第2节 等差数列及其前n 项和
考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).
(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.
2.等差数列的通项公式与前n 项和公式
(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .
(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2
. 3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .
(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.
(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.
(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 也为等差数列.
1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .
2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.
3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.
4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )
(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )
(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )
(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0且关于n 的二次函数.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数.
(4)若公差d ＝0，则前n 项和不是n 的二次函数.
2.(2022·南宁一模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝92，则数列{a n }
的通项公式a n ＝( )
A.n
B.n ＋12
C.2n －1
D.3n －12
答案 B
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3＋3d ＝92，解得d ＝12，
∴a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12.
3.(2021·宝鸡二模)已知{a n }是等差数列，满足3(a 1＋a 5)＋2(a 3＋a 6＋a 9)＝18，则该数列的前8项和为( )
A.36
B.24
C.16
D.12
答案 D
解析 由等差数列性质可得a 1＋a 5＝2a 3，a 3＋a 6＋a 9＝3a 6，所以3×2a 3＋2×3a 6
＝18，即a 3＋a 6＝3，所以S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 3＋a 6）2
＝12. 4.在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则a 5＋a 6＝( )
A.10
B.20
C.25
D.30
答案 C
解析 等差数列{a n }中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d ，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则d ＝15－5＝10，因此a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)＋d ＝15＋10＝25.
5.一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面.
答案 20
解析 设物体经过t 秒降落到地面.
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.
所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1 960，
即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.
6.(易错题)在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________.
答案 5或6
解析 ∵|a 3|＝|a 9|，
∴|a 1＋2d |＝|a 1＋8d |，
可得a 1＝－5d ，∴a 6＝a 1＋5d ＝0，
且a 1＞0，∴a 5＞0，
故S n 取最大值时n 的值为5或6.
考点一 等差数列的基本运算
1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( )
A.a n ＝2n －5
B.a n ＝3n －10
C.S n ＝2n 2－8n
D.S n ＝12n 2－2n
答案 A
解析 设首项为a 1，公差为d .
由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.
所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，
S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2
×2＝n 2－4n . 2.(2022·太原调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝a 8＝8，则公差d ＝
( )
A.14
B.12
C.1
D.2 答案 D
解析 ∵S 8＝a 8＝8，
∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝a 8，
∴S 7＝7a 4＝0，则a 4＝0.
∴d ＝a 8－a 48－4
＝2. 3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________.
答案 25
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，
则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2×(－2)＋6d ＝2.
解得d ＝1.
所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.
4.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9＝－a
5.
(1)若 a 3＝4，求{a n }的通项公式；
(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围.
解 (1)设{a n }的公差为d .
由S 9＝－a 5可知9a 5＝－a 5，所以a 5＝0.
因为a 3＝4，所以d ＝a 5－a 32＝0－42＝－2，
所以a n ＝a 3＋(n －3)×(－2)＝10－2n ，
因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .
(2)由(1)得a 5＝0，
因为a 1>0，所以等差数列{a n }单调递减，
即d <0，
a 1＝a 5－4d ＝－4d ，S n ＝n （n －9）d 2
， a n ＝－4d ＋d (n －1)＝dn －5d ，
因为S n ≥a n ，
所以nd （n －9）2
≥dn －5d ， 又因为d <0，所以1≤n ≤10.
感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，
S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
考点二 等差数列的判定与证明
例1 (2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{a n }是等差数列；②数列{S n }是等差数列；③a 2＝3a 1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
解 ①③⇒②.
已知{a n }是等差数列，a 2＝3a 1.
设数列{a n }的公差为d ，
则a 2＝3a 1＝a 1＋d ，得d ＝2a 1，
所以S n ＝na 1＋n （n －1）2
d ＝n 2a 1. 因为数列{a n }的各项均为正数， 所以S n ＝n a 1， 所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a 1－n a 1＝a 1(常数)，所以数列{S n }是等差数列. ①②⇒③.
已知{a n }是等差数列，{S n }是等差数列.
设数列{a n }的公差为d ，
则S n ＝na 1＋n （n －1）2
d ＝12n 2d ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1－d 2n . 因为数列{S n }是等差数列，所以数列{S n }的通项公式是关于n 的一次函数，
则a1－d
2
＝0，即d＝2a1，
所以a2＝a1＋d＝3a1.
②③⇒①.
已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{S n}的公差为d，d＞0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以S n＝S1＋(n －1)d＝nd，所以S n＝n2d2，
所以n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以a n＝2d2n－d2，所以a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列.
感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.即作差法，将关于a n－1的a n代入a n－a n－1，再化简得到定值.
(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.
2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：
(1)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列.
(2)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.
训练1 (2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，
已知2
S n＋1
b n＝2.
(1)证明：数列{b n}是等差数列；
(2)求{a n}的通项公式.
(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积，
所以n ≥2时，S n ＝b n b n －1
， 代入2S n ＋1b n ＝2可得，2b n －1b n ＋1b n
＝2， 整理可得2b n －1＋1＝2b n ，
即b n －b n －1＝12(n ≥2).
又2S 1＋1b 1＝3b 1
＝2，所以b 1＝32， 故{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列.
(2)解 由(1)可知，b n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22，则2S n ＋2n ＋2＝2，所以S n ＝n ＋2n ＋1
， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋2n ＋1
－n ＋1n ＝－1
n （n ＋1）
. 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，
－1n （n ＋1）
，n ≥2. 考点三 等差数列的性质及应用
角度1 等差数列项的性质
例2 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且4＋a 5＝a 6＋a 4，则S 9等于( )
A.72
B.36
C.18
D.9 (2)在等差数列{a n }中，若a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )
A.10
B.20
C.40
D.2＋log 25
答案 (1)B (2)B
解析 (1)∵a 6＋a 4＝2a 5，∴a 5＝4，
∴S 9＝9（a 1＋a 9）2
＝9a 5＝36. (2)由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4＋a 7＝a 5＋a 6＝a 4，则2a 1···2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4，所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20. 角度2 等差数列前n 项和的性质
例3 (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )
A.35
B.42
C.49
D.63
(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3 699块
B.3 474块
C.3 402块
D.3 339块
答案 (1)B (2)C
解析 (1)在等差数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7，14，S 15－21成等差数列，所以7＋(S 15－21)＝2×14，解得S 15＝42.
(2)设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成公差d ＝9，a 1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9
＝3 402(块).
角度3 等差数列前n 项和的最值
例4 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？
解 法一 设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，
即d ＝－213a 1.
从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 因为a 1＞0，所以－a 113＜0.
故当n ＝7时，S n 最大.
法二 易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，
由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2
＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称. 由解法一可知A ＝－a 113＜0，
故当n ＝7时，S n 最大.
法三 设公差为d .
由解法一可知d ＝－213a 1.
要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－213a 1≤0， 解得6.5≤n ≤7.5，
故当n ＝7时，S n 最大.
法四 设公差为d .由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0， 又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0，
所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大.
感悟提升 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .
2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则
(1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；
(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .
(3)依次k 项和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列.
3.求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，A ≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
训练2 (1)(2021·洛阳质检)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝272，则a 3＋a 9＋a 15＝( )
A.24
B.36
C.48
D.64
(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 020，S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6，
则S 2 023等于( )
A.2 023
B.－2 023
C.4 046
D.－4 046
(3)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也
为等差数列，则S n ＋10a 2n
的最大值是________. 答案 (1)C (2)C (3)121
解析 (1)因为数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，
所以S 17＝272＝a 1＋a 172×17＝2a 92×17
＝17a 9，
∴a 9＝16，所以a 3＋a 9＋a 15＝3a 9＝48.
(2)∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，设公差为d ′， 则S 2 020 2 020－S 2 014
2 014＝6d ′＝6，∴d ′＝1，
首项为S 1
1＝－2 020，
∴S 2 023
2 023＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，
∴S 2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.
(3)设数列{a n }的公差为d ，
依题意得2S 2＝S 1＋S 3，
∴22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，
把a 1＝1代入求得d ＝2，
∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，
S n ＝n ＋n （n －1）
2×2＝n 2，
∴S n ＋10a 2n ＝（n ＋10）2（2n －1）2＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎪
⎫n ＋102n －12
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2n －1）＋21
22
n －12
＝14⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1＋212n －12
≤121.
∴S n ＋10
a 2n 的最大值是121.
1.在等差数列{a n }中，3a 5＝2a 7，则此数列中一定为0的是(
) A.a 1 B.a 3 C.a 8 D.a 10
答案 A
解析 设{a n }的公差为d (d ≠0)，
∵3a 5＝2a 7，
∴3(a 1＋4d )＝2(a 1＋6d )，得a 1＝0.
2.(2021·重庆二模)已知公差不为0的等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝a 6，a 9＝a 26，则a 10＝( )
A.52
B.5
C.10
D.40
答案 A
解析 设公差为d ，
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋3d ＝a 1＋5d ，
a 1＋8d ＝（a 1＋5d ）2
，
由于d ≠0，故a 1＝d ＝14，
所以a 10＝14＋14×9＝52.
3.已知数列{a n }满足5an ＋1＝25·5an ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13
(a 5＋a 7＋a 9)＝(
) A.－3 B.3 C.－13 D.13
答案 A
解析 数列{a n }满足5an ＋1＝25·5an ，
∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2，
∴数列{a n }是等差数列，公差为2.
∵a 2＋a 4＋a 6＝9，∴3a 4＝9，a 4＝3.
∴a 1＋3×2＝3，解得a 1＝－3.
∴a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3×(－3＋6×2)＝27，
则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1333＝－3.故选A.
4.(2022·太原一模)在数列{a n }中，a 1＝3，a m ＋n ＝a m ＋a n (m ，n ∈N *)，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝135，则k ＝( )
A.10
B.9
C.8
D.7 答案 B
解析 令m ＝1，由a m ＋n ＝a m ＋a n 可得a n ＋1＝a 1＋a n ，所以a n ＋1－a n ＝3， 所以{a n }是首项为a 1＝3，公差为3的等差数列，a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，
所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝k （a 1＋a k ）2
＝k （3＋3k ）2
＝135. 整理可得k 2＋k －90＝0，解得k ＝9或k ＝－10(舍).
5.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )
A.65
B.176
C.183
D.184
答案 D
解析 根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.
由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.
由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.
则第八个孩子分得斤数为184.
6.(2021·全国大联考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( )
A.15
B.16
C.17
D.14
答案 C
解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和有最大值，∴等差数列{a n }为递减数列， 又a 10a 9
<－1，∴a 9>0，a 10<0， ∴a 9＋a 10<0，
又S 18＝18（a 1＋a 18）2
＝9(a 9＋a 10)<0， 且S 17＝17（a 1＋a 17）2
＝17a 9>0. 故使得S n >0成立的正整数n 的最大值为17.
7.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 6＝1，S 12＝4，则S 18＝________. 答案 9
解析 在等差数列中，S 6，S 12－S 6，S 18－S 12成等差数列，∵S 6＝1，S 12＝4，∴1，3，S 18－4成公差为2的等差数列，即S 18－4＝5，S 18＝9.
8.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7
等于________. 答案 3727
解析 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13
＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727
. 9.(2021·西安一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝32，a 2＝2，2(S n ＋2＋S n )
＝4S n ＋1＋1，则数列{a n }的前16项和S 16＝________.
答案 84
解析 将2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1变形为(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )＝12，即a n ＋2－a n
＋1＝12，又a 1＝32，a 2＝2，∴a 2－a 1＝12符合上式，∴{a n }是首项a 1＝32，公差d ＝12
的等差数列，∴S 16＝16×32＋16×152×12＝84.
10.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由.
解 (1)设公差为d .∵{a n }为等差数列，
∴a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，
∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，
又公差d ＞0，∴a 2＜a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.
∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，
∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ＋n （n －1）2
×4＝2n 2－n ， 假设存在常数k ，使数列{
S n ＋kn }为等差数列. 由
S 1＋k ＋S 3＋3k ＝2S 2＋2k ， 得
1＋k ＋15＋3k ＝26＋2k ，解得k ＝1. ∴S n ＋kn ＝2n 2＝2n ，
当n ≥2时，2n －2(n －1)＝2，为常数，
∴数列{S n ＋kn }为等差数列.
故存在常数k ＝1，使得数列{
S n ＋kn }为等差数列. 11.设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项.
(1)证明：数列{a n }为等差数列；
(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值.
(1)证明 由已知可得2S n ＝a 2n ＋a n ，
且a n >0，
当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1.
当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，
所以2a n ＝2S n －2S n －1
＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，
所以a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，
即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1，
因为a n ＋a n －1>0，
所以a n －a n －1＝1(n ≥2).
故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列.
(2)解 由(1)可知a n ＝n ，设c n ＝a n ·b n ，
则c n ＝n (－n ＋5)＝－n 2＋5n
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋254， 因为n ∈N *，所以n ＝2或3，c 2＝c 3＝6，
因此当n ＝2或n ＝3时，{a n ·b n }取最大项，且最大项的值为6.
12.(2020·新高考山东卷)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为__________.
答案 3n 2－2n
解析 法一(观察归纳法) 数列{}
2n －1的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n －2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项
为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列， 则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5.
故其前n 项和为S n ＝n （a 1＋a n ）2
＝n （1＋6n －5）2
＝3n 2－2n . 法二(引入参变量法) 令b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，即3m ＝2n ＋1，m 必为奇数.
令m ＝2t －1，则n ＝3t －2(t ＝1，2，3，…).
a t ＝
b 3t －2＝
c 2t －1＝6t －5，即a n ＝6n －5.
以下同法一.
13.(2022·衡水模拟)已知在数列{a n }中，a 6＝11，且na n －(n －1)a n ＋1＝1，则a n ＝
______；a 2n ＋143n 的最小值为________.
答案 2n －1 44
解析 na n －(n －1)a n ＋1＝1，
∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2＝1，
两式相减得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，
∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，
∴数列{a n }为等差数列.
当n ＝1时，
由na n －(n －1)a n ＋1＝1得a 1＝1，
由a 6＝11，得公差d ＝2，
∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，
∴a 2n ＋143n ＝（2n －1）2＋143n
＝4n ＋144n －4≥24n ·144n －4＝44， 当且仅当4n ＝144n ，即n ＝6时等号成立.
14.等差数列{a n }中，公差d ＜0，a 2＋a 6＝－8，a 3a 5＝7.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)记T n 为数列{b n }前n 项的和，其中b n ＝|a n |，n ∈N *，若T n ≥1 464，求n 的最小值.
解 (1)∵等差数列{a n }中，公差d ＜0，a 2＋a 6＝－8， ∴a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝－8，又∵a 3a 5＝7，
∴a 3，a 5是一元二次方程x 2＋8x ＋7＝0的两个根，且a 3＞a 5， 解方程x 2＋8x ＋7＝0，得a 3＝－1，a 5＝－7，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－1，a 1＋4d ＝－7，
解得a 1＝5，d ＝－3. ∴a n ＝5＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋8.
(2)由(1)知{a n }的前n 项和S n ＝5n ＋n （n －1）2
×(－3)＝－32n 2＋132n . ∵b n ＝|a n |，∴b 1＝5，b 2＝2，b 3＝|－1|＝1，b 4＝|－4|＝4， 当n ≥3时，b n ＝|a n |＝3n －8.
当n ＜3时，T 1＝5，T 2＝7；
当n ≥3时，
T n ＝－S n ＋2S 2＝3n 22－13n 2＋14.
∵T n ≥1 464，
∴T n ＝3n 22－13n 2＋14≥1 464，
即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥100
，
3
∴n的最小值为34.
新高考数学大一轮复习专题： 第1讲 等差数列与等比数列 [考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点． 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 核心提炼 等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N * ) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1 . (3)等差数列的求和公式：S n ＝ n a 1＋a n 2 ＝na 1＋ n n －1 2 d ； (4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1， na 1，q ＝1. 例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为( ) A ．15.5尺B ．12.5尺C ．10.5尺D ．9.5尺 答案 A 解析 从冬至起，十二个节气的日影长依次记为a 1，a 2，a 3，…，a 12，由题意，有a 1＋a 4＋a 7 ＝37.5，根据等差数列的性质，得a 4＝12.5，而a 12＝4.5，设公差为d ，则⎩⎪⎨ ⎪⎧ a 1＋3d ＝12.5， a 1＋11d ＝4.5，解得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a 1＝15.5， d ＝－1，所以冬至的日影长为15.5尺． (2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1 的图象上(n ∈N * )．数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝ 2 1 64 n s +，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________． 答案 －30 解析 ∵点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1 的图象上， ∴a n ＝2 n －1 (n ∈N * )， ∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，
第2节 等差数列及其前n 项和 考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系. 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数). (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2. 2.等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2 . 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *). (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. (5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫S n n 也为等差数列. 1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .
第2讲 等差数列及其前n 项和 , ) 1．等差数列的有关概念 (1)定义 假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N * ，d 为常数)． (2)等差中项 数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2 ，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2 d ＝（a 1＋a n ）n 2 ． 3．等差数列的性质 已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N * )，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 1．辨明两个易误点 (1)要留意概念中的“从第2项起”．假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． (2)留意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区分． 2．妙设等差数列中的项 若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ； 若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 3．等差数列的四种推断方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N * )⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2 ＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 1.教材习题改编 等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项 D ．第22项 C a 1＝11，d ＝8－11＝－3， 所以a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. 由－3n ＋14＝－49，得n ＝21.故选C. 2.教材习题改编 已知p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2均为常数)，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 C 若{a n }是等差数列，不妨设公差为d . 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ， 令k 1＝d ，k 2＝a 1－d ，则a n ＝k 1n ＋k 2， 若数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2为常数，n ∈N * )， 则当n ≥2且n ∈N * 时，a n －1＝k 1(n －1)＋k 2， 所以a n －a n －1＝k 1(常数)(n ≥2且n ∈N * )， 所以{a n }为等差数列， 所以p 是q 的充要条件． 3.教材习题改编 等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63 D ．27 B 法一：由于S 9＝9（a 1＋a 9） 2＝9a 5＝9×6＝54.故选B. 法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6， 所以S 9＝9a 1＋9×8 2 d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B. 4．(2021·金丽衢十二校联考)已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为________．
第二讲 等差数列及其前n 项和 A 组基础巩固 一、单选题 1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( D ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 [解析] 由a 2＝2，a 3＝4知d ＝4－2 3－2＝2. 所以a 10＝a 2＋8d ＝2＋8×2＝18.故选D. 2．(2021·贵州阶段性检测)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 5＋a 7＝15，则该数列前9项和S 9＝( D ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．45 [解析] 本题考查等差数列的性质，前n 项和公式．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝3a 5 ＝15，a 5＝5，所以S 9＝ a 1＋a 9 2×9＝2a 5 2 ×9＝9a 5＝9×5＝45.故选D. 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( D ) A ．3 B ．7 C ．9 D ．10 [解析] 因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，所以d ＝22－4a 2 2＝3，a 1＝a 2－d ＝4－3 ＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，解得n ＝10. 4．(2022·安徽合肥模拟)记等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n .若S 10＝40，a 6＝5，则( C ) A ．d ＝3 B ．a 10＝12 C ．S 20＝280 D ．a 1＝－4 [解析] 依题意，得S 10＝ a 1＋a 10·10 2 ＝5(a 5＋a 6)＝40，解得a 5＝3，则d ＝a 6－a 5＝2， 则a 10＝a 6＋4d ＝5＋8＝13，a 1＝a 5－4d ＝3－8＝－5，S 20＝20a 1＋190d ＝－100＋380＝280，故选C. 5．一个等差数列的首项为1 25，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取 值范围是( D ) A ．d >875 B ．d <325
《等差数列及其前n 项和》专题 一、相关知识点 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的等差中 项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n ) 2 . 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列 (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d . (6)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解． (7)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1 T 2n －1 . (8)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的1 2. (9)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ， S 奇S 偶＝a n a n ＋1 . (10)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1； ②S 奇S 偶 ＝n ＋1 n . 二．等差数列的常用结论 1．等差数列前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，即所有正项之和最大，若a 1＜0， d ＞0，则S n 有最小值，即所有负项之和最小．
点点练21等差数列及其前n 项和 一基础小题练透篇 1.[2022·广东韶关检测]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 6＝4S 3，a 2－a 5＝8，则 a 2＝( ) A ．4 B ．－4 C ．12 D ．－12 2．[2022·河南洛阳检测]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＋a 7＋a 9＝18，则 S 13＝( ) A ．39 B ．78 C ．117 D ．156 3．[2022·江苏省南通高三模拟]《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等．书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长( ) A.47尺B ．1631尺 C ．1629尺D ．815 尺 4．[2022·湖南省衡阳市联考]在等差数列{a n }中，a 1＋a 8＋a 6＝15，则此等差数列的前9项之和为( ) A ．5 B ．27 C ．45 D ．90 5．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为5 4 ，则S 5＝( ) A ．29B ．31C ．33D ．35 6．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31B ．32C ．33D ．34 7．[2022·贵州省贵阳市月考]记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a n ＝21－2n ，则S 10 ＝________． 8．[2021·北京人大附中期中]已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 3＝－6，S 1 ＝S 5，则公差d ＝________；S n 的最小值为________． 二能力小题提升篇 1.[2022·湖北恩施检测]数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，S n 是数列{a n }的前n 项和，
第35讲 等差数列及其前n 项和 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【基础巩固】 1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，547,29,198n n a a S -===，则n =（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项的性质和前n 项和公式求解. 【详解】因为()() 15422 n n n n a a n a a S -++= = ， 又547,29,198n n a a S -===， 所以18198n =， 所以11n =， 故选：B ． 2．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，452a a =，则7 4 S S =（ ） A ．74 B ．-1 C ．1 D ．54 【答案】C 【分析】利用等差中项5462a a a =+，6572a a a =+及等差数列前n 项和的性质即可求解. 【详解】解：在等差数列{}n a 中，5462a a a =+，452a a =，故60a =， 又6572a a a =+，故75a a =-， 则745674S S a a a S =+++=，故7 4 1S S =. 故选：C. 3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需
专题7.2 等差数列及其前n 项和（真题测试） 一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 11111231111 ,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123 ,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ） A ．0.75 B ．0.8 C ．0.85 D ．0.9 【答案】D 【解析】 【分析】 设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】 设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===， 依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且1111 1111 0.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++， 所以 30.530.3 0.7254 k +-=，故30.9k =， 故选：D 2．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b =A ．64 B ． 96
第2讲 等差数列 考向预测 核心素养 等差数列的基本运算、性质，等差数列的证明 是考查的热点．选择、填空题难度较低．解答 题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列 求和、不等式等问题综合考查，中等难度. 数学抽象、逻辑推理、 数学运算 [学生用书P150] 一、知识梳理 1．等差数列的概念 (1)定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． (2)等差中项 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项且a ＋b ＝2A ． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （a 1＋a n ）2 ． 3．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列． (2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a 1－d 2n 是关于
n 的二次函数且常数项为0. 常用结论 1．已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若p ＋q ＝s ＋t ，则a p ＋a q ＝a s ＋a t .特别地，若p ＋q ＝2m ，则2a m ＝a p ＋a q (p ，q ，s ，t ，m ∈N *)． (3)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (4)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (5)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 成等差数列；数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列． 2．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a n b n . 二、教材衍化 1．(人A 选择性必修第二册P 15练习T 4改编)已知在等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝20，a 7＝12，则a 10＝( ) A ．18 B.16 C.20 D.17 解析：选A.因为a 4＋a 8＝2a 6＝20，所以a 6＝10.又a 7＝12，所以d ＝2，所以a 10＝a 7＋3d ＝12＋6＝18. 2．(人A 选择性必修第二册P 21例6改编)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝2，且S 6＝30，则S 9＝________． 解析：由已知可得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝2，2a 1＋5d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝－10，d ＝6. 所以S 9＝9a 1＋9×82d ＝－90＋36×6＝126. 答案：126 3．(人A 选择性必修第二册P 24练习T 3改编)设等差数列－4.2，－3.7，－3.2，…的前n 项和为S n ，则当n ＝________时，S n 取得最小值． 解析：由已知得，a 1＝－4.2，d ＝0.5，所以a 9＝a 1＋8d ＝－4.2＋4＝－0.2＜0.a 10＝－4.2＋4.5＝0.3＞0，所以当n ＝9时，S n 取得最小值． 答案：9
2023高考数学复习专项训练《等差数列》 一、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，且s n=2n2+n,(n⩾1)，则数列{a n}的第5项为() A. 55 B. 36 C. 19 D. 91 2.（5分）关于 x的不等式x2-px+q<0的解集为(a，b)(0 考向19 等差数列及其前n 项和 1.（2022年乙卷文科第13题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若32236S S =+，则公差 d = ． 【答案】2 【解析】因为32236S S =+，所以212233()6a a a ⨯=++，即213()36a a d -==，所以2d =. 2.（2022年北京卷第6题） 设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[] x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >， 若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >- ，取1011a N d ⎡⎤ =-+⎢⎥⎣⎦ ，则当0n N >时，0n a >， 所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k a k k d ->， 当1k a n k d ⎡ ⎤ >-+⎢⎥⎣⎦ 时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列. 所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”. 所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C. 3.（2022新课标1卷第17题） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为1 3 的等差数列． 专题24 等差数列及其前n 项和 【考点预测】 一．等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为1－-=n n a a d （常数）*()2，∈≥n N n ． （2）等差中项 若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有= 2 +a b A ． 二．等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是1(1)=+-n a a n d ． （2）等差数列的前n 项和公式 设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和11()(1) 22 +-=+= n n n a a n n S na d ． 三．等差数列的常用性质 已知{}n a 为等差数列，d 为公差，n S 为该数列的前n 项和． （1）通项公式的推广：*())(，=+-∈n m a a n m d n m N ． （2）在等差数列{}n a 中，当+=+m n p q 时，*()，，，+=+∈m n p q a a a a m n p q N ． 特别地，若2+=m n t ，则*()2，，+=∈m n t a a a m n t N ． （3）2＋＋，，k k m k m a a a ，…仍是等差数列，公差为*()，∈md k m N ． （4）232，－，－n n n n n S S S S S ，…也成等差数列，公差为2n d ． （5）若{}n a ，{}n b 是等差数列，则{}+n n pa qb 也是等差数列． （6）若{}n a 是等差数列，则{ }n S n 也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的1 2 ． （7）若项数为偶数2n ，则2121()()+=+=+n n n n S n a a n a a ；奇偶－＝S S nd ；1 奇偶 +=n n S a S a ． （8）若项数为奇数21-n ，则2121()－-=n n S n a ；奇偶=－n S S a ； 1 奇偶 = -S n S n ． （9）在等差数列{}n a 中，若100，> 第4节 数列求和 考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法. 1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2 d . (2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1， a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. 1.1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2 . 2.12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6 . 3.裂项求和常用的三种变形 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. (2) 1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. (3)1 n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1 ).( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求和.( ) (4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列 {a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 解析 (3)要分a ＝0或a ＝1或a ≠0且a ≠1讨论求解. 2.(2022·烟台模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝ 1n ＋1＋n ，则S 99＝( ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案 C 解析 a n ＝1n ＋1＋n ＝n ＋1－n ， 所以S 99＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(100－99)＝100－1＝9. 3.(2022·石家庄检测)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n …的前n 项和S n 的 值等于( ) 《等差数列及其前n 项和》教学设计 教学目标： 1. 理解并掌握等差数列概念，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系。 2. 探索并掌握通项公式及其其前n 项和公式。 3. 了解等差数列与一次函数的关系，并能用等差数列的有关知识解决相应问题。 4. 熟练运用等差数列项及和的性质。 教学重点：等差数列的概念，通项公式和前n 项公式的应用。 教学难点：n 的变化引起的数列的变化，形式及应用。 教学过程： 一、问题引入 设问：上体育课时，老师让站成一排的同学报数，报的数是什么数列？ 夏季奥运会每四年举办一次，把第20届以及之后的举办年份排成一列，是构成什么数列？ 设计意图：让学生感受等差数列的常见性。 二、紧扣考纲 用课件展示本节的学习目标，也是高考对本节的考试要求。同时，强调高考考法，命题规律及趋势。从近几年高考题的角度再次加深对本节重要性的认知。 三、知识梳理 将本节重点知识以填空的的形式展示给学生，让学生开展面对面提问。奇数排的同学转过身去，偶数排的同学开始提问。一分钟的时间。时间到后，让其中一排的同学回答填空。 同时，老师板书等差数列定义的符号语言，通项公式，前n 项和公式。 带领学生重温概念，并发问当下标n 变化的情况下比如),2(1*+∈≥=-N n n d a a n n ，数列{}n a 还是等差数列么？旨在让学生感受n 的重要性。接下来板演累加法求通项公式 d n a a n )1(1-+=的过程。 前n 项和有三个公式，学生往往忽略第一个的用途。在此板演三个公式的推导过程，体会倒序相加法的用途以及用途最广的性质 “若l k n m a a a a l k n m +=++=+则,”。 强化等差数列与一次函数的关系，当公差d 非零时，通项公式可看作关于n 的一次函数。同理，当公差d 非零时，前n 项和可看作关于n 的二次函数。并用走出误区设问的形式辨析概念的易混淆处。 第2节 等差数列及其前n 项和 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 1.等差数列的有关概念 (1)定义:一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d 表示.数学语言表示为 (n ∈N *),d 为常数. (2)等差中项:数列a,A,b 成等差数列的充要条件是 ,其中A 叫做a 与b 的 . 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:a n = .当d ≠0时,等差数列{a n }的通项公式a n =dn+(a 1-d)是关于d 的一次函数. (2)前n 项和公式:S n =na 1+ n (n -1)2 d= n (a 1+a n ) 2 .当d ≠0时,等差数列{a n } 的前n 项和S n =d 2 n 2+(a 1-d 2 )n 是关于n 的二次函数(没有常数项). 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广:a n = (n,m ∈N *). (2)若{a n }为等差数列,且m+n=p+q,则 (m,n,p,q ∈N *). (3)若{a n }是等差数列,公差为d,则a k ,a k+m ,a k+2m ,…(k,m ∈N *)是公差为 的等差数列. (4)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…(m ∈N *)也是等差数列,公差为 . 1.等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中,a 1>0,d<0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d>0,则S n 存在最小值. 2.若{a n },{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ,T n ,则a n b n = S 2n -1T 2n -1 . 3.若{a n }是等差数列,则{S n n }也是等差数列,其首项与{a n }的首项相同,公差是{a n }的公差的1 2. 4.若等差数列{a n }的项数为偶数2n,则 (1)S 2n =n(a 1+a 2n )=…=n(a n +a n+1); (2)S 偶-S 奇=nd,S 奇 S 偶= a n a n+1 . 5.若等差数列{a n }的项数为奇数2n+1,则 一、选择题 1．设等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝20，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 解析：由S 3＝9，S 5＝20，得d ＝1，a 1＝2，∴a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＝3(a 1＋7d )＝3×9＝27. 答案：D 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝15－a 5，则S 9等于( ) A ．18 B ．36 C ．45 D ． 60 解析：∵{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝15－a 5 ∴3a 5＝15，即a 5＝5. ∴S 9＝9a 1＋a 9 2 ＝9a 5＝45. 答案：C 3．在等差数列{a n }中，a n ＜0，a 23＋a 2 8＋2a 3a 8＝9，那么S 10等于( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－15 解析：由a 2 3＋a 2 8＋2a 3a 8＝9，得(a 3＋a 8)2 ＝9，∵a n ＜0， ∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10 a 1＋a 10 2 ＝5(a 3＋a 8)＝5×(－3)＝－15. 答案：D 4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为( ) A ．－2 B ．－3 C ．－4 D ．－6 解析：a n ＝23＋(n －1)d ，由题意知，⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a 6＞0a 7＜0， 即⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 23＋5d ＞023＋6d ＜0，解得－235＜d ＜－23 6 ， 又d 为整数，所以d ＝－4. 答案：C 5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 解析：依题意得S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2(2k ＋1)＋2＝24，解得k ＝5. 答案：D 6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N * )．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 解析：因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12， 故公差d ＝12－－2 10－3＝2.于是b 1＝－6， 且b n ＝2n －8(n ∈N * )，即a n ＋1－a n ＝2n －8， 所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3. 答案：B 二、填空题 7．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：依题意得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝(a 2＋a 8)＋(a 4＋a 6)＝2(a 3＋a 7)＝74. 答案：74 8．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. 解析：设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1， 得9×1＋9×82d ＝4×1＋4×3 2d ， 所以d ＝－1 6 .又a k ＋a 4＝0， §6.5 数列求和 考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 知识梳理 数列求和的几种常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2 d . (2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 2．分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如a n ＝(－1)n ·f (n )类型，常采用两项合并求解． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ① 1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ② 1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ③ 1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. ④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1n －1－1n ＋1.( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时，只要把上式等号两边同时乘a 即可根据错位相减法求得． ( × ) (4)求数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫12n ＋2n ＋3的前n 项和可用分组转化法求和．( √ ) 教材改编题 1．数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100 答案 D 解析 S 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100. 2．等差数列{a n }中，已知公差d ＝12 ，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝50，则a 2＋a 4＋…＋a 100等于( ) A ．50 B ．75 C ．100 D ．125 答案 B 解析 a 2＋a 4＋…＋a 100 ＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋…＋(a 99＋d ) ＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋50d ＝50＋25＝75. 3．在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1) ，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝________. 答案 2 022 解析 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 ， ∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，. 第七章 数列 7.1 等差数列与等比数列 数列是高考每年必考的一个知识点,每年的高考试题中或者有1道解答题或者有2道客观题，数列基础题一般具有小巧活的特点，考查热点一是等差数列与等比数列基本量的计算，二是等差数列与等比数列的性质，三是与数列有关的数学文化试题．求解数列基础题要注意方程思想的应用，即把所求问题转化为利用解方程求基本量. 题型一.等差数列的基本运算及性质 1．（2019•新课标Ⅲ）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝ 100 ． 【解答】解：在等差数列{a n }中，由a 3＝5，a 7＝13，得d =a 7−a 37−3=13−5 4 =2， ∴a 1＝a 3﹣2d ＝5﹣4＝1． 则S 10=10×1+ 10×9×2 2 =100． 故答案为：100． 2．（2020•新课标Ⅲ）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝﹣2，a 2+a 6＝2，则S 10＝ 25 ． 【解答】解：因为等差数列{a n }中，a 1＝﹣2，a 2+a 6＝2a 4＝2， 所以a 4＝1， 3d ＝a 4﹣a 1＝3，即d ＝1， 则S 10＝10a 1+10×9 2 d =10×（﹣2）+45×1＝25． 故答案为：25 3．（2019•新课标Ⅲ）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5 = 4 ． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则 由a 1≠0，a 2＝3a 1可得，d ＝2a 1， ∴ S 10S 5 = 10(a 1+a 10)5(a 1+a 5) = 2(2a 1+9d)2a 1+4d = 2(2a 1+18a 1) 2a 1+8a 1 =4，考向19等差数列及其前n项和(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(解析版)
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