课时规范练
A 组 基础对点练
1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( A ) A ．5 B.7 C ．9
D.11
2．(2018·合肥质量检测)已知等差数列{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项和等于( C ) A ．112 B.51 C ．28
D.18
解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得d ＝a 5－a 25－2
＝－3，a 1＝a 2－d ＝13，则S 7＝7a 1＋
7×(7－1)
2d ＝7×13－7×9＝28，故选C.
3．(2018·陕西省高三质量检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( D ) A ．27 B.36 C ．45
D.54
解析：因为在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11，所以a 5＝6，则S 9＝9(a 1＋a 9)
2＝9a 5＝54.故选D.
4．(2018·西安地区八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( B ) A ．S 4S 1
D.S 4＝S 1
解析：设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，
得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎨⎧
a 1＝－9，d ＝3.则S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4
5．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( C ) A ．d <0 B.d >0 C ．a 1d <0
D.a 1d >0
解析：∵等差数列{a n }的公差为d ，∴a n ＋1－a n ＝d ， 又数列{2a 1a n }为递减数列，
∴2a 1a n ＋1
2a 1a n ＝2a 1d <1，
∴a 1d <0.故选C.
6．设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( C ) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0 解析：∵{a n }是等差数列， ∴a 2＝a 1＋a 3
2.
A 项中只提供a 1＋a 2＞0，并不能判断a 2＋a 3＞0，即A 错误． 同理
B 也是错误的．
假设0＜a 1＜a 2，则a 1＞0，公差d ＞0， ∴a 3＞0， ∴
a 1＋a 3
2＞a 1a 3，
∴a 2＞a 1a 3. 即C 正确．
D 项中无法判断公差d 的正负，故(a 2－a 1)(a 2－a 3)无法判断正负，即D 错误．故选C.
7．(2016·高考北京卷)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝__6__. 8．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为__5__.
9．(2016·高考江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是__20__.
解析：设等数差数{a n }的公差为d ，
则由a 1＋a 22＝－3，S 5＝10， 可得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋(a 1＋d )2
＝－3，5a 1
＋5(5－1)
2d ＝10，解得d ＝3，a 1＝－4，
所以a 9＝a 1＋8d ＝20.
10．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝5a 4－10，则数列{a n }的公差为__2__. 解析：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，
S 5＝5a 4－10， ∴5a 3＝5a 4－10，
∴5(a 4－a 3)＝5d ＝10，解得d ＝2.
11．(2016·高考全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝25.
所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3
5. (2)由(1)知b n ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
2n ＋35. 当n ＝1,2,3时，1≤
2n ＋3
5<2，b n ＝1；
当n ＝4,5时，2<2n ＋3
5<3，b n ＝2； 当n ＝6,7,8时，3≤
2n ＋3
5<4，b n ＝3；
当n ＝9,10时，4<2n ＋3
5<5，b n ＝4，
所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ； (2)设b n ＝
1
2(S n －n )
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，
由点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上，得⎩⎨⎧
a 2＝3，
a 7－S 3＋1＝0，
又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，解得⎩⎨⎧
a 2＝3，
a 7＝8，
即⎩⎨⎧ a 1＋d ＝3，a 1＋6d ＝8，解得⎩⎨⎧
a 1＝2，d ＝1，
∴a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)
2. (2)∵b n ＝
12(S n －n )＝1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1
.
∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1
n ＋1
＝1－
1n ＋1＝n n ＋1
. B 组 能力提升练
1．(2018·广州综合测试)等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n ，若a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，则S 2n ＋1＝( A ) A ．4n ＋2 B.4n C ．2n ＋1
D.2n
解析：因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n ＋1.因为数列{a n }
的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝
(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2a n ＋1×(2n ＋1)
2
＝4n ＋2.故选A.
2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝5，则S 40＝( B ) A ．7 B.8 C ．9
D.10
解析：根据等差数列的性质，知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30构成等差数列，所以(S 20－S 10)＋(S 30－S 20)＝S 10＋(S 40－S 30)，即S 30－S 10＝S 40－S 30＋S 10，所以S 40＝2S 30－2S 10＝8.故选B.
3．(2018·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( A ) A ．55 B.11 C ．50
D.60
解析：法一 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，所以a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋
11×10
2d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A.
法二 设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d )＝a 6＋2d ＋5，解得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A.
4．设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( A ) A ．9
B.10
C ．11 D.12
解析：由题意可得{a n }的公差d ＝3－7
4－2＝－2，a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，则{a n }是递减数列，且a 5>0>a 6，
a 5＋a 6＝0，所以S 9＝2a 52·9>0，S 10＝a 5＋a 62·10＝0，S 11＝2a 6
2·11<0，故选A. 5．若数列{a n }满足
1a n ＋1
－1
a n
＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1x n 为调和数
列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( B ) A ．10 B.20 C ．30
D.40
解析：∵数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1x n 为调和数列，
∴11x n ＋1－1
1x n ＝x n ＋1－x n ＝d ，∴{x n }是等差数列． ∵x 1＋x 2＋…＋x 20＝200＝
20(x 1＋x 20)
2
， ∴x 1＋x 20＝20，又∵x 1＋x 20＝x 5＋x 16， ∴x 5＋x 16＝20.故选B.
6．(2018·贵阳适应试题)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思是“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱(“钱”是古代的一种重量单位)，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”在这个问题中，丙所得为( D ) A.76钱 B.56钱 C.23钱
D.1钱
解析：法一 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，公差为d ，则由题意， 得⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5，a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5，即⎩⎨⎧
5a 1＋10d ＝5，2a 1＋d ＝3a 1＋9d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝4
3，d ＝－1
6，
所以a 3＝a 1＋2d ＝1.故选D.
法二 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，因为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等差数
列，所以a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝2a 3，所以5a 3＝5，则a 3＝1，所以丙所得为1钱．故选D. 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝32，则a 2＋2a 5＋a 6＝__16__. 解析：∵S 8＝32， ∴
8(a 1＋a 8)
2
＝32，可得a 4＋a 5＝a 1＋a 8＝8. 则a 2＋2a 5＋a 6＝2(a 4＋a 5)＝2×8＝16.
8．(2017·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10
a 2n 的最大值是__121__.
解析：设数列{a n }的公差为d ， 由题意得2S 2＝S 1＋S 3，
因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，
所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)
2×2＝n 2，
所以S n ＋10a 2n
＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋212n －12. 又⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12为单调递减数列，所以S n ＋10a 2n ≤S 11a 21＝112＝121. 9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__－49__. 解析：由已知得
⎩⎪⎨⎪⎧
S 10＝10a 1＋10×9
2d ＝0，S 15＝15a 1＋15×142d ＝25，
解得a 1＝－3，d ＝23，所以nS n ＝n 2
a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，又n ＝6时，6S 6＝－48，n ＝7时，7S 7＝－49，故nS n 的最小值为－49.
10．(2018·贵州质检)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．
(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
解析：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，
即
a 21－2a 1－3＝0，
解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，
又2S n ＝a 2n ＋n －4，
两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，
即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，
因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.
若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，
所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，
因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.
11．(2018·郑州质量预测)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝8，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＝1
n log 2a n ，求{b n }的前n 项和S n .
解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，
因为2a 1，a 3,3a 2成等差数列，所以2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q . 所以2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1
2(舍去)， 所以a n ＝8×2n －1＝2n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝
1n log 22n ＋2＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛ 1
n －
⎭
⎪⎫1n ＋2， 所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n ＋1＋1n ＋2 ＝3
4－2n ＋3
2(n ＋1)(n ＋2)
.
2020高三一轮基础达标 考点22等差数列及其前n 项和 一、选择题 1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24 2．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝5，S n ＝64，则n ＝( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3．等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7 b 7＝( ) A.37 27 B.3828 C.3929 D.4030 4．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．28 5．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( ) A ．72 B ．88 C ．92 D ．98 6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 7．设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( ) A ．6 B ．7 C ．10 D ．9 8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＋a 11＝30，则S 13＝( ) A ．130 B ．65 C ．70 D ．140 9．设{a n }是公差不为0的等差数列，且a 24＋a 25＝a 26＋a 27， 则该数列的前10项和S 10＝( ) A ．－10 B ．－5 C ．0 D ．5 10．在等差数列{a n }中，已知S 4＝1，S 8＝4，设S ＝a 17＋a 18＋a 19＋a 20，则S 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 11．(一题多解)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 二、填空题 12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0， S 2m －1＝38，则m ＝________．
课时规范练 A 组 基础对点练 1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( A ) A ．5 B.7 C ．9 D.11 2．(2018·合肥质量检测)已知等差数列{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项和等于( C ) A ．112 B.51 C ．28 D.18 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得d ＝a 5－a 25－2 ＝－3，a 1＝a 2－d ＝13，则S 7＝7a 1＋ 7×(7－1) 2d ＝7×13－7×9＝28，故选C. 3．(2018·陕西省高三质量检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( D ) A ．27 B.36 C ．45 D.54 解析：因为在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11，所以a 5＝6，则S 9＝9(a 1＋a 9) 2＝9a 5＝54.故选D. 4．(2018·西安地区八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( B ) A ．S 4S 1 D.S 4＝S 1 解析：设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6， 得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎨⎧ a 1＝－9，d ＝3.则S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 40 C ．a 1d <0 D.a 1d >0 解析：∵等差数列{a n }的公差为d ，∴a n ＋1－a n ＝d ， 又数列{2a 1a n }为递减数列，
§6.2等差数列及其前n项和 【考点集训】 考点一等差数列的定义及通项公式 1.(2018陕西咸阳12月模拟,7)《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?() A.3尺 B.4尺 C.5尺 D.6尺 答案C 2.(2017安徽淮南一模,15)已知数列{a n}满足递推关系式a n+1=2a n+2n-1(n∈N*),且为等差数列,则λ的值是. 答案-1 3.(2018河南开封定位考试,17)已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=. (1)求证:数列是等差数列; (2)若b n=a n a n+1,求数列{b n}的前n项和S n. 解析(1)证明:∵a =,∴=, n+1 ∴-=. ∴数列是以2为首项,为公差的等差数列. (2)由(1)知a n=,∴b n==4-, ∴S n=4--…- =4-=. 考点二等差数列的性质 (2019届湖北宜昌模拟,6)已知数列{a }满足=25·,且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)=() n A.-3 B.3 C.- D. 答案A 考点三等差数列的前n项和 1.(2018安徽安庆调研,5)等差数列{a n}中,已知S15=90,那么a8=() A.12 B.4 C.3 D.6 答案D 2.(2017河南部分重点中学二联,6)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当S n最大时,n=() A.6 B.7 C.10 D.9 答案B 3.(2019届福建龙岩永定区模拟,10)已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n和T n,且=,则=()
《等差数列及其前n 项和》专题 一、相关知识点 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2 ，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋ n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列 (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d . (6)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解． (7)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1 . (8)若{a n }是等差数列，则}{ n n S 也是等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12 . (9)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1. (10)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1； ②S 奇S 偶 ＝n ＋1n . 二．等差数列的常用结论 1．等差数列前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，即所有正项之和最大，若a 1＜0，
第2讲 等差数列及其前n 项和 , ) 1．等差数列的有关概念 (1)定义 假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N * ，d 为常数)． (2)等差中项 数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2 ，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2 d ＝（a 1＋a n ）n 2 ． 3．等差数列的性质 已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N * )，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 1．辨明两个易误点 (1)要留意概念中的“从第2项起”．假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． (2)留意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区分． 2．妙设等差数列中的项 若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ； 若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 3．等差数列的四种推断方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N * )⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2 ＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 1.教材习题改编 等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项 D ．第22项 C a 1＝11，d ＝8－11＝－3， 所以a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. 由－3n ＋14＝－49，得n ＝21.故选C. 2.教材习题改编 已知p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2均为常数)，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 C 若{a n }是等差数列，不妨设公差为d . 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ， 令k 1＝d ，k 2＝a 1－d ，则a n ＝k 1n ＋k 2， 若数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2为常数，n ∈N * )， 则当n ≥2且n ∈N * 时，a n －1＝k 1(n －1)＋k 2， 所以a n －a n －1＝k 1(常数)(n ≥2且n ∈N * )， 所以{a n }为等差数列， 所以p 是q 的充要条件． 3.教材习题改编 等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63 D ．27 B 法一：由于S 9＝9（a 1＋a 9） 2＝9a 5＝9×6＝54.故选B. 法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6， 所以S 9＝9a 1＋9×8 2 d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B. 4．(2021·金丽衢十二校联考)已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为________．
【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时精练 34.等差数列及其前n 项和 [A 级 基础题——基稳才能楼高] 1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( ) A ．30 B ．29 C ．28 D ．27 2．(2019·北京丰台区模拟)数列{2n －1}的前10项的和是( ) A ．120 B ．110 C ．100 D ．10 3．(2019·豫北重点中学联考)已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，则a 4等于( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2 4．(2019·张掖质检)设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2＝35,2a 4－a 6＝7，则d ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5．(2019·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( ) A ．20 B ．40 C ．60 D ．80 [B 级 保分题——准做快做达标] 1．(2019·惠州调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 9＝12a 12＋6，a 2＝4，则数列⎩ ⎪⎨⎪ ⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的 前10项和为( ) A.11 12 B ．1011 C.910 D ．89
2．(2019·昆明适应性检测)已知等差数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝ a 2，则a 8＝( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 3．(2019·南宁名校联考)等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝6，则{a n }的前9项和等于( ) A ．－18 B ．27 C ．18 D ．－27 4．(2019·中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩ ⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪ ⎫S n n 的前 11项和为 ( ) A ．－45 B ．－50 C ．－55 D ．－66 5．(2019·南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升 B ．6766升 C.47 44 升 D ．3733 升 6．(2019·云南统一检测)已知等差数列{a n }中，a 1＝11，a 5＝－1，则{a n }的前n 项和S n 的最大值是( ) A ．15 B ．20 C ．26 D ．30 7．(2019·四川三地四校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10 10＝2， 则S 2 018＝( ) A ．2 018 B ．－2 018 C ．4 036 D ．－4 036 8．(2019·太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，等差数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N * )，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n <2T n B ．b 4＝0 C ．T 7>b 7 D ．T 5＝T 6
专题6.2 等差数列及其前n 项和 1．（江西师范大学附属中学2019届高三三模）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和， 5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．2 B ．7 C ．14 D ．28 【答案】C 【解析】 5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a = ()177477142 a a S a +∴= ==，本题选C 。 2．（安徽省1号卷A10联盟2019届模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则3111 9a a a ++=（ ） A ．12 B ．9 C ．6 D ．3 【答案】B 【解析】由等差数列性质可知：21112163S a ==，解得：113a = 311191139a a a a ∴++== 本题选B 。 3．（贵州省贵阳市2019届高三模拟）已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（ ） A ．6 B ．6- C ．2- D ．4 【答案】A 【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8， ∴a 5+a 6=2， ∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5＜a 6， ∴a 5=-2，a 6=4， ∴d=a 6-a 5=6， 故选A 。 4．（河北衡水中学2019届高三调研）已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则
5a =（ ） A ．2 B ．2或32 C ．2或-32 D ．-1 【答案】B 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q （q 0≠）， 1324,,2a a a 成等差数列， 321224a a a ∴=+，10a ≠， 220q q ∴--=，解得：q=2q=-1或， 451a =a q ∴，5a =232或， 故选B. 5．（浙江省金华十校2019届高三模拟）等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠， 由111a b ==，53a b =，可得2 14d q +=， 则22 91812(1)211a d q q =+=+-=->-， 可得9a 能取到的最小整数是0，故选B 。 6．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三模拟）已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、 4a 成等比数列，则 114 3 a a a +=（ ） A ．7 B ．5 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】设等差数列{}n a 公差为d 1a 、2a 、4a 成等比数列 2 214 a a a ∴=
第35讲 等差数列及其前n 项和 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【基础巩固】 1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，547,29,198n n a a S -===，则n =（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项的性质和前n 项和公式求解. 【详解】因为()() 15422 n n n n a a n a a S -++= = ， 又547,29,198n n a a S -===， 所以18198n =， 所以11n =， 故选：B ． 2．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，452a a =，则7 4 S S =（ ） A ．74 B ．-1 C ．1 D ．54 【答案】C 【分析】利用等差中项5462a a a =+，6572a a a =+及等差数列前n 项和的性质即可求解. 【详解】解：在等差数列{}n a 中，5462a a a =+，452a a =，故60a =， 又6572a a a =+，故75a a =-， 则745674S S a a a S =+++=，故7 4 1S S =. 故选：C. 3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需
第二节 等差数列 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析 a 1＋a 5＝2a 3＝10，则a 3＝5，所以d ＝a 4－a 3＝7－5＝2. 答案 B 2．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11 ＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 解析 方法1：S 11＝(a 1＋a 11)×112＝(a 4＋a 8)×11 2＝88. 方法2：S 11＝11a 6＝11×8＝88. 答案 B 3．(2014·太原市测评)设等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n ＝na n －3n (n －1) B ．S n ＝na n ＋3n (n －1) C ．S n ＝na n ＋n (n －1) D ．S n ＝na n －n (n －1) 解析 设公差为d ＝2， a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 1＝a n －2n ＋2， S n ＝(a 1＋a n )n 2＝na n －n (n －1)，选D. 答案 D
4．(2014·石家庄质检)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 解析 由S n －S n －3＝51得a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2 ＝100，解得n ＝10. 答案 C 5．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 7 B ．S 6 C ．S 5 D ．S 4 解析 ∵⎩ ⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0， a 5>0，∴⎩⎨⎧ a 5>0，a 6<0. ∴S n 的最大值为S 5. 答案 C 6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 由题意得a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3.由{a n }等差可得d ＝a m ＋1－a m ＝1，由a m ＝2，S m ＝0得：a 1＋(m －1)＝2，ma 1＋m (m －1) 2 ＝0，解得a 1＝－2，m ＝5.故选C. 答案 C 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
第2节等差数列 【选题明细 1.(2018·广西三校联考)已知等差数列{a n}满足:a3=13,a13=33,则a7等于( C ) (A)19 (B)20 (C)21 (D)22 解析:设等差数列{a n}的公差为d,d==2, 则a7=a3+4d=13+8=21,故选C. 2.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,若a3=6,S3=12,则公差d等于( C ) (A)1 (B)(C)2 (D)3 解析:由等差数列的性质知得S3=3a2=12,即a2=4,所以d=a3-a2=6-4=2. 3.(2018·洛阳模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2+a7+a12=24,则S13等于( C ) (A)52 (B)78 (C)104 (D)208 解析:依题意得3a7=24,a7=8,S13==13a7=104,选C. 4.(2018·合肥市第二次教学质量检测)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言.”题意是把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( B ) (A)174斤(B)184斤(C)191斤(D)201斤 解析:用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小所得的绵数. 由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项和为996. 所以8a1+×17=996,得a1=65. 所以a8=65+7×17=184.故选B. 5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=-11,a5+a9=-2,则当S n取最小值时,n等于( C ) (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d, 由
05限时标准特训 A 级 基础达标 1．假设等差数列的第一、二、三项依次是1 x ＋1、56x 、1 x ，那么数列的公差d 是( ) A.1 12 B.16 C.14 D.12 解析：依题意得2×5 6x ＝1 x ＋1＋1x ，解得x ＝2，因此d ＝512－13＝1 12.选A. 答案：A 2．在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 3＋a 6＝16，a n ＝31，那么n 为( ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 解析：由已知可得a 4＋a 5＝7＋a 5＝a 3＋a 6＝16，得a 5＝16－7＝9，故公差d ＝a 5－a 4＝9－7＝2，同时解得a 1＝1，由1＋(n －1)×2＝31，解得n ＝16，选D. 答案：D 3．[2021·安庆模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设2a 6＝a 8＋6，那么S 7＝( ) A ．49 B ．42 C ．35 D ．28 解析：2a 6＝a 8＋6⇒a 1＋3d ＝6⇒a 4＝6，故S 7＝7a 1＋a 7 2＝7a 4＝42，应选B. 答案：B 4．[2021·湖南四市联考]数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{1 a n ＋1 }是等差数列，那么a 4＝( ) A.12 B.13 C.14 D.16
解析：设数列{1a n ＋1}的公差为d ，那么4d ＝1a 6＋1－1 a 2＋1得d ＝1 6， ∴1a 4＋1＝1 2＋1＋2×16，解得a 4＝1 2. 答案：A 5．[2021·金版]在各项均不为零的等差数列{a n }中，假设a 2n －a n ＋1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)，那么S 2021的值为 ( ) A ．2021 B ．2021 C ．4026 D ．4028 解析：由a 2n －a n ＋1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)可得a 2n ＝a n ＋1＋a n －1＝2a n ，因为a n ≠0，因此a n ＝2，故S 2021＝ 2×2021＝4028.选D. 答案：D 6．等差数列{a n }的前n 项和是S n ，且a 1＝10，a 5＝6，那么以下不等式中不成立的是( ) A ．a 10＋a 11>0 B ．S 21<0 C ．a 11＋a 12<0 D ．当n ＝10时，S n 最大 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝10，a 5＝6，得6＝10＋4d ，即d ＝－1，因此a n ＝11－n .a 10＋ a 11＝1＋0>0，A 成立；a 11＋a 12＝－1<0，C 成立；S n ＝－12 n 2＋ 212 n ＝－1 2 (n － 212)2＋441 8 ，故当n ＝10时，S n 最大，D 成立；S 21＝－12×212＋21×21 2 ＝0，故B 不成立． 答案：B 7．[2021·漳州模拟]已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，那么数列{a n } 的通项公式为a n ＝( ) A ．n －1 B ．n C ．2n －1 D ．2n 解析：由已知可得S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)，又S n ＋S n －1>0，故S n －S n －1＝1，因此数列{S n }是等差数列，其公差为1，首项 S 1＝1，故S n ＝n ，即S n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝ 2n －1，当n ＝1时也适合上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，选C. 答案：C
第五章 数列 授课提示：对应学生用书第291页 [A 组 基础保分练] 1．(2021·石家庄摸底)在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＋a 6＝27，则a 1＋a 9等于( ) A ．9 B ．27 C ．18D ．54 答案：C 2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4a 3＝3 4，则3S 5 a 4＝( ) A ．12 B ．15 C ．20 D ．25 答案：C 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝16，a 6＝1，则数列{a n }的公差为( ) A.32B ．－3 2 C.23D ．－2 3 答案：D 4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＜0，若存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则当n ＞ m 时，S n 与a n 的大小关系是( ) A ．S n ＜a n B ．S n ≤a n C ．S n ＞a n D ．大小不能确定 解析：若a 1＜0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则d ＞0，若d ＜0，数列是递减数列，则 S m ＜a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1＜0，d ＞0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m ＞0，S m ＞0， 又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n ＞a n .
答案：C 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足S n S n ＋1＜0的正整数n 的值为( ) A ．10B ．11 C ．12D ．13 解析：由S 6＞S 7＞S 5，得S 7＝S 6＋a 7＜S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7＞S 5，所以a 7＜0，a 6＋a 7＞0，所以S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7＜0，S 12＝12a 1＋a 122＝6(a 6＋a 7)＞0，所以S 12S 13＜0， 即满足S n S n ＋1＜0的正整数n 的值为12. 答案：C 6．(2020·高考北京卷)在等差数列{a n }中，a 1＝－9，a 5T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1,2，…)，则数列{T n }( ) A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝－9，a 5＝－1，∴a 5＝－9＋4d ＝－1，∴d ＝2，∴ a n ＝－9＋(n －1)×2＝2na n ＝2n －11≤0，则n ≤5.5，∴n ≤5时，a n ＜0；n ≥6时，a n ＞0.∴T 1 ＝－9＜0，T 2＝(－9)×(－7)＝63＞0，T 3＝(－9)×(－7)×(－5)＝－315＜0，T 4＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)＝945＞0，T 5＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)×(－1)＝－945＜0，当n ≥6时， a n ＞0，且a n ≥1，∴T n ＋1＜T n ＜0，∴T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1,2，…)有最大项T 4，无最小项． 答案：B 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＝5，则S 6＝________. 答案：15 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5 ＝________. 答案：22 5
第二节 等差数列 2019考纲考题考情 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为 a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。 (2)等差中项 若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b 2 。 2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。 (2)等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2 d 或S n ＝n (a 1＋a n ) 2 。 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )。 (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N * )，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。 (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。 (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。 (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N * )是公差为md 的等差数列。 (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。 (7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。 (8)若项数n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd 2； 若项数n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。
【2019最新】精选高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其 前n项和学案 板块一知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1 等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的 等差中项． 考点2 等差数列的有关公式 1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 2．前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. [必会结论] 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. 若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d, 则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差 为md的等差数列．(6)等差数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列， 其公差为n2d. [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等差数列的公差是相邻两项的差．( ) (2)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是 等差数列．( )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋ 2.( ) (5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( ) 答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．[课本改编]在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝ ( ) A．58 B．88 C．143 D．176 答案B 解析因为{an}是等差数列，所以a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8，则该数列的前11 项和为S11＝＝11a6＝88.故选B. 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A．63 B．45 C．36 D．27 答案B 解析S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即9,27，a7＋a8＋a9成等差数列，∴a7 ＋a8＋a9＝54－9＝45.故选B. 4．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( ) A．12 B．13 C．14 D．15 答案B 解析由S5＝，得25＝，解得a4＝7，所以7＝3＋2d，即d＝2，所以a7＝a4＋ 3d＝7＋3×2＝13.故选B. 5．[课本改编]在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101＝________. 答案52 解析由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝，故数列{an}是首项为2，公差为的 等差数列，所以a101＝2＋100×＝52. 6．[2018·苏北四市模拟]在等差数列{an}中，已知a2＋a8＝11，则3a3＋a11的 值为________． 答案22 解析设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a2＋a8＝11＝2a5，则a5＝，所 以3a3＋a11＝3(a5－2d)＋a5＋6d＝4a5＝4×＝22.
Earlybird 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A 级基础夯实练 1．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3 ＝3，a5＝5，则S7 的值是() A．30B．29 C．28 D．27 a5－a3 解析：选C.由题意，设等差数列的公差为d，则d＝＝1， 5－3 7a1＋a77 ×2a4 故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝＝＝7×4＝28.故选C. 2 2 2．(2018·唐山统考)等差数列{a n}的前n项和为S n，若S11＝22，则a3＋a7＋a8 等于() A．18 B．12 C．9 D．6 11a1＋a11112a1＋10d 解析：选D.由题意得S11＝＝＝22，即a1 2 2 ＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D. S12 3．在等差数列{a n}中，a1＝－2 017，其前n项和为S n，若－ 12 S10 ＝2，则S2 020＝() 10 A．2 020 B．－2 020 C．4 040 D．－4 040 S n
解析：选C.设等差数列{a n}的前n项和为S n＝An2＋Bn，则＝ n
Earlybird S n S12 S10 S n An＋B，∴{是等差数列．∵－＝2，∴的公差为1，n}10 {n} 12 S1 a1 S n 又＝＝－2 017，∴是以－2 017 为首项，1 为公差的等差数1 1 {n} S2 020 列，∴＝－2 017＋2 019×1＝2，∴S2 020＝4 040.故选C. 2 020 4．(2018·山西太原模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，点(n，S n)(n ∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{b n}满足b n＋b n＋1＝a n(n ∈N*)，其前n项和为T n，则下列结论正确的是() A．S n＜2T n B．b4＝0 C．T7＞b7 D．T5＝T6 解析：选D.因为点(n，S n)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，所以S n＝n2－10n，所以a n＝2n－11，又b n＋b n＋1＝a n(n∈N*)，数列{b n}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以b n＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D. 5．(2018·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一 根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 节的容积共3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积为() 67 A．1 升B．升 66 47 37 C. 升D．升 44 33 解析：选B.设该等差数列为{a n}，公差为d， 由题意得Error!即Error!
第二节等差数列及其前n项和 [考纲传真]1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系． 1．等差数列 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为a n ＋1 －a n＝d(n∈N*)，d为常数． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b 2，其中A叫做a，b的等差中项． (3)等差数列的通项公式：a n a1＋(n－1)d，可推广为a n＝a m＋(n－m)d. (4)等差数列的前n项和公式：S n＝n(a1＋a n) 2＝na1＋ n(n－1) 2d. 2．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1)a n＝a1＋(n－1)d可化为a n＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，a n是关于n的一次函数；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列． (2)数列{a n}是等差数列，且公差不为0⇔S n＝An2＋Bn(A，B为常数)． [常用结论] 1．已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列，且公差为p. 2．若数列{a n}与{b n}均为等差数列，且前n项和分别是S n和T n，则S2m－1 T2m－1 ＝ a m b m. [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．() (2)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.() (3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．() (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．() [答案](1)×(2)√(3)×(4)× 2．等差数列{a n}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于() A.1 4B. 1 2C．2D．－ 1 2 A[∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，