§6.2等差数列及其前n项和
【考点集训】
考点一等差数列的定义及通项公式
1.(2018陕西咸阳12月模拟,7)《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?()
A.3尺
B.4尺
C.5尺
D.6尺
答案C
2.(2017安徽淮南一模,15)已知数列{a n}满足递推关系式a n+1=2a n+2n-1(n∈N*),且为等差数列,则λ的值是.
答案-1
3.(2018河南开封定位考试,17)已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)若b n=a n a n+1,求数列{b n}的前n项和S n.
解析(1)证明:∵a
=,∴=,
n+1
∴-=.
∴数列是以2为首项,为公差的等差数列.
(2)由(1)知a n=,∴b n==4-,
∴S n=4--…-
=4-=.
考点二等差数列的性质
(2019届湖北宜昌模拟,6)已知数列{a
}满足=25·,且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)=()
n
A.-3
B.3
C.-
D.
答案A
考点三等差数列的前n项和
1.(2018安徽安庆调研,5)等差数列{a n}中,已知S15=90,那么a8=()
A.12
B.4
C.3
D.6
答案D
2.(2017河南部分重点中学二联,6)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当S n最大时,n=()
A.6
B.7
C.10
D.9
答案B
3.(2019届福建龙岩永定区模拟,10)已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n和T n,且=,则=()
A.
B.
C.
D.
答案 D
炼技法 【方法集训】
方法1 等差数列的判定与证明的方法
(2019届福建三明模拟,17)已知数列{a n }中,a n =2n-1. (1)证明:数列{a n }是等差数列;
(2)若数列{a n }的前n 项和S n =25,求n.
解析 (1)证明:∵a n+1-a n =2(n+1)-1-(2n-1)=2,a 1=1, ∴数列{a n }是等差数列,首项为1,公差为2. (2)由(1)得数列{a n }的前n 项和S n =n+ -
×2=n 2,由S n =25得n 2=25,又n>0,解得n=5.
方法2 等差数列前n 项和的最值问题的解决方法
1.(2019届江西高安模拟,11)已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,满足a 1+3a 2=S 6,给出下列结论:(1)a 7=0;(2)S 13=0;(3)S 7最小;(4)S 5=S 8.其中正确结论的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
2.(2019届福建龙岩新罗区模拟,12)已知等差数列{a n }的公差为-2,前n 项和为S n ,a 3,a 4,a 5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120°,若S n ≤S m 对任意的n ∈N *恒成立,则实数m=( ) A.7 B.6 C.5
D.4
答案 B
3.(2019届福建龙岩新罗区模拟,16)等差数列{a n }中,S n 是它的前n 项和,且S 6S 8,给出下列结论: ①数列{a n }的公差d<0;②S 9
过专题
【五年高考】
A 组 统一命题·课标卷题组
考点一 等差数列的定义及通项公式
(2016课标全国Ⅱ,17,12分)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6.
(1)求{a n }的通项公式;
(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 解析 (1)设数列{a n }的公差为d,由题意有2a 1+5d=4,a 1+5d=3. 解得a 1=1,d=
.(3分) 所以{a n }的通项公式为a n =
.(5分) (2)由(1)知,b n =
.(6分) 当n=1,2,3时,1≤
<2,b n =1; 当n=4,5时,2<
<3,b n =2;
当n=6,7,8时,3≤<4,b
n
=3;
当n=9,10时,4<<5,b
n
=4.(10分)
所以数列{b
n
}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)考点二等差数列的性质
(2015课标Ⅱ,5,5分)设S
n 是等差数列{a
n
}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=()
A.5
B.7
C.9
D.11
答案A
考点三等差数列的前n项和
1.(2015课标Ⅰ,7,5分)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()
A. B. C.10 D.12
答案B
2.(2014课标Ⅱ,5,5分)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=()
A.n(n+1)
B.n(n-1)
C. D.-
答案A
3.(2018课标全国Ⅱ,17,12分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)求S n,并求S n的最小值.
解析(1)设{a
n
}的公差为d,
由题意得3a
1
+3d=-15.
由a
1
=-7得d=2.
所以{a
n
}的通项公式为a n=2n-9.
(2)由(1)得S n=n2-8n=(n-4)2-16.
所以当n=4时,S
n
取得最小值,最小值为-16.
B组自主命题·省(区、市)卷题组
考点一等差数列的定义及通项公式
1.(2016浙江,8,5分)如图,点列{A n},{B n}分别在某锐角的两边上,且
|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+2,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()
A.{S n}是等差数列
B.{}是等差数列
C.{d n}是等差数列
D.{}是等差数列
答案A
2.(2014辽宁,9,5分)设等差数列{a n}的公差为d.若数列{}为递减数列,则()
A.d>0
B.d<0
C.a1d>0
D.a1d<0
答案D
3.(2015北京,16,13分)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{a n}的第几项相等?解析(1)设等差数列{a
n
}的公差为d.
因为a
4
-a3=2,所以d=2.
又因为a
1
+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.
所以a
n
=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).
(2)设等比数列{b n}的公比为q.
因为b
2
=a3=8,b3=a7=16,
所以q=2,b
1
=4.
所以b
6
=4×26-1=128.
由128=2n+2得n=63.
所以b
6与数列{a
n
}的第63项相等.
4.(2014浙江,19,14分)已知等差数列{a n}的公差d>0.设{a n}的前n项和为S n,a1=1,S2·S3=36.
(1)求d及S n;
(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=65.
解析(1)由题意知(2a
1
+d)(3a1+3d)=36,
将a
1
=1代入上式解得d=2或d=-5.
因为d>0,所以d=2.从而a
n
=2n-1,S n=n2(n∈N*).
(2)由(1)得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=(2m+k-1)(k+1),
所以(2m+k-1)(k+1)=65.
由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故-
所以
考点二等差数列的性质
1.(2014重庆,2,5分)在等差数列{a n}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()
A.5
B.8
C.10
D.14
答案B
2.(2015陕西,13,5分)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为. 答案5
考点三等差数列的前n项和
1.(2017浙江,6,4分)已知等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案C
2.(2015安徽,13,5分)已知数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1+(n≥2),则数列{a n}的前9项和等于.
答案27
C组教师专用题组
考点一等差数列的定义及通项公式
1.(2013安徽,7,5分)设S n为等差数列{a n}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()
A.-6
B.-4
C.-2
D.2
答案A
2.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n(x)),n∈N+,则f2014(x)的表达式为.
答案f
2014
(x)=
3.(2015福建,17,12分)等差数列{a n}中,a2=4,a4+a7=15.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=-+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.
解析(1)设等差数列{a
n
}的公差为d.
由已知得
解得
所以a
n
=a1+(n-1)d=n+2.
(2)由(1)可得b n=2n+n.
所以b
1
+b2+b3+…+b10
=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)
=(2+22+23+...+210)+(1+2+3+ (10)
=-
-
+
=(211-2)+55=211+53=2101.
4.(2013课标Ⅰ,17,12分)已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0,S5=-
5.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)求数列
-
的前n项和.
解析(1)设{a
n
}的公差为d,则S n=na1+- d.
由已知可得
-解得a
1
=1,d=-1.
故{a
n
}的通项公式为a n=2-n.
(2)由(1)知
-=
--
=
-
-
-
,
从而数列
-
的前n项和为
--+-+…+
-
-
-
=
-
.
5.(2013江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos2B=1.
(1)求证:a,b,c成等差数列;
(2)若C=,求的值.
解析(1)证明:由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,
因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B,
由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.
(2)由C=,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以=.
考点二 等差数列的性质
(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题: p 1:数列{a n }是递增数列; p 2:数列{na n }是递增数列; p 3:数列
是递增数列; p 4:数列{a n +3nd}是递增数列.
其中的真命题为( ) A.p 1,p 2 B.p 3,p 4 C.p 2,p 3 D.p 1,p 4 答案 D
考点三 等差数列的前n 项和
1.(2014天津,5,5分)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1=( ) A.2
B.-2
C.
D.-
答案 D
2.(2014重庆,16,13分)已知{a n }是首项为1,公差为2的等差数列,S n 表示{a n }的前n 项和.
(1)求a n 及S n ;
(2)设{b n }是首项为2的等比数列,公比q 满足q 2-(a 4+1)q+S 4=0.求{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 解析 (1)因为{a n }是首项a 1=1,公差d=2的等差数列,所以a n =a 1+(n-1)d=2n-1. 故S n =1+3+…+(2n-1)=
= -
=n 2
. (2)由(1)得a 4=7,S 4=16.因为q 2-(a 4+1)q+S 4=0,即q 2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4. 又因为b 1=2,{b n }是公比q=4的等比数列,
所以b n =b 1q n-1=2×4n-1=22n-1. 从而{b n }的前n 项和T n =
- -
= (4n
-1). 3.(2013浙江,19,14分)在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列.
(1)求d,a n ;
(2)若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.
解析 (1)由题意得5a 3·a 1=(2a 2+2)2,即d 2-3d-4=0.故d=-1或d=4.
所以a n =-n+11,n ∈N *或a n =4n+6,n ∈N *.
(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d<0,由(1)得d=-1,a n =-n+11,所以当n ≤11时, |a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =-
n 2+
n.
当n ≥12时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=-S n +2S 11=
n 2-
n+110. 综上所述,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n | = -
-
【三年模拟】
时间:45分钟 分值:60分
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2018河南开封定位考试,5)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 5=10,S 4=16,则数列{a n }的公差为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B
2.(2017辽宁六校协作体期中,8)已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若对于任意的正整数n,都有=-
,则
-+=()
A. B. C. D.
答案A
3.(2018云南玉溪模拟,9)若{a n}是等差数列,公差d<0,a1>0,且a2013(a2012+a2013)<0,则使数列{a n}的前n项和S n>0成立的最大正整数n是()
A.4027
B.4026
C.4025
D.4024
答案D
4.(2017广东惠州二调,7)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则=()
A.1
B.-1
C.2
D.
答案A
5.(2019届河北唐山模拟,8)已知数列{a n}的前n项和S n=2+λa n,且a1=1,则S5=()
A.27
B.
C.
D.31
答案C
6.(2019届浙江温州模拟,9)已知{a n},{b n}均为等差数列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由{a n},{b n}的公共项组成新数列{c n},则c10=()
A.18
B.24
C.30
D.36
答案C
7.(2019届河北唐山模拟,6)设{a n}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()
A.2X+Z=3Y
B.4X+Z=4Y
C.2X+3Z=7Y
D.8X+Z=6Y
答案D
二、填空题(共5分)
8.(2018四川德阳一模,7)我国古代数学名著《张邱建算经》中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数
是.
答案195
三、解答题(共20分)
9.(2018广东惠州一调,17)已知等差数列{a n}的公差不为0,前n项和为S n(n∈N*),S5=25,且S1,S2,S4成等比数列.
(1)求a n与S n;
(2)设b n=,求证:b1+b2+b3+…+b n<1.
解析(1)设等差数列{a
}的公差为d(d≠0),
n
则由S
=25可得a3=5,即a1+2d=5①,
5
又S
,S2,S4成等比数列,且S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,
1
所以(2a
+d)2=a1(4a1+6d),整理得2a1d=d2,
1
因为d≠0,所以d=2a
②,
1
联立①②,解得a
=1,d=2,
1
所以a
=1+2(n-1)=2n-1,S n=-=n2.
n
(2)证明:由(1)得b n==-,
所以b
1
+b2+b3+…+b n=-+-+…+-
=1-.
又∵n∈N*,∴1-<1.∴b
1
+b2+b3+…+b n<1.
10.(2019届河北曲周模拟,17)等差数列{a n}中,公差d<0,a2+a6=-8,a3a5=7.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)记T n为数列{b n}前n项的和,其中b n=|a n|,n∈N*,若T n≥1464,求n的最小值.解析(1)∵等差数列{a
n
}中,公差d<0,a2+a6=-8,
∴a2+a6=a3+a5=-8,又∵a3a5=7,
∴a3,a5是一元二次方程x2+8x+7=0的两个根,且a3>a5,
解方程x2+8x+7=0,得a
3
=-1,a5=-7,
∴-
-
解得a
1
=5,d=-3.
∴a n=5+(n-1)×(-3)=-3n+8.
(2)由(1)知{a n}的前n项和S n=5n+-×(-3)=-n2+n.∵b n=|a n|,∴b1=5,b2=2,b3=|-1|=1,b4=|-4|=4,
当n≥3时,b
n
=|a n|=3n-8.
当n<3时,T
1
=5,T2=7;
当n≥3时,T
n
=-S n+2S2=-+14.
∵T n≥1464,∴T n=-+14≥1464,
即(3n-100)(n+29)≥0,解得n≥,
∴n的最小值为34.
2020高三一轮基础达标 考点22等差数列及其前n 项和 一、选择题 1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24 2．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝5，S n ＝64，则n ＝( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3．等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7 b 7＝( ) A.37 27 B.3828 C.3929 D.4030 4．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．28 5．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( ) A ．72 B ．88 C ．92 D ．98 6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 7．设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( ) A ．6 B ．7 C ．10 D ．9 8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＋a 11＝30，则S 13＝( ) A ．130 B ．65 C ．70 D ．140 9．设{a n }是公差不为0的等差数列，且a 24＋a 25＝a 26＋a 27， 则该数列的前10项和S 10＝( ) A ．－10 B ．－5 C ．0 D ．5 10．在等差数列{a n }中，已知S 4＝1，S 8＝4，设S ＝a 17＋a 18＋a 19＋a 20，则S 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 11．(一题多解)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 二、填空题 12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0， S 2m －1＝38，则m ＝________．
其次节等差数列及其前n项和 突破点(一)等差数列的性质及基本量的计算 基础联通抓主干学问的“源”与“流” 1．等差数列的有关概念 (1)定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b 2，其中A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1) 2d＝ n(a1＋a n) 2. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n . (3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (5)若数列{a n}，{b n}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pa n}，{a n＋p}，{pa n＋qb n}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 考点贯穿抓高考命题的“形”与“神” 等差数列的基本运算 [例1](1)(2022·东北师大附中摸底考试)在等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为() A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(2022·惠州调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，a1＝4，则公差d等于() A．1 B. 5 3 C．－2 D．3 [解析](1)∵a1＋a5＝2a3＝10， ∴a3＝5，则公差d＝a4－a3＝2，故选B. (2)由S3＝ 3(a1＋a3) 2＝6， 且a1＝4，得a3＝0， 则d＝ a3－a1 3－1 ＝－2，故选C. [答案](1)B(2)C [方法技巧] 1．等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想． 2．等差数列设项技巧 若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 等差数列的性质 [例2](1)在等差数列{a n}396n n S11＝() A．18 B．99 C．198 D．297 (2)已知{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________. [解析](1)由于a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9， 所以3a6＝27，所以a6＝9， 所以S11＝11 2(a1＋a11)＝11a6＝99. (2)由于{a n}，{b n}都是等差数列， 本节主要包括3个学问点： 1.等差数列的性质及基本量的计算； 2.等差数列前n项和及性质的应用； 3.等差数列的判定与证明.
§6.2等差数列及其前n项和 【考点集训】 考点一等差数列的定义及通项公式 1.(2018陕西咸阳12月模拟,7)《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?() A.3尺 B.4尺 C.5尺 D.6尺 答案C 2.(2017安徽淮南一模,15)已知数列{a n}满足递推关系式a n+1=2a n+2n-1(n∈N*),且为等差数列,则λ的值是. 答案-1 3.(2018河南开封定位考试,17)已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=. (1)求证:数列是等差数列; (2)若b n=a n a n+1,求数列{b n}的前n项和S n. 解析(1)证明:∵a =,∴=, n+1 ∴-=. ∴数列是以2为首项,为公差的等差数列. (2)由(1)知a n=,∴b n==4-, ∴S n=4--…- =4-=. 考点二等差数列的性质 (2019届湖北宜昌模拟,6)已知数列{a }满足=25·,且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)=() n A.-3 B.3 C.- D. 答案A 考点三等差数列的前n项和 1.(2018安徽安庆调研,5)等差数列{a n}中,已知S15=90,那么a8=() A.12 B.4 C.3 D.6 答案D 2.(2017河南部分重点中学二联,6)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当S n最大时,n=() A.6 B.7 C.10 D.9 答案B 3.(2019届福建龙岩永定区模拟,10)已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n和T n,且=,则=()
第2节 等差数列及其前n 项和 考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系. 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数). (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2. 2.等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2 . 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *). (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. (5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫S n n 也为等差数列. 1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .
第2讲 等差数列及其前n 项和 , ) 1．等差数列的有关概念 (1)定义 假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N * ，d 为常数)． (2)等差中项 数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2 ，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2 d ＝（a 1＋a n ）n 2 ． 3．等差数列的性质 已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N * )，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 1．辨明两个易误点 (1)要留意概念中的“从第2项起”．假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． (2)留意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区分． 2．妙设等差数列中的项 若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ； 若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 3．等差数列的四种推断方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N * )⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2 ＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 1.教材习题改编 等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项 D ．第22项 C a 1＝11，d ＝8－11＝－3， 所以a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. 由－3n ＋14＝－49，得n ＝21.故选C. 2.教材习题改编 已知p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2均为常数)，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 C 若{a n }是等差数列，不妨设公差为d . 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ， 令k 1＝d ，k 2＝a 1－d ，则a n ＝k 1n ＋k 2， 若数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2为常数，n ∈N * )， 则当n ≥2且n ∈N * 时，a n －1＝k 1(n －1)＋k 2， 所以a n －a n －1＝k 1(常数)(n ≥2且n ∈N * )， 所以{a n }为等差数列， 所以p 是q 的充要条件． 3.教材习题改编 等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63 D ．27 B 法一：由于S 9＝9（a 1＋a 9） 2＝9a 5＝9×6＝54.故选B. 法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6， 所以S 9＝9a 1＋9×8 2 d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B. 4．(2021·金丽衢十二校联考)已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为________．
【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时精练 34.等差数列及其前n 项和 [A 级 基础题——基稳才能楼高] 1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( ) A ．30 B ．29 C ．28 D ．27 2．(2019·北京丰台区模拟)数列{2n －1}的前10项的和是( ) A ．120 B ．110 C ．100 D ．10 3．(2019·豫北重点中学联考)已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，则a 4等于( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2 4．(2019·张掖质检)设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2＝35,2a 4－a 6＝7，则d ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5．(2019·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( ) A ．20 B ．40 C ．60 D ．80 [B 级 保分题——准做快做达标] 1．(2019·惠州调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 9＝12a 12＋6，a 2＝4，则数列⎩ ⎪⎨⎪ ⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的 前10项和为( ) A.11 12 B ．1011 C.910 D ．89
2．(2019·昆明适应性检测)已知等差数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝ a 2，则a 8＝( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 3．(2019·南宁名校联考)等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝6，则{a n }的前9项和等于( ) A ．－18 B ．27 C ．18 D ．－27 4．(2019·中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩ ⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪ ⎫S n n 的前 11项和为 ( ) A ．－45 B ．－50 C ．－55 D ．－66 5．(2019·南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升 B ．6766升 C.47 44 升 D ．3733 升 6．(2019·云南统一检测)已知等差数列{a n }中，a 1＝11，a 5＝－1，则{a n }的前n 项和S n 的最大值是( ) A ．15 B ．20 C ．26 D ．30 7．(2019·四川三地四校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10 10＝2， 则S 2 018＝( ) A ．2 018 B ．－2 018 C ．4 036 D ．－4 036 8．(2019·太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，等差数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N * )，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n <2T n B ．b 4＝0 C ．T 7>b 7 D ．T 5＝T 6
◆牛刀小试•成功靠岸◆ 课堂达标(二十七) [A 基础巩固练] 1．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [解析] 法一：设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 2a 1＋4d ＝10， a 1＋3d ＝7.解得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a 1＝1， d ＝2.∴d ＝2. 法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10， ∴a 3＝5.又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2. [答案] B 2．(2018·宁夏银川市二模试卷)在等差数列{a n }中，已知a 4＝5，a 3是a 2和a 6的等比中项，则数列{a n }的前5项的和为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．15或25 [解析] ∵在等差数列{a n }中，a 4＝5，a 3是a 2和a 6的等比中项，∴ ⎩ ⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝5 1＋2＝1 ＋ 1 ＋ ， 解得a 1＝－1，d ＝2， ∴数列{a n }的前5项的和为： S 5＝5a 1＋5×4 2d ＝5×(－1)＋5×4＝15.故选：A. [答案] A 3．(2018·山师大附中高三三模)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为5 4 ，则S 5等于( ) A ．29 B ．31 C ．33 D ．36 [解析] 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ， 由题意知⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ a 1qa 1q 4 ＝2a 1q 2 a 1q 3＋2a 1q 6 ＝2×54，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝ 12 a 1＝16 ，
第二讲 等差数列及其前n 项和 A 组基础巩固 一、单选题 1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( D ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 [解析] 由a 2＝2，a 3＝4知d ＝4－2 3－2＝2. 所以a 10＝a 2＋8d ＝2＋8×2＝18.故选D. 2．(2021·贵州阶段性检测)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 5＋a 7＝15，则该数列前9项和S 9＝( D ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．45 [解析] 本题考查等差数列的性质，前n 项和公式．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝3a 5 ＝15，a 5＝5，所以S 9＝ a 1＋a 9 2×9＝2a 5 2 ×9＝9a 5＝9×5＝45.故选D. 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( D ) A ．3 B ．7 C ．9 D ．10 [解析] 因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，所以d ＝22－4a 2 2＝3，a 1＝a 2－d ＝4－3 ＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，解得n ＝10. 4．(2022·安徽合肥模拟)记等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n .若S 10＝40，a 6＝5，则( C ) A ．d ＝3 B ．a 10＝12 C ．S 20＝280 D ．a 1＝－4 [解析] 依题意，得S 10＝ a 1＋a 10·10 2 ＝5(a 5＋a 6)＝40，解得a 5＝3，则d ＝a 6－a 5＝2， 则a 10＝a 6＋4d ＝5＋8＝13，a 1＝a 5－4d ＝3－8＝－5，S 20＝20a 1＋190d ＝－100＋380＝280，故选C. 5．一个等差数列的首项为1 25，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取 值范围是( D ) A ．d >875 B ．d <325
专题6.2 等差数列及其前n 项和 1．(2020·吉林长春市质量监测)等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，a 2＋a 3＝10，S 6＝54，则该数列的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2．(2020·重庆市七校联考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝55，S 3＝3，则a 5等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．9 3．(2020·吉林省白山一中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．24 4．(2020·辽宁丹东质检)我国明代伟大数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为( ) A ．0.9升 B ．1升 C ．1.1升 D ．2.1升 5．(2020·安徽省芜湖一中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( ) A ．a 9＝17 B ．a 10＝18 C ．S 9＝81 D ．S 10＝90 6．(2020·湖北武汉调研)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为 ． 7．(2020·福建龙岩模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，则a 20的值为 ，S 21的值为 ． 8．(2020·广东揭阳模拟)已知数列{a n }满足a 1＝－19，a n ＋1＝a n 8a n ＋1 (n ∈N *)，则a n ＝ ，数列{a n }中最大项的值为 ．
专题6.2 等差数列及其前n 项和 1．（江西师范大学附属中学2019届高三三模）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和， 5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．2 B ．7 C ．14 D ．28 【答案】C 【解析】 5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a = ()177477142 a a S a +∴= ==，本题选C 。 2．（安徽省1号卷A10联盟2019届模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则3111 9a a a ++=（ ） A ．12 B ．9 C ．6 D ．3 【答案】B 【解析】由等差数列性质可知：21112163S a ==，解得：113a = 311191139a a a a ∴++== 本题选B 。 3．（贵州省贵阳市2019届高三模拟）已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（ ） A ．6 B ．6- C ．2- D ．4 【答案】A 【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8， ∴a 5+a 6=2， ∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5＜a 6， ∴a 5=-2，a 6=4， ∴d=a 6-a 5=6， 故选A 。 4．（河北衡水中学2019届高三调研）已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则
5a =（ ） A ．2 B ．2或32 C ．2或-32 D ．-1 【答案】B 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q （q 0≠）， 1324,,2a a a 成等差数列， 321224a a a ∴=+，10a ≠， 220q q ∴--=，解得：q=2q=-1或， 451a =a q ∴，5a =232或， 故选B. 5．（浙江省金华十校2019届高三模拟）等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠， 由111a b ==，53a b =，可得2 14d q +=， 则22 91812(1)211a d q q =+=+-=->-， 可得9a 能取到的最小整数是0，故选B 。 6．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三模拟）已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、 4a 成等比数列，则 114 3 a a a +=（ ） A ．7 B ．5 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】设等差数列{}n a 公差为d 1a 、2a 、4a 成等比数列 2 214 a a a ∴=
§6.2 等差数列及其前n 项和 考纲展示► 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 考点1 等差数列的基本运算 1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差等于________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母________表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N * ，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N * )． (2)等差中项 若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b 2 . 答案：(1)2 同一个常数 d 2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是________． (2)等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n n －1 2 d 或S n ＝n a 1＋a n 2 . 答案：(1)a n ＝a 1＋(n －1)d (1)[教材习题改编]已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________． 答案：52 (2)[教材习题改编]在100以内的正整数中有________个能被6整除的数． 答案：16 知三求二． 等差数列中，有五个基本量，a 1，d ，n ，a n ，S n ，这五个基本量通过________，____________联系起来，如果已知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其间主要是通过方程思想，列方程组求解． 答案：通项公式 前n 项和公式 [典题1] (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4
第02节 等差数列及其前n 项和 【考纲解读】 【知识清单】 一．等差数列的有关概念 1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为 1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥. 2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列. 3.等差中项的概念： 定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2 a b A += . a ，A ，b 成等差数列⇔2 a b A += . 4.等差数列的前n 和的求和公式：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 对点练习： 【2017届某某省某某市二模】在等差数列中，若 ，则 _______. 【答案】 二、等差数列的前n 项和 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-==+. 对点练习： 【2018届某某省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14k S -=， 9k S =，则k a =__________，1a 的最大值为__________． 【答案】 54. 【解析】15k k k a S S -=-=，因为()1592 k k a S +==，又k 的最小值为2，可知1a 的最大值为4. 三、等差数列的相关性质 1.等差数列的性质： （1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ， 8a ，13a ，18a ，……； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m -=-()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ， q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =+，m a 是p q a a 、的等差中项. （5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等差数列. （6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．
课时规范练 A 组 基础对点练 1．在公比为2的等比数列{a n }中，若sin(a 1a 4)＝2 5，则cos(a 2a 5)的值是( ) A ．－7 5 B.1725 C.75 D.725 解析：由等比数列的通项公式可知a 2a 5＝(a 1a 4)q 2＝2(a 1a 4)，cos(a 2a 5)＝1－ 2sin 2 (a 1a 4)＝1－2×⎝ ⎛⎭ ⎪⎫252＝17 25. 答案：B 2．(2019·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( ) A ．16 B ．32 C ．64 D ．128 解析：由题意得，等比数列的公比为q ，由S 3＝14，a 3＝8，则⎩⎨⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝14，a 3＝a 1q 2 ＝8，解得a 1＝2，q ＝2，所以a 6＝a 1q 5＝2×25＝64，故选C. 答案：C 3．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3 D ．8 解析：设等差数列的公差为d ，d ≠0，a 23＝a 2·a 6，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，d 2 ＝－2d (d ≠0)，所以d ＝－2，所以S 6＝6×1＋6×5 2×(－2)＝－24. 答案：A 4．(2019·临沂模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋1 6，则a 的值为( ) A ．－13 B.13 C ．－12 D.12
解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，又因为{a n }是等比数列，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13. 答案：A 5．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B. 答案：B 6．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2 b 2 ＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由题意得－1＋3d ＝－q 3＝8d ＝3，q ＝－2 a 2 b 2＝ －1＋3－1×(－2)＝1. 答案：1 7．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1 4，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2 ＝________. 解析：设数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2 ＝18，解得q ＝12，a 1＝a 2 q ＝4.易知数 列{a n a n ＋1a n ＋2}是首项为a 1a 2a 3＝4×2×1＝8，公比为q 3＝1 8的等比数列，所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝8⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1－18n 1－18＝647(1－2－3n )． 答案：64 7(1－2－3n ) 8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式． (2)若S 5＝31 32，求λ. 解析：(1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故a 1＝1 1－λ ，
6.2 等差数列及其前n 项和 必备知识预案自诊 知识梳理 1。等差数列 （1）定义：一般地,如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等于 ，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的 ，公差通常用字母d 表示。数学语言表示为a n+1-a n =d (n ∈N +），d 为常数。 (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫作a ，b 的 . (3)等差数列{a n ｝的通项公式:a n = ,可推广为a n =a m +（n —m ）d. （4)等差数列的前n 项和公式:S n =n ( n 1+n n ) 2 =na 1+n (n -1)2 d. 2。等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 （1）a n =a 1+（n-1）d 可化为a n =dn+a 1—d 的形式。当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d 〉0时，数列为递增数列；当d 〈0时，数列为递减数列。 （2)数列｛a n }是等差数列,且公差不为0⇔S n =An 2+Bn (A ，B 为常数）。 1.已知｛a n ｝为等差数列，d 为公差,S n 为该数列的前n 项和. (1）在等差数列{a n }中，当m+n=p+q
时,a m+a n=a p+a q(m,n,p，q∈N+)。特别地，若m+n=2p，则2a p=a m+a n（m，n,p∈N+）。 （2)a k,a k+m，a k+2m,…仍是等差数列,公差为md（k,m∈N+)。 (3）S n,S2n-S n，S3n-S2n,…也成等差数列，公差为n2d. (4)若{a n},｛b n}是等差数列,则｛pa n+qb n｝也是等差数列. (5)若项数为偶数2n,则S2n=n （a1+a2n)=n（a n+a n+1）；S偶—S奇 =nd;S奇 S 偶=a n a n+1 。 (6）若项数为奇数2n—1,则S2n-1= （2n—1）a n；S奇-S偶=a n;S奇 S 偶=n n-1 。 2.若数列｛a n}与｛b n}均为等差数列， 且前n项和分别是S n和T n，则S2m-1 T2m-1=a m b m 。 考点自诊 1。判断下列结论是否正确,正确的画“√”，错误的画“×”. （1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（) (2）已知数列｛a n}的通项公式是a n=pn+q(其中p，q为常数）,则数列{a n｝一定是等差数列.() (3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n 的一次函数.（)
Earlybird 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A 级基础夯实练 1．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3 ＝3，a5＝5，则S7 的值是() A．30B．29 C．28 D．27 a5－a3 解析：选C.由题意，设等差数列的公差为d，则d＝＝1， 5－3 7a1＋a77 ×2a4 故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝＝＝7×4＝28.故选C. 2 2 2．(2018·唐山统考)等差数列{a n}的前n项和为S n，若S11＝22，则a3＋a7＋a8 等于() A．18 B．12 C．9 D．6 11a1＋a11112a1＋10d 解析：选D.由题意得S11＝＝＝22，即a1 2 2 ＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D. S12 3．在等差数列{a n}中，a1＝－2 017，其前n项和为S n，若－ 12 S10 ＝2，则S2 020＝() 10 A．2 020 B．－2 020 C．4 040 D．－4 040 S n
解析：选C.设等差数列{a n}的前n项和为S n＝An2＋Bn，则＝ n
Earlybird S n S12 S10 S n An＋B，∴{是等差数列．∵－＝2，∴的公差为1，n}10 {n} 12 S1 a1 S n 又＝＝－2 017，∴是以－2 017 为首项，1 为公差的等差数1 1 {n} S2 020 列，∴＝－2 017＋2 019×1＝2，∴S2 020＝4 040.故选C. 2 020 4．(2018·山西太原模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，点(n，S n)(n ∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{b n}满足b n＋b n＋1＝a n(n ∈N*)，其前n项和为T n，则下列结论正确的是() A．S n＜2T n B．b4＝0 C．T7＞b7 D．T5＝T6 解析：选D.因为点(n，S n)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，所以S n＝n2－10n，所以a n＝2n－11，又b n＋b n＋1＝a n(n∈N*)，数列{b n}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以b n＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D. 5．(2018·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一 根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 节的容积共3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积为() 67 A．1 升B．升 66 47 37 C. 升D．升 44 33 解析：选B.设该等差数列为{a n}，公差为d， 由题意得Error!即Error!
2020届高考数学（理）大一轮复习增分练： 等差数列及其前n 项和 1．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝1 2 n 2－2n 解析：选A.法一：设等差数列{a n }的公差为d ， 因为⎩⎨⎧S 4＝0， a 5 ＝5，所以⎩⎨⎧4a 1 ＋4×32d ＝0，a 1 ＋4d ＝5， 解得⎩⎨⎧a 1 ＝－3， d ＝2， 所以a n ＝a 1 ＋(n －1)d ＝－ 3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋ n （n －1） 2 d ＝n 2－4n .故选A. 法二：设等差数列{a n }的公差为d ， 因为⎩⎨⎧S 4＝0， a 5 ＝5，所以⎩⎨⎧4a 1 ＋4×32d ＝0，a 1 ＋4d ＝5， 解得⎩⎨⎧a 1 ＝－3， d ＝2. 选项A ，a 1＝2×1－5＝－3； 选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ； 选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ； 选项D ，S 1＝12－2＝－3 2 ，排除D.故选A. 2．(一题多解)(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( ) A ．55 B ．11 C ．50 D ．60 解析：选A.通解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋ 11×10 2 d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 优解：设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d )＝a 6＋2d ＋5，得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A.