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学科培优数学“加法原理和乘法原理综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲力求让学生懂得并运用加法乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法来解决问题知识梳理乘法原理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤,每个步骤又有多种方法,当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地,如果完成一件事需要n个步骤,其中,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法 ,…,做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步,步步相关”.加法原理无论自然界还是学习生活中,事物的组成往往是分门别类的,例如解决一件问题的往往不只一类途径,每一类途径往往又包含多种方法,如果要想知道一共有多少种解决方法,就需要用到加法原理.加法原理：一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法 ,…,第k类方法中有mk种不同的做法,则完成这件事共有N= m1 + m2 +…+mk 种不同的方法.加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类,类类独立”.例题精讲【试题来源】【题目】从五年级8个班中评选出学习、体育、卫生先进集体,如果要求同一个班级只能得到一个先进集体,那么一共有多少种评选方法？【试题来源】【题目】用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字,相邻的字颜色不同,共有多少种写法？【试题来源】【题目】北京到广州之间有10个站,其中只有两个站是大站（不包括北京、广州）,从大站出发的车辆可以配卧铺,那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？【试题来源】【题目】7个相同的球放在4个不同的盒子里,每个盒子至少放一个,不同的放法有多少种？【试题来源】【题目】如图所示,沿线段从A 走最短路线到B 有多少种走法？【试题来源】【题目】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读,那么共有多少种不同的选择？GD F CE BA106343211111BA【试题来源】【题目】用1,2,3,4这4个数字,组成各位数字互不相同的四位数,例如1234,4321等,求全体这样的四位数之和．【试题来源】【题目】某条铁路线上,包括起点和终点在内原来共有7个车站,现在新增了3个车站,铁路上两站之间往返的车票不一样,那么,这样需要增加多少种不同的车票？【试题来源】【题目】用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.【试题来源】【题目】12个人围成一圈,从中选出三个人,其中恰有两人相邻,共有多少种不同选法？【试题来源】【题目】A、B、C三个小朋友互相传球,先从A开始发球(作为第一次传球),这样经过了5次传球后,球恰巧又回到A手中,那么不同的传球方式共多少种．【试题来源】【题目】在2000到2999这1000个自然数中,有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？【试题来源】【题目】将一些数字分别填入下列各表中,要求每个小格中填入一个数字,表中的每横行中从左到右数字由小到大,每一竖列中从上到小数字也由小到大排列。
五年级上册数学解方程原理
五年级上册数学解方程的原理主要是基于等式的性质。
首先，等式的性质告诉我们，如果等式的两边同时加上或减去同一个数，那么等式仍然成立。
这个性质在解方程时非常重要，因为它允许我们在等式的两边同时进行相同的操作，从而简化问题。
其次，等式的性质还告诉我们，如果等式的两边同时乘或除以同一个非零数，那么等式仍然成立。
这个性质在解方程时也很有用，因为它允许我们在等式的两边同时进行相同的数学运算，从而得到新的等式。
在解方程时，我们通常会使用这些性质来消去方程中的未知数。
例如，如果我们有一个方程2x+5=10，我们可以先从等式的两边同时减去5，得到2x=5.然后再从等式的两边同时除以2，得到x=2.5.这样我们就找到了方程的解。
总的来说，五年级上册数学解方程的原理就是利用等式的性质来简化问题，找到未知数的值。
“位值原理与数的进制”学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，=1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。
【试题来源】【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【试题来源】【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
第九讲组合三大原理总结每周一爽【例1】（难度等级 ※）有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【分析与解】取1根火柴有1种方法，取2根火柴有2种方法，取3根火柴有4种取法，以后取任意根火柴的种数等于取到前三根火柴所有情况之和，以此类推，参照上题列表如下：1根2根3根4根5根6根7根8根9根10根11根12根1 2 4 7 13 24 44 81 149 274 504 927 取完这堆火柴一共有927种方法。
【例2】（难度等级 ※）（2005年走美杯决赛）某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有104人，在这次决赛中至少有（）人得满分？【分析与解】没得满分的人每人做对3题时，得满分的人最少，所以至少有136+125+118+104-160×3=3（人）。
【例3】（难度等级 ※※）计算机上编程序打印出前10000个正整数：1、2、3、……、10000时，不幸打印机有毛病，每次打印数字3时，它都打印出x，问其中被错误打印的共有多少个数？【分析与解】共有10000个数，其中不含数字3的有：五位数1个，四位数共8×9×9×9=5832个，三位数共8×9×9=648个，二位数共8×9=72个，一位数共8个，不含数字3的共有1＋5832＋648＋72＋8=6561 所求为10000－6561=3439个。
【例4】（难度等级 ※※）在1,2,3,…，2013,2014这2014个自然数中，最多能取出（）个数，使取出的这些数中任意两个不同的数的和都不是9的倍数。
【分析与解】这些数按照除以9的余数分类，有0、1、2、3、4、5、6、7、8，因为9=1+8=2+7=3+6=4+5，所以（1,8），（2,7），（3,6），（4,5）这四组余数中最多只能各选一个，因为2014除以9商为223，余数为7，所以我们选择所有除以9的余数为1,2,3,4的数和一个能被9整除的数，总共可以有224+224+224+224+1=897（个）。
小学五年级上册数学教案：数学原理与实践案例分析数学原理与实践案例分析随着各项科技的不断发展，数学已经成为人们必须具备的基本能力之一。
数学教育是一项长期而重要的事业，而小学五年级上册数学教案的编写和实践则是数学教育的重要一环。
在这篇文章中，我们将着重分析小学五年级上册数学教案的数学原理和实践案例。
此外，我们会通过案例分析的方式，来说明数学原理在实践中的应用。
一、数学原理数学原理是所有数学学科的基础，也是数学教育的大门和窗口。
小学五年级上册数学教案的编写必须符合数学原理，这是确保教育质量和水平的关键。
1.数学的系统性原理数学是一门系统科学。
这就要求我们在教学过程中，应该按照数学的系统性原则来组织课程和安排教学内容。
比如，我们要让学生掌握数的大小比较、小数的概念和运算规则，以及整数的概念和运算，这些知识都应该在系统的框架下，逐步有计划的进行。
2.数学的逻辑性原理数学是一门具有严格的逻辑性的科学。
这就要求我们在教学过程中，应该注重思维训练，让学生在逻辑分析中提高自己的思维能力。
比如，我们可以让学生通过解一些简单的数学问题，来训练逻辑推理和思维能力。
3.数学的实用性原理数学是一门非常实用的科学。
在教学过程中，应该注重实用性原则，关注数学知识在实际中的应用。
比如，我们可以让学生通过测量长度、体积、重量等常见量的实际情况，来体会数学知识在实际中的应用。
二、实践案例分析教育实践才是考验数学原理的时候，它能够验证数学知识是否符合生活以及实际应用。
下面我们就来看看小学五年级上册数学教案中概念的具体实践案例，并探究如何应用数学原理来实现更好的教学效果。
1.十进位制在小学五年级的数学课上，学生们要掌握的一个重要概念是“十进位制”。
十进位制也被称为“阿拉伯数码”，在比较大小、算数运算、小数等方面起着非常重要的作用。
为了让学生更好的掌握十进位制的概念，我们可以依照数学系统性原则和逻辑性原则来设计教学内容，让学生逐步掌握十进位制的概念及其运用。
出入相补原理是五年级数学学习中重要的方法技巧之一，主要是用于
解决一些平衡问题，即把一些不平衡的数量变成平衡的数量。
此外，它还
可以用于解决几个均等之间的关系，或者把不等式化为等式。
出入相补原理是指：当你在一边出去的时候，另一边就要相应地补入，即出入相补，以重新使系统保持平衡。
出入相补原理可以用于解各种数学题，常用于解释数量问题，是一种常用的数学方法。
出入相补原理的思想基本是“等量交换”的思想，当出去的时候，就
要补足，使整个体系保持平衡。
它最常用的场景是实物交换，当一边出去
一样实物，另一边就要补充一样实物，以保持整体的均衡。
出入相补原理也可以用于解决一些数量问题，如给定一组数，要求求
解使这组数能够变成等额的，这时可以采用出入相补原理，把不等的数量
变成等式，使得孩子有更多的机会去探索数学思想。
操作起来也很简单，首先要仔细观察题目中给定的数，确定它们的不
平衡的数量关系，然后再考虑出入相补的变化，使得题目得到正确的解决。
需要注意的是，在操作的时候，要准确地标出出入相补的数量关系，也可
以采用画图法，以便更直观地了解出入相补的变化。
出入相补原理的实践也是很多解数学题的基础。
知识要点一般地，从n 个不同元素中取出m 个（m ≤n ）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关。
如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。
从n 个不同元素中取出m 个元素（m ≤n ）的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数。
记作m n C 或m n ⎛⎫⎪⎝⎭。
接下来研究如何求组合数。
举个例子，从3个不同元素a ，b ，c 的当中取出2个元素的组合数是多少？由于从3个不同元素中取出2个的排列数可以求得，我们可以考察一下组合数与排列数的关系，从3个不同元素a ，b ，c 中取出2个元素的组合与排列的关系如下：a b ， a b ，;b a ， b c ， b c ，;c b ， a c ， a c ，;c a ，从上面可以看出，每一个组合对应着2个排列。
因此，求从3个不同的元素中取出2个元素的排列数，可以分为以下两步：第一步,考虑从3个不同元素中取出2个元素的组合，由组合数公式，有23C 种取法； 第二步，对每一个组合中的2个不同元素作全排列，有22P 种排法。
根据乘法原理,222332P C P =⨯。
因此，组合数222332(32)23C P P =÷=⨯÷=。
在数学中可以把a b ÷（0b ≠）记作a b，其中a 叫做分子，b 叫做分母，所以223322P C P =一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步： 第一步,从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m C 种方法；组 合组合的计算【例 1】 计算：①26C ，46C ；②27C ，57C【例 2】 计算：①198200C ； ②5556C ； ③981001001002C C -【例 3】 计算：⑴ 312C ；⑵ 9981000C ；⑶ 2288P C -．简单组合【例 4】 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条? 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法。
知识要点加法原理【例1】 1~100的所有自然数中，是2或3的倍数的数有多少个？计数是数学中一个有趣的分支，它所涉及到的方法非常广泛，本节主要介绍关于重叠问题的计数——容斥原理，以及分类分步计数法——加乘原理。
容斥原理基本公式：A B A B A B=+- A B C A B C A B B C C A A B C =++---+ 加法原理：如果完成一件事情有k 类方法，第一类方法有1m 种不同做法，第二类方法有2m 种不同做法，…第k 类方法有k m 种不同做法，则完成这件事情有123()k m m m m ++++种不同做法。
乘法原理：如果完成一件事情有k 个步骤，第一步有1m 种不同做法，第二步有2m 种不同做法，…第k 步有k m 种不同做法，则完成这件事情有123m k k k k ⨯⨯⨯⨯种不同做法。
数学原理【例2】（2009年中环杯决赛五年级）在不大于1000的自然数中，不能被3、5、7中任何一个整除的数共有（）个。
【例3】有一根长木棍，上有两种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等分；第二种刻度线将木棍分成十五等分。
如果沿着每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成了多少段？【例4】A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种．【例5】甲乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？【例6】七届中环杯初赛）妈妈要外地出差，临走前交给小李10粒糖，并告诉他每天吃1粒或者2粒，吃完为止.那么，小李有（）种不同的方法把糖吃完.【例7】（第七届中环杯初赛）从2006到5550的整数中，十位数字与个位数字相同的数共有多少个？【例8】（第八届中环杯复赛）三位数中各位数之和为10的数共有（）个。
【例9】如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线？GFE D C B A【例10】 如下图所示，要从A 点沿线段走到B 点，要求每一步都是向右、向上或者是向斜上方。
知识要点加法原理【例1】 1~100的所有自然数中，是2或3的倍数的数有多少个？计数是数学中一个有趣的分支，它所涉及到的方法非常广泛，本节主要介绍关于重叠问题的计数——容斥原理，以及分类分步计数法——加乘原理。
容斥原理基本公式：A B A B A B=+- A B C A B C A B B C C A A B C =++---+ 加法原理：如果完成一件事情有k 类方法，第一类方法有1m 种不同做法，第二类方法有2m 种不同做法，…第k 类方法有k m 种不同做法，则完成这件事情有123()k m m m m ++++种不同做法。
乘法原理：如果完成一件事情有k 个步骤，第一步有1m 种不同做法，第二步有2m 种不同做法，…第k 步有k m 种不同做法，则完成这件事情有123m k k k k ⨯⨯⨯⨯种不同做法。
数学原理【例2】（xx年中环杯决赛五年级）在不大于1000的自然数中，不能被3、5、7中任何一个整除的数共有（）个。
【例3】有一根长木棍，上有两种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等分；第二种刻度线将木棍分成十五等分。
如果沿着每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成了多少段？【例4】A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种．【例5】甲乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？【例6】七届中环杯初赛）妈妈要外地出差，临走前交给小李10粒糖，并告诉他每天吃1粒或者2粒，吃完为止.那么，小李有（）种不同的方法把糖吃完.【例7】（第七届中环杯初赛）从2006到5550的整数中，十位数字与个位数字相同的数共有多少个？【例8】（第八届中环杯复赛）三位数中各位数之和为10的数共有（）个。
【例9】如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线？GFE D C B A【例10】 如下图所示，要从A 点沿线段走到B 点，要求每一步都是向右、向上或者是向斜上方。
知识要点1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。
一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关。
一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．排列组合n m ⋅⋅-+）（n m -+）（开始，后面每个因数比前一个因数小，共有m 个因数相乘。
一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为1321n n ⋅-⋅⋅⋅⋅⋅（）（）．个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因还可以写为：n n P =321⋅⋅⋅⋅）日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种我们将着重研究有多少种分组方法的问题。
容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单,是计数问题中比较浅的一支。
这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。
这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知识结合出题,所以对学生的理解层次要求较高,学生必须充分理解、吃透。
1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透,这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A 的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|,我们称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：A∩B,即阴影面积。
用法：包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数,可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）二.竞赛考点1. 容斥原理的基本概念2. 与数论相结合的综合型题目例题精讲【试题来源】【题目】在一个炎热的夏日,10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
其中6人买了汽水,6人买了可乐,4人买了果汁,有 3人既买了汽水又买了可乐,1人既买了汽水又买了果汁,2人既买了可乐又买了果汁。
问：(1)三样都买的有几人？(2)只买一样的有几人？【试题来源】【题目】某班有学生46人,在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现,有电子琴的22人,两种琴都没有的14人,只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
两个集合的容斥原理用式子表示成：A ∪B ＝A ＋B －A∩B(其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。
)三个集合的容斥原理用式子表示为：A ∪B ∪C ＝A ＋B ＋C －A∩B －B∩C －A∩C ＋A∩B∩C(第五届“聪明小机灵”小学数学邀请赛(复赛)试题四年级)儿童会有成员567人，有两个议案要投票表决是否赞同。
每个人各投一票，则结果为赞成第一议案的有345人，赞成第二议案的有234人，同时反对第一和第二议案的有123人。
同时赞成第一和第二议案的有_______人。
(两个议案每个人都必须投赞成票或反对票)某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。
学校对100名学生进行调查，结果发现有58人喜欢上数学课，有38人喜欢上语文课，有52人喜欢上英语课，既喜欢上数学又喜欢上语文的有18人，既喜欢上英语又喜欢上语文的有16人，三门功课都喜欢的有12人，如果被调查学生都至少有1门喜欢的课，请问有多少同学既喜欢上数学又喜欢上英语？有多少名同学只喜欢英语课？在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。
如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？50名同学面向老师站成一行。
老师先让大家从左至右按1，2，3…49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。
问：现在面向老师的同学还有多少名？有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序标号为1，2，3…2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，3次拉完后亮着的灯有多少盏？测试题1．京华小学五年级学生采集标本。
知识要点在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题。
在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关。
根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同。
如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列。
排列的基本问题是计算排列的总个数。
从n 个不同的元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P 或m n A 。
根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的（1n -）个元素中任取一个元素排在第二位，有（1n -）种方法；……步骤m ：从剩下的[()1n m --]个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有()11n m n m --=-+ 种方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是()()()121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+L L ，即()()()121m n P n n n n m =---+L L ，这里，m ≤n ，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘。
排 列简单排列【例 1】 计算：（1）25P （2）4377P P -【例 2】 计算：⑴ 23P ；⑵ 32610P P -【例 3】 计算：⑴321414P P -； ⑵53633P P -．【例 4】 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【例 5】 在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号。
如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？【例 6】 幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子（每把椅子只能坐一个人），有多少种坐法？【例 7】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？【例 8】4名同学到照相馆照相。
五年级奥数加乘原理之数字问题（一）学生版2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法解决问题．在分类讨论中结合分步分析,在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类,哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．一、加乘原理概念 生活中常有这样的情况：在做一件事时,有几类不同的方法,在具体做的时候,只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成,并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法,就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时,要分几步才能完成,而在完成每一步时,又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法,就要用到乘法原理来解决．二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成,这几步缺一不可,所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中,加法原理和乘法原理都不是单独出现的,这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理,综合分析,正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类,类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的．．．．．,这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步,步步相关”．【例 1】 由数字1,2,3 可以组成多少个没有重复数字的数？【考点】加乘原理之综合运用 【难度】2星 【题型】解答教学目标例题精讲知识要点7-3-2.加乘原理之数字问题（一）【解析】因为有1,2,3共3个数字,因此组成的数有3类：组成一位数；组成二位数；组成三位数．它们的和就是问题所求．⑴组成一位数：有3个；⑵组成二位数：由于数字可以重复使用,组成二位数分两步完成；第一步排十位数,有3种方法；第二步排个位数也有3种方法,因此由乘法原理,有326⨯=个；⑶组成三位数：与组成二位数道理相同,有326⨯=个三位数；所以,根据加法原理,一共可组成36615++=个数．【答案】15【例 2】用数字1,2,3可以组成6个没有重复数字的三位数,这6个数的和是。
第3讲乘法原理和加法原理（一）姓名得分【例1】马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。
问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？【例2】从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。
问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？【例3】用数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？【例4】用数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个三位数（各位上的数字不允许重复）？【例5】用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？【举一反三】1.甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。
从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？2.要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？【例6】从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。
问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？【例7】有红、黄、蓝小旗各一面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，做出不同的信号，一共可以做出多少种不同的信号？【例8】两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？【举一反三】从19、20、21、22、…93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法共有多少种？第4讲乘法原理和加法原理（二）姓名得分【例9】1995的数字和是1+9+9+5=24，问：小于2000的四位数中，数字和等于24的数共有多少个？【举一反三】从1---9这九个数中，每次取2个数，这两个数的和必须大于10，能有多少种取法。
【例10】从3名男生与2名女生中选出3名三好学生，其中至少有一名女生，共有多少种选法？【举一反三】从8个班选11个三好学生，每班至少1名，共有多少种不同的选法。
【例11】有3个工厂共订300份《南方日报》，每个工厂最少订99份，最多订101份，一共有多少种不同的订法？【举一反三】把12支铅笔分给3个人，每人分得偶数支，且最少得2支，共有多少种分法？【例12】一位小朋友横着一排画了6个苹果，其中至少有3个苹果连在一起画的方法有多少种？【例13】在左下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？【举一反三】左下图是某街区的道路图。
知识要点容斥原理【例1】 某班一共24人，每人至少订阅一份报纸，订阅数学报的有18人，订阅语文报的有16人，数学报和语文报都订阅的有多少人？计数是数学中一个有趣的分支，它所涉及到的方法非常广泛，本节主要介绍关于重叠问题的计数——容斥原理，以及分类分步计数法——加乘原理。
容斥原理基本公式：A B A B A B=+-U I A B C A B C A B B C C A A B C =++---+U U I I I I I 加法原理：如果完成一件事情有k 类方法，第一类方法有1m 种不同做法，第二类方法有2m 种不同做法，…第k 类方法有k m 种不同做法，则完成这件事情有123()k m m m m ++++L 种不同做法。
乘法原理：如果完成一件事情有k 个步骤，第一步有1m 种不同做法，第二步有2m 种不同做法，…第k 步有k m 种不同做法，则完成这件事情有123m k k k k ⨯⨯⨯⨯L 种不同做法。
数学原理【例2】少先队员外出旅游，途经一个小卖部，有15人要喝可乐，有12人要喝雪碧，有4人既要可乐，又要雪碧，没有人不喝饮料。
问有多少少先队员参加这次旅游？【例3】有100种食品.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是多少？【例4】图书室有100本书，借阅图书者要在图书上签名.已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33、44和55本，其中同时有甲、乙签名的有29本，同时有甲、丙签名的有25本，同时有乙、丙签名的有36本.问这批图书中至少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？【例5】某年级的课外学科小组分语、数、外三个小组，参加语数外三个小组的人数分别为27人，23人和18人，同时参加语数、数外、语外小组的人数分别是4人、7人、5人，三个小组都参加的有2人。
问这个年级参加课外小组的共有多少人？【例6】某学校组织学生订阅报纸，学校一共400人，订阅数学报的有180人，订阅语文报的有160人，订阅科技报的有320人，三种报纸都订了的有50人，每个人都至少订了一种报纸，有多少人订阅了两份报纸？【例7】四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数五年级三班学生参加课外【例8】兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．【例9】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．【例10】新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．【例11】五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个。
其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？【例12】全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么，⑴数学成绩优秀的有几个学生？⑵有几个人既会游泳，又会滑冰？【例13】数学竞赛给出,,A B C三道题，有25人参加竞赛，每个学生至少能解出一道题，在没有解出A题的学生中，解出B题的人数是解出C题人数的两倍，只解出A题的人数比其余解出A题的人数多1人，在只解出一题的学生中有一半不能解出A题，试求只解出B题的人数。
CB Atvuwz yx【例14】五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有_______人．加法原理【例1】1~100的所有自然数中，是2或3的倍数的数有多少个？【例2】1～2003的所有自然数中，是5或8的倍数的数共有多少个？【例3】1~143的所有自然数中既不是11的倍数，又不是13的倍数的数有多少个？【例4】（2009年中环杯决赛五年级）在不大于1000的自然数中，不能被3、5、7中任何一个整除的数共有（）个。
【例5】求分母为143的最简真分数的个数。
【例6】求分母为105的最简真分数的个数。
【例7】问以2009为分母的最简真分数有多少个？【例8】分母是4900的最简真分数有多少个？【例9】以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【例10】分母是6300的最简真分数有多少个？【例11】在1~10000之间，既不是完全平方数，又不是完全立方数的那些整数有多少个？【例12】有一根长木棍，上有两种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等分；第二种刻度线将木棍分成十五等分。
如果沿着每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成了多少段？【例13】A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种．【例14】甲乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？【例15】一个盒子内装有5个小球，另一个盒子内装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同，问：（1）从两个盒子内任取一个小球，有多少种不同的取法？【例16】一个口袋里装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同.从这些小球中任意取出3个球，有多少种不同的取法？【例17】将17个足球分给七个班级，每班至少分两个，有多少种不同的分法？【例18】（第七届中环杯初赛）妈妈要外地出差，临走前交给小李10粒糖，并告诉他每天吃1粒或者2粒，吃完为止.那么，小李有（）种不同的方法把糖吃完.【例19】（第七届中环杯初赛）从2006到5550的整数中，十位数字与个位数字相同的数共有多少个？【例20】（第八届中环杯复赛）三位数中各位数之和为10的数共有（）个。
【例21】某班对45名同学进行了体检，其中有15人近视，有11人超重，既近视又超重的有4人。
问该班有多少人既不近视又不超重？【例22】用0,1,2,3,4五个数字组成四位数，每个四位数中的数字都不相同，（如：1023,2341），求全体这样的四位数之和。
【例23】 由1,2,3,4,5这五个数组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152的数？【例24】 有1~200这二百个整数，从中任意抽出一个数，它是6的倍数或者8的倍数的可能性是几分之几？【例25】 在某项自行车比赛的第二站中，第一站的前四名选手又都进入了前四名。
除了第一名冠军外，恰好排在其他选手前的运动员都不是一站的那个。
问可能的排列情况有多少种？ 【例26】 如图所示，沿线段从A 到B 有多少条最短路线？GFE D C B A【例27】如下图所示，要从A点沿线段走到B点，要求每一步都是向右、向上或者是向斜上方。
问有多少种不同的走法？BA【例28】在期中考试中，同学甲、乙、丙、丁分别为第一、二、三、四名，在期末考试中他们又是班上的前四名。
如果他们中只有一位的排名与期中考试相同，那么有多少种可能？【例29】奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由5个字母a、b、c、d、e组成，并且所有的单词都有着如下的规律，⑴字母e不打头，⑵单词中每个字母a后边必然紧跟着字母b，⑶c和d不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？【例30】从6名运动员中选出4人参加4100接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种：⑴甲不能跑第一棒和第四棒；⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒【例31】学号为1,2,3,4的四名同学计划吃掉10个馒头，每个同学都必须吃馒头，并且吃掉的都是整数个馒头，任何一位同学吃的馒头个数都不可以和自己的学号数相同。
问有多少种不同的吃法？【例32】若干台计算机联网，要求：①任意两台之间最多用一条电缆连接；②任意三台之间最多用两条电缆连接；③两台计算机之间如果没有连接电缆，则必须有另一台和它们都有连接。
若按照这个要求最少需要连79条电缆，问：⑴参加联网的计算机有多少台？⑵这些计算机按照要求联网，最多可以连多少条电缆？【例33】由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第个。
【2008年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛】【例34】一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数．问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996个数是多少?乘法原理【例1】一个盒子内装有5个小球，另一个盒子内装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同，问：从两个盒子内各取一个小球，有多少种不同的取法？【例2】将1个篮球和16个足球分给七个班级，每班至少分两个，有多少种不同的分法？【例3】 如图所示，地图上有,,,A B C D 四个区域，现在用红蓝黄绿四种颜色给地图染色，使相邻区域的颜色不同，问有多少种不同的染色方法。
D C BA【例4】参加会议的人见面都要握手一次，如果每人都要和其他人握手一次，一共握手136次，那么参加会议的人数是多少？【例5】从7名候选人中，首先选出一名班长，再选出4名班干部，共有多少种不同的选法【例6】若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有多少种？【例7】从8人的数学兴趣小组中选2人，①分别担任正副组长，有多少种不同的选法？②一起参加一次数学竞赛，有多少种不同的选法？【例8】车间内亮着50盏灯，编号为1~50，有50名工人，第一个工人把编号为1的倍数的灯的开关拉一下，第二个工人把编号为2的倍数的灯的开关拉一下，第三个工人把编号为3的倍数的灯的开关拉一下……，以此类推，问，当50名工人都拉过一遍开关之后，哪些灯被关掉了？【例9】7个人排成一排照相，其中甲乙丙3人必须排在一起，有多少种不同的排法？【例10】有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有多少种？一课一练【练习1】1~50的所有自然数中，是3或5的倍数的数有多少个？【练习2】分母是209的最简真分数有多少个？【练习3】1~300这300个自然数中，既不是3的倍数又不是7的倍数的数一共有多少个？【练习4】某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么两个小组都不参加的有多少人？【练习5】某班一共24人，每人至少订阅一份报纸，订阅数学报的有18人，订阅语文报的有16人，数学报和语文报都订阅的有多少人？【练习6】有一根长180厘米的绳子，从一端开始，每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断。
