效用函数的构造
效用函数是指用来描述个体对不同选择的偏好程度的数学函数，用于分析个体在做出决策时的选择行为。效用函数的构造包括以下几个方面：
1. 偏好假设：效用函数的构造需要先假设个体的偏好，在不同的选择项之间进行选择时所产生的相对倾向性。个体的偏好可以从心理学、经济学、行为学等方面的研究中得出。
2. 特征选择：除了偏好之外，效用函数的构造还需要选择与选择相关的特定特征。这些特征可以是选择所涉及事物的属性和特性，比如价格、品牌、大小、配料等等。
3. 功用计算：对于每一个选择，都需要计算其所对应的效用值。效用值可以是实际的数字、百分比或其他形式，需要考虑到每一种选择所对应的不同特征，以及这些特征对于个体偏好的影响。
4. 模型评估：构造效用函数后，需要对其进行定量评估。评估的方式可以是基于数据的实证研究，也可以是基于理论的推演和假设。只有在不断的评估和调整中，效用函数才能更好地反映个体选择行为的真实情况，并应用于更广泛的决策和分析中。
需要注意的是，效用函数的构造可能因不同的研究领域和个体情况而有所不
同，具体的构造方式需要根据实际情况加以优化和调整。
第二讲间接效用函数与支出函数 第一节间接效用函数 一、间接效用函数的定义 直接效用函数：() u x 价格和收入发生变化后，消费者最优选择也会发生变化从而带来消费者效用的变化。
也就是说，消费者最大化效用是收入和价格向量的函数。记这种效用函数为： 间接效用函数：()()max ,..v p y u s t y =≤x px x ()()()*,,v y u y ==p x x p 间接效用函数的政策意义：通过价格政策（ p ）和收入政 策（y ）可以控制消费者行为。
二、间接效用函数的特征： 间接效用函数),(y v p 1) 在n +++? 上连续 2) 在(),y p 上零次齐次性 3) 在y 上严格递增 4) 在p 上严格递减 5) 在(),y p 上拟凹 6) 罗伊恒等式：如果(),v y p 在()00,y p 上可导，并且() 00,0v y y δδ≠p ，有：
()() ()000000,,,1,...,,i i v y p x y i n v y y δδδδ==p p p 间接效用函数()()max ,..v y u s t y = ≤p x px x 的特征 1、间接效用函数在n +++? 上连续 最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。 含义：当收入和价格有微量变化时，极大化了的效用也会有微量变化。
2、间接效用函数在(),y p 上零次齐次性 ()()max ,..v y u s t y ==p x px x 间接效用函数在(),y p 上零次齐次性： ()()()0 ,,,,0v t ty t v y v y t ==>p p p ()()()()()ma max ,,..x ..,u v t u v t ty s ty v t t t y y s y t ===?==x p p x px x p x px
FRM模型丨效用函数和风险偏好的辨析 1.效用历史沿革 效用的概念是丹尼尔·伯努利（不是数学家伯努利，但是他们都是伯努利家族的。）在解释圣彼得堡悖论时提出的，目的是挑战以金额期望值作为决策的标准，证明期望收益并不是人们在做决策时的唯一衡量标准。 经济学家对于效用的理解是有一个过程的。 ●19世纪的威廉姆·斯坦利·杰文斯、里昂·瓦尔拉斯和阿尔弗雷德·马歇尔等早期经济 学家认为效用如同人们的身高和体重一样是可以测量的。 ●而约翰·希克斯则尝试了只在序数性效用的假定下，也取得了很多的研究成果。希 克斯认为，效用的数值表现只是为了表达偏好的顺序，并非效用的数值。 因此，从分析消费者行为的方法来看，基数效用论者采用边际效用分析方法，序数效用论者采用无差异曲线分析方法。从教科书等内容判断，现在比较通用的应该是后者的序数性效用。 1.1.效用概念的提出——圣彼得堡悖论 圣彼得堡悖论是尼古拉·伯努利在1738年提出的一个概率期望值悖论。它来自于一种掷币游戏，圣彼得堡游戏。游戏规则为：掷出正面或者反面为成功，游戏者如果投掷成功，
得奖金2元，游戏结束；若不成功，继续投掷，二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果n 次投掷成功，得奖金2n 元，游戏结束。 首先，我们用公式1()k k k E X x p ∞==∑来计算这个游戏收益的数学期望值： 23423411111()2222222222 n n E X n n ==⨯+⨯+⨯+⨯++⨯= 从理论上来说，该游戏的期望值是无穷大的。按照概率的理论，多次试验的结果将会 接近于其数学期望。这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”。如果仅仅以期望值标准，我们将无法给这个游戏进行定价。 圣彼得堡悖论反映了决策理论和实际之间的差别。人们总是不自觉地把模型与实际问 题进行比较，但决策理论模型与实际问题并不是一个东西；圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型，它不仅是一种理论模型，而且本身就是一种统计的 “近似的”模型。在实际问题涉及到无穷大的时候，这种近似可能会带来极大的误差。 效用的概念首次由丹尼尔·伯努利在其对于对这个悖论的解答中提出。在丹尼尔•伯努 利1738年的论文里，提出了效用的概念来说明以金额期望值作为决策标准的片面性。论文提出了大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得大期望效用值而非大期望金额值。 2. 基数效用论 基数效用论基本观点是：效用是可以计量并可以加总求和的。 基数效用论采用边际效用的分析法。 这个理论有两个主要假设：1. 效用量可以具体衡量；2. 边际效用（MU ）递减规律。
效用函数几种常见的公式 效用函数是衡量个体对不同商品或服务的偏好的一种数学表示方式。在经济学和消费者理论中，效用函数是非常重要的工具，因为它能够帮助我们预测消费者的行为和认识不同商品之间的差异。本文将介绍几种经济学中常见的效用函数公式。 1.柯布-道格拉斯效用函数 柯布-道格拉斯效用函数是一种常见的经济学效用函数，它可以帮助我们定量地衡量商品数量对消费者福利的影响。柯布-道格拉斯效用函数的公式如下： U(某,y)=某^αy^β 其中，U表示效用，某和y分别表示消费者消费的商品1和商品2的数量，α和β分别表示商品1和商品2的边际效用。 2.边际效用递减效用函数 边际效用递减效用函数是一种通用的效用函数，它描述了当消费者消费一定数量的某种商品时，其边际效用将逐渐减少。边际效用递减效用函数的公式如下： MU(某)=U’(某) 其中，MU表示某种商品的边际效用，U’表示效用函数的导数。边际效用递减效用函数的应用范围和柯布-道格拉斯效用函数相似，但它更加侧重于描述商品数量对效用的影响。 3.指数效用函数
指数效用函数是一种常见的描述风险偏好的效用函数，它可以帮助我 们测量人们在面临风险情况下做出选择的倾向。指数效用函数的公式如下：U(某)=e^{-a某} 其中，U表示效用，某表示收益或者损失，a表示风险趋避系数。根 据指数效用函数的公式，我们可以看出当风险趋避系数较大时，消费者越 容易选择安全的选项，而不会冒险去追求高回报的投资。 总的来说，以上介绍的效用函数公式只是经济学中的一小部分，不同 的效用函数公式可以应用于不同的场景和分析方法。学习和理解效用函数 公式对于经济学专业的学生非常重要，它可以帮助我们深入了解消费者选 择行为和市场竞争的本质，为我们进行经济决策和制定政策提供理论依据。
基于消费者旅游休闲的经济分析 摘要：旅游休闲作为现代社会的新兴产业，是推动经济增长的新引擎。本文运用休闲效用函数，探究了消费者偏好、工资率、非工资收入与旅游休闲活动之间的关系，分析了旅游产业的影响因素和效用变化，从而提出了发展旅游休闲产业的相关建议。 关键词：旅游休闲；休闲效用函数 1 构建效用函数 随着社会经济发展和人民生活水平提高，人们的消费需求不断增加，消费类型也不断呈多样化发展。作为“三驾马车”的重要组成部分，消费对推动国民经济发展有着举足轻重的意义，而旅游休闲消费作为现代社会进步产生的新型产业，逐步成为促进经济增长的新引擎，产生了重大的社会效益和经济效益。 传统经济学认为，消费者对消费品和休闲具有一定偏好，并在由工资率、市场价格、非工资收入和时间构成的预算下，通过选择消费品和休闲时间的某种组合，使他们效用达到最大。 为使分析简化，假定：①消费者的全部时间分为工作时间和旅游时间两个部分；②把消费者消费的普通商品当作一类，把旅游当作另一类商品；③收入是已经足以维持社会平均消费水平以上的收入 , 以避免分析时遇到某些低收入者反而有更多休闲时间；④即期和预期的商品货币价格均不变。 休闲消费函数可写成: U = U(L,C) U为消费函数, U具有良好的行为,即是连续的和向下凸的; L为旅游所需时间;（这里假设研究生休闲活动只是旅游，无其他） C为消费者购买的普通商品量。 于是,消费者将面临两种约束：时间约束和收入约束。 在确定约束条件前,先定义一组变量。 设：p为商品的价格；L为休闲时间；N为工作时间；w为市场工资率；m
为非工资收入（馈赠收入、利息收入或转移支付等）。 则有: L+N=24 pC≤24w+m/p 根据消费者行为理论，考虑了休闲时间下最优消费行为就是把休闲时间纳入消费者消费函数中，获得消费效用最大化： Max U(L,C) St. pC=Lw+m 根据方程构造拉格朗日函数： L=U(C，L)+λ[wL+m-pC] 对方程中休闲时间L、商品C和因子λ求偏导，得到： MU L/w=MU C/p=λ推得MU L/MU C=w/p 其中，MU L和MU C分别是对休闲时间和物质消费品的边际效用函数。而且上方程可以变形为： MU L / MU C =MRS L，C=w/p 其中，MRSL,C是休闲时间对物质消费品的边际替代率。
如何构造一个消费者效用函数？ (1)由题意可知： 无差异曲线方程为：u=xy 预算线方程为：20x+30y=1200 消费者均衡条件为：mux/px=muy/py=λ mux=du/dx=y muy=du/dy=x px=20,py=30 则有方程y/20=x/30 上式带回预算线方程,x=30,y=20 或者不依据消费者均衡条件这个结论,自己从斜率的角度求解,如下： 消费者效用最大化时无差异曲线与预算线相切,这意味着均衡点处两者斜率相同. 则由隐函数求导法则,可知： u=xy的斜率为dy/dx=-y/x 预算线方程的斜率为dy/dx=-2/3 由此可知2x=3y,将其带回预算线方程,可分别求出x=30,y=20 (2)由(1)中求出的x、y值,可知总效用为u=20×30=600 消费者均衡条件为：mux/px=muy/py=λ 意即花费在每种商品上的最后一元钱所带来的边际效用是相 — 1 —
等的,且等于货币的边际效用λ mux=du/dx=y=20,px=20 muy=du/dy=x=30,py=30 则有λ=1 即此时货币边际效用为1 (3)x价格提高20%,则px=24,y价格不变,py=30. 由(2)中结果,原有的效用水平为600,保持原效用水平不变,意即无差异曲线u=xy现在固定了,为600=xy,然后需要预算线向外移动来与无差异曲线相切,以达到消费者均衡. 假设收入必须达到m,则预算线方程为24x+30y=m 无差异曲线方程为600=xy 完全类似(1)中的求解过程,根据消费者均衡条件： mux/px=muy/py=λ 可解得：x=5√30,y=4√30 则可知此时收入应为m=240√30≈1314.53 故收入应该增加114.53元 — 2 —
效用函数的构造 效用函数是经济学中一个重要的概念，用于衡量个体在面临不同选择时所获得的满足感或福利水平。一个好的效用函数能够准确地描述个体对不同选择的偏好和选择行为，对于经济学的分析和决策制定具有重要的作用。 一、效用函数的定义： 效用函数可以简单地理解为描述个体对某个商品集合的偏好函数。通常用U(x1, x2, ..., xn)来表示，其中x1, x2, ..., xn代表不同商品的数量或消费水平，U(x1, x2, ..., xn)表示个体对于这种消费组合的满意程度。效用函数可以是单个商品的函数，也可以是多个商品的复合函数。 二、效用函数的性质： 1. 偏好性：个体的偏好是传递的（transitivity），即对于任意三个消费组合A、B和C，如果个体更喜欢A比B，更喜欢B 比C，那么个体一定更喜欢A比C。 2. 边际效用递减：当个体消费某种商品时，其边际效用递减，即消费每多一单位的商品，对个体的满意程度的增加量逐渐减少。 3. 凸性：个体的效用函数通常是凸函数，即在一个较小的范围内，效用增长的斜率逐渐变小。 三、效用函数的构造方法： 1. 偏好排序法：通过对不同商品组合进行两两比较，判断个体对于不同组合的偏好，进而构造效用函数。例如，可以要求个体对于不同商品组合A和B给出一个偏好排序，记作A≻B
（A优于B），然后根据这些偏好排序构造效用函数。 2. 行为模型法：通过观察个体的消费行为和购买决策推导出效用函数。例如，根据个体的购买数额、品牌偏好、价格敏感性等信息，可以通过建立经济模型，推导出个体的效用函数。 3. 问卷调查法：通过给个体提供不同的消费选择，并要求个体对于每种选择给出一个评分或偏好程度，进而构造效用函数。 四、效用函数的应用： 1. 消费决策分析：效用函数可以用来解释个体在面临不同消费选择时的决策行为。通过比较不同选择的效用值，可以预测个体的购买意愿和购买决策。 2. 福利分析：效用函数可以用来衡量个体或社会的福利水平。通过计算不同消费组合的效用值，可以比较不同个体或不同社会群体的福利水平，为政策制定提供决策依据。 3. 个体行为研究：效用函数可以用来分析个体的消费行为和决策过程。通过观察个体对不同商品的偏好程度和选择行为，可以推导出个体的效用函数，进而理解个体的行为规律。 综上所述，效用函数是经济学研究中一个重要的概念，用于衡量个体对不同消费选择的偏好和满足程度。通过构造效用函数，可以对个体的消费行为和决策提供深入的理解，并为经济学的分析和决策提供有力的工具。
效用函数和风险态度的关系 效用函数是经济学中用来描述人们对不同决策结果的偏好程度的工具。它通过将不同的决策结果和其对应的概率进行量化，并结合人们的风险态度，来评估决策所带来的效用或满足程度。效用函数的形式通常是个人特定的，不同的人可能具有不同的效用函数。 风险态度是指个人对风险的忍受程度和处理方式。不同的人在面对风险时可能表现出不同的偏好和反应。基于对风险的态度不同，人们可以被分为风险厌恶型、风险中立型和风险偏好型个体。 风险厌恶型个体倾向于避免风险，他们在面对风险决策时更愿意选择相对稳定的结果，即在可能收益相同的情况下，他们更倾向于选择概率较小而相对稳定的结果。对于这种个体，其效用函数的曲线在不同收益水平上呈现出递减的曲线，即边际效用的减少速度逐渐加快。这意味着对于风险厌恶型的个体来说，较小的收益变动所弥补的效用不如较大的收益变动，他们更注重避免可能的损失。 风险中立型个体对风险的态度相对中立，他们对于可能获得的收益和可能承担的损失持平衡的态度。对于这种个体，其效用函数的曲线是一条线性的曲线，即边际效用的减少速度恒定。说明对于风险中立型的个体来说，较小的收益变动所弥补的效用与较大的收益变动所弥补的效用具有相同的比率。 风险偏好型个体倾向于追求风险，他们愿意承担可能的损失以
追求更高的收益。对于这种个体，其效用函数的曲线在不同收益水平上呈现出递增的曲线，即边际效用的减少速度逐渐减慢。这意味着对于风险偏好型的个体来说，较小的收益变动所弥补的效用比起较大的收益变动要多，他们更注重追求可能的收益。 风险态度对效用函数的形式和决策结果的选择有重要影响。对于风险厌恶型个体来说，他们更可能选择稳定的结果，可能会更倾向于选择低风险的投资组合或购买保险产品。而风险中立型个体在决策时更注重收益和损失的平衡，可能会更关注投资组合的期望收益率和风险水平。相对而言，风险偏好型个体更愿意追求更高的收益，可能会更倾向于选择高风险高收益的投资项目。 总之，效用函数和风险态度之间存在密切的关系。不同的风险态度会导致不同形式的效用函数，进而影响决策结果的选择。理解个体的风险态度，可以帮助分析人们的决策行为，并在提供理财建议和制定金融政策等方面发挥重要作用。
效用函数与消费者行为的理论经济学研究 经济学研究的一个重要领域是消费者行为的理论模型及其背后的效用函数。效 用函数是经济学家用来描述个体或消费者如何做出决策的一种数学表示。这种模型能够帮助我们更好地理解消费者在不同情况下作出的选择，并预测他们未来的行为。 一、效用函数 效用函数是消费者理性决策的基石。它描述了个体在做出决策时所追求的最大 满足感，并将消费者在不同商品组合上的满足感进行了度量。通过效用函数，我们可以比较不同商品组合的相对满足感，从而帮助消费者做出理性决策。 常见的效用函数包括卡多尔效用函数和柯布-道格拉斯效用函数。卡多尔效用 函数是较为简单的一种形式，它假设消费者的满足感仅取决于消费者在某种商品上的数量。柯布-道格拉斯效用函数则更为复杂，可能包含多个商品的数量。这种形 式更符合实际情况，因为消费者通常会考虑到多种商品的组合。 二、边际效用 边际效用是效用函数的重要概念，它描述了消费者在消费单位商品上额外获得 的满足感。消费者理性决策的基本原则是追求边际效用的最大化。换句话说，消费者在消费商品时会追求每单位商品所带来的额外满足感最大化。 德玛西奥定理是边际效用理论的重要推论。德玛西奥定理指出，在消费理论中，边际效用递减。这意味着随着消费数量的增加，每单位商品所带来的额外满足感会递减。换句话说，当消费者在某种商品上达到一定数量后，他们对该商品的边际效用将递减。 三、预算约束
消费者在做出决策时还必须考虑到预算约束。预算约束是消费者在给定的收入 水平下，所能购买的商品组合范围。消费者必须在满足预算约束的前提下做出最优的选择。这也是效用函数与预算约束相结合的一个重要方面，被称为约束优化。 通过约束优化模型，我们可以确定当消费者面临不同预算约束时的最优选择。 在给定预算约束下，消费者将尽可能追求边际效用的最大化。当消费者的预算约束发生改变时，他们的最优选择也会相应改变。 四、消费者行为的实证研究 效用函数与消费者行为的理论模型不仅仅是一种抽象的数学工具，它还可以被 应用于实证研究中。经济学家可以通过调查和实证数据，对消费者的行为模式进行观察和分析，从而验证效用函数模型是否能够解释和预测实际情况。 通过对消费者行为的实证研究，我们可以获得更多关于消费者决策的信息。例如，我们可以研究消费者对不同商品的需求弹性，了解他们对价格变化的反应程度。此外，我们还可以通过实证研究探索消费者的心理和社会因素对决策的影响。 总之，效用函数与消费者行为的理论经济学研究不仅为我们提供了深入了解消 费者决策背后的数学模型，还帮助我们解释和预测消费者行为。通过揭示消费者行为背后的潜在原理，我们能够更好地了解市场经济的运行机制，并为政策制定者提供决策支持。
贝叶斯优化的效用函数 1.引言 1.1 概述 贝叶斯优化是一种基于贝叶斯理论的优化方法。在传统的优化方法中，通常需要通过多次试验来寻找最优解，然而这些方法往往需要耗费大量的时间和资源。而贝叶斯优化通过使用概率模型来对目标函数进行建模，能够高效地搜索最优解。 在贝叶斯优化中，目标函数被视为一个黑盒子，即我们无法直接观察到目标函数的形式。我们只能通过输入不同的参数值，然后观察相应的输出结果。通过这些观测结果，概率模型会逐步更新自己的信念，并预测出目标函数的最优解所处的位置。 贝叶斯优化具有以下几个关键概念。首先是先验模型，即对目标函数的初始信念。先验模型可以是高斯过程、随机森林等。其次是采样策略，即选择参数值的方法。采样策略有很多种，比如贪婪采样、随机采样、期望改进等。最后是更新策略，即根据观测结果更新概率模型的方法。常用的更新策略有高斯过程回归、随机森林回归等。 贝叶斯优化在很多领域都取得了显著的成果。例如，在机器学习中，我们可以使用贝叶斯优化来调整模型的超参数，以达到最佳性能。在工程
优化中，我们可以使用贝叶斯优化来优化复杂系统的参数设置，以提高系统的效率。在自动化设计中，贝叶斯优化可以帮助人们快速找到最优的设计方案。 总之，贝叶斯优化是一种高效、灵活并且广泛适用的优化方法。它不仅能够减少试验成本和资源消耗，还能在各种应用场景中找到最优解。本文将深入探讨贝叶斯优化的基本原理和应用领域，并展望其在未来的发展潜力。 1.2 文章结构 本文将按照以下结构进行叙述： 第一部分为引言部分，主要包括概述、文章结构以及目的。在概述中，将介绍贝叶斯优化的基本概念和原理，为后续的正文做出简要阐述。文章结构部分则将说明本文的章节组成和内容安排。最后，目的部分将明确本文撰写的目的和意义。 第二部分是正文部分，主要包含了贝叶斯优化的基本原理和其应用领域两个小节。在2.1贝叶斯优化的基本原理部分，将详细介绍贝叶斯优化的基本概念、核心思想和数学原理，包括高斯过程回归和后验推断方法等。并探讨贝叶斯优化与其他优化算法的异同点。在2.2贝叶斯优化的应用领域部分，将介绍贝叶斯优化在机器学习、超参数调优、物理模拟优化等领
完全互补品效用函数的a和b 完全互补品是指两种商品的消费者需求完全相互依赖，只有同时购买两种商品才能获得满足。在经济学中，完全互补品的效用函数可以描述为a+b，其中a表示消费者对商品A的效用，b表示对商品B 的效用。本文将从不同角度探讨完全互补品效用函数的特点和应用。完全互补品的效用函数具有线性特征。因为两种商品的消费者需求完全相互依赖，所以其效用函数是线性的。这意味着当消费者同时购买两种商品时，他们的总效用是两种商品各自效用的总和。例如，假设一个人同时购买了一台电视和一个DVD播放器，他的总效用等于电视的效用加上DVD播放器的效用。 完全互补品的效用函数具有互补性。互补性是指当两种商品的消费者需求完全相互依赖时，其中一种商品的效用增加，会导致另一种商品的效用增加。这是因为消费者购买完全互补品时追求的是两种商品的完整体验，只有同时购买两种商品才能满足他们的需求。例如，一个人购买了一辆汽车，但没有购买汽车配件，他对汽车的效用就会大大降低。 完全互补品的效用函数还具有边际效用递减的特点。边际效用是指增加一单位商品所带来的额外效用。在完全互补品中，当消费者同时购买两种商品时，他们对每一种商品的边际效用都会递减。这是因为消费者在购买完全互补品时，追求的是两种商品的完整体验，
而不是其中一种商品的数量。例如，一个人购买了一双鞋子，但没有购买袜子，他对每一双鞋子的边际效用都会递减。 完全互补品的效用函数还具有消费者个体差异的特点。不同的消费者对完全互补品的需求程度可能不同，因此他们对这两种商品的效用函数也会有所不同。有些消费者可能更加依赖商品A，而有些消费者可能更加依赖商品B。这取决于个体的消费偏好和需求。 完全互补品的效用函数在实际应用中有着广泛的应用。例如，在市场调研和产品开发中，了解完全互补品的效用函数可以帮助企业确定产品组合和定价策略。通过分析消费者对不同商品的需求程度和边际效用，企业可以制定出更加符合消费者需求的产品组合，并确定合适的价格。 完全互补品的效用函数也可以应用于公共政策和社会福利分析中。政府在制定公共政策时，需要考虑不同商品对消费者福利的影响。通过分析完全互补品的效用函数，政府可以更好地评估政策的效果，并制定出更加有利于消费者福利的政策。 完全互补品的效用函数具有线性特征、互补性、边际效用递减和消费者个体差异的特点。了解完全互补品的效用函数可以帮助企业制定产品组合和定价策略，也可以帮助政府评估政策的效果。通过深入研究完全互补品的效用函数，可以更好地理解消费者行为和市场需求，为经济学和市场营销领域的研究提供理论基础。
基于投资组合的效用函数讨论 效用函数描述的是消费者对于商品的满意程度，而在投资活动中，影响投资者满意程度的主要因素是预期收益和风险，所以投资中的效用函数是一个关于收益和风险的二元函数。投资组合可以有效分散风险，故我们要解决的问题是如何在效用最大化原则下确定投资组合中各项投资的权重。 本文中将效用函数固定为一个普遍适用的形式，首先利用Markowitz模型找到投资组合的有效边界，构造拉格朗日函数，求出有效边界的斜率，将最优组合限制在有效前沿中，然后求出无差异曲线的斜率，令着两个斜率相等，即求无差异曲线族和有效前沿的相切点，就是效用最大的投资组合。 关键词：效用函数，投资组合，无差异曲线，有效边界 在二十世纪后半期，在华尔街发生了两次数学革命，将数学规划和随机方程等工具和方法应用在了金融实践中。1952年，Markowitz发表了著名论文“Portfolio Selection”,标志了华尔街第一次数学革命的开始。这篇被公认为“现代投资学”开端的论文，具有里程碑式的意义，它将西方谚语中“把鸡蛋放在不同的篮子里”这一朴素思想上升为了理论高度。文中详细地论述了投资组合的基本原理，奠定了投资组合理论的基础。Markowitz提出，在进行投资时，人们不仅希望有高回报率，还希望这种回报率是可以确定的，即在追求收益更大的同时希望风险能够降低。其实在通常情况下，收益越高的投资，风险就越大。想要使得获得一定预期收益时的风险减小，一个有效的办法就是分散投资，尽管在理论上分散投资是有效的，但是随之而来困扰投资者们的一个问题就是，如何决定各个投资对象在投资组合中的权重使之成为一个最优选择。 既然想要找到最优选择，那么就要找到一个比较的标准，有了标准才能在两个可能性中选择一个更好的，对于投资组合来说，这个标准就是效用最大化准则。关于效用理论的研究可以上溯到十八世纪Daniel Bernoulli 的工作, 但它的大发展时期是在二十世纪, John von Neumann、Kenneth J.Arrow、J.H.Schoemaker 等人在这方面都做了大量工作。效用函数描述的是消费者对于商品的满意程度，在风险-预期收益平面上，可以通过效用函数获得无差异曲线的图像，将无差异曲线和有效边界放在同一个图中，即可利用无差异曲线来比较有效边界上的投资
有效效用函数及其判据 祁晓冬＊ （2002年7月27日初稿、9月8日改定） 摘要 本文确立了一个标准用以判断一个实值函数是否能被用来构造有效效用函数，即EUF。EUF是可以导出良性需求函数的直接效用函数的一个通用形式，它摒弃了传统经济理论中新古典效用函数强加于效用函数的一些不必要的约束，明确地将对部分商品消费的可满足性接纳为效用函数的一个正式的组成部分，从而大大地扩充了现有可用效用函数的家族。EUF概念的基础是“饱和定律”：具有局部不满足性偏好次序的消费者，在预算约束下的最优选择将不会超出有效区域的X围。有效区域是对每一个偏好次序唯一确定的消费集合的一个子集，其内任意点的任何要素都不超过其相应的饱和需求。有效效用函数只考虑偏好在其有效区域内的信息。 ＊科技报，通信地址：西城区大新开胡同3号，邮编：100009，: (010) 66129002 : xd.qi163.
经济文献杂志分类(JEL Classification)：C600, D110 关键词：饱和需求，有效区域，良性需求函数，新古典效用函数（NUF），有效效用函数（EUF）。 Effective Utility Function and Its Criterion By Xiaodong Qi * First draft: June 27, 2002 Final revision: September 8, 2002 Abstract This paper set a criterion for a real-valued function to be usable to construct an effective utility function (EUF), a general form of direct utility functions that are capable of generating single-valued demand functions satisfying Walras’ law. A EUF can be used in place of a neoclassical utility function(NUF) without losing anything but some useless information, which are unnecessary restrictions imposed on a utility function in the traditional consumer theory. A EUFexplicitly accepts satiation consumption for some but all modities a normal part of an acceptable utility function, and therefore greatly enlarges the existing family of usable utility functions. The concept of EUF is based on the law of satiation: under a budget constraint, the optimal choice of the consumer with a locally non-satiated preference would never go beyond the effective region, a unique subset of the consumption set for each preference order, in which no ponent of any point * This paper is originally written in English. The author is ready to send you an English version at your request. Address: No.3 Daxinkai Hutong Xicheng District Beijing 100009, CHINA Tel: (8610) 66129002 : xd.qi163.