抽屉原理
知识要点
最不利原则
所谓“最不利原则”是指完成某一项工作先从最不利的情况下考虑，然后研究任意情况下可能的结果。由此得到充分可靠的结论。
抽屉原理又称鸽巢原理或Dirichlet原理
抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则。抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用。许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原理后，能很快使问题得到解决。
第一抽屉原理：
一、将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件；
二、将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于m+件。
1
第二抽屉原理：
一、将少于n件的物品任意放到n个抽屉中，其中必有一个抽屉中没有物体。
二、把1
mn-个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有1
m-个物体。
平均值原理：如果n个数的平均值为a，那么其中至少有一个数不大于a，也至少有一个不小于a。
运用抽屉原理求解的较为复杂的组合计算与证明问题．这里不仅“抽屉”与“苹果”需要恰当地设计与选取，而且有时还应构造出达到最佳状态的例子．
抽屉原理
【例1】 数学兴趣小组共23人，有一个同学在某一天对大家宣布一个猜想：“我们中间必定有两个人生
日处在同一个月份”，你知道他是怎么知道的吗？
【分析】 因为数学兴趣小组的人数超过了12个人，而一年中只有12个月份，根据抽屉原理一，他就可
以得出以上结论了。
【例2】 某小学有420名学生，证明其中必定有两名学生是同一天的生日。
【分析】 一年至多是366天，把这些不同日期看作是抽屉，将420名同学看作是物体，把420个物体放
在不超过366个抽屉里面，至少有一个抽屉的物品不少于2个，也就是说这两个物体所代表的同学就是同一天的生日。
【例3】 有个小朋友特别勤奋，在暑假里每天都会做奥数题，已知他一共做了47道，妈妈说假期中他
过生日那天不止做了一道数学题。问他这个假期最多有多少天？
【分析】 根据抽屉原理，如果假期里面的每天看作是抽屉，把47道题看作是物品，因为知道每个抽屉
都有物品并且某个抽屉中放的物品不少于2件，所以抽屉数一定小于47，所以抽屉数至多是46，也就是说假期最多有46天。
【例4】 50个小朋友等着老师派发苹果，老师拿着苹果箱对大家说：“你们其中至少有一个小朋友可以
拿到不少于两个的苹果”，请问老师至少需要准备多少个苹果？
【分析】 根据抽屉原理一，老师准备的苹果数必须比小朋友总人数多，因此至少需要准备50151+=个
苹果。
【例5】 妈妈给小明买了4个苹果，要求小明每天都要吃苹果，已知小明至少有一天吃了不止一个苹果，
问小明最多能吃多少天？
【分析】 根据抽屉原理知道，只有天数比苹果数少才能保证小明至少有一天可以吃不止一个苹果，那么
小明最多可以吃3天。
【例6】 （第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动五年级初赛动手动脑题第3题）能否在8行8列
的方格表的每个空格中分别填入1,2,3这三个数中的任何一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？
【分析】 不可能。因为每行每列每对角线上的和最小为8，和最大为24,8~24共有17个互不相同的数，
而8行、8列和两条对角线上共有18个和，根据抽屉原理，必定有两个和是相等的。
【例7】 用数字1,2,3,4,5,6填满一个66?的方格表，如图所示，每个小方格只填其中一个数字，将每一
个22?的正方格内的四个数之和称为这个22?正方格的“标示数”。问：能否给出一种填法，使得任意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由。
抽屉原理的解题方案
（一）、利用公式进行解题
苹果÷抽屉＝商……余数
余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（2）余数＝x ()()11x n -p p ， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里
（二）、利用最值原理解题
将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思
想“任我意”方法、特殊值方法．
【分析】 因为22?的正方格共有5525?=个，又因为用数字1,2,3,4,5,6填入22?的正方格中，标示数
只能是4,5,6,24L 这21种不同的情况，即有21个抽屉，因为共有25个标示数，所以根据抽屉
原理，必定有两个标示数是相同的。
【例8】 证明：任意28个人中，至少有3个人的属相相同。
【分析】 把12个属相看作是12个抽屉，把28个人看作是28个苹果，因为281224÷=L ，根据抽屉原
理二，至少有一个抽屉有不少于213+=个苹果，即相应的至少有3个人是相同的属相。
【例9】 一群人参加集体聚会，要想保证至少有5个人属相相同，那么参加聚会的人不得少于多少人？
【分析】 如果把12个属相看作是12个抽屉，那么根据抽屉原理二，至少需要124149?+=人参加聚会
才可以保证有至少5个人属相相同。
【例10】 新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸出两个球，这些球给人的手感
相同，只有红、黄、白、蓝、绿五种颜色之分（摸球时看不见颜色），结果发现总有3个人取
出的球相同，由此可知，参加取球的至少有几个人？
【分析】 取出两个球共有多少种不同的颜色呢？如果两种球颜色相同，那么共有5种方法数，如果两种
球颜色不同，则共有2510C =种方法数，所以取出两个球的方法数是15种，即有15个抽屉，根
据抽屉原理可知，参加取球的至少有152131?+=人。
【例11】 一副扑克牌，共54张，问至少从中摸出多少张牌才能保证有5张牌的花色相同？
【分析】 从最坏的情况考虑：先摸出两张牌，分别是大王和小王，然后再把四种花色各摸出四张，此时
一共摸出44218?+=张牌，如果再摸一张就会出现至少有5张牌的花色相同，即至少需要摸
出19张牌才可以保证至少有5张牌的花色相同。
【例12】 一副54张的扑克牌，至少需要摸出多少张，才可以保证所有花色的牌都有？
【分析】 从最坏的情况考虑：先摸出两张王牌，然后挑选三种花色摸光，此时一共摸了133241?+=张
牌，再摸一张就可以保证所有花色的牌都有。
【例13】 一副54张的扑克牌，至少需要摸出多少张，才可以保证有2张梅花和3张红桃？
【分析】 从最坏的情况考虑：先摸出两张王牌，然后摸出所有的方块和黑桃，共计132228?+=张牌，
接着就是最关键也是最容易出错的地方，那就是什么是最坏的情况。因为要保证有2张梅花和
3张红桃，所以我们只需要不符合其中一个即可，比如摸到了13张梅花和2张红桃就是不符合
要求的（想想看为什么13张红桃和1张梅花为什么不是最坏的情况？），但是如果再摸一张就
必定符合要求了，所以至少需要摸出28132144+++=张。
【例14】 布袋中有编号为1~10的形状大小完全一样的小球55个，其中编号为n 的小球有n 个，
110n ≤≤，为了保证将取出的球组合出数字“1999”
，问至少需要取出多少个球？ 【分析】 因为要求取出一个“1”和三个“9”，所以我们考虑最坏的情况，把编号为2,3,4,5,6,7,8,10的
所有的球全部取出来，即有23456781045+++++++=个球，此时还是显然无法满足题目要
求，这个时候再取出九个“9”或者两个“9”和一个“1”，还是无法满足要求，如果再取一
个就符合要求，即至少需要取出459155++=个球。
【例15】（第七届中环杯五年级初赛）一只魔袋里装有30种不同颜色的魔球各30只，现在请你闭上眼睛到袋中去摸球，每次限摸3只，要使摸出的球至少有三种颜色是不少于3只的，那么至少要
摸多少次？
【分析】这题是比较典型的最不利原则的题型，最坏的情况就是有两种颜色的魔球都取完了，其他28种颜色的魔球都去了2只，这时只有再取一只球就能凑足有三种颜色是不少于3只，所以至少应该摸++?+÷=次。
(30302821)339
【例16】请证明：在1,4,7,10,,100
L中任选20个数，其中至少有不同的两组数，其和等于104。
【分析】共34个数分成18组如下：()()()()()
L，共18个抽屉，从中任意选取20
4,100,7,97,,49,55,1,52
个数，至少有18个数来自前16个抽屉，所以至少有4个数取自某两个抽屉，而属于同一个抽
屉的两个数的和是104，所以问题得证。
【例17】从1~200这200个数中任意选取101个数，证明：必有一个数是另一个数的倍数。
【分析】把这200个数分成100组，看作是100个抽屉，分别是(1,2,4,8,,128)
L，
L，(3,6,12,,192)
L，……，(99,198)，(101)，(103)，……，(199)，从这100个抽屉中选取101个(5,10,20,,160)
数，则必定有两个数在同一个抽屉中，而同一个抽屉中的任意两个数都满足倍数关系，所以必
有一个数是另一个数的倍数。
【例18】学校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛同学任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必定有男生，求参赛的男生人数是多少？
【分析】因为参赛者中任何10人中必定有男生，所以女生人数必定不超过9人。另一方面，因为任意分成四组，必定有一组女生不少于2人，所以女生人数多于2419
?+=人，于是女生人数是9个，男生人数是46个。
【例19】平面上给定6个点，没有3个点在一条直线上，证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中，一定有一个三角形，它的最大边是另外一个三角形的最小边。
【分析】首先我们先将每一个三角形的最大边染色成红色的，将其他所有没有染色的边染成蓝色的。设这六个点是,,,,,
A B C D E F，则在A连出的五条线中必定有三条线颜色相同，假设
AB AC AD相同的，那么,,
B C D三个点之间的两两连线有颜色与,,
AB AC AD颜色相同，如果,,
这两个点和A点组成的三角形的边颜色就相同了，如果,,
B C D三个点之间的两两连线的颜色
与,,
B C D三点组成的三角形的颜色就相同了，也就是说在这六个
AB AC AD都不相同，那么,,
点组成的三角形中必定存在同色三角形，因为这个三角形一定有最大边，所以这个同色三角形
必定是红色三角形，那么这个三角形的最小边必定是红色，从而它必定是另外某一个三角形的
最大边，也就是说这条边既是某个三角形的最大边，也是某个三角形的最小边。
【例20】平面上有17个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干个三角形．证明：一定有一个三角形三边的颜色相同．
【分析】从这17个点钟任取一个点A，把A点与其它16个点相连可以得到16条线段，根据抽屉原理，其中同色的线段至少有6条，不妨设为红色．考虑这6条线段的除A点外的6个端点：
⑴如果6个点两两之间有1条红色线段，那么就有1个红色三角形符合条件；
⑵如果6个点之间没有红色线段，也就是全为黄色和蓝色，由上面的例题可知，这6个点中必
有3个点，它们之间的线段的颜色相同，那么这样的三角形就符合条件．
综上所述，一定存在一个三角形满足题目要求．
复杂的抽屉原理
【例1】幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？
【分析】从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有以下6组：牛、马；牛、羊；牛、狗；马、羊；
马、狗；羊、狗．2
443
6 21
C
?
==
?
个。把每一组搭配看作一个“抽屉”，共6个抽屉．根据抽屉原
理，至少要有7个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同。
【例2】体育用品的仓库里有许多的足球、篮球和排球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿球的种类完全一样？
【分析】以拿球配组的方式为抽屉，每人拿一个或者两个球，所以抽屉有：足，篮，排，足足，篮篮，排排，足篮，足排，篮排共9种情况，即有9个抽屉，则：66973
÷=L，于是至少有8个同学所拿球的种类是一样的。
【例3】（第九届中环杯五年级）能否在8行8列的方格表的每个空格中分别填入1,2,3这三个数中的任何一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？
【分析】不可能。因为每行每列每对角线上的和最小为8，和最大为24,8~24共有17个互不相同的数，而8行、8列和两条对角线上共有18个和，根据抽屉原理，必定有两个和是相等的。
【例4】在边长为3米的正方形中，任意放28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。
【分析】将大正方形分成9个边长为1的小正方形，则把9个小正方形看作是抽屉，有
28931
÷=L，从而必定有4个点处于同一个抽屉，也就是这四个点在同一个小正方形里面，由于每个小正方形面积都不超过1平方米，所以这四个点组成的四边形的面积也必定不超过1
平方米。
【例5】在边长为4米的正方形中，任意放9个每三点都不共线的点，求证：必定有三个点，以它们为顶点的三角形的面积不超过2平方米。
【分析】把正方形分成等分成四个边长为2的小正方形，因为9421
÷=L，那么根据抽屉原理必定有三个点处在同一个小正方形里面，我们来证明这三个点所组成的三角形的面积不超过小正方形面
积的一半。如图所示，如果三角形有一条边与小正方形的边平行，那么这个以这个边为底，作
三角形的高，显然底和高都不超过小正方形的边长，从而面积必定不超过小正方形面积的一半；
如果三角形任意一条边都不与小正方形的边平行，那么过其中一个顶点作边的平行线，与顶点
所对应的边交于一点，以这两点连线所在线段为底，三角形分成两个同底的三角形，它们的高
加起来不超过正方形的边长，而这个底也不超过正方形的边长，所以其面积必定不超过正方形
面积的一半。由此我们知道三角形的面积不超过2222
?÷=平方米。
【例6】 从1~200这200个数中任意选取101个数，证明：必有一个数是另一个数的倍数。
【分析】 把这200个数分成100组，看作是100个抽屉，分别是(1,2,4,8,,128)L ，(3,6,12,,192)L ，
(5,10,20,,160)L ，……，(99,198)，(101)，(103)，……，(199)，从这100个抽屉中选取101个
数，则必定有两个数在同一个抽屉中，而同一个抽屉中的任意两个数都满足倍数关系，所以必
有一个数是另一个数的倍数。
【例7】 从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一
个数都不是另一个数的2倍?
【分析】 （方法一）直接从1开始选1，3，4，5，7，9，11，12，这样可以选出8个数； 而从2开始
选2，3，5，7，8，9，11，12，这样也是可以选出8个数． 3包含在组内，因此只用考虑这
两种情况即可． 所以，在满足题意情况下，最多可以选出8个数．
（ 方法二）我们知道选多少个奇数均满足，有1，3，5，7，9，11均为奇数，并且有偶数中
4的倍数，但不是8的倍数的也满足，有4，12是这样的数．所以，在满足题意情况下最多可
以选出8个数．
【例8】 （全国小学数学奥林匹克初赛）从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得
选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?
【分析】 （方法一）因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是3、5、7等奇数倍.
3×33：99，于是从35开始，1:99的奇数中没有一个是35～99的奇数倍(不包括1倍)，所
以选出35，37，39，…，99这些奇数即可．
共可选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．
（方法二）利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组．
(1，3，9，27，81)，(5，15，45)，(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(19，57)，
(23，69)，(25，75)，(29，87)，(31，93)，(35)，(37)，(41)，(43)，…，(97)共33组．
前11组，每组内任意两个数都存在倍数关系，所以每组内最多只能选择一个数． 即最多可以选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．
1:2n 个自然数中，任意取出n+1个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数倍；
从2，3．……，2n+1中任取n+2个数，必有两个数，它们一个是另一个的整数倍；
从1，2，3．……3n 中任取2n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，
且至少是3倍；从1，2，3，……， mn 中任取(m-1)n+1个数，则其中必有两个数，它们中
一个是另一个的整数倍，且至少是m 倍(m 、n 为正整数)。
【例9】 甲、乙二人分别为一个正方形的12条棱涂红、绿2种颜色。首先，甲任选3条棱并把它们涂上
红色；然后，乙任选另外3条棱并涂上绿色；接着甲将剩下的6条棱都涂上红色。问：甲是否
一定能将某一面的4条棱全部涂上红色？
H G
F E D C
B
A
【分析】 如图将12条棱按照两两互相异面垂直的3条棱分为一组，共分成1234÷=组：第一组：（AB 、
CG 、HE ）
；第二组：（BC 、DH 、EF ）；第三组：（CD 、AE 、FG ）；第四组：（DA 、BF 、GH ）
。无论甲第一次将哪3条棱涂红，由抽屉原理知4组中必有一组的3条棱全未涂红，而乙只要将这组中的3条棱涂绿，甲就无法将某一面的4条棱全部涂红了。
【例10】 在一个礼堂中有99名学生，如果他们中的每个人都与其中的66人相识，那么可能出现这种情
况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识（假定相识是互相的）
注意到题中的说法“可能出现……”，说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可。将礼堂中的99人记为1a 、2a 、……、99a ；将99人分为3组：第一组：（1a 、2a 、……、33a ）；第二组：（34a 、35a 、……、66a ）；第三组：（67a 、68a 、……、
99a ）
，将3组学生作为3个抽屉，分别记为A 、B 、C ；并约定A 中的学生所认识的66人只在B 、C 中，同时，B 、C 中的学生所认识的66人也分别只在A 、C 和A 、B 中。如果出现这种局面，那么题目中所说情况就可能出现。因为礼堂中任意4人可看做4个苹果，放入A 、B 、C 三个抽屉中，4311÷=……，必有112+=人在同一抽屉，即必有2人来自同一组，那么他们认识的人只在另2组中，因此他们2人不相识。
【例11】 8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋
友的名字。开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：
经过适当转动桌子，一定能使至少两个小朋友恰好对准自己的名字。
【分析】 沿顺时针方向转动桌子，每次转动一格，使每位小朋友恰好对准桌面上的字条，经过7次转动，
一定可以使每位小朋友恰好对准自己名字的纸条一次，因为小朋友有8个，这说明至少有两个
小朋友在某次转动恰好都对着自己的名字，结论得证。
【例12】 （第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛）8个学生解8道题目．
(1)若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被这两个学生中的一个解
出．
(2)如果每道题只有4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点.
【分析】 (1)先设每道题被一人解出称为一次，那么8道题目至少共解
出5?8=40次，分到8个学生身上，至少有一个学生解出了5次或5次以上题目，即这个学
生至少解出5道题，称这个学生为A ，我们讨论以下4种可能：
A 只解出5道题，则另3道题应由其他7个人解出，而3道题至少共被解出3?5=15次，分到7个学生身上，至少有一名同学解出了3次或3次以上的题目(15=2?7+1，由抽屉原则便知)由于只有3道题，那么这3道题被一名学生全部解出，记这名同学为
B ．那么，每道题至少被A 、B 两名同学中某人解出．
A 解出6道题，则另2道题应由另7人解出，而2道题至少共被解出2×5=10次，分到
7个同学身上，至少有一名同学解出2次或2次以上的题目(10=1?7+3，由抽屉原则便知)．与
l 第一种可能I 同理，这两道题必被一名学生全部解出，记这名同学为C ．那么，每道题目至
少被A 、C 学生中一人解出．
A 解出7道题目，则另一题必由另一人解出，记此人为D ．那么，每道题目至少被A 、D 两名学生中一人解出．
A 解出8道题目，则随意找一名学生，记为E ，那么，每道题目至少被A 、E 两名学生中一人解出，所以问题(1)得证． (2)类似问题(1)中的想法，题目共被解出8?4=32次，可以使每名学生都解出4次，那么每人解出4道题．
随便找一名学生，必有4道未被他解出，这4道题共被7名同学解出4?4=16次，由于16=2×7+2，可以使每名同学解出题目不超过3道，这样就无法找到两名学生，使每道题目至少被其中一人解出． 具体构造如下表，其中汉字代表题号，数字代表学生，打√代表该位置对应的题目被该位置对应的学生解出．
【例13】在100米的路段上植树，问：至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？【分析】如果在路段的某个端点植树一棵，然后每隔10米植树一棵显然一共就植树11棵，而这是不满足要求有两棵树之间距离小于10米的。但是如果将路段分成11段，第一段长度是1米，后面10
段的长度都是9.9米，那么把12棵树值在这11段上，必定有2棵树在同一段中，这两棵树的距
离就是小于10米的，从而至少需要植树12棵才可以满足要求。
【例14】在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？【分析】把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图）．
将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉．现在将这11个点放到这10个抽屉中去．根
据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）．由于这两个
点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米．所以，在长度是10厘米的线段上任
意取11个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米．
【例15】四个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余三个人中的二人，试证明：至少有两对人，每对人是互赠过礼品的。
【分析】将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连上一条线。由于每人送出
?=条线，由于四个点每两点之间连一条线，总共也只有6条线，这说明2件礼品，共有428
必有两组两点之间连过2条线，这两组两点对也就是代表互赠过礼品的。
【例16】证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识．
【分析】把这6个人看作6个点，每两点之间连一条线段，两人相互认识的话将线段涂红色，两人不认识的话将线段涂上蓝色，那么只需证明其中有一个同色三角形即可．从这6个点中随意选取一
点A，从A点引出的5条线段，根据抽屉原理，必有3条的颜色相同，不妨设有3条线段为红
色，它们另外一个端点分别为B、C、D，那么这三点中只要有两点比如说B、C之间的线
段是红色，那么A、B、C3点组成红色三角形；如果B、C、D三点之间的线段都不是红色，
那么都是蓝色，这样B 、C 、D 3点组成蓝色三角形，也符合条件．所以结论成立．
【例17】 任意给11个整数，其中必定有6个数，它们的和是6的倍数。
【分析】 设这11个数为1211,,a a a L ，由上面的证明知道五个数12345,,,,a a a a a 中必定有三个数的和是3的
倍数，不妨设为12313a a a k ++=；同理在45678,,,,a a a a a 中必定有三个数的和是3的倍数，不妨
设45623a a a k ++=；同理在7891011,,,,a a a a a 中必定有三个数的和是3的倍数，不妨设
67833a a k ++=，又因为在123,,k k k 中必定有两个数的奇偶性相同，不妨设12,k k 奇偶性相同，那
么1233k k +是6的倍数，即123456,,,,,a a a a a a 的和是6的倍数。
一课一练
【练习1】 （希望杯真题）一个口袋里分别有红、黄、黑球4、7、8个，为使取出的球中有6个同色，
则至少要取小球多少个？
【分析】 如果要保证取到6个同色的球，至少要取455115+++=(个)。
【练习2】 有一个布袋里面有5种不同颜色的球，每种球都有20个，问：一次至少要取出多少个小球，
才能保证其中至少有3个小球的颜色相同？
【分析】 5种颜色看作5个抽屉，要保证一个抽屉中至少有3个苹果，最“坏”的情况是每个抽屉里有2
个“苹果”，共有5210?=，再取一个就能满足要求，所以一次至少要取出11个小球，才能保
证其中至少有3个小球的颜色相同。
【练习3】 有一个布袋中有40个相同的小球，其上编上号码1,2,3,4的各有10个，问：一次至少要取出多
少个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同？
【分析】 考虑最坏的情况：每种编号的小球刚好取了2个，那么最多可以取248?=个小球，如果再取
一个，必定就有3个小球号码相同了，因此至少需要取出9个球才可以保证其中至少有3个小
球的号码相同。
【练习4】 从6双不同手套中任意拿出7只，证明必定有两只可以成为一双。
【分析】 把6双手套看作是6个抽屉，7只手套放在6个抽屉中，必定有两只放在同一个抽屉，所以这
两只就是可以成为一双的。或者用反证法，如果没有可以成双的手套，那么最多只能拿出6只
不同的手套，与条件矛盾，所以必定有成双的手套。
【练习5】 某班32名同学是在5月份出生，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？
【分析】 五月份共有31天，如果把31天看作是31个抽屉，把32个小朋友看作是32个苹果，把32个苹
果放在31个抽屉，那么根据抽屉原理一，至少有一个抽屉里至少放了两个苹果，因此至少有2
名同学是同一天出生的。
【练习6】 如果要求某次聚会上不得有6个或6个以上的人属相相同，那么参加聚会的人数最多是多少？
【分析】 一方面，根据抽屉原理二，如果61个人参加聚会，因为611251÷=L ，那么至少有6个人属相
相同，所以参加聚会的人数不得超过60人；另一方面，如果参加聚会的60个人，刚好每种属
相有5人是符合聚会要求的，所以60人参加聚会是没有问题的。综上所述，参加聚会的人数最
多是60人。
【练习7】学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本，那么至少多少个学生中一定会有两个学生所借的图书属于同一种？
【分析】从三种图书里面任意借两本图书的种类数是12
336
C C
+=，所以至少7个学生借书，可以保证至少有两个学生所借的图书属于同一种。
【练习8】某次选拔考试，共有1123名同学参加，小明说：“至少有10名同学来自同一个学校”，如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加这次选拔考试？
【分析】这道题目的难点在于不知道抽屉有多少个，如果我们采用顺向思维，就需要设有n个抽屉，并且11239
n r
÷=L，其中r是余数，并且大于0，因为112312497
=?+，所以当有124个学校参加考试的时候，小明的说法就是正确的。同时如果学校数目超过124个，那么是可以使每个
学校有不超过9名同学参加考试的，因此124是参加学校的最大数目。
【练习9】老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得2分，不做得1分，做错得0分．老师说：“可以肯定全班同学中至少有6名同学各题的得分都相同．”那么，这个班至少有多少名同学？【分析】以同学做两道题的得分情况为“抽屉”，由于两道题各有三种得分情况，所以共有339
?=种得分情况，那么共有9个抽屉，学生数量即“苹果”数为：95146
?+=(人)。
【练习10】证明：在任意的四个自然数中，其中必有两个数，它们的差能被3整除。
【分析】这类问题属于按照剩余类构造抽屉的问题。因为任何整数除以3，其余数只有可能是0,1,2三种情形，我们将这三种情形看作是三个“抽屉”，一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将这个
整数归在哪个“抽屉”里，根据抽屉原理一，把四个自然数放在三个抽屉中，至少有一个抽屉
里面放了不止一个数，也就是说这两个数除以3的余数是相同的，这两个数的差必定能被3整
除。
【练习11】数学兴趣小组共23人，有一个同学在某一天对大家宣布一个猜想：“我们中间必定有两个人生日处在同一个月份”，你知道他是怎么知道的吗？
【分析】因为数学兴趣小组的人数超过了12个人，而一年中只有12个月份，根据抽屉原理一，他就可以得出以上结论了。
【练习12】某小学有420名学生，证明其中必定有两名学生是同一天的生日。
【分析】一年至多是366天，把这些不同日期看作是抽屉，将420名同学看作是物体，把420个物体放在不超过366个抽屉里面，至少有一个抽屉的物品不少于2个，也就是说这两个物体所代表的
同学就是同一天的生日。
【练习13】有个小朋友特别勤奋，在暑假里每天都会做奥数题，已知他一共做了47道，妈妈说假期中他过生日那天不止做了一道数学题。问他这个假期最多有多少天？
【分析】根据抽屉原理，如果假期里面的每天看作是抽屉，把47道题看作是物品，因为知道每个抽屉都有物品并且某个抽屉中放的物品不少于2件，所以抽屉数一定小于47，所以抽屉数至多是
46，也就是说假期最多有46天。
【练习14】新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸出两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五种颜色之分（摸球时看不见颜色），结果发现总有3个人取
出的球相同，由此可知，参加取球的至少有几个人？
【分析】取出两个球共有多少种不同的颜色呢？如果两种球颜色相同，那么共有5种方法数，如果两种
球颜色不同，则共有2
510
C=种方法数，所以取出两个球的方法数是15种，即有15个抽屉，根据抽屉原理可知，参加取球的至少有152131
?+=人。
【练习15】一副扑克牌，共54张，问至少从中摸出多少张牌才能保证有5张牌的花色相同？
【分析】从最坏的情况考虑：先摸出两张牌，分别是大王和小王，然后再把四种花色各摸出四张，此时一共摸出44218
?+=张牌，如果再摸一张就会出现至少有5张牌的花色相同，即至少需要摸出19张牌才可以保证至少有5张牌的花色相同。
【练习16】一副54张的扑克牌，至少需要摸出多少张，才可以保证所有花色的牌都有？
【分析】从最坏的情况考虑：先摸出两张王牌，然后挑选三种花色摸光，此时一共摸了133241
?+=张牌，再摸一张就可以保证所有花色的牌都有。
【练习17】一副54张的扑克牌，至少需要摸出多少张，才可以保证有2张梅花和3张红桃？
【分析】从最坏的情况考虑：先摸出两张王牌，然后摸出所有的方块和黑桃，共计132228
?+=张牌，接着就是最关键也是最容易出错的地方，那就是什么是最坏的情况。因为要保证有2张梅花和
3张红桃，所以我们只需要不符合其中一个即可，比如摸到了13张梅花和2张红桃就是不符合
要求的（想想看为什么13张红桃和1张梅花为什么不是最坏的情况？），但是如果再摸一张就
必定符合要求了，所以至少需要摸出28132144
+++=张。
【练习18】有一个布袋里面有5种不同颜色的球，每种球都有20个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的颜色相同？
【分析】5种颜色看作5个抽屉，要保证一个抽屉中至少有3个苹果，最“坏”的情况是每个抽屉里有2个“苹果”，共有5210
?=，再取一个就能满足要求，所以一次至少要取出11个小球，才能保证其中至少有3个小球的颜色相同。
【练习19】从1，2，3，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？
【分析】1，2，3，4，9，10，1l，12，17，18，19，20，25，…，
这些数中任何两个数的差都不为4，这些数是每8个连续的数中选取前4个连续的数．
有1989÷8=248……5，所以最多可以选248×4+4=996个数．
评注：对于这类问题，一种方法是先尽可能的多选择，然后再找出这些数的规律，再计算出最多可以选出多少个.
【练习20】从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？
【分析】1，3，6，8，11，13，16，18，21，…，
这些数中任何两个数不连续且差不等于4，这些数是每5个连续的数中选择第1、3个数．
1993÷5=398……3.所以最多可以选398×2+2=798个数．
评注：当然还可以是1，4，6，9，11，14，16，19，21，…，
这些数满足条件，是每5个连续的数中选择第1、4个数．
但是此时最多只能选出398×2+l=797个数．
【练习21】证明：在任意的四个自然数中，其中必有两个数，它们的差能被3整除。
【练习22】学校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛同学任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必定有男生，求参赛的男生人数是多少？
【分析】因为参赛者中任何10人中必定有男生，所以女生人数必定不超过9人。另一方面，因为任意分成四组，必定有一组女生不少于2人，所以女生人数多于2419
?+=人，于是女生人数是9个，男生人数是46个。
【练习23】证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．
【分析】因为两个不同的两位数相减得到的差不可能为三位或三位以上的数．如果这个差是1l的倍数，那么一定有这个差的个位与十位数字相同．
两个数的差除以1l的余数有0、1、2、3、…、10这11种情况．将这11种情况视为11个抽屉．将12个数视为12个苹果，那么必定有两个苹果在同一抽屉，也就是说有两个数除以11的余数相同，那么它们的差一定是11的倍数．
而两个两位数的差一定是一个两位数，如果这个差是11的倍数，那么就有个数与十位数字相等．问题得证．
一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题， 在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11x n - ， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意” 方法、特殊值方法． 模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论 【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？ 【解析】 6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其 中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的． 利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”， 6511÷= ，112+=（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯 定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子． 【巩固】 把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼． 知识精讲 8-2抽屉原理
五年级下册抽屉原理提高题 五（下）数学兴趣班（8）（抽屉原理）班级姓名成绩 例题1 在40名同学中，至少有几位同学是在同一个月出生的？ 例题2 某旅行团一行50人，随意游览甲、乙、丙三个景区，至少 有多少人游览的地方完全相同？ 例题3 六一班的同学参加考试，最高分为100分，最低分为75分，每人的得分都是整数，并且班上至少有3人的得分相同，那么六一班至少有学生多少人？ 例题4 一副扑克牌有54张，至少从中取出多少张牌，才能保证其 中必有3种花色？（大小王不算花色） 例题5 任取6个自然数，其中至少有两个数的差是5的倍数，为什么？ 练习： 1、一个鱼缸中有很多金鱼，共有4个品种，至少要捞出几条金鱼，才能保证有两条金鱼是一个品种？ 2、某小区内住有居民1000人，在这些人当中，至少有多少人的属相相同？ 3、某班45人去春游，随意游览中山陵、夫子庙、总统府三个景区，每人至少要游览一个地方，至少有多少人游览的地方完全相同？ 4、架子上有4种不同的书，每名学生拿2本，要保证有3人所拿的结果一样，至少要有多少人去拿书？ 5、在一次数学测验中，某班的最高分为98分，最低分为83分，每人的得分都是整数，并且班上至少有4人的得分相同，该班至少有学生多少人？ 6、一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得6分；回答不完全正确。得5分；回答完全错误或不回答，得0分，至少多少人参加这次测验，才能保证至少3人的得分相同。（提示：先求一共可能出现多少种分值？） 7、任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？请说明理由。 8、一副扑克牌有54张，至少从中取出多少张牌，才能保证其中必
小学五年级逻辑思维学习—容斥原理 知识定位 容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。 1. 充分理解和掌握容斥原理的基本概念 2. 利用图形分析解决容斥原理问题 知识梳理 授课批注： 本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。 一. 容斥原理的概念 定义 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素个数。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成： |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|， 我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。 用法： 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数） 二.竞赛考点 1. 容斥原理的基本概念 2. 与数论相结合的综合型题目
例题精讲 【题目】在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。其中6人买了汽水，6人买了可乐，4人买了果汁，有 3人既买了汽水又买了可乐，1人既买了汽水又买了果汁，2人既买了可乐又买了果汁。问： (1)三样都买的有几人？ (2)只买一样的有几人？ 【题目】某班有学生46人，在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现，有电子琴的22人，两种琴都没有的14人，只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。问：只有电子琴的有多少人？ 【题目】以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？ 【题目】一次数学测验，甲答错题目总数的14，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的16 。求甲、乙都答对的题目数. 某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?
《抽屉原理》教学设计 教学内容：义务教育课程标准实验教科书六年级下册《抽屉原理》。教学目标： 1.知识与能力：初步了解抽屉原理，运用抽屉原理知识解决简单的实际问题。 2.过程和方法：经历抽屉原理的探究过程，通过动手操作、分析、推理等活动，发现、归纳、总结原理。 3.情感与价值：通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力；提高同学们解决问题的能力和兴趣。 教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。教具学具：课件、扑克牌、每组都有相应数量的笔筒、铅笔、书，各小组。备好自己的记分牌教学过程： 一、创设情景导入新课 师：同学们，昨天晚上与爸爸、妈妈做过导学案中的扑克牌游戏吗？取出两张王牌，在剩下的52张扑克牌中任意取出5张，我不看牌，我敢肯定的说：这5张牌至少有两张是同花色，大家相信吗？（师生演示） 师生共同做两轮抽牌游戏，让没有做过游戏的同学观察、思考、验证 师：为什么会出现这种情况呢？如何解释呢？今天我们就来探索这其
中的规律——抽屉原理 教师板书：抽屉原理 二、自主操作探究新知 1 活动) 一( 课件出示：把4枝铅笔放到3个笔筒里，可以怎么放？ 师：你们摆摆看，会有什么发现？把你们发现的结果用自己喜欢的方式记录下来。 1、学生动手操作，师巡视，了解情况。 2、汇报交流说理活动 学生动手操作，教师巡视，了解情况，并参与到较弱的小组中适当点拨：要把所有可能的情况摆出来 一个小组上台展示，四人操作，一人同时解说，教师协助学生将记录放在投影机上展示比较 教师展示数组的形式（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1），让学生比较认识到数组形式的简洁） 引导学生再认真观察记录，还有什么发现？并请刚才展示的小组回答板书：总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。 ③怎样摆可以一次得出结论？（启发学生用平均分的摆法，引出用除法计算。）板书：4÷3=1（枝）……1（枝） ④这样摆挺麻烦，那么怎样摆可以一次得出结论？各组摆摆、想想。
【第一篇方格涂色】把一个长方形画成 3 行 9 列共 27 个小方格， 然后用红、蓝铅笔任意将每个小方格涂上红色或蓝色。
是否一定有两列小方格涂色的方式相同？ 将 9 列小方格看成 9 件物品，每列小方格不同的涂色方式看成不 同的抽屉。 如果涂色方式少于 9 种，那么就可以得到肯定的答案。 涂色方式共有下面 8 种 9 件物品放入 8 个抽屉，必有一个抽屉的物品数不少于 2 件，即 一定有两列小方格涂色的方式相同。 【第二篇相同的四位数】用 1，2，3，4 这 4 个数字任意写出一 个 10000 位数，从这个 10000 位数中任意截取相邻的 4 个数字，可以 组成许许多多的四位数。 这些四位数中至少有多少个是相同的？ 猛一看，谁是物品，谁是抽屉，都不清楚。 因为问题是求相邻的 4 个数字组成的四位数有多少个是相同的， 所以物品应是截取出的所有四位数，而将不同的四位数作为抽屉。 在 10000 位数中，共能截取出相邻的四位数 10000-3=9997 个， 即物品数是 9997 个。 用 1，2，3，4 这四种数字可以组成的不同四位数，根据乘法原 理有 4×4×4×4=256 种，这就是说有 256 个抽屉。 9997÷256=3913，所以这些四位数中，至少有 40 个是相同的。 【第三篇取数字】从 1，3，5，7，，47，49 这 25 个奇数中至少
任意取出多少个数，才能保证有两个数的和是 52。 首先要根据题意构造合适的抽屉。 在这 25 个奇数中，两两之和是 52 的有 12 种搭配 ｛3，49｝，｛5，47｝，｛7，45｝，｛9，43｝， ｛11,41｝，｛13，39｝，｛15，37｝，｛17，35｝， ｛19，33｝，｛21，31｝，｛23，29｝，｛25，27｝。 将这 12 种搭配看成 12 个抽屉，每个抽屉中有两个数，还剩下一
个数 1，单独作为一个抽屉。 这样就把 25 个奇数分别放在 13 个抽屉中了。 因为一共有 13 个抽屉，所以任意取出 14 个数，无论怎样取，至
少有一个抽屉被取出 2 个数，这两个数的和是 52。 所以本题的答案是取出 14 个数。 【第四篇班级人数】 把 125 本书分给五 2 班学生，如果其中至少有 1 人分到至少 4 本
书，那么，这个班最多有多少人？ 这道题一下子不容易理解，我们将它变变形式。 因为是把书分给学生，所以学生是抽屉，书是物品。 本题可以变为 125 件物品放入若干个抽屉，无论怎样放，至少有
一个抽屉中放有 4 件物品，求最多有几个抽屉。 这个问题的条件与结论与抽屉原理 2 正好相反，所以反着用抽屉
原理 2 即可。 由 125÷4-1＝412 知，125 件物品放入 41 个抽屉，至少有一个
乘法原理(一) ［知识点］做一件事，如果需要分成n个步骤，做第一步有a1种不同的方法，做第二步有a2种不同的方法┅┅做第n步有an种不同的方法，那么完成这件事共有：N=a1╳a2╳┅┅an种不同的方法。 例：1. 从甲地到乙地有2班火车、3班汽车，那么从甲地到乙地乘汽车或火车共有多少种不同的走法。 2. 从甲地到乙地有2条路可以走，从乙地到丙地有3条路可以走，试问从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法。 3.小冬到书店去买书，他喜欢的数学书有5种，科幻小说有3种，歌曲集有2种，3种书他各买一本有多少种不同的选法 4、有足球、篮球、排球、垒球四种球，三个小朋友各选一件，那么共有多少种结果？ 5、有足球、篮球、排球、垒球四个球，三个小朋友各选一件，那么共有多少种结果？ 6、丰满区固定电话号码为七位数，以46开头，这样丰满区共有多少个电话号码？ 7、运行于南京和海之间的特快列车，中途要停靠六个车站。这列火车要准备多少种不同的车票？
乘法原理习题（一）姓名： 1.书架上有6本不同的数学书，4本不同的语文书，（1）从中任取一本书，有（）种不同的取法。（2）数学、语文书各取一本，有（）种不同的取法。 2.王英、赵明、李刚三人报名参加校运动会的跳高、跳远、100米跑和掷垒球四项中的一项比赛，问报名的结果会出现（）种不同的情形。 3.王芳有四件上衣，三条裤子，两双皮鞋，她能有（）天穿束不同？ 4. 往返于吉林到北京间的272次列车中途要停12站，问这个列车要准备（）种车票。 5. 一张桌子周围有四把椅子,三个客人坐这桌吃饭,共有( )种坐法。 6. 商店有三种小凳子，3.1班五名同学每人买一把，会有( )种结果. 7.某市的电话号码是七位数，首位不能是“0”，其余各位可以是0－9中任何一个数，这个城市最多可以容纳多少部电话？ 8. 两个学校进行围棋比赛，双方各出5名男运动员和3名女运动员；①每一方的一名队员都要和另一方的每一个运动员进行一场比赛，一共要进行（）场比赛。②若每一方的男队员和另一方的男队员都赛一场，每一方的女队员都要和另一方的女队中员赛一场，而男女队员之间不进行比赛，一共要比赛（）场。 9. 足球彩票竞猜欧洲13场比赛的结果，玩法是每场比赛的结果记一个数，如主队胜记3，平记1，主队负记0。这样形成一个13位数（每一位上只能是0、1、3三个数中的一个），如果买一注（猜一次）花2元钱，要花（）元钱才能确保肯定中得一等奖。 加试题:有人民币一元的4张，二元的2张，十元的3张，如果至少取一张，至多取9张可以配成( )种不同的钱数？
抽屉原则练习题 1、试说明: ⑴我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。 ⑵从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套 ⑶从数1，2，。。。，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。 2、在2010年出生的1000个孩子中,请你预测: （1）同在某月某日出生的孩子至少有个？ （2）至少有多少个孩子将来不单独过生日？ 3、某班有37名小学生,他们都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种,那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同？ 4、一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取张牌,才能保证其中必有3种花色. 5、“六一”儿童节布置会场，学校把鲜花插在9个花瓶里，最少要有多少朵鲜花才能保证至少有一个花瓶里有6朵或6朵以上的鲜花？
6、幼儿园大班的老师把61件玩具分给小朋友玩，要使其中至少有一个小朋友分到了3个玩具或3个以上的玩具，那么最多应有几个小朋友？ 7、口袋中有三种颜色的筷子各10根，问： ⑴至少取多少根才能保证三种颜色都取到？ ⑵至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？ ⑶至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？ 8、将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不超过11张，至少有多少名同学得到的卡片相同。 9、木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？ 10．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？
11、一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？ 12、篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？ 13．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？ 14．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________人。 15、一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？ 16.某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有___46___人带苹果。
广东省阳江市数学小学奥数系列8-2-1抽屉原理（一） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、 (共34题；共175分) 1. （5分）有5050张数字卡片，其中1张上面写着数字“1”，2张上面写着数字“2”，3张上面写着数字“3”…，99张上面写着数字“99”，100张上面写着数字“100”.现在要从中任意取出若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张完全相同的数字，至少要抽出多少张卡片？ 2. （5分）一个正方体有六个面，给每个面都涂上红色或白色，至少有三个面是同一颜色。为什么？ 3. （5分）在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。 4. （5分）有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子? 5. （5分）小明参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是36环，小明至少有一镖不低于8环，对吗？为什么？ 6. （5分）六(1)班有49名学生，数学高老师了解到期中考试该班英语成绩除3人外，均在86分以上后就说：“我可以断定，本班至少有4人成绩相同”。王老师说的对吗?为什么? 7. （5分） 9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9 条直线中至少有3 条通过同一个点。 8. （5分）从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34． 9. （5分）一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子堆成许多堆，其中有一个孩子发现从石子堆中任意选出六堆，其中至少有两堆石子数之差是5的倍数，你能说一说他的结论对吗？为什么？ 10. （5分）在下面每个格子中任意写上“爸爸”或“妈妈”，至少有几列所写的字是完全一样的?
主任签字： ___________ 授课目的：抽屉原理 二、授课内容：奥数 抽屉原理 基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k （k ≥1）个元素放到x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m ×x ×k （x ＞k ≥1）个元素放到x 个抽屉里，那么 至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a 、 构造抽屉，指出元素。b 、把元素放入（或取出）抽屉。C 、说明理由，得出结论。 本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。 在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达 到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式： 元素总数=商×抽屉数+余数 如果余数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是0，则最小数=商。 本次课后作业： 作业一份 四、学生对于本次课的评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 五、教师评定： 1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教师签字： 龙文教育个性化辅导授课案龙文教育教务处 https://www.doczj.com/doc/6b4085772.html,
个性化辅导讲义 课题最大最小问题推理问题 抽屉原理（一） 专题简析： 如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。 本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。 例题1： 某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？ 练习1：
位值原理 知识点汇总 一、一个多位数，可以拆成与它的每位数字相关的乘法算式之和。以三位数为例：abc就可以写成： ++。 a b c 10010 二、当位数较多时，如果将每位数字都拆开分析，那么算式过于繁琐。此时，可以根据题意把连续的几个 数位作为一个整体计算。 123、213、321中的三个1分别代表1个、1个、1个。 例1.在一个两位数的两个数字中间加一个0，那么所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数。（45） 例2.把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自然数的平方。那么这个和是多少？（121） 例3.有一个三位数是8的倍数，把它的百位数字与个位数字交换后得到的新三位数与原三位数的和恰好是1111，那么原三位数是多少？（704）
例4. 若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式： “5=8??学习好勤动脑勤动脑学习好”中， “学习好勤动脑”所表示的六位数最少是多少？（410256） 例5. 在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的9倍，那么这样的 三位数最小是多少？最大是多少？（225，675） 练习1. 在一个两位数的两个数字中间加一个0，那么所得的三位数比原数大5倍，求这个两位数。 练习2. 一个两位数等于其个位数字的平方与十位数字的和，这个两位数是多少？ 练习3. 一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7.试求两个数的差。
祝福母亲节母亲节祝福五月”中，相同的汉字代表相同的数字，不同汉字表示练习4.在等式“=?÷ 不同数字，其中“五”代表“5”，“月”代表“8”。那么“祝福母亲节”所代表最小的五位数是多少？ 练习5.有一个两位数，在它前面加上一个数字“3”可以得到一个三位数，在它后面加上一个数字“3”也得到一个三位数；在它前后各加上一个数字“3”得到一个四位数。已知得到的三个数的总和为3600，求原来的两位数。 课后复习与检测 课后总结（提炼重点难点）：
抽屉原理（一） 抽屉原理1：将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。 抽屉原理2：将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。 理解抽屉原理要注意几点：(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。 （2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。 （3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。 （4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。 例1、五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？ 分析与解：关键是构造合适的抽屉。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个不同分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。 44÷21= 2……2， 根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。 例2 、夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？ 分析与解：本题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的
知识要点 加法原理 【例1】 1~100的所有自然数中，是2或3的倍数的数有多少个？ 计数是数学中一个有趣的分支，它所涉及到的方法非常广泛，本节主要介绍关于重叠问题的计数——容斥原理，以及分类分步计数法——加乘原理。 容斥原理基本公式： A B A B A B =+- A B C A B C A B B C C A A B C =++---+ 加法原理： 如果完成一件事情有k 类方法，第一类方法有1m 种不同做法，第二类方法有2m 种不同做法，…第k 类方法有k m 种不同做法，则完成这件事情有123()k m m m m ++++种不同做法。 乘法原理： 如果完成一件事情有k 个步骤，第一步有1m 种不同做法，第二步有2m 种不同做法，…第k 步有k m 种不同做法，则完成这件事情有123m k k k k ??? ?种不同做法。 数学原理
【例2】（2009年中环杯决赛五年级）在不大于1000的自然数中，不能被3、5、7中任何一个整除的数共有（）个。 【例3】有一根长木棍，上有两种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等分；第二种刻度线将木棍分成十五等分。如果沿着每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成了多少段？ 【例4】A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种．
【例5】甲乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？ 【例6】七届中环杯初赛）妈妈要外地出差，临走前交给小李10粒糖，并告诉他每天吃1粒或者2粒，吃完为止.那么，小李有（）种不同的方法把糖吃完. 【例7】（第七届中环杯初赛）从2006到5550的整数中，十位数字与个位数字相同的数共有多少个？【例8】（第八届中环杯复赛）三位数中各位数之和为10的数共有（）个。 【例9】如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线？
五年级抽屉原理(一) 教师用稿
抽屉原理（一） 抽屉原理1：将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。 抽屉原理2：将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。 理解抽屉原理要注意几点：(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。 （2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。 （3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。 （4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。 例1、五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？ 分析与解：关键是构造合适的抽屉。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个不同分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。
44÷21= 2……2， 根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。 例2 、夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？ 分析与解：本题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”，所以应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品。营员数已经有了，现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。 因为“每人必须参加一项或两项活动”，共有3项活动，所以只参加一项活动的有3种情况，参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况，所以共有3+3=6（个）抽屉。 2000÷6=333……2， 根据抽屉原理2，至少有一个抽屉中有333+1=334（件）物品，即至少有334名营员参加的活动项目是相同的。 例3、把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？ 分析与解：这道题一下子不容易理解，我们将它变变形式。因为是把书分给学生，所以学生是抽屉，书是物品。本题可以变为：125件物品放入若干个抽屉，无论怎样放，至少有一个抽屉中放有4件物品，求最多有几个抽屉。这个问题的条件与结论与抽屉原理2正好相反，所以反着用抽屉原理2即可。由
五年级奥数专题-抽屉原理 如果将5个苹果放到3个抽屉中去,那么不管怎么放,至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。道理很简单,如果每个抽屉中放的苹果都少于2个,即放1个或不放,那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3,这与有5个苹果的已知条件相矛盾,因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。 同样,有5只鸽子飞进4个鸽笼里,那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。 以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”,也叫“鸽笼原理”。抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。 说明这个原理是不难的。假定这n个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到2件,那么每一个抽屉中的物品或者是一件,或者没有。这样,n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件,这与有多于n件物品的假设相矛盾,所以前面假定“这n 个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立,从而抽屉原理1成立。 从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2件,最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品,共放入n件物品,此时再放入1件物品,无论放入哪个抽屉,都至少有1个抽屉不少于2件物品。这就说明了抽屉原理1。 一、例题与方法指导 例1. 某幼儿园有367名1996年出生的小朋友,是否有生日相同的小朋友？ 分析与解：1996年是闰年,这年应有366天。把366天看作366个抽屉,将367名小朋友看作367个物品。这样,把367个物品放进366个抽屉里,至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。 例2. 在任意的四个自然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被3整除？ 分析与解：因为任何整数除以3,其余数只可能是0,1,2三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一个整数除以3的余数属于哪种情形,就将此整数放在那个“抽屉”里。 将四个自然数放入三个抽屉,至少有一个抽屉里放了不止一个数,也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3整除。 例3. 在任意的五个自然数中,是否其中必有三个数的和是3的倍数？ 分析与解：根据例2的讨论,任何整数除以3的余数只能是0,1,2。现在,对于任意的五个自然数,根据抽屉原理,至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数,于是可分下面两种情形来加以讨论。 第一种情形。有三个数在同一个抽屉里,即这三个数除以3后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍,故能被3整除,所以这三个数之和能被3整除。 第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里,那么每个抽屉里都有数,在每个
1、有一个6位数, 它的个位数字是6, 如果将6移至第一位前面时, 得到的新数是原数的4倍. 求这个数。（答案153846，解答：4xABCDE6=6ABCDE,可知E=4，D=8，C=3，B=5，A=1) 2、今年前5个月,小明每月平均存钱4.2元,从6月起他每月储蓄6元,那么从哪个月起小明的平均储蓄超过5元? （解答6-4.2=1.8，1.8x5=9，6-5=1，9÷1=9,9+5+1=15） 3.A、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了4次,得到下面4个数. 23, 26, 30, 33 。A、B、C、D 4个数的平均数是多少？ （23+26+30+33）÷4=27.5 抽屉原理的一种更一般的表述为： “把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。” 至少和最少的意思是一样的，并没有本质的区别。在抽屉原理中，“至少”和“最少”通常要和“保证”联系在一起看。 例如： 箱子中有黑白两种棋子，最少要拿多少颗棋子才能有2颗一样的颜色？ 箱子中有黑白两种棋子，至少要拿多少颗棋子才能有2颗一样的颜色？ 两题的答案都是2(因为没有保证，所以只需要考虑最好的情况就行了) 再例如： 箱子中有黑白两种棋子，最少要拿多少颗棋子才能保证有2颗一样的颜色？ 箱子中有黑白两种棋子，至少要拿多少颗棋子才能保证有2颗一样的颜色？ 两题的答案都是3(应用抽屉原理) 例如：某次数学、英语测试，所有参加测试者的得分都是自然数，最高得分198，最低得分169，没有得193分、185分和177分者，并且至少有6人得同一分数，参加测试的至少人？ ”这道题的答案应该是27×5+1=136呢？还是27+5=32呢？ 3、同样是上面这道题，把“至少”改为“最少”？ 4、同样是上面这道题，把最后两句倒一下，改为“参加测试的至少人，才能保证至少有6人得同一分数”，答案应该可以肯定为136了吧？
第24讲抽屉原理二 内容概述 抽屉原理在教字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用．能够根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还应构造出达到最佳状态的例子． 典型问题 兴趣篇 1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？ 答案：7 详解：60÷（8＋1）=6……6,6＋1=7个。 2．17名同学参加一次考试，考试题是3道判断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？ 答案：3 详解：答案的结果有23=8种情况，即8个抽屉。17÷8=2……1，2＋1=3名。 3．任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等． 详解：两位数的情况共4种：12,21,11,22。六位数可以截取出5个两位数，所以必有重复。 4．将1至6这6个自然数随意填在图2，4-1的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和 不小于8。 详解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7=21,21÷3=7，图形总共有3行，第一行只有一个数，最大填6，那么后两行至少有一行是大于7的整数，即不小于8。 5．从l，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数，请说明： (1)在这51个数中，一定有两个数的差等于50； 详解：构造差为50的抽屉：（1,51）、（2,52）、……、（50,100），共50个抽屉。选出51个数，必有两数来自一组，即差为50. (2)在这51个数中，一定有两个数差1． 详解：构造差为1的抽屉：（1,2）、（3,4）、……、（99,100），共50个抽屉。必有两数来自一组，即差为1.
抽屉原理 如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。 假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。这样n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件。这与有多于n个物品的假设相矛盾。说明抽屉原理1成立。 抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+l。 假定这n个抽屉中，每一个抽屉中的物品都不到（m+l）件，即每个抽屉里的物品不多于m件，这样n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。这与多于m×n件物品的假设相矛盾。说明原来的假设不成立。所以抽屉原理2成立。 运用抽屉原理解题的关键是选好“抽屉”，而构造“抽屉”的方法多种多样，会因题而异。运用原理1还是原理2要看题目的问题和哪一个更直观。抽屉原理2实际上是抽屉原理1的变形。 【例1】★某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？ 【解析】平年一年有365天，闰年一年有366天。把天数看做抽屉，共366个抽屉。把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。 【小试牛刀】某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？【解析】1992年共有366天，把它看成是366个抽屉，把370个人放入366个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有2个学生的生日是同一天的。 【例2】★某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 【解析】首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7种类型，把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2人，那么去的人数应大于抽屉数。所以至少要去7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。 买书的类型有： 买一本的：有语文、数学、外语3种。 买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。 买三本的：有语文、数学和外语1种。 3+3+1=7（种）把7种类型看做7个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同的书，至少要去8位学生。 【小试牛刀】某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本的、二本的、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书
抽屉原理教学设计 黄山区耿城中心学校石磊 【教学内容】 《义务教育课程标准实验教科书数学》（人教版）六年级下册第68—71页。 【设计理念】 本课充分利用学生的生活经验，为学生自主探索提供时间和空间，引导学生通过观察、实验、推理和交流等活动，经历探究“抽屉原理”的过程，学会用一般性的数学方法思考问题，培养学生的数学思维能力，发展学生解决问题的能力。 【学情与教材分析】 “数学广角”是人教版六年级下册第五单元的内容。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题，如任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在
就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。本节课教材借助把4枝铅笔放进3个文具盒中的操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉原理”，即把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m>n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。关于这类问题，学生在现实生活中已积累了一定的感性经验。教学时可以充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。 【教学目标】 1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。 2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。 3．培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。 4．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。提高学生解决数学问题的能力和兴趣。
抽屉原理 例题1 从1 2 3 … 100 这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定有：（1）2个数互质（2）2个数的差为50 （3）8个数，他们的最大公约数大于1 练习1从1 2 3 … 50 这50个数中取出若干个数使其中任意2个数的和都不能被7整除。最多可取多少个数？ 例题2 问在1,3,5,7…97,99 这50个数中，最多能取出多少个数，使其中任何一个数都不是另一个数的倍数？ 练习2 从1.2.3.4 … 1988 .1989 这些自然数中，最多可以取多少个数，其中每2个数的差不等于4。 例题3 在一个边长为1的正方形内（含边界），任意给定9个点（其中没有3点共线）证明：在以这些点为顶点的各个三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于1/8。 练习3 一个边长为1的等边三角形内，任意放置10 个点，试说明，至少有2个点之间的距离不超过1/3。 例题4 如图是一个3行10列共30个小正方形的长方形，现在把每个小方格涂上红色或者黄色，请证明无论怎样涂法一定能找到2列，他们的涂色方式完全相同
练习4 给出一个3行9列共27个小方格的长方形，将每个小方格随意涂上白色或者红色，求证：无论如何涂色，其中至少有2列涂色方式相同。 例题5 一副扑克牌有54张，最少要抽出几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？ 例题6 将全体自然数按照它们的个位数字，分为10类，个位数字是1的为第一类，个位数为2的为第二类，….个位数为9的为第九类，个位数为0的为第十类。 {1}任意取出6个互为不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？ {2}任意取出7个互为不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？ 如果一定，请简要说明理由，如果不一定，请举出一个反例。 练习6 现有64个乒乓球，18个乒乓球盒子。每个盒子最多可以放6个乒乓球，如果把这些球全部放到盒子里，不许有空盒，那么至少有几个乒乓球盒子里的乒乓球数量相同？ 分一分 1.你能将1~16分成4份，每份4个数，使这4份中的4个数和相等吗？ 2. 你能将1~15分成5份，每份3个数，使这5份中的3个数和相等吗？ 练习: 1.一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张牌，从中任意抽牌，问最少要抽几张牌，才 能保证有4张牌是一个花色的？