知识要点
【课前引入】在做加、乘原理的题时，我们经常会遇到为地图涂色的题目。关于为地图涂色有一个看起来简单，但证明过程却十分复杂的题目——四色猜想。四色猜想是世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878~1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，
加乘原理
一、 乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n 个步骤（缺一不可）
，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，第3步有3m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，则完成这件事一共有123n N m m m m =⨯⨯⨯⨯……种不同的方法。 二、 加法原理：一般地，如果完成一件事有n 类方法（每一类中的任何一种方法都能独立完成这
件事情），第1类有1m 种不同的方法，第2类有2m 种不同的方法，第3类有3m 种不同的方法，……，第n 类有n m 种不同的方法，则完成这件事一共有123n N m m m m =++++……种不同的方法。
电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。
简单加乘
【例1】 从学而思学校到王明家有3条路可走，从王明家到张老师家有2条路可走，从学而思学校到张老
师家有3条路可走，那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法？
王明家
张老师家学而思学校
【例2】 如图所示，从甲地到乙地有5条路，从乙地到丁地有3条路，从甲地到丙地有2条路可走，从丙
地到丁地也有6条路，请问从甲地到丁地共有多少种不同走法？
丁
丙
乙
甲
【例3】 某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每次可挂
1面或者2面或者3面，并且不同的顺序表示不同的信号。一共可以表示出多少种不同的信号？（不挂旗则没有信号）
【例4】 有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6。将两
个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为奇数的有多少种情形？
【例5】 有三个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6。将三
数码
【例6】用数字0、1、2、3、4可以组成多少个小于1000的自然数？（各数字可重复使用）
【例7】用0、1、2、3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【例8】（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛四年级决赛）用0~5这六个数字可组成________个没有重复数字的四位偶数。
【例9】2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成________个不同的三位数（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）。
【例10】（2008第七届“小机灵杯”数学竞赛四年级决赛）有一些三位数，三个数字之和是21，这样的三位数有_________个。
【例11】（2008第四届IMC国际数学邀请赛（新加坡）小学六年级初赛）在三位数中，至少有一位是3的共有________个。
【例12】用1、2、3、4、5五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？
【例13】从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?
【例14】从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?
【例15】从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个?
【例16】由数字1，2，3，4组成的所有四位数中（数字不重复使用），从小到大排列，第7个数是______________．
【例17】由1，2，3，4，5五个数字组成的不同的五位数有120个，将他们从大到小排列起来，第95个数是___________。
【例18】由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第个．
