平行线及角平分线类相似
中考要求
重难点
1．相似定义，性质，判定，应用和位似
2．相似的判定和证明
3．相似比的转化
课前预习
上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？
不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345
∶∶．
数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘．
例题精讲
模块一 平行线类相似问题
平行线类相似的基本模型有
?模型一、二类综合题
【例1】 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1
4
AE AB =
，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
=____ ___． M
E
C
B
A
【难度】3星
【解析】先介绍常规的解法：
B
C
F
E D
M
A B
C
F
E
D M A
如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB =
∴2BF EF
= ∵//CF DE ∴
2BC BF
CD EF
== 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出．
以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法： 看ABC ?为直线EM D 所截，由梅涅劳斯定理可知，1AE BD CM EB DC MA
??= 又14AE AB =
，AM CM =，故32BD BC DC CD
=?= 上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法．
【答案】2
【巩固】如图，AD 是ABC △的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点．
（1）如果E 是AD 的中点，求证：
1
2
AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，
12AF AE
FC ED
=?
成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由．
A
B C
D
E
F
【难度】3星
【解析】1（）
过点D 、E 、F 作平行线均可构造出平行线的基本图形，然后利用 这些基本图形的性质来解题.以下给出6种辅助线（还有几种没给 出），解题过程不再给出．
H
A
B C D
E
F A
B
C
D E
F H
H
A
B C
D
E
F
H
A
B C
D E
F
H
A
B C
D
E
F
H
A
B
C
D E
F
当然，本题也可由梅氏定理直接得出结果． 看ADC ?被直线BEF 所截，由梅氏定理可得1AF CB DE
FC BD EA
??= 又AE DE =，BD CD =，故
1
2
AF FC =． 2（）
结论依然成立，解法同上（包括用梅氏来解题），不再给出． 【答案】1（）见解析；2（）结论依然成立
【拓展】如图，在ABC △中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．
（1）当1A 2AE C =时，求
AO
AD 的值； （2）当
11A 34AE C =、时，求
AO
AD
的值； （3）试猜想
1A 1AE C n =
+时AO
AD
的值，并证明你的猜想． E D
B
A
C
O
【难度】4星 【题型】解答 【解析】1（）当11211AE EC ==+时，22
321AO AD ==
+； 2（）当
11A 312AE C ==+时，21
222AO AD ==+；
当
1A 4AE C =时，22
532
AO AD ==
+．
3（）当
1A 1AE C n =+时，2
2AO AD n
=
+，
证明方法比较多，选择两种介绍：
如上右图，过点D 作//DF BE ，交AC 于点F ． ∵//DF BE ，BD CD = ∴EF CF = ∵
11AE AC n =
+ ∴CE nAE =，122
n
EF CE AE == ∵//DF BE ∴
22
2AO AE AO OD EF n AD n
==?=
+ O
F
C
A
B
D
E
另一种解法就是梅氏定理，看ADC ?被直线BOE 所截可知
1AO DB CE OD BC EA ??=，而11AE CE nAE AC n =?=+，BD CD =，故2
2AO AD n
=
+． 【答案】1（）23AO AD =；2（）当1A 3AE C =时，12AO AD =；当1A 4AE C =时，25AO AD =3（）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n =+
【例2】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD
及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P .求证：PM PN PR PS ?=?
l
S
R P
N
M
O
D
C B
A
【难度】5星 【解析】略
【答案】∵BO OC OD
BD MS PR CP PN
?
==
∥ ∴
PN OD
PR BO
=
∵BO AO OD
BD MS PM AP PS
?
==
∥
∴PS OD
PM BO
=
∴
PN PS
PM PN PR PS PR PM
=??=? 点评：本题通过证明原结论的变形式——两个分式（比例）等于一个相同（或相等）的分式（比例）来证明他们
【巩固】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF
于G ．求证：EG GF =．
【难度】5星
G F E
C
D
B
A
N
M G F
E
C
D B A
【解析】略 【答案】证法一：
过C 作MN EF ∥交AE 、AF 于M N ，， 则有
MC EM FN CN
BD EB FD BD
===
， ∴MC CN =， 又∵MN EF ∥， ∴
MC AC CN
EG AG GF
==
， ∴EG GF =．
证法二：由塞瓦定理的充分性可得：
1EG FD AB GF DA BE ??=．又因为AB AD
BE DF
=
，代入上式得1EG FD AD GF DA DF ??=，即1EG
GF
=．所以EG GF =．
【巩固】已知：P 为ABC ?的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、E ，
求证：1AD AE
DC EB
+=
P
N
M
E D C
B
A R
Q
P
N
M
E D C
B
A
【难度】5星 【解析】略
【答案】延长BD 、CE 分别交过A 的平行BC 的直线于R 、Q 两点，
∵QR MN BC ∥∥，且AM BM =， ∴PQ PC =，PR PB =
又∵QPR CPB ∠=∠
∴PQR PCB ??≌，可得QR BC =， 又∵AD AR DC BC =，AE AQ
EB BC
=
， ∴
1AD AE AR AQ AR AQ RQ BC CD EB BC BC BC BC BC
++=+====
?模型三类综合题
【例3】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111
c a b
=+.
D
C
F E
B A
【难度】4星 【解析】略
【答案】∵//AB EF ∴EF DF
AB BD =
∵//CD EF ∴
EF BF
CD BD
=
两式相加并变形可得，
111EF AB CD =+
，即111
c a b
=+.
【巩固】如上图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足
为F .证明：
111
AB CD EF
+=
. F
D
C
E
A
B
【难度】4星 【解析】略
【答案】由AB BD ⊥，CD BD ⊥，EF BD ⊥，则必有////AB CD EF ．进而可知
EF DF AB BD =，EF BF
CD BD
=，两式相加并变形可得，
111EF AB CD =+
【巩固】如图，已知////AB EF CD ，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论.
N
M H D C
F E
B A
【难度】4星 【解析】略 【答案】
111BED
ABD
BCD
S S S ???=
+
，过点A 、E 、C 分别作BD 的垂线，
垂足为H 、M 、N .
由变式1可知，
111
EM AH CN =+
，故 11
11
1
1
2
2
2
BD EM BD AH BD CN =
+
???
即
111BED
ABD
BCD
S S S ???=
+
点评：此题的证明过程体现了“集中”这一思想，将EF AB 、EF
CD
集中到同一条线段BD 上，从而发现它们的和是一个常数.
【拓展】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE
于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
Q
P
F
E
D C
B
A
【解析】：方法一：由AD BC ∥可知，1212
a
EP AE a EP a PQ ab
PQ PB BF b EB a b BC a b
b ===?==?=++ 方法二：观察此题与上题颇为相似，于是猜想////PQ AB CD ，但是本题中没有可以直接使用基本 图形结论的条件，可通过连接EF 来实现，设EF 、PQ 交于点O . ∵//AD BC ∴
AP AE PF BF
=
，DQ DE FQ CF = ∵AE DE =，BF CF = ∴////AP DQ PQ AD BC PF FQ
=? ∴
OP OF OQ OP OQ AE EF DE ==?=（∵AE DE =，其中
OF
EF
为中间过渡量） ∵////AE OP BF ∴111222()
ab
OP OP AE BF a b a b =+=+?=
+ ∴ab
PQ a b
=
+ 如果双向延长PQ 分别与AB 、CD 交于点G 、H ，则有
GP OP OQ QH ===.
模块二 角平分线类相似问题
角平分线类的相似模型如下：
方法点播：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这部分知识时，不管是平时测验和期中、期末考试，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样
的辅助线，基本都可以解决．
【例4】 在Rt ABC △中，线段CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，交斜边上的高AD 于点O ，过O 引BC 的平
行线交于F ．求证：AE BF =．
3
21
O
F E D
C
B
A
【难度】3星
【解析】在相似问题中遇到证明线段相等的问题时一定要能想到：这个证明可能是由两组成比例线段进行
等量代换得到．本题由角平分线得到角相等再由都是直角三角形，可证明一组相似三角形得到一组成比例线段
CD AC OD AE =，再根据平行线分三角形两边成比例得到比例线段AD
AB
OD BF =
，最后再根据一组相似三角形得到成比例线段
AD AB CD AC =，等量代换得到OD
BF
OD AE =
，题目得证AE BF =．
【答案】∵CE 平分ACB ∠
∴23∠=∠
∴Rt CAE Rt CDO △∽△ ∴
CD
AC
OD AE =
又∵OF BC ∥ ∴
AD
AB
OD BF = 又∵Rt ABD Rt CAD △∽△ ∴
AD AB CD AC =，即OD
BF
OD AE =
∴AE BF =
注意：应用比例线段证明两直线平行或两线段相等时，（1）要注意如果相关的比例式较多，一时难以作出
选择，应将所有相关的比例式都写出来，然后再仔细对比、分析选出有用的。（2）要注意比例性质的灵活运用，善于总结比例式变换时的方法和技巧。变化时，要头脑清醒，思路清晰，一个字母也不放过，并且每一步都要有根有据，切不可无根据的乱变，或者相当然地硬变。
【巩固】在ABC ?中，120BAC ∠=?，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，求证：
111
AD AB AC
=+
． D C
B A
【难度】3星
【解析】解法一：本题可根据角平分线类相似的模型首先试着作出辅助线：过点D 作AB 的平行线，由于
所给120BAC ∠=?平分之后有两个60的特殊角，可判定ADE △为等边三角形，再根据相似和平行导出线段的比例关系，最关键的一步是，将所得的两组线段整体相加，得到一个新的等式，最后发现问题得证．
解法二：分别以,AB AC 为边向外作两个等边三角形，即ABM △和ACN △，由平分后的角度为60，可轻易证明AD BM CN ∥∥得到两组比例线段
CD AD BC BM =和BD AD
BC CN
=，两者相加后又重新得到一个新的等式，再根据等边三角形的特点代换相等的线段，最后问题也得证． （本题只给出第一种解法的步骤）．
E
D
C
B
A
N
M
D
C
B
A
【答案】过点D 作AB 的平行线，交AC 于点E .
∵120BAC ∠=?，BAD CAD ∠=∠， ∴60BAD CAD ∠=∠=? ∵DE AB ∥， ∴60ADE BAD ∠=∠=? ∴AD AE DE == ∵DE CD DE AB AB BC ?=∥，AE BD
AC BC
=
∴
1DE AE CD BD
AB AC BC BC
+=+=
等式两边同除以AD ，则有：
111AB AC AD +=
【拓展】如图所示，△ABC 的三条外角平分线BE 、AD 、CF ，与对边所在直线交于E 、D 、F 三点，
求证：D 、E 、F 三点共线．
F
E
D
C
B
A
【难度】5星
【解析】本题接触到了一个新的定理叫作梅涅劳斯定理．下面给学生介绍一下这一定理．
梅涅劳斯定理：X 、Y 、Z 分别是△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上的点．则X 、Y 、Z 共线的充分必要条件是：
1CX BZ AY
XB ZA YC
??=． 根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X 、Y 、Z 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或X 、Y 、Z 三点分别都在三角形三边的延长线上．
Z Y
c a
b X
C
B
A c a
b Y
Z
X
A
C
B
证明：（1）必要性，即若X 、Y 、Z 三点共线，则
1CX BZ AY
XB ZA YC
??=． 设A 、B 、C 到直线XYZ 的距离分别为a 、b 、c ．则CX c XB b =，BZ b ZA a =、AY a
YC c
=，三式相乘即得
1CX BZ AY c b a
XB ZA YC b a c
??=??= （2）充分性，即若
1CX BZ AY
XB ZA YC
??=，则X 、Y 、Z 三点共线． 设直线XZ 交AC 于Y '，由已证必要性得：
1CX BZ AY XB ZA Y C '??='又因为1CX BZ AY
XB ZA YC
??=，所以AY AY
Y C YC
'=
'． 因为Y '和Y 或同在AC 线段上，或同在AC 边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y '和Y 比重合为一点，也就是X 、Y 、Z 三点共线．
梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在CX XB 、BZ ZA 、AY
YC
三个比中，已知其中两个可以求得第三个．二是证明三点共线．
【答案】由外角平分线性质定理可得：
BD AB CE BC AF AC
BC AC EA AB FB BC
===
，，．所以1BD CE AF AB BC AC
BC EA FB AC AB BC ??=??=．由梅涅劳斯定理的逆定理可得D 、E 、F 三点共线．
【拓展】如图，已知A 是XOY ∠的平分线上的定点，过点A 任作一条直线分别交OX 、OY 于P 、Q .
⑴ 证明：11
OP OQ
+
是定值；⑵求2211OP OQ +的最小值 Q
P
Y
X
O
A
【难度】6星 【解析】略
【答案】⑴ 方法一：
过点A 作OA 的垂线，分别交OX 、OY 于点F 、E ，过点P 作OY 的平行线交EF 的延长线于点K .
K
Q F
E P Y
X
O
A
∵XOA YOA ∠=∠，EF OA OE OF ⊥?= KP PA KP OY QE AQ ?
=∥，KP PF
OE OF = ∴KP PF =，
KP PF PA
QE QE AQ
==
∵PA OP
XOA YOA AQ OQ
∠=∠?=
∴
PF OP PF QE
QE OQ OP OQ
=?=
∵1OF OP OF PF OP OP OP --==
，1OE OE OQ EQ OQ OQ OQ --== ∴112OF OE OF OE
OP OQ OP OQ
-=-?+= ∴
112
OP OQ OE
+=
因为A 点为定点，故E 、F 均为定点，OE 为定值，所以11
OP OQ
+
是定值. 方法二：
过A 作AM OY ∥，交OX 于M ，
a a
Y
X M P
Q
O
A
易证得：AM OM =
设AM OM a ==，∵AM OY ∥ ∴
a PM
OQ OP
=
，即a OP a OQ OP -=， 整理得：
111OQ OP a
+=， ∵已知A 是XOY ∠的平分线上的定点， ∴a 为定值. ∴
11
OQ OP
+
为定值. ⑵ 因为
222111111()2OP OQ OP OQ OP OQ +=+-?，其中11
OP OQ
+为定值，要使22
11OP OQ + 的值最小，则必须使OP OQ ?的值最小.
而()()OP OQ OF PF OE EQ ?=+?-2OE =+()OE EQ PF OE EQ -?-? 又
PF OP
EQ OQ
=， ∴()()0OE EQ PF OE EQ OE PF OP EQ OE OQ PF -?-?=?-?=-?≥ 当且仅当OP OF =，即点P 处于点F 处时OP OQ ?有最小值2OE . 此时
2211OP OQ +
有最小值2
2
OE 本题的⑴小问归根结底用到的也是拆分，不过它里面结合了“角平分线定理”和复杂的比例变换.
【例5】 已知ABC ?中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：2AD BD CD AB AC =?-?．
D
C
B
A
43
21
F E
D
C
B A
【难度】5星 【解析】略
【答案】在ABC ?外作ABE ADB ∠=∠交DA 的延长线于点E ，
∵23∠=∠，34∠=∠， ∴24∠=∠， 又∵1BDE ∠=∠， ∴AEB ADC ??∽ ∴
AE AB
AC AD
=
，即AE AD AB AC ?=?，① 由AEB ADC ??∽可得：ACD E ∠=∠， 又∵ADC BDE ∠=∠， ∴DAC DBE ??∽， ∴DA DE DC DB ?=?，②
-②①得：DA DE AE AD DC DB AB AC ???-?-=
∴()AD DE AD DC DB AB AC -=?-?，即2AD BD CD AB AC =?-?
已知：AD 、AE 分别为ABC ?的内、外角平分线，M 为DE 的中点，求证：22AB BM
AC CM
=
M
D M
E
D C
B
A
【难度】5星 【解析】略
【答案】连接AM ，由已知条件可知90DAE ∠=?，
ACM CAD ADC BAD DAC CAM BAM ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠，
又∵AMC AMB ∠=∠ ∴AMC BMA ??∽， ∴
AB BM AC AM =，AB AM
AC CM
=
∴22
AB BM AC CM
=．
课堂检测
1. 如图所示，ABCDEF 是一个凸六边形，P 、Q 、R 分别是直线BA 与EF 、FE 与CD 、DC 与AB 的交点，S 、T 、U 分别是BC 与ED 、DE 与AF 、FA 与CB 的交点，如果AB PR CD =∶∶RQ EF QP =∶，求证：BC US DE ST FA TU ==∶∶∶．
T
S
U
R
Q
P
F
E
D
C
B
A
【难度】5星 【解析】略
【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且AB 、CD 、EF 构成一个与PQR ?相似的三角
形的三边，因而可以考虑通过平移变换将AB 、CD 、EF 集中到一起构成一个与PQR ?相似的三角形．
如图所示，将CD 平移至OE 位置，则OE CD ∥，且OE CD =，
T
S
U
R
Q
P
O
F
E
D
C
B
A
所以FEO Q ∠=∠，且EO QR CD QR EF QP ==∶∶∶， 因此FEO PQR ??∽，
从而OFE P ∠=∠，且FO PR EF QP AB PR ==∶∶∶． 这说明FO AB ∥，且FO AB =， 进而FA OB ∥，且FA OB =． 又因为CO DE ∥， 于是COB STU ??∽，
所以BC US CO ST OB TU ==∶∶∶， 注意到CO DE =，OB FA =， 故BC US DE ST FA TU ==∶∶∶．
2. 已知：AD 、AE 分别为ABC ?的内、外角平分线，求证：
112
BD BE BC
+=
． E
D C B A
【难度】4星 【解析】略
【答案】由三角形内、外角平分线性质定理得：
AC CD AB BD =，AC CE
AB BE
=
， ∴CD CE
BD BE
=
， 故
BC BD BE BC
BD BE
--=
， 整理得：()2BC BE BD BD BE +=?，
两边同除以BC BE BD ??得
112
BD BE BC
+=
总结复习
1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．
② ．
③ ．
课后作业
1. 如图，在直角ABC △中（90C ∠=），放置边长分别3,4,x 的三个正方形，则x 的值为 ．
4
3
x C B
A
【难度】3星
【解析】根据已知条件可以推出CEF OME PFN △∽△∽△然后把它们的直角边用含x 的表达式表示出来，
利用对应边的比相等，即可推出x 的值．
N
P F
E M O
A
B
C x
34
【答案】7
∵在直角ABC △中（90C ∠=），放置边长分别3,4,x 的三个正方形， ∴根据CEF OME PFN △∽△∽△， ∴
OE OM
PN PF
=
， ∵,3,4EF x MO PN ===， ∴3,4OE x PF x =-=-， ∴()()3412x x --=，
∴0x =（不符合题意，舍去），7x =．
2. 如图，在ABC ?中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1
4
AE AB =
，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
的长为（ ）． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
M
E
D
C
B
A
【解析】先介绍常规的解法：
B
C
F
E D
M
A B
C
F
E
D M A
如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB =
∴2BF EF
= ∵//CF DE ∴
2BC BF
CD EF
== 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出． 以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法： 看ABC ?为直线EMD 所截，由梅涅劳斯定理可知，1AE BD CM EB DC MA
??= 又14AE AB =
，AM CM =，故32BD BC DC CD
=?= 上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法．
【答案】B
（3）如图2，延长AI 交EC 延长线于F ．当ABC △形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与AIB △相似？写出这些三角形，并选其中之一证明．
图2
图1
F
A
B C
D
E I
I
E D
C
B A
【难度】3星
【解析】（1）根据三角形内角与外角的关系可以用α表示BIC ∠和E ∠；
（2）ABC △与ICE △相似，根据题意知90ICE ∠=，可分三种情况讨论并求出相应AC 长； （3）共三对,,EIF ECB ACF △△△．以EIF ABI △∽△为例说明：由于ACD ∠是ABC △的外角，
可得出ACD BAC ABC ∠=∠+∠；由于,,CE IA IB 分别为,,ACD BAC ABC ∠∠∠的角平分线，不难得出ECD BCF BIF BAI ABI ∠=∠=∠=∠+∠，由此可得出BCE EIF ∠=∠，即可证得
EIF ECB △∽△；即EBC F ABI ∠=∠=∠，再加上两三角形中一组对顶角，即可证得所求的
两三角形相似．
【答案】（1）90,αα+；（2）
1
2
或2或1；（3）,,EIF ECB ACF △△△． （2）本题分三种情况：
①90BAC ∠=，推出ABC △为等腰直角三角形，1AC AB ==．
②90ABC ∠=，推出Rt ABC △中，60BAC ∠=，30ACB ∠=?，22AC AB ==． ③90ACB ∠=，推出Rt ABC △中，60BAC ∠=，30ABC ∠=?，11
22
AC AB ==． （3）题目不难，这里学生自己给出解答步骤．
相似三角形添加辅助线的方法举例 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥ ，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数； （2）设BC E ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求 AE BE 的值 例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点， AD AF 31= ，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值． 例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长． 例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD AC AB = ． 相似三角形添加辅助线的方法举例答案 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证 BC AC CD BC = 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同． 证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ， ∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． ∴ BC AC CE BC =， ∴BC AC CD BC =2 ∴BC 2 ＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ． ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， B C B C E B C
角平分线和平行线构成等腰三角形的探究 -----李春蕊北京市育英学校 一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据. 学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。 二、教学目标： （1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律； （2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系. （3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心. 教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题. 教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题. 突出重点方法:观察，思考，证明. 突出难点方法:自主探究 教学方法：启发与探究相结合 教学准备：PPT，课本，作图工具 三、教学设计： （一）复习等腰三角形相关知识 1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾： （由学生先进行回顾，教师补充） （二）探究过程 问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？ 解：是；EB=ED
思维特训(十一)相似三角形中的辅助线作法归类 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系． 作辅助线的方法主要有以下几种： (1)作平行线构造“A”型或“X”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似． 图11－S－1 类型一作平行线构造“A”型或“X”型相似 1．如图11－S－2，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB 延长线上一点，OE交BC于点F，若AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长． 图11－S－2 2．如图11－S－3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CF为任一直线，CF交AD 于点E，交AB于点F. 求证：AE DE＝ 2AF BF.
图11－S －3 3．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC 中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝1 2 ，连接DF 交AC 于点E . (1)如图①，当E 恰为DF 的中点时，请求出AD AB 的值； (2)如图②，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出AD AB 的值(用含a 的代数式表示)． 思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法： 甲：过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题； 乙：过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题； 丙：过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题． 老师说：“这三位同学的想法都可以”． 请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中AD AB 的值． 图11－S －4
相似三角形知识点及典型例题 知识点归纳： 1、三角形相似的判定方法 （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。 （3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 （6）判定直角三角形相似的方法： ①以上各种判定均适用。 ②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 ③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 #直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， 则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题： 例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G 又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF ∴EC 2 ＝EG· EF，故EB 2 =EF·EG 【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。 例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC FD 证法一：如图，在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝Rt ∠，AD ⊥BC ， ∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点， ∴ED=21 AC ＝EC ，∴∠2＝∠C ，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB ＝∠AFD ，∴△DFB ∽△AFD ，∴FD FB ＝AD BD （1） 又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD BD =AC BA （2） 由（1）（2）两式得FD FB =AC BA ，故BA FB =AC FD 证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ，则BA FB =AG FD （1） ∵E 是AC 的中点，ED ∥AC ，∴D 是GC 的中点，又AD ⊥GC ，∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴AG ＝AC （2） 由（1）（2）两式得：BA FB =AC FD ，证毕。 【解题技巧点拨】 本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“AD BD ”过渡，使问题得证，证法 二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证．
北京市西城区普通中学2019届初三数学中考复习 相似三角形的角平分线、中线及高线 专项复习练习题 1．△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 与A ′D ′分别是∠BAC 与∠B ′A ′C ′的角平分线，AD ∶A ′D ′＝1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4 D ．4∶1 2. 已知△ABC 在正方形网格中的位置如图所示，则点P 叫做△ABC 的( ) A ．中心 B ．重心 C ．外心 D ．以上都不对 3．如图，点G 是△ABC 的重心，则△GEC 与△BGC 的面积之比是( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．2∶1 D ．3∶1 4. 给出以下判断：①线段的中点是线段的重心；②三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；③平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；④三角形的重心是它的中线的一个三等分点．那么以上判断中正确的有( ) A ．一个 B ．两个 C ．三个 D ．四个 5. 如图，△ABC 的面积为60，点G 是重心，连结BG 并延长交AC 于D ，连结GA ，则△GAB 的面积为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．10 6. 已知点G 是△ABC 的重心，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，那么AG ＝____． 7．如图，G 为△ABC 的重心，若EF 过点G ，且EF∥BC，交AB ，AC 于E ，F ，则EF BC ＝____． 8. 如图，G 是△ABC 的重心，直线l 过A 点与BC 平行．若直线CG 分别与AB ，直线l 交于点D ，E 两点，直线BG 与AC 交于F 点，则△AED 的面积∶四边形ADGF 的面积＝ ． 9. 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ⊥BC 于D ，A ′D ′⊥B ′C ′于D′. 求证： AD A′D′＝AB A′B′ .
相似三角形之常用辅助线 在与相似有关得几何证明、计算得过程中 ,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。 专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型 定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。 定理得基本图形: 例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ 变式练习: 已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想) 例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、 变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。 例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF 变式1、如图,△ABＣ中,AB 平行线及角平分线类相似 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？ 不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345 ∶∶． 数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘． 例题精讲 模块一 平行线类相似问题 平行线类相似的基本模型有 ?模型一、二类综合题 【例1】 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1 4 AE AB = ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =____ ___． M E C B A 【难度】3星 【解析】先介绍常规的解法： B C F E D M A B C F E D M A 如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB = ∴2BF EF = ∵//CF DE ∴ 2BC BF CD EF == 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出． 初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a = 2018中考数学相似三角形的角平分线、中线及高线专项复习 1．△ABC∽△A′B′C′，AD与A′D′分别是∠BAC与∠B′A′C′的角平分线，AD∶A′D′＝1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比是( ) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 2. 已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫做△ABC的( ) A．中心 B．重心 C．外心 D．以上都不对 3．如图，点G是△ABC的重心，则△GEC与△BGC的面积之比是( ) A．1∶2 B．1∶3 C．2∶1 D．3∶1 4. 给出以下判断：①线段的中点是线段的重心；②三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；③平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；④三角形的重心是它的中线的一个三等分点．那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 5. 如图，△ABC的面积为60，点G是重心，连结BG并延长交AC于D，连结GA，则△GAB的面积为( ) A．40 B．30 C．20 D．10 6. 已知点G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，那么AG＝____． 7．如图，G 为△ABC 的重心，若EF 过点G ，且EF ∥BC ，交AB ，AC 于E ，F ，则EF BC ＝____． 8. 如图，G 是△ABC 的重心，直线l 过A 点与BC 平行．若直线CG 分别与AB ，直线l 交于点D ，E 两点，直线BG 与AC 交于F 点，则△AED 的面积∶四边形ADGF 的面积＝ ． 9. 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ⊥BC 于D ，A ′D ′⊥B ′C ′于D ′. 求证：AD A ′D ′＝AB A ′B ′. 10. 求证：两个相似三角形对应中线比等于相似比． 解：已知：如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 与A ′D ′分别是中线， 求证：AD A ′D ′＝AB A ′B ′. 相似三角形中几种常见的辅助线作法 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、添加平行线构造“A ”“X ”型 例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1. 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， ∴BE ：EF=5：1. 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1. 变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点, 连结BE 并延 长交AC 于F, 求AF ：CF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ， 1==AE DE FE PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC BC DQ BF ， EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2 1 ==；TC BT EF BE =， DC BT 2 5= 例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE， DE延长线与BC延长线相交于F ，求证： （证明：过点C作CG//FD交AB于G） 例3：如图，△ABC中，AB 角与角平分线 典题探究 例1 把15°30′化成度的形式，则15°30′＝____度． 例2 命题“相等的角是对顶角”是______命题.（填“真”或“假”） 例3 已知∠A =67°，则∠A 的余角等于 度. 例4 如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 是BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE =4㎝，则点P 到边 BC 的距离为 ㎝. E P D C B A 课后练习 A 组 1．如图，表示下列各角： （1） （2） （3） 2．下列各图中有多少个小于180度的角？并把它们表示出来。 （1） （2） 3.下列四个图中，能用∠1、∠AOB 、∠O 三种方法表示同一个的是（ ） 4. 计算：① 57.3°=______°=______′； ②18°15′= ° ； ③ 33°52′+21°54′=__________； ④28°23′×2 － 6°2′= __________； ⑤ 90°—43°18′= __ ； ⑥360°÷7≈ ___ （精确到分） 5.按图填空： 6.下列四个图形中2∠大于1∠的是（ ） 7.如图，OC 平分∠AOB ，如果∠COB=42°,那么∠AOB=_________° B 组 8.尺规作图：求作一个角，使它等于已知角∠AOB ，不写作法，保留作图痕迹。 结论： 9.尺规作图：已知∠AOB ，求作∠AOB 的角平分线。不写作法，保留作图痕迹。 结论： 10. Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝， 则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式 【知识疏理】 一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！ 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。 二， 相似三角形证明的变式 1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如： 例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。求证：DA ·AC=BA ·AE 图2 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。 2，对特殊图形的认识 例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，BD ⊥AC 于点D 。 图3 （1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。 （3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结： （1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似； （2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等； A B C A'B'C'图（4）图1 B A C 双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化 为“公边共角”，讨论、探究， A B C 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。 【课堂检测】 一选择题 1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ） A 、3100 B 、20 C 、54 D 、25 108 2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ） A 、 51 B 、61 C 、71 D 、9 1 D C Ａ Ｄ O Ｐ A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图） 3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ） A 、1：2 B 、1：4 C 、1：8 D 、1：16 4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ） Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４ 5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ） A 、AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC = 1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a 、b 两种情形： a 、 如图甲：一直线与角的一边平行 b 、 如图乙：一直线与角的平分线平行 2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a 、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行 b 、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行 3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线 a 、如图甲：与一腰平行 b 、如图乙：与底边平行 角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。这种思维方法称为“知识板块”思维。 角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例： 例1、如图1：已知在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，过点I 作DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。求证：DE=BD+CE 。 证明： 例2、如图2：已知I 是△ABC 的内心，DI//AB 交BC 于点D ，EI//AC 交BC 于E 。求证： △DIE 的周长等于BC 。 证明： 31∠=∠?? ??∠=∠∠=∠?2123//OA CD DC DO =?() DOC 等腰三角形()ODE 等腰三角形?? ? ?? ∠=∠?? ?∠=∠∠=∠?214231//OC DE OE OD =?∠=∠?43???∠=∠∠=∠?=2131DC CO OA CD //32?∠=∠????∠+∠=∠∠=∠?=4343AOB OE OD ??? ???? ∠=∠∠=∠?AOB AOB 21 1213DE OC //31?∠=∠?? ?? ∠=∠?=∠=∠?1323//DC CO DC OA 21∠=∠?214231//43∠=∠?? ? ?? ? ???∠=∠∠=∠?∠=∠?=OC DE OE OD ??? ∠=∠∠=∠?1232//BC DE 31∠ =∠????==?EI CE DI BD 同理：CE BD IE DI DE +=+=?? ?? ∠=∠∠=∠?2131//AB DI BD DI =?∠=∠?23图甲 1 3 A B C D E I 图（2） 2 3 2 1 I E D A B C 4 3 2 O D E C B A 1 图乙 相似三角形之常用辅助线 在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。 专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 变式练习： 已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：． （本题有多种解法，多想想） 例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若 DC BD ＝FA FC =2,求BE:EA 的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE ED =2,求BE:EA 的比 值. 例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF 变式1、如图，△ABC 中，AB 相似三角形知识点 一、☆内容提要 1、比例的有关性质： ()b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++===ΛΛΛΛ等比性质：0 的比例中项是c a b c a b c b b a ,2??=?= 应用变形: 已知 d c c b a a d c b a +=+=:,求证，d kd c b kb a ±= ±。 证明:（1）∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴d c c b a a += + （2）d c b a =Θ k d c k b a ±=±∴ d kd c b kb a ±= ±∴ 2、黄金分割的定义： 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 AC BC AB AC = （整段大线段 大线段 小线段=）,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中 2 1 5-＝AB AC ≈0.618. A B C 推导黄金比：设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以 x x x -= 11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618 特别提示：1、一条线段有2个黄金分割点，它们关于原点对称。 2、黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段的比为黄金比。黄金比没有单位。 例：若矩形的两邻边长度的比值约为0.618，这个矩形称为黄金矩形；若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形仍是黄金矩形。 3、必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点。 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 c d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±= ± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理） 一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点E，则EO=EP. AAA EPCEC DFEP OBBCOFB 图1图2图3 例1 如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作 EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF， PE=PF. 例2 如图4，BD是∠ABC的平分线， AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于 在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D A E AP / BC DB /BC 图5图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点. 求证：PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ ECD ． 二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段 1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 2 1F E D C B A N P E D C B A A B D C E F 图 北京市西城区普通中学2018届初三数学中考复习 相似三角形的角平分线、中线及高线 专项复习练习题 1．△ABC∽△A′B′C′，AD与A′D′分别是∠BAC与∠B′A′C′的角平分线，AD∶A′D′＝1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比是( ) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 2. 已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫做△ABC的( ) A．中心 B．重心 C．外心 D．以上都不对 3．如图，点G是△ABC的重心，则△GEC与△BGC的面积之比是( ) A．1∶2 B．1∶3 C．2∶1 D．3∶1 4. 给出以下判断：①线段的中点是线段的重心；②三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；③平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；④三角形的重心是它的中线的一个三等分点．那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 5. 如图，△ABC的面积为60，点G是重心，连结BG并延长交AC于D，连结GA，则△GAB的面积为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．10 6. 已知点G 是△ABC 的重心，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，那么AG ＝____． 7．如图，G 为△ABC 的重心，若EF 过点G ，且EF ∥BC ，交AB ，AC 于E ，F ，则EF BC ＝____． 8. 如图，G 是△ABC 的重心，直线l 过A 点与BC 平行．若直线CG 分别与AB ，直线 l 交于点D ，E 两点，直线BG 与AC 交于F 点，则△AED 的面积∶四边形ADGF 的面积 ＝ ． 9. 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ⊥BC 于D ，A ′D ′⊥B ′C ′于D ′. 求证：AD A ′D ′＝AB A ′ B ′. 10. 求证：两个相似三角形对应中线比等于相似比． 解：已知：如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 与A ′D ′分别是中线， 求证：AD A ′D ′＝AB A ′ B ′. 教育教学讲义 学员姓名：年级：学科教师：上课时间：辅导科目：数学课时数：2 课题相似三角形 教学目标 1 通过本章的学习，要熟悉数学中的转化思想，数形结合，分类讨论思想特殊值法。 2转化思想：利用相似性质解决问题时，经常用到转化思想，如在有关面积的问题中，往往要借助于线段的比，周长的比等进行转化，进而解决问题。 3数形结合思想：对于很多几何图形，我们都要善于观察，找出其中的隐含条件，做到数形结合，从而解决问题。 4分类讨论思想：在运用相似三角形的对应边成比例的性质时，如果题目的条件中，不能确定如何对应，则应给予讨论。 教学内容 课前检测全等三角形的概念? 知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是： BC DE // ， ADE ?∴∽ABC ?． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?． (2)对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?． (3)传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''?． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若 角平分线模型 模型 4 角平分线+平行线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。 结论：△POQ 是等腰三角形。 模型证明 ∵PQ∥ON ∴∠PON=∠OPQ 又∵OP 是∠MON 的平分线 ∴∠POQ=∠PON ∴∠POQ=∠OPQ ∴△POQ是等腰三角形 模型分析 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。 模型实例 解答下列问题： （1）如图①所示，在△ABC 中，EF∥BC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系； （2）如图②所示，BD 平分∠ABC、CD 平分∠ACG，DE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？并说明理由。 （3）如图③所示，BD、CD 分别为外角∠CBM、∠BCN 的平分线，，DE∥BC 交 AB 延长线于点 E，交 AC 延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什 么数量关系？ 解析：（1）由模型可知，ED=BE,DF=CF ∴EF=ED+DF=BE+CF （2）∵DE∥BC ∴∠EDB=∠DBC 又BD 平分∠ABC ∴∠DBE=∠DBC ∴∠EDB=∠DBE ∴△EBD为等腰三角形 ∴BE=ED 同理可证：FD=CF ∴EF=ED-FD=BE-CF ∴EF=BE-CF （3）EF=BE+CF（由模型可轻松证明） 模型练习 1．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为。 解析：由模型可得，ME=BM,EN=CN ∴MN=ME+EN=BM+CN=9 2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 E、F 分别在 BD、AD 上，且 DE=CD，EF=AC 求证：EF∥AB。平行线及角平分线类相似
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