高三数学数列题型归纳
数列是高中数学中的重要知识点，也是高考数学的常考题型之一。在高三阶段，学生需要掌握各种数列的定义、性质、求通项公式、求和公式等各种知识点。为了帮助大家更好地掌握数列的相关知识，本文将就高三数学数列题型的归纳进行探讨。
一、等差数列
等差数列是指数列中相邻项之间的差值相等的数列。等差数列有许多重要的性质，如通项公式、前n项和公式等。在高考数学中，等差数列是经常出现的题型。
1. 等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d
其中，a1是等差数列的首项，d是公差，an是等差数列的第n项。
2. 等差数列前n项和公式：Sn=n/2(a1+an)
其中，Sn是等差数列的前n项和。
3. 等差数列的性质：
（1）等差数列的首项与末项的和等于中间项和的总和。
（2）等差数列的前n项和可以表示为n乘以首项与末项的平均数。
（3）等差数列的项数有限，且每一项和前一项之间的差值相等。
二、等比数列
等比数列是指数列中相邻项之间的比值相等的数列。等比数列同样也有很多重
要的性质，如通项公式、前n项和公式等。
1. 等比数列通项公式：an=a1*q^(n-1)
其中，a1是等比数列的首项，q是公比，an是等比数列的第n项。
2. 等比数列前n项和公式：Sn=(a1(1-q^n))/(1-q)
其中，Sn是等比数列的前n项和。
3. 等比数列的性质：
（1）等比数列的前n项和可以表示为首项乘以1-q^n除以1-q。
（2）公比大于1时，等比数列是发散的，公比小于1时，等比数列是收敛的。
三、斐波那契数列
斐波那契数列的定义是：前两项为1，从第三项起每一项都是前两项之和。即
F(1) = 1，F(2) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n>=3）。
斐波那契数列在自然界与生活中也有许多出现，如植物分枝的规律、蜂巢的排
列方式等等。因此，斐波那契数列也是高考数学中的常见题型。
1. 斐波那契数列的通项公式：Fn=(1/sqrt(5))*(((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n)
其中，sqrt(5)表示5的平方根。
2. 斐波那契数列的性质：
（1）两个相邻的斐波那契数的比值逐渐趋近于黄金分割比例0.618。
（2）斐波那契数列的前n项和可以表示为F(n+2)-1。
四、调和级数
调和级数是指数列1，1/2，1/3，1/4……的前n项和。调和级数同样也是高考
数学中经常出现的题型。
1. 调和级数的通项公式：Hn=1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=ln(n)+γ
其中，γ为欧拉常数。
2. 调和级数的性质：
（1）调和级数是发散的。
（2）调和级数随着项数的增加而趋近于无穷大，但增长的速度很慢。
以上就是高三数学数列题型的归纳。希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地掌握数列的相关知识，顺利应对高考数学考试。
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
高三数学数列题型归纳 数列是高中数学中的重要知识点，也是高考数学的常考题型之一。在高三阶段，学生需要掌握各种数列的定义、性质、求通项公式、求和公式等各种知识点。为了帮助大家更好地掌握数列的相关知识，本文将就高三数学数列题型的归纳进行探讨。 一、等差数列 等差数列是指数列中相邻项之间的差值相等的数列。等差数列有许多重要的性质，如通项公式、前n项和公式等。在高考数学中，等差数列是经常出现的题型。 1. 等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d 其中，a1是等差数列的首项，d是公差，an是等差数列的第n项。 2. 等差数列前n项和公式：Sn=n/2(a1+an) 其中，Sn是等差数列的前n项和。 3. 等差数列的性质： （1）等差数列的首项与末项的和等于中间项和的总和。 （2）等差数列的前n项和可以表示为n乘以首项与末项的平均数。 （3）等差数列的项数有限，且每一项和前一项之间的差值相等。 二、等比数列 等比数列是指数列中相邻项之间的比值相等的数列。等比数列同样也有很多重 要的性质，如通项公式、前n项和公式等。 1. 等比数列通项公式：an=a1*q^(n-1) 其中，a1是等比数列的首项，q是公比，an是等比数列的第n项。
2. 等比数列前n项和公式：Sn=(a1(1-q^n))/(1-q) 其中，Sn是等比数列的前n项和。 3. 等比数列的性质： （1）等比数列的前n项和可以表示为首项乘以1-q^n除以1-q。 （2）公比大于1时，等比数列是发散的，公比小于1时，等比数列是收敛的。 三、斐波那契数列 斐波那契数列的定义是：前两项为1，从第三项起每一项都是前两项之和。即 F(1) = 1，F(2) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n>=3）。 斐波那契数列在自然界与生活中也有许多出现，如植物分枝的规律、蜂巢的排 列方式等等。因此，斐波那契数列也是高考数学中的常见题型。 1. 斐波那契数列的通项公式：Fn=(1/sqrt(5))*(((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n) 其中，sqrt(5)表示5的平方根。 2. 斐波那契数列的性质： （1）两个相邻的斐波那契数的比值逐渐趋近于黄金分割比例0.618。 （2）斐波那契数列的前n项和可以表示为F(n+2)-1。 四、调和级数 调和级数是指数列1，1/2，1/3，1/4……的前n项和。调和级数同样也是高考 数学中经常出现的题型。 1. 调和级数的通项公式：Hn=1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=ln(n)+γ 其中，γ为欧拉常数。
数列中的奇偶项问题 题型一、等差等比奇偶项问题 (1)已知数列{}n a 为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32/27，则这个数列的公差为________ (2)等比数列{}n a 的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为_______ (3)已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，则数列的中间 项为_________；项数为_____________ 题型二、数列中连续两项和或积的问题（ () 1n n a a f n ++=或 () 1n n a a f n +?=） 1．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个 常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和．已知数列 {}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为________，这个数 列的前n 项和n S 的计算公式为___________________ 2．若数列{}n a 满足：11a =，14n n a a n ++=，则数列{}21n a -的前n 项和是_____________ 3．若数列{}n a 满足：11a =，14n n n a a +=，则{}n a 的前2n 项和是___________ 4．已知数列{}n a 中，11a =，11 ()2n n n a a +?=，记n S 为{}n a 的前n 项的和， 221n n n b a a -=+，N n *∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并求出n b ； （Ⅲ）求n S . 5．（2017年9月苏州高三暑假开学调研，19） 已知数列{}n a 满足 ()*143n n a a n n N ++=-∈. （1）若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值；
高考数列常考题型归纳总结 类型1 a n +1=a n +f (n 解法：把原递推公式转化为a n +1-a n =f (n ，利用累加法(逐差相加法求解。例:已知数列{a n }满足a 1=解：由条件知：a n +1-a n = 12 ，a n +1=a n +1 = 1 1n +n 2 ，求a n 。 - 1n +1 n +n 2 n (n +1 = 1n 分别令n =1, 2, 3, ??????, (n -1 ，代入上式得(n -1 个等式累加之，即 (a 2-a 1 +(a 3-a 2 +(a 4-a 3 +??????+(a n -a n -1 =(1-
12 +( 12-13 +(1n 13-14 +??????+( 1n -1 -1n 所以a n -a 1=1- a 1= 12 12+1- 1n =32-1n ，∴a n = 类型2 a n +1=f (n a n 解法：把原递推公式转化为 23 a n +1a n =f (n ，利用累乘法(逐商相乘法求解。 n n +1 例:已知数列{a n }满足a 1=解：由条件知之，即a 2a 1
?a 3a 2 ?a 4a 323 ，a n +1=a n ，求a n 。 a n +1a n = n n +1 ，分别令n =1, 2, 3, ??????, (n -1 ，代入上式得(n -1 个等式累乘???????? a n a n -123n = 12 ? 23 ? 34 ???????? n -1n ? a n a 1
= 1n 又 a 1= ，∴a n = 例:已知a 1=3，a n +1=解：a n = 3(n -1 -13(n -1 +2 3n -43n -1 3n -13n +2 a n (n ≥1 ，求a n 。 ? 3(n -2 -13(n -2 +2 7? 4 ????? 3?2-13?2+2 6 ? 3-13+2 a 1 =?
高三数学数列最值得做的12类题 题型一：递推问题 1、已知数列{a n }中,a 1>0,且a n +1= 3+a n 2 . (1)试求a 1的值,使得数列{a n }是一个常数数列； (2)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立； （3）若a 1=4,设b n =|a n +1-a n |(n =1,2,3…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和,试证明：S n <5 2. 解：（Ⅰ）欲使数列{a n }是一个常数数列,则a n +1= 3+a n 2=a n ,又依a 1>0,可以推得a n >0并解出：a n =3 2 .即a 1=a 2=32 （Ⅱ）研究a n +1-a n = 3+a n 2 -3+a n-1 2 =a n -a n-1 2( 3+a n 2+ 3+a n-1 2) (n ≥2) 注意到：2( 3+a n 2+3+a n-1 2 )>0因此,a n +1-a n ,a n -a n -1,…,a 2-a 1有相同的符号.要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2-a 1>0即可.由 3+a 12-a 1>0,解得：03 2 时,a n +132,故S n <4-32=5 2 . 题型二：最值问题 2、已知数列}{n a 满足：11=a ,a n +1= a n 2a n +1(n ∈N ) )(N n ∈,数列}{n b 的前n 项和S n =12-12(23 )n (n ∈N ). (1) 求数列}{n a 和{b n }的通项公式； (2) 设c n =b n a n ,是否存在N m ∈,使c m ≥9成立？并说明理由. 解答：（1）由2111 211 += ?= +++n n n n a a a a n a ,∴ 12)1(211-=-+=n n n a ,1 21-= n n a )(N n ∈. 由n n S )(121232-=及1321)(1212---=n n S )2(≥n ,可得13 21)(4--=-=n n n n S S b )2(≥n , 令1=n ,则412123211=?-==S b 也满足上式,∴13 2)(4-=n n b )(N n ∈. （2）13 2132)()12(4)(4)12(---=?-== n n a b n n n C n n ,设m C 为数列}{n C 中的最大项,则 ???? ?≥≤???????+≥--≥?-??????+≥--≥-????≥≥---+-2 527 323 23213223213211)12(1232)12()()12(4)()12(4)()32(4)()12(4m m m m m m m m m m C C C C m m m m m m m m ,∴3=m . 即3C 为}{n C 中的最大项.∵9)(209 8023 2 3<==C ,∴不存在N m ∈,使9≥m C 成立. 题型三：公共项问题 3、设A n 为数列{a n }的前n 项的和，A n ＝3 2 (a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3。 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大先后顺序排成一个新的数列{d n }，证明数列{d n }的通项公 式为d n ＝32n ＋1 ; （3）设数列{d n }的第n 项是数列{b n }中的第r 项，B r 为数列{b n }的前r 项的和，D n 为数列{d n }的前n 项和，T n ＝B r －D n ，求∞→n lim T n a n 4。 解（1）由A n ＝32 (a n －1)，可知A n ＋1＝3 2 (a n ＋1－1) ∴A n ＋1－A n ＝32 (a n ＋1－a n )＝a n ＋1，即 a n ＋1 a n ＝3 而a 1＝A 1＝3 2 (a 1－1)，得a 1＝3 所以数列{a n }是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 。 （2）∵32n ＋1＝3·32n ＝3·(4－1)2n ＝3×（42n ＋C 12n ·42n －1(－1)＋…＋C 2n 2n －1·4·(－1)＋(－1)2n ） ＝4m ＋3 ∴32n ＋1 ∈{b n } 而数32n ＝（4－1）2n ＝42n ＋C 2n 1·42n －1·（－1）＋…＋C 2n 2n －1·4·(－1)＋(－1)2n ＝(4k ＋1) ∴32n ?{b n } 而数列{a n }＝{32n ＋1}∪{32n } ∴ d n ＝32n ＋1 (3)由32n ＋1 ＝4·r ＋3，可知r ＝32n ＋1 －34 ∵B r ＝r(7＋4r ＋3)2 ＝r(2r ＋5)＝32n ＋1－34 ·32n ＋1 ＋72 D n ＝271－9 ·(1－9n )＝278 (9n －1) ∴T n ＝B r －D n ＝92n ＋1＋4·32n ＋1 －218 －278 (9n －1) ＝98 ·34n －158 ·32n ＋34 又∵（a n ）4＝34n ∴∞→n lim T n a n 4＝98 题型四：存在性问题 4.等比数列．．．． {}n c 满足11410-+?=+n n n c c ，* N n ∈，数列{}n a 满足n a n c 2= （1）求{}n a 的通项公式；（5分） （2）数列{}n b 满足1 1 n n n b a a += ?，n T 为数列{}n b 的前n 项和．求n n T ∞→lim ；（5分） （3）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值； 若不存在，请说明理由．（6分）
高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 变式: 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。 例2:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1 ___n a ?=?? 12n n =≥ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:（2006，重庆,文,14） 在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________ 变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{b n }滿足121 11 *444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈ 证明：数列{b n }是等差数列； （Ⅲ）证明： *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈ 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得： q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。 例:已知数列{}n a 中，651= a ,1 1)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分） 设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333 n n n S a += -?+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n = ，证明：1 32n i i T =<∑
高考数学分类汇编：数列 高考数学分类汇编：数列 数列是数学中的一个重要概念，它是按照一定规律排列的一组数字序列。在高考数学中，数列也是一个重要的考查内容。下面我们就来梳理一下高考数学中数列的分类和相关知识点。 一、等差数列 等差数列是最常见的一种数列，它的规律是每一项与前一项的差相等。设首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。 等差数列的前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)d/2。 例1：已知等差数列{an}的公差为2，前4项之和为-12，求该数列的通项公式。 解：由已知得a1+a2+a3+a4=-12，又由等差数列的性质得a1+a4=2a2，因此a2=-4。又公差d=2，因此可求得a1=-6，所以该数列的通项公 式为an=-6+2(n-1)。 二、等比数列 等比数列的规律是每一项与前一项的比值相等。设首项为a1，公比 为q，则等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)。等比数列的前n项和公式需要根据公比是否为1分为两种情况，分别为Sn=na1和
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。 例2：已知等比数列{an}的公比为2，前4项之积为1632，求该数列的通项公式。 解：由已知得a1a2a3a4=1632，又由等比数列的性质得a1a4=a2a3，因此a1a4=48。又公比q=2，因此可求得a1=3，所以该数列的通项公式为an=3×2^(n-1)。 三、摆动数列 摆动数列是一种特殊的数列，它是指项数在一定范围内摆动的数列。通常用摆动点以及摆动范围来描述摆动规律。常见的摆动数列包括摆动幅度为定值的情况和摆动幅度为变量的情况。 四、复合数列 复合数列是由多个基本数列按照一定规律组合而成的数列。复合数列的特点是每个基本数列的变化趋势不同，但它们之间有一定的关联。求解复合数列的相关问题需要先分解出各个基本数列，再分别求解。例4：已知一个复合数列的前4项分别为1，3，7，15，求该数列的第5项和第6项。 解：观察前4项可以发现，每一项都是前一项的2倍加上1。因此可以分别求出奇数项和偶数项的基本规律，再根据规律求解第5项和第
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211 = a ，n n a a n n ++=+211 ，求n a 。 解：由条件知：1 1 1)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即 )()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以n a a n 1 11-=- 211=a ，n n a n 1231121-=-+=∴ 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321 = a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 解：由条件知11+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又3 2 1=a ，n a n 32 = ∴ 例:已知31=a ，n n a n n a 2 31 31 +-= + )1(≥n ，求n a 。 12 3132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=
高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1．递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数） 即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b += ；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3．前n 项和公式 2)(1n a a S n n += ； 2 )1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 4．等差数列{}n a 的基本性质),,,(* ∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2
⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法： ）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法： )22 1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习：1．等差数列{}n a 中， ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。 解：0912129=-=S S S S ， 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，， ∴{}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S 解
高考数列题型及解题方法总结 高考数列是一种考查学生数学能力的重要方式，它不但考查学生掌握的数学知识，还考查学生在解决实际问题时的综合能力。本文主要就高考数列题型及相应解题方法总结如下，以期为学生带来帮助。 一、高考数列题型总结 1.数列的通项公式：本题主要考查学生掌握数列的规律，理解其发展规律，分析出等比数列或等差数列的通项公式。 2.数列的前n项和：本题主要考查学生掌握等比数列和等差数列的前n项和公式，熟练的后推法。 3.等比数列的首项和公比：本题主要考查学生掌握等比数列的定义，理解概念，根据题目提供的已知条件写出等比数列的三角形公式，解出其首项和公比。 4.别数列：本题主要考查学生掌握分别数列的定义，理解概念，根据题目提供的已知条件能分析出其结构，逐个解出分别数列的项数和某一项的值。 二、解题方法总结 1.系题意：本步骤的作用是理解题目的文字，把握题意，明确题目要求的是什么，本题要求什么，分析题干中给出的条件是什么，根据要求，确定所求数列是等比数列还是等差数列。 2.规律：本步骤的作用是把握数列的规律，在把握等比数列或等差数列的规律时，要求学生理解数列的发展规律，如果把等比数列视为关于期数的函数，或者把等差数列视为关于期数的线性函数，则可
以迅速获得等比数列或等差数列的三角形公式，从而得出通项公式。 3.积法：本步骤的作用是求数列的前n项和，常用的方法就是累积法，学生需要掌握等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，根据已知条件计算出数列的前n项和，从而得出结论。 4.用公式：本步骤的作用是求等比数列的首项和公比。学生需要掌握等比数列定义，熟悉其三角形公式，根据题目给出的条件，计算出首项和公比的值。 5.找规律：本步骤的作用是求分别数列的项数和某一项的值。学生需要掌握分别数列的定义，根据给出的条件，先把分别数列分解成多个等差数列，逐个列出各部分的公式，再根据题目要求计算出每部分的项数或某一项的值。 以上就是关于高考数列题型及解题方法总结的文章，希望对大家有所帮助。在学习数列时，学生要结合实际，多多动手，结合实例帮助理解，并结合解题方法不断的练习，只有通过大量的练习，才能掌握高考数列解题的技巧，在考试中有一个好的表现。
数列大题的考法研究 题型一：等差数列、等比数列的判定与证明 1．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且满足2133(1)02 2 n n nS n S n n +-+--=.证明：数列n S n ⎧⎫ ⎨⎬⎩⎭ 是等差数列，并求{}n a 的通项公式； 2．已知数列{}n a 满足：12a =，()11 n n n a a n n ++=+. 设n n a b n =，证明：数列{}n b 是等差数列； 3．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足3223 n n a S = -. 证明：对任意的正整数n ，集合{}21221,,n n n a a a -+中的三个元素可以排成一个递增的等差数列 题型二：分组转化法求和 1．已知数列{}n a 满足11a =，11 ,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数 为偶数． （1）求2a ，3a ； （2）设22n n b a =-，求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式； （3）已知12log n n c b =，求证：1223 11111n n c c c c c c -+++ <．
2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,? ,? n n n S n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前20项和20T ． 3．已知数列{}n a 满足11a =，11,, .n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数，为偶数 （1）求2a ，3a ，4a ，并求n a ； （2）求{}n a 的前100项和100S ． 4．山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有1000名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸子面和饸饹面两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有20%改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有30%改选牛肉丸子面．用,n n a b 分别表示在第n 个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且1600a =． （1）证明：数列{}n a 是常数列； （2）若2,2,n n n n c n ⎧=⎨⎩为奇数 为偶数 ，求数列{}n n b c +的前2n 项和2n S ．
高中数列题型大全 高中数列题型大全 1.算数数列 算数数列是一个常见的数列类型，其中每个数与前一个数之间的差值 是相等的。算数数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为第一个数，d为公差，n为要求的项数。 2.等差数列 等差数列是指每个数与前一个数之间的差值是相等的，与算数数列类似。等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为第一个数，d 为公差，n为要求的项数。 3.几何数列 几何数列是一种数列，其中每个数与前一个数之间的比值是相等的。 几何数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为第一个数，r为公比，n为要求的项数。 4.等比数列 等比数列是指每个数与前一个数之间的比是相等的，与几何数列类似。等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为第一个数，r为公比，n为要求的项数。 5.递推数列
递推数列是一种数列，其中每个数都是前面一个或前几个数的函数。递推数列的通项公式通常比较复杂，需要使用递推公式来求解。 6.级数 级数是指将一个数列中的所有数相加而得到的结果。级数有许多有趣的性质和应用，如调和级数、几何级数、收敛和发散等。 7.斐波那契数列 斐波那契数列是一种数列，其中每个数都是前面两个数之和。斐波那契数列有许多应用，如黄金比例、兔子繁殖等。 8.其它数列 除了上述常见的数列类型之外，还有一些特殊的数列类型，如质数数列、猜测终止数列等。这些数列类型可能比较少见，但它们也有着自己的特点和应用。 总结 高中数学中，数列是一个非常重要的概念和应用。数列不仅有着丰富的性质和变换规律，还有着广泛的应用，如金融领域、物理领域、计算机科学等。掌握数列的基本概念和性质，对于学生未来的学习和职业发展都有着积极的影响。
数 列 一、高考要求 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能依据递推公式写出数列的前n 项. 理解等差（比）数列的概念，把握等差（比）数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些学问来解决一些实际问题. 了解数学归纳法原理，把握数学归纳法这一证题方法，把握“归纳—猜想—证明”这一思想方法. 二、热点分析 1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般状况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列全部项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式学问的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类争辩等数学思想方法，是属于中高档难度的题目. 2.有关数列题的命题趋势 （1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻生疏函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和力气的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点 （2）数列推理题是新毁灭的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查规律推理力气，近两年在数列题中也加强了推理力气的考查。（3）加强了数列与极限的综合考查题 3.娴熟把握、机敏运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用格外广泛，且格外机敏，主动发觉题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁秀丽 .如 243546225a a a a a a ++=，可以利 用等比数列的性质进行转化：从而有223355225a a a a ++=，即 235()25a a +=. 4.对客观题，应留意寻求简捷方法 解答历年有关数列的客观题，就会发觉，除了常规方法外，还可以用 更简捷的方法求解.现介绍如下： ①借助特殊数列. ②机敏运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加精确 、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有机敏、简捷的解法 5.在数列的学习中加强力气训练 数列问题对力气要求较高，特殊是运算力气、归纳猜想力气、转化力气、规律推理力气更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法机敏多变，而解答题更是考查力气的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理力气的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平常要加强对力气的培育。 6．这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的学问主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观看、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降. 三、复习建议 对基础学问要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前n 项和. 留意等差（比）数列性质的机敏运用. 把握一些递推问题的解法和几类典型数列前n 项和的求和方法. 留意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类争辩思想. 留意数列学问在实际问题中的应用，特殊是在利率,分期付款等问题中的应用. 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式毁灭，所以我们在复习时应赐予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础学问、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了同学的各种力气。 四、典型例题 已知由正数组成的等比数列{}n a ，若前n 2项之和等于它前n 2项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项 之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式. 解：∵q=1时122na S n =，1 na S =偶数项 又01>a 明显11112na na ≠，q ≠1 ∴ 2 212121) 1(1)1(q q q a S q q a S n n n --= =--=偶数项 依题意2 21211) 1(111)1(q q q a q q a n n --⋅ =--；解之 101 = q 又421422 143),1(q a a a q q a a a =+=+， 依题意4 212111)1(q a q q a =+，将 101 = q 代入得101=a n n n a --=⋅=2110)101( 10 等差数列{an }中， 123 3a a ==30，33a =15，求使an ≤0的最小自然数n 。 解：设公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+3012230211d a d a 或⎩⎨⎧=+-=+3012230211d a d a 或⎩⎨⎧-=+=+301223021 1d a d a 或⎩⎨⎧-=+-=+3012230211d a d a 解得：⎩⎨ ⎧==0 30 1d a a33 = 30 与已知冲突 或⎪⎩ ⎪⎨⎧=-=2 131 1d a a33 = - 15 与已知冲突 或⎪⎩ ⎪⎨⎧-==21311d a a33 = 15 或⎩⎨ ⎧=-=0 301d a a33 = - 30 与已知冲突 ∴an = 31+(n - 1) (21- ) 31 ≤-- 21 n 0 n ≥63 ∴满足条件的最小自然数为63。 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S4=44,S7=35 （1）求数列{a n }的通项公式与前n 项和公式； （2）求数列|}{|n a 的前n 项和Tn 。 解：（1）设数列的公差为d ，由已知S4=44,S7=35可得a1=17,d=-4 ∴a n =-4n+21 (n ∈N),S n =-2n 2 +19 (n ∈N). （2）由a n =-4n+21≥0 得n≤421 , 故当n≤5时，a n ≥0, 当n≥6时，0 必考题型高考数学：数列求和问题大全 第26练数列求和问题大全题型一分组转化法求和例1等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2 ，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.破题切入点(1)可以通过逐个验证来确定 数列的前三项，进而求得an；(2)可以分组求和：将{bn}前n项和转化为数列{an}和数列{(－1)nlnan}前n项的和．解 (1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2 ＝6，a3＝18.所以公比q＝3.故an＝2·3n－1(n∈N)．(2)因为bn ＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋( －1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln 3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1 ＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln3＝3n ＋ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×－(ln 2－ln3)＋ln3＝3n－ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝题型二错位相减法求和例2已知：数列{an}的前n项和 为Sn，且满足Sn＝2an－n(n∈N)．(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若数列{bn}的前n项和 为Tn，且满足bn＝nan(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Tn.破题切入点(1)代入求解即可．(2)由Sn＝2an－n得S n－1＝2an－1－(n－1)，n≥2，两式相减构造数列求通项公式．(3)错位相减求和．解(1)Sn＝2an－n.令n＝1，解得 a1＝1；令n＝2，解得a2＝3.(2)Sn＝2an－n，所以Sn－1＝2an 数列通项与求和 一、数列的通项 方法总结： 对于数列的通项的变形，除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期或者根据图形进行推理。其余形式我们一般遵循以下几个原则： ①对于同时出现n a ,n ,n S 的式子，首先要对等式进行化简。常用的化简方法是因式分解，或者同除一个式子，同加，同减，取倒数等，如果出现分式，将分式化简成整式； ②利用1--=n n n S S a 关系消掉n S （或者n a ），得到关于n a 和n 的等式，然后用传统的求通项方法求出通项； ③根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列； ④对于出现2 n a 或2 n S （或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提取公因式法；遇到1+∙n n a a 时还会两边同除1+∙n n a a . 1. 规律性形式求通项 1-1.数列{a n }满足a n +1=，若a 1=，则a 2016的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 1-2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B •曼德尔布罗特（Benoit B ．Mandelbrot ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照 的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（ ） A ．55 B ．89 C ．144 D ．233 1-3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为（n ≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 ， ， ，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（ ） A ． B ． C ． D ． 2.出现n a ,n ,n S 的式子 1-4.正项数列{a n }的前项和{a n }满足:2 22(1)()0n n s n n s n n -+--+= (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令()2 221 n n a n n b ++=,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有5 64 n T < . 1-5.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =, 21212 33 n n S a n n n +=---,*n ∈N . (1) 求2a 的值; (2) 求数列{}n a 的通项公式. 高考数学专题——数列（求S n ） 求s n 的四种方法总结 常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组 转化法、并项求和法。 1、倒序相加法：实质为等差数列求和。 例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和. 【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2 =4q+16,即q 2 -2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1 =2 2n-1 . (2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2 . 2、错位相减法：实质为等差×等比求和。 错位相减法的万能公式及推导过程： 公式：数列c n =(an +b )q n−1，(an +b )为等差数列，q n−1为等比数列。 前n 项和S n =(An +B )q n +C A = a q −1，B = b −A q −1 ，C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得： (q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n =−(a +b )−a ⋅ q(1−q n−1) 1−q +(an +b )q n =(an +b −a q−1)q n −(b −a q−1)必考题型高考数学：数列求和问题大全
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