《等差数列及其前n 项和》专题
一、相关知识点
1.等差数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).
(2)等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A =a +b
2,其中A 叫做a ,b 的等差中
项.
2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1+(n -1)d . (2)前n 项和公式:S n =na 1+n (n -1)2d =n (a 1+a n )
2
. 3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).
(2)若{a n }为等差数列,且m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *).
(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.
(4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列
(5)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…(m ∈N *)也是等差数列,公差为m 2d .
(6)S 2n -1=(2n -1)a n ,S 2n =n (a 1+a 2n )=n (a n +a n +1),遇见S 奇,S 偶时可分别运用性质及有关公式求解.
(7)若{a n },{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ,T n ,则a n b n =S 2n -1
T 2n -1
.
(8)若{a n }是等差数列,则⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 也是等差数列,其首项与{a n }首项相同,公差是{a n }的公差的1
2.
(9)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ,则
①S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);②S 偶-S 奇=nd ,
S 奇S 偶=a n
a n +1
. (10)若等差数列{a n }的项数为奇数2n +1,则 ①S 2n +1=(2n +1)a n +1; ②S 奇S 偶
=n +1
n .
二.等差数列的常用结论
1.等差数列前n 项和的最值
在等差数列{a n }中,若a 1>0,d <0,则S n 有最大值,即所有正项之和最大,若a 1<0, d >0,则S n 有最小值,即所有负项之和最小.
2.等差数列的前n 项和公式与函数的关系:S n =d
2
n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).
题型一 等差数列基本量的运算
1.已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100等于
解析:由等差数列性质,知S 9=9(a 1+a 9)2=9×2a 5
2=9a 5=27,得a 5=3,而a 10=8,因此公
差d =a 10-a 5
10-5
=1,∴a 100=a 10+90d =98.
2.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为
解析:设等差数列{a n }的公差为d ,则由⎩⎪⎨⎪⎧
a 4+a 5=24,
S 6=48,得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1+3d +a 1+4d =24,
6a 1+
6×5
2
d =48,
即⎩⎪⎨⎪⎧
2a 1+7d =24,
2a 1
+5d =16,解得d =4. 3.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=
A .-12
B .-10
C .10
D .12
解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由3S 3=S 2+S 4,得; 3⎣⎡⎦
⎤3a 1+3×(3-1)2×d =2a 1+2×(2-1)2×d +4a 1+4×(4-1)2×d , 将a 1=2代入上式,解得d =-3,故a 5=a 1+(5-1)d =2+4×(-3)=-10. 4.在等差数列{a n }中,若前10项的和S 10=60,且a 7=7,则a 4=
解析:法一:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
10a 1+45d =60,a 1+6d =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1=3,d =23,
∴a 4=a 1+3d =5.
法二:由等差数列的性质有a 1+a 10=a 7+a 4,∵S 10=10(a 1+a 10)
2=60,∴a 1+a 10=12.
又∵a 7=7,∴a 4=5.
5.已知数列{a n }满足a 1=15,且3a n +1=3a n -2.若a k ·a k +1<0,则正整数k = 解析:由3a n +1=3a n -2⇒a n +1-a n =-23⇒{a n }是等差数列,则a n =473-23
n .
∵a k ·a k +1<0,∴⎝⎛⎭⎫473-23k ⎝⎛⎭⎫453-23k <0,∴452 2,又∵k ∈N +,∴k =23. 6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,a 5=5,则S 7的值是 解析:由题意,设等差数列的公差为d ,则d =a 5-a 35-3=1,故a 4=a 3+d =4,所以S 7= 7(a 1+a 7) 2=7×2a 4 2 =7×4=28. 7.数列{2n -1}的前10项的和是 解析:∵数列{2n -1}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴S 10=(a 1+a 10)×10 2=100. 8.已知数列{a n }中a 1=1,a n +1=a n -1,则a 4等于 解析:因为a 1=1,a n +1=a n -1,所以数列{a n }为等差数列,公差d 为-1, 所以a 4=a 1+3d =1-3=-2. 9.设等差数列{a n }的公差为d ,且a 1a 2=35,2a 4-a 6=7,则d = 解析:∵{a n }是等差数列,∴2a 4-a 6=a 4-2d =a 2=7,∵a 1a 2=35,∴a 1=5,∴d =a 2-a 1=2. 10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 5=50,S 10=200,则a 10+a 11的值为 解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由已知得⎩⎨⎧ S 5 =5a 1 +5×4 2 d =50,S 10 =10a 1 +10×9 2 d =200, 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =10,a 1+9 2d =20, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=2, d =4.∴a 10+a 11=2a 1+19d =80. 11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3=5,且S 1,S 5,S 7成等差数列,则数列{a n }的通项公式a n =________. 解析:设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 3=5,且S 1,S 5,S 7成等差数列, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =5,a 1+7a 1+21d =10a 1+20d ,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1, d =2, ∴a n =2n -1. 12.设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为________. 解析:法一:设数列{a n }的公差为d .∵a 2+a 5=36,∴(a 1+d )+(a 1+4d )=36,∴2a 1+5d =36.∵a 1=3,∴d =6,∴a n =6n -3. 法二:设数列{a n }的公差为d ,∵a 2+a 5=a 1+a 6=36,a 1=3,∴a 6=33,∴d =a 6-a 15=6.∵a 1 =3,∴a n =6n -3. 13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 6+a 18=54,S 19=437,则a 2 018的值是 解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由题意可知 ⎩⎪⎨ ⎪⎧ 2a 1+22d =54,19a 1+171d =437,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=5, d =2, 所以a 2 018=5+2017×2=4 039. 14.已知数列{a n }是等差数列,a 1+a 7=-8,a 2=2,则数列{a n }的公差d 等于 解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 7=2a 1+6d =-8,a 2=a 1+d =2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ d =-3,a 1=5, . 15.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为今有一女子擅长织布,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第一天织5尺布,现在一个月(按30天计)共织390尺布.则该女子最后一天织布的尺数为( ) A .18 B .20 C .21 D .25 解析:C ,用a n 表示第n 天织布的尺数,由题意知, 数列{a n }是首项为5,项数为30的等差数列.所以30(a 1+a 30) 2=390, 即30(5+a 30)2 =390,解得a 30=21,故选C . 16.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 12=-8,S 9=-9,则S 16=__________. 解析:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧ a 12=a 1+11d =-8, S 9=9a 1+9×8 2d =-9, 解得⎩ ⎪⎨⎪⎧ a 1=3,d =-1.∴S 16=16×3+16×15 2 ×(-1)=-72. 17.已知在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=2a +1,a 5=3a +2,若S n =a 1+a 2+…+a n ,且S k =66,则k 的值为 解析:∵在等差数列中,2a 3=a 1+a 5,∴2(2a +1)=1+3a +2, 解得a =1,即a 1=1,a 3=3,a 5=5,∴公差d =1, ∴S k =k ×1+k (k -1)2 ×1=66,解得k =11或k =-12(舍). 18.已知数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ a n n 是等差数列,且a 3=2,a 9=12,则a 15= 解析:法一:设数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ a n n 是公差为d 的等差数列,∵a 3=2,a 9=12, ∴6d =a 99-a 33=129-23=23,∴d =19,a 1515=a 3 3 +12d =2.故a 15=30. 法二:由于数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫a n n 是等差数列,故2×a 99=a 33+a 1515,即a 1515=2×129-2 3=2,故a 15=30. 19.在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1 a n +2 (n ∈N *),则该数列的通项为( ) A .a n =1n B .a n =2n +1 C .a n =2n +2 D .a n =3 n 解析:A ,由已知式2a n +1=1a n +1a n +2可得1a n +1-1a n =1a n +2-1a n +1,知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1 a 1=1,公差 为1a 2-1a 1=2-1=1的等差数列,所以1a n =n ,即a n =1 n . 20.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中,甲得________钱.( ) A.53 B .32 C.43 D .54 解析:选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1,a 2,a 3,a 4,a 5, 设公差为d ,由题意知a 1 +a 2 =a 3 +a 4 +a 5 =5 2,即⎩⎨⎧ 2a 1 +d =5 2, 3a 1 +9d =5 2 ,解得⎩⎨⎧ a 1 =4 3, d =-1 6, 故甲得4 3 钱,故选C. 21.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 9=12a 12+6,a 2=4,则数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ 1S n 的前10项和为( ) A.1112 B .1011 C.910 D .8 9 解析:选B ,设等差数列{a n }的公差为d ,由a 9=1 2a 12+6及等差数列的通项公式得a 1+5d =12,又a 2=4,∴a 1=2,d =2,∴S n =n 2+n ,∴1S n =1n (n +1)=1n -1n +1,∴1S 1+1S 2+…+1 S 10 = ⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎫110-111=1-111=1011 . 22.已知等差数列{a n }各项均为正数,其前n 项和为S n ,若a 1=1,S 3=a 2,则a 8= 解析:法一:设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得3+3d =1+d , 解得d =2或d =-1(舍去),所以a 8=1+7×2=15. 法二:S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2,由S 3=a 2可得3a 2=a 2,解得a 2=3或a 2=0(舍去), 则d =a 2-a 1=2,所以a 8=1+7×2=15. 23.若x ≠y ,数列x ,a 1,a 2,y 和x ,b 1,b 2,b 3,y 各自成等差数列,则a 1-a 2 b 1-b 2=________. 解析:由题意得a 1-a 2=x -y 3,b 1-b 2=x -y 4,所以a 1-a 2b 1-b 2=4 3 . 24.设{a n }是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是________. 解析:2 25.数列{a n }满足1 a n +1=1a n +1(n ∈N +),数列{ b n }满足b n =1 a n ,且 b 1+b 2+…+b 9=45,则 b 4b 6( ) A .最大值为100 B .最大值为25 C .为定值24 D .最大值为50 解析:C ,由1a n +1=1a n +1(n ∈N +),得1a n +1-1a n =1,∵b n =1 a n ,∴ b n +1-b n =1, 则数列{b n }是公差为1的等差数列,∵b 1+b 2+…+b 9=45,∴9b 1+9×8 2=45, 即b 1=1,则b n =1+(n -1)×1=n ,则b 4b 6=4×6=24. 26.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N +),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________. 解析:由a n =2n -10(n ∈N +)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n -10≥0,得n ≥5,∴当n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,∴|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+110=130. 27.设数列{a n }满足:a 1=1, a 2=3, 且2na n =(n -1)a n -1+(n +1)a n +1,则a 20的值是________. 解析:∵2na n =(n -1)a n -1+(n +1)a n +1,∴数列{na n }是以a 1=1为首项,2a 2-a 1=5为公差的等差数列,∴20a 20=1+5×19=96,解得a 20=9620=245 . 28.已知等差数列{a n }为递增数列,其前3项的和为-3,前3项的积为8. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,d >0, ∵等差数列{a n }的前3项的和为-3,前3项的积为8, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1+3d =-3,a 1(a 1+d )(a 1+2d )=8,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=2,d =-3或⎩ ⎪⎨⎪⎧ a 1=-4,d =3. ∵d >0,∴a 1=-4,d =3,∴a n =3n -7. (2)∵a n =3n -7,∴a 1=3-7=-4,∴S n =n (-4+3n -7)2=n (3n -11)2. 28.已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列. (1)求{a n }的通项公式;(2)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n -2. 解析:(1)设{a n }的公差为d .由题意,得a 211=a 1a 13, 即(a 1+10d )2=a 1(a 1+12d ).于是d (2a 1+25d )=0. 又a 1=25,所以d =0(舍去)或d =-2.故a n =-2n +27. (2)令S n =a 1+a 4+a 7+…+a 3n -2. 由(1)知a 3n -2=-6n +31,故{a 3n -2}是首项为25,公差为-6的等差数列. 从而S n =n 2(a 1+a 3n -2)=n 2 (-6n +56)=-3n 2+28n . 题型二 等差数列的性质及应用 类型一 等差数列项的性质的应用 1.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=37,则a 2+a 4+a 6+a 8=________. 解析:依题意,得a 2+a 4+a 6+a 8=(a 2+a 8)+(a 4+a 6)=2(a 3+a 7)=74. 2.在等差数列{a n }中,3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=24,则该数列前13项的和是________. 解析:26 3.若数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,且a 1=2a 3-3,则S 9=________. 解析:设等差数列{a n }的公差为d ,a 1=2a 3-3=2a 1+4d -3,∴a 5=a 1+4d =3,S 9=9a 5=27. 4.在等差数列{a n }中, a 1,a 2 019为方程x 2-10x +16=0的两根,则a 2+a 1 010+a 2 018=____ 解析:因为a 1,a 2 019为方程x 2-10x +16=0的两根,所以a 1+a 2 019=10.由等差数列的性质可知,a 1 010=a 1+a 2 019 2=5,a 2+a 2 018=a 1+a 2 019=10,所以a 2+a 1 010+a 2 018=10+5=15. 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 6=39,则a 3+a 4= 解析:由等差数列{a n }的性质及其S 6=39,可得6(a 1+a 6) 2=3(a 3+ a 4)=39,则a 3+ a 4=13. 6.数列{a n }满足2a n =a n -1+a n +1(n ≥2),且a 2+a 4+a 6=12,则a 3+a 4+a 5等于 解析:数列{a n }满足2a n =a n -1+a n +1(n ≥2),则数列{a n }是等差数列,利用等差数列的性质可知,a 3+a 4+a 5=a 2+a 4+a 6=12. 7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2+a 7+a 12=24,则S 13= 解析:由a 2+a 7+a 12=24得3a 7=24,即a 7=8,∴S 13=13(a 1+a 13) 2=13a 7=13×8=104. 8.等差数列{a n }中,a 3+a 7=6,则{a n }的前9项和等于 解析:法一:设等差数列的公差为d ,则a 3+a 7=a 1+2d +a 1+6d =2a 1+8d =6,所以a 1+4d =3.于是{a n }的前9项和S 9=9a 1+9×8 2 d =9(a 1+4d )=9×3=27. 法二:由等差数列的性质,得a 1+a 9=a 3+a 7=6,所以数列{a n }的前9项和S 9=9(a 1+a 9) 2 =9×6 2 =27. 9.数列{a n }满足2a n =a n -1+a n +1(n ≥2),且a 2+a 4+a 6=12,则a 3+a 4+a 5等于 解析:数列{a n }满足2a n =a n -1+a n +1(n ≥2),则数列{a n }是等差数列,利用等差数列的性质可知,a 3+a 4+a 5=a 2+a 4+a 6=12. 10.等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),且a 3+a 6+a 10+a 13=32,若a m =8,则m 的值为 解析:由a 3+a 6+a 10+a 13=32得4a 8=32,即a 8=8. 又d ≠0,所以等差数列{a n }是单调数列,由a m =8,知m =8. 11.设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和,若S 9=3a 8,则S 15 3a 5等于 解析:因为S 9=a 1+a 2+…+a 9=9a 5=3a 8,即3a 5=a 8.又S 15=a 1+a 2+…+a 15=15a 8, 所以S 153a 5=15a 8 a 8 =15. 12.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a m =10,S 2m -1=110,则m =________. 解析:S 2m -1=(2m -1)(a 1+a 2m -1)2=2(2m -1)a m 2=110,解得m =6. 类型二:等差数列前n 项和的性质 1.在项数为2n +1的等差数列{a n }中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n 等于( ) A .9 B .10 C .11 D .12 解析:选B ,∵等差数列有2n +1项,∴S 奇=(n +1)(a 1+a 2n +1)2,S 偶=n (a 2+a 2n ) 2 . 又a 1+a 2n +1=a 2+a 2n ,∴S 偶S 奇=n n +1=150165=10 11 ,∴n =10. 2.等差数列{a n }的前n 项和为S n 且S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,m ≥2,m ∈N *,则m = 解析:∵{a n }是等差数列,S m -1=-2,S m =0,∴a m =S m -S m -1=2. 又S m +1=3,∴a m +1=S m +1-S m =3,∴d =a m +1-a m =1. 又 S m =m (a 1+a m )2=m (a 1+2) 2=0,∴a 1=-2,∴a m =-2+(m -1)·1=2,∴m =5. 3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于 解析:由{a n }是等差数列,得S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列. 即2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6),得到S 9-S 6=2S 6-3S 3=45,即a 7+a 8+a 9=45. 4.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 014,S 2 0142 014-S 2 008 2 008 =6,则S 2 019=________. 解析:由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ S n n 也为等差数列. 设其公差为d ,则S 2 0142 014-S 2 008 2 008=6d =6,∴d =1. 故 S 2 0192 019=S 1 1 +2 018d =-2 014+2 018=4,∴S 2 019=8 076. 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=10,S 20=30,则S 30=________. 解析:由题意知,S 10,S 20-S 10,S 30-S 20成等差数列. 则2(S 20-S 10)=S 10+(S 30-S 20),即40=10+(S 30-30),解得S 30=60. 6.若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4=4,S 6=12,则S 2= 解析:根据等差数列的性质,可得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等差数列,即2(S 4-S 2)=S 2+S 6-S 4,因此S 2=0. 7.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 10=16,S 100-S 90=24,则S 100=________. 解析:依题意,S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,…,S 100-S 90依次成等差数列,设该等差数列的公差为d .又S 10=16,S 100-S 90=24,因此S 100-S 90=24=16+(10-1)d =16+9d ,解得d =8 9, 因此S 100=10S 10+10×92d =10×16+10×92×8 9 =200. 8.在等差数列{a n }中,a 1=-2 015,其前n 项和为S n ,若S 1212-S 10 10=2,则S 2 018= 解析:设等差数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ,则S n n =An +B ,所以⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ S n n 是等差数列.因 为S 1212-S 1010=2,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为1,又S 11=a 11=-2 015,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫ S n n 是以-2 015为首项,1为公差的等差数列,所以S 2 0182 018=-2 015+2 017×1=2,所以S 2 018=4 036. 9.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若S n T n =3n -22n +1,则a 7 b 7=________. 解析:a 7b 7=2a 72b 7=a 1+a 13b 1+b 13=13 2(a 1+a 13) 132(b 1+b 13 )=S 13T 13=3×13-22×13+1=3727 . 10.设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ,若对任意自然数n 都有S n T n =2n -3 4n -3,则 a 9 b 5+b 7+a 3 b 8+b 4 的值为________. 解析:∵{a n },{b n }为等差数列,∴a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4 =a 92b 6+a 32b 6=a 9+a 32b 6=a 6 b 6. ∵S 11T 11=a 1+a 11b 1+b 11=2a 62b 6=2×11-34×11-3=1941,∴a 6b 6=19 41. 类型三:等差数列前n 项和的最值 求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法 (1)二次函数法:利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2+bn ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解. (2)通项变号法 ①a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ; ②当a 1<0,d >0时,满足⎩ ⎪⎨⎪⎧ a m ≤0, a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m . 1.已知等差数列{a n }中,a 1=11,a 5=-1,则{a n }的前n 项和S n 的最大值是 解析:设数列{a n }的公差为d ,则d =a 5-a 1 5-1 =-3,所以a n =a 1+(n -1)d =-3n +14, 由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0,a n +1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 14-3n ≥0,11-3n ≤0, 解得113≤n ≤143 ,即n =4,所以{a n }的前4项和最大, 且S 4=4×11+4×32 ×(-3)=26. 2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=13,S 3=S 11,当S n 最大时,n 的值是 解析:法一:由S 3=S 11,得a 4+a 5+…+a 11=0,根据等差数列的性质,可得a 7+a 8=0.根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a 7>0,a 8<0,故n =7时,S n 最大. 法二:由S 3=S 11,可得3a 1+3d =11a 1+55d ,把a 1=13代入,得d =-2, 故S n =13n -n (n -1)=-n 2+14n .根据二次函数的性质,知当n =7时S n 最大. 法三:根据a 1=13,S 3=S 11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数,以及二次函数图像的对称 性,可得只有当n =3+112 =7时,S n 取得最大值. 4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5+a 7=4,a 6+a 8=-2,则当S n 取最大值时,n 的值是________. 解析:依题意得2a 6=4,2a 7=-2,a 6=2>0,a 7=-1<0.又数列{a n }是等差数列,所以在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当S n 取最大值时,n =6. 5.等差数列{a n }中,已知a 5>0,a 4+a 7<0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A .S 7 B .S 6 C .S 5 D .S 4 解析:C ,∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 5>0,a 6<0, ∴S n 的最大值为S 5. 6.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并求S n 的最小值. 解析:(1)设{a n }的公差为d ,由题意得3a 1+3d =-15. 又a 1=-7,所以d =2.所以{a n }的通项公式为a n =2n -9. (2)法一:(二次函数法) 由(1)得S n =n (a 1+a n )2 =n 2-8n =(n -4)2-16, 所以当n =4时,S n 取得最小值,最小值为-16. 法二:(通项变号法) 由(1)知a n =2n -9,则S n =n (a 1+a n )2=n 2-8n .由S n 最小⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0,a n +1≥0, 即⎩ ⎪⎨⎪⎧ 2n -9≤0,2n -7≥0,∴72≤n ≤92,又n ∈N *,∴n =4,此时S n 的最小值为S 4=-16. 7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *,满足a 1+a 2=10,S 5=40. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =|13-a n |,求数列{b n }的前n 项和T n . 解析:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意知,a 1+a 2=2a 1+d =10, S 5=5a 3=40,即a 3=8,所以a 1+2d =8, 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=4,d =2, 所以a n =4+(n -1)·2=2n +2. (2)令c n =13-a n =11-2n ,b n =|c n |=|11-2n |=⎩⎪⎨⎪⎧ 11-2n ,n ≤5, 2n -11,n ≥6, 设数列{c n }的前n 项和为Q n ,则Q n =-n 2+10n . 当n ≤5时,T n =b 1+b 2+…+b n =Q n =-n 2+10n . 当n ≥6时,T n =b 1+b 2+…+b n =c 1+c 2+…+c 5-(c 6+c 7+…+c n )=-Q n +2Q 5 =n 2-10n +2(-52+10×5)=n 2-10n +50. 8.已知等差数列{a n }的前三项和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式; (2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解析:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则a 2=a 1+d ,a 3=a 1+2d . 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1+3d =-3,a 1(a 1+d )(a 1+2d )=8,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=2,d =-3或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=-4,d =3. 所以由等差数列通项公式可得,a n =2-3(n -1)=-3n +5或a n =-4+3(n -1)=3n -7. 故a n =-3n +5或a n =3n -7. (2)当a n =-3n +5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n -7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|a n |=|3n -7|=⎩ ⎪⎨⎪⎧ -3n +7,n =1,2,3n -7,n ≥3.记数列{3n -7}的前n 项和为S n , 则S n =n [(-4)+(3n -7)]2=32n 2-112 n . 当n ≤2时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=-(a 1+a 2+…+a n )=-32n 2+112 n , 当n ≥3时,T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=-(a 1+a 2)+(a 3+a 4+…+a n ) =S n -2S 2=32n 2-112n +10,综上知:T n =⎩⎨⎧ -32n 2+112n ,n ≤2,32n 2-112n +10,n ≥3. 题型三 等差数列的判定与证明 等差数列的判定与证明方法与技巧 1.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =-2n +1,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为 解析:∵a n =-2n +1,∴数列{a n }是以-1为首项,-2为公差的等差数列, ∴S n =n [-1+(-2n +1)]2=-n 2,∴S n n =-n 2n =-n ,∴数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫S n n 是以-1为首项,-1为公差的等差数列,∴数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫S n n 的前11项和为11×(-1)+11×102×(-1)=-66. 2.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 2=2,S 3=-6. (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ; (2)是否存在正整数n ,使S n ,S n +2+2n ,S n +3成等差数列?若存在,求出n ;若不存在, 请说明理由. 解析:(1)设数列{a n }的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+d =2,3a 1+3×22d =-6,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=4,d =-6, ∴a n =4-6(n -1)=10-6n ,S n =na 1+n (n -1)2 d =7n -3n 2. (2)由(1)知S n +S n +3=7n -3n 2+7(n +3)-3(n +3)2=-6n 2-4n -6, 2(S n +2+2n )=2(-3n 2-5n +2+2n )=-6n 2-6n +4, 若存在正整数n 使得S n ,S n +2+2n ,S n +3成等差数列, 则-6n 2-4n -6=-6n 2-6n +4,解得n =5, ∴存在n =5,使S n ,S n +2+2n ,S n +3成等差数列. 3.已知数列{a n }是等差数列,且a 1,a 2(a 1 (1)求数列{a n }的前n 项和S n ; (2)在(1)中,设b n =S n n +c