效用函数凹凸
我们将效用函数表示为U(x)，其中x表示某种消费品或服务，U(x)表示个人对x的偏好程度。如果函数U(x)在一个区间内是凹的，则说明个人对这个区间内的消费品或服务越多越喜欢。具体来说，就是当x1和x2在这个区间内，且x1 < x2时，有U(x1) - U(x2) > U'(x2) * (x2 - x1)，其中U'(x)是U(x)的导数。
相反，如果函数U(x)在一个区间内是凸的，则说明个人对这个区间内的消费品或服务越少越喜欢。具体来说，就是当x1和x2在这个区间内，且x1 < x2时，有U(x1) - U(x2) < U'(x2) * (x2 - x1)。
凹凸性的概念在经济学中具有重要意义。例如，在消费者选择理论中，消费者选择的最优组合通常是使得效用函数凹的点。在生产函数理论中，生产函数的边际生产力通常是凹的。凹凸性还与风险偏好有关，风险厌恶的个体的效用函数通常是凸的。
因此，了解效用函数的凹凸性质可以帮助我们更好地理解消费者和生产者的行为，以及风险偏好的影响。
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效用函数几种常见的公式 效用函数是描述消费者对不同商品组合的偏好程度的数学函数。常见 的效用函数有线性效用函数、凹凸效用函数、倍诺效用函数和Cobb-Douglas效用函数等。下面将详细介绍这几种常见的效用函数。 1.线性效用函数 线性效用函数是最简单的效用函数形式，表示消费者对不同商品数量 的偏好是线性的。线性效用函数的一般形式为U = ax + by，其中U表示 总效用，x和y分别表示两种商品的数量，a和b是效用的边际收益（表 示单位商品数量带来的边际效用）。线性效用函数假设消费者对每单位商 品数量的边际效用保持不变，即边际效用处处相等。 2.凹凸效用函数 凹凸效用函数是消费者偏好曲线呈现凹（convex）或凸（concave） 形状的效用函数。凹凸效用函数可以是一次函数、二次函数、对数函数等。凹凸效用函数的特点是随着消费数量的增加，边际效用递减。凹凸效用函 数可以用来描述消费者的递减边际效用的情况，即对于同一商品，消费数 量越多，边际效用越低。 3.倍诺效用函数 倍诺效用函数是消费者偏好曲线呈现S形状的效用函数，也被称为双 曲正切函数（Hyperbolic Tangent function）或双曲正切效用函数。倍 诺效用函数的一般形式为U = a * tanh(bx)，其中U表示总效用，x表示 商品的数量，a和b是函数的参数。倍诺效用函数具有递增边际效用和递 减边际效用的特点，即当消费数量较小或较大时，边际效用较高，而在中 间数量区间边际效用较低。
4. Cobb-Douglas效用函数 Cobb-Douglas效用函数是一种常用的多商品效用函数形式，常用于 描述消费者对多种商品的偏好。Cobb-Douglas效用函数的一般形式为U = x^a * y^b，其中U表示总效用，x和y分别表示两种商品的数量，a和b 是表示商品相对重要性的参数，常常取值为0到1之间。Cobb-Douglas 效用函数的特点是递增的边际效用，但边际效用的增加率逐渐减小。 总结： 以上介绍了几种常见的效用函数形式，包括线性效用函数、凹凸效用函数、倍诺效用函数和Cobb-Douglas效用函数。每种效用函数都有其独特的性质和用途。通过使用效用函数，经济学家可以对消费者的偏好进行定量描述，并进一步分析消费者的最优消费选择。
经济学中函数的凸凹性质问题 在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。 一、关于凸函数与凹函数 凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。 凸和凹具有如下性质： 凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) D是f(.)的定义域的一个凸子集。 若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)， 则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”） 在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点 X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ), 设0<λ<1，如果： f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1, y2, ......yn ) 则称函数f(X)在n维区域内是凸函数； 同理，如果： f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f(y1, y2, ......yn ) 则称函数f(X)在n维区域内是凹函数； n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ， 有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2) 则f(x)在(a,b)内为凸函数。 二、关于拟凹性和拟凸性 同样可以定义，在n维区域内的任何两个点X，Y ， X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),对所有的0<=λ<=1，如果： f[λX + (1-λ)Y] >= min [f(X) , f(Y)] 则称f(X)是拟凹函数。 同理，如果：f[λX + (1-λ)Y] <= max [f(X) , f(Y)] 则称f(X)是拟凸函数。
有极大值的函数-范文模板及概述 示例1: 标题：深入探讨具有极大值的函数：理论与应用 在数学领域，尤其是微积分学中，函数的极大值是一个核心概念。一个函数在其定义域内的某个点取得极大值，意味着该点处的函数值大于或等于其在附近所有点的函数值。这对于理解和解决现实生活中的优化问题至关重要，例如最大利润、最小成本分析，物理现象的最大效果分析等。 一、理论概述 函数f(x)在某一点x₀取得极大值，需满足两个条件：首先，该点必须是函数的临界点，即f'(x₀)=0（导数为零）或者导数不存在；其次，根据二阶导数测试，当f''(x₀)＜0时，可以确认x₀是极大值点。这是因为，二阶导数反映了函数曲线的凹凸性，负的二阶导数意味着函数在该点附近由凸转凹，符合极大值的几何特性。 二、实例解析 以二次函数f(x) = ax²+ bx + c为例，如果a＜0且判别式b²-4ac＞0，那么此函数就存在极大值。通过求解导数并确定其零点，我们可以找到极大值的具体位置。 三、实际应用 在实际应用中，寻找函数的极大值有着广泛的应用场景。例如，在经
济学中，生产者可能需要找出产量与利润之间的关系函数的最大值点，以确定最佳生产规模；在物理学中，研究势能函数的极大值可以帮助我们定位物体在力场中的稳定平衡位置；在工程设计中，通过优化目标函数来达到性能最大化的解决方案等等。 总结来说，对具有极大值的函数的研究，不仅深化了我们对数学理论的理解，也为我们解决现实世界中的最优化问题提供了强大的工具和方法论支撑。 示例2: 标题：探讨有极大值的函数：理论与实践应用 在数学领域中，函数极大值的概念是微积分学的重要组成部分，它对于理解并解决实际问题具有深远意义。一个函数在其定义域内某个点取得极大值，意味着该点处的函数值大于或等于其在附近所有点的函数值。本文将深入探讨具有极大值的函数的相关理论及其广泛应用。 一、函数极大值的基本概念与求解方法 函数f(x)在某一点c取得极大值，需满足两个条件：首先，c必须是函数f(x)的临界点或者边界点；其次，c左侧邻域内的函数值不大于f(c)，右侧邻域亦然。求解函数极大值通常采用导数法，即寻找函数的一阶导数为零的点或导数不存在的点，并通过二阶导数判断极值的性质。 二、函数极大值的实际应用
函数的凹凸性与拐点的判定 在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。凹凸性描述 了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。凹 凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。本文将介绍 函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。 一、函数的凹凸性 函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。我们可以通过函数的二阶 导数来判断函数的凹凸性。 1. 定义 设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I， 有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。 2. 凹凸点 根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。 若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0- δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一 个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数 f(x)的一个凸点。 二、拐点的判定
拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。 1. 定义 设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。如果在某一点x0∈I处， f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。 2. 拐点的性质 拐点具有以下性质： - 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。 - 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。 - 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。 三、判定和应用 判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。 1. 求导数 首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。 2. 解方程 求解二阶导数f''(x)=0的解，得到可能的拐点。
效用函数与边际效用分析 在经济学中，效用函数和边际效用是两个重要的概念，被广泛应用于消费者理 论和边际分析。效用函数是描述消费者对商品或服务的满足程度的数学函数，而边际效用则是指增加或减少一单位商品或服务所带来的满足程度的变化。 效用函数是对消费者对不同商品或服务的偏好进行数学描述的工具。在经济学中，我们常常需要衡量不同商品对消费者满足程度的多少，进而作出消费决策。效用函数就是这样一个函数，它能够量化不同商品对消费者满意程度的大小。 通常来说，效用函数的形式可以根据实际情况进行选择，比如线性效用函数、 凹凸效用函数等不同形式的函数。其中，线性效用函数是一种简单而常用的形式，它假设消费者对不同商品或服务的满意程度与其数量成正比。而凹凸效用函数则认为消费者的满意程度会出现递减或递增的趋势，即边际效用递减或递增。 边际效用是效用函数的一种重要概念，它描述了增加或减少一单位商品或服务 所带来的满足程度的变化。边际效用可以用数学上的导数来表示，即效用函数对商品数量的一阶偏导数。通过计算边际效用，我们可以了解到消费者在某个特定数量的商品或服务时的满意程度变化情况。 边际效用分析在经济学中的应用非常广泛。通过对边际效用进行分析，我们可 以帮助消费者作出最优的消费决策，以达到满足最大化的目标。当边际效用为正时，消费者可以通过增加对应商品或服务的消费来提高满意程度；当边际效用为负时，消费者应减少对应商品或服务的消费，以避免满意程度下降。 除了消费者理论，边际效用分析还在生产理论和公共政策中有着广泛的应用。 在生产理论中，我们可以通过边际效用分析来确定最优的生产要素的配置，以达到生产效率的最大化。而在公共政策中，我们可以利用边际效用分析来评估政策的成本和效益，从而做出合理的决策。
凹凸函数判定 引言 凹凸函数是数学中的重要概念，在各个领域有着广泛的应用。凹凸函数的性质可以用来优化问题求解、判定函数的凸性以及分析函数的特征。本文将全面、详细、完整地探讨凹凸函数的判定方法及其应用。 凹凸函数的定义 凹凸函数是指函数在定义域上的一种特殊性质，即函数的曲线在任意两点之间的区间上或下凸性保持不变。更正式地说，对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于区间中的任意两个点x1和x2以及任意一点t，都有以下条件成立： 1.凹函数：f((1-t)x1 + tx2) ≤ (1-t)f(x1) + tf(x2) 2.凸函数：f((1-t)x1 + tx2) ≥ (1-t)f(x1) + tf(x2) 其中，0 ≤ t ≤ 1。如果函数满足上述条件，则称其为凹函数；如果相反方向满足上述条件，则称其为凸函数。 几何解释 凹凸函数的几何解释可以通过观察函数的图像得到。对于凹函数，其图像在任意两点之间的区间上是下凸的，即曲线在该区间上的任意一点的下方；对于凸函数，则是相反的情况，曲线在该区间上的任意一点的上方。 下图展示了凹函数与凸函数的图像示例： 凹函数示例凸函数示例 凹凸函数的判定方法 一阶导数的判定法 一阶导数的判定法是判定函数凹凸性的常用方法之一。凹函数的一阶导数可以通过以下方式判定：
1.对于凹函数，其一阶导数是递增的； 2.对于凸函数，其一阶导数是递减的。 具体判定步骤如下： 1.求取函数的一阶导数； 2.分别计算函数在凸区间上的一阶导数值； 3.判断一阶导数的递增或递减性。 以下是一个凹函数的一阶导数判定示例： f(x)=2x2−3x+1 首先，求取函数的一阶导数： f′(x)=4x−3 然后，计算函数在凸区间上的一阶导数值： x f’(x) 1 1 2 5 3 9 最后，判断一阶导数的递增或递减性。根据上表可知，一阶导数递增，因此函数为凹函数。 二阶导数的判定法 二阶导数的判定法是判定函数凹凸性的另一种常用方法。凹函数的二阶导数可以通过以下方式判定： 1.对于凹函数，其二阶导数始终大于等于零； 2.对于凸函数，其二阶导数始终小于等于零。 具体判定步骤如下： 1.求取函数的二阶导数； 2.判断二阶导数是否大于或小于等于零。 以下是一个凹函数的二阶导数判定示例： f(x)=x3−x2+x−1 首先，求取函数的二阶导数： f″(x)=6x−2
函数的凹凸性与拐点 函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。 一、函数的凹凸性 函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1 拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。 拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。 拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。 综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。 认知无线网络中兼顾效用与公平的联合带宽和功率分配算法闫继垒;李建东;赵林靖;董全 【摘要】A unified utility function was designed to adapt to different types of services and an optimization problem was formulated based on the network utility maximization model. By applying the Lagrange duality method, a distributed joint bandwidth and power allocation algorithm was proposed. Simulation results show that this algorithm can effectively allocate proper resources to various types of secondary users. It can not only maximize the total utility of all secondary users but also maintain the utility fairness among them.%对不同类型的业务采用了统一的效用函数形式， 并在此基础上构造了基于网络效用最大化模型的优化问题。采用拉格朗日对偶方法对问题进行了求解，提出了一种分布式的联合带宽和功率分配算法。仿真结果表明，本算法能够有效地为不同类型认知用户分配合理的带宽和功率资源，在最大化所有认知用户总效用的同时保证用户之间的效用公平性。 【期刊名称】《通信学报》 【年(卷),期】2013(000)010 【总页数】9页(P56-64) 【关键词】认知无线网络;效用函数;资源分配;公平性 【作者】闫继垒;李建东;赵林靖;董全 【作者单位】西安电子科技大学综合业务网理论和关键技术国家重点实验室，陕 西西安 710071;西安电子科技大学综合业务网理论和关键技术国家重点实验室， （一）函数 1凹（凸）函数 1.1凸集 凸集：对于任意两点u S ∈和v S ∈，且对于每一个[0,1]θ∈，当且仅当 (1)w u v S θθ=+-∈为真时，集合n S R ⊂为凸集。 凸集要求集合内两点之间的连线必须也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边缘也不能有缩进。例如，平面中，一条线段就是一个凸集，而一个圆圈则不是。 1.2凹（凸）函数 介绍凸集是为了引入凹（凸）函数：不管是凹函数还是凸函数都要求其定义域是凸集。我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特征，比如函数2 44y x x =-+-就是一个凹函数，它在定义域内呈现出峰形；函数2 44y x x =-+就是一个凸函数，它在定义域内呈现谷底。 现在具体给出凹（凸）函数的定义： 对于函数:f D R →，其定义域内任意两个不同的点1 x 和2 x ,当且仅当 1212(x )(1)(x )(x (1)x )(0,1)tf t f f t t t +-≤+-∀∈ 时，函数f 为凹函数。 对于函数:f D R →，其定义域内任意两个不同的点1 x 和2 x ,当且仅当 1212(x )(1)(x )(x (1)x )(0,1)tf t f f t t t +-≥+-∀∈ 时，函数f 为凸函数。 若将不等号“≤” 和“≥”分别变换成严格不等号“<”和“>”，上述定义便成了严格凹函数和严格凸函数的定义。 因为凹函数的定义域为凸集，因此点 12 x (1)x t t +-也一定在函数的定义域内。 我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的情况。凹函数一定存在绝对极大值，但绝对极大值可能不是唯一的，因为如果山峰包含一个平顶，则可能存在多重绝对极大值。仅当我们限定它为严格凹形函数时，绝对值才可能是唯一的。 1.3凹（凸）函数与凸集的关系 首先我们必须区别凸集与凸函数的概念。 根据定义，可知当“凸的”在描述集合时，它要求该集合不能出现任何孔，边缘也不能有缩进。这不同于之前的凹（凸）函数：当“凸的”在描述函数时，它确定的是一条曲线或曲面是如何弯曲的。 但凹（凸）函数确实与凸集有关。除了定义域都要求是凸集之外，它们都可以引致一个凸集。 定理 (x)f 是凹函数{}(x )x ,(x)A y D f y ⇔≡∈≥，是凸集； 第一部份：消费者理论 一、形式化表述分析消费者偏好的性质 （完备性，传递性，持续性，严格单调性，严格凸性等等） 二、效用函数存在性证明 请参考教材 三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。 考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价钱为=1p （2，4）时，其需求为=1x （1，2）。当价钱为=2p （6，3）时，其需求为=2x （2，1），该消费者是不是知足显示性偏好弱公理。 若是=2x （，1）时，该消费者是不是知足显示性偏好弱公理。 解答：81*42*2x p 102*41*2x p 2111=+=>=+= 消费束1偏好于消费束2 151*32*6x p 122*31*6x p 2212=+=<=+= 消费束2偏好于消费束1 违背了显示性偏好弱公理。 若是=2x （，1）时： 8.61*44.1*2x p 102*41*2x p 2111=+=>=+= 消费束1偏好于消费束2 2122p x 6*13*212p x 6*1.43*111.4=+=>=+= 消费束1在价钱2的情形下买不起。符合显示性偏好弱公理。 四、效用函数121),(x x x u =，求瓦尔拉斯需求函数 解答：w x p x p t s x x x u =+=22111 21..),(max 从效用函数121),(x x x u =可知商 品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，02=x ，1 1p w x = 或由w x p x p t s x x x u =+=22111 21..),(max ,可取得 )(0max ),(max 1 12112221源于消费束的非负限制，，此时p w x x p w p x p w x x u ===-= 事实上，这是一个边角解，认知无线网络中兼顾效用与公平的联合带宽和功率分配算法
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