高考数学(文)专题提分训练：等差数列(含答案解析)[ 高考]

等差数列

高考试题

考点一 等差数列的概念与性质

1.(2013年辽宁卷,文4)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题:

p 1:数列{a n }是递增数列; p 2:数列{na n }是递增数列;

p 3:数列n a n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是递增数列;

p 4:数列{a n +3nd}是递增数列. 其中的真命题为( )

(A)p 1,p 2 (B)p 3,p 4 (C)p 2,p 3 (D)p 1,p 4

解析:因为d>0,所以数列{a n }是递增数列,p 1为真命题;若等差数列为-10,-9,-8,…,则1×a 1>2a 2,所以p 2为假命题;若等差数列为

1,32,2,…,则11a =1, 22a =3

22=3

4

,所以p 3为假命题;又因为a n+1+3(n+1)d-(a n +3nd)=a n +d+3nd+3d-a n -3nd=4d>0,所以p 4为真命题,故选D. 答案:D

2.(2012年辽宁卷,文4)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10等于( )

(A)12 (B)16 (C)20 (D)24

解析:由等差数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *), 则a m +a n =a p +a q , 得a 4+a 8=a 2+a 10=16. 故选B. 答案:B

3.(2010年大纲全国卷Ⅱ,文6)如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )

(A)14 (B)21 (C)28 (D)35

解析:∵a3+a4+a5=12,

∴a4=4,

a1+a2+…+a7=1

2

×7×(a1+a7)

=7a4

=28.

故选C.

答案:C

4.(2011年重庆卷,文1)在等差数列{a n}中,a2=2,a3=4,则a10等于( )

(A)12 (B)14 (C)16 (D)18

解析:在等差数列{a n}中,公差d=a3-a2=4-2=2,

则a10=a2+8d=2+16=18.故选D.

答案:D

5.(2010年重庆卷,文2)在等差数列{a n}中,a1+a9=10,则a5的值为( )

(A)5 (B)6 (C)8 (D)10

解析:在等差数列{a n}中,由性质可直接得a1+a9=2a5,所以a5=5,故选A. 答案:A

6.(2009年辽宁卷,文3){a n}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d 等于( )

(A)-2 (B)-1

2(C)1

2

(D)2

解析:a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1,

∴d=-1

2

.

故选B.

答案:B

7.(2013年重庆卷,文12)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= .

解析:设等差数列的公差为d,则9=2+4d,d=7

4

.

故c-a=2d=7

2

.

答案:7

2

8.(2012年北京卷,文10)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,若a 1=1

2

,S 2=a 3,则a 2= ,S n = . 解析:设等差数列{a n }的公差为d, ∵S 2=a 3,∴2a 1+d=a 1+2d,∴a 1=d. 又∵a 1=12,∴d=12

, ∴a 2=a 1+d=1,S n =na 1+()12n n d -=14n 2+1

4

n. 答案:1

14n 2+14

n 9.(2011年天津卷,文11)已知{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,n ∈N *.若a 3=16,S 20=20,则S 10的值为 . 解析:设等差数列首项为a 1,公差为d,

由题意可得11216,

1

20201920,2

a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=⎪⎩ 解得120,

2,a d =⎧⎨=-⎩

∴S 10=10a 1+12

×10×9d =10×20+12

×10×9×(-2) =110.

答案:110

10.(2011年辽宁卷,文15)S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 2=S 6,a 4=1,则a 5= .

解析:由S 2=S 6得a 3+a 4+a 5+a 6=0, 由等差数列性质a 3+a 6=a 4+a 5, ∴2(a 4+a 5)=0, ∴1+a 5=0, ∴a 5=-1. 答案:-1

11.(2010年辽宁卷,文14)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9= .

解析:设等差数列公差为d,则 S 3=3a 1+

32

2

⨯d=3a 1+3d=3, 即a 1+d=1,① S 6=6a 1+

65

2

⨯d=6a 1+15d=24, 即2a 1+5d=8,②

联立①②两式得a 1=-1,d=2, 故a 9=a 1+8d=-1+8×2=15. 答案:15

12.(2009年山东卷,文13)在等差数列{a n }中,a 3=7,a 5=a 2+6,则a 6= .

解析:设等差数列的公差为d,首项为a 1,

则3152

2,3,a a d a a d =+⎧⎨-=⎩

解得12,

3,

d a =⎧⎨

=⎩ 所以a 6=a 1+5d=13.

答案:13

13.(2012年湖北卷,文20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8.

(1)求等差数列{a n }的通项公式;

(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d,

由题意得()()111

1333,

28,a d a a d a d +=-⎧⎪⎨++=⎪⎩

解得12,3,a d =⎧⎨

=-⎩或14,3,

a d =-⎧⎨=⎩

所以由等差数列通项公式可得

a n =2-3(n-1)=-3n+5, 或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.

(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.

故|a n |=|3n-7|=37,1,2,

37, 3.

n n n n -+=⎧⎨

-≥⎩

记数列{|a n |}的前n 项和为S n .

当n=1时,S 1=|a 1|=4;当n=2时,S 2=|a 1|+|a 2|=5; 当n ≥3时,

S n =S 2+|a 3|+|a 4|+…+|a n |

=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7) =5+

()()22372

n n -+-⎡⎤⎣⎦

=32

n 2-

11

2

n+10. 当n=2时,满足此式.

综上,S n =24,1,31110, 1.22

n n n n =⎧⎪

⎨-+>⎪⎩

14.(2010年山东卷,文18)已知等差数列{a n }满足:a 3=7,a 5+a 7=26,{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ; (2)令b n =

2

11

n a - (n ∈N *

),求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, 由于a 3=7,a 5+a 7=26,

所以a 1+2d=7,2a 1+10d=26, 解得a 1=3,d=2.

所以a n =a 1+(n-1)d=2n+1,

S n =na 1+()12

n n -d=n 2+2n.

(2)因为a n =2n+1,

所以2n a -1=(a n -1)(a n +1)=4n(n+1),

因此b n =

()141n n +=14(1n -1

1

n +).

故T n =b 1+b 2+…+b n

=14[(1-12)+(12-1

3)+…+(1n -

1

1

n +)] =14(1-11

n +)

=

()

41n

n +. 所以数列{b n }的前n 项和T n =

()

41n

n +. 考点二 等差数列的通项和前n 项和公式

1.(2013年安徽卷,文7)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 8=4a 3,a 7=-2,则a 9等于( ) (A)-6 (B)-4 (C)-2 (D)2

解析:由S 8=4a 3得()

1882

a a +=4a 3,

即a 1+a 8=a 2+a 7=a 3,

所以公差d=a 3-a 2=a 7=-2,

a 9=a 7+2d=-2+(-4)=-6.故选A. 答案:A

2.(2013年陕西卷,文17)设S n 表示数列{a n }的前n 项和. (1)若{a n }为等差数列,推导S n 的计算公式;

(2)若a 1=1,q ≠0,且对所有正整数n,有S n =11n

q q

--.判断{a n }是否为等比

数列,并证明你的结论. 解:(1)设{a n }的公差为d, 则S n =a 1+a 2+…+a n

=a 1+(a 1+d)+…+[a 1+(n-1)d],

又S n =a n +(a n -d)+…+[a n -(n-1)d], ∴2S n =n(a 1+a n ),

∴S n =

()

12

n n a a +. (2)当n=1时,S 1=1.

当n=2时,S 2=2

11q q

--=1+q,a 1+a 2=1+q,a 2=q.

当n=3时,S 3=3

11q q

--=1+q+q 2,a 1+a 2+a 3=1+q+q 2,a 3=q 2;

初步断定数列{a n }为等比数列. 证明如下:

∵S n =11n

q q

--,

∴a n+1=S n+1-S n =111n q q +---11n

q q

--

=()11n q q q

--=q n

. ∵a 1=1,q ≠0,

∴当n ≥1时,有1n n

a a +=1n

n q q -=q,

因此,{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列.

3.(2010年新课标全国卷,文17)设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9.

(1)求{a n }的通项公式;

(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值. 解:(1)由a n =a 1+(n-1)d 及a 3=5,a 10=-9得

11

25,

99,a d a d +=⎧⎨

+=-⎩ 可解得19,

2,

a d =⎧⎨

=-⎩

所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n(n ∈N *).

(2)法一 由(1)知,S n =na 1+()

12

n n -d=10n-n 2. 因为S n =-(n-5)2+25,

所以当n=5时,S n 取得最大值. 法二 由(1)知S n =na 1+

()

12

n n -d=10n-n 2, a n =11-2n 令a n =0得n=5.5, a 5=1,a 6=-1,

所以数列{a n }前5项都为正数,从第6项起都是负数, 因此S n 的最大值是S 5,S 5=

()1552a a +=()

5912

⨯+=25. 故当n=5时,S n 取得最大值.

4.(2010年浙江卷,文19)设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差

数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0. (1)若S 5=5,求S 6及a 1; (2)求d 的取值范围. 解:(1)由题意知S 6=5

15

S -=-3, a 6=S 6-S 5=-8,

所以11

5105,58,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得a 1=7,d=-3.

所以S 6=-3,a 1=7. (2)因为S 5S 6+15=0,

所以(5a 1+10d)(6a 1+15d)+15=0, 即221a +9da 1+10d 2+1=0. 故(4a 1+9d)2=d 2-8, 所以d 2≥8,

故d 的取值范围为d ≤

或d ≥

考点三 等差数列的综合应用

1.(2012年四川卷,文12)设函数f(x)=(x-3)3+x-1,{a n }是公差不为0的等差数列,f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 7)=14,则a 1+a 2+…+a 7等于( ) (A)0 (B)7 (C)14 (D)21

解析:∵{a n }是公差不为0的等差数列, 且f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 7)=14, ∴[(a 1-3)3

+a 1-1]+[(a 2-3)3+a 2-1]+…+[(a 7-3)3+a 7-1]=14, ∴(a 1+a 2+a 3+…+a 7)-7=14, ∴a 1+a 2+a 3+…+a 7=21.故选D. 答案:D

2.(2011年湖北卷,文9)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) (A)1升 (B)

6766升 (C)4744升 (D)3733

升 解析:设自上而下各节容积成等差数列的公差为d,首节容积为a 1,

则由已知得()()()()()()1111111233,

6784,

a a d a d a d a d a d a d ++++++=⎧⎪⎨+++++=⎪⎩

解得113,22

7.66a d ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∴第5节容积为a 1+4d=67

66

(升).故选B. 答案:B

3.(2011年陕西卷,文10)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自

树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )

(A)①和 (B)⑨和⑩(C)⑨和 (D)⑩和

解析:设树苗放置在第n个坑,则各位同学从各自树坑前来领树苗所走的总路程为s=20[1+2+3+…+(n-1)]+20[1+2+3+…

+(20-n)]=20[()1

2

n n

-

+

()()

2021

2

n n

--

]=20×2

2422021

2

n n

-+⨯=20(n2-21

n+210),对称轴为n=10.5,又n∈N*,∴n=10或11.故选D.

答案:D

模拟试题

考点一等差数列的概念与基本运算

1.(2013山师大附中模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a2、a4是方程x2-x-2=0的两个根,S5等于( )

(A)5

2(B)5 (C)-5

2

(D)-5

解析:因为a2、a4是方程x2-x-2=0的两个根, 所以a2+a4=1.

又S5=

()

15

5

2

a a

+

=

()

24

5

2

a a

+

=5

2

.故选A.

答案:A

2.(2013贵州六校联盟联考)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a5=8,S3=6,则a9等于( )

(A)8 (B)12 (C)16 (D)24

解析:在等差数列中,

a 5=a 1+4d=8, S 3=3a 1+

32

2

⨯d=3a 1+3d=6, 即a 1+d=2,解得a 1=0,d=2. 所以a 9=a 1+8d=8×2=16.故选C. 答案:C

3.(2013北京市东城区期末)已知{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,若a 3=6,S 3=12,则公差d 等于( ) (A)1 (B)53

(C)2 (D)3 解析:因为a 3=6,S 3=12, 所以S 3=12=

()1332a a +=()

1362

a +, 解得a 1=2,所以a 3=6=a 1+2d=2+2d,解得d=2.

答案:C

4.(2013云南师大附中检测)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,当整数n>1时,S n+1+S n-1=2(S n +S 1)都成立,则S 15= . 解析:由S n+1+S n-1=2(S n +S 1) 得(S n+1-S n )-(S n -S n-1)=2S 1=2, 即a n+1-a n =2(n ≥2),

数列{a n }从第二项起构成公差为2的等差数列, S 15=1+2+4+6+8+…+28=211. 答案:211

5.(2013云南昆明一中检测)已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 10=S 4,则8

9

S a 等于 . 解析:由a 10=S 4, 得a 1+9d=4a 1+43

2

⨯d=4a 1+6d, 即a 1=d ≠0. 所以S 8=8a 1+

87

2

⨯d=8a 1+28d=36d,

所以

89S a =1368d a d +=369d d

=4. 答案:4

6.(2012莱芜检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1

2

,S n =n 2a n -n(n-1),n=1,2,… (1)求证数列1n n S n +⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是等差数列,并求S n ; (2)设b n =

323n S n n +,求证b 1+b 2+…+b n

<5

12

. 解:(1)由S n =n 2a n -n(n-1)知 当n ≥2时,S n =n 2(S n -S n-1)-n(n-1), 即(n 2-1)S n -n 2S n-1=n(n-1),

∴

1n n +S n -1n n -S n-1=1,对n ≥2成立.

又111

+S 1=1,

∴1n n S n +⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

是首项为1,公差为1的等差数列. 1

n n

+S n =1+(n-1)·1, ∴S n =2

1

n n +.

(2)b n =

32

3n S n n +=()()113n n ++=12(11n +-1

3

n +), b 1+b 2+…+b n =12(12-14+13-15

+…

+1n -12n ++11n +-13n +)=12(56-12n +-13n +)<512

.

考点二 等差数列的最值问题

1.(2013北大附中河南分校调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 15>0,S 16<0,则

11S a ,2

2S a ,…,1515

S a 中最大的项为( )

(A)

66S a (B)77S a (C)99S a (D)88

S a 解析:由S 15=()

115152

a a +=15a 8>0, 得a 8>0. 由S 16=

()116152

a a +=()

98152a a +<0,

得a 9+a 8<0,

所以a 9<0,且d<0.

所以数列{a n }为递减的数列.

所以a 1,…,a 8为正,a 9,…,a n 为负, 且S 1,…,S 15>0,S 16,…,S n <0, 则

1515S a <0,…, 1010S a <0, 99S a <0, 88S a >0,…, 11

S

a >0, 又S 8>S 1,a 1>a 8, 所以

88S a >1

1

S a >0, 所以最大的项为8

8

S a . 答案:D

2.(2012青岛高三期末检测)在等差数列{a n }中,已知a 1=-6,a n =0,公差d ∈N *

,则n(n ≥3)的最大值为( ) (A)7 (B)6 (C)5 (D)8 解析:a n =a 1+(n-1)d=0, ∴d=

6

1

n -, 又d ∈N *,∴n(n ≥3)的最大值为7.

答案:A

3.(2012安徽质检)在等差数列{a n }中,a 1=13,S 3=S 11,试求S n 的最大值. 解:法一 等差数列的前n 项和可以看做是关于n 的二次函数.

∵S 3=S 11,

311

2

+=7, ∴n=7时,S n 最大.

又由S 3=S 11得a 4+a 5+…+a 11=0, ∴4(a 7+a 8)=0,又a 1=13, 从而可知d=-2,

∴S 7=49,即S n 的最大值为49. 法二 由已知得d=-2. 设等差数列的前n 项和最大,

可知1

0,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩

∴

132≤n ≤152

, 由n ∈N *可知n=7时,S n 最大. S 7=7a 1+

76

2

⨯×d=49,故S n 的最大值是49. 考点三 等差数列与其他知识的综合应用

1.(2011泉州模拟)“点P n (n,a n )(n ∈N *)都在直线y=x+1上”是“数列{a n }为等差数列”的( )

(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

解析:若a n =n+1,则{a n }为等差数列,反之显然不成立,故选A. 答案:A

2.(2011广东梅县模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若

OB =a 1OA +a 200OC ,且A 、B 、C 三点共线(该直线不经过点O),则S 200等

于( )

(A)100 (B)101 (C)200 (D)201

解析:∵OB =a 1OA +a 200OC ,且A 、B 、C 三点共线, ∴a 1+a 200=1. ∴S 200=

()

12002002

a a +=100.

答案:A

3.(2012安徽江南十校联考)已知函数f(x)=cos x,x∈(0,2π)有两个不同的零点x1、x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3、x4,若把这四个数从小到大排列构成等差数列,则实数m等于( )

(A)1

2(B)-1

2

(C)

2

(

D)-

2

解析:简图如图所示,若m>0,则公差d=3π

2-π

2

=π,显然不成立

,

所以m<0.

则公差d=

3ππ

22

3

-

=π

3

.

所以m=cos(π

2

+π

3

)=-

2

.

答案:D

4.(2012安徽皖南八校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n 项和为S n(n∈N*),a1=3,S3=39.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)若在a n与a n+1之间插入n个数,使得这n+2个数组成一个公差为d n 的等差数列,求1

n

d

⎧⎫

⎨⎬

⎩⎭

的前n项和T n.

解:(1)设等比数列{a n}的公比为q(q>0),

∵a1=3,S3=39,

∴q≠1,

∴

()3311q q

--=39,

∴1+q+q 2=13,q 2+q-12=0, ∴q=3,q=-4(舍去). 故a n =3n

.

(2)∵a n =3n ,则a n+1=3n+1,由题意知

a n+1=a n +(n+1)d n ,则d n =231

n

n ⋅+.

则

1n d =123n

n +⋅, 所以T n =

11d +21d +…+1n d =223⨯+2323⨯+…+123

n n +⨯① 13T n =2323⨯+3323⨯+…+11

23

n n ++⨯② ①-②得23T n =13+12(213+313+…+13n )-1

1

23

n n ++⨯ =13+12×

1

11193113

n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦--1

123n n ++⨯ =

512-1

2243

n n ++⨯, 所以T n =58-5283n

n

+⨯.

综合检测

1.(2012福建师大附中模拟)已知等差数列{a n }的前13项之和为39,则a 6+a 7+a 8等于( ) (A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:∵S 13=13a 7=39, ∴a 7=3,

又a 6+a 7+a 8=3a 7=9,故选B. 答案:B

2.(2013北京海淀区期末)数列{a n }满足a 1=1,a n+1=r ·a n +r(n ∈N *,r ∈R 且r ≠0),则“r=1”是“数列{a n }成等差数列”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:若r=1,则a n+1=a n +1, 即a n+1-a n =1,

所以数列{a n }成等差数列.

若数列{a n }成等差数列,设公差为d,

则a n+1-a n =r ·a n +r-(r ·a n-1+r)=r(a n -a n-1), 即d=dr,若d ≠0,则r=1, 若d=0,则a n+1=a n =a 1=1, 即1=r+r=2r, 此时r=12

.

所以r=1是数列{a n }成等差数列的充分不必要条件.

答案:A

3.(2012滨州模拟)已知由正项组成的等差数列{a n }的前20项的和是100,那么a 6·a 15的最大值是( ) (A)25 (B)50 (C)100 (D)不存在

解析:由已知得()

120202

a a +=100,

∴a 1+a 20=10. 已知a n >0, 则a 6·a 15≤(6152a a +)2=1202a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭2=102⎛⎫ ⎪⎝⎭

2

=25. 答案:A

4.(2012东莞一模)设{lg a n }是等差数列,公差d=lg 3,且{lg a n }的前三项和为6lg 3,则{a n }的通项为 . 解析:由已知得lg a 1+lg a 1+lg 3+lg a 1+2lg 3=6lg 3. ∴lg 31a =3lg 3, 31a =33, ∴a 1=3,

故{lg a n }是首项为lg 3,公差为lg 3的等差数列, ∴lg a n =lg 3+(n-1)lg 3=nlg 3, ∴a n =3n

. 答案:a n =3n

5.(2012徐州检测)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和,且S 9=18,S n =240,若a n-4=30(n>9),则n= . 解析:设{a n }的首项为a 1,公差为d,

由已知得()()1

1

198918,2

1240,2530,a d n n na d a n d ⨯⎧+=⎪⎪

-⎪+=⎨⎪

⎪+-=⎪⎩ 即 ()11142, 1240,2530,a d n a d n a n d +=⎧⎪

-⎪

+=⎨⎪⎪+-=⎩①②③

③-①得(n-9)d=28, 由③-②得

()92

n d -=30-240n

,则n=15.

答案:15

6.(2012琼海一模)已知各项都不相等的等差数列{a n }的前6项和为60,且a 6为a 1和a 21的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)若数列{b n }满足b n+1-b n =a n (n ∈N *),且b 1=3,求数列1n b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和T n .

解:(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0),

则()()1211161560,205,

a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得12,

5,

d a =⎧⎨

=⎩ ∴a n =2n+3. (2)由b n+1-b n =a n 知

b n -b n-1=a n-1(n ≥2,n ∈N *),

b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1 =a n-1+a n-2+…+a 1+b 1 =(n-1)(n-1+4)+3 =n(n+2).

∴b n =n(n+2)(n ∈N *). ∴

1n b =()12n n +=12(1n -12

n +), ∴T n =12(1-13+12-14+…+1n -

1

2

n +) =12(32-11n +-12

n +)

=()()

235412n n n n +++.

高考数学(文)专题提分训练：等差数列(含答案解析)[ 高考]

等差数列 高考试题 考点一 等差数列的概念与性质 1.(2013年辽宁卷,文4)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题: p 1:数列{a n }是递增数列; p 2:数列{na n }是递增数列; p 3:数列n a n ⎧⎫ ⎨⎬⎩⎭ 是递增数列; p 4:数列{a n +3nd}是递增数列. 其中的真命题为( ) (A)p 1,p 2 (B)p 3,p 4 (C)p 2,p 3 (D)p 1,p 4 解析:因为d>0,所以数列{a n }是递增数列,p 1为真命题;若等差数列为-10,-9,-8,…,则1×a 1>2a 2,所以p 2为假命题;若等差数列为 1,32,2,…,则11a =1, 22a =3 22=3 4 ,所以p 3为假命题;又因为a n+1+3(n+1)d-(a n +3nd)=a n +d+3nd+3d-a n -3nd=4d>0,所以p 4为真命题,故选D. 答案:D 2.(2012年辽宁卷,文4)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10等于( ) (A)12 (B)16 (C)20 (D)24 解析:由等差数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *), 则a m +a n =a p +a q , 得a 4+a 8=a 2+a 10=16. 故选B. 答案:B

3.(2010年大纲全国卷Ⅱ,文6)如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( ) (A)14 (B)21 (C)28 (D)35 解析:∵a3+a4+a5=12, ∴a4=4, a1+a2+…+a7=1 2 ×7×(a1+a7) =7a4 =28. 故选C. 答案:C 4.(2011年重庆卷,文1)在等差数列{a n}中,a2=2,a3=4,则a10等于( ) (A)12 (B)14 (C)16 (D)18 解析:在等差数列{a n}中,公差d=a3-a2=4-2=2, 则a10=a2+8d=2+16=18.故选D. 答案:D 5.(2010年重庆卷,文2)在等差数列{a n}中,a1+a9=10,则a5的值为( ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)10 解析:在等差数列{a n}中,由性质可直接得a1+a9=2a5,所以a5=5,故选A. 答案:A 6.(2009年辽宁卷,文3){a n}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d 等于( ) (A)-2 (B)-1 2(C)1 2 (D)2 解析:a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1, ∴d=-1 2 . 故选B. 答案:B 7.(2013年重庆卷,文12)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= . 解析:设等差数列的公差为d,则9=2+4d,d=7 4 . 故c-a=2d=7 2 . 答案:7 2

高考数学等差数列专题复习(专题训练)百度文库

一、等差数列选择题 1．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸 D ．二丈二尺五寸 2．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则 1223910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 919 5．已知数列{}n a 的前n 项和2 21n S n n =+-，则13525a a a a +++ +=（ ） A ．350 B ．351 C ．674 D ．675 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 7．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29 B ．38 C ．40 D ．58 8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11 B ．12 C ．23 D ．24 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139

2022年高考数学(文)一轮复习文档：第五章 数列 第2讲等差数列及其前n项和 Word版含答案

第2讲 等差数列及其前n 项和 , ) 1．等差数列的有关概念 (1)定义 假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N * ，d 为常数)． (2)等差中项 数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2 ，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2 d ＝（a 1＋a n ）n 2 ． 3．等差数列的性质 已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N * )，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 1．辨明两个易误点 (1)要留意概念中的“从第2项起”．假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． (2)留意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区分． 2．妙设等差数列中的项 若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ； 若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 3．等差数列的四种推断方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N * )⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2 ＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 1.教材习题改编 等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项 D ．第22项 C a 1＝11，d ＝8－11＝－3， 所以a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. 由－3n ＋14＝－49，得n ＝21.故选C. 2.教材习题改编 已知p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2均为常数)，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 C 若{a n }是等差数列，不妨设公差为d . 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ， 令k 1＝d ，k 2＝a 1－d ，则a n ＝k 1n ＋k 2， 若数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2为常数，n ∈N * )， 则当n ≥2且n ∈N * 时，a n －1＝k 1(n －1)＋k 2， 所以a n －a n －1＝k 1(常数)(n ≥2且n ∈N * )， 所以{a n }为等差数列， 所以p 是q 的充要条件． 3.教材习题改编 等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63 D ．27 B 法一：由于S 9＝9（a 1＋a 9） 2＝9a 5＝9×6＝54.故选B. 法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6， 所以S 9＝9a 1＋9×8 2 d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B. 4．(2021·金丽衢十二校联考)已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为________．

专题5.2等差数列及其前n项和_2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍Word版含解析

第五篇 数列及其应用 专题5.02 等差数列及其前n 项和 【考试要求】 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.体会等差数列与一次函数的关系. 【知识梳理】 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数). (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2 . 2.等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋ n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2 . 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *). (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. (5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 【微点提醒】 1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p . 2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值. 3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列. 4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn(A ，B 为常数).

2020年高考数学(文)一轮复习专题6.2 等差数列及其前n项和(练)(解析版)

专题6.2 等差数列及其前n 项和 1．（江西师范大学附属中学2019届高三三模）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和， 5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．2 B ．7 C ．14 D ．28 【答案】C 【解析】 5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a = ()177477142 a a S a +∴= ==，本题选C 。 2．（安徽省1号卷A10联盟2019届模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则3111 9a a a ++=（ ） A ．12 B ．9 C ．6 D ．3 【答案】B 【解析】由等差数列性质可知：21112163S a ==，解得：113a = 311191139a a a a ∴++== 本题选B 。 3．（贵州省贵阳市2019届高三模拟）已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（ ） A ．6 B ．6- C ．2- D ．4 【答案】A 【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8， ∴a 5+a 6=2， ∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5＜a 6， ∴a 5=-2，a 6=4， ∴d=a 6-a 5=6， 故选A 。 4．（河北衡水中学2019届高三调研）已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则

5a =（ ） A ．2 B ．2或32 C ．2或-32 D ．-1 【答案】B 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q （q 0≠）， 1324,,2a a a 成等差数列， 321224a a a ∴=+，10a ≠， 220q q ∴--=，解得：q=2q=-1或， 451a =a q ∴，5a =232或， 故选B. 5．（浙江省金华十校2019届高三模拟）等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠， 由111a b ==，53a b =，可得2 14d q +=， 则22 91812(1)211a d q q =+=+-=->-， 可得9a 能取到的最小整数是0，故选B 。 6．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三模拟）已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、 4a 成等比数列，则 114 3 a a a +=（ ） A ．7 B ．5 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】设等差数列{}n a 公差为d 1a 、2a 、4a 成等比数列 2 214 a a a ∴=

2020版高考数学(文)新精准大一轮课标通用版检测：第六章 第2讲 等差数列及其前n项和 含解析

[基础题组练] 1．(2019·开封市高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×3 2×d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪ ⎧a 1＝1，d ＝2，故选B. 法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 4＝4(a 1＋a 4) 2＝2(a 1＋a 5－d )＝2(10－d )＝16，所以d ＝2， 故选B. 2．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．24 解析：选C.3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－2 3 n .因为a k ·a k ＋1<0，所以 ⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，所以452

2021届高考数学(文)二轮考前复习学案：第一篇专题8等差数列与等比数列含解析

专题8 等差数列与等比数列 1.等差数列必记结论 (1)若项数为偶数 2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1); S 偶-S 奇=nd; =. (2)若项数为奇数 2n-1,则 S 2n-1=(2n-1)a n ; S 奇-S 偶=a n ; = . 2.等比数列必记结论 (1)a k ,a k+m ,a k+2m ,…仍是等比数列,公 比 为 q m (k,m∈N *). 考向一 等差数列基本 量的计算 【典例】 (2020·全国Ⅱ 卷)记S n 为等差数列 的前n 项和.若a 1=-2,a 2+a 6=2①, 则=________. ① 根据基本量列方程 ② 前n 项和公式求解 考向二 等比数列基本 量的计算 【典例】(2020·全国Ⅰ 卷)设{a n }是等比数列,且 a 1+a 2+a 3=1,a 2+a 3+a 4=2,则a 6+a 7+a 8=( ) A.12 B.24 C.30 D.32 1.在公比为的等比数列 中,若 sin =,则cos 的值是

A.- B. C. D. 2.数列{a n}中,a1=2,a2=1,则+=(n∈N*),则a10等于( ) A.-5 B.- C.5 D. 3.若数列{x n}满足lg x n+1=1+lg x n(n∈N+),且x1+x2+x3+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值为 A.102 B.101 C.100 D.99 4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则说法不正确的是 ( ) A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B.春分和秋分两个节气的晷长相同(2)若数列{a n}的项数为2n,则=q; (3)若项数为2n+1,则=q. 1.数列中的方程思想 无论是等差数列中的a1,n,d,a n,S n,还是等比数列中的a1,n,q,a n,S n,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和d(q),问题可迎刃而解 2.数列中的函数思想 数列是一种特殊

高考数学二轮复习第一部分微专题强化练习题：等差数列与等比数列含解析

第一部分 一 9 一、选择题 1．(文)(2014·东北三省三校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6 ＝12，则S 7的值是( ) A ．21 B ．24 C ．28 D ．7 [答案] C [解析] ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴2a 4＝a 1＋a 7＝8，∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×82＝28. [方法点拨] 1.熟记等差、等比数列的求和公式． 2．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系用累加法可求出通项； 3．形如a n ＋1＝a n f (n )的递推关系可考虑用累乘法求通项a n ； 4．形如a n ＋1＝ka n ＋b (k 、b 为常数)可通过变形，设b n ＝a n ＋b k －1构造等比数列求通项a n . (理)在等比数列{a n }中，a 1＝a ，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}成等差数列，则S n 等于( ) A ．a n ＋ 1－a B ．n (a ＋1) C ．na D ．(a ＋1)n －1 [答案] C [解析] 利用常数列a ，a ，a ，…判断，则存在等差数列a ＋1，a ＋1，a ＋1，…或通过下列运算得到：2(aq ＋1)＝(a ＋1)＋(aq 2＋1)，∴q ＝1，S n ＝na . 2．(文)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6 S 4的值为( ) A.9 4 B.3 2 C.5 3 D ．4 [答案] A [解析] 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4 S 2＝4得S 4－S 2S 2 ＝3， 则S 6－S 4＝5S 2， 所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝9 4 . (理)(2014·全国大纲文，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )

新教材高考数学第一课时等差数列的前n项和公式及相关性质练习含解析选修2

第一课时 等差数列的前n 项和公式及相关性质 课标要求 素养要求 1.探索并掌握等差数列的前n 项和公式. 2.理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系. 在探索等差数列的前n 项和公式及相关性质的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养. 新知探究 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈. 问题 文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？ 提示 9＋2×9＋3×9＋…＋8×9＋9×9＝405(块). 1.等差数列的前n 项和公式 求S n 的条件：已知n ，a 1，a n 或n ，a 1，d (1)等差数列的前n 项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 S n ＝n （a 1＋a n ）2 S n ＝na 1＋n （n －1）d 2 (2)两个公式的关系：把a n ＝a 1＋(n －1)d 代入S n ＝ 1n 2 中，就可以得到S n ＝na 1＋ n （n －1） 2 d . 2.等差数列前n 项和的性质

(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. (2)若S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2 d . (3)设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1 T 2n －1 . (4)若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)， S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1 a n (S 奇≠0). (5)若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1(a n ＋1是数列的中间项)，S 偶－S 奇＝－ a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1 (S 奇≠0). 拓展深化 [微判断] 1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 与a n 不可能相等.(×) 提示 当a n ＝0时，S n ＝a n . 2.等差数列{a n }的前n 项和S n 是关于n 的二次函数.(×) 提示 当公差d ＝0时，S n ＝na 1不是关于n 的二次函数. 3.等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n （a m ＋a n ＋1－m ） 2 .(√) [微训练] 1.等差数列{a n }中a 1＝2，a 2＝3，则其前10项的和S 10＝________. 解析 由a 1＝2，a 2＝3得d ＝1，故S 10＝10a 1＋1 2×10×9d ＝10×2＋45＝65. 答案 65 2.等差数列{a n }中，若a 1＝－1，S 25＝30，则公差d ＝________. 解析 由S 25＝－25＋12×24×25×d ＝30，解得d ＝11 60. 答案 11 60 3.数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2 ＋λ，则λ的值是________. 解析 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2 ＋bn ，∴λ＝－1. 答案 －1 [微思考] 1.高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？

2021年高考数学一轮精选练习：31《等差数列及其前n项和》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习： 31《等差数列及其前n 项和》 一、选择题 1.在等差数列{a n }中，a 1=1，a 2＋a 6=10，则a 7=( ) A.9 B.10 C.11 D.12 2.在等差数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2 －6x ＋5=0的根，则S 17的值是( ) A.41 B.51 C.61 D.68 3.已知在等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=2a ＋1，a 5=3a ＋2，若S n =a 1＋a 2＋…＋a n ，且S k =66，则k 的 值为( ) A.9 B.11 C.10 D.12 4.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＞0，且S 9＜0，则S 1、S 2、…、S 9中最小的是( ) A.S 5 B.S 6 C.S 7 D.S 8 5.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与 下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得 钱( ) A.53 B.32 C.43 D.54 6.在各项均为正数的等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，当n ∈N *，n ≥2时，有S n =n n －1 (a 2n －a 2 1)， 则S 20－2S 10=( A ) A.50 B.－50 C.100 D.－100 7.已知函数f(x)的图象关于直线x=－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差 不为0的等差数列，且f(a 50)=f(a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( ) A.－200 B.－100 C.－50 D.0 8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=9，a 2a 4=21，数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n =1－1 2 n (n ∈ N * )，若b n ＜110 ，则n 的最小值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 9.已知数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3=S 8，给出下列结论： ①a 10=0；②S 10最小；③S 7=S 12；④S 20=0. 其中一定正确的结论是( ) A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④ 10.若数列{a n }满足a n ＋12n ＋5－a n 2n ＋3 =1，且a 1=5，则数列{a n }的前200项中，能被5整除的项数为 ( ) A.90 B.80 C.60 D.40

突破2023年高考数学题型之精解2022年数学高考真题专题11 等差数列与等比数列问题(含详解)

专题11 等差数列与等比数列问题 【高考真题】 1．(2022·全国乙理) 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =( ) A ．14 B ．12 C ．6 D ．3 1．答案 D 解析 设等比数列{}n a 的公比为, 0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠， 则() 31123425111168142a q a a a q a a a q a q ⎧-⎪++==⎪⎨-⎪-=-=⎪⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==．故选：D ． 2．(2022·全国乙文) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______． 2．答案 2 解析 由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++，即 ()112+226a d a d =++，解得2d =． 【知识总结】 1．等差数列、等比数列的基本运算 等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1. (3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2 d ； (4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1. 2．等差数列、等比数列的性质 1．通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2k . 2．前n 项和的性质： 对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外)． 【题型突破】 题型一 等差数列基本量的计算 1．(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )

高考复习：等差数列含解析答案(教师版+学生版)

等差数列 一、知识梳理 1．数列的定义: 按照_________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________ 2、已知数列{a n}的前n项和S n，则a n＝________ 3．等差数列的定义： 4、等差数列的通项公式： 5．等差数列的前n项和公式： 6、等差数列的前n项和公式与函数的关系： （1） （2） 7、等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n＝a m＋________(n，m∈N*)． (2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则________. (3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________. (4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}是________数列． (5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________ 的等差数列． 8．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{a n}中，a1>0，d<0，则S n存在最值；若a1<0，d>0，则S n存在最值． 试一试 1．若数列{a n}满足：a1＝19，a n＋1＝a n－3(n∈N*)，而数列{a n}的前n项和数值最大时，n 的值为． 2．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝.

3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝ . 4．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ . 题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132； (3)－1，32，－13，34，－15，3 6，…； (4)3,33,333,3 333，…. 题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项 例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b . 题型三 等差数列基本量的运算 例3 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为 ． (2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ .

2022版高考数学一轮复习第7章第2讲等差数列及其前n项和训练含解析

第七章 第2讲 [A 级 基础达标] 1．若lg a ，lg b ，lg c 成等差数列，则( ) A ．b ＝a ＋c 2 B ．b 2＝ac C ．2b ＝ac D ．2lg b ＝lg(a ＋c ) 【答案】B 2．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10等于( ) A ．172 B ．192 C ．10 D ．12 【答案】B 3．(2020年郑州模拟)在等差数列{a n }中，a 2＋a 10＝0，a 6＋a 8＝－4，则a 100＝( ) A ．212 B ．188 C ．－212 D ．－188 【答案】D 4．(2020年淮南月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 20＝60，则S 40 ＝( ) A ．110 B ．150 C ．210 D ．280 【答案】D 5．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A ．4 7 尺 B ．16 29 尺 C ．8 15 尺 D ．1631 尺 【答案】B 【解析】设该女子织布每天增加d 尺，由题意知S 30＝30×5＋30×29 2d ＝ 390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加16 29 尺． 6．(2019年新课标Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10 S 5 ＝

________. 【答案】4 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1≠0，a 2＝3a 1可得d ＝2a 1，所以S 10S 5＝10(a 1＋a 10)5(a 1＋a 5)＝2(2a 1＋9d )2a 1＋4d ＝2(2a 1＋18a 1)2a 1＋8a 1 ＝4. 7．(2019年江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________． 【答案】16 【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝0，9a 1＋9×82d ＝27，解得⎩⎨⎧ a 1＝－5， d ＝2. 所以S 8＝8a 1＋8×7d 2 ＝8×(－5)＋56＝16. 8．(2021年南宁模拟)已知三个数成等差数列，它们的和为3，平方和为35 9，则这三个 数的积为________． 【答案】5 9 【解析】设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝5，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝359，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，d ＝± 23.所以这三个数分别为13，1，53或53，1，13.故它们的积为59 . 9．(2019年庆阳期末)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．已知a 1＋a 3＝16，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)当n 取何值时S n 最大？并求出这个最大值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＋a 3＝16，S 4＝28，所以2a 1＋2d ＝16,4a 1＋4×3d 2 ＝28， 联立解得a 1＝10，d ＝－2. 所以a n ＝10－2(n －1)＝12－2n . (2)令a n ＝12－2n ≥0，解得n ≤6. 所以n ＝5或6时，S n 取得最大值．

新高考数学等差数列选择题专项训练与热点解答题组合练附答案(1)

一、等差数列选择题 1．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差 数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+ B ．2 ()4f x x = C ．3()4x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．4()log f x x = 解析：D 【分析】 把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1 n n x x +为常数进而可求得1n n y y +-的结 果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】 对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以 1 n n x x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列； 对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1 n n x x +为常数， 因此1n n y y +-＝() 2222 14441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列； 对于C ，函数3()4x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1 n n x x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x +-＝3 3 ()()144n q x ⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦ ，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等 差数列； 对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x ，由于{x n }是等比数列，所以 1 n n x x +为常数， 因此1n n y y +-＝11444 4log log log log n n n n x x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列； 故选：D ． 【点睛】 方法点睛：

高考数学等差数列选择题专项训练(讲义及答案)含答案

一、等差数列选择题 1．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ） A ． 32 B ． 92 C ．2 D ．9 解析：A 【分析】 由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】 设公差为d ，则42363 4222a a d --= ==--， 所以5433322 a a d =+=-=. 故选：A 2．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21 D ．6、10、14、18、22 解析：C 【分析】 根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】 在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列， 则171,25a a ==，则71251 4716 a a d --= ==-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 3．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则9 9 S a =（ ） A ．9 B ．5 C ．1 D ． 59 解析：B 【分析】 由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求9 9 S a . 【详解】 4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =， ∴1999() 452 a a S d ⨯+= =，99a d =，且0d ≠，

∴9 9 5S a =. 故选：B 4．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237 n n S n T n =+，则6 3a b 的值为 （ ） A ． 5 11 B ．38 C ．1 D ．2 解析：C 【分析】 令2 2n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则 6 3 a b 可得． 【详解】 令2 2n S n λ=，()37n T n n λ=+， 可得当2n ≥时，()()2 2 1221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-， ()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+， 当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-， ()232n b n λ=+ 故622a λ=，322b λ=， 故 6 3 1a b =. 【点睛】 由n S 求n a 时，11,1 ,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符 合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 5．在数列{}n a 中，129a =-，( )* 13n n a a n +=+∈N ，则1 220a a a +++=（ ） A ．10 B ．145 C ．300 D ．320 解析：C 【分析】 由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。 【详解】 因为129a =-，() * 13n n a a n N +=+∈， 所以数列{}n a 是以29-为首项，公差为3的等差数列，