效用函数的类型
效用函数的类型
效用函数是用来描述个体性或群体性的选择结果的函数，它指的是一个给定的物质或非物质物品带来的满足感。效用函数的类型有几种，它们分别是“纯粹”效用函数、金融性效用函数、环境效用函数和政治效用函数。
1、纯粹效用函数
纯粹效用函数是衡量一种物品或服务的纯粹满足感的函数。它通过衡量个体和群体的偏好，来推断出物品的需求量。纯粹效用函数可以指定给定的一种物品可以提供的满足感大小，也可以衡量不同物品之间的满足感差异。它是一种有效的理论模型，可以帮助管理者决策以及制定经济政策。
2、金融性效用函数
金融性效用函数是衡量投资者预期投资回报的一种函数。它可以客观地衡量投资者所持有资产的可能收益，以及投资者面临的投资风险。投资者会根据金融性效用函数来分析投资风险，并作出最佳的投资决策。
3、环境效用函数
环境效用函数是衡量物品或服务对环境的影响的一种函数。它通常用来衡量某一行为的环境影响是有益的还是有害的，以及相应行为的环境损害的程度。环境效用函数可以帮助企业维持可持续发展，也可以帮助政府制定出环境友好的政策。
4、政治效用函数
政治效用函数是指政治决策的结果，用来衡量政治决策的成功程度。它可以帮助政府、政治小组和其他政治实体来决策、评估和实施政治计划。与环境、金融效用函数一样，政治效用函数也可以用来衡量政治计划的成功程度。
3.1 设效用函数ρ ρρ/12121)(),(x x x x u -=，其中：0ρ≠<1;这就是常替代弹性效用函数。 求相应的瓦尔拉斯需求函数、间接效用函数。并且验证间接效用函数关于价格和收入是零次齐性的，关于价格是递减的。 解：（1）构造拉格朗日函数： L x 1,x 2,λ = x 1 ρ + x 2ρ 1ρ +λ y ?p 1x 1?p 2x 2 ?L ?x 1 = x 1 ρ+ x 2ρ 1 ρ ?1x 1 ρ?1? λp 1=0 ?L ?x 2 = x 1 ρ + x 2ρ 1 ρ ?1x 2 ρ?1?λp 2=0 ?L =y ?p 1x 1?p 2x 2=0 整理，得 x 1=x 2 p 1 p 2 1 ρ?1 解，得 x 1= p 11 ρ?1 y p 1ρρ ρ?1 +p 2ρ ρ?1 x 2= p 21 ρ?1 y p 1ρ ρ?1 +p 2 ρ ρ?1 如果定义r =ρ/(ρ?1），可将瓦尔拉斯需求函数化简为： x 1 p,y =p 1r ?1 y 1r 2r x 2 p,y =p 2r ?1y 1r 2 r （2）间接效用函数 将上述两个瓦尔拉斯需求函数带入直接效用函数，可得间接效用函数： v(p,y)= (x 1(p,y)ρ + (x 2(p,y)ρ ] 1ρ =(p 1r ?1y p 1r +p 2 r )ρ+ (p 2r ?1y p 1r +p 2 r )ρ 1ρ =y (p 1r +p 2r ) ?1r （3）验证间接效用函数关于价格和收入是零次齐性的
v(tp,ty)=ty[(tp 1)r +(tp 2r )] ?1r =y (p 1r +p 2r ) ?1r =v(p,y) (4) 关于价格是递减的 ?v p,y ?y =(p 1r +p 2r ) ?1r >0 ?v p,y ?p =-(p 1r +p 2r ) (?1r )?1y p i r ?1<0,i=1,2 3.2 设直接效用函数为CES 形式，ρ ρρ/12121)(),(x x x x u +=，其中：0ρ≠<1；试从他对应 的间接效用函数推导出支出函数，以及从支出函数推导出间接效用函数。 (1)从间接效用函数推导出指出函数 间接效用函数为：V （p,y ）=y p 1r +p 2r ?1r 将V （p,y ）替换为u,解出y u=y p 1r +p 2r ?1r ;y=u p 1 r +p 2r 1r 再将y 替换成e(p,u),得到支出函数为： e(p,u)= u p 1r +p 2r 1r (2)从支出函数推导出间接效用函数 支出函数为：e(p,u)=u(p 1r +p 2r )1r 将u 替换为v(p,y),将e(p,u)替换为y ,解出v(p,y)。 y= v(p,y) (p 1r +p 2r ) 1r →v(p,u)= y(p 1 r +p 2r ) ?1r 3.3设效用函数为CES 形式，ρ ρρ /12121)(),(x x x x u +=，其中：0ρ≠<1；求对应的希克斯 需求函数，支出函数。 希克斯需求函数 ： min x 1x 2 p 1x 1+p 2x 2 s.t. u- x 1 ρ + x 2ρ 1ρ =0 构造拉格朗日函数为： L x 1,x 2,λ =p 1x 1+p 2x 2+λ u ? x 1ρ +x 2ρ 1ρ ?L ?x 1 =p 1? λ x 1 ρ+ x 2ρ 1ρ ?1x 1ρ?1=0 ?L ?x 2 =p 2?λ x 1ρ +x 2ρ 1ρ ?1x 1 ρ?1 =0 ?L ?λ =u ? x 1ρ+x 2ρ 1ρ =0 通过消去λ，这些式子被简化为：
FRM模型丨效用函数和风险偏好的辨析 1.效用历史沿革 效用的概念是丹尼尔·伯努利（不是数学家伯努利，但是他们都是伯努利家族的。）在解释圣彼得堡悖论时提出的，目的是挑战以金额期望值作为决策的标准，证明期望收益并不是人们在做决策时的唯一衡量标准。 经济学家对于效用的理解是有一个过程的。 ●19世纪的威廉姆·斯坦利·杰文斯、里昂·瓦尔拉斯和阿尔弗雷德·马歇尔等早期经济 学家认为效用如同人们的身高和体重一样是可以测量的。 ●而约翰·希克斯则尝试了只在序数性效用的假定下，也取得了很多的研究成果。希 克斯认为，效用的数值表现只是为了表达偏好的顺序，并非效用的数值。 因此，从分析消费者行为的方法来看，基数效用论者采用边际效用分析方法，序数效用论者采用无差异曲线分析方法。从教科书等内容判断，现在比较通用的应该是后者的序数性效用。 1.1.效用概念的提出——圣彼得堡悖论 圣彼得堡悖论是尼古拉·伯努利在1738年提出的一个概率期望值悖论。它来自于一种掷币游戏，圣彼得堡游戏。游戏规则为：掷出正面或者反面为成功，游戏者如果投掷成功，
得奖金2元，游戏结束；若不成功，继续投掷，二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果n 次投掷成功，得奖金2n 元，游戏结束。 首先，我们用公式1()k k k E X x p ∞==∑来计算这个游戏收益的数学期望值： 23423411111()2222222222 n n E X n n ==⨯+⨯+⨯+⨯++⨯= 从理论上来说，该游戏的期望值是无穷大的。按照概率的理论，多次试验的结果将会 接近于其数学期望。这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”。如果仅仅以期望值标准，我们将无法给这个游戏进行定价。 圣彼得堡悖论反映了决策理论和实际之间的差别。人们总是不自觉地把模型与实际问 题进行比较，但决策理论模型与实际问题并不是一个东西；圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型，它不仅是一种理论模型，而且本身就是一种统计的 “近似的”模型。在实际问题涉及到无穷大的时候，这种近似可能会带来极大的误差。 效用的概念首次由丹尼尔·伯努利在其对于对这个悖论的解答中提出。在丹尼尔•伯努 利1738年的论文里，提出了效用的概念来说明以金额期望值作为决策标准的片面性。论文提出了大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得大期望效用值而非大期望金额值。 2. 基数效用论 基数效用论基本观点是：效用是可以计量并可以加总求和的。 基数效用论采用边际效用的分析法。 这个理论有两个主要假设：1. 效用量可以具体衡量；2. 边际效用（MU ）递减规律。
边际效用函数 效用的概念是丹尼尔·伯努利在解释圣彼得堡悖论（丹尼尔的表兄尼古拉·伯努利故 意设计出来的一个悖论）时提出的，目的是挑战以金额期望值作为决策的标准。 丹尼尔·伯努利对这个悖论的解答在年的论文里，主要包括两条原理： 1.边际效用递增原理 一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一阶导数大于零；随着财富的增加，满 足程度的增加速度不断下降，效用函数二阶导数小于零。 2.最小效用原理 在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大期望效用值而非最大期 望金额值。 理论 效用理论是领导者进行决策方案选择时采用的一种理论。决策往往受决策领导者主观 意识的影响，领导者在决策时要对所处的环境和未来的发展予以展望，对可能产生的利益 和损失作出反应，在公理科学中，把领导人这种对于利益和损失的独特看法、感觉、反应 或兴趣，称为效用。效用实际上反映了领导者对于风险的态度。高风险一般伴随着高收益。对待数个方案，不同的领导者采取不同的态度和抉择。运用心理测定方法，可以测量出领 导者对于各种收益和损失的效用值，并画出相应的效用曲线：甲类型领导者对收益反应迟钝，对损失反应敏感，怕担风险，不求大利，谨慎小心。乙类型领导者对损失反应迟钝，对获利非常敏感，追求大利，不怕风险，大胆决策。丙类型属于中间类型，完全以损益率 的高低作为选择方案的标准。效用是指消费者从消费某种物品中所得到的满足程度。效用 理论是消费者行为理论的核心，效用理论按对效用的衡量方法分为基数效用论和序数效用论。 基数效用就是所指按1,2,3······等基数去来衡量效用的大小，这就是一种按 绝对数来衡量效用的方法，这种基数效用分析方法为边际效用分析方法，序数效用就是所 指按第一，第二，第三等序数去充分反映效用的序数或等级，这就是一种按偏好程度展开 排序顺序的方法.基数效用使用的就是边际效用分析法，序数效用使用的就是并无差异曲 线分析法。 1、总效用与边际效用。总效用是指消费者在一定时期内，消费一种或几种商品所获 得的效用总和。边际效用是指消费者在一定时间内增加单位商品所引起的总效用的增加量。总效用与边际效用的关系是：当边际效用为正数时，总效用是增加的；当边际效用为零时，总效用达到最大；当边际效用为负数时，总效用减少；总效用是边际效用之和。
完全互补品效用函数的a和b 完全互补品是指两种商品的消费者需求完全相互依赖，只有同时购买两种商品才能获得满足。在经济学中，完全互补品的效用函数可以描述为a+b，其中a表示消费者对商品A的效用，b表示对商品B 的效用。本文将从不同角度探讨完全互补品效用函数的特点和应用。完全互补品的效用函数具有线性特征。因为两种商品的消费者需求完全相互依赖，所以其效用函数是线性的。这意味着当消费者同时购买两种商品时，他们的总效用是两种商品各自效用的总和。例如，假设一个人同时购买了一台电视和一个DVD播放器，他的总效用等于电视的效用加上DVD播放器的效用。 完全互补品的效用函数具有互补性。互补性是指当两种商品的消费者需求完全相互依赖时，其中一种商品的效用增加，会导致另一种商品的效用增加。这是因为消费者购买完全互补品时追求的是两种商品的完整体验，只有同时购买两种商品才能满足他们的需求。例如，一个人购买了一辆汽车，但没有购买汽车配件，他对汽车的效用就会大大降低。 完全互补品的效用函数还具有边际效用递减的特点。边际效用是指增加一单位商品所带来的额外效用。在完全互补品中，当消费者同时购买两种商品时，他们对每一种商品的边际效用都会递减。这是因为消费者在购买完全互补品时，追求的是两种商品的完整体验，
而不是其中一种商品的数量。例如，一个人购买了一双鞋子，但没有购买袜子，他对每一双鞋子的边际效用都会递减。 完全互补品的效用函数还具有消费者个体差异的特点。不同的消费者对完全互补品的需求程度可能不同，因此他们对这两种商品的效用函数也会有所不同。有些消费者可能更加依赖商品A，而有些消费者可能更加依赖商品B。这取决于个体的消费偏好和需求。 完全互补品的效用函数在实际应用中有着广泛的应用。例如，在市场调研和产品开发中，了解完全互补品的效用函数可以帮助企业确定产品组合和定价策略。通过分析消费者对不同商品的需求程度和边际效用，企业可以制定出更加符合消费者需求的产品组合，并确定合适的价格。 完全互补品的效用函数也可以应用于公共政策和社会福利分析中。政府在制定公共政策时，需要考虑不同商品对消费者福利的影响。通过分析完全互补品的效用函数，政府可以更好地评估政策的效果，并制定出更加有利于消费者福利的政策。 完全互补品的效用函数具有线性特征、互补性、边际效用递减和消费者个体差异的特点。了解完全互补品的效用函数可以帮助企业制定产品组合和定价策略，也可以帮助政府评估政策的效果。通过深入研究完全互补品的效用函数，可以更好地理解消费者行为和市场需求，为经济学和市场营销领域的研究提供理论基础。
效用函数和风险态度的关系 效用函数是经济学中用来描述人们对不同决策结果的偏好程度的工具。它通过将不同的决策结果和其对应的概率进行量化，并结合人们的风险态度，来评估决策所带来的效用或满足程度。效用函数的形式通常是个人特定的，不同的人可能具有不同的效用函数。 风险态度是指个人对风险的忍受程度和处理方式。不同的人在面对风险时可能表现出不同的偏好和反应。基于对风险的态度不同，人们可以被分为风险厌恶型、风险中立型和风险偏好型个体。 风险厌恶型个体倾向于避免风险，他们在面对风险决策时更愿意选择相对稳定的结果，即在可能收益相同的情况下，他们更倾向于选择概率较小而相对稳定的结果。对于这种个体，其效用函数的曲线在不同收益水平上呈现出递减的曲线，即边际效用的减少速度逐渐加快。这意味着对于风险厌恶型的个体来说，较小的收益变动所弥补的效用不如较大的收益变动，他们更注重避免可能的损失。 风险中立型个体对风险的态度相对中立，他们对于可能获得的收益和可能承担的损失持平衡的态度。对于这种个体，其效用函数的曲线是一条线性的曲线，即边际效用的减少速度恒定。说明对于风险中立型的个体来说，较小的收益变动所弥补的效用与较大的收益变动所弥补的效用具有相同的比率。 风险偏好型个体倾向于追求风险，他们愿意承担可能的损失以
追求更高的收益。对于这种个体，其效用函数的曲线在不同收益水平上呈现出递增的曲线，即边际效用的减少速度逐渐减慢。这意味着对于风险偏好型的个体来说，较小的收益变动所弥补的效用比起较大的收益变动要多，他们更注重追求可能的收益。 风险态度对效用函数的形式和决策结果的选择有重要影响。对于风险厌恶型个体来说，他们更可能选择稳定的结果，可能会更倾向于选择低风险的投资组合或购买保险产品。而风险中立型个体在决策时更注重收益和损失的平衡，可能会更关注投资组合的期望收益率和风险水平。相对而言，风险偏好型个体更愿意追求更高的收益，可能会更倾向于选择高风险高收益的投资项目。 总之，效用函数和风险态度之间存在密切的关系。不同的风险态度会导致不同形式的效用函数，进而影响决策结果的选择。理解个体的风险态度，可以帮助分析人们的决策行为，并在提供理财建议和制定金融政策等方面发挥重要作用。
效用函数例子 篇一：《中级微观经济学》第五、六章作业 《中级微观经济学》1第五、六章作业 沙亦鹏1531210 同济大学经济与管理学院 6.1. 如果两种商品是完全替代的，求商品2 的需求函数 6.2. 假设某消费者的无差异曲线为斜率等于- b 的直线。给定任意的价格p1、p2和货币收入m，他的最优选择是什么样的？ 6.3. 假设某消费者每喝1单位咖啡总是放2单位的糖，如果糖和咖啡的价格分别为p1、p2美元，花费在咖啡喝糖上的总额为m美元，分别计算出他购买的咖啡和糖的数量。 1教材为范里安《微观经济学：现代观点》第九版，习题可能与第八版略有不同 6.4. 假设你对冰淇淋和橄榄有高度的非凸偏好（即凹偏好），正如教材中描述的那样，这两种商品的价格分别为p1、p2，收入为m 。求最优消费束。 6.5. 如果某消费者的效用函数为u(1, 2) = 124 ，计算他花费在商品2 上的资金支出占他的收入的比例。 6.6. 如果对某消费者来说，无论征收所得税还是消费税，他的状况是一样的。那么他有什么样的偏好类型？ 6.1.
如果某消费者只消费两种商品，而且他总是将钱全部花完，那么这两种商品能都是劣等商品吗？ 6.2. 说明完全替代偏好是相似偏好的例子。 6.3. 说明柯布—道格拉斯的偏好是相似偏好。 6.4. 收入提供曲线对于恩格尔曲线来说，正如价格提供曲线对于什么曲线？ 6.5. 如果消费者对某两种商品的偏好是凹的，他会同时消费这两种商品吗？ 6.6. 汉堡包（hamburgers）和葡萄干夹心小面包(buns)是互补的还是替代的？ 6.7. 完全互补情形下，商品1 的反需求函数是什么样子的？ 6.8. 判断对错。如果需求函数为 1= - p1 ，则反需求函数为 1= -1/ p 1. 篇二：西方经济学 ? 3香烟的生产厂家被征收烟草税，假设纵轴为税 后价格，横轴为数量，那么（） ? A 香烟的需求曲线将左移 ? B香烟的需求曲线将右移 ? C香烟的供给曲线将左移 ? D香烟的供给曲线将右移 ? 答案:C ? 4在一个竞争的市场上，当政府对单位产品能征 收定量税时，（） ? A 若此产品的需求比供给富有弹性，则价格上涨 占定量税的比重大 ? B若此产品的需求比供给缺乏弹性，则价格上涨 占定量税的比重大 ? C此产品的互补品价格上涨 ? D此产品的替代品价格下降 ? 答案:B ? 5轮胎的需求价格弹性等于-1.3，而且供给曲线向
边际效用和效用函数的关系 边际效用是指在增加一单位产品或服务时，所获得的额外效用。它是经济学中的一个重要概念，因为它可以帮助我们理解人们作出消费决策的方式。效用函数则是描述一个人获得某种好处所需花费的代价与所获得效用之间的关系。在本文中，我们将讨论边际效用和效用函数之间的关系。 边际效用的概念是我们理解效用函数的关键。当一人购买商品或服务时，他们会考虑到每增加一单位的花费会带来多少效用增益。例如，一个人会考虑对于第一杯水，他们会从口渴中获得多少效用增益，对于第二杯水，他们会获得多少额外效用增益，以此类推。因此，边际效用告诉我们每增加一单位消费带来的额外效用，这是一种衡量消费努力的方式。 效用函数则是描述消费者获得的总效用与花费之间的关系。效用函数通常在经济学中使用，因为它可以帮助我们预测消费者的行为模式。效用函数可以用一个数学公式表示，其中只要输入商品或服务的价格和消费者对其的效用估计值，即可预测消费者的购买决策。因此，我们可以使用效用函数来优化价格策略和市场营销活动，从而获得更多的消费者满意度和业务利润。
边际效用和效用函数之间的关系非常密切。在效用函数中，边际效用可以描述为效用函数的导数。也就是说，当我们针对价格和消费者需求的效用函数求导数时，所获得的结果就是这个效用函数的边际效用值。 这种关系使得我们可以使用边际效用来解释效用函数，并帮助我们决定新产品或服务的价格策略。例如，如果我们知道一个商品的效用函数和其当前价格，我们可以计算出边际效用，并根据结果来决定是要增加或降低价格，或者保持不变。通过这种方式，我们可以满足消费者的需求，并获得更高的利润。 总之，边际效用和效用函数之间的关系是非常紧密的。边际效用是描述消费者需求行为的关键概念，而效用函数则是由边际效用函数导出的一个数学公式，可以帮助我们预测消费者的需求。因此，在制定商品或服务的价格策略时，考虑到边际效用和效用函数之间的关系是非常重要的，这将帮助我们更好地理解和满足消费者的需求。
基于投资组合的效用函数讨论 效用函数描述的是消费者对于商品的满意程度，而在投资活动中，影响投资者满意程度的主要因素是预期收益和风险，所以投资中的效用函数是一个关于收益和风险的二元函数。投资组合可以有效分散风险，故我们要解决的问题是如何在效用最大化原则下确定投资组合中各项投资的权重。 本文中将效用函数固定为一个普遍适用的形式，首先利用Markowitz模型找到投资组合的有效边界，构造拉格朗日函数，求出有效边界的斜率，将最优组合限制在有效前沿中，然后求出无差异曲线的斜率，令着两个斜率相等，即求无差异曲线族和有效前沿的相切点，就是效用最大的投资组合。 关键词：效用函数，投资组合，无差异曲线，有效边界 在二十世纪后半期，在华尔街发生了两次数学革命，将数学规划和随机方程等工具和方法应用在了金融实践中。1952年，Markowitz发表了著名论文“Portfolio Selection”,标志了华尔街第一次数学革命的开始。这篇被公认为“现代投资学”开端的论文，具有里程碑式的意义，它将西方谚语中“把鸡蛋放在不同的篮子里”这一朴素思想上升为了理论高度。文中详细地论述了投资组合的基本原理，奠定了投资组合理论的基础。Markowitz提出，在进行投资时，人们不仅希望有高回报率，还希望这种回报率是可以确定的，即在追求收益更大的同时希望风险能够降低。其实在通常情况下，收益越高的投资，风险就越大。想要使得获得一定预期收益时的风险减小，一个有效的办法就是分散投资，尽管在理论上分散投资是有效的，但是随之而来困扰投资者们的一个问题就是，如何决定各个投资对象在投资组合中的权重使之成为一个最优选择。 既然想要找到最优选择，那么就要找到一个比较的标准，有了标准才能在两个可能性中选择一个更好的，对于投资组合来说，这个标准就是效用最大化准则。关于效用理论的研究可以上溯到十八世纪Daniel Bernoulli 的工作, 但它的大发展时期是在二十世纪, John von Neumann、Kenneth J.Arrow、J.H.Schoemaker 等人在这方面都做了大量工作。效用函数描述的是消费者对于商品的满意程度，在风险-预期收益平面上，可以通过效用函数获得无差异曲线的图像，将无差异曲线和有效边界放在同一个图中，即可利用无差异曲线来比较有效边界上的投资
效用函数与需求函数的关系 效用函数和需求函数是微观经济学中两个重要的概念。它们在市场经济中扮演着不可或缺的角色，是理解市场行为的基础。下面将从效用函数和需求函数的定义、特点及其关系三个方面来探讨它们之间的关联。 1. 效用函数的定义及特点 效用函数是指描述消费者使用某种商品或服务所获得的满足程度的函数。其数学表示可以是U=F(X)，其中U表示消费者获得的效用值，X 表示消费者购买的商品或服务数量，F表示效用函数。效用函数具有以下特点： （1）单调性：随着商品或服务数量的增加，效用值也增加，但增加的速度逐渐减缓。 （2）边际效用递减：消费者每次增加一单位商品或服务的消费量时，效用值的增加量逐渐减少。 2. 需求函数的定义及特点 需求函数是指描述消费者在不同价格下所需求的某种商品或服务数量的函数。其数学表示可以是X=D(P)，其中X表示消费者所需求的商品或服务数量，P表示商品或服务的价格，D表示需求函数。需求函数具
有以下特点： （1）价格上升，需求量下降；价格下降，需求量上升。 （2）需求曲线向下倾斜：价格下降时，消费者的需求量增加，而价格 上升时，消费者的需求量减少。 3. 效用函数与需求函数的关系 经济学家将效用函数和需求函数联系在一起，以了解市场经济中价格 和数量之间的关系。消费者的效用最大化是在有限的预算约束下实现的，即消费者要在消费一定数量的商品或服务时，达到最大的效用值。因此，消费者的需求量取决于所能消费的商品或服务的价格以及消费 者在不同规格、品牌的商品或服务之间所获得的效用值，因此： 需求量=最大效用值/商品或服务价格 可以得出，在给定价格水平下，消费者需求量取决于他们所获得的效 用值，而效用函数可以解释不同商品或服务的效用价值。因此，需求 函数和效用函数之间存在密切的关系，效用函数可以解释需求函数的 基础，是制定价格和销售决策的核心。 综上所述，效用函数和需求函数是微观经济学研究的两个基本概念。 它们之间的关系是相互依存的，需求函数随着商品或服务价格的变化
投资组合与效用函数的研究 随着经济发展和全球化进程，投资已经成为人们追求财富和增加收益的一种方式。然而，对于一般的投资者来说，如何构建一个优秀的投资组合以及如何评估组合的表现是投资决策中的难点。这就要求投资者需要有一定的投资组合管理的知识。本文将深入探讨投资组合和效用函数的研究。 一、投资组合的概念和种类 投资组合是指在一定的风险水平下，通过投资多个资产来实现收益最大化的一 种投资方式。投资者可以根据自身的风险偏好和收益目标来选取适合的投资组合。常见的投资组合包括均衡组合、成长组合、价值组合等。 均衡组合：均衡组合是指在资产中投资相等的资金比例，以达到组合风险的最 小化。这种组合适用于投资初始阶段或者投资人风险承受能力较低的情况。 成长组合：成长组合则是指投资者主要购买在未来有较大增长空间的股票和部 分的债券。这种组合适用于投资人希望投资未来发展前景较好的企业和行业。 价值组合：价值组合则是指投资者购买具有较低的估值的股票和债券。这种组 合更适用于需要短期内获取稳定收益的投资者。 不同的投资组合具有不同的特点和优缺点，投资者在选择投资组合时需要根据 自己的需求和风险偏好来进行选择。 二、有效前沿和投资组合的优化 有效前沿是指在一定风险下，所有具有相同风险的投资组合构成的线段。有效 前沿是通过对所有投资组合的预测和计算，找到可以实现给定风险下最大化收益的投资组合。
投资组合的优化是指在规定的限制下，使其达到最大效益的过程。投资组合的优化可以通过有效前沿来展示。通过有效前沿，可以找到经过优化的投资组合，以达到最大化收益的目标。 三、效用函数和投资组合 效用函数是指投资者对某些事物的喜好程度的量化表达，例如收入、风险等。这种表达是以实现最高效益为目标的，也就是说，投资者希望在风险和收益之间寻求平衡，以获得最佳的收益。 投资组合的效用函数是指投资者在不同的投资组合中所获得效用的计量方式。投资者在自己的投资过程中，通过效用函数对不同的投资组合进行评估和优化，从而更好地协调风险和收益的平衡。 在效用函数的设计中，考虑到投资者的收益目标和风险承受能力，并选取合适的变量和系数进行表达。例如，对于一个风险偏好较高的投资者，可以设置更高的风险补偿系数，以获得更高的收益。 四、投资组合和市场风险 投资在某种程度上是一种风险活动。特别是在大多数情况下，市场的不确定性会引起投资者的不安和不确定性。因此，投资者需要考虑的是如何把握市场风险以及如何对市场的波动做出反应。有效的投资组合管理可以使投资者更好地抵御市场的风险和不确定性。 为了更好地控制市场风险，投资者需要针对具体市场情况进行投资组合管理，并通过对市场进行分析和监控来及时做出相应的调整。如果投资者发现市场表现远低于预期，他们可以更改投资组合中的资产配置以抵御可能的亏损。 总之，投资组合和效用函数的研究是投资管理的重要内容。投资者需要根据自己的风险偏好、收益目标和市场情况来制定适合自己的投资组合，并通过优化投资
马尔可夫决策过程（Markov Decision Process, MDP）是用来描述在随机环 境中进行决策的数学模型。在MDP中，智能体根据当前状态以及可能的行动，通过一定的策略来决定下一步的行动，以达到最优的效用。在MDP中，效用函数被用来评估不同策略的好坏，从而辅助智能体做出正确决策。设计一个合适的效用函数对于MDP的性能至关重要，下面将探讨一些关于效用函数设计的技巧。 ### 1. 状态和行动的影响 在设计效用函数时，首先需要考虑的是状态和行动对效用的影响。在MDP中，状态是不确定的，并且通过行动可以转移到不同的状态。因此，效用函数需要能够评估不同状态下不同行动的效果。这通常涉及到对状态和行动的价值进行建模，以便在不同环境下选择最佳的行动。 ### 2. 即时奖励和长期回报 效用函数的设计还需要考虑到即时奖励和长期回报的平衡。即时奖励指的是 在每个时间步上智能体获得的奖励，而长期回报则是智能体在整个决策过程中获得的总体回报。在MDP中，智能体的目标是最大化长期回报，因此效用函数需要能够综合考虑即时奖励和长期回报的影响。 ### 3. 风险偏好 在效用函数的设计中，需要考虑到智能体的风险偏好。一些智能体可能更倾 向于选择稳定的行动，而另一些可能更倾向于追求高风险高回报的行动。因此，效用函数需要能够对风险进行评估，并根据智能体的偏好来进行权衡。
### 4. 不确定性建模 MDP的一个重要特点是环境的不确定性。效用函数的设计需要能够对不确定 性进行建模，并考虑到不同状态和行动的不确定性对效用的影响。这通常涉及到对概率分布的建模，以便对不确定性进行合理的评估。 ### 5. 资源约束 最后，在设计效用函数时需要考虑到资源约束的影响。在现实世界的决策问 题中，智能体通常会面临资源的限制，因此效用函数需要能够在资源约束下进行最优化决策。这涉及到对资源利用率的建模，以便在效用最大化的同时考虑到资源的限制。 综上所述，马尔可夫决策过程中的效用函数设计技巧涉及到对状态和行动的 影响、即时奖励和长期回报的平衡、风险偏好、不确定性建模以及资源约束的考虑。通过合理设计效用函数，可以帮助智能体在不确定环境中做出最优的决策，从而提高系统的性能。
完全互补品效用函数的a和b 我们来了解一下完全互补品的特点。完全互补品是指两种商品或服务之间的互补程度达到最高点，一种商品或服务的增加会使另一种商品或服务的效用增加到最大。换句话说，两种商品或服务的消费量是完全相关的，一种商品或服务的消费量的增加必然导致另一种商品或服务的消费量的增加。比如，电视和电视遥控器就是完全互补品，没有电视的遥控器是没有用的，而没有遥控器的电视也无法操作。因此，对于完全互补品来说，它们的边际替代率是无限大的。接下来，我们来了解一下完全互补品的效用函数的定义。效用函数是描述消费者对商品或服务的满意程度的函数。对于完全互补品来说，其效用函数可以表示为U(a, b) = min(a, b)，其中a和b分别表示两种商品或服务的消费量。这个效用函数的含义是，消费者的总效用取决于两种商品或服务中消费量较少的那一种。换句话说，对于完全互补品来说，只有两种商品或服务的消费量完全相等时，消费者才能达到最大的满意程度。 完全互补品的效用函数有着一些特殊的性质。首先，效用函数是非线性的，因为它取决于两种商品或服务的消费量的最小值。其次，效用函数是不可加的，因为两种商品或服务的消费量是完全相关的，不能简单地将它们的效用相加。再次，效用函数是单调递增的，即随着任意一种商品或服务的消费量的增加，消费者的总效用也会增
加。 完全互补品的效用函数在实际生活中有着广泛的应用。首先，它可以用来解释消费者对互补商品或服务的选择行为。当消费者购买完全互补品时，他们会根据效用函数来决定两种商品或服务的消费量，以达到最大的满意程度。比如，当我们购买牛奶和麦片时，我们会根据效用函数来决定牛奶和麦片的消费量，以达到口味的最佳搭配。完全互补品的效用函数还可以用来解释市场中的供需关系。当两种完全互补品的价格发生变化时，消费者的消费行为也会发生变化。根据效用函数的定义，消费者会根据价格的变化来调整两种商品或服务的消费量，以达到效用的最大化。比如，当手机和充电器的价格下降时，消费者会增加两种商品的消费量，以满足自己的需求。 完全互补品的效用函数还可以用来解释企业的生产决策。当企业生产完全互补品时，它们需要根据效用函数来决定两种商品或服务的生产量。企业会根据市场需求以及两种商品或服务的边际成本来确定生产量，以实现利润的最大化。比如，当电视机制造商决定生产电视时，他们需要考虑到电视遥控器的需求，并根据效用函数来决定两者的生产量，以满足消费者的需求。 完全互补品的效用函数是经济学中的一个重要概念，它描述了两种完全互补品之间的关系以及消费者的选择行为。通过研究完全互补品效用函数，我们可以更好地理解消费者的行为、市场的供需关系
东财2021年9月《证券投资学》作业考核试题及答案参考 1. 典型的K线买进图形有插入线图形、分离线图形、三阳线图形等。( ) T.对 F.错 参考答案：T 2. 金融衍生工具产生的最根本原因是为了获得高额收益。( ) T.对 F.错 参考答案：T 3. 支撑线和压力线之所以能起支撑和压力作用，两者之间之所以能相互转化，很大程度是由于( )。 A.机构主力斗争的结果 B.心理因素 C.筹码分布 D.持有成本 参考答案：B 4. 期货交易相对于现货交易，有利于投资者的投机获利，从而为期货市场注入活力。( ) T.对 F.错 参考答案：T 5. 在股市下跌行情期间，平均线一般居于股价的( )。 A.下方 B.上方 C.不一定 D.相交一点 参考答案：B
6. 在( )中，只有那些利用内幕信息者才能获得非正常的超额回报。 A.无效市场 B.弱式有效市场 C.半强式有效市场 D.强式有效市场 参考答案：C 7. EASDAQ是第一家电子股票交易市场。( ) A.正确 B.错误 参考答案：B 8. 假设某证券在10元处获得支撑，反弹至20元遇到阻力，根据百分比线的原理，我们可以判断，股价下跌途中可能会在( )。 A.17.50 B.16.67 C.15.00 D.13.75 参考答案：ABCD 9. 有如下两种国债：债券A和债券B。国债到期期限息票率A10年8%，B10年5%。上述两种债券的面值相同，均在每年年末支付利息。从理论说，当利率发生变化时，下列说法正确的是( ) A.债券B的价格变化幅度等于A的价格变化幅度 B.债券B的价格变化幅度小于A的价格变化幅度 C.债券B的价格变化幅度大于A的价格变化幅度 D.无法比较 参考答案：C 10. 某公司的税前利润总额为68000元，利息费用为8000元，则该公司的利息保障倍数为( )。 A.8.5
函数复习一：四种基本函数类型 一、一元二次函数 基本知识： 1.一元二次方程的定义和表达方式： 一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数。交点式为。顶点式为 y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，,。 2. 二次函数的图像和性质： （1）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。 （2）顶点坐标，对称轴为直线 （3）交点个数： Δ=b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b²-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。 考点1：二次函数的三种表示形式 例1：【顶点式的运用】 若二次函数的图象经过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值是－1，则它的解析式为（） 例2：【顶点式的运用】 已知y＝f(x)是二次函数，且f(－3 2＋x)＝f(－ 3 2－x)对x∈R恒成立，f(－ 3 2)＝49，方 程f(x)＝0的两实根之差等于7. (1)求此二次函数的解析式．
考点2：二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数在闭区间上的最值分为三种情况，轴定区间定，轴动区间定，轴定区间动。常需要分类讨论。如果轴动区间定，则讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外，利用开口方向和单调性解答即可。如果轴定区间动，划出三种图像，然后按照单调性解答即可。 （一）轴动区间定，这时讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外； 例1. 【轴动区间定】 函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25 D ．f (1)>25 例2. 【轴动区间定】 已知二次函数y ＝f (x )在x ＝t ＋22处取得最小值－t 24(t ≠0)，且f (1)＝0. (1)求y ＝f (x )的表达式； (2)若函数y ＝f (x )在区间[－1，12]上的最小值为－5， 求此时t 的值和对应的x 的值 （二）轴定区间动，这是要讨论区间中的参数。 例1. 【轴定区间动】 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 例2. 【轴定区间动】 已知函数y ＝4x 2－4ax ＋a 2－2a 在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．
第一大类：效用与风险 1. 效用函数是怎样与风险联系的，为什么？ 由于效用函数视决策者对风险态度的不同而不同，因而效用函数也有不同的类型，如图3-6 所示。 直线型效用函数与决策的货币效果成线性关系，决策者对决策风险持中立态度，属中间型决策者。决策者只需要根据期望损益值作为选择方案的标准，而不需要利用效用函数。其所对应的曲线如图3-6中的A线所示。 2.保守型效用函数 保守型效用函数表示随着货币额的增多而效用递增，但其递增的速度越来越慢。决策者对利益的反应比较迟缓，而对损失的反应则比较敏感，不求大利，但求规避风险，这是一种谨慎小心的保守型决策者。这类函数所对应的曲线为保守型效用曲线，如图3-6中的B曲线所示。曲线中间部分呈上凸形状，表示决策者厌恶风险，上凸的越厉害，表示厌恶风险的程度越高。 3.冒险型效用函数 冒险型效用函数表示随着货币额的增多而效用也递增，但递增的速度越来越快，决策者想获得大利而不关心亏损，也即决策者对于亏损反应迟缓，而对利益却很敏感，是一种想谋大利、不怕冒险的进取型的决策者。这类函数所对应的曲线为冒险型效用曲线，如图3-6中C线所示。曲线中间的部分成上凹形状，表示决策者喜欢冒险，敢于做大胆的尝试。效用曲线上凹得越厉害，表示决策者冒险性越大。 4.渴望型效用函数 渴望型效用函数表示在货币额不大时，决策者具有一定的冒险胆略，但一旦货币额增至相当数量时，他就转为稳妥策略。这类函数所对应的曲线为渴望型效用曲线，如图3-6的D线所示，在曲线上有一个拐点(c,h) ，左段呈上凹，右段呈上凸。这种决策者的特点是一曲线上的拐点(c,h) 为分界点，当效用值小于h时，他喜欢采取冒险行动，而当效用值大于h 时，他又改为稳妥策略。 P57 2.效用函数存在哪些不足？你认为应该怎样改进？ 答：西方经济学对效用函数的存在性的证明，是一种自我循环的论证。这是因为，效用函数存在性定理的那些假设条件，不是基于事实，而是基于数学证明的需要。而要满足这些假设条件，就必须事先要求效用函数的存在。事实上，如果没有效