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容斥原理--奥数专题(课件)-2021-2022学年数学五年级上册 全国通用

容斥原理--奥数专题(课件)-2021-2022学年数学五年级上册 全国通用

拔河
解： 参加运动的人：
26人
19＋26＋17 －8－6－7
=62－21
=41（人）
6人
没参加运动的人：50－41=9（人）
百米 19人
8人
7人
答：这个班没参加运动项目的有9人。
乒乓球 17人
练习题1
某班有50人，已知会滑冰的有25人，会游泳的有28人，两样都会的 有7人，那么两样都不会的有几人？
2. 第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人， 做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第 一小组共有多少人？
3. 一个外国旅游团中，每个人都会英语、德语、日语这三种语言中 的一种。会讲英语的有36人，会讲德语的有15人，会讲日语的有7人， 同时会讲英语和日语的有6人，同时会讲英语和德语的有10人，同时会 讲德语和日语的有3人，三种语言都会讲的有2人，这个外国旅游团共 有多少人？
练习题2
三个圆的面积相等，都是50平方厘米，每两个圆相交的面积是 8平方厘米、10平方厘米和12平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘米， 三个圆盖住的面积是多少平方厘米？
例二 有26人报名参加拔河比赛，有19人参加百米赛，有17人参加 乒乓球赛，有8人参加拔河赛和百米赛，有6人参加拔河赛和乒乓球 赛，有7人参加百米赛和乒乓球赛，没有人三项运动都参加，这个班有50 人，没参加运动项目的有多少人？
容斥原理
容斥原理： 人们在统计一些数量时，有些数量是重复出现的，
在计数时通常先不考虑重复的数，而是把题中所有对象的数目计算出来， 然后再将重复的数量减去，使计算结果无遗漏、无重复。这种计数原理 称为包容与排除原理，也称为容斥原理。
韦恩图：解决容斥问题，需要画出韦恩图。用一个椭圆表示题中的一个量。

五年级下册数学奥数课件11较复杂的容斥原理人教版(21张PPT)

五年级下册数学奥数课件11较复杂的容斥原理人教版(21张PPT)
动手做一做吧！
A：10×10=100﹙cm2﹚ B：8×8=64﹙cm2﹚ C：4×4=16﹙cm2﹚ AB：5×5=25﹙cm2﹚ AC：4×2=8﹙cm2﹚ BC：4×2=8﹙cm2﹚ ABC：2×2=4﹙cm2﹚
100+64+16-25-8-8+4＝143﹙cm2﹚
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
小结
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
即学即练
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有
24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，
投掷 游泳、投掷
17 18 15
6
6
5
2
求这个班的学生共有多少人？
短游 投 跑泳 掷
17 18 15
短跑 游泳
6
短跑 投掷
6
游泳 投掷
5
短跑、 游泳、投掷
2
A或B或C＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC
？ 17 18 15 6 6 5 2
达到了优秀的学生： 17+18+15-6-6-5+2=35(人)
全班的学生：35+4=39 (人)
答：这个班的学生共有39人。
即学即练
六年级100名学生中，15人既不会骑自行车也不会游泳，有 62人会骑自行车，75人会游泳。既会自行车又会游泳的有多少人？
62+75-（100-15）=52（人）
答：既会自行车又会游泳的有52人。
例5：如图，边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正 方形纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？

组合数学课件(第五章 容斥原理)

组合数学课件(第五章 容斥原理)

解：设S为所给字母的全排列，令A1,A2,A3分别为排列中出现单 词MATH,IS,FUN的排列集合。显然，其补集代表它们不作为连 续字母出现的集合。根据题意有 S 9! A1中的排列可以看成6个字母MATH, I, S, F, U, N的排列，因 此 A1 6! , 同理 ，A2 8!, A3 7! ; A B 中的排列是5个字母MATH, IS, F, U,N的排列, 因此 A1 A2 5!, 同理，A1 A3 4!，A2 A3 6!， A1 A2 A3 3! 。 根据容斥原理，在所有排列中，MATH,IS和FUN都不作为连续 字母出现的排列数为 A1 A2 A3 9!6!8!7!5!4!6!3! 317658 .
i 1 i
n
又因为在m个性质中取出一对性质的方法有C(m,2)个，故y是C(m,2)个 | C(m,2) , 集合Ai∩Aj(i≠j)的一个元素，在 |Ai Aj 中被计算的次数为
……,
i j
因此y在等式右端被计算的次数净值
C(m,0)-C(m,1)+C(m,2)+…+(-1)n C(m,n)， 由于m＜k时，C(m,k)=0，有
§5.1 包含排斥原理
•
|A| |S||A|
S
A
§5.1 包含排斥原理 5.1.1 引论
引例1 把1,2,3,…,n全排列，计算“1”不在第1个位置的排列数. 解: 集合格式写法 A {1排在第一个位置的前 n个数的排列 } } 令 S {1,2,...,n的排列 ， ，
§5.1 包含排斥原理
3 5
根据容斥原理，从1到500的整数中不能被3和5整除的数的个数为
15

组合数学幻灯片31容斥原理

组合数学幻灯片31容斥原理

p1，又不具有性 pm 的元素子集
合。
于是我们有下的容斥原理。
S
p1, p2, pm 的元素个数为
m
A1 I A2 I I Am S Ai Ai I Aj
Ai I Aj I Ak
i1
i j
i jjk
(1)m A1 I A2 I I Am (3.5)
式中，第一个和式取遍集合｛i｜i=1,2,…m}，
A1 I A2 I A3
于是，由式（3.5）有
| A1 A2 A3 | | S | (| A1 | | A2 | | A3 |) (| A1 A2 | | A1 A3 | | A2 A3 |) | A1 A2 A3 | 60 (24 28 26) (10 8 14) 6 8
中，故它在S中被计算的次数为
n 0
1
又由于y恰好具有n个性质，所以它是
集合A1,A2,…,Am中的n个集合的元素，
因而它在
Ai
中被计算的次数是
n 1
n
。
又因为在n个性质中取出一对性质的
I 方法有
n 2
个，故y是
n 2
个集合
Ai
Aj 中的
的次数是
n
2
；
Ai I Aj中被计算
所有放法的集合。
∴|Ai∩Aj｜=(m-2)n(i≠j;i,j=1,2,…,m)
一般地，对于m个箱子取k个箱子为空的组合
｛i1i2…ik｝有
｜Ai1∩Ai2∩…∩Aik｜=(m-k)n,(k=1,2,…,m)。
k=1,2,…,m，在m个带编号的箱子中
取k个箱子一共有
m k
种方式。
由乘法规则和容斥原理即可得：
下面，我们考虑集合S中具有两个子

小学五年级奥数PPT：容斥原理.ppt

小学五年级奥数PPT：容斥原理.ppt

? 例1：设某班每名学生都要选修至少一种外语， 其中选修英语的学生人数为25，选修法语的 学生人数为18，选修德语的学生人数为20， 同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选 修英语和德语的学生人数为13 ，同时选修法 语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三 种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名 学生？
（A+D+E+G）＋（B＋D＋F＋G）＋（C＋E+F+G）-（D＋G）－（F＋G）－（E＋Ｇ）
↓
↓
↓ ↓ ↓↓
２５ ＋ ３４＋ ２２－１８－１４－１２
＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ
＝６块（去重时把 G去完了）
再加上三种都参加的G
２５＋３４＋２２－１８－１４－１２＋８ ＝这个班人数
?结论（公式二）
? 如果被计数的事物有A、B、C三类， 那么，A类或B类或C类事物个数= A类 事物个数+ B类事物个数+C类事物个 数—既是A类又是B类的事物个数—既 是A类又是C类的事物个数—既是B类 又是C类的事物个数+既是A类又是B类 而且是C类的事=158人 158-90=68人
? 3、在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2 两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的 有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题 都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？
35+28-20=42人
? 4、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会 下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有 12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少 人？
41+34-27=48（人）
?
41 27 34
容斥原理
?一个班有45名学生，订阅《小学生数 学报》的有 15人，订阅《今日少年报》 的有10人，两种报纸都订阅的有 6人。

小学数学容斥问题教学课件

小学数学容斥问题教学课件

25＋23－19=29（人）
答：一共有29人。
例2、一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请
举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手” 有42人举人，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举 手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人 数是多少个？
做完 语文 的人 数： 37人
容斥原理（第二讲）
• 某校六（1）班，每人在暑 •
假里都参加体育训练队，
其中参加足球队的有25人，
参加排球队的有22人，参 加游泳队的有34人，足球、
•
排球都参加的有12人，足
球、游泳都参加的有18人，
排球、游泳都参加的有14
人，三项都参加的有8人，
这个班有多少人？
25+22+34 -12-1814+8=45人
=9（人）
练一练
第51页举一反三第4题
2分钟你 能做完
Hale Waihona Puke 吗？作业：第52页熟能生巧（1）、 （2）做在作业本上（要求：不 抄题，标清题号，字迹工整整洁， 做完后请家长签字。）
复习容斥问题例1、例2，预习例3、例4
课后过关：
一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会 法语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的 有多少人？
练一练
第51页举一反三第3题
2分钟你 能做完
吗？
例5、某班有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行
车，40人会溜冰，46人会打乒乓。问四项活动都会
的至少有多少人？
一项不会的
一项不会的
尽可能的多，
就不符合
即考虑重复的
不会游泳的：50－35=15（人）

最新容斥原理PPT课件

最新容斥原理PPT课件

n !S (m ,m )A 1 A 2 ... A n n m C (n ,1 )(n 1 )m
( 1 )kC (n ,k)(nk)m ( 1 )nC (n ,n )0 m .
即：
S(m ,n)1 nC(n,k)(nk)m.
n!k0
例11 求方程x1+x2+x3=15的非负整数解的数目。 这个问题相当于15个相同的球放入3个不同的盒子的 不同方案数，为C(15+3-1,15)=C(17,2)。
A BC D 1 2 3 4
如左图，斜线区域表示禁区。
R(
)=1+6x+10x2+4x3，
方案数为：4!-6×3!+10×2!-4×1!=4。
例14 再解错排问题。 对应于棋盘上对角线格子为禁区的布子问题。
棋盘多项式为：
n
C = ··· R(C)(1x)n C(n,k)xk, k0 即：rk(C)=C(n,k)。
类似有：|A2∩A3|=0，|A2∩A4|=20!， |A2∩A5|=20!， |A3∩A4|=20!， |A3∩A5|=20!， |A4∩A5|=19!。
A1 A2 A3 0, A1 A2 A4 0,
A1 A2 A5 0, A1 A3 A4 0,
A1 A3 A5 0, A1 A4 A5 0,
ABCUA BCABBC
ACABC 4 n 3 3 n 3 2 n 1 .
例7 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求 排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求 满足这些条件的排列数。
令Ai (i=1,2,3,4,5)分别表示出现以上五个单词之一的 排列的集合。
下面回到有禁区的排列问题，有如下的定理：

小学数学 容斥原理 PPT带答案

小学数学 容斥原理 PPT带答案

练习4
对某单位的110名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏 剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢 看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人， 三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人？
既喜欢看电影又球赛的人数：
58 38 52 110 16 18 12 16人
15的倍数的个数： 1000 15 66个10
能被3或5整除的数的个数： 333 200 66 467个
不能被3或5整除的数的个数： 1000 467 533 个
语文数学作业都完成的人数： 37 42 48 31人
只完成数学作业的人数： 42 31 11人
例2
一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没 有参加，求两种都参加的有多少人？
参加合唱队和美术组的人数： 42 5 37人
两种都参加的人数： 30 25 37 18人
足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排 球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8 人，问：三项都参加的有多少人？
足球队25人
三项都参加的人数：
45 (25 22 24 12 9 8) 3人
12人 9人 ?
8人
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ排球队22人
游泳队24人
①其它年级作品+六年级作品=24幅 ②其它年级作品+五年级作品=22幅 ③五年级作品+六年级作品=10幅
24 22 10 2 18幅
练习5
在有大陆、香港及其它地区的代表队参加的“全国中小学数学奥赛总决 赛”中，大陆和香港共来了140个队参赛，在所有参赛的队中有50个队 不是大陆的，有110个队不是从香港来的。问：在这次总决赛中共有多 少个队参赛？

小学五年级奥数课件：容斥原理

小学五年级奥数课件：容斥原理
3，老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25 人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科 在90分以上的有38人。两科都在90分以上的有多少 人？
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者 中有16人不是四年级的，有12人不是五年 级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是 红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共 有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
在100个外语教师中，懂英语的有75人， 懂日语的有45人，其中必然有既懂英语 又懂日语的老师。问：只懂英语的老师 有多少人？
分析与解答
显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计 过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此， 75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语 言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两 种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了： 75－20=55人。
3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分， 在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得 过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的 有多少人？
某校教师至少懂得英语和日语 中的一种语言。已知有35人懂 英语，34人懂日语，两种语言 都懂的有21人。这个学校共有 多少名教师？
把懂英语和懂日语的人数加起来得
容斥原理
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概 念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为 这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都 是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组 成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是 包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再 “排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素， 即：C=A＋B－AB。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，

数学五年级竞赛讲座第6讲容斥原理课件

数学五年级竞赛讲座第6讲容斥原理课件
A∩B∩C={1到200中间能被2×3×5整除的自然数}；
求出|A|=100，|B|=66，|C|=40，|A∩B|=33， |A∩C|=20，|B∩C|=13，|A∩B∩C|=6， 所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–
|A∩C|+|A∩B∩C|
=100+66+40–33–20–13+6=146. 这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、 5中一个数整除的数的个数。 所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任 何一个数整除的数有200–146=54（个）。
由题意|A|=75，|B|=83，|A∪B|=100–10=90， 根据容斥原理得 |A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C，我们可 以将上面的容斥原理推广得到如下的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C| –|A∩C|+|A∩B∩C|。
B
I
IV
II
VII
VI V
C III
而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合，
第VII部分则是三个集合的交集。
由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C，
因此先计算|A|+|B|+|C|。
在这个和里，第I、II、III部分的元素只计 算了一次，而第IV、V、VI部分的元素各自计 算了两次，第VII部分的元素计算了三次。
最后由手中有红球的共有34人，手中有黄 球的共有26人，手中有篮球的共有18人，
可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。
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练习：
一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会 法语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的 有多少人？
例3：在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不
是6的倍数有多少个？
100÷5=20（个）
不是5的倍数； 不是6的倍数；
100÷6=16 （个） ……4 不是30的倍数
100÷30=3 （个） ……10
语三科活动小组，每人至少参加一组，已知参加语 文小组的有52人，参加英语小组的有61人，参加 数学小组的有63人，同时参加语文和数学小组的 有30人，同时参加语文和英语小组的有28人，同 时参加数学和英语小组的有19人。那么三组都参 加的有多少人？
例3：
有50个学生，他们穿的裤子是白色或黑色的，上 衣是蓝色的或红色的。若有14人穿的是蓝色上衣、白 裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上 衣、黑裤子的学生有多少人？
83+86-25=169-25=144（人） 250-144=106（人）
答：乒乓球组都不会参加的有106人。
练习
全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人， 会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒 乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球 的有多少人？
练习时间：容斥原理
探索之旅
1、五年级96名学生都订了刊物，有64人订了 少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都 订的有多少人？
2、有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方 形。如 图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面 积？
求重合部分
例2：一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完
了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做 完了数学作业？请举手”有42人举人，最后问： “谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有 人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是 多少个？
ab
A
B
求总数
例1：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知
会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其
中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有
多少人？
弹电
拉手 风琴 的人 数： 24人
两种 都会 弹的 人数： 8人
子琴 的人 数： 17人
？人
五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功 课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学 优秀的有87人。语文、数学都优秀的有30人，问五年 级一共有多少人？
中一种语言。已知有35人懂英语，有34人懂日语，两 种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？
5、某班在一次测试中有26人语文获优，有30人数学 获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人 语文、数学都未获优，这个班共有多少个学生？
6、少年乐团学生中有170名不是五年级的，有135名 不是六年级的，已知五、六年级的共有205人，少年 乐团中五六年级以外的学生共有多少人？
例4、在100个外语教师中，懂得英语的75人， 懂日语的45人，其中必然有既懂英语又懂日语 的老师，问：只懂英语的教师有多少人？
75+45=120（人） 120-100=20（人） 75-20=55（人）
答：只懂英语的教师有55人。
1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中 的一题，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有 21人，问：只做对第一题的有多少人？
操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18 名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名，跳绳 的女生有多少名？
例4： 1、罗明、李阳和赵刚每人都有几本书，罗明 和李阳共有33本，罗明和赵刚共有39本，李阳 和赵刚共有34本。问：他们三人各有几本书？
2、甲班和乙班共88人，乙班和丙班共97人， 丙班和丁班共94人。求甲班和丁班共多少人？
20＋16－3=33 （个） 5的倍数的个数；
100－33=67 （个）
6的倍数的个数； 30的倍数的个数
答：有67个。
练习：学校开展课外活动，共有250人参加。其中参
加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组 的83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加 的有25人。问：这250名同学中，乒乓球组都不会参 加的有多少人？
2、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少 有一门得优，已知语文65 人得优，数学78人得优， 求只有语文一门得优的人数。
原理二
总量=A+B+C-AB-BC-AC+ABC
例1、
如图，三个圆的面积均为30，A与B、B与C、A 与C重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这 三个圆覆盖的部分的面积为2，请问： 这三个圆所覆盖的面积是多少？
语文 优秀 的人 数： 65人
两科 数学
都优 优秀
秀的 的人
人数： 数：
30
87人
65＋87－30=122（人）
答：五年级一共有122人。
？人
练习：
1、五年级学生参加了数学和语文考试，其中语文 得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得 100分的有26人，两门都得100分的有8人，求这个 班共有多少人？
C
58 2
A6B
练一练
1、光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法 三个小组，参加的人数分别是54人、46人、36人。 同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加 体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组 和书法小组的有10人，三组都参加的有2人。光明 小学五年级参加课外活动的一共有多少人？
容斥问题
容—包括 斥—排除
排队问题：从前面数，从后面数， 丽丽都排第6，这一排共有几个 人？
6＋6－1=11（人）
答：共有11人。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重 复计数，应从它们的和中排除重复部分。
原理1
设A、B是两类有重叠部分的量，如图，A
与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类的
总量可以用下面的方法计算：总量=A+B-ab
2、五年级一班每人都至少参加了一科竞 赛。有32人参加数学竞赛，有27人参加 英语竞赛，有22人参加语文竞赛，其中 参加数学和英语两科的有12人，参加英 语和语文两科的有14人，参加数学和语 文的有10人，三科都参加的有3人。那么 五年级一班总共有多少人？
3、某校五年级共有100人，参加语文、数学、英
37＋42－48=31（人）
练习：
五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至 少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的 有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的 有多少人？
65＋87－122=30（人）
答：语文、数学都优秀的有30人。
练习
某班有50名学生，在一次测试中有26人满分， 在第二次测试中有21人满分。如果两次测试都 没有得过满分的学生有17人，那么，两次测试 都获满分的有多少人？
2、一个班的52人都在做语文和数学作业，有 32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业， 这个班语文、数学作业都做完的有多少人？
3、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有 一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优 的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？
4、某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语