第2讲 等差数列及其前n 项和
,
)
1．等差数列的有关概念 (1)定义
假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *
，d 为常数)．
(2)等差中项
数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b
2
，其中A 叫做a ，b 的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．
(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2
d ＝（a 1＋a n ）n
2
．
3．等差数列的性质
已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *
)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *
)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．
1．辨明两个易误点
(1)要留意概念中的“从第2项起”．假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
(2)留意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区分． 2．妙设等差数列中的项
若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；
若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 3．等差数列的四种推断方法
(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *
)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．
(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2
＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．
1.教材习题改编 等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项
D ．第22项
C a 1＝11，d ＝8－11＝－3， 所以a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. 由－3n ＋14＝－49，得n ＝21.故选C.
2.教材习题改编 已知p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2均为常数)，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
C 若{a n }是等差数列，不妨设公差为d . 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ， 令k 1＝d ，k 2＝a 1－d ，则a n ＝k 1n ＋k 2，
若数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2为常数，n ∈N *
)， 则当n ≥2且n ∈N *
时，a n －1＝k 1(n －1)＋k 2， 所以a n －a n －1＝k 1(常数)(n ≥2且n ∈N *
)， 所以{a n }为等差数列， 所以p 是q 的充要条件．
3.教材习题改编 等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63
D ．27
B 法一：由于S 9＝9（a 1＋a 9）
2＝9a 5＝9×6＝54.故选B.
法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6，
所以S 9＝9a 1＋9×8
2
d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B.
4．(2021·金丽衢十二校联考)已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为________．
设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3
＝
33－13
10
＝2.
2
5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
由已知，得⎩
⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×8
2＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，
d ＝－1. 所以S 16＝16×3＋16×15
2×(－1)＝－72.
－72
等差数列的基本运算(高频考点)
等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多消灭在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属简洁题． 高考对等差数列基本量计算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求公差d 、项数n 或首项a 1； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．
(1)(2021·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则
a 10＝( )
A ．17
2
B ．19
2
C ．10
D ．12
(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【解析】 (1)由于公差为1，
所以S 8＝8a 1＋8×（8－1）
2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.
由于 S 8＝4S 4，所以8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝1
2，
所以a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝19
2
，故选B.
(2)法一：由题知S n ＝na 1＋n （n －1）
2
d ＝n ＋n (n －1)＝n 2，S n ＋2＝(n ＋2)2，由S n ＋2－S n ＝36得，(n ＋2)2
－n 2
＝4n ＋4＝36，所以n ＝8.
法二：S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8. 【答案】 (1)B (2)D
等差数列基本运算的解题方法
(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．
(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
角度一 求公差d 、项数n 或首项a 1
1．(2021·豫东、豫北十所名校联考)已知等差数列{a n }中，a 5＝13，S 5＝35，则公差d ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1
D ．3
D 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝13，5a 1＋10d ＝35，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝1，
d ＝3，故选D.
角度二 求通项或特定项
2．(2022·高考全国卷乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98
D ．97
C 设等差数列{a n }的公差为d ，由于{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.
角度三 求前n 项和
3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋1
2
(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．
由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋
9×（9－1）
2×1
2
＝9＋18＝27. 27
等差数列的判定与证明
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；
(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．
【解】 (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1， 由于a n ＋1≠0， 所以a n ＋2－a n ＝λ.
(2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1， 可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，
由此可得{a 2n －1}是首项为1， 公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；
{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2， 因此存在λ＝4， 使得数列{a n }为等差数列．
(1)推断证明一个数列是否是等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简洁推断．
(2)用定义证明等差数列时，常接受两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必需加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．
已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1
a n －1(n ≥2，n ∈N *
)．设b n ＝1a n －1
(n ∈N *
)，求证：数列{b n }
是等差数列．
由于a n ＝2－
1
a n －1
，所以a n ＋1＝2－1
a n
.
所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1
a n －1，
＝12－1
a n
－1
－1
a n －1
，
＝
a n －1
a n －1
＝1， 所以{b n }是首项为b 1＝1
2－1
＝1，公差为1的等差数列．
等差数列的性质及最值
(1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．18 B ．99 C ．198
D ．297
(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________．
(3)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．
【解析】 (1)由于a 3＋a 9＝27－a 6，2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝11
2(a 1＋a 11)＝11a 6
＝99.
(2)由于{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21.
(3)当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，
a 9＜0.
所以⎩
⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，
7＋8d ＜0.
所以－1＜d ＜－78
.
【答案】 (1)B (2)21 (3)⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－78
应用等差数列的性质应留意的两点
(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m 、n 、p 、q 、k ∈N *
)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k 是常用的性质． (2)把握等差数列的性质，悉心争辩每共性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．
1．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，全部奇数项之和为15，全部偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )
A ．10
B ．20
C ．30
D ．40
A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.
2．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15
B ．S 16
C ．S 15或S 16
D ．S 17
A 设{a n }的公差为d ， 由于a 1＝29，S 10＝S 20，
所以10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×19
2d ，解得d ＝－2，
所以S n ＝29n ＋
n （n －1）
2
×(－2)＝－n 2
＋30n ＝－(n －15)2
＋225.
所以当n ＝15时，S n 取得最大值．
3．(2021·陕西省五校模拟)等差数列{a n }中，假如 a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )
A ．297
B ．144
C ．99
D ．66
C 由等差数列的性质可知，2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝39＋27＝66， 所以a 2＋a 5＋a 8＝33，
所以数列{a n }前9项的和为66＋33＝99.
,
)
——整体思想在等差数列中的应用
在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________． 【解析】 法一：设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，
则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92
d ＝100，
100a 1
＋100×99
2d ＝10，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100
，
d ＝－11
50.
所以S 110＝110a 1＋110×109
2
d ＝－110.
法二：法一中两方程相减得 －90a 1－100×99－90
2
d ＝90，
所以a 1＋110－1
2
d ＝－1，
所以S 110＝110a 1＋110（110－1）
2d ＝－110.
法三：由于S 100－S 10＝（a 11＋a 100）×90
2
＝－90，
所以a 11＋a 100＝－2，
所以S 110＝（a 1＋a 110）×1102＝（a 11＋a 100）×110
2＝－110.
【答案】 －110
(1)法一是利用等差数列的前n 项和公式求解基本量，然后求和，是等差数列运算问题的
常规思路．而法二、法三都突出了整体思想，分别把a 1＋110－1
2d 、a 11＋a 100看成了一个整体，解起来都很便
利．
(2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求同学要娴熟把握公式，理解其结构特征．
已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________．
法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故
a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.
法二：由等差数列的性质，
可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D . 所以5＋2D ＝10， 所以D ＝5
2
.
所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. 20
,
)
1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14
D ．15
B 设{a n }的公差为d ，由S 5＝（a 2＋a 4）·52⇒25＝（3＋a 4）·5
2⇒a 4＝7，所以7＝3＋2d ⇒d ＝2，所
以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.
2．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝3
4，则a 1＝( )
A ．－1
B ．0
C ．14
D ．1
2
B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2， 又由于a 2a 4＝3
4，数列{a n }单调递增，
所以a 2＝12，a 4＝3
2.
所以公差d ＝
a 4－a 22
＝1
2
.所以a 1＝a 2－d ＝0. 3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( ) A ．20 B ．17 C ．42
D ．84
B 由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4⇒2(a 4＋a 14)＝4⇒a 1＋a 17＝2，故S 17＝17（a 1＋a 17）
2
＝17.
4．(2021·东北三校联考(一))已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *
)，若
b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )
A ．0
B ．－109
C ．－181
D ．121
B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝－14，由于a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7（b 1＋b 7）2＝7
2
＝－112，则a 8＝－109. 5．(2021·黄冈质检)在等差数列{a n }中，假如a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135
D ．80
B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)＝40＋3×20＝100.
6．(2021·杭州重点中学联考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＜0，a 5＞|a 4|，则使S n ＞0成立的最小正整数n 为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
C 在等差数列{a n }中 ，由于a 4＜0，a 5＞|a 4|，所以a 5＞0，a 5＋a 4＞0，S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 4
2
＝7a 4
＜0，S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 4＋a 5）
2
＝4(a 4＋a 5)＞0.
所以使S n ＞0成立的最小正整数n 为8，故选C.
7．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________． a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×8
2
d ＝36d ＝a 37. 所以m ＝37. 37
8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝__________． 设{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎪⎨
⎪⎧2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1.
－1
9．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝
7n n ＋3，则a 5
b 5
等于________．
由于a 5＝
a 1＋a 9
2
，b 5＝
b 1＋b 9
2
，
所以a 5b 5＝
a 1＋a 92
b 1＋b 92
＝9（a 1＋a 9）
29（b 1＋b 9）2
＝S 9T 9＝7×99＋3＝21
4
.
214
10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，当k ≥2时，若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则S n 的最大值为________． 当k ≥2时，a k ＝S k －S k －1＝－8，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝－10，公差d ＝a k ＋1－a k ＝－2，S k ＝
k （a 1＋a k ）
2
＝0，所
以a 1＋a k ＝0，所以a 1＝8，所以a n ＝－2n ＋10，由a n ＝0得n ＝5，所以S 4＝S 5＝20最大．
20
11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n
(n ∈N *
)．
(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
(1)证明：由于b n ＝1a n ，且a n ＝a n －1
2a n －1＋1，
所以b n ＋1＝
1
a n ＋1
＝
1
a n
2a n ＋1
＝
2a n ＋1
a n
，
所以b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1
a n
＝2.
又b 1＝1
a 1
＝1，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，所以a n ＝1b n ＝1
2n －1.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1
2n －1
.
12．已知等差数列{a n }中，S n 是前n 项的和，a 1＝－2 017，S 2 0172 017－S 2 015
2 015＝2，则S 2 019的值为________．
由S 2 0172 017－S 2 015
2 015＝a 1 009－a 1 008＝2. 即{a n }的公差d ＝2，又a 1＝－2 017，
所以S 2 019＝2 019×(－2 017)＋2 019×2 018
2×2＝2 019.
2 019
13．各项均为正数的数列{a n }满足a 2
n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *
)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)当n ＝1时，a 2
1＝4S 1－2a 1－1， 即(a 1－1)2
＝0，解得a 1＝1.
当n ＝2时，a 2
2＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2， 解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)a 2
n ＝4S n －2a n －1，①
a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②
②－①得a 2
n ＋1－a 2
n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )， 即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )．
由于数列{a n }各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2， 所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． 所以a n ＝2n －1.
14．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *
)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，
设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．
由于2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．
设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，
⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，
6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4. 所以a n ＝4n －2，则b n ＝1
2
a n －30＝2n －31，
令⎩
⎪⎨⎪⎧b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2（n ＋1）－31≥0， 解得292≤n ≤312
，
由于n ∈N *
，所以n ＝15，
即数列{b n }的前15项均为负值，所以T 15最小． 由于数列{b n }的首项是－29，公差为2， 所以T 15＝15（－29＋2×15－31）2＝－225.
2022届高考数学总复习：等差数列及其前n 项和 1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.1 4 B.12 C ．2 D ．－12 解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝1 4. 2．在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( ) A ．55 B.11 C ．50 D ．60 解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×10 2 d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 020的值为( ) A ．2 026 B.4 036 C ．5 044 D ．3 020 解析：选B 由题意得 ????? a m ＝a 1 ＋(m －1)d ＝4，S m ＝ma 1 ＋m (m －1)2d ＝0，S m ＋2 －S m ＝a m ＋1 ＋a m ＋2 ＝2a 1 ＋(m ＋m ＋1)d ＝14， 解得???? ? a 1＝－4，m ＝5， d ＝2， ∴a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6， ∴a 2 020＝2×2 020－6＝4 036.故选B. 4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，则( ) A ．a 7＝0 B.|a 7|＝|a 8| C ．|a 7|>|a 8| D ．|a 7|<|a 8| 解析：选D ∵公差d >0，∴S 9>S 8，又∵(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，∴S 80，∴a 7<0，a 7＋a 8>0，|a 7|<|a 8|，故选D. 5．(多选)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7＝a 4，则( ) A ．a 1＋a 3＝0 B.a 3＋a 5＝0 C ．S 3＝S 4 D ．S 4＝S 5
第2讲 等差数列及其前n 项和 , ) 1．等差数列的有关概念 (1)定义 假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N * ，d 为常数)． (2)等差中项 数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2 ，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2 d ＝（a 1＋a n ）n 2 ． 3．等差数列的性质 已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N * )，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 1．辨明两个易误点 (1)要留意概念中的“从第2项起”．假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． (2)留意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区分． 2．妙设等差数列中的项 若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ； 若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 3．等差数列的四种推断方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N * )⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2 ＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 1.教材习题改编 等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项 D ．第22项 C a 1＝11，d ＝8－11＝－3， 所以a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. 由－3n ＋14＝－49，得n ＝21.故选C. 2.教材习题改编 已知p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2均为常数)，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 C 若{a n }是等差数列，不妨设公差为d . 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ， 令k 1＝d ，k 2＝a 1－d ，则a n ＝k 1n ＋k 2， 若数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2为常数，n ∈N * )， 则当n ≥2且n ∈N * 时，a n －1＝k 1(n －1)＋k 2， 所以a n －a n －1＝k 1(常数)(n ≥2且n ∈N * )， 所以{a n }为等差数列， 所以p 是q 的充要条件． 3.教材习题改编 等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63 D ．27 B 法一：由于S 9＝9（a 1＋a 9） 2＝9a 5＝9×6＝54.故选B. 法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6， 所以S 9＝9a 1＋9×8 2 d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B. 4．(2021·金丽衢十二校联考)已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为________．
第二节 等差数列及其前n 项和 [考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系． 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d(n ∈N *，d 为常数)． (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }和{a 2n ＋1}也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (7)等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋? ? ???a 1－d 2n . [常用结论] 1．等差数列前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，即所有正项之和最大，若a 1＜0，d ＞0，则S n 有最小值，即所有负项之和最小． 2．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则有a n b n ＝S 2n －1 T 2n －1 .
第五章 数列 授课提示：对应学生用书第291页 [A 组 基础保分练] 1．(2021·石家庄摸底)在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＋a 6＝27，则a 1＋a 9等于( ) A ．9 B ．27 C ．18D ．54 答案：C 2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4a 3＝3 4，则3S 5 a 4＝( ) A ．12 B ．15 C ．20 D ．25 答案：C 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝16，a 6＝1，则数列{a n }的公差为( ) A.32B ．－3 2 C.23D ．－2 3 答案：D 4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＜0，若存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则当n ＞ m 时，S n 与a n 的大小关系是( ) A ．S n ＜a n B ．S n ≤a n C ．S n ＞a n D ．大小不能确定 解析：若a 1＜0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则d ＞0，若d ＜0，数列是递减数列，则 S m ＜a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1＜0，d ＞0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m ＞0，S m ＞0， 又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n ＞a n .
答案：C 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足S n S n ＋1＜0的正整数n 的值为( ) A ．10B ．11 C ．12D ．13 解析：由S 6＞S 7＞S 5，得S 7＝S 6＋a 7＜S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7＞S 5，所以a 7＜0，a 6＋a 7＞0，所以S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7＜0，S 12＝12a 1＋a 122＝6(a 6＋a 7)＞0，所以S 12S 13＜0， 即满足S n S n ＋1＜0的正整数n 的值为12. 答案：C 6．(2020·高考北京卷)在等差数列{a n }中，a 1＝－9，a 5T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1,2，…)，则数列{T n }( ) A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝－9，a 5＝－1，∴a 5＝－9＋4d ＝－1，∴d ＝2，∴ a n ＝－9＋(n －1)×2＝2na n ＝2n －11≤0，则n ≤5.5，∴n ≤5时，a n ＜0；n ≥6时，a n ＞0.∴T 1 ＝－9＜0，T 2＝(－9)×(－7)＝63＞0，T 3＝(－9)×(－7)×(－5)＝－315＜0，T 4＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)＝945＞0，T 5＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)×(－1)＝－945＜0，当n ≥6时， a n ＞0，且a n ≥1，∴T n ＋1＜T n ＜0，∴T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1,2，…)有最大项T 4，无最小项． 答案：B 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＝5，则S 6＝________. 答案：15 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5 ＝________. 答案：22 5
第二节 等差数列 2019考纲考题考情 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为 a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。 (2)等差中项 若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b 2 。 2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。 (2)等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2 d 或S n ＝n (a 1＋a n ) 2 。 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )。 (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N * )，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。 (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。 (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。 (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N * )是公差为md 的等差数列。 (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。 (7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。 (8)若项数n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd 2； 若项数n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。
第五篇 数列及其应用 专题5.02 等差数列及其前n 项和 【考试要求】 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.体会等差数列与一次函数的关系. 【知识梳理】 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数). (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2 . 2.等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋ n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2 . 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *). (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. (5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 【微点提醒】 1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p . 2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值. 3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.
【2019最新】精选高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其 前n项和学案 板块一知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1 等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的 等差中项． 考点2 等差数列的有关公式 1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 2．前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. [必会结论] 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. 若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d, 则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差 为md的等差数列．(6)等差数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列， 其公差为n2d. [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等差数列的公差是相邻两项的差．( ) (2)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是 等差数列．( )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋ 2.( ) (5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( ) 答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．[课本改编]在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝ ( ) A．58 B．88 C．143 D．176 答案B 解析因为{an}是等差数列，所以a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8，则该数列的前11 项和为S11＝＝11a6＝88.故选B. 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A．63 B．45 C．36 D．27 答案B 解析S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即9,27，a7＋a8＋a9成等差数列，∴a7 ＋a8＋a9＝54－9＝45.故选B. 4．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( ) A．12 B．13 C．14 D．15 答案B 解析由S5＝，得25＝，解得a4＝7，所以7＝3＋2d，即d＝2，所以a7＝a4＋ 3d＝7＋3×2＝13.故选B. 5．[课本改编]在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101＝________. 答案52 解析由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝，故数列{an}是首项为2，公差为的 等差数列，所以a101＝2＋100×＝52. 6．[2018·苏北四市模拟]在等差数列{an}中，已知a2＋a8＝11，则3a3＋a11的 值为________． 答案22 解析设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a2＋a8＝11＝2a5，则a5＝，所 以3a3＋a11＝3(a5－2d)＋a5＋6d＝4a5＝4×＝22.
第二节等差数列及其前n项和 [考纲传真]1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系． 1．等差数列 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*)，d为常数． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b 2，其中A叫做a，b的 等差中项． (3)等差数列的通项公式：a n＝a1＋(n－1)d，可推广为a n＝a m＋(n－m)d. (4)等差数列的前n项和公式：S n＝n(a1＋a n) 2＝na1＋ n(n－1) 2d. 2．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1)a n＝a1＋(n－1)d可化为a n＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，a n是关于n的一次函数；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列． (2)数列{a n}是等差数列，且公差不为0⇔S n＝An2＋Bn(A，B为常数)． [常用结论] 1．已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列，且公差为p. 2．若数列{a n}与{b n}均为等差数列，且前n项和分别是S n和T n，则S2m－1 T2m－1 ＝ a m b m. [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．() (2)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.() (3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．() (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．() [答案](1)×(2)√(3)×(4)×
第2节 等差数列及其前n 项和 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 1.等差数列的有关概念 (1)定义:一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d 表示.数学语言表示为 (n ∈N *),d 为常数. (2)等差中项:数列a,A,b 成等差数列的充要条件是 ,其中A 叫做a 与b 的 . 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:a n = .当d ≠0时,等差数列{a n }的通项公式a n =dn+(a 1-d)是关于d 的一次函数. (2)前n 项和公式:S n =na 1+ n (n -1)2 d= n (a 1+a n ) 2 .当d ≠0时,等差数列{a n } 的前n 项和S n =d 2 n 2+(a 1-d 2 )n 是关于n 的二次函数(没有常数项). 3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:a n = (n,m ∈N *). (2)若{a n }为等差数列,且m+n=p+q,则 (m,n,p,q ∈N *). (3)若{a n }是等差数列,公差为d,则a k ,a k+m ,a k+2m ,…(k,m ∈N *)是公差为 的等差数列. (4)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…(m ∈N *)也是等差数列,公差为 . 1.等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中,a 1>0,d<0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d>0,则S n 存在最小值. 2.若{a n },{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ,T n ,则a n b n = S 2n -1T 2n -1 . 3.若{a n }是等差数列,则{S n n }也是等差数列,其首项与{a n }的首项相同,公差是{a n }的公差的1 2. 4.若等差数列{a n }的项数为偶数2n,则 (1)S 2n =n(a 1+a 2n )=…=n(a n +a n+1); (2)S 偶-S 奇=nd,S 奇 S 偶= a n a n+1 . 5.若等差数列{a n }的项数为奇数2n+1,则
第2讲 等差数列 考向预测 核心素养 等差数列的基本运算、性质，等差数列的证明 是考查的热点．选择、填空题难度较低．解答 题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列 求和、不等式等问题综合考查，中等难度. 数学抽象、逻辑推理、 数学运算 [学生用书P150] 一、知识梳理 1．等差数列的概念 (1)定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． (2)等差中项 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项且a ＋b ＝2A ． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （a 1＋a n ）2 ． 3．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列． (2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a 1－d 2n 是关于
n 的二次函数且常数项为0. 常用结论 1．已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若p ＋q ＝s ＋t ，则a p ＋a q ＝a s ＋a t .特别地，若p ＋q ＝2m ，则2a m ＝a p ＋a q (p ，q ，s ，t ，m ∈N *)． (3)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (4)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (5)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 成等差数列；数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列． 2．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a n b n . 二、教材衍化 1．(人A 选择性必修第二册P 15练习T 4改编)已知在等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝20，a 7＝12，则a 10＝( ) A ．18 B.16 C.20 D.17 解析：选A.因为a 4＋a 8＝2a 6＝20，所以a 6＝10.又a 7＝12，所以d ＝2，所以a 10＝a 7＋3d ＝12＋6＝18. 2．(人A 选择性必修第二册P 21例6改编)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝2，且S 6＝30，则S 9＝________． 解析：由已知可得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝2，2a 1＋5d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝－10，d ＝6. 所以S 9＝9a 1＋9×82d ＝－90＋36×6＝126. 答案：126 3．(人A 选择性必修第二册P 24练习T 3改编)设等差数列－4.2，－3.7，－3.2，…的前n 项和为S n ，则当n ＝________时，S n 取得最小值． 解析：由已知得，a 1＝－4.2，d ＝0.5，所以a 9＝a 1＋8d ＝－4.2＋4＝－0.2＜0.a 10＝－4.2＋4.5＝0.3＞0，所以当n ＝9时，S n 取得最小值． 答案：9
2022届高考数学一轮复习讲义__62_等差数列及其前n 项和 一轮复习讲义 要点梳理 忆一忆知识要点 1.等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的 差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.3.等差中项 a+b如果A=2,那么A叫做a与b的等差中项. d表示. 要点梳理 忆一忆知识要点 4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d,(n,m∈N 某).(2)若{an}为等差数列，且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N某),则 ak+al=am+an.(3)若{an}是等差数列，公差为d,则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an},{bn}是等差数列，则{pan+qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列，公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,m∈N某)是公差为md 的等差数列. 要点梳理
忆一忆知识要点 5.等差数列的前n项和公式na1+an设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=或2 nn-1Sn=na1+2d. 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系dd2Sn=n+a1-2n.2数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn,(A、B为常数). 7.等差数列的最值在等差数列{an}中，a1>0,d<0,则Sn存在最大值；若a1<0,d>0,则Sn存在最小值. 要点梳理[难点正本疑点清源]1.等差数列的判定 忆一忆知识要点 (1)定义法：an-an-1=d(n≥2);(2)等差中项法：2an+1=an+an+2.2.等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列.(3)S2n- 1=(2n-1)an.n(4)若n为偶数，则S偶-S奇=d.2若n为奇数，则S奇-S 偶=a中(中间项). 等差数列的判定或证明31例1已知数列{an}中，a1=,an=2- (n≥2,n∈N某),数5an-11列{bn}满足bn=(n∈N某).an-1(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.(1)可利用定义证明bn-bn-1(n≥2)为常数来证明数列{bn}是等差数列.(2)通过{bn}是等差数列，求得{an}的通项，然后从函数的观点解决数列的最大项和最小项的问题. 1(1)证明∵an=2-(n≥2,n∈N),bn=.an-1an-111∴n≥2时，bn-bn- 1=-an-1an-1-111=-1an-1-12-a-1某 n-1
专题7.2 等差数列及其前n 项和（真题测试） 一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 11111231111 ,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123 ,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ） A ．0.75 B ．0.8 C ．0.85 D ．0.9 2．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b = A ．64 B ．96 C ．128 D ．160 3．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，
则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A ．3699块 B ．3474块 C ．3402块 D ．3339块 4．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））数列{}n a 为等差数列，前n 项的和为n S ，若10110a <，101110120a a +>，则当0n S <时，n 的最大值为（ ） A ．1011 B ．1012 C ．2021 D ．2022 5.（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．（2021·北京·高考真题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 7．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()9353m S a a a =++，则m =（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 8．（2023·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（ ） A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0 B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18 C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大 D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项
《课堂新坐标》2022高考数学（文）一轮总复习（人教新课标·广东专用）课后作业：第五章 第二节等差数列 选择题 1．(2021·福建高考)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}中的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．设等差数列{an}的前n 项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 4．(2021·浙江高考)设Sn 是公差为d(d ≠0)的无穷等差数列{an}的前n 项和，则下列命题错误的是( ) A ．若d<0，则数列{Sn}有最大项 B ．若数列{Sn}有最大项，则d<0 C ．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n ∈N*，均有Sn>0 D ．若对任意n ∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列 5．(2021·深圳质检)在等差数列{an}中，a1＝－2 012，其前n 项和为Sn ，若S1212－S1010＝2，则S2 012的值等于( ) A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 010 D ．－2 013 二、填空题 6．(2021·江西高考)设数列{an}，{bn}差不多上等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________． 7．等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且6S5－5S3＝5，则a4＝________. 8．(2021·广东六校联考)在数列{an}中，若a2n －a2n －1＝p(n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则{an}称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判
其次节 等差数列及其前n 项和 考点一 等差数列的判定与证明 [例1] 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N * )． (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． [自主解答] (1)证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N * )，b n ＝1a n －1，∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝ 1⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 2－1a n －1 － 1a n －1＝a n a n －1－1 a n －1 ＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52，∴数列{b n }是以－5 2 为首项，以1为公差的等差数列． (2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋2 2n －7 . 设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭ ⎪⎫72，＋∞上为减函数， ∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 【方法规律】 等差数列的判定方法 (1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N * )成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2 ＋Bn . 留意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简洁推断． 若数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N * ，n ≥2)，a 3＝27. (1)求a 1，a 2的值； (2)记b n ＝12 n (a n ＋t )(n ∈N * )，是否存在一个实数t ，使数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不 存在，请说明理由． 解：(1)由a 3＝27,27＝2a 2＋23＋1，得a 2＝9，由9＝2a 1＋22 ＋1，得a 1＝2. (2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列． 则2b 2＝b 1＋b 3， 即2×14(9＋t )＝12(2＋t )＋1 8 (27＋t )， ∴t ＝1.∴b n ＝1 2n (a n ＋1)． ∴b n －b n －1＝12n (a n ＋1)－1 2 n －1(a n －1＋1) ＝12n (2a n －1＋2n ＋1＋1)－12n －1(a n －1＋1) ＝12n －1a n －1＋1＋12n －1－12n －1a n －1－12n －1 ＝1. ∴存在一个实数t ＝1，使数列{b n }为等差数列． 高频考点 考点二 等差数列基本量的计算 1．等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多毁灭在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属简洁题． 2．高考对等差数列基本量计算的考查常有以下几个命题角度： (1)化基本量求公差d 或项数n ； (2)化基本量求通项； (3)化基本量求特定项； (4)化基本量求前n 项和． [例2] (1)(2022·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)(2021·安徽高考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2 (3)(2021·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 (4)(2022·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 2 2－4，则a n ＝________. [自主解答] (1)法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7， 解得d ＝2. 法二：由等差中项的性质知，a 3＝ a 1＋a 5 2 ＝5， 又∵a 4＝7，∴公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2. (2)由等差数列前n 项和公式知 S 8＝8a 1＋a 8 2 ＝4(a 1＋a 8)＝4(a 7＋a 2)， 又S 8＝4a 3，∴4(a 7＋a 2)＝4a 3， ∴－2＋a 2＝a 3，∴公差d ＝－2. ∴a 9＝a 7＋2d ＝－6. (3)法一：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， ∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝1， 由S n ＝na 1＋n n －12d ＝na 1＋n n －1 2 ， 得⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ ma 1＋m m －12 ＝0， m －1a 1＋ m －1 m －2 2 ＝－2. ①② 由①得a 1＝1－m 2 ，代入②可得m ＝5. 法二：∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，
第五章 第二节 等差数列及其前n 项和 一、选择题 1．设等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝20，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝15－a 5，则S 9等于( ) A ．18 B ．36 C ．45 D ．60 3．在等差数列{a n }中，a n ＜0，a 2 3＋a 2 8＋2a 3a 8＝9，那么S 10等于( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－15 4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为( ) A ．－2 B ．－3 C ．－4 D ．－6 5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N * )．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 二、填空题 7．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 8．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. 9．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 2＋a 5＝13，则a 5＋a 6＋a 7＝________. 三、解答题 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 2＋a 4＝14，S 7＝70. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2S n ＋48 n ，则数列{b n }的最小项是第几项？并求出该项的值．