效用函数拟凹。
效用函数拟凹是经济学中一个重要的概念，它涉及到人们在选择不同的选项时如何做出最优决策的问题。下面将从效用函数概念、拟凹定义和实际应用三个方面进行阐述。
一、效用函数概念
效用函数是指人们对于某个商品、服务或者与之相关的经济行为所感受到的满意程度。效用函数是经济学中一个重要的概念，在研究社会福利、个人消费、企业投资等方面都有广泛的应用。
二、拟凹定义
拟凹是指效用函数在其定义域内所形成的函数图像呈现出凹的特征。这意味着，对于任意两个不同的点，函数图像的连线位于函数图像下方的点对应的效用值总是高于位于上方的点对应的效用值。
在拟凹的前提下，假设一个人要对不同的选项进行选择，那么这个人总是会选择效用最大的选项。另外需要注意的是，效用函数的拟凹性可以被视为个人理性决策的基础。
三、实际应用
1.社会福利
拟凹效用函数的概念在社会福利领域中有着广泛的应用。在社会福利中，拟凹的效用函数被视为公平具有重要意义，这是因为拟凹的效用函数可以防止资源的集中到少数人手中，从而增强整个社会的稳定性和公正。
2.个人消费
在个人消费方面，拟凹的效用函数通常可以用来描述人们对于同一物
品的不同数量的需求，并且能够帮助人们做出最优化的消费决策。拟
凹效用函数的概念也被应用到了路线规划和交通流量管理的领域中。
3.企业投资
在企业投资的领域中，拟凹效用函数通常被用来优化风险投资的决策。企业通过利用拟凹效用函数来识别最优的投资组合，从而获得最高的
投资回报率。拟凹效用函数的概念也可以被用于管理供应链和优化资
源分配。
综上所述，效用函数拟凹是一个经济学中十分重要的概念，它涉及到
人们在选择不同的选项时如何做出最优决策的问题，具有广泛的应用
价值。
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版） 第2篇 选择与需求 第3章 偏好与效用 课后习题详解 跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。 以下容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率MRS 是否随着x 的增加而递减）。 （1）(),3U x y x y =+ （2）(),U x y x y =? （3）(),U x y x y =+ （4）()22,U x y x y =- （5）(),xy U x y x y = + 答：（1）无差异曲线如图3-7所示，为一组直线。边际替代率为：/3/13x y MRS f f ===，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。 图3-7 完全替代型的无差异曲线 （2）无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。边际替代率为： ()() 0.5 0.5 0.5///0.5/x y y x MRS f f y x y x -== =，随着x 的递增，MRS 将递减，因而有凸的无差异曲线。
图3-8 凸状的无差异曲线 （3）无差异曲线如图3-9所示。边际替代率为：0.5/0.5x y MRS f f x -==，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。 图3-9 拟线性型的无差异曲线 （4）无差异曲线如图3-10所示。 边际替代率为：()0.5 22220.5/0.52/0.5()2/x y MRS f f x y x x y y x y --==-?-?=，因而边际替 代率递增，无差异曲线不是凸状的。 图3-10 凹状的无差异曲线 （5）无差异曲线如图3-11所示。 边际替代率为：()()()() 22 22 ///x y x y y xy x y x xy MRS f f y x x y x y +-+-===++，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的。
第二讲间接效用函数与支出函数 第一节间接效用函数 一、间接效用函数的定义 直接效用函数：() u x 价格和收入发生变化后，消费者最优选择也会发生变化从而带来消费者效用的变化。
也就是说，消费者最大化效用是收入和价格向量的函数。记这种效用函数为： 间接效用函数：()()max ,..v p y u s t y =≤x px x ()()()*,,v y u y ==p x x p 间接效用函数的政策意义：通过价格政策（ p ）和收入政 策（y ）可以控制消费者行为。
二、间接效用函数的特征： 间接效用函数),(y v p 1) 在n +++? 上连续 2) 在(),y p 上零次齐次性 3) 在y 上严格递增 4) 在p 上严格递减 5) 在(),y p 上拟凹 6) 罗伊恒等式：如果(),v y p 在()00,y p 上可导，并且() 00,0v y y δδ≠p ，有：
()() ()000000,,,1,...,,i i v y p x y i n v y y δδδδ==p p p 间接效用函数()()max ,..v y u s t y = ≤p x px x 的特征 1、间接效用函数在n +++? 上连续 最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。 含义：当收入和价格有微量变化时，极大化了的效用也会有微量变化。
2、间接效用函数在(),y p 上零次齐次性 ()()max ,..v y u s t y ==p x px x 间接效用函数在(),y p 上零次齐次性： ()()()0 ,,,,0v t ty t v y v y t ==>p p p ()()()()()ma max ,,..x ..,u v t u v t ty s ty v t t t y y s y t ===?==x p p x px x p x px
附录2A.1：偏好，效用函数和需求函数 如果消费者的偏好是理性的．．．（完备的和传递的．．．．．．．），连续的．．．，那么就存在着一个能代表该偏好的连续效用函数．．．．．． :L u +→R R 。其中L 表示消费集的维度，也就是商品的种类，除非做特别说明，我们总是假定2L =，即消费者消费1x 和2x 两种商品。我们还假定偏好是单调．．的和凸的．．．．，则效用函数u 是递增的和拟凹的．．．．．．． 。给定上述假定，我们能够得到一组形状良好的无差异曲线，如图2A －1，消费者的无差异曲线是一组凸向原点的曲线，离原点越远，其代表的效用水平越高1。 图2A －1 无差异曲线 一个常用的符合上述假定的效用函数是柯布－道格拉斯效用函数，其形式是： 其中0,01,01A αβ><<<<。显然，u 是连续的，递增的，凹的。 一个理性的消费者面临的问题是在约束条件下追求．．．．．．．．效用最大化．．．．． 。其约束条件为： 其中，12,p p 为两种商品的市场价格，w 则表示消费者的财富（或收入）。给定偏好的单调性，这一约束一定是紧的，也就是1122p x p x w +=。 则消费者的效用最大化问题可以描述为： 上述问题的拉格朗日函数可以写为： 这一问题的一阶条件为： 11u p x λ?=?，22 u p x λ?=? 假定效用函数是凹的，上述条件是充分必要的。两式相除，得到： 上式意味着消费者实现效用最大化的条件是消费两种商品最后一单位的边际效用之比等于两种商品的价格之比。 我们还定义消费者无差异曲线斜率的绝对值为边际替代率（MRS ），表示给定效用水平保持不变（比如u ），少消费一单位商品1，必须增加消费多少单位的商品2，即21dx MRS dx =-。无差异曲线的数学形式为：12(,)u x x u =，表示使消费者的效用水平达到u 的所有商品组合， 1 关于偏好，以及偏好与效用效用函数关系的进一步讨论，参见马斯－克莱尔等人，《微观经济理论》，中国社会科学出版社，2001年版；瓦里安，《微观经济学（高级教程）》，经济科学出版社，1997年版。 O x 1 x 2
第五章 习题答案 1．求下面等式约束最优化问题可能的极值点，要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条件构成的方程组。 （1） 16 4..),(max 212121=+=x x t s x x x x f ，（2） 3 2. .),(min max 22 2 1 2 2 121=+ =x x t s x x x x f or （3） 1 1..),(min max 2 2 =+=+=y x y x t s xy y x f or 和 解：（1）首先写出拉格朗日函数：121212(,,)(164)L x x x x x x λλ=+-- 将L 对1x ，2x 和 λ分别求偏导数可得： 1221120 40 1640 x x L x L x L x x λλλ=-=?? =-=?? =--=? 解得128, 2x x ** ==，2λ*=，此时16f =。 则点(8,2)为目标函数的驻点，且在该点处约束条件满足约束规格。 （2）首先写出拉格朗日函数：222 121212(,,)(32)L x x x x x x λλ=+-- \ 将L 对1x ，2x 和 λ分别求偏导数可得： 121212 1222 1224020320 x x L x x x L x x L x x λλλ=-=??=-=??=--=? 解得121, 1x x **==，12λ* = ，此时1f =；或者121, 1x x **==-，12 λ* =-，此时1f =-；或者121, 1x x **=-=，12λ*=，此时1f =；或者121, 1x x **=-=-，12 λ* =-， 此时1f =-。 则点(1,1)、(1,1)-、(1,1)-和(1,1)--为目标函数的驻点，且在这些点处约束条件满足约束规格。 （3）首先写出拉格朗日函数：22 1212(,,,)(1)(1)L x y xy x y x y λλλλ=+--+--
效用函数拟凹。 效用函数拟凹是经济学中一个重要的概念，它涉及到人们在选择不同的选项时如何做出最优决策的问题。下面将从效用函数概念、拟凹定义和实际应用三个方面进行阐述。 一、效用函数概念 效用函数是指人们对于某个商品、服务或者与之相关的经济行为所感受到的满意程度。效用函数是经济学中一个重要的概念，在研究社会福利、个人消费、企业投资等方面都有广泛的应用。 二、拟凹定义 拟凹是指效用函数在其定义域内所形成的函数图像呈现出凹的特征。这意味着，对于任意两个不同的点，函数图像的连线位于函数图像下方的点对应的效用值总是高于位于上方的点对应的效用值。 在拟凹的前提下，假设一个人要对不同的选项进行选择，那么这个人总是会选择效用最大的选项。另外需要注意的是，效用函数的拟凹性可以被视为个人理性决策的基础。 三、实际应用 1.社会福利 拟凹效用函数的概念在社会福利领域中有着广泛的应用。在社会福利中，拟凹的效用函数被视为公平具有重要意义，这是因为拟凹的效用函数可以防止资源的集中到少数人手中，从而增强整个社会的稳定性和公正。
2.个人消费 在个人消费方面，拟凹的效用函数通常可以用来描述人们对于同一物 品的不同数量的需求，并且能够帮助人们做出最优化的消费决策。拟 凹效用函数的概念也被应用到了路线规划和交通流量管理的领域中。 3.企业投资 在企业投资的领域中，拟凹效用函数通常被用来优化风险投资的决策。企业通过利用拟凹效用函数来识别最优的投资组合，从而获得最高的 投资回报率。拟凹效用函数的概念也可以被用于管理供应链和优化资 源分配。 综上所述，效用函数拟凹是一个经济学中十分重要的概念，它涉及到 人们在选择不同的选项时如何做出最优决策的问题，具有广泛的应用 价值。
西方经济学微观部分（中级）知识整理 第一章微观经济学引论 一、微观经济学的特点（重要命题点） 1.研究对象（1999年真题，重要考点）：个体经济单位（在三个层次上展开：个体消费者、个体生产者、单个市场以及相互之间的作用[一般均衡理论]） 2.基本假设条件：理性人（经济人）假设（2005年真题） 3.分析方法：（2012年静态与比较静态分析真题） ①边际分析法：是西方经济学的基本分析方法之一，是指通过研究增量来分析经济行为，实际上是微积分的求导问题。 例如：边际价值论：“钻石与水的悖论” 水的价格低廉是因为其边际价值和边际生产成本较低，而钻石价格昂贵是因为它具有很高的边际价值（因为它们相对稀少）和很高的边际生产成本。 ②均衡分析：分析经济力量达到均衡时所需要的条件以及均衡达到时会出现的情况。用数学语言来说就是所研究的经济问题中涉及各种变量，假定自变量为已知或不变，考察因变量达到均衡时所需要的条件和会出现的情况。均衡分析有局部均衡分析和一般均衡分析之分。③静态分析：考察在既定的条件下某一经济事物在经济变量相互作用下所实现的均衡状态的特征。 ④比较静态分析：当原有条件发生变化时，考察均衡状态所发生的变化，并比较新旧均衡状态。 ⑤动态分析：引进时间变化序列，研究不同时点的均衡的变化过程。（“蛛网模型”） 实证分析和规范分析（重要考点） ⑥实证分析：（尼克尔森书本定义）是指将现实世界作为一个客观存在来研究的，并试图解释所观察到的经济现象的分析方法。实证经济学试图确定经济中的资源事实上到底是如何配置的。 ⑦规范分析：（尼克尔森书本定义）是指在所研究的经济问题上持有一定的道德观点，希望研究资源应当、应该如何配置的分析方法。 例如：从事实证经济分析的经济学家可以考察一国的医疗行业是如何定价的，还可以衡量在医疗中投入更多资源的成本和效益。但是当该经济学家宣称更多的资源应当投入到医疗保健中时，就已经进入了规范分析的阶段。 附录：高鸿业《微观经济学（第六版）》的讲解 ⑥.1实证经济学：是指研究实际经济体系是如何运行的，对经济行为作出有关的假设，根据假设分析和陈述经济行为及其后果，并试图对结论进行检验。主要包括以下三个方面：第一是“描述”，即回答“是什么”的问题； 第二是“解释”，即回答“为什么”的问题； 第三是“预测”，即回答“会如何”的问题。 ⑦.1规范经济学：是指从一定的社会价值判断标准出发，根据这些标准，对一个经济体的运行进行评价，并进一步说明一个经济体应当怎样运行，以及为此提出相应的经济政策。 二、经济理论与经济模型 1.经济模型：是指用来描述所研究的经济事物的有关经济变量之间相互关系的理论结构。 2.经济模型的一般特征： ①其他条件不变假设（对应于数学上的偏导数和全微分等） ②最优化假设（理性人假设的具体化） ③实证与规范的区别（见上述问题的论述） 3.构建经济模型的要求
三、The Consumer ’s Problem 本部分考察消费者选择理论的其他组成要素：Consumption Set 、Feasible Set 、 Behavior Assumption ，然后构建消费者选择理论的正式表述。 Assumption1.2消费者偏好:消费者偏好关系具有完备性、传递性、严格 单调性和严格凸的，那由定理1.1和1.3可知，该偏好关系可以有一个连续的、严格增加的、严格拟凹的实值效用函数u 代表。（考察两种商品情形） 消费者的行为假设：假设消费者根据其偏好关系在可行集中选择最偏好的消费束，即消费者选择能够支付得起的最优商品组合，即： *B ∈x ，使得对于所有的B ∈x ，有* x x f % （1.4） “支付得起”——预算集 “最优”——偏好关系 预算集：{ } R ,,0,0 n B y y + =∈≤>>≥x x px p
? 消费者从预算集中选择最偏好的商品组合（点）* x ： *B ∈x ，且对于所有的B ∈x ，有* x x f % 。 ? 消费者从预算集中选择最大化效用函数的点* x ： ()() () ** arg max ,..u u u s t y ? ≥=≤x x x x px 144444424444443
给定假设1.2，并给定对消费者可行集的限制， 消费者问题（1.4）?受到约束的效用函数最大化问题； 即消费者问题转化为下面的优化问题： ()1 max ,..n i i i u B s t y p x y =∈≤?≤∑x x px （1.5） 接着需要考虑的问题是：此最大化问题是否有解？ 是否有唯一解？
中级微观经济学第2讲 消费者最优：预算约束下最大化效用-—选择“能买到的、最好的商品组合"——需求曲线 第五章附录第73页： 消费者最优化模型：在价格p1,p2和收入M 已知的情况下消费多少 x 1 x 2 x 1* x 2
x 1，x 2，使得效用 U （x 1, x 2)最大。 ),(21x x U MaxU = M x x =+2211P P S.t. 构造拉格朗日函数： )(),(221121M x P x P x x U L -+-=λ 对拉格朗日函数求偏导数： )1.......( 0/111=-∂∂='P x U L x λ )2.......(0/222=-∂∂='P x U L x λ )3.......( 02211=-+='M x P x P L λ 这三个方程可以把三个未知数1x ，2x 和λ解出来： ),,(2111M P P x x *=，),,(212 2M P P x x *=； 由（1）式得到：1111///P MU P x U =∂∂=λ 由(2）式得到：2222///P MU P x U =∂∂=λ 即 λ==2211//P MU P MU 或2121//P P MU MU = 也就是满足相切条件的消费组合),(21**x x 使效用),(21x x U 最大.),,(2111 M P P x x *=和),,(2122M P P x x *=分别是商品1x ，2x 的需求函数 第2讲的内容提要：
效用最大就选择“买得到的商品组合中的最佳组合” 1。买得到的商品组合—预算约束（2） 2。要找到最佳，就必须能够排序—偏好、效用(3、4) 3。在预算集中选择最偏好的消费束-选择（5）
消费集 假设1：消费集X 性质 1. n X R +∈ 2. X 是闭集 3. X 是凸集 4. 0X ∈ 消费组合x 是消费集X 中的一个元素，12(,,,,,)i n x x x x x =代表n 种商品的组合，i x 代 表商品i 的数量。 偏好关系 用消费集X 上的一种二元关系表示消费者偏好，若1 2x x ，则对于这个消费者来说，消 费组合1x 至少和2 x 一样好。 要求这种二元关系满足下面两条公理： 公理1.完备性——对于X 上所有的1 x 和2 x 而言，要么1 2x x ，要么2 1x x 。 公理2.传递性——对于X 上任意三个元素1 x 、2 x 和3 x ，如果1 2x x ，且2 3x x ，则1 3x x 。 定义1：偏好关系 若上述二元关系满足公理1、2，则称其为偏好关系。 定义2：严格偏好关系 12x x ，当且仅当1 2x x 且21x x 不成立。关系 被称为严格偏好关系（1 2x x 表 示消费组合1 x 比2 x 好。 定义3：无差异关系 1 2x x ，当且仅当1 2x x 且21x x 成立。关系被称为无差异关系（12x x 表示消费组 合1 x 和2 x 无差异。 定义4：令0 x 为消费集X 中任意一点，定义X 的下列子集 1. (){} 0,x x x X x x ≡∈，称为“至少和0x 一样好”的集合； 2. (){}00 ,x x x X x x ≡∈，称为“不比0x 更好”的集合； 3. (){}00 ,x x x X x x ≡∈，称为“比0 x 差”的集合； 4. (){}0 ,x x x X x x ≡∈，称为“比0 x 好”的集合；
第二章需求分析 本章开始谈价格怎么配置资源的，即怎么影响消费选择。
一、需求函数 （一）瓦尔拉斯需求函数 商品需求定义：预算集中的效用最大化的解X * ，反映* x 与 P 与W 的关系称为需求函数，表示成n w + ∈R p x ),(。 例子：
建立L 函数： )()(),,(22111 2121x p x p w x x x x L --++==λλρ ρρ 一阶条件为： 0)(111111 211=-+=??--p x x x x L λρρ ρρ ρρ 0)(121211212=-+=??--p x x x x L λρρρρ ρρ 02211=--=??x p x p w L λ 2 1121)(p p x x =-ρ，直接推导1 1 212112211 1)(---=?=ρρρp p x x x p p x
代入2211x p x p w +=，得到： 1 2 1 1 1 11 1 12 112111 12 1 12 121)() (--------+=+==ρρρρρρρρρρρρp p wp p p p p wp p p x x ； 1 2 1 1 1 122---+= ρρρρρp p wp x 令1 -=ρρr ，则有： r r r p p wp x 21111+=-，r r r p p wp x 211 2 2+=- 需求函数的三个性质
（1）在价格和收入上，需求函数是零次齐次的：即对于任给p ，w 和满足0>a ,有),(),(w p x aw ap x = 经济含义是：如果价格和收入以同一比例变化，则消费者的需求数量保持不变。 （2）瓦尔拉斯法则：任给),(w p x x ∈有w x p =? 经济含义：消费者会在有生之年用光他的全部资源（财富）。 （3）凸性和唯一性。 如果)(?u 是拟凹的，则),(w p x 是一个凸集。 思考如何证明。
加边海塞矩阵判定拟凹函数 加边海塞矩阵是一种用于判定拟凹函数的有效工具。在数学和经济学中，拟凹函数是一种具有特殊性质的函数，它在一定条件下可以用加边海塞矩阵进行判定。 我们来了解一下拟凹函数的定义。一个定义在实数集上的函数f(x)被称为拟凹函数，如果对于任意的x1和x2以及介于x1和x2之间的任意实数a，都有f(ax1+(1-a)x2)≥af(x1)+(1-a)f(x2)。换句话说，拟凹函数的值在任意两个点之间的连线上都不会低于这两个点的函数值。 加边海塞矩阵是用来判定拟凹函数的一种方法。它是一个n×n的矩阵，其中n是函数的自变量个数。矩阵中的每个元素都表示函数的二阶偏导数。具体地说，加边海塞矩阵的第i行第j列的元素表示函数f(x)对于第i个自变量的二阶偏导数对第j个自变量的偏导数。通过加边海塞矩阵，我们可以判定一个函数是否是拟凹函数。具体的判定方法是，如果加边海塞矩阵是半正定矩阵，那么函数就是拟凹函数。半正定矩阵是指所有特征值都大于等于零的矩阵。如果加边海塞矩阵不是半正定矩阵，那么函数就不是拟凹函数。 为了更好地理解加边海塞矩阵的判定方法，我们可以举一个简单的例子。考虑一个定义在二维平面上的函数f(x1, x2) = x1^2 + x2^2。我们可以计算出该函数的加边海塞矩阵为：
2 0 0 2 这是一个半正定矩阵，因为它的特征值都大于等于零。所以，我们可以得出结论，函数f(x1, x2) = x1^2 + x2^2是一个拟凹函数。加边海塞矩阵的判定方法对于判定拟凹函数非常有效。它可以用于各种实际问题的建模和分析，例如经济学中的效用函数、优化问题中的目标函数等等。通过判定函数是否是拟凹函数，我们可以更好地理解函数的性质，并在实际问题中应用相关的数学分析方法。 总结起来，加边海塞矩阵是一种用于判定拟凹函数的有效工具。通过计算加边海塞矩阵并判断其是否是半正定矩阵，我们可以确定一个函数是否是拟凹函数。这种判定方法在数学和经济学等领域有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析实际问题。
效用函数拟凹 一、什么是效用函数？ 效用函数是经济学中用来度量个体对不同选择的偏好程度的函数。它是一个将不同选择映射到一个实数上的函数，表示个体对每个选择的满意程度。 二、效用函数的拟凹性质 在经济学中，效用函数的拟凹性质非常重要。拟凹性质是指效用函数的二阶导数在定义域内是非负的。即效用函数的边际满足递减的性质。 为了更好地理解效用函数的拟凹性质，我们可以通过一个简单的例子来说明。假设一个人对于食物的满意程度与食物的数量成正比，即越多的食物越能让他满意。那么他的效用函数可以表示为U(x)=x，其中x表示食物的数量。 根据效用函数的定义，我们可以计算出当食物数量从1增加到2时，他的边际效用为U'(2)-U'(1)=1-1=0。这意味着当食物数量增加时，他对每增加一单位的食物的满意程度是递减的。这就是效用函数的拟凹性质。 效用函数的拟凹性质在经济学中具有重要的经济解释。拟凹性质意味着个体对于风险的态度是风险规避的。换句话说，个体更倾向于选择较为稳定的选项，而不是冒险的选项。
例如，假设一个人面临两个选项：一是获得100元的收益的概率为0.5，二是获得200元的收益的概率为0.5。根据效用函数的拟凹性质，个体更倾向于选择获得100元的稳定收益，而不是冒险选择获得200元的收益。 这是因为当个体对收益的边际效用递减时，获得200元的收益相对于获得100元的收益所增加的满意程度要小。因此，个体更倾向于选择稳定的选项，以规避风险。 四、效用函数拟凹性质的应用 效用函数的拟凹性质在经济学和金融学中有广泛的应用。在微观经济学中，拟凹性质用于解释个体的消费决策和风险偏好。在宏观经济学中，拟凹性质用于解释整体经济的消费行为和经济增长。 在金融学中，效用函数的拟凹性质被广泛用于解释投资者的风险偏好和资产定价。根据效用函数的拟凹性质，投资者更倾向于选择较为稳定的投资组合，以降低投资风险。 总结： 效用函数的拟凹性质是经济学中重要的概念，它揭示了个体对不同选择的偏好程度以及个体对风险的态度。拟凹性质表明个体更倾向于选择稳定的选项，以规避风险。在经济学和金融学中，拟凹性质有广泛的应用，用于解释个体和整体经济的行为和决策。
经济学中函数的凸凹性质问题 在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。 一、关于凸函数与凹函数 凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。 凸和凹具有如下性质： 凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。 凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的 D是f(.)的定义域的一个凸子集。 若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)， 则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”） 在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点 X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ), 设0<λ<1，如果： f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1, y2, ......yn ) 则称函数f(X)在n维区域内是凸函数； 同理，如果： f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,
（一）函数 1凹（凸）函数 1.1凸集 凸集:对于任意两点和,且对于每一个，当且仅当为真时，集合为凸集。 凸集要求集合内两点之间的连线必须也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边缘也不能有缩进。例如，平面中,一条线段就是一个凸集，而一个圆圈则不是。 1。2凹（凸）函数 介绍凸集是为了引入凹（凸）函数:不管是凹函数还是凸函数都要求其定义域是凸集.我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特征，比如函数就是一个凹函数，它在定义域内呈现出峰形;函数就是一个凸函数，它在定义域内呈现谷底。 现在具体给出凹（凸)函数的定义： 对于函数，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当 时，函数f为凹函数。 对于函数，其定义域内任意两个不同的点和，当且仅当 时,函数f为凸函数。 若将不等号“”和“"分别变换成严格不等号“”和“",上述定义便成了严格凹函数和严格凸函数的定义。 因为凹函数的定义域为凸集，因此点也一定在函数的定义域内。 我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的情况.凹函数一定存在绝对极大值，但绝对极大值可能不是唯一的,因为如果山峰包含一个平顶，则可能存在多重绝对极大值。仅当我们限定它为严格凹形函数时，绝对值才可能是唯一的。 1。3凹（凸）函数与凸集的关系 首先我们必须区别凸集与凸函数的概念。 根据定义，可知当“凸的"在描述集合时，它要求该集合不能出现任何孔，边缘也不能有缩进。这不同于之前的凹（凸）函数：当“凸的"在描述函数时,它确定的是一条曲线或曲面是如何弯曲的。 但凹(凸）函数确实与凸集有关。除了定义域都要求是凸集之外,它们都可以引致一个凸集. 定理 是凹函数是凸集； 是凸函数是凸集。 即，由函数上的点以及函数曲线（曲面）之下的点组成的集合若是凸集该函数为凹函数；由函数上的点以及函数曲线(曲面）之上的点组成的集合若是凸集该函数为凸函数. 2拟凹（拟凸）函数 不管是凹(凸）函数还是严格凹（凸)函数，它们对函数都有比较强的设定。但是通常，理论研究的工作之一是为保证获得结果,识别出我们需要对函数进行的最弱的可行设定。拟凹（拟凸）函数则是一个相对而言更弱的条件. 拟凹（拟凸）函数的定义如下： 对于函数,其定义域内任意两个不同的点和，当且仅当 时，函数f为拟凹函数。 对于函数，其定义域内任意两个不同的点和，当且仅当 时,函数f为拟凸函数。 若将不等号“”和“"分别变换成严格不等号“”和“",上述定义便适用于严格拟凹函
尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》（第9版） 课后习题详解 第1篇引言 第1章经济模型 本章没有课后习题。本章是全书的一个导言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。 第2章最优化的数学表达 1．假设。 （1）计算偏导数，。
（2）求出上述偏导数在，处的值。 （3）写出的全微分。 （4）计算时的值——这意味着当保持不变时，与的替代关系是什么？ （5）验证：当，时，。 （6）当保持时，且偏离，时，和的变化率是多少？ （7）更一般的，当时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？ 解：（1）对于函数，其关于和的偏导数分别为： ， （2）当，时，（1）中的偏微分值分别为： ， （3）的全微分为： （4）当时，由（3）可知：，从而可以解得：。 （5）将，代入的表达式，可得：。 （6）由（4）可得，在，处，当保持不变，即时，有：
（7）当时，该函数变为：，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。由（4）可知，该等高线在（，）处的斜率为：。 2．假定公司的总收益取决于产量（），即总收益函数为：； 总成本也取决于产量（）：。 （1）为了使利润（）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？ （2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。 （3）此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。 解：（1）由已知可得该公司的利润函数为： 利润最大化的一阶条件为： 从而可以解得利润最大化的产量为：； 相应的最大化的利润为：。 （2）在处，利润最大化的二阶条件为：，因而满足利润最大化的二阶条件。 （3）在处，边际收益为：； 边际成本为：； 因而有，即“边际收益等于边际成本”准则满足。 3．假设。如果与的和是1，求此约束下的最大值。利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。 解：（1）代入消元法 由可得：，将其代入可得：。 从而有：，可以解得：。从而，。