个成等差数列，可设为a-d,a,a+d ; （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn,Tn,则 （5）{an}为等差数列，则Sn=an2+bn（a,b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）,Sn的最值可求二次函数Sn=an2+bn的最值；或者求出{an}中的正、负分界项，即： 当a1>0,d<0,解不等式组: 可得Sn达到最大值时的n值。 当a1<0,d>0,解不等式组: 可得Sn达到最小值时的n值。
（6）项数为偶数2n的等差数列{an},有 （7）项数为偶数2n-1的等差数列{an},有 等比数列定义与性质 性质：{an}是等比数列 (1) 若m+n=p+q,则am•an=ap•aq
(2) Sn , S2n-Sn , S3n-S2n , 等仍为等比数列，公比为qn 注意： 由Sn求an时应注意什么？ n=1时，a1=S1 ; n≥2时，an=S1-Sn-1 求数列通项公式的常用方法 求差（商）法
叠乘法 等差型递推公式
答案： 等比型递推公式 倒数法
高三数学《等差数列》知识点汇总 高三数学《等差数列》知识点汇总 1.定义：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。同样为数列的等比数列的性质与等差数列也有相通之处。 2.数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S可以写成S=an^2+bn的形式(其中a、b为常数)。 3.性质1：公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd。 4.性质2：公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。 5.性质3：当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大;当d【同步练习题】 1.在等差数列{an}中，a1=21，a7=18，则公差d=() A.12 B.13 C.-12 D.-13 解析：选C.∵a7=a1+(7-1)d=21+6d=18，∴d=-12. 2.在等差数列{an}中，a2=5，a6=17，则a14=() A.45 B.41 C.39 D.37
解析：选 B.a6=a2+(6-2)d=5+4d=17，解得d=3.所以a14=a2+(14-2)d=5+12×3=41. 3.已知数列{an}对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y=2x+1上，则{an}为() A.公差为2的等差数列 B.公差为1的等差数列 C.公差为-2的等差数列 D.非等差数列 解析：选A.an=2n+1，∴an+1-an=2，应选A. 4.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是() A.2 B.3 C.6 D.9 解析：选B.由题意得m+2n=82m+n=10，∴m+n=6， ∴m、n的等差中项为3. 5.下面数列中，是等差数列的有() ①4,5,6,7,8，…②3,0，-3,0，-6，…③0,0,0,0，… ④110，210，310，410，… A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：选C.利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列. 6.数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为-2，公差为4的等差数列.若an=bn，则n的值为()
(完整版)等差数列知识点总结 1. 等差数列的定义 等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。 2. 等差数列的通项公式 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。 3. 等差数列的前 n 项和公式 设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。 4. 判断数列是否为等差数列 - 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。 - 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。
5. 求等差数列的公差 设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。 6. 求等差数列的项数 设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。 7. 求等差数列的首项 设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。 8. 求等差数列的末项 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。 9. 等差数列的性质 - 等差数列的任意三项成等差数列。 - 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。 - 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。
10. 应用场景 等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括： - 数学题中的数列问题，如求和、推导等。 - 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。 - 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。 - 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。 以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！
高三数学《等差数列及其前n项和》知识点总结 高三数学《等差数列及其前n项和》知识点总结 一、等差数列的有关概念 1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an ＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． 2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝ (a+b)/2，其中A叫做a，b的等差中项． 二、等差数列的有关公式 1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 2．前n项和公式：Sn＝na1＋n(n-1)/2d+d＝(a1+an)n/2. 三、等差数列的性质 1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq. 2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd. 3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d. 4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值． 5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝d/2，B＝a1－d/2，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件．
四、解题方法 1.与前n项和有关的三类问题 (1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得 其余两个，这体现了方程思想． (2)Sn＝d/2*n2＋(a1-d/2)n＝An2＋Bn⇒d＝2A. (3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一 定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值． 2．设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…； 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
等差数列 一、学习目标： 等差数列的概念、性质及前 n 项和求法。 n * n 1.设数列：a n f 的前n 项和为S n .已知a^5 , a n d = S n 3 , n • N .设g = S n -3 , 求数列Bn !的通项公式； 解：依题意，S n 申一S n = a n ^ = S n +3n ，即 S n 申=2S n +3“ , 由此得 S n 1 -3n 1 =2（S n -3n ）. 因此，所求通项公式为 b n 二s n -3n =2n 。 2. 设数列｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为48，则它的首项为_2 【考点梳理】 1. 在解决等差数列问题时，如已知， a , a n , d , S n , n 中任意三个，可求其余两个。 2. 补充的一条性质 2）项数为偶数2n 的等差数列有： 违 亚,s 偶- s 奇二nd % = n （a n • a n .J S 偶 a n 卅 Nn 卅—a. =d （定义） 3. 等差数列的判定：｛a n ｝为等差数列一 2an1 =a n 飞「2 j ^a n = An + B （关于n 的“一次函数”） S n =A n 2 +Bn （缺常数项的“二次函 数”） 即：｛ a n ｝= a n1—a n =d （d 为常数）=2a^a n 1 - a n d （n_ 2, n ・ N*） 2 二 a n =kn b ：= s n =An Bn ； 4. 三个数成等差可设： a , a + d , a + 2d 或a -d , a , a + d ; 四个数成等差可设： a - 3d , a - d , a + d , a + 3d . 5•等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列 的通项公式：a n = a 1+（n-1）d=d • n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数 列的各点（n, a n ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两 项可以确定一个等差数列.k=d=岂.虫,d=a ^am ，由此联想点列（n , a n ）所在直线的 n —1 n —m 斜率.2）点（n, S n ）在没有常数项的二次函数 St! = pn 2 • qn 上。其中，公差不为 0. 6.等差数列前n 项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解） 1） 若等差数列：a n ?的首项a 1 0，公差d < 0，则前n 项和S n 有最大值。 f a ^0 （i ） 若已知通项 a n ，则S n 最大 ； Un 十兰 （ii ） 若已知S n 二pn 2・qn ，则当n 取最靠近-Q 的非零自然数时S n 最大； 2p 2） 若等差数列「a n 、的首项a 1 0，公差d 0，则前n 项和S n 有最小值 「a n 兰 0 （1）若已知通项 a n ，则S 最小二2 ； 3•已知等差数列｛a n ｝的公差d = 0，且a i ,a 3,a 9成等比数列，则 a i ■ a 3 a 9 a 2 a 4 ' a io 13 16 1）项数为奇数2n-1的等差数列有: n n -1 S >n j^(2n
完整版等差数列知识点总结等差数列是数学中常见的一种数列形式，它的每一项与前一项的差值都相等。在学习等差数列时，我们需要掌握其定义、通项公式、求和公式以及应用等方面的知识。下面将对完整版等差数列进行知识点总结。 一、等差数列的定义及性质 等差数列是一种数列形式，它的每一项与前一项的差值都相等。设等差数列的首项为a1，公差为d，那么它的第n项可以通过以下公式得到： an = a1 + (n - 1)d 1. 公差与项数的关系 在等差数列中，如果项数为n，公差为d，那么第n项与首项的差值为d(n-1)。 2. 通项公式 等差数列的通项公式用于计算第n项的值。通项公式如下所示：an = a1 + (n - 1)d 3. 前n项和公式 前n项和公式是等差数列中用来计算前n项和的公式，表示为Sn。前n项和公式如下所示：
Sn = (n/2)(a1 + an) 二、等差数列的应用 等差数列不仅仅是一种数学概念，还在现实生活和其他学科中有着 广泛的应用。下面以几个具体的例子来说明等差数列的应用。 1. 等差数列在计算机编程中的应用 在计算机编程中，我们经常需要使用等差数列的概念和公式。例如，在循环结构中，我们可以利用等差数列的性质来计算循环次数或者生 成某一区间内的数值。 2. 等差数列在物理学中的应用 在物理学中，等差数列被广泛应用于运动学和波动学等领域。例如，在描述匀速直线运动时，位置与时间之间的关系可以表示为一个等差 数列。 3. 等差数列在经济学中的应用 在经济学中，等差数列也有相应的应用。例如，在投资领域中，计 算每年的收益率可以使用等差数列的概念和公式。 三、等差数列的常见误区 在学习等差数列的过程中，我们需要注意以下一些常见的误区，以 避免对该概念的理解产生困惑。 1. 混淆公差和项数
等差数列知识点总结 等差数列是一种形式简单、规律明显的数列，研究等差数列有利于培养学生发现数学问题、观察数学规律、提高问题解决能力的能力。在学习等差数列的过程中，我们需要掌握以下几个关键知识点。 一、等差数列的概念 等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之差都相等的数列。这个差值被称为等差数列的公差。 二、等差数列各项的计算公式 等差数列的计算公式是指通过已知条件计算等差数列中的某一项的表达式。对于等差数列来说，知道首项a1、公差d和项 数n，就可以根据计算公式求出第n项的值。 三、等差数列的通项公式 通项公式是指能够表示等差数列中第n项的公式。对于等差数列来说，通项公式可以根据已知条件（首项a1和公差d）推 导而来。通项公式的一般形式为an=a1+(n-1)d。 四、等差数列首项、末项和项数的关系 等差数列的首项、末项和项数之间存在一定的关系。首项a1、末项an和项数n之间的关系可以用通项公式和求和公式来表示。 五、等差数列的和 等差数列的和是指将等差数列中的所有项相加的结果。对于等
差数列的和，我们可以通过求和公式来计算，也可以通过找出等差数列的首项、末项和项数之间的关系来计算。 六、等差数列的应用 等差数列在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。例如，在数学中，等差数列可以用来求解一元二次方程、计算抛物线的顶点坐标等；在物理学中，等差数列可以用来描述物体的运动轨迹等。 七、等差数列的性质 等差数列具有一些特殊的性质，包括： 1.等差数列中任意三项的和是一定的； 2.等差数列中相等的差值对应相同的差分； 3.等差数列的和等于首项和末项的平均值乘以项数。 八、等差数列的应用题 等差数列的应用题是指将等差数列的概念、公式和性质应用到实际问题中解决相关的数学问题。这类题目可以帮助学生将抽象的数学知识与实际问题相结合，提高解决实际问题的能力。 综上所述，等差数列是一种基础、重要的数学概念，它有着丰富的性质和广泛的应用。在学习等差数列的过程中，我们需要掌握等差数列的概念、公式和性质，并能够应用这些知识解决相关的数学问题。通过对等差数列的学习，可以提高学生的数学思维能力、问题解决能力和数学建模能力。
等差数列知识点总结 等差数列是数学中较为基础且重要的一种数列形式。在学习和运用 等差数列的过程中，我们需要掌握以下几个知识点。 一、等差数列的定义及性质 等差数列是指一个数列中，每一项与它的前一项之差都相等的数列。数列中的这个差值称为公差，通常用字母d表示。等差数列的通项公 式可以表示为An = A1 + (n-1)d，其中An表示第n项，A1表示第一项，d表示公差。等差数列的性质包括： 1. 公差d的求解： 公差d可以通过任意两个项的差值来求解，即d = (An - A1) / (n - 1)。 2. 首项和末项的求解： 首项A1可以通过已知的任意一项和公差来求解，即A1 = An - (n - 1)d。 末项An可以通过已知的首项和公差来求解，即An = A1 + (n - 1)d。 3. 等差数列的和： 等差数列的前n项和Sn可以通过求解每一项的和来得到，即Sn = (A1 + An) * n / 2。 二、等差中项及其求解
等差中项是指等差数列中两个连续项的中间项。对于等差数列来说，如果项数是奇数个，则有且只有一个等差中项；如果项数是偶数个， 则存在两个等差中项。 等差中项的求解方法如下： 1. 奇数项的等差中项： 对于等差数列的奇数项来说，中项的下标为(n+1)/2。即中项An 的下标n = (n+1)/2。 2. 偶数项的等差中项： 对于等差数列的偶数项来说，存在两个中项，下标分别为n/2和 n/2+1。即中项An取 (n/2) 和 (n/2+1)。 三、等差数列的应用 等差数列在实际问题中有广泛的应用，常见的应用场景包括： 1. 金融利息计算： 在金融领域，等差数列用于计算每期的利息、本金等。 2. 自然科学： 在自然科学的研究中，等差数列可以用于描述物理量随时间变化 的规律。比如，等差数列可以用来描述速度、位移、温度等的变化规律。 3. 统计与数据分析：
等差数列知识点整理 有关等差数列知识点整理 在平凡的学习生活中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。想要一份整理好的知识点吗？下面是店铺整理的有关等差数列知识点整理，欢迎大家分享。 等差数列知识点整理篇1 概念 等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。 例如：1，3，5，7，9……2n-1。 通项公式为：an=a1+(n-1)xd。首项a1=1，公差d=2。 前n项和公式为：Sn=a1xn+[nx(n-1)xd]/2或Sn=[nx(a1+an)]/2。 注意：以上n均属于正整数。 公式 通项公式 如果一个等差数列的首项为a1，公差为d，那么该等差数列第n 项的表达式为： 即an=a1+(n-1)d 补充： 求和公式 若一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：S=(a1+an)n2 即(首项+末项)项数2 前n项和公式 注意：n是正整数(相当于n个等差中项之和) 等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用： 上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n。 即[a1+a1+(n-1)d]x n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.
推论 一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d0)或一次函数(d=0，a10)，且常数项为0。 二. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=… =a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n- 2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k{1，2，…，n} 三.若m，n，p，qNx，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)xa(n)，S(2n+1)= (2n+1)xa(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)xk-S(n-1)xk…成等差数列，等等。 若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2xa(p) (对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)xm+b(0)+b(1)xn=2xb(0)+b(1)x(m+n) p(p)+p(q)=b(0)+b(1)xp+b(0)+b(1)xq=2xb(0)+b(1)x(p+q);因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p (q)) 四.其他推论 ① 和=(首项+末项)项数2 (证明：s(n)=[n，n^2]x[1，1/2;0，1/2]x[b(0);b(1)]=nxb0+1/2xb1xn+1/2xb1xn^2 (p(1)+p(n))xn/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)xn)xn/2=nxb0+1/2xb 1xn+1/2xb1xn^2=s(n)) 证明原理见高斯算法 项数=(末项-首项)公差+1 (证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)xn-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)x(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n) ② 首项=2x和项数-首项或末项-公差(项数-1) ③ 末项=2x和项数-首项
1 ( n 1 n - = 1 等差数列 1. 定义 一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。 用递推公式表示为 a n - a n -1 = d （d 为常数）（ n ≥ 2）； 2. 等差数列通项公式： （1） a n a + (n -1)d = dn + a - d (n ∈ N * ) （首项: a ，公差 :d ，末项: a ） a = a + (n - m )d d = a n a m （2） n m ． 从而 n - m ； 3. 等差中项 A = a + b （1） 如果a ，A ，b 成等差数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项．即： 2 或2A = a + b （2） 等差中项：数列 {a n }是等差数列 ⇔ 2a n = a n -1 + a n +1 (n ≥ 2) ⇔ 2a n +1 = a n + a n +2 4. 等差数列的前 n 项和公式： s n a + a ) n 2 na + n (n -1) d 1 2 = 1 =
+ 1 1 = d n 2 2 (a 1 - 1 d )n 2 = An 2 + Bn （其中A 、B 是常数） （当d≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为 0） 5. 等差数列的证明方法 （1） 定义法：若 a n - a n -1 = d 或a n +1 - a n = d (常数n ∈ N * ) ⇔ {a n }是等差数列． （2） 等差中项：数列 {a n } 是等差数列 ⇔ 2a n = a n -1 + a n +1 (n ≥ 2) ⇔ 2a n +1 = a n + a n +2 ． （3） 数列 {a n }是等差数列 ⇔ a n = kn + b （其中 k , b 是常数）。 （4） 数列{a n }是等差数列 ⇔ S = An + Bn ,（其中A 、B 是常数）。 2 注：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a 、d 、n 、a n 及S n ，其中a 、d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。 （ 2 ） 为减少运算量， 要注意设元的技巧， 如奇数个数成等差， 可设为… ， a - 2d , a - d , a , a + d ,a + 2d …（公差为 d ）；偶数个数成等差， 可设为…， a - 3d , a - d , a + d , a + 3d ,… （公差为 2 d ） 7.等差数列的性质： n
高中数学等差数列知识点 1.等比数列的有关概念 (1)定义： 如果一个数列从第2项起至，每一项与它的前一项的比等同于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q则表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈n_，q为非零常数). (2)等比中项： 如果a、g、b成等比数列，那么g叫作a与b的等比中项.即：g就是a与b的等比中项a，g，b成等比数列g2=ab. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an=a1qn-1. 3.等比数列{an}的常用性质 (1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈n_)，则am·an=ap·aq=a. 特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=…. (2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍就是等比数列，公比为qk;数列sm，s2m-sm，s3m-s2m，…仍就是等比数列(此时q≠-1);an=amqn- 4.等比数列的'特征 (1)从等比数列的定义看看，等比数列的任一项都不为零的，公比q也不为零常数. (2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 5.等比数列的前n项和sn (1)等比数列的前n项和sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用. (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须特别注意对q=1与q≠1分类探讨，避免因忽略q=1这一特定情形引致解题犯规. 1.等比中项 如果在a与b中间填入一个数g，并使a，g，b成等比数列，那么g叫作a与b的等比中项。