高三等差数列知识点
随着学业的逐渐深入，高三学生们开始接触到更加复杂的数学知识点。其中，等差数列是一个非常重要的概念。在本文中，我们将深入探讨高三等差数列的相关知识点，帮助学生们更好地理解和应用这一概念。
一、等差数列的定义和性质
等差数列是指一个数列中的每个相邻两项之间的差是相等的。具体来说，对于一个等差数列{a₁，a₂，a₃，...，an}，其通项公式为an = a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，n为项数，d为公差。
等差数列中的每一项都可以通过首项与公差来确定。利用通项公式，我们可以很方便地求解等差数列中任意一项的值。同时，我们还可以通过项数来确定等差数列的总和，这是求解一系列数值累加问题时非常有用的工具。
二、等差数列的常见问题和方法
在高三数学考试中，等差数列的问题屡见不鲜。以下是一些常见的等差数列问题及其解决方法。
1. 求解等差数列的前n项和
当我们需要计算等差数列前n项的和时，可以利用以下公式：Sn = (a₁+an) * n / 2
其中，Sn表示前n项的和，a₁表示首项，an表示第n项。
2. 求解等差数列中某一项的值
对于需要求解等差数列中任意一项的问题，我们可以使用通项公式an = a₁+(n-1)d来计算。
3. 求解等差数列中项数或公差
有时候，题目给出等差数列中某两项的值，让我们求解项数或公差。这时，我们可以利用等差数列的通项公式和公式an =
a₁+(n-1)d来建立方程，从而解出未知数。
三、等差数列的应用
等差数列的应用非常广泛，不仅仅局限于数学课堂。以下是一些常见的等差数列应用场景。
1. 计算利润
在商业领域中，等差数列可以用来计算一项产品或服务的利润。通过观察销售额在不同时间段的等差数列变化规律，可以更好地
预测未来的盈利情况。
2. 编程中的应用
在计算机编程中，等差数列的概念经常被使用。例如，循环控
制结构中的索引变量往往是按照等差数列的方式递增或递减。
3. 数学建模
等差数列的概念在数学建模中也得到了广泛应用。通过分析某
一现象的等差数列序列，可以推测出其中的规律，从而给出更具
预见性的预测结果。
四、解答高三等差数列问题的技巧
在高三数学考试中，掌握一些解答等差数列问题的技巧是非常
重要的。以下是一些可以帮助学生们提高解决等差数列问题的能
力的技巧。
1. 熟练应用等差数列的通项公式和求和公式，能够准确地根据
题目给出的条件计算等差数列中的各个值。
2. 掌握等差数列的基本性质，比如首项、末项、项数、公差之
间的关系，利用这些性质可以快速推导出所需答案。
3. 多做例题和习题，通过大量的练习，培养自己的思维逻辑和
问题解决能力，提高在考试中解答等差数列问题的速度和准确性。
综上所述，等差数列作为高三数学的一个基础部分，对学生们
的数学思维能力和问题解决能力有着重要的促进作用。通过充分
理解等差数列的定义、性质以及应用，掌握解决相关问题的方法
和技巧，学生们将能够更好地应对高三数学考试中的等差数列相
关题目。
等差数列 一．等差数列知识点： 知识点1、等差数列的定义: ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示 知识点2、等差数列的判定方法： ②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列 ③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列 知识点3、等差数列的通项公式: ④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为 该公式整理后是关于n的一次函数 知识点4、等差数列的前n项和： ⑤⑥ 对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数 知识点5、等差中项: ⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或 在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点6、等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有 ⑧对于等差数列，若，则 也就是: ⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示： 10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）． 二、题型选析： 题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用) 1、。等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（） A . -1 B . 1 C 。—2 D. 2 2．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ） A．49 B．50 C．51 D．52 3．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（) A．92 B．47 C．46 D．45 4、已知等差数列中,的值是（）
高三等差数列知识点 随着学业的逐渐深入，高三学生们开始接触到更加复杂的数学知识点。其中，等差数列是一个非常重要的概念。在本文中，我们将深入探讨高三等差数列的相关知识点，帮助学生们更好地理解和应用这一概念。 一、等差数列的定义和性质 等差数列是指一个数列中的每个相邻两项之间的差是相等的。具体来说，对于一个等差数列{a₁，a₂，a₃，...，an}，其通项公式为an = a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，n为项数，d为公差。 等差数列中的每一项都可以通过首项与公差来确定。利用通项公式，我们可以很方便地求解等差数列中任意一项的值。同时，我们还可以通过项数来确定等差数列的总和，这是求解一系列数值累加问题时非常有用的工具。 二、等差数列的常见问题和方法 在高三数学考试中，等差数列的问题屡见不鲜。以下是一些常见的等差数列问题及其解决方法。
1. 求解等差数列的前n项和 当我们需要计算等差数列前n项的和时，可以利用以下公式：Sn = (a₁+an) * n / 2 其中，Sn表示前n项的和，a₁表示首项，an表示第n项。 2. 求解等差数列中某一项的值 对于需要求解等差数列中任意一项的问题，我们可以使用通项公式an = a₁+(n-1)d来计算。 3. 求解等差数列中项数或公差 有时候，题目给出等差数列中某两项的值，让我们求解项数或公差。这时，我们可以利用等差数列的通项公式和公式an = a₁+(n-1)d来建立方程，从而解出未知数。 三、等差数列的应用 等差数列的应用非常广泛，不仅仅局限于数学课堂。以下是一些常见的等差数列应用场景。 1. 计算利润
在商业领域中，等差数列可以用来计算一项产品或服务的利润。通过观察销售额在不同时间段的等差数列变化规律，可以更好地 预测未来的盈利情况。 2. 编程中的应用 在计算机编程中，等差数列的概念经常被使用。例如，循环控 制结构中的索引变量往往是按照等差数列的方式递增或递减。 3. 数学建模 等差数列的概念在数学建模中也得到了广泛应用。通过分析某 一现象的等差数列序列，可以推测出其中的规律，从而给出更具 预见性的预测结果。 四、解答高三等差数列问题的技巧 在高三数学考试中，掌握一些解答等差数列问题的技巧是非常 重要的。以下是一些可以帮助学生们提高解决等差数列问题的能 力的技巧。 1. 熟练应用等差数列的通项公式和求和公式，能够准确地根据 题目给出的条件计算等差数列中的各个值。
高中数学：等差数列、等比数列知识点总结 数列基础知识归纳 等差数列定义与性质 定义： an+1-an=d (d为常数)， an= a1+（n-1）d 等差中项： x , A , y成等差数列: 2A=x+y 前n项和: 性质：{an}是等差数列 （1）若m+n=p+q,则am+an=ap+aq ;
（2）数列{a2n-1},{a2n},{a2n+1}仍为等差数列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,等仍为等差数列，公差为 n2d ; （3）若三个成等差数列，可设为a-d,a,a+d ; （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn,Tn,则 （5）{an}为等差数列，则Sn=an2+bn（a,b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）,Sn的最值可求二次函数Sn=an2+bn的最值；或者求出{an}中的正、负分界项，即： 当a1>0,d<0,解不等式组: 可得Sn达到最大值时的n值。 当a1<0,d>0,解不等式组: 可得Sn达到最小值时的n值。
（6）项数为偶数2n的等差数列{an},有 （7）项数为偶数2n-1的等差数列{an},有 等比数列定义与性质 性质：{an}是等比数列 (1) 若m+n=p+q,则am•an=ap•aq
(2) Sn , S2n-Sn , S3n-S2n , 等仍为等比数列，公比为qn 注意： 由Sn求an时应注意什么？ n=1时，a1=S1 ; n≥2时，an=S1-Sn-1 求数列通项公式的常用方法 求差（商）法
叠乘法 等差型递推公式
答案： 等比型递推公式 倒数法
高三数学《等差数列》知识点汇总 高三数学《等差数列》知识点汇总 1.定义：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。同样为数列的等比数列的性质与等差数列也有相通之处。 2.数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S可以写成S=an^2+bn的形式(其中a、b为常数)。 3.性质1：公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd。 4.性质2：公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。 5.性质3：当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大;当d【同步练习题】 1.在等差数列{an}中，a1=21，a7=18，则公差d=() A.12 B.13 C.-12 D.-13 解析：选C.∵a7=a1+(7-1)d=21+6d=18，∴d=-12. 2.在等差数列{an}中，a2=5，a6=17，则a14=() A.45 B.41 C.39 D.37
解析：选 B.a6=a2+(6-2)d=5+4d=17，解得d=3.所以a14=a2+(14-2)d=5+12×3=41. 3.已知数列{an}对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y=2x+1上，则{an}为() A.公差为2的等差数列 B.公差为1的等差数列 C.公差为-2的等差数列 D.非等差数列 解析：选A.an=2n+1，∴an+1-an=2，应选A. 4.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是() A.2 B.3 C.6 D.9 解析：选B.由题意得m+2n=82m+n=10，∴m+n=6， ∴m、n的等差中项为3. 5.下面数列中，是等差数列的有() ①4,5,6,7,8，…②3,0，-3,0，-6，…③0,0,0,0，… ④110，210，310，410，… A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：选C.利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列. 6.数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为-2，公差为4的等差数列.若an=bn，则n的值为()
高考重点突破：等差数列 知识点梳： 一、等差数列的有关概念 1．定义：从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d 表示，符号表示为a n ＋1－a n ＝d(n ∈N ＋，d 为常数)． 2．等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列．那么A 叫作a 与b 的等差中项．若A 是a 与b 的等差中项，则A ＝a ＋b 2. 二、等差数列的有关公式 1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d 推广： a n ＝a m ＋(n －m)d. 2．前n 项和公式：Sn ＝na 1＋ 21-n n ）（d ＝2 a a n n 1） （ . 3.脚码和定理：若m ，n ，p ，q ∈N ＋，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列，则a m ＋a n ＝a p ＋a q [误区一] 已知等差数列{an}的第m 项为am ，公差为d ，则其第n 项an 能否用am 与d 表示？ 三、等差数列的性质 1．在等差数列{a n }中，a k ，a 2k ，a 3k ，a 4k ，…仍为等差数列，公差为kd. 2．若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列，公差为___n 2d______. 3．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a 1<0时前n 项和Sn 有最____小____；d<0时为________数列，且当a 1>0时前n 项和Sn 有最___大_值． 4.函数性质：（1）通项公式为一次函数 （2）求和公式为缺少常数项的二次函数 四.证明{an}为等差数列的方法： (1)用定义证明：a n －a n －1＝d(d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：Sn ＝An 2＋Bn 或Sn ＝ ＋2 . 用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义． 例1 (2014·大纲全国)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式． 五．解题思路： 1，一般思路：建立方程组求出首项和公差。 2，灵活解法：等差中项和脚码和定理。 例2、 在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和． [方法点睛] 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用． 2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法． 3．等差数列的通项公式形如a n ＝kn ＋b(k ，b 为常数)，前n 项和公式形如Sn ＝An 2＋Bn(A ，B 为常数)，结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍． 4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，
高考数列知识点 等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = + 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列⇔2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数） 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 7.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函 数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 (6)求n S 的最值 法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要 注意数列的特殊性 *n N ∈。 法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当，，001<>d a 由⎩⎨ ⎧≤≥+0 1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值． （2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当，，001> 完整版)等差数列知识点总结 等差数列是一种数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。可以用递推公式表示为an - an-1 = d（d为常数）（n≥2）。 等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d = dn + a1 - d（首项为a1，公差为d，末项为an）。另外，等差数列还有等差中项，即an - am / (n-m)。如果a、A、b成等差数列，那么A 叫做a与b的等差中项，即A = (a+b) / 2 或 2A = a + b。 等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an) / 2 = n / 2 (2a1 + (n-1)d) = (2a1 + (n-1)d)n / 2.等差数列的证明方法有定义法、等差中项法、通项公式法和前n项和公式法。 等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为 a-2d，a-d，a，a+d，a+2d…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为a-3d，a-d，a+d，a+3d…（公差为2d）。 等差数列的性质有：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d = dn + a1 - d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn = n(a1 + an) / 2 = n / 2 (2a1 + (n-1)d) = (2a1 + (n-1)d)n / 2是关于n的二次函数且常数项为a1. 的通项公式和第一项。 根据已知条件，可以列出以下方程组： a 1 d a 2 110d33 解得：d3，a 1 8 所以，{a n 的通项公式为a 高考数学等差数列知识点 一. 引言 数学是高考中的一门必考科目，而等差数列是数学中的一个重要概念。在高考数学中，等差数列的相关知识点经常会出现在选择题和解答题中。掌握等差数列的概念与性质，对于高考取得好成绩至关重要。本文将介绍等差数列的基本概念、性质和常见解题方法。 二. 等差数列的定义 等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。假设一个数列为a1、a2、a3、a4...，如果满足ai+1-ai=d (d为常数)，那么这个数列就是等差数列。 三. 等差数列的通项公式 对于一个等差数列，可通过第一项和公差来确定一个通项公式。通项公式可表示为an = a1 + (n-1)d。其中，an表示等差数列的第n 项，a1是第一项，d是公差，n代表项数。 四. 等差数列的性质 1. 公式性质：等差数列的每一项减去它的前一项，所得的差值都是固定的，即为公差。 2. 求和性质：等差数列的前n项和可通过求和公式Sn = (n/2)(a1+an)来计算。 3. 中项性质：等差数列的中项等于第一项与最后一项的平均值。 4. 求项数性质：已知等差数列的首项、尾项和公差，可通过公式n = (an-a1)/d+1来求得项数。 五. 等差数列的常见解题方法 1. 求项数：当已知等差数列的首项、尾项和公差时，可以使用求项数公式来求等差数列的项数。 2. 求公差：当已知等差数列的两个相邻项时，可以通过相减求解。 3. 求和：当需要求等差数列的前n项和时，可以使用求和公式来帮助计算。 4. 判断等差数列：当给定一组数字时，可以通过计算相邻数字的差值是否相等来判断是否为等差数列。 六. 总结 在高考数学中，掌握等差数列的概念、性质和求解方法是非常重要的，因为这门知识点在高考中经常会被考察。通过学习等差数列的定义、通项公式、性质以及常见解题方法，我们可以更好地应对高考数学中的相关题目。希望本文对于高考数学备考有所帮助。加油！ 高三数学《等差数列及其前n项和》知识点总结 高三数学《等差数列及其前n项和》知识点总结 一、等差数列的有关概念 1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an ＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． 2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝ (a+b)/2，其中A叫做a，b的等差中项． 二、等差数列的有关公式 1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 2．前n项和公式：Sn＝na1＋n(n-1)/2d+d＝(a1+an)n/2. 三、等差数列的性质 1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq. 2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd. 3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d. 4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值． 5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝d/2，B＝a1－d/2，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件． 四、解题方法 1.与前n项和有关的三类问题 (1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得 其余两个，这体现了方程思想． (2)Sn＝d/2*n2＋(a1-d/2)n＝An2＋Bn⇒d＝2A. (3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一 定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值． 2．设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…； 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 等差数列大题高考知识点 在高考数学中，等差数列是一个重要的概念，也是一个常见的考点。等差数列的性质和应用广泛存在于各个领域。理解和掌握等差数列的概念、性质以及解题方法对于高考数学的顺利通过至关重要。本文将对等差数列的大题高考知识点进行探讨和总结。 一、等差数列的定义和基本性质 等差数列是指数列中任意相邻两项之差相等的数列。即对于数列{a1, a2, a3, …, an}，如果an+1 - an = d (d ≠ 0)，则该数列为等差数列。 等差数列的常数d称为公差。公差d的符号决定了数列是递增还是递减。当d > 0时，数列递增；当d < 0时，数列递减。 等差数列的前n项和（Sn）可以通过下列公式求得： Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d) 二、等差中项和等差数列的和 等差数列中存在着一个重要的概念——等差中项。所谓等差数列的等差中项，是指数列中任意两项的平均数。对于等差数列{a1, a2, a3, …, an}，等差中项为((a1 + an) / 2)。 在等差数列中，如果给定首项a1，公差d和项数n，我们可以轻松地求得数列中的任意一项an。通过等差数列通项公式an = a1 + (n-1)d。 在解题中，有时需要求等差数列的和。总和的计算可以通过数学推理和公式求得。等差数列的前n项和的公式为： Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d) 三、应用场景 等差数列是数学中一个非常有用的工具，可以在很多实际问题中进行应用。 例如，在经济学中，等差数列常用于推断未来的趋势（例如人口增长、收入变化等）。在自然科学中，等差数列被用来描述简单的物理规律（例如物体在匀速直线运动时的位移变化）。 当然，在高考中出现的等差数列题目也具有一定的难度。一些题目可能需要将等差数列与其他数学知识相结合，如数列的递推关系、数列的性质等。 四、解题技巧 1. 理解问题：阅读清楚题目中所给的条件，明确要求解的问题。 2. 寻找规律：查看数列中的数是否存在公差和首项之间的关系，尝试找到数列的通项公式。 3. 利用公式：根据题目条件和已知公式，计算所需要求解的值。 4. 特殊处理：有时，题目中会给出一些特殊条件，需要单独处理。 (完整版)等差数列知识点总结 1. 等差数列的定义 等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。 2. 等差数列的通项公式 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。 3. 等差数列的前 n 项和公式 设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。 4. 判断数列是否为等差数列 - 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。 - 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。 5. 求等差数列的公差 设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。 6. 求等差数列的项数 设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。 7. 求等差数列的首项 设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。 8. 求等差数列的末项 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。 9. 等差数列的性质 - 等差数列的任意三项成等差数列。 - 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。 - 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。 10. 应用场景 等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括： - 数学题中的数列问题，如求和、推导等。 - 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。 - 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。 - 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。 以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！ 高考等差数列知识点 在高考数学考试中，等差数列是一个经常出现的重要知识点。掌握等差数列可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，同时也是解决实际问题的一种有效工具。本文将介绍等差数列的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地掌握和理解高考涉及的等差数列知识点。 一、等差数列的定义和性质 等差数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项之差都相等。如果一个数列满足这个条件，那么我们就称其为等差数列。等差数列通常用字母a, d来表示，其中a是首项，d是公差。数列的通项公式可以表示为： an = a + (n-1)d 在等差数列中，首项a是指数列的第一项，公差d是相邻两项之间的差值。等差数列的一个重要性质是，任意两项之和等于首项和末项之和的一半乘以项数。这一性质在高考中经常被用于求和问题的解答过程中。 二、等差数列的求和 在高考数学中，等差数列的求和问题经常被考察。当给定等差数列的首项、末项和项数时，我们可以利用等差数列的求和公式来求解。等差数列的求和公式可以表示为： Sn = n/2 * (a + l) 其中，Sn表示等差数列的前n项和，a表示首项，l表示末项。 利用等差数列的求和公式，我们可以迅速求得数列的和。在高考数 学中，这种技巧经常用于求解复杂的数学题，其中需要快速计算等差 数列的和。 三、等差数列的应用 等差数列在实际生活和科学研究中有广泛的应用。例如，它可以用 于描述人口增长、物种数量的变化、财富的积累等。等差数列还常常 用于建模和解决实际问题。例如，在金融领域中，我们可以利用等差 数列的知识来分析贷款的还款计划。在计算机科学中，等差数列的知 识也被应用于算法设计、数据结构等领域。 除了在实际应用中的广泛应用外，等差数列还是高中数学的基础知识，对于理解和学习更高阶数学概念起到了重要的作用。学好等差数 列不仅可以提高数学素养，还可以培养学生的逻辑思维和分析问题的 能力。 总结： 等差数列是高考数学中的重要基础知识，它常常出现在考试中。掌 握等差数列的定义、性质以及求和公式是必不可少的。此外，了解等 差数列的实际应用也有助于更好地理解和掌握这一知识点。通过学习 等差数列，我们可以提高数学素养，培养逻辑思维，并解决实际问题。希望本文对于高考等差数列知识点的理解和掌握能够给读者带来帮助。 等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2 n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。(K=d ，b=a1-d) （4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． 7.提醒：等差数列的通项公式n a 及前n 项和n S 公式中，涉及到5个元素：n n S a n d a 及、、、1，其中d a 、1称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2. 8. 等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅， （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈* N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列 （7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时， ()121135212 n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 一、等差数列 1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。 2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为 常数列，0d < 为递减数列。 3、等差中项的概念： 定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2 a b A += a ，A ， b 成等差数列⇔2 a b A +=。 4、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-==+。 5、等差数列的性质： （1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP ， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-， n m a a d n m -= -()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ， （Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶nd =； ② 1 n n S a S a +=奇偶； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；②1S n S n =-奇偶。 6、数列最值 （1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值； （2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ， 则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10 n n a a +≤⎧⎨≥⎩。 二、等比数列 1．等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比 依次是2，5，2 1 -。（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零） 2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 。 等差数列的性质总结 1. 等差数列的定义： a n a n 1 d （ d 为常数）（ n 2）； 2．等差数列通项公式： a n a 1 (n 1)d dn a 1 d (n N *)， 首项 : a 1 ，公差 :d ，末项 : a n 推行： a n a m (n m)d ． 进而 d a n a m ； n m 3．等差中项 （1）假如 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．即： A a b 或 2 A a b 2 （2）等差中项：数列 a n 是等差数列 2a n a n-1 a n 1 ( n 2) 2a n 1 a n a n 2 4．等差数列的前 n 项和公式： n( a 1 a n ) na 1 n(n 1) S n 2 d 2 特别地，当项数为奇数 2n 1 时， a n 1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项 5．等差数列的判断方法 （1） 定义法：若 a n a n 1 d 或 a n 1 a n d ( 常数 n N ) a n 是等差数列． （2） 等差中项：数列 a n 是等差数列 2a n a n -1a n 1 (n 2) 2a n 1 a n a n 2 ． （3） 数列 a n 是等差数列 a n kn b （此中 k, b 是常数）。 (K=d ， b=a1-d) （4） 数列 a n 是等差数列 S n An 2 Bn , （此中 A 、 B 是常 数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若 a n a n 1 d 或 a n 1 a n d ( 常数 n N ) a n 是等差数列． 7. 提示：等差数列的通项公式 a n 及前 n 项和 S n 公式中，波及到 5 个元素： a 1、 d 、 n 、 a n 及 S n ，此中 a 1、 d 称作为基本元素。只需已知这 5 个元素中的随意 3 个，即可求出其他 2个，即知 3求 2. 8. 等差数列的性质： （ 1）当公差 d 0 时， 等差数列的通项公式 a n a 1 ( n 1)d dn a 1 d 是对于 n 的一次函数，且斜率为公差 d ； 前 n 和 S n na 1 n(n 1) d d n 2 (a 1 d )n 是对于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2 （2）若公差 d 0 ，则为递加等差数列，若公差 d 0 ，则为递减等差数列，若公差 d 0 ，则为常数列。 （3）当 m n p q 时, 则有 a m a n a p a q ，特别地，当 m n 2 p 时，则有 a m a n 2a p . 注： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ， （4）若 a 、 b 为等差数列，则 a b ， a b 都为等差数列 n n n 1 n 2 n (5) 若 { a n } 是等差数列，则 S n , S 2n S n , S 3n S 2 n ， 也成等差数列 （ 6）数列 { a n } 为等差数列 , 每隔 k(k N * ) 项拿出一项 ( a m , a m k , a m 2k ,a m 3k , ) 仍为等差数列 （ 7）设数列 a n 是等差数列， d 为公差， S 奇 是奇数项的和， S 偶 是偶数项项的和， S n 是前 n 项的和 1. 当项数为偶数 2n 时， S 奇 a 1 a 3 a 5 a 2 n 1 n a 1 a 2n 1 na n 2 高中数列知识点总结（附例题） 知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 如果 A ＝a ＋b 2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1) 2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数)． 7．等差数列的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最 大 值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最 小 值． [难点正本 疑点清源] 1．等差数列的判定 (1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. 2．等差数列与等差数列各项和的有关性质 (1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n . (4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n 2d . 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 等差数列 一、学习目标： 等差数列的概念、性质及前 n 项和求法。 n * n 1.设数列：a n f 的前n 项和为S n .已知a^5 , a n d = S n 3 , n • N .设g = S n -3 , 求数列Bn !的通项公式； 解：依题意，S n 申一S n = a n ^ = S n +3n ，即 S n 申=2S n +3“ , 由此得 S n 1 -3n 1 =2（S n -3n ）. 因此，所求通项公式为 b n 二s n -3n =2n 。 2. 设数列｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为48，则它的首项为_2 【考点梳理】 1. 在解决等差数列问题时，如已知， a , a n , d , S n , n 中任意三个，可求其余两个。 2. 补充的一条性质 2）项数为偶数2n 的等差数列有： 违 亚,s 偶- s 奇二nd % = n （a n • a n .J S 偶 a n 卅 Nn 卅—a. =d （定义） 3. 等差数列的判定：｛a n ｝为等差数列一 2an1 =a n 飞「2 j ^a n = An + B （关于n 的“一次函数”） S n =A n 2 +Bn （缺常数项的“二次函 数”） 即：｛ a n ｝= a n1—a n =d （d 为常数）=2a^a n 1 - a n d （n_ 2, n ・ N*） 2 二 a n =kn b ：= s n =An Bn ； 4. 三个数成等差可设： a , a + d , a + 2d 或a -d , a , a + d ; 四个数成等差可设： a - 3d , a - d , a + d , a + 3d . 5•等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列 的通项公式：a n = a 1+（n-1）d=d • n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数 列的各点（n, a n ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两 项可以确定一个等差数列.k=d=岂.虫,d=a ^am ，由此联想点列（n , a n ）所在直线的 n —1 n —m 斜率.2）点（n, S n ）在没有常数项的二次函数 St! = pn 2 • qn 上。其中，公差不为 0. 6.等差数列前n 项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解） 1） 若等差数列：a n ?的首项a 1 0，公差d < 0，则前n 项和S n 有最大值。 f a ^0 （i ） 若已知通项 a n ，则S n 最大 ； Un 十兰 （ii ） 若已知S n 二pn 2・qn ，则当n 取最靠近-Q 的非零自然数时S n 最大； 2p 2） 若等差数列「a n 、的首项a 1 0，公差d 0，则前n 项和S n 有最小值 「a n 兰 0 （1）若已知通项 a n ，则S 最小二2 ； 3•已知等差数列｛a n ｝的公差d = 0，且a i ,a 3,a 9成等比数列，则 a i ■ a 3 a 9 a 2 a 4 ' a io 13 16 1）项数为奇数2n-1的等差数列有: n n -1 S >n j^(2n完整版)等差数列知识点总结
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