等差数列
一．等差数列知识点：
知识点1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示
知识点2、等差数列的判定方法：
②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列
③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列
知识点3、等差数列的通项公式:
④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为
该公式整理后是关于n的一次函数
知识点4、等差数列的前n项和：
⑤⑥
对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数
知识点5、等差中项:
⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或
在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项
知识点6、等差数列的性质:
⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有
⑧对于等差数列，若，则
也就是:
⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示：
10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）．
二、题型选析：
题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用)
1、。等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（）
A . -1
B . 1
C 。—2 D. 2
2．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ）
A．49 B．50 C．51 D．52
3．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（)
A．92 B．47 C．46 D．45
4、已知等差数列中,的值是（）
（)
A 15
B 30
C 31
D 64
5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）
A.d＞
B.d＜3 C。≤d＜3 D.＜d≤3
6、。在数列中，，且对任意大于1的正整数,点在直上,则=_____________。
7、在等差数列{a n｝中，a5＝3,a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝．
8、等差数列的前项和为，若(）
（A）12 （B）10 （C）8 （D）6
9、设数列的首项，则______。
10、已知{a n｝为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7,则a5 = __________
11、已知数列的通项a n= —5n+2,则其前n项和为S n= 。
12、设为等差数列的前n项和，＝14，，则＝。
题型二、等差数列性质
1、已知｛a n}为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）
（A)4 （B）5 (C)6 （D)7
2、设是等差数列的前项和,若，则（）
A． B． C． D．
3、若等差数列中，则
4、记等差数列的前n项和为，若，，则该数列的公差d=（ )
A．7 B. 6 C。 3 D. 2
5、等差数列中，已知，，，则n为（)
(A）48 (B）49 （C）50 (D）51
6.、等差数列{a n}中,a1=1，a3+a5=14，其前n项和S n=100，则n=（）
（A）9 (B）10 (C）11 (D)12
7、设S n是等差数列的前n项和,若（)
A．1 B．－1 C．2 D．
8、已知等差数列{a n}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有（)
A．α1＋α101＞0B．α2＋α100＜0C．α3＋α99＝0D．α51＝51
9、如果，，…，为各项都大于零的等差数列，公差，则（)
（A）（B) (C）++ （D）=
10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和
为390，则这个数列有（）
（A)13项(B)12项(C）11项（D）10项
题型三、等差数列前n项和
1、等差数列中，已知，，则其前项和．
2、等差数列的前n项和为（）
A. B。C。D。
3、已知等差数列满足,则（)
A。 B. C。 D.
4、在等差数列中，，，
则。
5、等差数列的前n项和为,若( ）
A．12 B．18 C．24 D．42
6、若等差数列共有项，且奇数项的和为44,偶数项的和为33，
则项数为（）
A. 5 B。7 C. 9 D. 11
7、设等差数列的前项和为，若,，则
8、若两个等差数列和的前项和分别是，已知，则等于（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
题型四、等差数列综合题精选
1、等差数列{}的前n项和记为S n.已知
(Ⅰ）求通项；（Ⅱ）若S n=242，求n。
2、已知数列是一个等差数列，且，.
(1）求的通项；（2)求前n项和的最大值。
3、设为等差数列，为数列的前项和，已知，
,为数列的前项和，求。
4、已知是等差数列,，；也是等差数列，，.
（1）求数列的通项公式及前项和的公式；
(2）数列与是否有相同的项? 若有，在100以内有几个相同项?若没有，请说明理由。
5、设等差数列{a n｝的首项a1及公差d都为整数，前n项和为S n.
(Ⅰ）若a11=0，S14=98，求数列｛a n}的通项公式；
(Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛a n｝的通项公式。
6、已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为,数列的前n项和为，点均在函数的图像上. (Ⅰ）求数列的通项公式；
(Ⅱ)设,是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
五、等差数列习题精选
1、等差数列的前三项依次为，，，则它的第5项为（）
A、B、C、5 D、4
2、设等差数列中，，则的值等于( )
A、11
B、22
C、29
D、12
3、设是公差为正数的等差数列，若，,
则( ）
A．B．C．D．
4、若等差数列的公差，则( ）
（A) (B）
（C）（D）与的大小不确定
5、已知满足，对一切自然数均有，且恒成立，则实数的取值范围是( ) Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
6、等差数列为（)
(A) 3 (B) 2 （C) （D) 2或
7、在等差数列中,,则
A、B、C、0 D、
8、设数列是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是
A、1
B、2
C、4
D、8
9、已知为等差数列，，则等于（)
A。-1 B. 1 C. 3 D.7
10、已知为等差数列，且－2＝－1，＝0，则公差d＝
A.－2 B。－ C. D。2
11、在等差数列中, ,则其前9项的和S9等于（）
A．18 B 27 C 36 D 9
12、设等差数列的前项和为，若，，则（)
A．63 B．45 C．36 D．27
13、在等差数列中，，，
则。
14、数列是等差数列，它的前项和可以表示为( ）
A. B.
C. D.
小结
1、等差中项：若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且
2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…,…（公差为)；偶数个数成等差，可设为…,,…（公差为2）
3、当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；若公差,则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
4、当时，则有，特别地，当时，则有。
5、若、是等差数列，则、（、是非零常数)、、，…也成等差数列，而成等比数列；
等差数列参考答案
题型一:计算求值
题型二、等差数列的性质
1、C
2、D
3、12(a3+a7—a10+a11-a4=8+4=a7=12)
4、C
5、C
6、B
7、A
8、C
9、B 10、A
题型三、等差数列前n项和
1、5n（p+q)
2、B
3、C
4、n=10
5、24
6、S奇/S偶=n/n—1=4/3, n=4
7、45 8、D（a5/b5=S9/T9）
题型四：等差数列综合题精选
1、解：（Ⅰ）由得方程组
……4分解得所以
(Ⅱ)由得方程
……10分解得
2、解：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，得，
解出,．所以．
（Ⅱ）．
所以时,取到最大值．
3、解：设等差数列的公差为，则
∵，，
∴即
解得，。∴ ,
∵ ,∴数列是等差数列，其首项为，公差为，
∴。
4、解：（1）设{a n｝的公差为d1，｛b n｝的公差为d2 由a3=a1+2d1得
所以，所以a2=10，a1+a2+a3=30
依题意，得解得，所以b n=3+3(n—1）=3n
（2）设a n=b m，则8n-6=3m, 既①,要是①式对非零自然数m、n成立，只需
m+2=8k，,所以m=8k—2 ，②
②代入①得,n=3k，,所以a3k=b8k—2=24k-6，对一切都成立.
所以,数列与有无数个相同的项。
令24k—6<100,得又，所以k=1，2，3，4。即100以内有4个相同项.
5、解：（Ⅰ)由S14=98得2a1+13d=14，又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20。
因此，{a n}的通项公式是a n=22－2n，n=1，2,3…
(Ⅱ)由得即
由①+②得－7d＜11。即d＞－。由①+③得13d≤－1 即d≤－
于是－＜d≤－，又d∈Z, 故d=－1，将④代入①②得10＜a1≤12。
又a1∈Z，故a1=11或a1=12。
所以，所有可能的数列｛a n}的通项公式是a n=12—n和a n=13-n,n=1,2，3，…
6、解：（Ⅰ）设这二次函数f（x)＝ax2+bx (a≠0) ,则f`(x)=2ax+b，由于f`(x)=6x－2，得
a=3 ，b=－2, 所以f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上,所以＝3n2－2n.
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（3n2－2n）－＝6n－5。
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n＝6n－5 (）
（Ⅱ)由（Ⅰ）得知＝＝，
故T n＝＝＝（1－）。
因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10
题型五、精选练习
等差数列 一．等差数列知识点： 知识点1、等差数列的定义: ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示 知识点2、等差数列的判定方法： ②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列 ③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列 知识点3、等差数列的通项公式: ④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为 该公式整理后是关于n的一次函数 知识点4、等差数列的前n项和： ⑤⑥ 对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数 知识点5、等差中项: ⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或 在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点6、等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有 ⑧对于等差数列，若，则 也就是: ⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示： 10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）． 二、题型选析： 题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用) 1、。等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（） A . -1 B . 1 C 。—2 D. 2 2．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ） A．49 B．50 C．51 D．52 3．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（) A．92 B．47 C．46 D．45 4、已知等差数列中,的值是（）
数学数列部分知识点梳理 一数列的概念 1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ?? ?≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。前n 项和公式2 ) (1n n a a n S += 或d n n na S n )1(2 1 1-+ =. 2）等差中项：b a A +=2。 3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）?{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列. 4）等差数列的性质： ⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd . ⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2 (a ,b 是常数， 0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+； ⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则? ?? ???n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则n n a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶； 当项数为)(12+∈-N n n ，则n n S S a S S n 1 ,-= =-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则 （ 是常数）是公差为 的等差数列； (8)设， ， ， 则有； (9) 是等差数列的前项和，则 ； (10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为 ，前项和为，则 ①． 为等差数列，公差为 ；
数列知识点总结 一、等差数列与等比数列 等差数列 等比数列 定义 a n 1 - a n =d a n 1 =q(q 0) 通项公式 递推公式 中项 前 n 项和 性质 a n a n = a 1 +（ n-1 ） d a n = a 1 q n 1 (q 0) a n = a n 1 +d, a n = a m +(n-m)d a n = a n 1 q a n = a m q n m a b 推广： A= a n k a n k （ n,k G 2 ab 。推广：G= a n k a n k （ n,k A= + 2 2 ;n>k>0 ）。任意两数 a 、c 不一定 N + 有等比中项， 除非有 ac ＞ 0，则等比中 N ;n>k>0 ） 项一定有两个 n a n ） S n = a 1 (1 q n ) S n = （ a 1 + 1 q 2 S n =n a 1 + n(n 1) d S n = a 1 a n q 2 1 q m n p q ， 则 （ 1）若 m n p q ，则 a m a n a p a q ； （ 1 ） 若 （ 2 ）数列 a 2n 1 , a 2n , a 2n 1 仍为等差数 a m · a n a p · a q 列，S n ， S 2 n S n ， S 3 n S 2 n ?? 仍为等差数 （ 2） S n ， S 2n S n ， S 3n S 2n ?? 仍 列，公差为 n 2 d ； 为等比数列 ,公比为 q n （3）若三个成等差数列，可设为 a d ，a ，a d （ 4）若 a n ， b n 是等差数列，且前 n 项和分别 a m S 2 m 1 为 S n ， T n ，则 T 2 m 1 b m （ 5） a n 为等差数列S n an 2 bn （ a ，b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数） （ 6） d= a m a n (m n) m n (7)d>0 递增数列 d<0 递减数列 d=0 常数数列 二、求数列通项公式的方法 1、通项公式法： 等差数列、等比数列 2、涉及前ｎ项和 S n 求通项公式，利用 a n 与 S n 的基本关系式来求。 即 a n s 1 a 1 ( n 1) s n s n 1 (n 2) 例 1、在数列｛ a n ｝中， S n 表示其前ｎ项和，且 S n n 2 , 求通项 a n . 例 2、在数列｛ a n ｝中， S n 表示其前ｎ项和，且 S n 2 3a n , 求通项 a n 3、已知递推公式，求通项公式。 （ 1）叠加法： 递推关系式形如 a n 1 a n f n 型
一、等差数列 1、数列的概念 例1．根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……；（2） 2 212 -， 2 313 -， 2 414 -， 2 515 -；（3）11*2 - ， 12*3 ，13*4 - ， 14*5 。 解析：（1）n a =21n -； （2）n a = 2 (1)11 n n +-+； （3）n a = (1) (1) n n n -+。 如（1）已知* 2 ()156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ ； （2）数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___； （3）已知数列{}n a 中，2 n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围； 2、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 例2．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 答案：B ；解法一：a n =?? ?≥-==????≥-=-)2( 12)1( 1) 2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ，∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数， 1 2121-+= +n n a a n n ≠常数，∴{a n }是等差数列，但不是等比数列. 解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。 练一练：设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 3、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。 4、等差数列的前n 和：1() 2 n n n a a S += ，1(1) 2 n n n S na d -=+ 。 例3：等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值是一个确定的常数，则数列{a n }中也为常数的项是( ) A ．S 7 B ．S 8 C ．S 13 D ．S 15 解析：设a 2＋a 4＋a 15＝p (常数)，∴3a 1＋18d ＝p ，解a 7＝13p .∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13a 7＝13 3p . 答案：C 例4．等差数列{a n }中，已知a 1＝1 3，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为( ) A ．48 B ．49 C ．50 D ．51 解析：∵a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝4，则由a 1＝13得d ＝23，令a n ＝33＝13＋(n －1)×2 3，可解得n ＝50.故选C. 如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = ； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ； 例5：设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：S 9＝9a 5＝－9，∴a 5＝－1，S 16＝8(a 5＋a 12)＝－72. 答案：－72 例6：已知数列{a n }为等差数列，若a 11 a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( ) A ．11 B ．19 C ．20 D ．21 解析：∵a 11 a 10<－1，且S n 有最大值，∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0，S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0. 所以使得S n >0的n 的最大值为19，故选B.答案：B
高二数学必修5等差数列知识点归纳 1.等差数列通项公式 an=a1+(n-1)d n=1时a1=S1 n≥2时an=Sn-Sn-1 an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b 2.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。 有关系：A=(a+b)÷2 3.前n项和 倒序相加法推导前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+·····+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]① Sn=an+an-1+an-2+······+a1 =an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]② 由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n 个)=n(a1+an) ∴Sn=n(a1+an)÷2 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半： Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2
Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2) 亦可得 a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n an=2sn÷n-a1 有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 4.等差数列性质 一、任意两项am，an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N* 三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq 四、对任意的k∈N*，有 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。 1若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=6，则S4的值为() A.12 B.11 C.10 D.9 2设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时,n等于() A.6 B.7 C.8 D.9 3记等差数列的前n项和为Sn，若S24,S420，则该数列的 公差d() A、2 B、3 C、6 D、7 4等差数列{an}中，a3a4a584,a973.
§2.2.2 等差数列的性质 学习目标 1. 能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2. 能运用等差数列的性质解决有关问题. 知识点一等差数列的性质 梳理在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.特别地，若m＋n ＝2p，则a n＋a m＝2a p. 知识点二由等差数列衍生的新数列 梳理若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列结论 {c＋a n}公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·a n}公差为cd的等差数列(c为任一常数) {a n＋a n＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pa n＋qb n}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 题型分析 类型一等差数列推广通项公式的应用 例1在等差数列{a n}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式. 跟踪训练1数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于() A.0 B.3 C.8 D.11 类型二等差数列与一次函数的关系 例2已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ 跟踪训练2若数列{a n}满足a1＝15,3a n＋1＝3a n－2(n∈N*)，则使a k·a k＋1<0的k值为________.
类型三 等差数列性质的应用 例3 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式. 引申探究 1.在例3中，不难验证a 1＋a 4＋a 7＝a 2＋a 4＋a 6，那么，在等差数列{a n }中，若m ＋n ＋p ＝q ＋r ＋s ，m ，n ，p ，q ，r ，s ∈N *，是否有a m ＋a n ＋a p ＝a q ＋a r ＋a s ？ 2.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 跟踪训练3 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值. 1. 在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A.3 B.－6 C.4 D.－3 2. 在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( ) A.32 B.－32 C.35 D.－35 3. 等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A.3 B.－3 C.32 D.－32 4. 下列说法中正确的是( ) A.若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列 B.若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列 C.若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列 D.若a ，b ，c 成等差数列，则2a ,2b ,2c 成等差数列 5. 在等差数列－5，－312，－2，－12 ，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( ) A.a n ＝34n －234 B.a n ＝－5－32(n －1) C.a n ＝－5－34(n －1) D.a n ＝54 n 2－3n
数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫 这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211，，，，… （3）数列的函数特征与图象表示： 4 5 6 7 8 9 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322 +=n s n ，求数列}{n a 的通项公式 二、等差数列 题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为 1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。 例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，124971 16a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 1.数列 (1)定义：按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系. 从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值 (1),(2),(3),f f f L 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决. 2.等差数列 (1)定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列, 这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N * +-=∈. (2)等差数列的通项公式. 若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m -=-(直线的斜率)(,,m n m n N * ≠∈). (3)等差中项. 若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2 x y A += 或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项. (4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a d n n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2 d 且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点 的抛物线(0)d ≠上. 3.等比数列 (1)定义.：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1 (q 0,)n n a q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1 1 11()(,0)n n n a a a q c q c a q q -==?= ≠,是不含常数项的指数型函数. (3) m n m n a q a -=. (4)等比中项 如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2 G xy = 或G =两个同号实数的等比中
(完整版)等差数列知识点总结 1. 等差数列的定义 等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。 2. 等差数列的通项公式 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。 3. 等差数列的前 n 项和公式 设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。 4. 判断数列是否为等差数列 - 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。 - 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。
5. 求等差数列的公差 设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。 6. 求等差数列的项数 设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。 7. 求等差数列的首项 设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。 8. 求等差数列的末项 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。 9. 等差数列的性质 - 等差数列的任意三项成等差数列。 - 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。 - 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。
10. 应用场景 等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括： - 数学题中的数列问题，如求和、推导等。 - 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。 - 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。 - 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。 以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！
等差数列 一、学习目标： 等差数列的概念、性质及前 n 项和求法。 n * n 1.设数列：a n f 的前n 项和为S n .已知a^5 , a n d = S n 3 , n • N .设g = S n -3 , 求数列Bn !的通项公式； 解：依题意，S n 申一S n = a n ^ = S n +3n ，即 S n 申=2S n +3“ , 由此得 S n 1 -3n 1 =2（S n -3n ）. 因此，所求通项公式为 b n 二s n -3n =2n 。 2. 设数列｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为48，则它的首项为_2 【考点梳理】 1. 在解决等差数列问题时，如已知， a , a n , d , S n , n 中任意三个，可求其余两个。 2. 补充的一条性质 2）项数为偶数2n 的等差数列有： 违 亚,s 偶- s 奇二nd % = n （a n • a n .J S 偶 a n 卅 Nn 卅—a. =d （定义） 3. 等差数列的判定：｛a n ｝为等差数列一 2an1 =a n 飞「2 j ^a n = An + B （关于n 的“一次函数”） S n =A n 2 +Bn （缺常数项的“二次函 数”） 即：｛ a n ｝= a n1—a n =d （d 为常数）=2a^a n 1 - a n d （n_ 2, n ・ N*） 2 二 a n =kn b ：= s n =An Bn ； 4. 三个数成等差可设： a , a + d , a + 2d 或a -d , a , a + d ; 四个数成等差可设： a - 3d , a - d , a + d , a + 3d . 5•等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列 的通项公式：a n = a 1+（n-1）d=d • n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数 列的各点（n, a n ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两 项可以确定一个等差数列.k=d=岂.虫,d=a ^am ，由此联想点列（n , a n ）所在直线的 n —1 n —m 斜率.2）点（n, S n ）在没有常数项的二次函数 St! = pn 2 • qn 上。其中，公差不为 0. 6.等差数列前n 项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解） 1） 若等差数列：a n ?的首项a 1 0，公差d < 0，则前n 项和S n 有最大值。 f a ^0 （i ） 若已知通项 a n ，则S n 最大 ； Un 十兰 （ii ） 若已知S n 二pn 2・qn ，则当n 取最靠近-Q 的非零自然数时S n 最大； 2p 2） 若等差数列「a n 、的首项a 1 0，公差d 0，则前n 项和S n 有最小值 「a n 兰 0 （1）若已知通项 a n ，则S 最小二2 ； 3•已知等差数列｛a n ｝的公差d = 0，且a i ,a 3,a 9成等比数列，则 a i ■ a 3 a 9 a 2 a 4 ' a io 13 16 1）项数为奇数2n-1的等差数列有: n n -1 S >n j^(2n
§ 2.2等差数列 § 2.2.1等差数列的概念及通项公式 ［学习目标］ 1.理解等差数列的定义. 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题^ 3.掌握等差中项的概念. 知识点一等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2_项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,上学通常用字母d表示，可正可负可为零. 知识点二等差中项的概念 a b 如果三个数a, A, b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A=ay b. 知识点三等差数列的通项公式 若一个等差数列｛a n｝,首项是a i,公差为d,则a n=a i + （n—1）d.此公式可用累加法证明 题型分析 类型一等差数列的概念 例1判断下列数列是不是等差数列？ （1）9,7,5,3,…，-2n+ 11,…；（2）— 1,11,23,35,…，12n—13,…；（3）1,2,1,2,…；（4）1,2,4,6,8,10,…; （5）a, a, a, a, a,…. 跟踪训练1数列｛a n｝的通项公式a n=2n+5,则此数列（） A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 类型二等差中项 例2在—1与7之间顺次插入三个数a, b, c使这五个数成等差数列，求此数列. 跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项
例3在等差数列｛a n ｝中，已知a 6=12, a i8=36,求通项公式a n . 跟踪训练3 （1）求等差数列8,5,2,…的第20项； （2）判断—401是不是等差数列—5, —9, —13,…的项，如果是，是第几项? 例4 某市出租车的计价标准为 1.2元/km,起步价为10元，即最初的4 km （不含4 km ）计费10元, 如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为 0,那么需要支付多 少车费？ 跟踪训练4在通常情况下，从地面到 10 km 高空，高度每增加1 km,气温就下降某一个固定数值 如果1 km 高度的气温是 8.5C, 5 km 高度的气温是一17.5C,求2 km, 4 km,8 km 高度的气温 达标检测 1 .下列数列不是等差数列的是 （ ） A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.L 2, 1, 5 3 3 3 3 2 .已知等差数列｛a n ｝的通项公式a n=3-2n,则它的公差d 为（ ） A.2 B.3 C.—2 3 .已知在△ ABC 中，三个内角 A, B, C 成等差数列，则角 B 等于（ ） A.30 ° B.60 ° C.90 ° 4 .已知等差数列一5, —2,1,…，则该数列的第 20项为（ ） A.52 B.62 C.-62 5 .已知等差数列1, —1, —3, —5,…，一89,则它的项数是（ ） 类型三 等差数列通项公式的求法及应用 检测评价达标过美 D. -3, -2, -1,1,2 D. — 3 D.120 ° D. -52 A.92 B.47 C.46 D.45课堂
等差与等比数列的综合问题 【知识概述】 一、两种数列综合考查有以下几种命题方式： 1.嵌套式：将一种数列嵌套在另外一种数列中作为一个知识点进行考查； 2.拼盘式：在一个综合问题中，将两种数列像一个拼盘一样拼在一起，来综合考查这两种数列的各种概念与性质 3.引申式：将等差数列或者等比数列进行引申，将它与其他的数学知识产生联系，从而在考查数列知识的同时考查数学的其他相关知识 二、等差数列与等比数列在一定情况下可以互相转换 1.若{}n a 为等差数列{}(0,1)n a a a a ⇔>≠为等比数列； 2.若{}n a 为等比数列{log }(0,1)a n a a a ⇔>≠为等差数列. 【学前诊断】 1．[难度] 易 已知等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则4a = . 2．[难度] 中 设{}n a 为等差数列，{}n b 是各项都是正数的等比数列，111a b ==, 243a a b +=， 243b b a =，求及{}n b 的前10项的和10S 及10T . 3．[难度] 中 设{}n a 是等差数列，1 ()2n a n b =，已知b 1＋b 2＋b 3＝8 21，b 1b 2b 3＝81. （1）求证：数列{b n }是等比数列； （2）求等差数列{a n }的通项a n . 【经典例题】 {}n a
例1．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37,S =且 1233,3,4a a a ++构成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式． （2）令31ln ,1,2n n b a n +==…, 求数列{}n b 的前n 项和n T . 例2．已知数列{}n a 的前n 项和2 22n S n n =+，数列{}n b 的前n 项和2n n T b =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设 2n n n c a b =，证明：当且仅当n ≥3时，1n c +< n c . 例3．已知等差数列的公差d 不为0，设， （1）若 ，求数列的通项公式； （2）若成等比数列，求q 的值； （3）若. 例4．已知数列{}n a 中，112 a =,点*1(,2)()n n n a a n +-∈N 在直线y x =上. （1）令11n n n b a a +=--,求证数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项； （3）设n S ，n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和,是否存在实数λ使得数列 n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 等差数列？ 若存在，试求出λ，若不存在,则说明理由. 【本课总结】 }{n a 121-+++=n n n q a q a a S *1121,0,)1(N n q q a q a a T n n n n ∈≠-++-=-- 15,1,131===S a q }{n a 3211,,,S S S d a 且=*2222,1)1(2)1(1,1N n q q dq T q S q q n n n ∈--=+--±≠）证明（
数列 1. 等差数列 通项公式：1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项：如果2 a b A += ，那么A 是a 与b 的等差中项 前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列，且k l m n +=+，则k l m n a a a a +=+ ✧ 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ，或是利用特殊项。 ✧ 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。 例1.{}n a 是等差数列，538,6a S ==，则9a =_________ 解析：513113248,33362 a a d S a d a d ⨯=+==+ =+=，解得10,2a d ==，916a = 例2. {}n a 是等差数列，13110,a S S >=，则当n 为多少时，n S 最大？ 解析：由311S S =得1213 d a =- ，从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+⨯-=--+，又10a >所以1013 a -< 故 7n = 2. 等比数列 通项公式：11(0)n n a a q q -=≠ 等比中项：2G ab = 前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩ 若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅ 例. {}n a 是由正数组成的等比数列，2431,7a a S ==，则5S =__________
高中数学必修五 等差等比数列 基础知识点 （一）知识归纳： 1．概念与公式： ①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列； 2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列：1°.定义若数列q a a a n n n =+1 }{满足 （常数） ，则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;1 1k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1) 1(111≠--=--= q q q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质： ①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a 1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质： 1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2 b a A += 2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质： 1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 2131 2,,则 组成公差为n 2d 的等差数列； 2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 21 31 2,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为 偶数时这个结论不成立） ⑤若}{n a 是等比数列， 则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2 n q 的等比数列.
等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2 n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。(K=d ，b=a1-d) （4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． 7.提醒：等差数列的通项公式n a 及前n 项和n S 公式中，涉及到5个元素：n n S a n d a 及、、、1，其中d a 、1称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2. 8. 等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅， （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈* N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列 （7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时， ()121135212 n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇
等差数列及其前n项和 教学目标： 1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前 n项和；性质。 2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。 知识回顾： 1.定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式 表示为a n a n 1 d(n 2)或am a0 d(n 1)。(证明数列是等差数列的关键) 2.通项公式： 等差数列的通项为：a n a i (n 1)d ,当d 0时，a n是关于n的一次式，它的图象是一条直线上 自然数的点的集合。推广：a n a m (n m)d 3.中项： 如果a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项；其中A 曳上。 2 4.等差数列的前n项和公式 S n n(a1 a n) na i n(n』d可以整理成&=9n2+(a i d)n。当d*0时是n的一个常数 2 2 2 2 项为0的二次函数。 5.等差数列项的性质 (1)在等差数列a n中，若m , n , p , q N且m n p q ,则a m a n a p a q ；特别的，若 m , p , q N 且 2m p q ,贝112a m a p a q。 (2)已知数列a n , b n为等差数列，S n,T n为其前n项和，则曳 b n T2n 1 (3)若等差数列的前n项和为则S n，S2n S n , S3n S2n,也成等差数列，公差d' n2d; S1,(n 1) a n (4)S n S n 1, (n 2). (5)若数列｛4｝是公差为d的等差数列，则数列Sn也是等差数列，且公差为考点分析 考点一：等差数列基本量计算 例1、在等差数列中，若注 6915,则a i4