等差数列高考大纲
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知识梳理
一、等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数
列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示
二、等差数列的通项公式
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等
差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n
＝a m+（n﹣m）d．
三、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
a s+a t＝2a p；
（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，
2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
四、等差数列的求和公式等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和的公式：①
()
1
2
n
n
n a a
S
+
=；②
()
1
1
2
n
n n
S na d
-
=+．
五、等差数列最值求解
等差数列前n项和的最值问题可转化为项的正负问题，也可转化为二次函数最值问题.
例题讲解
一、等差数列定义的理解
例1．下面数列中，是等差数列的有( ) ①4,5,6,7,8…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0…④110，210，310，4
10
，… A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
例2．下列数列中不是等差数列的为（ ） A.0，0，0，0，0 B.0，1-，2-，3-，4- C.2，3，4，5，6 D.0，1，2，1，0
二、等差数列通项公式
例1．在等差数列{}n a 中，已知32a =，5815a a +=，则10(a = ) A ．64 B ．26
C ．18
D ．13
例2．在等差数列{}n a 中，214a =，55a =，则公差(d = )
A ．2-
B ．3-
C ．2
D ．3
例3．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则公差等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
三、等差数列的性质
例1．等差数列{}n a 中，已知21016a a +=，则468(a a a ++= ) A ．16 B ．20 C ．24 D ．28
例2．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9111
3
a a -的值是( )
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
例3．已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是( )
A ．(2,4)
B ．(,2)-∞
C ．(2,)+∞
D ．(4,)+∞
四、等差数列的求和公式
例1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则4
3
(S S = ) A ．1
B ．53
C ．83
D ．3
例2．等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和9S 等于( ) A ．99 B ．66
C ．144
D ．297
例3．设{}n a 是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )
A ．23X Z Y +=
B ．44X Z Y +=
C ．237X Z Y +=
D ．86X Z Y +=
六、等差数列最值求解
例1．已知等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d <，则使其前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是（ ）． A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.不存在
例2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值_______．
例3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，21
4
a =，且a 4+a 5=6a 3．
练习A
1．下列说法中正确的是（ ）
A.若a ，b ，c 成等差数列，则222,,a b c 成等差数列
B.若a ，b ，c 成等差数列，则222log ,log ,log a b c 成等差数列
C.若a ，b ，c 成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列
D.若a ，b ，c 成等差数列，则2,2,2a b c 成等差数列
2．已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（ ） 1 4，5，6，7，8，... 2 3，0，-3，0，-6，... 3 0，0，0，0， (4)
1234,,,,10101010
… A.1 B.2
C.3
D.4
3．已若{}n a 是等差数列，则由下列关系确定的数列{}n b 也一定是等差数列的是（ ）
A. 2
n n b a =
B. 2
n n b a n =+
C. 1n n n b a a +=+
D. n n b na =
4．已知数列{}n a 为等差数列，且39a =，53a =，则9a 等于( )
A ．9-
B ．6-
C ．3-
D ．27
5．已知等差数列{}n a 中，1232a a a ++=，3456a a a ++=，则91011a a a ++的值为( ) A ．18 B ．16 C ．14 D ．12
6．等差数列{}n a 中，若46101290a a a a +++=，则10141
(3
a a -= )
A ．15
B ．30
C ．45
D ．60
7．等差数列{}n a 中，31a =-，1117a =-，则7a 等于( )
A ．9-
B ．8-
C ．9
2
-
D ．4-
8．在等差数列{}n a 中，公差为1
2，1359960a a a a +++⋯+=，则246100(a a a a +++⋯+= ) A ．60 B ．70 C ．75 D ．85
9．已知等差数列{}n a 满足12910a a a ++⋯+=，则有( )
A ．3890a a +=
B ．2900a a +<
C ．1910a a +>
D ．4646a =
10．已知数列{}n a 为等差数列，且17132a a a π++=，则7tan (a = )
A
．B
C
． D
．
11．已知0a >，0b >，并且1a ，12，1
b
成等差数列，则9a b +的最小值为( ) A ．16 B ．9
C ．5
D ．4
12．等差数列{}n a 中，已知21016a a +=，则468(a a a ++= ) A ．16 B ．20
C ．24
D ．28
13．在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为( ) A ．20 B ．22
C ．24
D ．28
14．等差数列{}n a 中，156a a +=，65a =，那么9a 的值是( ) A ．7- B ．7 C ．11
3
-
D ．
113
15．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321
,,22
a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于( )
A
．1+B
．1-C
．3+D
．3-
16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则4
3
(S S = ) A ．1
B ．53
C ．83
D ．3
17．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4104a a +=，则13(S = ) A ．13 B ．14
C ．26
D ．52
18．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5(S = ) A ．5 B ．7
C ．9
D ．10
19．在等差数列{}n a 中，若351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于( ) A ．8 B ．13
C ．16
D ．26
20．在等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则9(S = ) A ．66 B ．99
C ．144
D ．297
21．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若312S =，244a a +=，则6(S = ) A ．6 B ．12
C ．15
D ．18
22．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-．则当n S 取最小值时，(n = ) A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
23．数列{}n a 的通项公式为2328n a n n =-，则数列{}n a 各项中最小项是( )
A ．第4项
B ．第5项
C ．第6项
D ．第7项
24．已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a <，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 得最小正值时，n 等于( ) A ．20 B ．17 C ．19 D ．21
25．已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题：
①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S >④110S <
其中正确的序号是( )
A ．②③
B ．②③④
C ．②④
D ．①③④
26．在等差数列{}n a 中，128a =-，公差4d =，若前n 项和n S 取得最小值，则n 的值为( ) A ．7 B ．8
C ．7或8
D ．8或9
27．数列{}n a 是首项为111a =，公差为2d =-的等差数列，那么使前n 项和n S 最大的n 值为( ) A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
练习B
1．设{}n a 为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为( )
①2
{}n
a ②{}n pa ③{}n pa q + ④{}(n na p 、q 为非零常数） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
2．等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，则对2n >时有( ) A ．1n
n S a a n
<
< B ．
1n
n S a a n <<
C ．1n n S
a a n
<<
D ．1,,n n S
a a n
的大小不确定
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则( )
A ．当4n =时，n S 取得最大值
B ．当3n =时，n S 取得最大值
C ．当4n =时，n S 取得最小值
D ．当3n =时，n S 取得最小值
4．已知数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和．若391
6S S =，则612(S S = )
A ．110
B ．
310
C ．5
10
D ．
710
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足100S >，110S <，则下列数值最大的是( )
A ．4S
B ．5S
C ．6S
D ．7S
6．等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若3221n n S n T n -=
+，则77
(a
b = ) A ．37
27
B ．
3828
C ．
3929
D ．
4030
7．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为( ) A ．10 B ．12 C ．14 D ．16
8．已知点(n ，*)()n a n N ∈都在直线3240x y --=上，那么在数列n a 中有79(a a += )
A ．790a a +>
B ．790a a +<
C ．790a a +=
D ．790a a =
9．已知等差数列{}n a 满足3243a a =，则{}n a 中一定为零的项是( )
A ．6a
B ．8a
C ．10a
D ．12a
10．在等差数列{}n a 中，15a =，470a a +=，则数列{}n a 中为正数的项的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
11．已知数列{}n a 中，132(3
n n a a ++= *
)n N ∈，且356820a a a a +++=，那么10a 等于( ) A ．8 B ．5 C ．26
3
D ．7
12．若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，记n
n S b n
=，则( ) A ．数列{}n b 是等差数列，{}n b 的公差也为d
B ．数列{}n b 是等差数列，{}n b 的公差为2d
C ．数列{}n n a b +是等差数列，{}n n a b +的公差为d
D ．数列{}n n a b -是等差数列，{}n n a b -的公差为2
d
13．等差数列{}n a 中，已知11
3
a =，254a a +=，33n a =，则n 为( )
A ．48
B ．49
C ．50
D ．51
14．若等差数列的首项是24-，且从第10项开始大于零，则公差d 的取值范围是( )
A ．83
d > B ．3d < C ．
8
33d < D ．8
33
d <
15．在数列{}n a 中，若1332()n n a a n N +=+∈，且247920a a a a +++=，则10a 为( ) A ．5 B ．7
C ．8
D ．10
16．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-．则当n S 取最小值时，(n = ) A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
17．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，63a =，则48(a a += )
A ．有最小值6
B ．有最大值6
C ．有最大值9
D ．有最小值3
18．已知实数序列1a ，2a ，⋯，n a 满足：任何连续3项之和均为负数，且任何4项之和均为正数，则n 的最大值是( ) A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
19．已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题：
①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S >④110S <
其中正确的序号是( )
A ．②③
B ．②③④
C ．②④
D ．①③④
20．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，如果21a =，那么这个数列前3项的和3S 的取值范围是( )
A ．(-∞，1]-
B ．[1，)+∞
C ．[2，)+∞
D ．[3，)+∞
21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ，下列四个命题中，假命题是( )
A ．公差d 的最大值为2-
B ．70S <
C ．记n S 的最大值为K ，K 的最大值为30
D ．20162017a a >
练习C
1．已知||0x y >>．将四个数,,x x y x y -+( )
A ．当0x >时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等比数列
B ．当0x >时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等差数列
C ．当0x <时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等比数列
D ．当0x <时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等差数列
2．等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，则对2n >时有( )
A ．1n
n S a a n
<
< B ．
1n
n S a a n
<<
C ．1n
n S a a n
<< D ．1,
,n
n S a a n
的大小不确定
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则( )
A ．当4n =时，n S 取得最大值
B ．当3n =时，n S 取得最大值
C ．当4n =时，n S 取得最小值
D ．当3n =时，n S 取得最小值
4．等差数列，的前项和分别为，，若，则 A ． B ．
C ．
D ．
5．在等差数列中，，其前项和为，若，则 A ． B ．
C ．2008
D ．2009
6．设为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为
① ② ③ ④、为非零常数） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7．设表示等差数列的前项和，已知，那么等于 A ．
B ．
C ．
D ．
8．等差数列中，，，则该数列前项之和为
{}n a {}n b n n S n T 231n n S n T n =+(n n
a b =)2
3
21
31
n n --21
31
n n ++21
34
n n -+{}n a 12007a =-n n S 20082006
220082006
S S -=2009(S =)2009-2008-{}n a ()2
{}n
a {}n pa {}n pa q +{}(n na p q n S {}n a n 51013S S =1020
S
S ()19
3
101813
{}n a 1m a k =
1
()k a m k m
=≠mk ()
A ．
B ．
C ．
D ．
9．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意，都有成立，则的值为
A ．22
B ．21
C ．20
D ．19
10．设等差数列的公差为，前项和为．若，则的最小值为 A ．10 B ．
C ．
D ．
二．填空题（共2小题） 11．在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则使取得最小正数的 19 ．
12．已知两个等差数列、的前项和分别为和，若，则使为整数的正整数的个数是 5个 ．
课后练习
1．等差数列中，若，则 ．
2．设等差数列的前项和为，若，，则 0 ，的最小值为 ．
3．等差数列中，，，则取最大值时， 6或7 ．
4．已知等差数列的前项和为，能够说明“若数列是递减数列，则数列是递减数列”是假命题的数列的一个通项公式为 （答案不唯一） ．
5．设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差等于 ．
6．若等差数列满足，则
12
mk
-2
mk
1
2
mk +12
mk
+{}n a n n S 14799a a a ++=25893a a a ++=*n N ∈n k S S k (){}n a d n n S 11a d ==8
n n
S a +()92
721
2
+{}n a 11
10
1a a <-n n S n S n ={}n a {}n b n n A n B 7453n n A n B n +=+n n
a b {}n a 31110a a +=678a a a ++={}n a n n S 23a =-510S =-5a =n S {}n a 10a >49S S =n S n ={}n a n n S {}n a {}n S {}n a 27n a n =-+{}n a n n S 1122S =71a ={}n a 1-{}n a 1461,52a a a =+=2019a =2019
2
二．解答题（共3小题）
7．在等差数列中，已知，，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求．
8．设等差数列满足，． （1）求的通项公式；
（2）求的前项和及使得最大的序号的值．
9．已知为等差数列，，． ( I ) 求数列的通项公式以及前项和． （Ⅱ）求使得的最小正整数的值．
{}n a 1312a a +=2418a a +=*n N ∈{}n a 3693n a a a a +++⋯+{}n a 35a =109a =-{}n a {}n a n n S n S n {}n a 112a =-562a a ={}n a n n S 14n S >n
第2节 等差数列及其前n 项和 考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能利用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系. 知 识 梳 理 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N * ，d 为常数). (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2 . 2.等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2 ＝ n （a 1＋a n ） 2 . 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * ). (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N * )，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N * )是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.
(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列???? ?? S n n 也为等差数列. [常用结论与微点提醒] 1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p . 2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值. 3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列. 4.数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2 ＋Bn (A ，B 为常数). 5.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N * ，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( ) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数. (4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
等差数列高考大纲 思维导图 讲义导航
知识梳理 一、等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数 列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示 二、等差数列的通项公式 等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等 差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n ＝a m+（n﹣m）d． 三、等差数列的性质 （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有 a s+a t＝2a p； （5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数． （6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d． （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2， 2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+） （8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）． 四、等差数列的求和公式等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和的公式：① () 1 2 n n n a a S + =；② () 1 1 2 n n n S na d - =+． 五、等差数列最值求解 等差数列前n项和的最值问题可转化为项的正负问题，也可转化为二次函数最值问题.
高三数学一轮复习学案：等差数列 一、考试要求： 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式和前n 项和的公式。 二、知识梳理： 1.等差数列的定义： 2.通项公式：=n a +1a =+ m a 。 3.等差中项：若a 、b 、c 成等差数列，则有 。 4.等差数列前n 项和公式=n s ； = 。 5.等差数列的结论：若}{n a 为等差数列： （1） ),,,(+∈+=+N q p n m q p n m 则 。 （2）=+-+11n n a a ，=+-+k n k n a a 。 （3）....,.....,,2nk m k m k m m a a a a +++也成等差数列。 （4）n s 为前n 项和，则m s 、m m s s -2、m m s s 23-成 数列。 （5）若}{n a 有2n 项，则=奇偶S S - ， =奇 偶S S 。 若}{n a 有2n-1项，则=奇偶S S - ， =奇 偶S S 。 （6）若}{n a 与}{n b 是等差数列，它们的前n 项和为,,n n B A 则n n n n b a B A =--1212 。 6.n n S a 与的关系： 7.等差数列的判定方法： （1）定义法：{}是等差数列常数n n n a d a a ?=-+)(1。 （2）通项公式法： （3）中项公式法： （4）前n 项和公式法：{}是等差数列为常数n n a B A Bn An S ?+=),(2。 三、基础检测： 1.已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ）
2021 高考数学一轮复习考点规范练：31 等差数列及其前 n 项和（含解析） 基础巩固 1.(2019 河北唐ft高三摸底考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3+a11=4,则S13=( ) A.13 B.26 C.39 D.52 答案:B 13(a1 + a13) 解析:由等差数列的性质可知,a1+a13=a3+a11=4,则S13= 2 =26,故选B. 2.记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 答案:B 解析:因为 3S3=S2+S4,所以 3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则 3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以 a5=a1+4d=-10. 3.已知等差数列{a n}的前4 项和为30,前8 项和为100,则它的前12 项和为( ) A.110 B.200 C.210 D.260 答案:C 解析:设{a n}的前n项和为S n. ∵在等差数列{a n}中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列, 又S4=30,S8=100,∴30,70,S12-100 成等差数列, ∴2×70=30+S12-100,解得S12=210. 4.已知数列{a n}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{a n}的前n 项和为S n,则使得S n达到最大的n 是( )
A.18 B.19 C.20 D.21 答案:C 解析:a1+a3+a5=105?a3=35,a2+a4+a6=99?a4=33, 则{a n}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,S n=-n2+40n,因此当S n取得最大值时,n=20. 5.设S n为等差数列{a n}的前n 项和,若a1=1,公差d=2,S n+2-S n=36,则n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案:D n(n - 1) 解析:(方法一)由题知S n=na1+2d=n+n(n-1)=n2,S n+2=(n+2)2,由S n+2-S n=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8. (方法二)S n+2-S n=a n+1+a n+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8. 6.(2019 广东汕头二模)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,2S3=2a4+S2,则a8=( ) A.8 B.9 C.16 D.15 答案:D 解析:由 2S3=2a4+S2,得 2(3a1+3d)=2(a1+3d)+(2a1+d),即 2a1=d,d=2,故a8=a1+7d=15. 7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996 斤绵分给8 个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17 斤绵,那么第8 个儿子分到的绵是斤.(注:“斤”非国际通用单位) 答案:184 解析:用a1,a2,…,a8表示 8 个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数, 由题意,得数列a1,a2,…,a8是公差为 17 的等差数列,且这 8 项的和为 996,
05限时标准特训 A 级 基础达标 1．假设等差数列的第一、二、三项依次是1 x ＋1、56x 、1 x ，那么数列的公差d 是( ) A.1 12 B.16 C.14 D.12 解析：依题意得2×5 6x ＝1 x ＋1＋1x ，解得x ＝2，因此d ＝512－13＝1 12.选A. 答案：A 2．在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 3＋a 6＝16，a n ＝31，那么n 为( ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 解析：由已知可得a 4＋a 5＝7＋a 5＝a 3＋a 6＝16，得a 5＝16－7＝9，故公差d ＝a 5－a 4＝9－7＝2，同时解得a 1＝1，由1＋(n －1)×2＝31，解得n ＝16，选D. 答案：D 3．[2021·安庆模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设2a 6＝a 8＋6，那么S 7＝( ) A ．49 B ．42 C ．35 D ．28 解析：2a 6＝a 8＋6⇒a 1＋3d ＝6⇒a 4＝6，故S 7＝7a 1＋a 7 2＝7a 4＝42，应选B. 答案：B 4．[2021·湖南四市联考]数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{1 a n ＋1 }是等差数列，那么a 4＝( ) A.12 B.13 C.14 D.16
解析：设数列{1a n ＋1}的公差为d ，那么4d ＝1a 6＋1－1 a 2＋1得d ＝1 6， ∴1a 4＋1＝1 2＋1＋2×16，解得a 4＝1 2. 答案：A 5．[2021·金版]在各项均不为零的等差数列{a n }中，假设a 2n －a n ＋1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)，那么S 2021的值为 ( ) A ．2021 B ．2021 C ．4026 D ．4028 解析：由a 2n －a n ＋1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)可得a 2n ＝a n ＋1＋a n －1＝2a n ，因为a n ≠0，因此a n ＝2，故S 2021＝ 2×2021＝4028.选D. 答案：D 6．等差数列{a n }的前n 项和是S n ，且a 1＝10，a 5＝6，那么以下不等式中不成立的是( ) A ．a 10＋a 11>0 B ．S 21<0 C ．a 11＋a 12<0 D ．当n ＝10时，S n 最大 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝10，a 5＝6，得6＝10＋4d ，即d ＝－1，因此a n ＝11－n .a 10＋ a 11＝1＋0>0，A 成立；a 11＋a 12＝－1<0，C 成立；S n ＝－12 n 2＋ 212 n ＝－1 2 (n － 212)2＋441 8 ，故当n ＝10时，S n 最大，D 成立；S 21＝－12×212＋21×21 2 ＝0，故B 不成立． 答案：B 7．[2021·漳州模拟]已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，那么数列{a n } 的通项公式为a n ＝( ) A ．n －1 B ．n C ．2n －1 D ．2n 解析：由已知可得S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)，又S n ＋S n －1>0，故S n －S n －1＝1，因此数列{S n }是等差数列，其公差为1，首项 S 1＝1，故S n ＝n ，即S n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝ 2n －1，当n ＝1时也适合上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，选C. 答案：C
等差数列及其前n 项和 课时作业 1．在等差数列{a n }中，已知a 2＝2，前7项和S 7＝56，则公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 B 解析 由题意可得⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ a 1＋d ＝2，7a 1＋7×6 2d ＝56， 即⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a 1＋d ＝2， a 1＋3d ＝8，解得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a 1＝－1， d ＝3，选B. 2．(2019·衡阳模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 答案 D 解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120， ∴由等差数列的性质可得a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.故选D. 3．(2020·荆州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 答案 A 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＋a 5＝3，∴3a 4＝3，即a 1＋3d ＝1，又由a 8 ＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋7 4 ×11＝15.故选A. 4．(2019·山东济南调研)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＋a 8＝8，a 6＝5，则其前10项和S 10的值为( ) A ．50 B ．45 C ．55 D ．40 答案 B 解析 因为数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝8，所以根据等差数列的性质得2a 5＝8，所以a 5＝4，又因为a 6＝5，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 5＋a 6) 2 ＝45. 5．(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9＝( )
高考数学一轮复习等差数列专项练习（含解析）假如一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那个数列就叫做等差数列。查字典数学网为考生整理了等差数列专题训练，请考生认真做题。 一、填空题 1.(2021重庆高考)若2，a，b，c,9成等差数列，则c-a=________. [解析] 由题意得该等差数列的公差d==， 因此c-a=2d=. [答案] 2.在等差数列{an}中，d=2，a15=-10，则S15=________. [解析] 由a15=a1+142=-10得a1=-38， 因此S15===-360. [答案] -360 3.等差数列{an}前9项的和等于前4项的和，若a1=1，ak+a4=0，则k =________. [解析] 由S9-S4=0，即a5+a6+a7+a8+a9=0，即a7=0. 又ak+a4=0=2a7，故k=10. [答案] 10 4.(2021福建高考改编)等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为________. [解析] 法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意得 解得d=2. 法二：在等差数列{an}中，a1+a5=2a3=10，a3=5. 又a4=7，公差d=7-5=2. [答案] 2 5.假如等差数列{an}中，a5+a6+a7=15，那么a3+a4++a9=________. [解析] 等差数列{an}中，a5+a6+a7=15，由等差数列的性质可得3a6=1 5，解得a6=5. 那么a3+a4++a9=7a6=35.
[答案] 35 6.《九章算术》竹九节问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升. [解析] 设自上第一节竹子容量为a1，则第9节容量为a9，且数列{an}为等差数列. 则 解之得a1=，d=， 故a5=a1+4d=. [答案] 7.(2021辽宁高考改编)在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=________. [解析] S11===88. [答案] 88 8.(2021重庆高考)已知{an}是等差数列，a1=1，公差d0，Sn为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=________. [解析] a1，a2，a5成等比数列，a=a1a5， (1+d)2=1(4d+1)，d2-2d=0. d0，d=2. S8=81+2=64. [答案] 64 二、解答题 9.(2021湖北高考)已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n+800?若存在，求n的最小值;若不存在，说明理由. [解] (1)设等差数列{an}的公差为d，依题意，2,2+d,2+4d成等比数列，故有(2+d)2=2(2+4d)，
[基础题组练] 1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 解析：选C.由题知3a 1＋3×2 2d ＝12，因为a 1＝2，解得d ＝2，又a 6＝a 1＋5d ，所以a 6 ＝12，故选C. 2．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知等差数列{a n }，S n 是{a n }的前n 项和，则对于任意的n ∈N *，“a n >0”是“S n >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.对于任意的n ∈N *，“a n >0”能推出“S n >0”，是充分条件，反之，不成立，比如：数列5，3，1，－1，不满足条件，不是必要条件，故选A. 3．已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为( ) A ．24 B ．39 C ．104 D ．52 解析：选D.因为{a n }是等差数列，所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48，所以a 4＋a 10＝8，其前13项的和为13（a 1＋a 13）2＝13（a 4＋a 10）2＝13×82 ＝52，故选D. 4．(2020·金华十校联考)在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (3n －1) B.n （n ＋3） 2 C ．n (n ＋1) D.n （3n ＋1）2 解析：选C.依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n （2＋2n ）2 ＝n (n ＋1)，选C. 5．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24 D ．23 解析：选D.因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－2 3 ，又a 1＝15，所以数列{a n }是首项
§6。2 等差数列 基础篇固本夯基 【基础集训】 考点一 等差数列的有关概念及运算 1.已知等差数列{a n ｝中，a 2=1，前5项和S 5=—15,则数列{a n }的公差为（ ） A.-3 B.—52 C 。-2 D.—4 答案 D 2。已知在等差数列{a n }中，a 1=1,a 3=2a+1，a 5=3a+2,若S n =a 1+a 2+…+a n ，且S k =66,则k 的值为 ( ) A 。9 B.11 C 。10 D 。12 答案 B 3。设等差数列{a n }满足3a 8=5a 15，且a 1>0,S n 为其前n 项和,则数列{S n }的最大项为（ ) A 。S 23 B.S 24 C 。S 25 D 。S 26 答案 C 4。已知数列｛a n }满足a 1=12 ,且a n+1= 2a n 2+a n . （1）求证:数列{1a n }是等差数列； （2)若b n =a n a n+1,求数列{b n ｝的前n 项和S n . 解析 （1)证明:易知a n ≠0，∵a n+1=2a n 2+a n ， ∴1a n+1 = 2+a n 2a n ,∴1 a n+1-1 a n =12 , 又∵a 1=12 ，∴1a 1 =2， ∴数列{1a n }是以2为首项，12 为公差的等差数列.
（2)由(1)知,1 a n =2+12 （n-1)=n+32 ,即a n =2 n+3 ， ∴b n =4 (n+3)(n+4) =4( 1n+3-1 n+4 ), ∴S n =4[( 1 4-1 5)+(1 5-1 6)+…+(1 n+3-1 n+4 )] =4( 1 4-1 n+4 )=n n+4 . 考点二 等差数列的性质 5。设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5 =9 11 ，则S 11S 9 =( ） A.1 B.—1 C 。2 D.12 答案 A 6.（2018河北唐山第二次模拟，7）设｛a n ｝是任意等差数列,它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X,Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A.2X+Z=3Y B.4X+Z=4Y C.2X+3Z=7Y D 。8X+Z=6Y 答案 D 7.已知数列｛a n }是公差为d 的等差数列,S n 为其前n 项和,若 S 2 0172 017 — S 1717=100，则d 的值为（ ) A 。1 20 B.1 10 C 。10 D 。20 答案 B 8.在等差数列{a n ｝中,a 3+a 7=37,则a 2+a 4+a 6+a 8= . 答案 74 9。已知A n 及B n 是等差数列｛a n ｝、｛b n }的前n 项和，且 A n B n = 3n+14n+1 ,则a 11b 11 = .
2021年高考数学一轮精选练习： 31《等差数列及其前n 项和》 一、选择题 1.在等差数列{a n }中，a 1=1，a 2＋a 6=10，则a 7=( ) A.9 B.10 C.11 D.12 2.在等差数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2 －6x ＋5=0的根，则S 17的值是( ) A.41 B.51 C.61 D.68 3.已知在等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=2a ＋1，a 5=3a ＋2，若S n =a 1＋a 2＋…＋a n ，且S k =66，则k 的 值为( ) A.9 B.11 C.10 D.12 4.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＞0，且S 9＜0，则S 1、S 2、…、S 9中最小的是( ) A.S 5 B.S 6 C.S 7 D.S 8 5.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与 下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得 钱( ) A.53 B.32 C.43 D.54 6.在各项均为正数的等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，当n ∈N *，n ≥2时，有S n =n n －1 (a 2n －a 2 1)， 则S 20－2S 10=( A ) A.50 B.－50 C.100 D.－100 7.已知函数f(x)的图象关于直线x=－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差 不为0的等差数列，且f(a 50)=f(a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( ) A.－200 B.－100 C.－50 D.0 8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=9，a 2a 4=21，数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n =1－1 2 n (n ∈ N * )，若b n ＜110 ，则n 的最小值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 9.已知数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3=S 8，给出下列结论： ①a 10=0；②S 10最小；③S 7=S 12；④S 20=0. 其中一定正确的结论是( ) A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④ 10.若数列{a n }满足a n ＋12n ＋5－a n 2n ＋3 =1，且a 1=5，则数列{a n }的前200项中，能被5整除的项数为 ( ) A.90 B.80 C.60 D.40
§6.2 等差数列及其前n 项和 考纲展示► 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 考点1 等差数列的基本运算 1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差等于________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母________表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N * ，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N * )． (2)等差中项 若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b 2 . 答案：(1)2 同一个常数 d 2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是________． (2)等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n n －1 2 d 或S n ＝n a 1＋a n 2 . 答案：(1)a n ＝a 1＋(n －1)d (1)[教材习题改编]已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________． 答案：52 (2)[教材习题改编]在100以内的正整数中有________个能被6整除的数． 答案：16 知三求二． 等差数列中，有五个基本量，a 1，d ，n ，a n ，S n ，这五个基本量通过________，____________联系起来，如果已知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其间主要是通过方程思想，列方程组求解． 答案：通项公式 前n 项和公式 [典题1] (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4
第34课 等差数列及其前n 项和 [最新考纲] 内容 要求 A B C 等差数列 √ 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)． (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫作a ，b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n ) 2. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)． (2)假设{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，那么a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)假设{a n }是等差数列，公差为d ，那么{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)假设{a n }，{b n }是等差数列，那么{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)假设{a n }是等差数列，公差为d ，那么a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列． 1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)
(1)假设一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，那么这个数列是等差数列．( ) (2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N ＋，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，那么公差d ＝____________. －2 [依题意得S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2.] 3．(2021·南京模拟)假设等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，那么当n ＝____________时，{a n }的前n 项和最大． 8 [由等差数列的性质可知， a 7＋a 8＋a 9＝3a 8，a 7＋a 10＝a 8＋a 9， 故a 8>0，a 8＋a 9<0， ∴a 9<0，即当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．] 4．(2021·江苏高考){a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．假设a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，那么a 9的值是________． 20 [法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d ，所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20. 法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知5(a 1＋a 5) 2 ＝5a 3＝10，所以a 3＝2. 所以由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 22＋2a 2＋1 ＝0，所以a 2＝－1. 公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20.] 5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数． 16 [由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{a n }， 那么a 1＝6，d ＝6，得a n ＝6＋(n －1)6＝6n .
课时作业29 等差数列及其前n 项和 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．(2022·宝鸡中学适应考试)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，那么S 9＝( ) A ．2 B ．8 C ．18 D ．36 解析：设等差数列的公差为d ，则由a 1＋a 3＋a 11＝6，可得3a 1＋12d ＝6，∴a 1 ＋4d ＝2＝a 5.∴S 9＝(a 1＋a 9)×92 ＝9a 5＝9×2＝18. 答案：C 2．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．7 解析：两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1. 答案：B 3．(2022·东北三校一模)在等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解析：依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选 C. 答案：C 4．(2022·河南南阳一模，9)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是( ) A ．a 2＋a 15 B ．a 2·a 15 C ．a 2＋a 9＋a 16 D ．a 2·a 9·a 16 解析：由于S 17为一确定常数，依据公式可知，a 1＋a 17为一确定常数，又a 1 ＋a 17＝a 2＋a 16＝2a 9，∴a 2＋a 16＋a 9为一确定常数，故选C. 答案：C 5．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( ) A ．24 B ．48 C ．60 D ．84 解析：由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60，故选C. 答案：C 6．(2022·北京东城区模拟)已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于( ) A ．1 B.5 3 C ．2 D ．3 解析：∵a 3＝6，S 3＝12，∴S 3＝12＝3(a 1＋a 3)2＝3(a 1＋6) 2，解得a 1＝2，∴a 3＝6＝a 1＋2d ＝2＋2d ，解得d ＝2.
2021年高考数学一轮复习大题练习一 1.已知函数． （1）求f(x)的单调递增区间； （2）求f(x)在区间上的值域． 2.已知{a }是公差为正数的等差数列，首项a1=3，前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首 n 项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20. (1)求{a n}，{b n}的通项公式. (2)令c n=nb n(n∈N*)，求{c n}的n项和T n.
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B). (1)求A; (2)若a=4,求b2+c2的取值范围. 4.已知等差数列{a n}的首项为a（a∈R，a≠0）． （1）求数列{a n}的通项公式及S n； （2）是否存在正整数n和k，使得S n，S n+1，S n+k成等比数列？ 若存在，求出n和k的值；若不存在，请说明理由．
5.已知椭圆C ：x 2 a 2＋y 2 b 2=1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设不经过点B(0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 6.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 所对的边，且错误!未找到引用源。a=2csinA ． （1）确定∠C 的大小； （2）若c=错误!未找到引用源。 ，求△ABC 周长的取值范围．
7.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2=1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆 C 上，且PF ⊥x 轴，若AB ∥OP ，且|AB|=2 3. (1)求椭圆C 的方程； (2)已知Q 是C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为－1 2 ，若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由． 8.已知函数f(x)=kx －ln x －1(k>0)． (1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k 的值； (2)证明：当n ∈N * 时，1＋12＋13＋ (1) >ln(n ＋1)．
第六章 数 列 第二节 等差数列及其前n 项和 A 级·基础过关|固根基| 1.(一题多解)(2019届开封市高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×3 2×d＝16，解得⎩⎪⎨⎪ ⎧a 1＝1，d ＝2，故选B. 解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 4＝4（a 1＋a 4） 2＝2(a 1＋a 5－d)＝2(10－d)＝16，所以d ＝ 2，故选B. 2．(一题多解)(2019届沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( ) A ．55 B ．11 C ．50 D ．60 解析：选A 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d)＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×10 2 d ＝11(a 1＋5d)＝11×5＝55，故选A. 解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d)＝a 6＋2d ＋5，得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A. 3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．24 解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒数列{a n }是以15为首项，－2 3为公差的等差数列，则a n ＝ 473－23n.因为a k ·a k ＋1<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫453－23k <0，所以452 专题6.2 等差数列及其前n 项和 1．(2020·吉林长春市质量监测)等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，a 2＋a 3＝10，S 6＝54，则该数列的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2．(2020·重庆市七校联考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝55，S 3＝3，则a 5等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．9 3．(2020·吉林省白山一中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．24 4．(2020·辽宁丹东质检)我国明代伟大数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为( ) A ．0.9升 B ．1升 C ．1.1升 D ．2.1升 5．(2020·安徽省芜湖一中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( ) A ．a 9＝17 B ．a 10＝18 C ．S 9＝81 D ．S 10＝90 6．(2020·湖北武汉调研)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为 ． 7．(2020·福建龙岩模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，则a 20的值为 ，S 21的值为 ． 8．(2020·广东揭阳模拟)已知数列{a n }满足a 1＝－19，a n ＋1＝a n 8a n ＋1 (n ∈N *)，则a n ＝ ，数列{a n }中最大项的值为 ．2021高考数学复习专题 等差数列及其前n项和(文 精练)
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