构造相似辅助线（1）——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx 的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB． 9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y 轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D 点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（） A. B. C. D.
10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。
6.答案：解：分两种情况 第一种情况，图象经过第一、三象限 过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴ ∵A（2，1），＝45°∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB ∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1 ∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3） ∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况，图象经过第二、四象限 过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC 则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴
相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说 a 是 d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =．② ()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比 例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的 黄金分割点，其中AB AC 215-= ≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为： 1 2 长短＝＝ 全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于 黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2::a b b c b a c =?=?．
第27章.相似——专训2：巧作平行线构造相似三角形 名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，做平行线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的平行线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形． 巧连线段的中点构造相似三角形 1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP ：PQ ： QD. (第1题 ) 过顶点作平行线构造相似三角形 2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF ：AF ＝3：2，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值． (第2题) 3.如图，已知△ABC 中，AD 为BC 边上中线，过C 任作一条直线交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB ． (第3题 ) 过一边上的点作平行线构造相似三角形 4．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC . (第4题 ) 过一点作平行线构造相似三角形 5．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝1 4 AB ，连接EM 并延 长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD. 作辅助线的方法一： (第5题①) 作辅助线的方法二： (第5题②) 作辅助线的方法三： (第5题③) 作辅助线的方法四： (第5题④)
第一讲平行线的构造与应用 1、如图1，直线A B∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM 的大小是。 2、图2中ABCD是个直角梯形（∠DAB=∠ABC=90°），以AD为一边向外作长方形ADEF， 其面积为6.36平方厘米，连结BE交AD于P，连结PC，求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 3、如图3所示，AB∥ED，∠1=∠A+∠E，∠2=∠B+∠C+∠D，证明∠2=2∠1。 4、如图4，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB、GF交于点M，试探 索∠AMG与∠3的关系，并说明理由。 5、如图5，已知AB∥EF，∠C＝90°，求x＋y－z的度数。
6、 如图6，已知，CD ∥EF ，∠C ＋∠F ＝∠ABC ，求证AB ∥GF 。 7、 如图7，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝41∠EAB ，∠ECF ＝41∠ECD ，求证：∠AFC ＝4 3∠AEC 。 8、如图8，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则S □AGCD ：S □ABCD ＝ 。 9、如图9，AB ∥CD ，EP ⊥FP ，已知∠1＝30°，∠2＝20°，则∠F 的度数为 。 10、如图10，CD 是⊿ABC 的角平分线，D E ∥AC 交BC 于点E ，EF ∥CD 交AB 于点F ，求证：EF 平分∠BED 。 11、已知：如图11，∠A ＋∠C ＋∠E ＝∠B ＋∠D ＋∠F ，求证：AF ∥CD 。
12、如图12，已知：AB∥CD，∠ABP和∠CDP的平分线相交于点E，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠BFD＝54°，求∠BPD与∠BED的度数。 13、如图13，已知∠3＝∠1＋∠2，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝180°。
相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称 比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()a c a b c d b d ==在比例式 ：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点， （4）其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：1 2 长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
平行线四大模型 平行线的判定与性质 I、平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行. 判定方法I : 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简称：同位角相等，两直线平行. 判定方法2: 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简称：内错角相等，两直线平行， 判定方法3: 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简称：同旁内角互补，两直线平行， 若已知/仁/2,则AB//CD（同位角相等，两直线平行）； 若已知/仁/3,则AB//CD（内错角相等，两直线平行）; 若已知/ 1+ / 4= 180。，贝U AB// CD（同旁内角互补，两直线平行）. 另有平行公理推论也能证明两直线平行： 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2、平行线的性质 禾U用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质. 性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简称：两直线平行，同位角相等 性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 简称：两直线平行，内错角相等 性质3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称：两直线平行，同旁内角互补
模型二“猪蹄”模型（ M 模型） 点P 在EF 左侧，在 AB CD 内部 | “猪蹄”模型 结论 1 :若 AB// CD 则Z P =Z AEF +Z CFR 结论 2:若Z P =Z AEP Z CFP 贝U AB// CD 模型三 “臭脚”模型 A 3 A z C / c F 点P 在EF 右侧，在 AB CD 外^ “臭脚”模型 结论 1 :若 AB// CD 则 Z P =Z AEP Z CFP 或Z P =Z CFP Z AEP 结论 2 :若Z P =Z AEP Z CFP 或Z P =Z CFP Z AEP 贝U AB// CD 模型四“骨 折”模型 ”8 A _________ D C P 在EF 左侧，在 _________ 1 点 圧AB CD 外部 ? L F “骨折”模型 结论 1 ：若 AB// CD 则 Z P =Z CFP Z AEP 或Z P =Z AEP Z CFP 本讲进阶 平行线四大模型 结论 2 :若/ P +Z AEP Z PF(= 360。，贝U AB// CD
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
相似三角形之常用辅助线 在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要 通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。 专题一、添加平行线构造“ A ”“X ”型 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD中, E为AB中点，AF: FA 1 : 2,求AG GC
变式练习： 如图，直线交厶ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若—；；=2,求BE:EA的比 值. 例3、BE^ AD,求证：EF- BO AC- DF 变式练习： 已知在△ ABC中，AD是/ BAC的平分线.求证: AB BD AC CD BD 例2、如图，直线交△ ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若 - DC FC =2,求BE:EA的比值. FA （本题有多种解法，多想想）
变式1、如图，△ ABC中，AB 说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧?在解题中方法要灵活，思路要开阔. 总结：（1）遇燕尾，作平行，构造.字一般行。 （2）引平行线应注意以下几点： 1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在冋一直线的线段的端点作为引平行 线的点。 2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。 专题二、作垂线构造相似直角三角形 基本图形 例1、如图, ABC 中，AB AC, BD AC,那么BC22CA CD吗？试说明理由？（用多种 相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或n m b a = ） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝ c ： d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a = （或 a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比 例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 平行线及角平分线类相似 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？ 不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345 ∶∶． 数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘． 例题精讲 模块一 平行线类相似问题 平行线类相似的基本模型有 ?模型一、二类综合题 【例1】 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1 4 AE AB = ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =____ ___． M E C B A 【难度】3星 【解析】先介绍常规的解法： B C F E D M A B C F E D M A 如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB = ∴2BF EF = ∵//CF DE ∴ 2BC BF CD EF == 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出． 相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =? = ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例 ③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方 有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答 （）51加速度学习网 整理 相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于 d c 和的比，那么这四条线段 相似三角形知识点汇总 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 一、重要定理 （比例的有关性质）： 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 反比性质：c d a b = 更比性质：d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理） 相似三角形判定的基本模型 A字型X字型反A字型反8字型 母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A 相似三角形 一、知识点梳理 ★知识点一：比例线段 1、比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把 a, b,c,d 四 a c 个实数成比例表示成： 或者a : b=c ： d ,期中b ， c 称为比例内项，a ，d 称为比例外项。 b d a c a c 等式两边同乘以 bd ，可得ad=bc ，反过来等式 ad=bc 同除以bd ，可得 =一 b d b d 2、比例线段：在四条线段 a,b,c,d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比, a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段。 a b 3、比例中项：如果三个数a, b, c 满足比例式 ，那么b 叫做a 、c 的比例中项， 此时有b = ac 。 b c 那么这四条线段 4、黄金分割：如果点 P 把线段AB 分成两条线段 AP 和 PB,使 AP AP 帀，那么称线段AB 被点P 黄 金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，比值叫做黄金比。 全二长二 ? 0.618 2 5、比例式变形: a c a_ b c_d b d - b 或旦亠 b b d a c ” ■ * * b _d 一 =b ，（交换内项） c -交换外项） b a d 聖?（同时交换内外项） c a 3，那么a r e a 仁如果b = 3 a + b 卄 a 3 “a + b“,+ 0 2、若，贝U 的值是 b 5 b 8 3 3 B C 、- D 5 5 2 3、若 4x=5y,则 x : y = 例 4、 x —yz yz_x 5、已知g = y ，则j 的值为 13 7 y 例6、如果x : y :z = 1 : 3 : 5,那么 x 3y z x_3y z 《相似三角形》知识点归纳 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? ， 交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-= ≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+-- =-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ， 那么b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 知识点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形． F E D C B A E A B C D 相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1?图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位?用、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括?立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小 得 到的. ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形. 3?相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意:当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a. b的长度分別是m、n,那么就说这两条线段 a _ m 的比是a： b = m： n （或〃n） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a： b屮。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 兰_ ￡ 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如芦° a _ ￡ 4、比例外项：在比例“ d（或a： b=c： d）中a、d叫做比例外项。 a _ c 5、比例内项：在比例〃〃（或a： b = c： d）中b、c叫做比例内项。 a _ c 6、第四比例项：在比例〃d（或a： b=c： d）中，d叫a、b、c的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为U（或a:b=b:c时，我们把b 叫做a和d的比例中项。 &比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长 一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。 例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD 例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABC 例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三 角形？请证明你的结论。 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ?AC=BC ?FE 例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900 ，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ， 交BA 的延 长线于点D 。 求证：（1）MA 2 =MD ?ME ；（2）MD ME AD AE = 22 例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。 三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。 例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且 3 1 ==AD AF AB EB 。求证：∠AEF=∠FBD 例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线， 求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC 例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD 例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG 例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BF A B C D E F G A B C D E M 12 A B C D E F G 1 234 A B C D A B C D E F K A B C D E F A B C D S P R Q O A B C D E F A B C D E F O 123 A B C D F G E 构造等角（或线段的比）-------过分点做平行线 1.如图，在△ABC 中，AB=AC,D 为AB 上的一点， E 为AC 延长线上一点，且BD=CE,连接DE 交BC 于M, 求证：DM=ME. 2.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC, 求证： AC AB DC BD =. 3.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 的外角交BC 延长线于D, 求证： AC AB DC BD =. 4.在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB,AC 为边在△ABC 外侧作正△ABE 和正△ACD.DE 与AB 相交于F. 求证：EF=FD. 5.如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点。 (1)如果E 是AD 的中点，求证： ED AE FC AF 21=. (2)由（1）知，当E 是AD 的中点时，ED AE FC AF 21=成立，若E 是AD 上任意一点（E 不与A,D 重合）.上述结论是否仍然成立？若成立请写出证明，若不成立请说明理由。 6.如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ，若AD=2DE.求证：AP=3AB. 7.在△ABC 中,BD=CE,DE 的延长线交BC 的延长线于P, 求证：CP AE BP AD ?=?. 8.如图，在△ABC 的边AB 上取一点D.在AC 上取一点E ，使AD=AE.直线DE 和BC 延长线相交于P, 求证：CE BD CP BP =. A B C D E M 9.如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O,在AB 延长线上取一点E ，连接OE 交BC 于点F ， 若AB=a ，AD=c ，BE=b.求BF 的长. 10.在△ABC 中，BC 上的两点E ,F 把BC 三等分,BM 是AC 上的中线，AE,AF 分别交BM 于G,H 两点。 求证：2:3:5:: HM GH BG . 11.如图，BD:DC=5：3，E 为AD 的中点， 求证：BE=EF. 12.如图，在等边△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 延长线上一点，AD=CE.DF ⊥AC 于F,DE 交AC 于G.BC=2， 求FG 的长. 13.证明并叙述垂心定理。 第一部分相似三角形知识要点大全 知识点1.．相似图形的含义 把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到． （2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同． （3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？ 分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变． 解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同． 例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)． 解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥． 知识点2．比例线段 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a c b d =（或 a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作a c b d =（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段 有顺序性． （2）在比例式a c b d =（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d 是第四比例项． （3）如果比例内项是相同的线段，即a b b c =或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。 (4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等． 例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求a b ． 分析：求a b 即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比． 例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=3 2 dm，求c的长度． 分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c． 知识点3．相似多边形的性质 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系． （2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性． 例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？ 分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1 3 ，再根据相似多 边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．知识点4．相似三角形的概念 对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； （3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”； （5）相似三角形的对应边之比叫做相似比． 陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学七模试卷 一、选择题 1．检测同一型号的4个产品的质量（g），其中超过标准质量的记为正数，不足标准质量的记为负数，其中最接近标准的是（） A．﹣3.5 B．+2.5 C．﹣0.6 D．+0.7 2．如图所示的几何体的左视图是（） A．B．C．D． 3．25的算术平方根是（） A．5 B．﹣5 C．±5 D． 4．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（） A．70°B．60°C．55°D．50° 5．在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（） A．（2，﹣3），（﹣4，6）B．（﹣2，3），（4，6）C．（﹣2，﹣3），（4，﹣6）D．（2，3），（﹣4，6） 6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（） A．7 B．10 C．11 D．12 7．如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿着直线AB翻折后得到△AO'B，则点O'的坐标是（） A．B．C．D． 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（） A．πB．4πC．πD．π 9．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=4，则线段ON的长为（） A．B．C．2 D． 10．二次函数y=﹣x2+2x+c的图象与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P （m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（） A．当n＜0时，m＜x1B．当n＜0时，m＞x2 C．当n＞0时，x1＜m＜x2D．当n＞0时，m＞x1 初中相似三角形基本知识点和经典例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初三相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于 d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项， 那么应得比例式为：a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比 例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长 注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? ， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=．九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
平行线及角平分线类相似
相似三角形知识点总结】
(完整版)相似三角形知识点梳理
相似三角形基本知识点及典型例题
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