1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝8，则S 7＝( ) A ． 28 B ．32 C ．56 D ．24 【答案】A
【解析】S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝7×（a 3＋a 5）
2
＝28.故选A. 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1
【答案】C
3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5
＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
【解析】由题意，不妨设a 6＝9t ，a 5＝11t ，则公差d ＝－2t ，其中t >0，因此a 10＝t ，a 11＝－t ，即当n ＝10时，S n 取得最大值．
【答案】B
4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】B
【解析】由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，∴a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，
∴T 2m －1＝22m －
1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5.
5．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，1
2a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 【答案】D
【解析】∴3a 1，1
2a 3，2a 2成等差数列， ∴a 3＝3a 1＋2a 2，
∴q 2－2q －3＝0，∴q ＝3或q ＝－1(舍去)． ∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝a 1q 7＋a 1q 8a 1q 5＋a 1q 6＝q 2＋q 31＋q
＝q 2＝32＝9. 6．各项均不为零的等差数列{a n }中，a 1＝2，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 016
＝________．
【答案】4 032
【解析】由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，即a 2n －2a n ＝0，
∴a n ＝2，n ≥2，又a 1＝2，∴a n ＝2，n ∈N *，故S 2 016＝4 032.
7．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．
【答案】1 121
8．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝________．
【答案】n
【解析】∵a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2n .
当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0，∴a 1＝1.
当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，
∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0， 又a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，
∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n (n ∈N *)．
9．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝9
2. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .
10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝5
4，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.
(1)求a 4的值；
(2)证明：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n ＋1－12a n 为等比数列；
(3)求数列{a n }的通项公式．
(1)解：当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，
即4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1， 整理得a 4＝4a 3－a 2
4，
又a 2＝32，a 3＝5
4，
11．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）2(n ∈N *
)． (1)求证：数列{a n }是等差数列； (2)设b n ＝1
S n
，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .
(1)证明： S n ＝a n （a n ＋1）
2(n ∈N *)，① S n －1＝a n －1（a n －1＋1）2
(n ≥2)．② ①－②得：a n ＝a 2n ＋a n －a 2
n －1－a n －1
2
(n ≥2)， 整理得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝(a n ＋a n －1)(n ≥2)．
∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n＋a n－1≠0，
1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝8，则S 7＝( ) A ． 28 B ．32 C ．56 D ．24 【答案】A 【解析】S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝7×（a 3＋a 5） 2 ＝28.故选A. 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1 【答案】C 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5 ＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【解析】由题意，不妨设a 6＝9t ，a 5＝11t ，则公差d ＝－2t ，其中t >0，因此a 10＝t ，a 11＝－t ，即当n ＝10时，S n 取得最大值． 【答案】B 4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B 【解析】由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，∴a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2， ∴T 2m －1＝22m － 1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5.
5．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，1 2a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】∴3a 1，1 2a 3，2a 2成等差数列， ∴a 3＝3a 1＋2a 2， ∴q 2－2q －3＝0，∴q ＝3或q ＝－1(舍去)． ∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝a 1q 7＋a 1q 8a 1q 5＋a 1q 6＝q 2＋q 31＋q ＝q 2＝32＝9. 6．各项均不为零的等差数列{a n }中，a 1＝2，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 016 ＝________． 【答案】4 032 【解析】由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，即a 2n －2a n ＝0， ∴a n ＝2，n ≥2，又a 1＝2，∴a n ＝2，n ∈N *，故S 2 016＝4 032. 7．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________． 【答案】1 121 8．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝________． 【答案】n 【解析】∵a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2n . 当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0，∴a 1＝1. 当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，
第1讲 等差数列和等比数列 考情解读 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力． 1．a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝???? ? S 1，n ＝1，S n －S n －1 ，n ≥2. 2．等差数列和等比数列
热点一 等差数列 例1 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是( ) A ．21 B ．24 C ．28 D ．7 (2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－10且a 6>|a 5|，S n 是数列的前n 项的和，则下列说法正确的是( )
高考文科数学数列专题复习题及答案 专题复习题可以很好地巩固学生对高考文科数学的知识储备。下面是店铺为大家整理的高考文科数学数列专题复习题，希望对大家有所帮助! 高考文科数学数列专题复习习题及答案：一、选择题 1.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1等于 ( ). A.13 B.-13 C.19 D.-19 解析设等比数列{an}的公比为q，由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1，即a3=9a1，q2=9，又a5=a1q4=9，所以a1=19. 答案 C 2.在等差数列{an}中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a9+a10等于( ). A.9 B.10 C.11 D.12 解析设等差数列{an}的公差为d，则有(a4+a5)-(a2+a3)=4d=2，所以d=12.又(a9+a10)-(a4+a5)=10d=5，所以a9+a10=(a4+a5)+5=11. 答案 C 3.在正项等比数列{an}中，3a1，12a3,2a2成等差数列，则a2013+a2014a2011+a2012等于 ( ). A.3或-1 B.9或1 C.1 D.9 解析依题意，有3a1+2a2=a3，即3a1+2a1q=a1q2，解得q=3，q=-1(舍去)，a2013+a2014a2011+a2012=a1q2012+a1q2013a1q2010+a1q20 11=q2+q31+q=9.
答案 D 4.(2014•郑州模拟)在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2-4x+3=0的两根，则a6的值是 ( ). A.3 B.-3 C.±3 D.±3 解析依题意得，a4+a8=4，a4a8=3，故a4>0，a8>0，因此a6>0(注：在一个实数等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同)，a6=a4a8=3. 答案 A 5.(2014•济南模拟)在等差数列{an}中，a1=-2 014，其前n项和为Sn，若S1212-S1010=2，则S2 014的值等于 ( ). A.-2 011 B.-2 012 C.-2 014 D.-2 013 解析根据等差数列的性质，得数列Snn也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S11=a1=-2 014，公差d=1，故S2 0142 014=-2 014+(2 014-1)×1=-1，所以S2 014=-2 014. 答案 C 6.(2013•辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列;p2：数列{nan}是递增数列; p3：数列ann是递增数列;p4：数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为 ( ). A.p1，p2 B.p3，p4 C.p2，p3 D.p1，p4 解析设an=a1+(n-1)d=dn+a1-d，它是递增数列，所以p1为真命题;若an=3n-12，则满足已知，但nan=3n2-12n并非递增数列，所以p2为假命题;若an=n+1，则满足已知，但ann=1+1n是递减数列，所以p3为假命题;设an+3nd=4dn+a1-d，它是递增数列，所以p4为真命题. 答案 D 7.(2013•新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm-
第一部分 一 9 一、选择题 1．(文)(2014·东北三省三校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6 ＝12，则S 7的值是( ) A ．21 B ．24 C ．28 D ．7 [答案] C [解析] ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴2a 4＝a 1＋a 7＝8，∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×82＝28. [方法点拨] 1.熟记等差、等比数列的求和公式． 2．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系用累加法可求出通项； 3．形如a n ＋1＝a n f (n )的递推关系可考虑用累乘法求通项a n ； 4．形如a n ＋1＝ka n ＋b (k 、b 为常数)可通过变形，设b n ＝a n ＋b k －1构造等比数列求通项a n . (理)在等比数列{a n }中，a 1＝a ，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}成等差数列，则S n 等于( ) A ．a n ＋ 1－a B ．n (a ＋1) C ．na D ．(a ＋1)n －1 [答案] C [解析] 利用常数列a ，a ，a ，…判断，则存在等差数列a ＋1，a ＋1，a ＋1，…或通过下列运算得到：2(aq ＋1)＝(a ＋1)＋(aq 2＋1)，∴q ＝1，S n ＝na . 2．(文)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6 S 4的值为( ) A.9 4 B.3 2 C.5 3 D ．4 [答案] A [解析] 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4 S 2＝4得S 4－S 2S 2 ＝3， 则S 6－S 4＝5S 2， 所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝9 4 . (理)(2014·全国大纲文，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )
专题8 等差数列与等比数列 1.等差数列必记结论 (1)若项数为偶数 2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1); S 偶-S 奇=nd; =. (2)若项数为奇数 2n-1,则 S 2n-1=(2n-1)a n ; S 奇-S 偶=a n ; = . 2.等比数列必记结论 (1)a k ,a k+m ,a k+2m ,…仍是等比数列,公 比 为 q m (k,m∈N *). 考向一 等差数列基本 量的计算 【典例】 (2020·全国Ⅱ 卷)记S n 为等差数列 的前n 项和.若a 1=-2,a 2+a 6=2①, 则=________. ① 根据基本量列方程 ② 前n 项和公式求解 考向二 等比数列基本 量的计算 【典例】(2020·全国Ⅰ 卷)设{a n }是等比数列,且 a 1+a 2+a 3=1,a 2+a 3+a 4=2,则a 6+a 7+a 8=( ) A.12 B.24 C.30 D.32 1.在公比为的等比数列 中,若 sin =,则cos 的值是
A.- B. C. D. 2.数列{a n}中,a1=2,a2=1,则+=(n∈N*),则a10等于( ) A.-5 B.- C.5 D. 3.若数列{x n}满足lg x n+1=1+lg x n(n∈N+),且x1+x2+x3+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值为 A.102 B.101 C.100 D.99 4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则说法不正确的是 ( ) A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B.春分和秋分两个节气的晷长相同(2)若数列{a n}的项数为2n,则=q; (3)若项数为2n+1,则=q. 1.数列中的方程思想 无论是等差数列中的a1,n,d,a n,S n,还是等比数列中的a1,n,q,a n,S n,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和d(q),问题可迎刃而解 2.数列中的函数思想 数列是一种特殊
等差数列与等比数列 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的) 1．（2022·山东威海三模）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝4，S 9＝18，则公差d ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 2．（2022·湖南常德一模）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 4＝4，S 3＝S 2＋2，则a 1＝( ) A ．12 B ．1 C ． 2 D ．2 3．（2022·湖南岳阳一模）已知等差数列{a n }满足a 2＝4，a 3＋a 5＝4(a 4－1)，则数列{a n }的前5项和为( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．30 4．（2022·湖南师大附中二模）设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则“a 1<0，且0a n ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．（2022·辽宁鞍山二模）设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋7，则a 3b 3 ＝( ) A ．1 B ．511 C ．2217 D ．38 6．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式是a n ＝( ) A ．2n －1 B ．(n ＋1n )n ＋1
C ．n 2 D ．n 7．（2022·河北邯郸一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2 022这2 022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为( ) A ．132 B ．133 C ．134 D ．135 8．（2022·北京北大附中三模）已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n 2，其中n ＝1，2，3，…，则数列{a n }( ) A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分) 9．在数列{a n }中，a 1＝1，数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫1a n ＋1是公比为2的等比数列，设S n 为{a n }的前n 项和，则( ) A ．a n ＝12n －1 B ．a n ＝12n ＋12 C ．数列{a n }为递减数列 D ．S 3>78 10．（2022·湖南永州三模）已知等差数列{a n }是递减数列，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 8，则( ) A ．d ＞0 B ．a 8＝0 C ．S 15>0 D ．S 7、S 8均为S n 的最大值
智才艺州攀枝花市创界学校等差数 列、等比数列 一、选择题 1．(2021·高考)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于() A．－24 B．0 C．12 D．24 【解析】由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或者x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，那么第四项为－24. 【答案】A 2．(2021·高考)设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，那么a9＝() A．－6 B．－4 C．－2 D．2 【解析】借助等差数列前n项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到a9的值． 由等差数列性质及前n项和公式，得S8＝＝4(a3＋a6)＝4a3，所以a6a7＝－2，所以公差d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6. 【答案】A 3．(2021·模拟)在等差数列{a n}中，a1＝－2013，其前n项和为S n，假设－＝2，那么S2013的值等于() A．－2012 B．－2013 C．2012 D．2013 【解析】S12＝12a1＋d，S10＝10a1＋d， 所以＝＝a1＋d，＝a1＋d， 所以－＝d＝2，所以S2013＝2013a1＋ d＝2013(－2013＋2012)＝－2013. 【答案】B 4．(2021·模拟)a n＝n，把数列{a n}的各项排列成如下的三角形状， 图7－3－3
记A(m，n)表示第m行的第n个数，那么A(10,12)＝() A.93 B.92 C.94 D.112 【解析】前9行一共有1＋3＋5＋…＋17＝＝81项， 所以A(10,12)为数列中的第81＋12＝93项，所以a93＝93，选A. 【答案】A 5．(2021·高考)等比数列{a n}的公比为q，记b n＝a m(n－1)＋1＋a m(n－1)＋2＋…＋a m(n－1)＋m，c n＝a m(n－1)＋1·a m(n－1) a m(n－1)＋m(m，n∈N*)，那么以下结论一定正确的选项是() ＋2·…· A．数列{b n}为等差数列，公差为q m B．数列{b n}为等比数列，公比为q2m C．数列{c n}为等比数列，公比为qm2 D．数列{c n}为等比数列，公比为q mm 【解析】计算出b n，c n，并结合等差、等比数列的概念断定数列的类型． b n＝a1q m(n－1)＋a1q m(n－1)＋1＋…＋a1q m(n－1)＋m－1 ＝a1q m(n－1)(1＋q＋…＋q m－1)＝a1q m(n－1)·， ∴＝＝q m， ∴{b n}是等比数列，公比为q m. c n＝a1q m(n－1)·a1q m(n－1)＋1·…·a1q m(n－1)＋m－1 ∴{c n}是等比数列，公比为q m2. 【答案】C 二、填空题 6．(2021·高考)等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．假设a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，那么S6＝________. 【解析】因为a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且数列{a n}是递增的等比数列，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝＝63. 【答案】63 7．(2021·西城模拟)我们把满足a n＋a n－1＝k(n≥2，k是常数)的数列叫做等和数列，常数k叫做数列的公和．假设等和数列{a n}的首项为1，公和为3，那么该数列前2014项的和为S2014＝________. 【解析】由题意知a n＝那么S2014＝1007×1＋1007×2＝3021. 【答案】3021
专题突破练12 等差、等比数列的综合问题 1.(2018北京东城一模,文15)已知S n是等差数列{a n}的前n项和,且a3=-6,S5=S6. (1)求{a n}的通项公式; (2)若等比数列{b n}满足b1=a2,b2=S3,求{b n}的前n项和. 2.已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n. (1)求{a n}的通项公式; (2)求{b n}的前n项和. 3.(2018北京西城一模,文15)设等差数列{a n}的公差不为0,a2=1,且a2,a3,a6成等比数列. (1)求{a n}的通项公式;
(2)设数列{a n}的前n项和为S n,求使S n>35成立的n的最小值. 4.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,a1=3,且3S1,2S2,S3成等差数列. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)设b n=log3a n,求T n=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2n b2n+1. 5.(2018北京顺义一模,文16)已知{a n}是等差数列,{b n}是单调递增的等比数列,且a2=b2=3,b1+b3=10,b1b3=a5.
(1)求{a n}的通项公式; (2)设c n=求数列{c n}的前n项和. 6.设{a n}是公比大于1的等比数列,S n为数列{a n}的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列. (1)求数列{a n}的通项; (2)令b n=ln ,n=1,2,…,求数列{b n}的前n项和T n. 7.(2018山西吕梁一模,文17)已知{a n}是首项为1的等比数列,数列{b n}满足b1=2,b2=5,且 a n b n+1=a n b n+a n+1. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)求数列{b n}的前n项和.
专题强化训练(九) 一、单项选择题 1.(2022·广东潮州高三期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 19=19,则a 3+a 17的值为( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:因为S 19= 19(a 1+a 19)2 = 19(a 3+a 17) 2 =19,所以a 3+a 17=2.故选B. 2.(2022·四川泸州三模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 7-S 6=24, a 3=8,则数列{a n }的公差d=( B ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,则a n =a 1+(n-1)d,由等差数列的性质可得,a 7=S 7-S 6=24,又因为a 3=8,所以a 7-a 3=a 1+6d-(a 1+2d)= 4d=16,解得d=4.故选B. 3.(2022·江苏扬州高三期末)在正项等比数列{a n }中,a 1=1 3,a 2a 4=9,记 数列{a n }的前n 项积为T n ,T n >9,则n 的最小值为( C ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:设正项等比数列{a n }的公比为q,由a 32 =a 2a 4=9得a 3=3,于是得 q 2=a 3a 1 =9,而q>0,解得q=3, 因此,a n =1 3 ×3n-1=3n-2,T n =a 1a 2a 3…a n =3 -1+0+1+…+(n-2) =3 n (n -3) 2 ,由T n >9得 3 n (n -3)2 >9, 从而得n (n -3)2 >2,而n>0,解得n>4,又n ∈N *,则n min =5.故选C. 4.(2022·江苏如皋高三期末)已知在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,a n +a n+1+ a n+2=1,n ∈N *,则a 2 022=( A )
第二篇 专题二 第1讲 一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( A ) A ．55 B ．11 C ．50 D ．60 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102 d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 2．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 5＋a 7－a 26 ＝0，则S 11的值为( D ) A ．11 B ．12 C ．20 D ．22 【解析】结合等差数列的性质，可得a 5＋a 7＝2a 6＝a 26 ， 又该数列为正项数列，可得a 6＝2， 所以由S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1， 可得S 11＝S 2×5＋1＝11a 6＝22. 3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11.那么一定有( B ) A ．a 6≤b 6 B ．a 6≥b 6 C ．a 12≤b 12 D ．a 12≥b 12 【解析】因为等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11， 所以a 1＋a 11＝b 1＋b 11＝2a 6， 所以a 6＝a 1＋a 112＝b 1＋b 112 ≥b 1b 11＝b 6. 当且仅当b 1＝b 11时，取等号，此时数列{b n }的公比为1. 4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1 n ，则a n 等于( C ) A ．2＋n ln n B ．2n ＋(n －1)ln n C ．2n ＋n ln n D ．1＋n ＋n ln n 【解析】由题意得a n ＋1n ＋1－a n n ＝ln (n ＋1)－ln n ， n 分别用1，2，3，…，n －1(n ≥2)取代， 累加得a n n －a 11＝ln n －ln 1，即a n n ＝2＋ln n ， 即a n ＝2n ＋n ln n (n ≥2)， 又a 1＝2符合上式，故a n ＝2n ＋n ln n ．
强化训练7 等差数列与等比数列——小题备考 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的) 1．[2021·河北保定二模]在等比数列{}a n 中，若a 2019＝4，a 2021＝9，则a 2020＝( ) A ．6 B ．－6 C ．±6 D ．13 2 2．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 3＝1，S 9＝18，则a 7＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．各项均为正数的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 1a 7＝3a 4，a 2与a 3的等差中项为18，则S 5＝( ) A ．108 B ．117 C ．120 D ．121 4．[2021·湖南长沙模拟]一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108.则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为( ) 一百零八塔全景 A ．第5行，呈葫芦状 B ．第6行，呈葫芦状 C ．第7行，呈宝瓶状 D ．第8行，呈宝瓶状 5．已知数列{}a n 是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 4＝5，S 2＝3 2 ，则公 差d ＝( ) A ．1 4 B ．1 C ．34 D ．12 6．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 2·a 6·a 10＝33 ，b 1＋b 6＋b 11 ＝7π，则tan b 2＋b 10 1－a 3·a 9 的值是( ) A ．1 B ．2 2 C ．－2 2 D ．－3 7. [2021·山东淄博一模]若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S 2020＞0，S 2021＜0”是“a 1010a 1011＜0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 8．[2021·山东泰安一模]设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a n ＞0，a 1＝1 2 ，S n ＜2，
智才艺州攀枝花市创界学校专题四数列第1讲等差数列、等比数列 真题试做 1．(2021·高考，文4)在等差数列{a n}中，a4＋a8＝16，那么a2＋a10＝()． A．12B．16 C．20D．24 2．(2021·高考，文5)公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，那么a5＝()． A．1B．2 C．4D．8 3．(2021·高考，文6){a n}为等比数列．下面结论中正确的选项是()． A．a1＋a3≥2a2 B．a＋a≥2a C．假设a1＝a3，那么a1＝a2 D．假设a3＞a1，那么a4＞a2 4．(2021·高考，文14)等比数列{a n}为递增数列．假设a1＞0，且2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，那么数列{a n}的公比q＝__________. 5．(2021·高考，文16)等比数列{a n}的公比q＝－. (1)假设a3＝，求数列{a n}的前n项和； (2)证明：对任意k∈N＋，a k，a k＋2，a k＋1成等差数列． 考向分析 高考中对等差(等比)数列的考察主、客观题型均有所表达，一般以等差、等比数列的定义或者以通项公式、前nn项和公式建立方程组求解，属于低档题；(2)对于等差、等比数列性质的考察主要以客观题出现，具有“新、巧、活〞的特点，考察利用性质解决有关计算问题，属中低档题；(3)对于等差、等比数列的判断与证明，主要出如今解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节．热点例析 热点一等差、等比数列的根本运算
【例1】(2021·质检，20)设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，等式a n＋a n＋2＝2a n＋1对任意n∈N*均成立． (1)假设a4＝10，求数列{a n}的通项公式； (2)假设a2＝1＋t，且存在m≥3(m∈N*)，使得a m＝S m成立，求t的最小值． 规律方法此类问题应将重点放在通项公式与前n项和公式的直接应用上，注重五个根本量a1，a n，S n，n，d(q)之间的转化，会用方程(组)的思想解决“知三求二〞问题．我们重在认真观察条件，在选择a1，d(q)两个根本量解决问题的同时，看能否利用等差、等比数列的根本性质转化条件，否那么可能会导致列出的方程或者方程组较为复杂，无形中增大运算量．同时在运算过程中注意消元法及整体代换的应用，这样可减少计算量． 特别提醒：(1)解决等差数列{a n}前n项和问题常用的有三个公式：S n＝；S n＝na1＋d；S n＝An2＋Bn(A，B 为常数)，灵敏地选用公式，解决问题更便捷； (2)利用等比数列前n项和公式求和时，不可无视对公比q是否为1的讨论． 变式训练1(2021·质检，20)等差数列{a n}的公差大于零，且a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根；各项均为正数的等比数列{b n}的前n项和为S n，且满足b3＝a3，S3＝13. (1)求数列{a n}，{b n}的通项公式； (2)假设数列{c n}满足c n＝求数列{c n}的前n项和T n. 热点二等差、等比数列的性质 【例2】(1)在正项等比数列{a n}中，a2，a48是方程2x2－7x＋6＝0的两个根，那么a1·a2·a25·a48·a49的值是()． A．B．93C．±9D．35 (2)正项等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，那么的值是()． A．或者B． C．D． 规律方法(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进展求解； (2)应结实掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中假设“m＋n＝p＋q，那么a m＋a n＝a p＋a q〞这一性质与求和公式S n＝的综合应用． 变式训练2(1)(2021·玉山期末，3)等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＝25π，那么tan a8的值是()． A．B．－C．±D．－ (2)(2021·调研，7)数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，假设公比q＝2，S4＝1，那么S8＝()．
第一讲 等差数列、等比数列 1．(2019·宽城区校级期末)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 5＋a 12＋a 15＝36，则S 16＝( ) A ．288 B ．144 C ．572 D ．72 解析：a 2＋a 5＋a 12＋a 15＝2(a 2＋a 15)＝36， ∴a 1＋a 16＝a 2＋a 15＝18， ∴S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8×18＝144， 故选B. 答案：B 2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3 ＋4a 1，则a 3＝( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＞0，q ＞0，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3 ＝15， a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1， 解得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a 1＝1， q ＝2，∴a 3＝a 1q 2 ＝4.故选C. 答案：C 3．(2019·咸阳二模)《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为( ) A ．15.5尺 B ．12.5尺 C ．10.5尺 D ．9.5尺 解析：设此等差数列{a n }的公差为d ， 则a 1＋a 4＋a 7＝3a 1＋9d ＝37.5，a 1＋11d ＝4.5， 解得：d ＝－1，a 1＝15.5. 故选A. 答案：A
4．(2019·德州一模)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＋a 7 a 2＋a 4 ＝8，则a 6的值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＝1， a 5＋a 7 a 2＋a 4 ＝8， ∴a 1(q 4＋q 6)a 1(q ＋q 3) ＝8，解得q ＝2. 则a 6＝25 ＝32. 故选D. 答案：D 5．(2019·信州区校级月考)已知等差数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，若S 8＝S 10，则a 18＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．0 D ．2 解析：∵等差数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，S 8＝S 10， ∴8a 1＋7×82d ＝10a 1＋10×92d ，即16＋28d ＝20＋45d ，解得d ＝－4 17 ， ∴a 18＝a 1＋17d ＝2＋17×⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－417＝－2. 故选B. 答案：B 6．(2019·南充模拟)已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且a 1，1 2a 3,2a 2成等差数列， 则 a 10＋a 11 a 8＋a 9 ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C ．3＋2 2 D ．3－2 2 解析：等比数列{a n }中的各项都是正数， 公比设为q ，q >0， a 1，12 a 3,2a 2成等差数列， 可得a 3＝a 1＋2a 2， 即a 1q 2 ＝a 1＋2a 1q ， 即q 2－2q －1＝0，
考点突破练4 等差数列、等比数列 一、单项选择题 1.(2022·福建三明模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2+a 5=-14,S 3=-39,则S 10=( ) A.6 B.10 C.12 D.20 2.(2022·山东济宁一模)在等比数列{a n }中,a 1+a 3=1,a 6+a 8=-32,则a 10+a 12 a 5+a 7 =( ) A.-8 B.16 C.32 D.-32 3.(2022·四川德阳三模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -a (a 为常数),则数列{1 a n }的前5项和为 ( ) A.15 8或5 B.31 16或5 C.3116 D.15 8 4.(2022·江苏扬州高三期末)在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1=1 3,a 2a 4=9,记数列{a n }的前n 项积为T n ,T n >9,则n 的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.(2020·全国Ⅱ·理6)数列{a n }中,a 1=2,a m+n =a m a n .若a k+1+a k+2+…+a k+10=215-25,则k=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.(2021·北京·6)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长a 1,a 2,a 3,a 4,a 5(单位:cm)成等差数列,对应的宽为b 1,b 2,b 3,b 4,b 5(单位:cm),且长与宽之比都相等.已知a 1=288,a 5=96,b 1=192,则b 3=( ) A.64 B.96 C.128 D.160 7.(2022·山西一模)已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+n ,将该数列排成一个数阵(如图),其中第n 行有2n-1个数,则该数阵第9行从左向右第8个数是( ) A.263 B.1 052 C.528 D.1 051 8.(2022·广东茂名模拟)已知数列{a n }满足3a n -2a n-1=a n+1,且a 1=0,a 6=2 021,则a 2=( ) A.2021 31 B.2021 33 C.202163 D.2021 65
专题十一 等差数列与等比数列 一、单选题 1．（2021·全国高三专题练习（理））设数列{}n a 满足13a =，26a =，() 2 *12 9n n n a a n a +++=∈N ，（ ） A ．存在*n ∈N ，n a Q ∈ B ．存在0p >，使得{}1n n a pa +-是等差 数列 C ．存在*n ∈N ，n a =D ．存在0p >，使得{}1n n a pa +-是等比 数列 2．（2021·全国高三专题练习）已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =， 114n n n n a a a a ++-= +，若数列11n n a a +⎧⎫ ⎨⎬+⎩⎭ 的前n 项和为5，则n =（ ） A ．119 B ．121 C ．120 D ．122 二、多选题 3．（2021·全国高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足 1114240,1n n n n a a a a a λλμ++++--==，则下列结论正确的是（ ） A ．若1 1,2 λμ== ，则{}n a 是等差数列 B ．若11,2λμ==，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和为 1n n + C ．若1 2,2λμ== ，则{}1n a +是等比数列 D ．若12,2 λμ==，则1 22n n S n +=-- 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 三、解答题 4．（2021·全国高三专题练习（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 22111224n n n n n n a a a a a a ----=++(2n ≥)，11a =.（1）证明数列{}n a 是等差数列，并 求其前n 项和n S .
高三数学第二轮专题复习——等差、等比数列 考纲要求： 1. 理解等等比数列的概念. 2. 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式. 3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4. 了解等差数列与一次函数的关系，了解等比数列与指数函数的关系. 考点回顾： 等差、等比数列是最重要的、最基本的数列模型，因而也是高考重点考察的对象，从近几年的高考看，考查既有选择题、填空题，也有解答题，，既有容易题和中档题，也有难题.客观题一般“小而巧”，考查对等差、等比数列概念的理解、性质的灵活运用，主观题则一般“大而全”，除了考查数列的概念、性质、公式的应用外，还经常与其他知识融合在一起，同时也考查分类讨论、等价转化、函数与方程等数学思想方法的灵活应用.考试说明对等差、等比数列都提出了较高的要求，因此，等差、等比数列的综合问题应用问题将是高考对数列考查的重点. 基础知识过关： 等差数列 1.等差数列的定义：如果一个数列从第 项起，每一项与他的前一项的差都等于 ，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 . 2.等差数列：在一个等差数列中，从第二项起每一项（有穷数列最有一项除外）都是它前一项与后一项的等差中项，即2n a = （* 2n N n ∈≥且）. 3.等差数列的单调性 当d>0时，{}n a 是 数列；当d=0时，{}n a 是 数列； 当d<0时，{}n a 是 数列. 4.等差数列的前n 项和n s 是用 法求得的，要注意这种思想方法在数列求和中的应用. 5.等差数列的通项公式n a = ，前n 项和公式n s = = ，两个公式一共涉及到五个量1,,,,n n a a d n s ，知其三就能求另二. 等比数列： 1.等比数列的定义：一般的，如果一个数列从 起，每一项与他的 的比等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 (0q ≠)表示.
小题考法专训（三） 等差数列与等比数列 A 级——保分小题落实练 一、选择题 1．(2019·福州质检)等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6 ＝64，则S 5＝( ) A ．32 B ．31 C ．64 D ．63 解析：选 B 法一：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由条件得 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ a 1·q 2 ＝4，a 1q ·a 1q 5 ＝64，解得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a 1＝1， q ＝2，所以S 5＝31，故选B. 法二：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由a 2a 6＝a 2 4＝64，得a 4＝8，又a 3 ＝4，所以q ＝2，a 1＝1，所以S 5＝31，故选B. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 5＝90，则等差数列{a n }的公差d ＝( ) A ．2 B ．3 2 C ．3 D ．4 解析：选C 依题意，5×12＋5×4 2d ＝90，解得d ＝3，故选C. 3．在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3＋a 11－3a 5＝10，则1 5a 4＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析：选C 设{a n }的公差为d (d ≠0)，由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 1＋2d )＋(a 1＋10d )－3(a 1＋4d )＝10，即2a 1＋6d ＝10，即a 1＋3d ＝5，故a 4＝5，所以1 5 a 4＝1，故选C. 4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋4S 2＝0，则公比q ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 解析：选C 因为a 3＋4S 2＝0，所以a 1q 2 ＋4a 1＋4a 1q ＝0，因为a 1≠0，所以q 2 ＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2，故选C. 5．(2020届高三·广东六校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( ) A ．16 B ．15 C ．8 D ．7